初一数学解题中分类讨论思想的应用分析

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分类思想在初中数学教学中的运用

作者：殷志琴

来源：《中学教学参考·理科版》2013年第08期

数学思维是数学学习的重要组成部分，用以实现数学探究、猜想、转化等思想方法.近年来，在初中数学教学中培养学生良好的思维品质，是每一位数学教师积极探索、努力践行的方向，也是符合新课改标准、推行素质教育的有效途径.

数学分类思想，是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想.它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法.

在初中数学教学中分类讨论的思想贯穿始终，应用分类讨论的思想解决数学问题能起到事半功倍的效果，对学生高效解决问题带来极大的方便.而分类的过程又能充分培养学生思考问题的严谨性和提升学生对数学规律的探索能力.

一、渗透分类思想，养成分类的意识

教师要充分利用学生原有的分类知识和分类能力，把它正向迁移到数学教学、学习中来，形成分类思想的有效渗透.

初一年级的数学就对数域进行了扩充.根据实际生产、生活的需要，以及学生在小学学过正数和零的基础，以0下的气温、存取钱、水位的上升和下降等实际问题引入负数，从而将数的范围扩充到有理数，这时就要引导学生对有理数进行分类，这也是学生在初中阶段首次体验分类思想，并充分感受到分类标准不同，就有不同的分类方法.例如，可以按有理数的定义分类，分为整数和分数；可以按有理数的性质符号分类，分为正数、零、负数；也可以按小数分类，分为有限小数、无限循环小数.通过绝对值的知识也能很好地渗透分类思想.通过数形结合的思想让学生体验绝对值的意义，即一个有理数在数轴上对应的点到原点的距离就是这个数的绝对值，这里重点领悟 “点与点之间的距离”，让学生明白绝对值——距离——非负数之间的联系和渗透，从而产生给有理数的绝对值分类的意识，即“正数的绝对值等于它本身；零的绝对值是零；负数的绝对值等于它的相反数”，形成恰当的分类方式.在学习用式表示数后，又可对式进行分类，即整式分为单项式和多项式，通过对单项式、多项式的学习为后继整式加减的学习打下基础.

２０１３年１月１８日　学科教学　残淡初一数学教　安渗透的数学恿想　法　文，周桂芳　摘要：数学思想方法是数学知识中解题的灵魂，加强数学思想方法的教学已引起数学界的普遍重视，它可以使学生从学会数学　向会学数学转化，它是一把解题的金钥匙。　关键词：数学思想方法；灵魂；金钥匙　初中阶段是中学生打基础的阶段，而初一则是启蒙阶段。这　个阶段数学学习的好坏将直接影响今后的学习。数学思想方法是　数学中的理性认识，是数学知识的本质，它可以提高学生的解题　技巧和方法，启迪智慧，发挥潜力，培养学生的自主学习和创新精　神。依据教材的特点和学生的年龄特征，我认为初一数学教学时　要渗透如下几种数学思想方法：　一、数形结合的思想方法　数形结合思想是指将代数与几何结合起来，即将抽象的数学　语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合。所　以，我们研究数学问题时要善于由形思数、由数思形，通过数与形　的转化把一个数的问题用图形直观地表达出来，从而找到解题思　路。利用数形结合，可以使所要研究的问题化难为易、化繁为简。　数形结合是中学数学中重要的数学思想方法，在每年的中考试卷　中均有一定数量的试题可采用此方法解答。因此，教师有意识地、　灵活地培养学生使用数形结合的思想方法，是数学教学的一个重　要内容，不仅能提高学生的审美能力，更能培养学生的形象思维　能力和创新能力。例如：不等式ｘ＋２＞５的解集，可以表示成　＞３，也　可以在数轴上直观地表示出来，如下图所示：　．．．．　．［　一２　一ｌ　Ｏ　ｌ　２　３　４　５　用数轴来表示不等式的解集，不仅形象而且简单、直观、明　了，培养了学生的思维能力和创造性。　二、分类讨论的思想方法　分类讨论就是根据一定的标准，对问题进行分类求解，然后　归纳综合出问题的答案。当被研究的问题含多种解答，不能一概　而论时，必须按照可能出现的各种情况分别讨论，得出各种情况　下相应的结论。分类讨论思想是中学数学最常用的思想方法之　一，也是中考常见的数学思想。分类思想在初一数学中应用很广，　如三角形按角分类、按边分类等等。教学时，加强渗透分类讨论的　思想方法，大胆鼓励学生开展讨论、交流、合作的学习方法，可以　提高学生的解题技巧，培养学生的思维能力、主动学习的精神和　辩证的观点。应用时必须注意以下两点：　一是每次分类要按照同一标准进行，分类常用的依据有概　念、法则，图形的性质、形状等。二是不重复、不遗漏。　例：解下列方程：Ｊ　一３ｌ＝２　解：（１）当　一３＞０时，原方程可化为：　一３＝２，解得　＝５　（２）当　一３＜０时，原方程可化为：　一３—２，解得ｘ＝ｌ　所以，原方程的解为　＝５或　＝１．　解绝对值方程关键是按绝对值的意义进行分类讨论，并注意　对所有的分类情况进行总结。　三、化归的思想方法　所谓“化归”即“转化”和“归结”，也就是把要解决的问题转化　归结为另一个较容易的问题或已解决的问题，是把“新知识”转化　为“旧知识”，把“未知”转化为‘　已知”；把复杂问题转化为简单问　题。它是解决数学问题的基本方法，也是初一教材中的“二元一次　方程组和它的解”的基本思想。教师教学时，要注意把“新知识”通　过观察、分析、讨论、总结迁移到“旧知识中”。通过知识的迁移应　用，提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的创新精神。　例：已知ｍ、ｎ满足下面等式　（３ｍ一４ｎ一１４）２＋ｌ　５ｍ＋４ｎ一２Ｉ＝０，求ｍ、ｎ的值。　解：依题意得：ｆ５３ｍ＋－４ｎ一－２１４：０＝０　将这个方程组化为：　ｆ３ｍ一４ｎ＝１４　ｌ５ｍ＋４ｎ＝２（　由①＋②得：３ｍ－４ｎ＋５ｍ＋４ｎ＝１４＋２　解得ｍ＝２　．　把ｍ＝２带入①式，得ｎ＝２　所以，ｒｇｔ，＝２，ｎ＝２。　这个题目运用了两次化归的思想方法，即先将问题化归为解　二元一次方程组，又把解二元一次方程组化为解一元一次方程，　使解题思路清晰化、问题简单化。　四、画图表的思想方法　利用图形、表格来解决数学问题的方法称为图表法。这种方　法可根据题中的条件，使数量关系和图形、表格巧妙和谐地结合　起来，并充分利用这种结合，使问题的逻辑结构直观地显现出来，　并提供程序性操作的机会，使问题得到解决。在用图表法解决问　题时，要善于把题中已知条件归纳或统计成图形、表格。另外，还　要能充分分解图形、表格，从中获得更多的信息。　总之，解决初中数学问题的思想方法很多，如：整体思想方　法、比较思想方法、统计思想方法等等。初中数学教材的各部分内　容都有自己常见的思想方法。“授人以鱼，不如授人以渔。”教师在　教学时，要依据教材内容，加强数学思想方法的指导，使学生掌握　一些常用的思想方法，提高解题的技能和智能，激发学习兴趣，培　养创新精神，让学生在数学世界中遨游。　参考文献：　刘增利．七年级数学上下册．北师大版．教材知识详解．北京教　育出版社，２００９—０８．　（作者单位广西壮族自治区崇左市天等县民族中学）　团圆９１

小教园地　

数学解题中的思考　

分类讨论思想的应用　

■李　勇　

摘要：本文从渗透在教材中的分类思想出发，　结合例题阐述了分类讨论的思想，分类的原则，分类　

讨论的应用，从而体现分类讨论思想在初中数学解　题中的作用和地位。　

关键词：分类讨论的思想；分类的原则；分类讨　论的应用　

数学课程标准明确提出数学思想方法是数学基　础知识的重要组成部分，数学教学中如何挖掘课本　

中所蕴含的数学思想方法，如何有效地进行数学思　

想方法教学，如何培养和发展学生的数学思想已经　成为数学教育工作者普遍关注和潜心探索的一项重　

要课题。在新课程中，分类思想在教材中的体现的是　丰富多彩的，在整个初中阶段很多问题都用了分类　

的思想，将不同的事物分为不同的种类，寻找它们各　自的共同点及内在的规律性。　

一、分类讨论的思想　

所谓分类讨论就是分别归类再进行讨论的意　

思，数学中的分类过程就是对事物共性的抽象过程，　解题时要使学生体会为什么要分类，如何分类，如何　

确定分类的标准，在分类的过程如何认识事物的属　性，如何区分不同事物的不同属性，通过多次反复的　

思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种　

重要的思想，它体现了化整为零，化零为整与归类整　理的思想，它揭示了数学事物之间的内在规律，学会　

分类有助于学生总结归纳所学的知识，使所学的知　识条理化，提高思维的概括性，从而提高分析问题和　

解决问题的能力。　

二、分类的原则　

１．同一性原则　分类应该按照同一标准进行，即每次分类不能　

同时使用几个不同的分类依据，否则会出现重复的　现象，例如有些同学认为三角形可以分为等腰三角　

形，等边三角形，锐角三角形，钝角三角形，直角三角　

形，这样的分类是错误的，不但以边来分类而且以角　来分类，等腰三角形可以是锐角三角形，钝角三角形　或直角三角形，这样的分类犯了标准不同的错误。　

２．互斥性原则　

分类后的每一个子类应该具备互不相容的原　则，即不能出现有一项既属于这一类又属于那一类　

娅　初中数学教学中的分类讨论思想　摘要：数学分类讨论思想，就是根据　数学对象本质的相同与不同，将其分成几　个不同种类的一种数学思想。它能训练学　生的思维条理性和严密性，从而提高学生　分析问题和解决问题的能力。分类思想要　贯串于整个数学教学中，在初中数学教学　的过程中逐步恰当地渗透数学分类讨论　思想方法。　关键词：初中数学分类讨论思想　渗透　我作为一名普通的农村教师，从事初　中数学教学已有１２年。在这１２年中，我　深深地体会到数学分类讨论思想的重要　性。学生如有分类讨论思想的意识，无论　在学习还是在生活中，考虑问题、解决问　题都会很科学、果断。　一般来说，数学教师在教学活动中可　按以下几个步骤引导学生运用分类讨论　的思想解决相应数学题，形成能力。　一、养成分类意识、渗透分类思想　数学教师在教学过程中要有意识地　让学生在学习中逐渐体会分类讨论的思　想。初中课本中很多定义、定理、公式本身　是分类定义、分类概括的。初一数学课本在　引入负数后即对有理数进行分类：将有理　数分为正数、零、负数　让学生辨别不同分　类的依据，初步体会分类要不重复，不遗　漏，标准不同则分类不同的基本原则。此时　可提出问题：“一ａ一定是负数吗？”启发学　生分ａ＞Ｏ，ａ－Ｏ，ａ＜Ｏ三种情况考虑。在学习　绝对值的定义时，要有意识地启发学生从　有理数分类进行认知的迁移，帮助学生概　括出ａ＞Ｏ，Ⅱ　Ｏ，ａ＜Ｏ时，应如何表示，并要　求学生能做一些简单的化简题。　在日常教学中的这种有序地、有目的　地渗透，能使学生在学习的过程中逐步领　悟出分类讨论的思想。　二、确立分类思想，学会分类方法　初中数学大纲明确指出要让学生“会　把给出的实数按要求进行分类”，“会按角　的大小和边长的关系对三角形进行分类”　等等。例如，去掉Ｉｘｌ和Ｉｘ－３Ｉ中的绝对值符　号，在解题的过程使学生体会分类讨论的　豳江苏省建湖县冈西初级中学　董善海　思想方法，学会初步应用。这个让学生探　索推导有理数加法法则的过程，实际上就　是应用分类思想解决问题的一个完整的　过程。使学生在学习知识的过程中体会：　为什么要分类，及分类的基本原则。在随　后的去括号法则、有理数的乘法、乘方的　教学中均可仿照此方法渗透分类的思想。　分类要不重不漏，就是说，在把一群事物　分类时，要使其中的每一个事物都归入某　一类，不能无类可归，并且只归入某一类，　不能既归入这一类，又归入另几类。分类　渗透应使学生确立分类的思想，学会分类　的方法。　三、认识讨论思想。简化讨论方法　初中数学大纲对渗透讨论思想没有　明确的要求，但是在教材和练习中，仍能　找到有关渗透讨论思想的教学要求的提　示，如：当用ａ表示任意一个数时，它的　绝对值是什么，７教材中分ａ＞Ｏ、ａ＜Ｏ、ａ＝Ｏ　三种情况加以说明。但是，我们也注意到　有先给条件的简化了的讨论题，如当ａ＞Ｏ　时，ａ与３口哪个大，７当ａ＜Ｏ时，ａ与　哪　个大？类似的问题出现在拔高题中和分　类思想的教学要求相比，讨论思想的渗　透在初中数学教学中是有限制的，仅仅　只要求学生对“讨论”有个“初步认识”，　并通过有关讨论的知识的传授起到潜移　默化的作用。　四、渗透讨论思想。揭示分类本质　分类讨论是重要的数学思想方法，但　初中学生常常分类讨论的意识不强，不知　道哪些问题需要分类及如何合理地分类。　这就需要教师在教学中结合教材，举一些　符合大纲要求且学生能够接受的，需要区　分种种情况进行讨论的问题，启发诱导，　揭示分类讨论思想的本质。例如，方程　ｋｘＺ＋３ｘ－４＝０有几个实数根？学生往往不注　意ｋ对方程性质的影响。讨论或讲评中，要　使学生明确系数ｋ决定方程的次数，从而　分ｋ＝Ｏ，ｋ≠０两类讨论。当ｋ≠０时，再分　ｂＺ－４ａｃ＞Ｏ，ｂＺ．４ａｃ＝Ｏ，ｂＺ－４ａｃ＜Ｏ三种情况进　行讨论。又如，二次函数ｙ＝ａ（ｘ－１）　＋ｍ的　图像过哪几个象限？这道题势必要考虑图　２０１２・１　像的开口方向，又要考虑对称轴和顶点　的位置。要对字母ａ和ｍ分类。怎么分，　则应由学生讨论，互相补充，互相评价，　逐步完善。　五、深化分类思想，增强应用意识　在数学教学中应边学习边总结，使　学生明确引起分类讨论的原因，增强学　生自觉应用分类讨论的意识克服分类　讨论中的盲目性和随意性，提高学生的　综合运用这种数学思想解题的能力。在　初中数学中，若涉及以下几个方面，往　往需要进行分类讨论：（１）数和式的变　形中需要条件；（２）研究含有字母的方　程、不等式解的特征和求解ｉ（３）一般　地，当问题的条件特别少时，需要分类　以补充条件的情况；（４）有些知识本身　是分类定义和概括的，如绝对值的定　义、一元二次方程根的判别式等；（５）涉　及几何图形的形状和位置的问题；（６）　开放性的数学问题等。　如果不在教学中加以强化，大多数同　学往往不会进行分类讨论。因此，在平时　教学中要创设情境，培养学生自觉应用分　类讨论的意识。　六、确定分类结束，做到及时归纳　一般情况下，分类讨论后都要对结论　进行归纳，这也是解决这一类问题必须的　步骤。对所有分类情况的解进行统计，理　解问题的意思，哪些解符合题目要求，需　保留；哪些解不符合题目要求，要舍去。保　留下来的解要做到不重复，不遗漏。这样　才能保证解题的完美性。　总之，分类讨论思想是数学学习中的　重要思想，在以后的教学中，我将多研究、　多实践、多探索，一如既往地培养学生分类　讨论的意识，加强数学分类讨论思想的训　练，让学生在数学学习中感到轻松快乐。　参考文献：　［１］王燕春．学会分类方法．提高分类　意识．中学生数学．１９９８．５　［２］全日制义务教育课程标准（实验　稿）．北京师范大学出版社　［３］蔡上鹤．