函数的周期性(基础+复习+习题+练习)

函数的周期性--经典例题函数的周期性周期函数的定义：对于函数()x f ，存在非0常数T ，使得对于其定义域内总有()()x f T x f =+，则称的常数T 为函数的周期。

周期函数的性质：1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

5、若函数y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

6、1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.7、1()()1()f x f x a f x ++=--，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。

9、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。

13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数，6a 是它的一个周期。

函数的周期性练习题函数是数学中的重要概念之一，它描述了输入和输出之间的对应关系。

在数学中，周期性函数是一类特殊的函数，它们具有周期性的特征。

本文将为大家介绍一些与函数周期性相关的练习题，以帮助大家更好地理解和应用函数的周期性。

练习题1：正弦函数的周期性考虑函数y = sin(x)。

我们知道正弦函数是一个周期为2π的函数，即在区间[0, 2π]内完整地重复自身。

请回答以下问题：1. 在区间[0, π]内，sin(x)的取值范围是多少？2. 在区间[π, 2π]内，sin(x)的取值范围是多少？3. 在区间[0, 4π]内，sin(x)的取值范围是多少？4. 在区间[0, 8π]内，sin(x)的取值范围是多少？练习题2：余弦函数的周期性考虑函数y = cos(x)。

余弦函数也是一个周期为2π的函数，它与正弦函数在图像上有类似的特点。

请回答以下问题：1. 在区间[0, π]内，cos(x)的取值范围是多少？2. 在区间[π, 2π]内，cos(x)的取值范围是多少？3. 在区间[0, 4π]内，cos(x)的取值范围是多少？4. 在区间[0, 8π]内，cos(x)的取值范围是多少？练习题3：周期性函数的图像变换现在考虑函数y = sin(x) + 1。

这个函数是对正弦函数进行了图像上的平移。

请回答以下问题：1. 在区间[0, 2π]内，sin(x) + 1的取值范围是多少？2. 在区间[0, 4π]内，sin(x) + 1的取值范围是多少？3. 在区间[0, 8π]内，sin(x) + 1的取值范围是多少？练习题4：周期性函数的复合考虑函数y = sin(2x)。

这个函数是对正弦函数进行了图像上的压缩。

请回答以下问题：1. 在区间[0, π]内，sin(2x)的取值范围是多少？2. 在区间[0, 2π]内，sin(2x)的取值范围是多少？3. 在区间[0, 4π]内，sin(2x)的取值范围是多少？练习题5：周期性函数的复合和平移考虑函数y = cos(2x - π)。

f x-【详解】(2由条件可知函数在区间)(252f=函数在区间[0,4C ．(sin)(cos )33f f ππ> D ．33(sin )(cos )22f f >【答案】B 【解析】因为()()2f x f x =+，所以()f x 周期为2，因为当[]3,4x ∈时, ()2f x x =-单调递增，所以[]()1,0?,x f x 时∈- 单调递增，因为()f x 偶函数，所以[]()0,1,x f x ∈时 单调递减，因为110sin cos 122<<<，1sin1cos10,>>> 1> sin cos 033ππ>>,331sin cos 022>>> 所以11sin cos 22f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()sin1cos1f f <, sin cos 33f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,33sin cos 22f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.6．已知()f x 是在R 上的奇函数，满足()()2f x f x =-，且[]0,1x ∈时，函数()21x f x =-，函数()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．10,9⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,95⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,5D ．()5,9【答案】D【解析】由题得，令()log ah x x =，定义域为0x >，()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，即()f x 和()h x 的图像在定义域内有3个交点，()(2)(2)[2(2)](4)(4)f x f x f x f x f x f x =-=--=---=--=-，故函数()f x 的一个周期是4，又[]0,1x ∈时，函数()21x f x =-，且图像关于轴x=1对称，由此可做出函数(),()f x h x 图像如图，若两个函数有3个交点，则有log 51log 91a a <⎧⎨>⎩，解得59a <<，则a 的取值范围是(5,9).7．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足下列三个条件：∵任意[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有。

三角函数的周期性练习题在数学中，三角函数是研究角的函数关系，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

这些函数在周期性方面具有重要的特点，本文将通过一些练习题来探讨三角函数的周期性。

1. 练习题1：正弦函数的周期正弦函数的基本周期是2π，即当自变量x增加2π时，正弦函数的值会重复出现。

考虑正弦函数y = sin(x)，当x = π/6 时，求y的值。

解答：由于正弦函数的周期是2π，我们可以将x = π/6 用2π来表示，即x = π/6 + 2πn，其中n为整数。

代入正弦函数的表达式，得到y = sin(π/6 + 2πn)。

根据三角函数的性质，sin(π/6) 的值为1/2。

所以，y = sin(π/6 + 2πn) = 1/2，其中n为整数。

2. 练习题2：余弦函数的周期余弦函数的基本周期也是2π。

考虑余弦函数y = cos(x)，当x = 3π/4 时，求y的值。

解答：同样地，我们可以将x = 3π/4 用2π来表示，即x = 3π/4 +2πn，其中n为整数。

代入余弦函数的表达式，得到y = cos(3π/4 + 2πn)。

根据三角函数的性质，cos(3π/4) 的值为-√2/2。

所以，y = cos(3π/4 + 2πn) = -√2/2，其中n为整数。

3. 练习题3：正切函数的周期正切函数的周期是π。

考虑正切函数y = tan(x)，当x = π/3 时，求y的值。

解答：正切函数的周期是π，因此当x = π/3 + πn，其中n为整数时，正切函数的值会重复出现。

代入正切函数的表达式，得到y = tan(π/3 + πn)。

根据三角函数的性质，tan(π/3) 的值为√3。

所以，y = tan(π/3 + πn) = √3，其中n为整数。

通过这些练习题，我们可以看到三角函数的周期性特点。

正弦函数、余弦函数和正切函数在固定的周期内，它们的函数值会重复出现。

这一特性在实际问题的建模和解决中具有重要的应用价值。

高中数学函数的周期性练习题型一：求周期问题【例1】 已知()f x 是定义在R 上的函数，(10)(10)f x f x +=-且(20)(20)f x f x -=-+，则()f x 是（ ）A . 周期为20的奇函数 B. 周期为20的偶函数C. 周期为40的奇函数D. 周期为40的偶函数【例2】 求函数tan cot y αα=- 的最小正周期【例3】 定义在R 上的函数()f x 满足(3)()0f x f x ++=，且函数32f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数．给出以下3个命题：①函数()f x 的周期是6；②函数()f x 的图象关于点302⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 的图象关于y 轴对称，其中，真命题的个数是（ ）．A ．3B ．2C ．1D ．0【例4】 若y =f (2x )的图像关于直线2a x =和()2b x b a =>对称，则f (x )的一个周期为（ ） A ．2a b + B ．2()b a - C ．2b a - D ．4()b a -【例5】 已知函数()f x 对于任意,a b ∈R ，都有()()f a b f a b ++-2()()f a f b =⋅，且(0)0f ≠．⑴求证：()f x 为偶函数；⑵若存在正数m 使得()0f m =，求满足()()f x T f x +=的1个T 值（T ≠0）．典例分析【例6】 设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称．且对任意121,[0,]2x x ∈，都有1212()()()f x x f x f x +=⋅，(1)0f a =>．⑴求1()2f 及1()4f ； ⑵证明()f x 是周期函数；题型二：求值问题【例7】 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点304⎛⎫- ⎪⎝⎭，成中心对称图形，且满足3()2f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，(1)1f -=，(0)2f =-．那么，(1)(2)(2006)f f f +++L 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-【例8】 （2005天津卷）设f (x )是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12x =对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________.【例9】 （2006年安徽卷理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________。

函数的周期性一．知识点：1.周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内任何值f(x+T)=f(x)，那么就称f(x)为周期函数，T为f(x)的周期。

2.周期函数的性质：（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。

（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。

（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。

（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。

（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合3.判定定理：定理1. 若f（x）是在数集M上以T*为最小正周期的周期函数，则K f（x）+C（K≠0）和1/ f（x）分别是集M和集{X/ f（x）≠0，X ∈M}上的以T*为最小正周期的周期函数。

定理2. 若f（x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f（ax+b）是集{x|ax+b∈M}上的以T/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。

定理3. 设f（u）是定义在集M上的函数，u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g（x）∈M，则复合函数f（g（x））是M1上的周期函数。

定理4. 设f1（x）、f2（x）都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍数为它们的周期。

4.几个常见常考周期函数的关系式：（其中a≠0）（1）f(x+a)= -f(x) =>f(x+2a)=f(x)（2）f(x+a)=1/f(x) =>f(x+2a)=f(x)（3）f(x+a)= -1/f(x) =>f(x+2a)=f(x)（4）若奇函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x+4a)=f(x)（5）若偶函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x+2a)=f(x)二．典型例题（难）：例题1：已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于直线x=1对称，则f(1)+f(2)+…+f(2019)=_______例题2：已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=12f(x)且当x∈[0,2]时，f(x)= -2sinπ2x①若当x∈[ -4,-2]时，f(x)≥t➖9t恒成立，则t的取值范围为________②函数g(x)=f(x) ➖12log16X 零点的个数为________例题答案：例题一：0 例题二：t≤9或0＜t≤1 ； 5三．基础例题1.若函数f（x）=x2+bx+c对一切实数都有f（x+2）=f（2 -x）则有（）A．f（2）＜f（1）＜f（4）B．f（1）＜f（2）＜f（4）C．f（2）＜f（4）＜f（1）D．f（4）＜f（2）＜f（1）2.已知定义在R上的函数f（x）满足f（-x）= - f（x），f（3-x）=f(x)，则f（2019）=（）A．- 3 B.0 C.1 D.33.已知定义在R上的函数f（x）满足：y=f（x - 1）的图像关于点（1，0）对称，且当0≥0时恒有f（x）=f（x+2），当x∈[0,1]时，f（x）=ex – 1，则f（2016）+f（-2015）=（）A．1 – e B. e – 1 C. – 1 – e D.e+14.定义在R上奇函数f（x）满足f（x+2）= -f（x），且在[0，2）上单调递减，则下列结论正确的是（）A．0＜f（1）＜f（3） B. f（3）＜0＜f（1）C．f（1）＜0＜f（3） D. f（3）＜f（1）＜05.已知函数f（x）的图像关于点（- 3 ，2 ）对称，则函数h（x）=f（x+1）- 3的图像的对称中心是_______6.设f（x）是定义在R上的奇函数，且在( -∞，0 )上是减函数，f（-2）=0，则xf（x）＜0的解集为________7.已知f（x）,g（x）都是定义在R上的函数，且f（x）为奇函数，g（x）的图像关于直线x=1对称，则下列四个结论中错误的是（）A．y=g[f(x)+1]为偶函数 B.y=g[f(x)]为奇函数C.函数y=f[g(x)]的图像关于直线x=1对称D．y=f[g(x+1)]为偶函数8.定义在R上得函数f(x)满足f( - x)=f(x),且当x≥0时，f(x)={−x2+1，0≤x≤12−2x，x≥1若对任意得x∈[m,m+1]，不等式f（1-x）≤f（x+m）恒成立，则实数m的最大值是（）A．- 1 B.12C. - 13D.13答案：1. A由已知得：对称轴为x=2，由于抛物线开口向上，所以越靠近对称轴值越小2.B∵f（- x）= - f（x）,∴f（3 - x）= - f（x - 3），且f（0）=0.又∵f（3 - x）=f（x），∴f（x）= - f（x - 3），∵f（x - 3）= - f（x - 6）,∴f（x）=f（x - 6），∴f（x）是周期为6的函数，∴f（2019）=f（6×336+3）=f（3）=（0）=03.A∵y=f（x - 1）的图像关于点（1，0）对称，∴f（x）的图像关于远点对称，∵当x≥0时恒有f（x）=f（x+2），∴函数f（x）的周期为2∴f（2016）+f（- 2015）=f（0）- f（1）=1 – e4.C由函数f（x）时定义在R上的奇函数，得f（0）=0，由f（x+2）= - f（x），得f（x+4）= - f （x+2）=f（x），故函数f（x）是以4为周期的周期函数∴f（3）=f（- 1）又∵f（x）在[0,2）上单调递减，∴函数f（x）在（- 2，2 ）上单调递减∴f（-1）＞f（0）＞f（1）5.（- 4，- 1）函数h（x）=f（x+1）- 3的图象是由函数f（x）的图像向左平移1个单位，再向下平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f（x）的图像关于点（- 3，2）对称，所以函数h（x）的图像的对称中心为（-4，-1）6．(-∞，-2]∪[0，2]（1）x=0时，xf（x）=0，满足要求；（2）x＜0时xf（x）≤0，所以，f（x）≥0f（x）在（-∞，0）上是减函数，f（-2）=0所以，x≤-2（3）x＞0时，xf（x）≤0，所以，f（x）≤0f（x）为R上的奇函数，且在（-∞，0）上是减函数，所以在（0，+∞）上是减函数，f（2）=0f（x）≤0，解得，0＜x≤2所以，不等式 xf（x）≤0 的解集为(-∞，-2]∪[0，2]7. B已知得f （- x ）= - f （x ），g （1 - x ）=g （1+x ）， ∵g[f(-x)+1]=g[ - f(x)+1]=g[f(x)+1]，∴y=g[f(x)+1]为偶函数∵f[g(x)]=f[g(2 - x)]∴y=f[g(x)]得图像关于直线x=1对称∵f[g( - x+1)]=f[g(x+1)]∴y=f[g(x+1)]为偶函数∵g[f( - x)]=g[ - f(x)]=g[2+f(x)]∴y=g[f(x)]不是基函数8. C由题知函数f(x)为偶函数，且当x ≥0时，函数f(x)为减函数，则当x ＜0时，函数f （x ）为增函数。

函数的周期性（基础复习习题练习）课题：函数的周期性考纲要求：了解函数周期性、最⼩正周期的含义，会判断、应⽤简单函数的周期性.教材复习()1 周期函数：对于函数()y f x =，如果存在⾮零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的⼀个周期.()2最⼩正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中的正数，那么这个最⼩正数就叫作()f x 的最⼩正周期.基本知识⽅法 1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每⼀个x ，都存在⾮零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成⽴，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的⼀个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最⼩正数叫()f x 的最⼩正周期. 2.⼏种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满⾜对定义域内任⼀实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. ⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. ⑧函数()y f x =满⾜()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；3.判断⼀个函数是否是周期函数要抓住两点：⼀是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=;⼆是能找到适合这⼀等式的⾮零常数T ，⼀般来说，周期函数的定义域均为⽆限集.4.解决周期函数问题时，要注意灵活运⽤以上结论，同时要重视数形结合思想⽅法的运⽤，还要注意根据所要解决的问题的特征来进⾏赋值.问题1．(06⼭东)已知定义在R 上的奇函数()f x 满⾜(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为 .A 1- .B 0 .C 1 .D 2问题2．()1(00上海) 设()f x 的最⼩正周期2T =且()f x它在区间[]0,1上的图象如右图所⽰的线段AB ,则在区间[]1,2上, ()2已知函数()f x 是周期为2的函数，当11x -<<时，2()1f x x =+当1921x << 时，()f x 的解析式是 ()3 ()x f 是定义在R 上的以2为周期的函数，对k Z ∈，⽤k I 表⽰区间已知当0x I ∈时，()2f x x =，求()x f 在k I 上的解析式。

基本知识方法1.周期函数的定义：对于 f (X)定义域内的每一个X ,都存在非零常数T ,使得f(x TH f (X)恒成立，则称函数f (X)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT( k∙ Z,k=O)也是f (X)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (X)的最小正周期2. 几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y = f X满足对定义域内任一实数X (其中a为常数)，①fx=fχ∙a ,贝U y=fx是以T = a为周期的周期函数；②f X ∙ a = -f X ,则f X是以T ≡2a为周期的周期函数；1③f X ∙ a,贝U f X是以T =2a为周期的周期函数；f(X)④f X a = f X -a ,则f X是以T =2a为周期的周期函数;⑤f (X a) J - f (X),贝U f X是以T =2a为周期的周期函数1+ f(x)⑥f(Xa^-Fff，则fx是以T s为周期的周期函数⑦f(X ∙ a) = 1 f (X),贝y f X是以T =4a为周期的周期函数.1-f(χ)1 .已知定义在R上的奇函数f (X)满足f(X • 2) = -f (X),贝U f⑹的值为A. -1B. 0C. 1D. 2 22(1)设f(x)的最小正周期T =2且f (X)为偶函数，它在区间1.0, 1上的图象如右图所示的线段AB,则在区间∣1,2 ］上,f (X)=-----------函数的周期性2已知函数f(χ)是周期为2的函数，当-1：：：x：：：1时，f(x) = χ2∙1 , 当19 ：：：X ：：： 21时，f (X)的解析式是___________________3 f X是定义在R上的以2为周期的函数，对k∙ Z ,用I k表示区间2k-1,2k∙11, 已知当X I0时，f X = X2,求f X在I k上的解析式。

3. 1定义在R上的函数f X满足f X A f X 2 ,当X 3,5】时，fπλ(πλf (x )= 2 - X -4 ,贝U A. f sin —JC f cos—; B- f (Sin1 )> f (COSI)；I 6丿V 6 JC2兀、f2兀、C. f . cos一< f . Sin 一: D- f (COS2)A f (sιn2 )I 3 丿I 3 J2 设f (X)是定义在R上以6为周期的函数，f (X)在(0,3)内单调递减，且y = f (X)的图像关于直线X = 3对称，则下面正确的结论是A. f (1.5) ：：f(3.5) ：：f (6.5)B. f (3.5) ：：f(1.5) ：：f(6.5)C. f (6.5) ：： f(3.5) ：：： f (1.5)D. f(3.5) ：：： f (6.5) ：： f (1.5)4.已知函数f(x)是定义在(-∞,+ ∞)上的奇函数，若对于任意的实数X≥0,都有f(x+2)=f(x), 且当x∈［0,2)时，•'；•二’‘工,'— 1 ',贝U f(-2013)+f(2014) 的值为5. 已知是'上最小正周期为2的周期函数，且当' -时，' ,则函数的图象在区间［0,6］上与轴的交点的个数为________________则"沁=6. 已知f(X)为偶函数，且f(2+X)=f(2-X) ,当-2≤X≤ 0 时，一 -；若•「，… 一,7. 已知定义在R 上的奇函数f 迥，满足/(j →) = -ΛJ ),且在区间上是增函数，则()o A: B ： C ：' ■D ：；：廷:密:Y 曲氏A. B.2 + M C. 2 - 2√2D. 29定义在R 上的函数f X ，对任意χ. R ，有f χ . y . f x _y =2f χ f y ，且fOF ,1求证：fO=1 ；2判断f X 的奇偶性；3若存在非零常数c ,使 2,①证明对任意x∙ R 都有f χ ∙ c = -f χ成立;②函数f X 是不是周期函数，为什么？8.已知函数定义在R 上，对任意实数X 有f{τ) I 2v2,若函数 "=1'的图象关于直线对称,,则」(则"沁=8.已知f (X)是定义在R 上的奇函数，满足f (X • 2) = - f (X),且χ∙ [0, 2时， f(x)= 2x- X . 1求证：f (X)是周期函数；2当χ∙ [2, 4]时，求f(x)的表达式；3 计算 f (1) +f (2) +f ( 3) +……+f (2013)9. ( 05朝阳模拟)已知函数f (X)的图象关于点-3,0对称，且满足f(x)--f(χP), I 4丿2课后作业：1. ( 2013榆林质检)若已知f(x)是R 上的奇函数，且满足f(χ∙4)=f(x),当X 0时，f(x)=2χ2 ,贝U f(7)等于 A -2B. 2C.-98D. 982. 设函数f X ( X ∙ R )是以3为周期的奇函数，且 f 11, f 2 = a ,则A. a 2B. a —2C. a 1D. a -13.函数f(x)既是定义域为 R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f (X)在∣-1,0 1上是减函数，那么 f (X)在∣2,3 1上是A.增函数B.减函数C.先增后减函数D.先减后增函数,记 f n (X )= f{ f [ f f (X )]},则 f 2007 (X) X 1 n 个 fI 3 I5.已知定义在R 上的函数f (X)满足f(X ^-f x - ,且 f -2=3，则 f (2014)=6.设偶函数 f (x)对任意X R , 1,且当X t 3,-2]时, f(x)f (X )=2x , A.--7则 f (113.5)= B. - C.-7D.- 57.设函数 f (X)是定义在R 上的奇函数，对于任意的1 - f(X ) χ∙ R ,都有 f(x T)= 1 f(X),当 O ：： X ≤ 1 时，f (X) =2x ,则 f(11∙5A.1 -1B. 1C.-2又f (-1) =1 , f(0) 一2 ,求f (1) f(2) f (3)…f (2006)的值高考真题：1. f (x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且 f(2)=0在区间0,6内解的个数的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 52.定义在R 上的函数f(x)满足f (x ∙6) = f(x),当-3 ≤ X ” T 时，2f(x) =p x 2 ,当-1 ≤ X ：：3时，f (X) =X ,则 f(1) f(2) f(3) —f (2012)=A. 335B. 338C. 1678D. 20123•已知函数f (x)为R 上的奇函数，且满足 f(χ∙2)=-f(x)， 当 0 ≤ X <1 时，f(x) X ,贝U f (7.5)等于 A 0.5B. -0.5C. 1.5D. -1.514.函数f X 对于任意实数X 满足条件f X • 2,若f 1 - -5 ,f(X )则 f f 5= ___________7.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且 目=f (X)的图象关于直线对称，则 f (1) f (2)f(3) f(4) f(5)=8.设函数 f (x)在上满足 f (2 -x) = f (2 ∙ x), f (7 -x) = f (7 ∙ x),且在闭区 间 0,7 1 上，只有 f(1)= f(3) =0 .(I )试判断函数 y = f (X)的奇偶性；(∏)试求方程f(X) =0在闭区间∣-2005,20051上的根的个数，并证明你的结论.5.已知 f (x)是周期为2的奇函数，当0：：：x”：1时，f(x) 3 5=f( ), c= f(),则2 2 设 a = f (6),b5 A. a ：：： ：：：C. C ：：： b ：：： a =Ig X.D. c ：： a b 6.定义在R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若f (X)的最小正周期是二，且当 χ∙ [0, 2] ^, f (X H SinX ,则 f5T 的值为A. -12B.丄2C. 一 3D. 23。

函数周期性（拔尖）肖老师提醒：请同学们根据自己能力、时间合理安排好一、单选题1．已知函数()f x 的定义域为D ，值域为A ， 函数()f x 具有下列性质：（1）若,x y D ∈，则()()f x A f y ∈；（2）若,x y D ∈，则()()f x f y A +∈.下列结论正确是（ ）①函数()f x 可能是奇函数； ②函数()f x 可能是周期函数； ③存在x D ∈，使得()20212020f x =； ④对任意x D ∈，都有()2f x A ∈.A ．①③④B ．②③④C ．②④D ．②③2．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x -为偶函数，当[]01x ∈，时，()12f x x =，若函数()()g x f x x b =--恰有一个零点，则实数b 的取值集合是（ ） A ．112244k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，， B ．152222k k k z ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，， C ．114444k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，， D ．1154444k k k z ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，， 3．已知函数()()f x x R ∈是以4为周期的奇函数，当(0,2)x ∈时，()2()ln f x x x b =-+，若数()f x 在区间[2,2]-上有5个零点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．11b -<≤B ．1544b ≤≤ C ．11b -<≤或54b =D ．114b <≤或54b =4．定义在R 上的函数()y f x =的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，对任意的实数x 都有()f x = 32f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且()11f -=，()01f =-，则()()()()1232019f f f f ++++的值为（ ） A ．0B ．1C ．-673D ．6735．给出定义：若11(,]22x m m ∈-+（其中m 为整数），则m 叫做与实数x ”亲密的整数”记作{x }＝m ，在此基础上给出下列关于函数()|{}|f x x x =-的四个说法： ①函数()y f x =在(0,1)是增函数； ②函数()y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称； ③函数()y f x =在1(,)()2k k k Z +∈上单调递增④当(0,2)x ∈时，函数21()()22g x f x x =--有两个零点，其中说法正确的序号是（ ） A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④6．已知()f x 是在R 上的奇函数，满足()()2f x f x =-，且[]0,1x ∈时，函数()21xf x =-，函数()()log (1)a g x f x x a =->恰有3个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．10,9⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,95⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,5D ．()5,97．已知函数()f x 满足(1)1()f x x R +=∈，则()()12020f f +的最大值是（ ）A ．2B ．2C ．2D ．48．已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且满足f （x+2）=﹣f （x ），当x ∈[0，1]时，f （x ）=x ，则方程f （x ）=281x x -+在（0，+∞）解的个数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．69．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且[]0,2x ∈时2()log (1)f x x =+，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论： 甲：(3)1f =；乙：函数()f x 在[]6,2--上是增函数； 丙：函数()f x 关于直线4x =对称；丁：若(0,1)m ∈，则关于x 的方程()0f x m -=在[]8,8-上所有根之和为8-其中正确的是． A ．甲，乙，丁B ．乙，丙C ．甲，乙，丙D ．甲，丁10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有(2)()f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，2()1f x x =-+.若2[()]()30a f x bf x -+=在[1,5]-上有5个根(1,2,3,4,5)i x i =，则12345x x x x x ++++的值是A ．10B ．9C ．8D ．7二、多选题11．已知函数f (x )满足：当-<3≤0x 时，|2|()32x f x +=-，下列命题正确的是（ ） A ．若f (x )是偶函数，则当03x <≤时，|2|()32x f x +=-B ．若(3)(3)f x f x --=-，则()()1g x f x =-在(6,0)x ∈-上有3个零点C ．若f (x )是奇函数，则()()1212,[3,3],14x x f x f x ∀∈--<D ．若(3)()f x f x +=，方程2[()](2)()20f x k f x k -++=在[3,3]x ∈-上有6个不同的根，则k 的范围为11k -<<三、填空题12．已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意R x ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数(5)()f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有16个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是______13．已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足：对任何(0,)+∞，都有(3)3()f x f x =，且当(1,3]x ∈时，()3f x x =-，在下列结论中，正确命题的序号是________① 对任何m ∈Z ，都有(3)0m f =； ② 函数()f x 的值域是[0,)+∞；③ 存在n ∈Z ，使得(31)17n f +=；④ “函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条 件是“存在k ∈Z ，使得1(,)(3,3)k k a b +⊆”；14．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足：对()0,x ∀∈+∞，都有()()22f x f x =，当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是： ____.①对m Z ∀∈，有()20mf =；②函数()f x 的值域为[)0,+∞；③存在n Z ∈，使得()219nf +=；15．已知偶函数()f x 是定义域为R 且最小正周期为2的周期函数.当[]2,3x ∈时，()()23f x x =-.若函数()()()()log 11a F x x f x a =+->在R 上恰有6个零点，则实数a的取值范围是________.16．函数()f x 的定义域为[)1,1-，其图象如图所示.函数()g x 是定义域为R 的偶函数，满足()()2g x g x +=，且当[]1,0x ∈-时，()()g x f x =.给出下列三个结论：①()112g =； ②不等式()0g x >的解集为R ；③函数()g x 的单调递增区间为[]2,21k k +，k ∈Z . 其中所有正确结论的序号是______.17．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有()()11f x f x =+-，已知当[]0,1x ∈时，11()2xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列命题：①对任意x ∈R ，都有()()2f x f x +=； ②函数()f x 在()1,2上递减，在()2,3上递增； ③函数()f x 的最大值是1，最小值是0；④当()3,4x ∈时，31()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.其中正确命题的序号有_________. 18．给出定义：若1122M x M -<≤+（其中M 为整数），则M 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x M =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个结论： ①函数() y f x =的定义域为R ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②函数() y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称；③函数() y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；④函数() y f x =是偶函数；其中正确结论的是________.（把正确的序号填在横线上）.19．偶函数()y f x =满足()()33f x f x +=-，在[)3,0x ∈-时，()2xf x -=．若存在1x ，2x ，…n x ，满足120n x x x ≤<<<…，且()()()()()()122312019n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=…，则n x 最小值为__________． 20．已知函数12019()ln 112019x x a x f x a x-+=+-+-，若定义在R 上的奇函数()g x 满足()()11g x g x -=+，且()2(1)log 25g f f ⎛=+ ⎝，则()2019g =___________.21．n ∈*N ，(){[()]}n n ff x f f f x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅个，若2(1),01()1,12x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩，则20198()9f =________.四、解答题22．已知函数2()log ()f x x a =+； （1）当1a =时，若10(12)()2f x f x <--<，求x 的取值范围； （2）若定义在R 上的奇函数()g x 满足(2)()g x g x +=-，且当01x ≤≤，()()g x f x =，求()g x 在[1,0]-上的解析式；（3）对于（2）中的()g x ，若关于x 的不等式2321log 382x x t g +⎛⎫-≥- ⎪+⎝⎭在R 上恒成立，求实数t 的取值范围.23．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的实数x ，存在非零常数t ，都有()()f x t tf x +=-成立．（1）若函数()3f x kx =+，求实数k 和t 的值；（2）当2t =时，若[]0,2x ∈， ()()2f x x x =-，求函数()f x 在闭区间[]2,6-上的值域； （3）设函数()f x 的值域为[],a a -，证明：函数()f x 为周期函数． 24．设函数()f x 在R 上满足()()33f x f x +=-，()()88f x f x +=-，且 在闭区间[]0,8上只有()()()1570f f f ===．（1）求证函数()f x 是周期函数；（2）求函数()f x 在闭区间[]10,0-上的所有零点；（3）求函数()f x 在闭区间[]2012,2012-上的零点个数及所有零点的和．25．函数()f x 的定义域关于原点对称，但不包括数0，对定义域中的任意实数x ，在定义域中存在12,x x 使()()1212,x x x f x f x =-≠，且满足以下3个条件. （1）12,x x 是()f x 定义域中的数，()()12f x f x ≠，则()()()()()1212211f x f x f x x f x f x +-=-；（2）()1,(f a a =是一个正的常数）； （3）当02x a <<时，()0f x >. 证明：（I ）()f x 是奇函数；（II ）()f x 是周期函数，并求出其周期； （III ）()f x 在()0,4a 内为减函数.26．1已知函数()0)f x ax x =+≥，()g x =，,a b ∈R ,且(0)2g =，2f =（1）求()f x 、()g x 的解析式；（2）()h x 为定义在R 上的奇函数，且满足下列性质：①(2)()h x h x +=-对一切实数x 恒成立；②当01x ≤≤时[]21()()log ()2h x f x g x =-+. （ⅰ）求当13x -≤<时，函数()h x 的解析式； （ⅱ）求方程1()2h x =-在区间[0,2012]上的解的个数.参考答案1．B 【分析】利用函数奇偶性、周期性的定义以及函数()f x 所满足的两个性质对①②③④逐一分析可解. 【详解】解：对①：若()f x 为奇函数，则()()0f x f x +-=.令y x =-，由（2）知0A ∈， 而与（1）()0f x ≠矛盾，所以①错误. 对②：若()f x 为周期函数，则f x Tf x (其中T 为非零常数)，当()f x （比如()tan f x x =）值域()(),00,A =-∞⋃+∞时，令y x T =+，则（1）()()1f x A f y =∈成立；（2）()()()2f x f y f x A +=∈也成立，故②正确.对③：由②可知，存在x D ∈，使()f x 为任意非零常数，所以可使()20212020f x =，故③正确. 对④：令y x =，则由（1）知1A ∈，从而()1A f x ∈，所以()()()21f x f x A f x =∈， 所以④正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：牢牢抓住()f x 所满足的两个性质以及函数的奇偶性、周期性的定义进行分析判断. 2．D 【分析】根据条件判断函数周期为4，求出函数在一个周期内的解析式，将函数的零点转化为()f x 与直线y x b =+只有一个交点，结合函数图像，即可求解. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x -为偶函数， ()(),(1)(1)f x f x f x f x -=---=-，(2)((1)1)()()f x f x f x f x -=--=-=-，即(2)(),(4)(2)()f x f x f x f x f x +=-∴+=-+=， ()f x ∴的周期为4.[]01x ∈，时，()12f x x =[]12,[0,1],()()1,0()x f x x x f x -∈-=-=-∈-，()f x ∴=(1)(1),()(2)f x f x f x f x --=-∴=--，()f x 周期为4，()(2)(2)f x f x f x ∴=--=-+，当[1,2],2[0,1],()(2)x x f x f x ∈-+∈=-+=当[2,3],2[1,0],()(2)x x f x f x ∈-+∈-=-+= 做出函数()f x 图像，如下图所示： 令()()0g x f x x b =--=，当[1,0]x ∈-，()()0g x f x x b x b =--=-=，x b --=22(21)0x b x b +++=，221(21)4410,4b b b b ∆=+-=+==-，此时直线与()f x 在[1,0]x ∈-函数图像相切，与函数有两个交点， 同理154b =-，直线与()f x 在[4,5]x ∈函数图像相切，与函数有两个交点， 则要使函数()f x 在[1,4]内与直线y x b =+只有一个交点， 则b 满足15144b -<<-，()f x 周期为4， b 范围也表示为11544b <<， 所以所有b 的取值范围是11544,44k b k k Z +<<+∈. 故选:D.【点睛】本题考查函数零点的应用，根据函数的性质求出函数的周期性和对称性，利用数形结合思想是解决问题的关键，综合性较强，属于难题. 3．D 【分析】由奇函数的性质和函数的周期性，可得0、±2是函数()f x 的零点，将函数()f x 在区间[2,2]-上的零点个数为5，转化为当(0,2)x ∈时，20x x b -+>恒成立，且21x x b -+=在(0,2)有一解，由此构造关于b 的不等式组，解不等式组可得实数b 的取值范围. 【详解】解：由题意知，()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以(0)0f =，即0是函数()f x 的零点，因为()f x 是定义在R 上且以4为周期的周期函数，所以(2)(2)f f -=，且(2)(2)f f -=-，则(2)(2)0f f -==， 即2±也是函数()f x 的零点，因为函数()f x 在区间[2,2]-上的零点个数为5，且当(0,2)x ∈时，()2()ln f x x x b =-+，所以当(0,2)x ∈时，20x x b -+>恒成立，且21x x b -+=在(0,2)有一解，即214(1)=011122b b ∆=--⎧⎪⎨⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎩或2214(1)000102210b b b ∆=-->⎧⎪-+-≤⎨⎪-+->⎩， 解得114b <≤或54b =.故选：D. 【点睛】本题考查奇函数的性质，函数的周期性，对数函数的性质，函数的零点的综合应用，二次函数根的分布问题，难度比较大. 4．D 【分析】由()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，我们容易得出函数的最小正周期为3，进而由()()1101f f -==-，，我们求出一个周期内的函数值，进而利用分组求和法，得答案. 【详解】∵()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可知，∴()32f x f x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，∴()()33322f x f x f x ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭所以，()f x 是周期为3的周期函数，则()()()21311f f f =-+=-=同理()()()30301f f f =+==-，∵3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，∴有()32f x f x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∴()51122f f f ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()1212f f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，∴()11f =综上，()11f =，()21f =，()31f =-，()()()1231f f f ++= ∴()()()201912201916733f f f +++=⨯= 故选：D 【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用 5．B 【分析】由{}()||f x x x =-，可证(1)()f x f x +=，()f x 是周期为1的函数，求出11(,]22x ∈-的解析式，做出11(,]22x ∈-函数图像，利用周期性做出函数()f x 的图像，以及函数21|2|2y x =-图像，即可判断①②③④真假，得出结论.【详解】{}{}|(1)|)1||(111f f x x x x x x =-=+=+-++-，()f x ∴的周期为1，当0m =时，11(,]22x ∈-，102()102x x f x x x x ⎧--<≤⎪⎪==⎨⎪<≤⎪⎩，先做出11(,]22x ∈-函数()f x 图像，利用周期做出()f x 图像如下图所示：()f x 在(0,1)不具有单调性，①错误；函数()y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称，②正确； 函数()y f x =在1(,),2k k k Z +∈上单调递增，③正确；当1(0,]2x ∈时，21(),()22f x xg x x x ==+-，令21()0,202g x x x =+-=，解得x =或x =， 当1(,1]2x ∈时，23()1,()22f x x g x x x =-+=--+，令23()0,202g x x x =+-=，解得xx =， (1,2]x ∈时，()g x 无零点，当(0,2)x ∈时，函数21()()22g x f x x =--有两个零点，④正确. 故答案为:B.【点睛】,本题考查新定义函数的性质，涉及到周期、单调性、对称性、零点，考查数形结合思想，属于较难题. 6．D 【分析】根据题意可知()f x 是在R 上的奇函数且关于x=1对称，函数()()log a g x f x x =-恰有3个零点，等价于()f x 和log a x 有3个交点，当[]0,1x ∈时，函数()f x 的解析式已知，用数形结合的方法可求得a 的取值范围。

函数的周期性练习题函数的周期性练习题函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。

而函数的周期性则是指函数在一定范围内的数值变化是有规律的重复出现的特性。

在学习函数的周期性时，我们需要掌握一些相关的练习题，以加深对这一概念的理解。

一、正弦函数的周期性练习题正弦函数是最常见的周期性函数之一，它的图像呈现出波浪形状。

我们可以通过以下练习题来加深对正弦函数周期性的理解。

1. 求解正弦函数y = sin(x)的周期是多少？解析：正弦函数的周期是2π，即在每个2π的区间内，函数的数值变化会重复出现。

2. 求解正弦函数y = 2sin(x)的周期是多少？解析：对于y = 2sin(x)这个函数，我们可以发现它的系数是2，即函数的振幅是2倍。

振幅的变化不会影响函数的周期，因此，这个函数的周期仍然是2π。

3. 求解正弦函数y = sin(2x)的周期是多少？解析：对于y = sin(2x)这个函数，我们可以发现它的参数是2，即函数的自变量是原来的两倍。

根据函数周期的定义，我们可以得出新函数的周期是原来的周期除以参数，即周期为2π/2 = π。

二、余弦函数的周期性练习题余弦函数也是一种常见的周期性函数，它的图像呈现出波浪形状，与正弦函数相似。

以下是一些与余弦函数周期性相关的练习题。

1. 求解余弦函数y = cos(x)的周期是多少？解析：余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。

2. 求解余弦函数y = 3cos(x)的周期是多少？解析：对于y = 3cos(x)这个函数，我们可以发现它的系数是3，即函数的振幅是3倍。

振幅的变化不会影响函数的周期，因此，这个函数的周期仍然是2π。

3. 求解余弦函数y = cos(3x)的周期是多少？解析：对于y = cos(3x)这个函数，我们可以发现它的参数是3，即函数的自变量是原来的三倍。

根据函数周期的定义，我们可以得出新函数的周期是原来的周期除以参数，即周期为2π/3。

三、其他周期性函数的练习题除了正弦函数和余弦函数，还有许多其他的周期性函数，如正切函数、指数函数等。

函数周期性练习题函数周期性练习题函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。

而函数的周期性是函数理论中的一个重要概念，它在解决实际问题时起到了重要的作用。

本文将通过一些练习题来深入探讨函数的周期性。

1. 练习题一：给定函数f(x) = sin(x)，求解函数的周期。

解析：函数f(x) = sin(x)是一个三角函数，它的周期是2π。

这是因为sin(x)在区间[0, 2π]上的取值是一样的，即sin(0) = sin(2π) = 0，sin(π/2) = sin(5π/2) = 1等等。

2. 练习题二：给定函数g(x) = cos(2x)，求解函数的周期。

解析：函数g(x) = cos(2x)是一个三角函数，它的周期是π。

这是因为cos(2x)在区间[0, π]上的取值是一样的，即cos(0) = cos(π) = 1，cos(π/2) = cos(3π/2) = 0等等。

3. 练习题三：给定函数h(x) = tan(x)，求解函数的周期。

解析：函数h(x) = tan(x)是一个三角函数，它的周期是π。

这是因为tan(x)在区间[0, π]上的取值是一样的，即tan(0) = t an(π) = 0，tan(π/4) = tan(5π/4) = 1等等。

4. 练习题四：给定函数k(x) = 2^x，求解函数的周期。

解析：函数k(x) = 2^x是一个指数函数，它的周期是无穷大。

这是因为指数函数的图像是一条逐渐上升或下降的曲线，没有明显的周期性。

通过以上练习题，我们可以看出不同类型的函数具有不同的周期性。

三角函数的周期是有限的，而指数函数的周期是无穷大的。

这是因为三角函数的图像在一定区间内重复出现，而指数函数的图像则没有明显的重复特征。

函数的周期性在实际问题中有广泛的应用。

例如，在物理学中，周期函数常常用来描述物体的周期性运动；在工程学中，周期函数可以用来分析电路中的交流信号；在经济学中，周期函数可以用来描述经济波动等等。

函数的周期性周期函数的定义：对于函数f X，存在非0常数T，使得对于其定义域内总有f x T二f x，贝卩称的常数T为函数的周期。

周期函数的性质：1、f x二f x a，则y=f x是以T=a为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x) (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

3、若函数f x v =f x-a，则f x是以T =2a为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a) = — (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个f(X )周期。

5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 一丄(a>0),则f(x)为周期函数且2a是f(X )它的一个周期。

6、f(x a)二匕卫，则fx是以T=2a为周期的周期函数.1 +f(x)7、f(x.a)—」0，则f x是以T=4a为周期的周期函数.1 -f(x)8若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称，则f(x)为周期函数且2 (b-a)是它的一个周期。

9、函数厂f(x) R的图象关于两点A a,y。

、B b,y。

a ：：： b都对称，贝恼数f(x)是以2 b-a为周期的周期函数；10、函数y = f (x) x R的图象关于A a, y°和直线x = b a : b都对称，则函数f(x)是以4 b—a为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。

13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)( a>0),则f(x)为周期函数，6a是它的一个周期。

14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x) (x € R, T H 0),则f(T)=0.【试题举例】例1、(2006年山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)= -f(x),则,f(6)的值为(B)(A) - 1 (B) 0 (C) 1(D)2【考点分析】本题考查函数的周期性和奇偶性，基础题。

函数周期性和对称性（知识点，练习题）f(x T)f(x)恒成立为非零常数，对于定义域内的任一x，使一．定义：若T则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

二．重要结论xfy T aaxffx为周期的周期函数；是以1、，则2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

xfa fa xfx T2a为周期的周期函数是以若函数，则3、1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

4、y=f(x)满足f(x+a)=xf1 是它的一个周期。

f(x)为周期函数且2a5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= (a>0),则xf1f(x)xf T2a为周期的周期函数.6、是以，则a)f(x1f(x)1f(x)xf T4a为周期的周期函数7、是以，则.f(x a)1f(x)8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。

ba yB,ba,xRyA f(x))(xy f是以、9、函数都对称，则函数的图象关于两点00ab2为周期的周期函数；b ayaR,A x f(x))(xy f bx的图象关于和直线是以都对称，则函数10、函数0a4b 为周期的周期函数；a是它的一个周期。

2的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且11、若偶函数y=f(x)a 是它的一个周期。

x=a对称，则f(x)为周期函数且412、若奇函数y=f(x)的图像关于直线13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。

T)f(=0. ，T≠0), 则(x14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)∈R2函数的轴对称：三a b xfa x fb xfyy fx x对的图象关于直线定理1：如果函数满足，则函数2.称x y fxffa x fa xy ax. 的图象关于直线1推论：如果函数对称，则函数满足xffy xfx xfy0x轴）对称y（的图象关于直线，则函数满足：如果函数2推论四函数的点对称：b,axf a xfy f x2fba xy对称. 如果函数的图象关于点满足，则函数定理2：,0axf a xfy f x0fya x对称：如果函数的图象关于点. 满足，则函数推论30,0xf fy xy f xf x0对称.的图象关于原点4：如果函数特满足，则函数推论别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.五函数周期性的性质：xfxb)f x f(b f(a x)fxaa b）（其中R在上满足，则函数定理3：若函数，且bxa2y f为周期.以xfxb f f(b xf(a x)f)a x a b）（其中，在R上满足，定理4：若函数且则函ba2y f x为周期数以.xfxf bb x)x)f a x f(f(aa b）（其中定理5：若函数上满足，则函，且在R b4f xay为周期数.以以上几类情形具有一定的迷惑性,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析.xxff x4f2,xf上单调递，且函数满足在区间例1．已知定义为R的函数xfxf4x2xx x的值（）如果，且.，则增.221121A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负.44ff xfx x fx不过我们可以取特殊值代分析：，形似周期函数但事实上不是，4f fx x x2x变形，使入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用代替xf02,2,f2xfx2上单对称 3.因此图象关于点.为在区间.它的特征就是推论2,上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位调递增，在区间.（如图）x,2?2x4上单调递增，所以，且函数在124x x f x f4xff，，又由12xf f x444f()x f x402，有1111x0fxfxfxf4xfxf A.选.111121．当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为 A.[1,2])(x x)fx)f(x)f(2f(上是减函数，则若上定义的函数是偶函数，且在区间.练1：在R f(x)( ) [2,1][3,4]上是减函数上是增函数，在区间 A.在区间[2,1][3,4]上是减函数 B. 在区间上是增函数，在区间4][3,1]2,[上是增函数上是减函数，在区间 C. 在区间4][3,1]2,[上是增函数 D. 在区间上是减函数，在区间1))f(xx)f(2xf(对称，即分析：由可知图象关于x)(xf0x可得到为偶函数图象关于的应用.又因为对称，推论12][1,)f(xf(x)上是，结合在区间为周期函数且最小正周期为2)(xf B.减函数，可得如右故选草图)(xf0)f(xT若将方程练 2.定义在R上的函数是它的一个正周期既是奇函数，又是周期函数，.nn T,T）可能为（上的根的个数记为在闭区间，则 D.5 C.3A.0B.1TTTT)(f)f(T)f()f(0T)f()f(T，，分析：2222TT n0f())f(？∴可能为，则 5 22xfy xxf1x2x40x.都对称，且当时，．已知函数例2和的图象关于直线 5.f19.的值求xy f x ff2x22x分析：由推论1对称，即的图象关于直线，可知，xy f xfx ff4x4.为周期的函数43同样，知是以，现由上述的定理满足xf50 f. 5.0f443.5.f3.55f4f19是偶函数，所以，同时还知50.5.0.5f0f.2fff01999f x3214ffx f398x f2158x中．例3，，…，，则，. ）个不同的值最多有（D.199B.177C.183 A.1651056f f2158xf x3214xxffx398分析：由已知352704f fx1760x fx.1056xf2158x fffx3214f398xx又有x46x ff1102x1056f1102x1056f2158，351,ff0,,ff11,0,ff999,)f(x. 有周期352于是，于是中找到能在,ff,f2335124,23x)xf(对称，故这些值可以在又又的图像关于直线中找到.19924,f23,,ff199x)xf(.故这些值可以在个.对称，共有的图像关于直线177中找到 B.选x1fxxffxf ffxxx fffx f，3：已知，，，…，练n111n2x31f2.）则（20041xx11x xfx f x xff xx ff. ）知，，，可令分析：由x=f（x2131x313x3x11xf xxffx f2ff2)(xf，，为迭代周期函数，故20042004n37带进原函数中即将x=-21xf0f2005g x)(xff(x)是奇函数，是偶函数，且练4：函数上有定义，且满足在R，2005f .则的值为11ff x x f1x1gxx f x g1y x则，，令，解：0a ff y2ffxxy fx220050aa a，，即有，令，则，其中0n n2n200520052005n2005n f2005a0a i i i a i，，1n2005222005ff2003ffx f x22001f19990，得. 或有01f.21x的奇偶性判断函数练习：1、 f ( x ) =2|2|x解：由题0)1)(x1(x1x1201x24x2x0x且0||2x2( 0 , 1 ] 函数的定义域为∴[∪1 , 0 ) －2222x1)x(1x1x1又f(x)xx f ( x )22x()故是奇函数x六、抽象函数奇偶性的判定与证明f(x)x,y Rf(x y)f(x)f(y)，，都有对一切例 4.已知函数a)xf(f(12)af(3)表示）若，用是奇函数；（1）求证：（2f(x)f(x y)f(x)f(y)R中，，它关于原点对称．在的定义域是解：（1）显然y x f(0)f(x)f(x)x y0f(0)f(0)f(0)f(0)0，，得，令，得，∴令f(x))(x f(x)ff(x)f(x)0是奇函数．∴∴，即，f(x))(y f(x)ff(3)af(x y)是奇函数，）由（2及，f(12)2f(6)4f(3)4f(3)4a．得七、利用函数奇偶性求函数解析式或求值3x)x(1f(x))(xf)x(0,R，时，练习：已知是上的奇函数，且当30x),xx(1f(x))xf(则的解析式为30x),xx(11x1111f()f()f()ff(x)x log()的值+已知函数例7+，求+21x20052004200420051x0(1,1)得函数的定义域是解：由1x1x1xf(x)f(x)log log log10又2221x1x f(x)f(x)函数是奇函数成立，1111)f()f()f()f(=0 =0 ++20042005200520041111)()f(ff()()f=0∴+++2005200420052004设函数为奇函数，则－例81－∴f (－x∵解析:f(x)=)= ,又∵f(x)为奇函数,∴f (x)=－f (－x).22a1(a)x)(x a1xax1.－.∴=∴=∴ a12bax)x3bxa(fa1a,2a，练习：，则偶函数，定义域为是已知b=03．1aa12ab0，？解：31f(x3)23x,)f(x)(113.5(fx)2xf Rx都有，3、,则，且当设偶函数时，对任意)xf(的值为(D)1221 D. C.A. B.575711f(x6)f[(x3)3]f(x)?f(x3)解：)(x3f(x)f f(x)是以T6为周期的周期函数f（113.5）f（1865.5）f(5.5)f(60.5)f(0.5)111f(30.5)f( 2.5)53,2x)xf(f(x)xf(6.5),f( 1.5)f(5.5)是周期为4、已知的偶函数，当，时，，求例13f(x)f(x)f(x4)f(x)f(6.5)f(4 2.5)f(2.5) 2.5解：，f( 1.5)f( 1.54)f(2.5) 2.5f(5.5)f(5.54f(1.5)f( 1.5)f( 1.54)f(2.5) 2.5例14、是定义在R上的以3为周期的奇函数，且,则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 DA．2 B．3 C．4 D．5解析：依题可知f（x）=f（x+3）.f（2）=f（5）=0.又∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（－x）=－f（x）.∴f（－2）=－f（2）=0.∴f（－2）=f（1）=f（4）=0.又∵奇函数有f（0）=0，∴f（3）=f（6）=0.∴在（0，b）内f（x）=0解的个数最小值为 5.练习：1、已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则Df(10)＞D.f(7)f(9) ＞C.f(7)f(9) ＞B.f(6)f(7) ＞A.f(6)．解析：∵y=f(x+8)为偶函数，∴y=f(x)图象关于x=8对称.又∵y=f(x)在(8，+∞)上为减函数，∴y=f(x)在(－∞，8)上为增函数.∴f(7)=f(9)，f(9)＞f(10).∴f(7)＞f(10).2、(2006山东)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)＝-f(x)，则f(6)的值为 B(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2∵（）（）∴（）（）（）（）（）. f46=-f=f=f解析：f4+2x+22=-f=-fx2.（）（）∴（）=0.2 -f又=0 x6为R上的奇函数，∴ff，则使得的是定义在R上是减函数，且上的偶函数，在 3、x若函数的取值范围是（D）．D．（－2，．B2．C） A解析：∵f（2）=0且f（x）为偶函数，∴f（－2）=0.又∵f（x）在（－∞，0］递减，∴f（x）在（－2，0］递减.∴对于x∈（－2，0）必有f（x）<0.由对称性得对于x∈［0，2）必有f（x）<0.∴使得f（x）<0的范围是（－2，2）.=, f（x+2）=f（x）+f（2）,则f（5x4、设函数f（x）（∈R）为奇函数，f（1））等于（C）C. D.5B.1 A.0=1）R）为奇函数，f（）且f（x）（x∈）（解：fx+2）=f（x+f（2f(1)f(12)f(1)f(2)f(1)f(2) 111)2f(2)2f(25f(5)f(32)f(3)f(2)f(12)f(2)2f(2)f(1)2。

函数的周期性练习题一．选择题（共15小题）1．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．1 B．C．﹣1 D．﹣2．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣3．设偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣且当x∈[﹣3，﹣2]时f（x）=4x，则f（119.5）=（）A．10 B．﹣10 C．D．﹣4．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=3，则f（8）﹣f（4）的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．25．已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x+log2x，则f（2015）=（）A．﹣2 B．C．2 D．56．设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f（2014）+f（2015）=（）A．3 B．2 C．1 D．07．已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足：，当2≤x≤3，f（x）=x，则f（5.5）=（）A．5.5 B．﹣5.5 C．﹣2.5 D．2.58．奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3x+，则f（log354）=（）A．﹣2 B．﹣ C．D．29．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，且周期是4，若f（1）=5，则f（2015）（）A．5 B．﹣5 C．0 D．310．f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f（f（5））=（）A．﹣5 B．C．D．5 11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+5）=f（x﹣5），且0≤x≤5时，f（x）=4﹣x，则f（1003）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2 12．函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时f（x）=x2﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为（）A．6 B．7 C．8 D．913．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（2014）+f（﹣2015）+f（2016）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1 14．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|2x2﹣4x+1|，则方程f（x）=在[﹣3，4]解的个数（）A．4B．8C．9D．1015．已知最小正周期为2的函数f（x）在区间[﹣1，1]上的解析式是f（x）=x2，则函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空题（共10小题）16．已知定义在R上的函数f（x），满足f（1）=，且对任意的x都有f（x+3）=，则f（2014）=．17．若y=f（x）是定义在R上周期为2的周期函数，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为．18．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2013）的值为．19．定义在R上的函数f （x）的图象关于点（﹣，0）对称，且满足f （x）=﹣f （x+），f （1）=1，f （0）=﹣2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2010）的值为=．20．定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，则f（2011）=．21．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=．22．若函数f（x）是周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f （8）﹣f（14）=．23．设f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f（2）＞1，f（2014）=，则实数a的取值范围是．24．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=．25．若f（x+2）=，则f（+2）•f（﹣14）=．一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（log2）=1 故f（log220）=﹣1 故选C2．【解答】解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=．故选B3．【解答】解：∵函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣，∴f（x+3）=﹣，则f（x+6）=f（x），即函数f（x）的周期为6，∴f（119.5）=f（20×6﹣0.5）=f（﹣0.5）=﹣=﹣，又∵偶函数f（x），当x∈[﹣3，﹣2]时，有f（x）=4x，∴f（119.5）=﹣=﹣=﹣=．故选：C．4．【解答】解：f（x）是R上周期为5的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），∵f（1）=﹣f（﹣1），可得f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，因为f（2）=﹣f（2），可得f（﹣2）=﹣f（2）=﹣3，∴f（8）=f（8﹣5）=f（3）=f（3﹣5）=f（﹣2）=﹣3，f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1）=﹣1，∴f（8）﹣f（4）=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，故选C；5．【解答】解：∵f（x）的周期为4，2015=4×504﹣1，∴f（2015）=f（﹣1），又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（2015）=﹣f（1）=﹣21﹣log21=﹣2，故选：A．6．【解答】解：由图象知f（1）=1，f（﹣1）=2，∵f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，∴f（2014）+f（2015）=f（1）+f（﹣1）=1+2=3，故选：A7．【解答】解：∵，∴==f（x）∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）的一个周期为4∴f（5.5）=f（1.5+4）=f（1.5）∵f（x）是定义在R上的偶函数∴f（5.5）=f（1.5）=f（﹣1.5）=f（﹣1.5+4）=f（2.5）∵当2≤x≤3，f（x）=x∴f（2.5）=2.5∴f（5.5）=2.5 故选D8．【解答】解：∵f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是以4为周期的奇函数，又∵，∵，∴，∴f（log354）=﹣2，故选：A．9．【解答】解：在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0则：f（﹣x）=﹣f（x）所以函数是奇函数由于函数周期是4，所以f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣5 故选：B 10．【解答】解：∵f（x+2）=∴f（x+2+2）==f（x）∴f（x）是以4为周期的函数∴f（5）=f（1+4）=f（1）=﹣5f（f（5））=f（﹣5）=f（﹣5+4）=f（﹣1）又∵f（﹣1）===﹣∴f（f（5））=﹣故选B11．【解答】解：∵f（x+5）=f（x﹣5），∴f（x+10）=f（x），则函数f（x）是周期为10的周期函数，则f（1003）=f（1000+3）=f（3）=4﹣3=1，故选：C．12．【解答】解：当0≤x＜2时，f（x）=x2﹣x=0解得x=0或x=1，因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，故f（x）=0在区间[0，6）上解的个数为6，又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间[0，6]上解的个数为7，即函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7，故选：B．13．【解答】解：∵f（x+2）=f（x），∴f（2014）=f（2016）=f（0）=log21=0，∵f（x）为R上的奇函数，∴f（﹣2015）=﹣f（2015）=﹣f（1）=﹣1．∴f（2014）+f（﹣2015）+f（2016）=0﹣1+0=﹣1．故选A．14．【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|2x2﹣4x+1|，在同一坐标系中画出函数f（x）与y=的图象如下图：由图象可知：函数y=f（x）与y=在区间[﹣3，4]上有10个交点（互不相同），所以方程f（x）=在[﹣3，4]解的个数是10个，故选：D．15．【解答】解：∵函数f（x）的最小正周期为2，∴f（x+2）=f（x），∵f（x）=x2，y=g（x）=|log5x|∴作图如下：∴函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数为5，故选：C二．填空题（共10小题）16．【解答】解：∵对任意的x都有f（x+3）=，∴f（x+6）==f（x），∴函数f（x）为周期函数，且周期T=6，∴f（2014）=f（335×6+4）=f（4）=f（1+3）==﹣5 故答案为：﹣517【解答】解：当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，函数y=f（x）的周期为2，x∈[﹣1，0]时，f（x）=2﹣x﹣1，可作出函数的图象；图象关于y轴对称的偶函数y=log5|x|．函数y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，当x＞5时，y=log5|x|＞1，此时函数图象无交点，如图：又两函数在x＞0上有4个交点，由对称性知它们在x＜0上也有4个交点，且它们关于直线y轴对称，可得函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为8；故答案为8；18．【解答】解：由分段函数可知，当x＞0时，f（x）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2），∴f（x+1）=f（x）﹣f（x﹣1）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2）﹣f（x﹣1），∴f（x+1）=﹣f（x﹣2），即f（x+3）=﹣f（x），∴f（x+6）=f（x），即当x＞0时，函数的周期是6．∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=﹣f（0）=﹣log2（8﹣0）=﹣log28=﹣3，故答案为：﹣3．19．【解答】解：由f （x）=﹣f （x+）得f （x+3）=f[（x+）+]=﹣f （x+）=f （x）.所以可得f （x）是最小正周期T=3的周期函数；由f （x）的图象关于点（，0）对称，知（x，y）的对称点是（﹣﹣x，﹣y）．即若y=f （x），则必﹣y=f （﹣﹣x），或y=﹣f （﹣﹣x）．而已知f （x）=﹣f （x+），故f （﹣﹣x）=f （x+），今以x代x+，得f （﹣x）=f （x），故知f （x）又是R上的偶函数．于是有：f （1）=f （﹣1）=1；f （2）=f （2﹣3）=f （﹣1）=1；f （3）=f （0+3）=f （0）=﹣2；∴f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每连续3项之和为0．而2010=3×670，于是f （2010）=0；故答案为0．20．【解答】解：由题意知，定义在R上的函数f（x）有，则令x=x+2代入得，∴f（x+4）===f（x），∴函数f（x）是周期函数且T=4，∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3），∵当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，∴f（3）=8．即f（2011）=8．故答案为：8．21．【解答】解：∵当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，∵当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，又∵f（x+6）=f（x）．故f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，又∵2012=335×6+2，故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f （5）+f（6）]+f（1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为：33822．【解答】解：由题意可得，f（8）=f（8﹣10）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，f（14）=f（14﹣15）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，故有f（8）﹣f（14）=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，故答案为﹣1．23．【解答】解：解：由f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，则f（x+3）=f（x），f（﹣x）=﹣f（x），∴f（2014）=f（3×672﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2），又f（2）＞1，∴f（2014）＜﹣1，即＜﹣1，即为＜0，即有（3a﹣2）（a+1）＜0，解得，﹣1＜a＜，故答案为：．24．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案为：﹣．25．【解答】解：由题意可得f（+2）=sin=sin（6π﹣）=﹣sin=﹣，同理可得f（﹣14）=f（﹣16+2）=log216=4，∴f（+2）•f（﹣14）=﹣×4=，故答案为：三．解答题（共5小题）26．【解答】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为4的周期函数；（2）解：当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，由已知得f（﹣x）=2（﹣x）﹣（﹣x）2=﹣2x﹣x2，又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣2x﹣x2，∴f（x）=x2+2x，又当x∈[2，4]时，x﹣4∈[﹣2，0]，∴f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4），又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（x）=f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4）=x2﹣6x+8，从而求得x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8；（3）解：f（0）=0，f（2）=0，f（1）=1，f（3）=﹣1，又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=…=f（2 000）+f（2 001）+f（2 002）+f（2 003）=0．∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2 004）=0+f（2004）=0．27．【解答】解：（1）当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，又f（x）是偶函数则，x∈[﹣1，0]．（2），∵1﹣log32∈[0，1]，∴，即．28．【解答】解：（1）令x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，∴f（﹣x）=2﹣x﹣1．又∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，∴．（2）∵f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数，∴，∴，∴．29．【解答】解：∵函数f（x）的周期为3，∴f（﹣2014）=f（﹣671×3﹣1）=f（﹣1），∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（12﹣1+2）=﹣2，∴f（﹣2014）=﹣2．30．【解答】解；（1）因为奇函数f（x）的定义域为R，周期为2，所以f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1），且f（﹣1）=﹣f（1），于是f（﹣1）=0．…（2分）当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2﹣x+2x）=﹣2x﹣2﹣x．…（5分）所以f（x）在[﹣1，0）上的解析式为…（7分）（2）f（x）在（﹣2，﹣1）上是单调增函数．…（9分）先讨论f（x）在（0，1）上的单调性．设0＜x1＜x2＜1，则因为0＜x1＜x2＜1，所以，于是，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x）在（0，1）上是单调增函数．…（12分）因为f（x）的周期为2，所以f（x）在（﹣2，﹣1）上亦为单调增函数．…（14分）。

函数的周期性--经典例题函数的周期性周期函数的定义：对于函数()x f ，存在非0常数T ，使得对于其定义域内总有()()x f T x f =+，则称的常数T 为函数的周期。

周期函数的性质：1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

5、若函数y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

6、1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.7、1()()1()f x f x a f x ++=--，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。

9、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。

13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数，6a 是它的一个周期。

高中数学 函数的周期性练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，f(0)=2，则f(10)=( ) A.−4 B.−2 C.2 D.42. 若f(x)是R 上周期为3的偶函数，且当0<x ≤32时，f(x)=log 4x ，则f(−132)=( ) A.−2 B.2 C.−12D.123. 已知函数f (x )满足f (1+x )=f (1−x )，且f (−x )=f (x )，当1≤x ≤2时，f (x )=2x −1，则f (2021)的值为( ) A.2 B.1 C.0 D.−14. 已知函数f(x)满足f(1+x)+f(1−x)=0，且f(−x)=f(x)，当1≤x ≤2时，f(x)=2x −1，求f(2017)=( ) A.−1 B.0 C.1 D.25. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，当x ∈[0, 1]时，f(x)=−x +1，设函数g(x)=e −|x−1|(−1<x <3)，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为( ) A.3 B.4 C.5 D.66. 已知函数y =f (x )对任意x ∈R 都有f (x +2)=f (−x )且f (4−x )+f (x )=0成立，若f (0)=1，则f (2019)+f (2020)+f (2021)的值为（ ） A.1 B.2 C.0 D.−27. 定义在R 上的偶函数f (x )满足f (1−x )=f (1+x )，当x ∈(−1,0]时，f (x )=tan πx 3，则f (194)=（ ）A.−1B.−2C.0D.18. 已知f (x )是R 上的偶函数且满足f (x +3)=−f (x )，若f (1)>7，f (2021)=4+3a ，则实数a 的取值范围为（ ） A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(−∞,0)D.(−∞,1)9. 已知函数f (x )满足：对任意x ∈R ，f (−x )=−f (x )，f (2−x )=f (2+x )，且在区间[0,2]上，f (x )=x 22+cos x −1 ，m =f(√3)，n =f (7)，t =f (10)，则( )A.m <n <tB.n <m <tC.m <t <nD.n <t <m10. 定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2−x )=f (2+x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )={e x −1,0≤x ≤1,x 2−4x +4,1<x ≤2. 若关于x 的不等式m|x|≤f (x )的整数解有且仅有9个，则实数m 的取值范围为（ ） A.(e−17,e−15] B.[e−17,e−15] C.(e−19,e−17] D.[e−19,e−17]11. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=f (x +5)，当x ∈[−2,0)时，f (x )=−(x +2)2，当x ∈[0,3)时，f (x )=x ，则f (1)+f (2)+⋯+f (2021)=( ) A.809 B.811 C.1011 D.101312. 设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)=x ⋅(1+x)，则f(−92)=________．13. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x +2)=−f (x )，则f (2016)=________.14. 已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x)＝−f(x +2)，若当x ∈[0, 2)时，f(x)＝3x ，则f(2019)＝________15. 已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 均有f (x +4)=−f (x )+2√2，若函数f (x −2)的图象关于直线x =2对称，则f (2018)=________．16. 已知函数f (x )为R 上的奇函数，且f (−x )=f (2+x )，当x ∈[0,1]时，f (x )=2x +a 2x，则f (101)+f (105)的值为________.17. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x )．当x ∈[−3,3)时，f (x )={−(x +2)2,−3≤x <−1，x,−1≤x <3，则f (4)=________；f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (2016)+f (2017)=________．18. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(−x)，当x∈[−1,0]时，f(x)=x2+2x，则f(2021)=________．19. 已知函数f(x)满足f(2−x)=f(2+x)，当x≤2时，f(x)=−x2+kx+2.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[2,4]上的最大值．．20. 已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4，且x∈(0, 2)时，f(x)=e xx(1)求f(x)在[−2, 2]上的解析式；(2)若|f(x)|≥λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．21. 已知函数f(x)在R上满足f(2−x)=f(2+x)，f(7−x)=f(7+x)且在闭区间[0,7]上，只有f(1)=f(3)=0．试判断函数y=f(x)的奇偶性；试求方程f(x)=0在闭区间[−2011,2011]上根的个数，并证明你的结论．22. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=−f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)=2x−x2．求证：f(x)是周期函数；当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；计算f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(2013)．23. 已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0, 1)时，f(x)=2x．4x+1（1）证明f(x)在(0, 1)上为减函数；（2）求函数f(x)在[−1, 1]上的解析式；（3）当λ取何值时，方程f(x)＝λ在R上有实数解．参考答案与试题解析高中数学 函数的周期性练习题含答案一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 3 分 ，共计33分 ） 1.【答案】 C【考点】 函数的求值函数奇偶性的性质 函数的周期性【解析】根据题意，分析可得f(x)是周期为2的周期函数，则有f(10)＝f(0)，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)， 又由f(x)为偶函数，则有f(−x)=f(x)， 即f(x −1)=f(1−x)=f(1+x)， 所以f(x)=f(2+x)，则函数f(x)是周期为2的周期函数， 故f(10)=f(0)=2. 故选C . 2.【答案】 C【考点】 函数的周期性 偶函数 【解析】根据题意，由函数的奇偶性与周期性可得f(−132)=f(−12)=f(12)，结合函数的解析式分析可得答案． 【解答】解：由题意得f(x)是R 上周期为3的偶函数， 则f(−132)=f(−12)=f(12).因为当0<x ≤32时，f(x)=log 4x ，所以f(12)=log 412=−12， 所以f(−132)=−12. 故选C .3. 【答案】 B【考点】函数的周期性函数的求值【解析】由已知得f(1+x)=−f(1−x)=−f(x−1)．从而得到|f(x+4)=f(x)，再由当1≤x≤2时，f(x)=2x−1，能求出f(2021)的值．【解答】解：∵f(1+x)=f(1−x)，且f(−x)=f(x)，则f[1+(1+x)]=f[1−(1+x)]，即f(2+x)=f(−x)=f(x).∵ f(x)是以2为周期的周期函数，当1≤x≤2时，f(x)=2x−1∴f(2021)=f(2×1010+1)=f(1)=21−1=1.故选B．4.【答案】C【考点】函数的周期性函数的求值【解析】由已知得f(1+x)＝−f(1−x)＝−f(x−1)，从而得到f(x+4)＝f(x)，再由当1≤x≤2时，f(x)＝2x−1，能求出f(2017)的值．【解答】解：∵f(1+x)+f(1−x)=0，且f(−x)=f(x)，∴f(1+x)=−f(1−x)=−f(x−1).令x−1=t，得f(t+2)=−f(t)，∴f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，∴f(x)以4为周期的周期函数.∵当1≤x≤2时，f(x)=2x−1，∴f(2017)=f(4×504+1)=f(1)=21−1=1．故选C．5.【答案】B【考点】函数的周期性函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(1+x)=f(1−x)，且f(x)为定义在R上的偶函数，所以有f(1+x)=f(1−x)=f(x−1)，即f(x+2)=f(x)，函数f(x)为周期为2的偶函数，且关于x=1对称.又因为g(x)=e−|x−1|(−1<x<3)关于x=1对称，所以f(x)与g(x)的图象一共有四个交点，交点的横坐标之和为2+2=4.故选B.6.【答案】A【考点】函数的求值函数的周期性【解析】由题意，根据f(x+2)=f(−x)以及f(4−x)=−f(x)可推导y=f(x)是周期为4的周期函数，可得f(2019)=f(3)，f(2021)=f(1)，代入f(4−x)=−f(x)可计算结果，又f(2020)=f(0)=0，代入计算即可．【解答】解：已知f(x+2)=f(−x)，则f(2−x)=f(x).又f(4−x)=−f(x)，可得f(4−x)+f(2−x)=0，所以f(x+2)=−f(x)，即f(x+4)=f[(x+2)+2]=−f(x+2)=f(x)，可得函数y=f(x)是周期为4的周期函数，则f(2019)=f(3)，f(2020)=f(0)，f(2021)=f(1).因为f(4−x)+f(x)=0，所以f(4−1)+f(1)=0，即f(3)+f(1)=0，可得f(2019)+f(2020)+f(2021)=0+1=1.故选A．7.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，则f(−x)=f(2+x)，又由f(x)为偶函数，则有f(−x)=f(x)，则f(x+2)=f(x)，函数f(x)是周期为2的偶函数，故f(194)=f(34)=f(−34)=tan[π3×(−34)]=−1．故选A．8.【答案】B函数奇偶性的性质函数的周期性【解析】【解答】解：因为f(x+3)=−f(x)，所以f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数，所以f(2021)=f(6×337−1)=f(−1)=f(1)．因为f(1)>7，所以f(2021)=4+3a>7，解得a>1．故选B．9.【答案】B【考点】函数的周期性利用导数研究函数的单调性奇偶性与单调性的综合【解析】由f(−x)=−f(x)，f(2−x)=f(2+x)判断出该函数的奇偶性及对称性、周期性．再将自变量转变到同一周期内利用单调性进行比大小．【解答】解：∵f(−x)=−f(x)，f(2−x)=f(2+x)，∴f(x)为奇函数，∴f[2−(x+2)]=f(2+x+2)，即f(−x)=f(x+4)=−f(x)，∴f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，即f(x)的最小正周期为8，∴f(7)=f(8−1)=f(−1)=−f(1)，f(10)=f(8+2)=f(2)，当x∈[0,2]时，f(x)=x 22+cos x−1,f′(x)=x−sin x，f′′(x)=1−cos x≥0，∴f′(x)=x−sin x为单调递增函数，f′(x)≥f′(0)=0，∴f(x)=x22+cos x−1为单调递增函数，即当x∈[0,2]时，f(x)≥f(0)=0，∴−f(1)<0，0<f(1)<f(√3)<f(2)，∴f(7)<f(√3)<f(10)，即n<m<t．故选B．10.C【考点】 函数的周期性 函数奇偶性的性质 分段函数的应用根的存在性及根的个数判断【解析】本题考查函数的图象与性质及不等式与函数的结合． 【解答】解：∵ f (−x )=f (x )，f (2−x )=f (2+x )，∴ f(2+x)=f(−x −2)=f(−x +2)，∴ f (x +4)=f (x )，即f (x )是以4为周期的函数，作出函数f (x )的图象如图所示．令g (x )=m|x|，将g (x )的图象绕坐标原点旋转可得 {7m ≤e −1,9m >e −1,即{m ≤e−17,m >e−19 则实数m 的取值范围为(e−19,e−17]．故选C ． 11.【答案】 A【考点】 函数的周期性 函数的求值【解析】【解答】解：由f (x )=f (x +5)可知f (x )周期为5， 因为当x ∈[−2,0)时，f (x )=−(x +2)2； 当x ∈[0,3)时，f (x )=x ，所以f (−2)+f (−1)+f (0)+f (1)+f (2)=2. 又因为f (x )周期为5，所以f (x )+f (x +1)+f (x +2)+f (x +3)+f (x +4)=2， 因此f (1)+f (2)+⋯+f (2021)=f (1)+[f (2)+f (3)+f (4)+f (5)+f (6)]+⋯+f (2021) =f (1)+2×404 =809. 故选A ．二、 填空题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ） 12.−34【考点】 函数的周期性 函数奇偶性的性质 函数的求值 【解析】由奇函数的性质可得，f(−92)=−f(92)，由周期性可得f(92)=f(92−4)=f(12)，进而得解． 【解答】解：由题意可得，f(−92)=−f(92)=−f(92−4)=−f(12)=−12×(1+12)=−12×32=−34． 故答案为：−34. 13.【答案】 0【考点】 函数的求值 函数的周期性 函数奇偶性的性质【解析】由f (x +2)=−f (x )可得f (x )是周期为4的函数，把f (2016)转化成f (0)）求解即可． 【解答】解：对任意实数x ，恒有f (x +2)=−f (x )，则f(x +4)=f(x +2+2)=−f(x +2)=f(x)， 所以f (x )是周期为4的函数， 所以f (2016)=f (0)，又f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (0)=0， 所以f (2016)=0. 故答案为：0. 14.【答案】 −3【考点】 求函数的值 函数的周期性 函数的求值【解析】推导出f(x+4)＝−f(x+2)＝f(x)，当x∈[0, 2)时，f(x)＝3x，从而f(2019)＝f(3)＝−f(1)，由此能求出结果．【解答】∵函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝−f(x+2)，∴f(x+4)＝−f(x+2)＝f(x)，当x∈[0, 2)时，f(x)＝3x，∴f(2019)＝f(3)＝−f(1)＝−(3)故答案为：−(3)15.【答案】√2【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性【解析】由已知条件推导出f(−x)=f(x)，故f(x)为偶函数．由f(x+4)=−f(x)+2√2，得f(x+4+4)=−f(x+4)+2√2=f(x)，所以f(x)是周期为8的偶函数，所以f(2018)=f(2+252×8)=f(2)，由此能求出结果．【解答】解：由函数f(x−2)的图象关于直线x=2对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．由f(x+4)=−f(x)+2√2，得f(x+4+4)=−f(x+4)+2√2=f(x)，所以f(x)是周期为8的偶函数，所以f(2018)=f(2+252×8)=f(2)，又f(2)=−f(−2)+2√2，f(−2)=f(2)，所以f(2)=√2．故答案为：√2．16.【答案】3【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性函数的求值【解析】暂无【解答】解：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=1+a=0，所以a=−1，(0≤x≤1)，所以f(x)=2x−12x.则f(1)=32又因为f (x )为奇函数，所以f (−x )=f (2+x )=−f (x )，则f (x +4)=f (x )，所以f (x )的周期为4，所以f (101)+f (105)=2f (1)=32×2=3. 故答案为：3.17.【答案】0,337【考点】函数的求值函数的周期性【解析】先由f (x +6)=f (x )判断周期为6，直接计算f (4)；然后计算2017=6×36+1，把f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (2016)+f (2017)转化为=336×[f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (6)]+f (2017) ，即可求解．【解答】解：因为f (x +6)=f (x )，所以函数f (x )的周期为6的周期函数，当x ∈[−3,3)时，f (x )={−(x +2)2,−3≤x <−1,x,x −1≤x <3,所以f (4)=f (−2)=−(−2+2)2=0，因为2017=6×336+1，f (1)=1，f (2)=2，f (3)=f (−3)=−(−3+2)2=−1， f (4)=0，f (5)=f (−1)=−1，f (6)=f (0)=0，所以f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (2016)+f (2017)=336×[f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (6)]+f (2017)=36×(1+2−1+0−1+0)+1=337．故答案为：0；337．18.【答案】1【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性【解析】无【解答】解：因为f (x )是奇函数，所以f (x +2)=f (−x )=−f (x )，所以f (x +4)=f(x +2+2)=−f(x +2)=f (x )，所以f (x )的周期为4.所以f (x +4)=f (x )，故f (x )是以4为周期的周期函数，则f (2021)=f (4×505+1)=f (1)=−f (−1)=−[(−1)2−2]=1．故答案为：1．三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）19.【答案】解：(1)因为f (2−x )=f (2+x )，所以f (x )=f (4−x )，当x >2时，4−x <2，则f (x )=f (4−x )=−(4−x )2+k (4−x )+2=−x 2+(8−k )x +4k −14，故f (x )的解析式为f (x )={−x 2+kx +2, x ≤2,−x 2+(8−k )x +4k −14,x >2.(2)当x ∈[2,4]时，f (x )=−x 2+(8−k )x +4k −14=−(x −8−k 2)2+k 2+84． 当8−k 2≥4，即k ≤0时，f (x )在[2,4]上单调递增，则f (x )max =f (4)=2；当8−k 2≤2，即k ≥4时，f (x )在[2,4]上单调递减，则f (x )max =f (2)=2k −2；当2<8−k 2<4，即0<k <4时，f (x )max =f (8−k 2)=k 2+84． 综上所述，f (x )max ={ 2，k ≤0,k 2+84，0<k <4,2k −2，k ≥4.【考点】函数的周期性二次函数在闭区间上的最值分段函数的应用函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】解：(1)因为f (2−x )=f (2+x )，所以f (x )=f (4−x )，当x >2时，4−x <2，则f (x )=f (4−x )=−(4−x )2+k (4−x )+2=−x 2+(8−k )x +4k −14，故f (x )的解析式为f (x )={−x 2+kx +2, x ≤2,−x 2+(8−k )x +4k −14,x >2.(2)当x ∈[2,4]时，f (x )=−x 2+(8−k )x +4k −14=−(x −8−k 2)2+k 2+84． 当8−k 2≥4，即k ≤0时，f (x )在[2,4]上单调递增，则f(x)max=f(4)=2；当8−k2≤2，即k≥4时，f(x)在[2,4]上单调递减，则f(x)max=f(2)=2k−2；当2<8−k2<4，即0<k<4时，f(x)max=f(8−k2)=k2+84．综上所述，f(x)max={2，k≤0,k2+84，0<k<4,2k−2，k≥4.20.【答案】解：(1)当x∈(−2, 0)时，−x∈(0, 2)，∴f(−x)=e−x−x =−1xe x，又f(x)为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，∴f(x)=1xe x.当x=0时，由f(−0)=−f(0)可知，f(0)=0. 又∵ f(x+4)=f(x)，∴f(−2)=f(−2+4)=f(2)，即−f(2)=f(2)，∴ f(2)=0，∴f(−2)=f(2)=0.综上，f(x)={1xe x (−2<x<0), 0(x=0,±2), e xx(0<x<2).(2)|f(x)|≥λ对任意x∈R恒成立，等价于|f(x)|min≥λ.∵f(x)的最小正周期为4，∴只需求x∈[−2, 2]时的|f(x)|min，由(1)可知，x∈[−2, 2]时，|f(x)|min=0，此时，x=0或±2，∴λ≤0．【考点】函数恒成立问题函数的周期性奇函数【解析】（1）由f(x)是x∈R上的奇函数，得f(0)=0．再由最小正周期为4，得到②和f(−2)的值．然后求(−2, 0)上的解析式，通过在(−2, 0)上取变量，转化到(0, 2)上，即可得到结论．（2）|f(x)|≥λ等价于|f(x)|min≥λ，由f(x)的最小正周期为4得，问题转化为求x∈[−2, 2]时的|f(x)|min，由（1）易求；【解答】解：(1)当x∈(−2, 0)时，−x∈(0, 2)，∴f(−x)=e−x−x =−1xe x，又f(x)为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，∴f(x)=1xe x.当x=0时，由f(−0)=−f(0)可知，f(0)=0. 又∵ f(x+4)=f(x)，∴f(−2)=f(−2+4)=f(2)，即−f(2)=f(2)，∴ f(2)=0，∴f(−2)=f(2)=0.综上，f(x)={1xe x (−2<x<0), 0(x=0,±2), e xx(0<x<2).(2)|f(x)|≥λ对任意x∈R恒成立，等价于|f(x)|min≥λ.∵f(x)的最小正周期为4，∴只需求x∈[−2, 2]时的|f(x)|min，由(1)可知，x∈[−2, 2]时，|f(x)|min=0，此时，x=0或±2，∴λ≤0．21.【答案】函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．∵f(x)=f[2+(x−2)]=f[2−(x−2)]=f(4−x)，f(x)=f[7+(x−7)]=f(7−(x−7))=f(14−x)，∴f(14−x)=f(4−x)，即f[10+(4−x)]=f(4−x)，∴f(x+10)=f(x)，即函数f(x)的周期为10.又∵f(1)=f(3)=0，∴f(1)=f(1+10n)=0(n∈Z)，f(3)=f(3+10n)=0(n∈Z)，即x=1+10n和x=3+10n(n∈Z)均是方程f(x)=0的根．由−2011≤1+10n≤2011及n∈Z可得n=0,±1,±2,±3，⋯，±201，共403个；由−2011≤3+10n≤2011及n∈Z可得n=0,±1,±2,±3，⋯，±200,−201，共402个；所以方程f(x)=0在闭区间[−2011,2011]上的根共有805个．【考点】函数的周期性抽象函数及其应用函数的图象与图象变化【解析】此题暂无解析【解答】若y=f(x)为偶函数，则f(−x)=f(2−(x+2))=f(2+(x+2))=f(4+x)=f(x)，∴f(7)=f(3)=0，这与f(x)在闭区间[0,7]上，只有f(1)=f(3)=0矛盾；因此f(x)不是偶函数．若y=f(x)为奇函数，则f(0)=f(−0)=−f(0)，∴f(0)=0，这与f(x)在闭区间[0,7]上，只有f(1)=f(3)=0矛盾；因此f(x)不是奇函数．综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．略22.【答案】证明∵f(x+2)=−f(x)，∴f(x+4)=−f(x+2)=f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．f(x)=x2−6x+8,x∈[2,4]．1【考点】函数的周期性奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】思维启迪：只需证明f(x+T)=f(x)，即可说明f(x)是周期函数；探究提高判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．解∵x∈[2,4]，∴−x∈[−4,−2]，∴4−x∈[0,2]，∴f(4−x)=2(4−x)−(4−x)2=−x2+6x−8，又f(4−x)=f(−x)=−f(x)，∴−f(x)=−x2+6x−8，即f(x)=x2−6x+8,x∈[2,4]．思维启迪：由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[−2,0]上的解析式，进而求f(x)在[2,4]上的解析式；探究提高判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．解∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=−1．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=⋯=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0．∴f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(2013)=f(0)+f(1)=1．思维启迪：由周期性求和．探究提高判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．23.【答案】证明：设x1,x2∈(0,1)x1<x2，=(4x1+1)(4x2+1)⋯∵0<x1<x2<1，∴2x2>2x1,2x1+x2>1∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0, 1)上为减函数．若x∈(−1, 0)，∴−x∈(0, 1)，∴f(−x)=2−x4−x+1，又∵f(x)为奇函数，∴f(−x)=2−x4−x+1=−f(x)，∴f(x)=−2−x4−x+1⋯又∵f(−1)＝f(1)，且f(−1)＝−f(1)，∴f(1)＝f(−1)＝0∴f(x)={2x4x+1,x∈(0,1) 0,x=0x=±1−2x4x+1,x∈(−1,0)⋯若x∈(0, 1)，∴f(x)=2x4x+1=12x+12x又∵2x+12x ∈(2,52)，∴f(x)∈(25,12 )，若x∈(−1, 0)，∴f(x)=−2x4x+1=−12x+12x，∴f(x)∈(−12,−25)，∴λ的取值范围是{λ|λ=0,−12<λ<−25,25<λ<12}．…12分【考点】函数的周期性函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）利用函数单调性的定义证明．（2）利用函数的周期性和奇偶性求对应的解析式．（3）利用函数的性质求函数f(x)的值域即可．【解答】证明：设x1,x2∈(0,1)x1<x2，=(4x1+1)(4x2+1)⋯∵0<x1<x2<1，∴2x2>2x1,2x1+x2>1∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0, 1)上为减函数．若x∈(−1, 0)，∴−x∈(0, 1)，∴f(−x)=2−x4−x+1，又∵f(x)为奇函数，∴f(−x)=2−x4−x+1=−f(x)，∴f(x)=−2−x4−x+1⋯又∵f(−1)＝f(1)，且f(−1)＝−f(1)，∴f(1)＝f(−1)＝0∴f(x)={2x4x+1,x∈(0,1) 0,x=0x=±1−2x4x+1,x∈(−1,0)⋯若x∈(0, 1)，∴f(x)=2x4x+1=12x+12x又∵2x+12x ∈(2,52)，∴f(x)∈(25,12 )，若x∈(−1, 0)，∴f(x)=−2x4x+1=−12x+12x，∴f(x)∈(−12,−25)，∴λ的取值范围是{λ|λ=0,−12<λ<−25,25<λ<12}．…12分。

函数周期性分类解析x，使 f (x T) f (x) 恒成立一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

二．重要结论1、f x f x a ，则y f x 是以T a为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期3、若函数f x a f x a ，则 f x 是以T 2a 为周期的周期函数14、y=f(x)满足f(x+a)= (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期fx15、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 1(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周fx 期。

6、f(x a) 1 f (x)，则 f x 是以T 2a为周期的周期函数.1 f (x)7、f(x a) 11 f f((x x))，则 f x 是以T 4a为周期的周期函数8、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 1 f (x)(x∈R，a>0),则f(x)为周期函数且4a是它的1 f (x)一个周期9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2( b-a) 是它的一个周期。

10、函数y f (x) x R 的图象关于两点 A a,y0 、B b,y0 a b 都对称，则函数f(x)是以2 b a 为周期的周期函数；11、函数y f (x) x R 的图象关于A a, y0和直线x b a b 都对称，则函数 f (x) 是以4 b a 为周期的周期函数；12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。

14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。