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一次函数与反比例函数的交点问题

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一次函数与反比例函数的交点问题

一次函数与反比例函数的交点问题，是许多学习数学的人都会遇到的一个难题。今天，我将从理论和实践两个方面来探讨这个问题，并希望能够给大家带来一些启示和帮助。

我们来看一下一次函数和反比例函数的基本概念。一次函数是指形式为f(x)=ax+b的函数，其中a和b是常数，x是自变量。反比例函数是指形式为g(x)=k/x的函数，其中k是常数，x是自变量。这两种函数都有一个共同点，那就是它们的图像都是一条直线或曲线。

尽管一次函数和反比例函数在图像上看起来很相似，但它们在求交点的问题上却有着很大的不同。对于一次函数来说，只要已知它的斜率和截距，就可以轻松地求出它与任意一条直线的交点；而对于反比例函数来说，即使知道了它的定义域和值域，也无法直接求出它与任意一条直线的交点。这是因为反比例函数的图像是一个双曲线，而不是一条直线。因此，要解决一次函数和反比例函数的交点问题，就需要采用一些特殊的方法。

其中一种比较常用的方法是“代入法”。具体来说，就是先设出一条直线的方程，然后将这条直线代入到反比例函数中去，得到一个关于x的一元二次方程。接下来再解这个一元二次方程，就可以得到这条直线与反比例函数的交点坐标了。这种方法虽然比较繁琐，但在实际应用中却非常方便和有效。

除了“代入法”之外，还有一种比较简单且易于理解的方法叫做“待定系数法”。具体来说，就是先设出一条直线的方程，然后根据这条直线与反比例函数的图像相交的条件，列出一组关于a、b、k的方程组。最后再解这个方程组，就可以得到这条直线与反比例

函数的交点坐标了。这种方法不仅简单易懂，而且可以推广到其他类型的函数之间求交点的问题上。

一次函数和反比例函数的交点问题虽然看起来比较复杂，但只要掌握了一些基本的方法和技巧，就可以轻松地解决它。希望大家在学习数学的过程中能够多多思考和探索，不断提高自己的能力和水平。

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北师大版九年级(上)数学第19讲：反比例函数与一次函数的交点问题(教师版)——王琪

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反比例函数与一次函数的交点问题

一、正比例函数和反比例函数的交点问题

若正比例函数y＝k1x(k1≠0)，反比例函数)0(22kxky，则

当k1k2＜0时，两函数图象无交点；

当k1k2＞0时，两函数图象有两个交点，坐标分别为).,(),,(21122112kkkkkkkk由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．

二、一次函数和反比例函数的交点问题

1．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=AP．其中所有正确结论的序号是（ ）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④

解：∵A、B是反比函数y=上的点，∴S△OBD=S△OAC=，故①正确；

当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；

∵P是y=的图象上一动点，∴S矩形PDOC=4，

∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正确；

连接OP，===4，∴AC=PC，PA=PC，∴=3，

∴AC=AP；故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．

故选C．

2．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=（ ）

A． B． C． D．12

解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB=OC，OA=BC，设B点的坐标为（a，b），

∵BD=3AD，∴D（，b），

∵点D，E在反比例函数的图象上，∴=k，∴E（a，），

∵S△ODE=S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE=ab﹣﹣k﹣•（b﹣）=9，

反比例函数与一次函数的交点问题

反比例函数与一次函数的交点问题

反比例函数与一次函交点问题

1．如图，直线y=x﹣6分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数y=（x＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC•BD=4，则k的值为（ ） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6

2．如图，直线y=-x+m交双曲线y=于A、B两点，交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作AH⊥x轴于点H，连结BH，若OH：HC=1：5，S△ABH=1，则k的值为（ ） A．1 B． C． D．

3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B（1，3），连接BO，下面三个结论：①S△AOB=1.5，；②点（x1，y1）和点（x2，y2）在反比例函数的图象上，若x1＞x2，则y1＜y2；③不等式x+2＜的解集是0＜x＜1．其中正确的有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

4．如图，过C（2，1）作AC∥x轴，BC∥y轴，点A，B都在直线y=﹣x+6上，若双曲线y=（x＞0）与△ABC总有公共点，则k的取值范围是 ．

5．直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，则3x1y2﹣9x2y1的值为 ．

6．如图，直线y=﹣x﹣与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D．若AD=AC，则点D的坐标为 ． 7．如图，过点O的直线AB与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A（2，1），直线BC∥y轴，与反比例函数y=（x＜0）的图象交于点C，连接AC，则△ABC的面积为

．

8．如图，已知一次函数y=kx﹣3（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=（x＞0）交于C点，且AB=AC，则k的值为 ．

反比例函数与一次函数的交点问题 2

反比例函数与一次函数的交点问题 2

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s .. 反比例函数与一次函交点问题

1．如图，直线y=x﹣6分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数y=（x＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC•BD=4，则k的值为（ ） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6

2．如图，直线y=-x+m交双曲线y=于A、B两点，交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作AH⊥x轴于点H，连结BH，若OH：HC=1：5，S△ABH=1，则k的值为（ ） A．1 B． C． D．

3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B（1，3），连接BO，下面三个结论：①S△AOB=1.5，；②点（x1，y1）和点（x2，y2）在反比例函数的图象上，若x1＞x2，则y1＜y2；③不等式x+2＜的解集是0＜x＜1．其中正确的有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

4．如图，过C（2，1）作AC∥x轴，BC∥y轴，点A，B都在直线y=﹣x+6上，若双曲线y=（x＞0）与△ABC总有公共点，则k的取值范围是 ．

5．直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，则3x1y2﹣9x2y1的值为 ．

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s .. 6．如图，直线y=﹣x﹣与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D．若AD=AC，则点D的坐标为 ．

反比例函数与一次函数的交点问题解析

反比例函数与一次函数的交点问题解析

反比例函数增减性的应用

一、计算比较

例1 在函数1yx的图象上有三个点的坐标分别为（1，1y）、（12，2y）、（3，3y），函数值y1、y2、y3的大小关系是（ ）

A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2

分析：本题由于反比例解析式是已知的，可以直接计算进行比较，也可以利用反比例函数的性质进行比较．

解：将（1，1y）、（12，2y）、（3，3y）三点分别代入1yx得：1y=1，2y=2，3y=13，

显然有y3＜y1＜y2，故选D ．

评注：本题以“反比例函数”为背景进行比较大小，可以用直接计算法也可以借助反比例函数的性质进行比较，它考查同学们灵活掌握基本知识的能力．

二、用性质比较

例2 若()Aab，，(2)Bac，两点均在函数1yx的图象上，且0a，则b与c的大小关系为（ ）

A．bc B．bc C．bc D．无法判断

分析：本题若继续采用计算的办法，问题很难解决，必须采用反比例函数的性质去解决．

解：对于反比例函数1yx，当x＜0，或x＞ 0时，y随x的增大而减小；由于a＞a-2，所以b反而小于c，故应选B．

评注：本题主要考查反比例函数的增减性．

三、看图象比较

例3 如图1,一次函数ｙ1=ｘ－1与反比例函数ｙ2=x2的图

像交于点A(2,1),B(－1,－2),则使ｙ1＞ｙ2的ｘ的取值范围是

A. ｘ＞2 B. ｘ＞2 或－1＜ｘ＜0

C. －1＜ｘ＜2 D. ｘ＞2 或ｘ＜－1

分析：根据图象特点结合A,B两点就可以找出使

ｙ1＞ｙ2的ｘ的取值范围

解：由A(2,1),B(－1,－2)两点可知当ｘ＞2 或－1＜ｘ＜0时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，故应选B

评注：本题主要考查同学们观察、分析条件和函数图象获取信息的能力．

巩固练习：