反比例函数与一次函数图象交点问题的探讨

反比例函数与一次函数的交点问题

一、正比例函数和反比例函数的交点问题

若正比例函数y＝k1x(k1≠0)，反比例函数)0(22kxky，则

当k1k2＜0时，两函数图象无交点；

当k1k2＞0时，两函数图象有两个交点，坐标分别为).,(),,(21122112kkkkkkkk由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．

二、一次函数和反比例函数的交点问题

1．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=AP．其中所有正确结论的序号是（ ）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④

解：∵A、B是反比函数y=上的点，∴S△OBD=S△OAC=，故①正确；

当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；

∵P是y=的图象上一动点，∴S矩形PDOC=4，

∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正确；

连接OP，===4，∴AC=PC，PA=PC，∴=3，

∴AC=AP；故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．

故选C．

2．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=（ ）

A． B． C． D．12

解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB=OC，OA=BC，设B点的坐标为（a，b），

∵BD=3AD，∴D（，b），

∵点D，E在反比例函数的图象上，∴=k，∴E（a，），

∵S△ODE=S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE=ab﹣﹣k﹣•（b﹣）=9，

反比例函数与一次函数交点线段相等是一个重要的数学问题，它涉及到两种不同类型的函数之间的关系，对于理解两种函数的特性和性质有着重要的指导作用。本文将从反比例函数和一次函数的定义、性质以及它们的交点线段等长度三个方面展开论述，以期为读者提供全面、深入的理论解释和具体实例分析，帮助读者更好地理解这一数学问题。

一、反比例函数和一次函数的定义和性质

反比例函数是指函数的定义域为实数集，值域为非零实数集，并且函数的图像在直角坐标系中呈现出双曲线的函数。一次函数是指形式为y=kx+b的函数，其中k和b为常数，且k不为零，其图像在直角坐标系中呈现出直线的函数。从函数的定义和性质上来看，反比例函数和一次函数是两种截然不同的函数类型，反比例函数的图像是双曲线，而一次函数的图像是直线。

二、反比例函数和一次函数的交点

反比例函数与一次函数的交点是指当两种函数的图像在直角坐标系中相交时的交点，这个交点的横纵坐标就是两种函数的自变量和因变量相等的值。具体来说，当反比例函数y=k/x和一次函数y=kx+b相交时，就产生了交点。

三、反比例函数与一次函数交点线段相等

反比例函数与一次函数交点线段相等，意味着从两种函数的交点开始，到两条函数的横坐标值相等时，所对应的纵坐标的长度是相等的。这个性质是从函数的定义和性质以及它们的交点出发所得出的。

针对这一数学问题，可以通过具体的例子来进一步说明。假设反比例函数为y=1/x，一次函数为y=2x+3，求它们的交点线段相等。

我们来求两种函数的交点。当y=1/x和y=2x+3相交时，即1/x=2x+3，求解得到x=-1和x=1。将x代入y=1/x和y=2x+3中，得到两个交点为(-1,-1)和(1,5)。

接下来，根据交点线段相等的定义，计算两条函数的横坐标值相等时，纵坐标的长度。当x=1时，反比例函数的纵坐标为1，一次函数的纵坐标为5；当x=-1时，反比例函数的纵坐标为-1，一次函数的纵坐标为1。可以看出，从两种函数的交点开始，到它们的横坐标值相等时，所对应的纵坐标的长度是相等的。

Ｎｏ．０７．２０１２　语数外学习　Ｙｕ　Ｓｈｕ　Ｗａｉ　ＸＵｅ　Ｘｉ　２０１２年第７期　一次函数与反比例函数交点情况的探究　杨学工　（姜堰市南苑学校，江苏　姜堰２２５５００）　摘要：数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为　数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为　两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：　第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。我国著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形　结合百般好，隔裂分家万事休。”　关键词：一次函数；反比例函数；交点情况；探究　中图分类号：（３６３３　文献标识码：Ａ　文章编号：１００５—６３５１（２０１２）一０７—００３７—０２　下面就中学数学里“一次函数与反比例函数交点情况的探　究”来浅谈数形结合的思想在解题中的运用和数形结合思想方法　的渗透。　一次函数Ｙ＝ｋｌ　＋ｂ（　。Ｓ０）与反比例函数Ｙ＝÷（ｋ　≠　Ｏ）交点情况。　首先，若ｂ＝０，则一次函数即为正比例函数，我们先来探讨　它们的交点情况。　一、正比例函数　＝ｋｌ　与反比例函数．），＝　的交点情况　“数”：很明显，交点问题可以通过联立方程组来求解，　ｆ：　，　。　：　一，　ｎ　：：鲁，由于　。．　：≠。，故　：≠。，说明　交点不可能只有一个。　（１）若　＞０，则　：　＞ｏ，有两个解，说明有两个交点；　（２）若　＜ｏ，则　：：　＜０，没有解，说明没有交点。　“形”：正比例函数的图象（直线）要么经过一、三象限，要么经　过二、四象限；而反比例函数的图象（双曲线）也是要么在一、三象　限，要么在二、四象限。通过画图可发现：　（１）当象限相同（即ｋ　・ｋ　＞０）时　Ｖ　－　（）　或　‘Ｊ１　０　显而易见，必有两个交点；　（２）当象限不同（即　。・ｋ：＜Ｏ）时　＿ｖ　■　＼　Ｉ　、　或　‘　／．　ｏ／　－　，　厂ｘ　其次，若ｂ≠０，则一次函数的图象即为不过原点的一条直　线，我们再来探讨它们的交点情况。　二、・次函数Ｊ，＝七　＋６和反比例函数Ｊ，＝争的交点情况　ｒｙ：　ｌ戈＋６　“数”：联立方程组｛　ｋ：　【ｙ　了　譬＝　＋６，即ｋ　２＋ｂｘ一　。：ｏ，这是一个一元二次方程，　（１）当△＝ｂ　＋４ｋ　・ｋ：＞０时，方程有两个解，说明此时有两　个交点；　（２）当△＝ｂ　＋４ｋ　・ｋ：＝０时，方程有两个相同的解，说明　此时只有一个交点；　（３）当△＝ｂ　＋４ｋ。・ｋ：＜０时，方程没有解，说明此时没有交　点。　“形”：通过画图　（１）当ｋ。、ｋ　同号（即ｋ，・ｋ：＞０）时　，　Ｊ　．　／　’　或　√　Ｉ　．　Ｄ　＼　｛　Ｊ　，　

反比例函数与一次函交点问题

1．如图，直线y=x﹣6分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数y=（x＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC•BD=4，则k的值为（ ） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6

2．如图，直线y=-x+m交双曲线y=于A、B两点，交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作AH⊥x轴于点H，连结BH，若OH：HC=1：5，S△ABH=1，则k的值为（ ） A．1 B． C． D．

3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B（1，3），连接BO，下面三个结论：①S△AOB=1.5，；②点（x1，y1）和点（x2，y2）在反比例函数的图象上，若x1＞x2，则y1＜y2；③不等式x+2＜的解集是0＜x＜1．其中正确的有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

4．如图，过C（2，1）作AC∥x轴，BC∥y轴，点A，B都在直线y=﹣x+6上，若双曲线y=（x＞0）与△ABC总有公共点，则k的取值范围是 ．

5．直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，则3x1y2﹣9x2y1的值为 ．

6．如图，直线y=﹣x﹣与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D．若AD=AC，则点D的坐标为 ． 7．如图，过点O的直线AB与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A（2，1），直线BC∥y轴，与反比例函数y=（x＜0）的图象交于点C，连接AC，则△ABC的面积为

．

8．如图，已知一次函数y=kx﹣3（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=（x＞0）交于C点，且AB=AC，则k的值为 ．