多维随机变量及其分布

23 / 8第三章多维随机变量及其分布

一、填空题

1、随机点落在矩形域的概率为),(YX],[

2121yyyxxx

.),(),(),(),(

21111222yxFyxFyxFyxF

2、的分布函数为，则 0 .),(YX),(yxF),(yF

3、的分布函数为，则),(YX),(yxF),0(yxF),(yxF

4、的分布函数为，则),(YX),(yxF),(xF)(xF

X

5、设随机变量的概率密度为),(YX

，则 .





其其042,20)6(

),(yxyxk

yxfk

81

6、随机变量的分布如下，写出其边缘分布.),(YX

7、设是的联合分布密度，是的边缘分布密度，则 1 .),(yxfYX,)(xf

XX

)(xf

X

8、二维正态随机变量，和相互独立的充要条件是参数 0 .),(YXXYX

Y0123

jP



10

83

83

0

86

3

81

00

81

82

iP

81

83

83

81

24 / 89、如果随机变量的联合概率分布为),(YX

Y

X123

1

61

91

181

2

31



则应满足的条件是 ；若与相互独立，则 ， . ,



βαXY

184



182

10、设相互独立，，则的联合概率密度YX,)1.0(~),1,0(~NYNX),(YX ，的概率密度 .),(yxf222

21yx

e



YXZ)(Zf

Z42

221x

e



12、 设 ( 

、  ) 的 联 合 分 布 函 数 为

则 A =__1___。

















yx

yxyxA

yxF

00,0

11

11

11

,222

二、证明和计算题

1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球

上标的数字为，第二次取的球上标的数字，求的联合分布律.XY),(YX

解： 0

31

}1,1{YXP

31

1

31

}2,1{YXP

31

第二章 一维随机变量及其分布

1. 将3个球随机地投到编号为1，2，3的三个盒子中，试求空盒数的分布列.

2. 设随机变量的分布列为8141214321　　　　　　　　　　　　　a，试求：

（1）常数a；（2）P（42＜）；（3）P（＞1）.

3. 有1000件产品，其中900件是正品，其余是次品. 现从中每次任取1件，有放回地取5件，试求这5件所含次品数的分布列.

4. 设随机变量的分布密度为p（x）＝

　　其他　　0102xx，求P（21）与P（241＜）.

5. 已知某校学生英语四级的考试成绩服从正态分布),60(2N，现随机从该校学生中抽取3名，求下列事件的概率：(1)三名学生都通过了四级考试；(2) 三名学生中只有两名学生通过了四级考试.（达到60分予以通过）

6. 学生完成一道作业的时间（单位：小时）是一随机变量，它的密度函数为p(x)=　其他　　，,05.00 2xxcx,(1)确定常数c;(2)求分布函数；（3）求20分钟内完成一道作业的概率；（4）10分钟以上完成一道作业的概率.

7. 某校电器（3）班学生期末考试的数学成绩x（分）近似服从正态分布N（75，102），求数学成绩在85分以上的学生约占该班学生的百分之几？

8. 已知随机变量的分布列为25.013.02.005.037.073101　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，

（1） 求＝2－的分布列； （2）求＝3＋2分布列. 9. 已知随机变量的分布密度为)(xp＝　，　其他，　0412ln21xx，且＝2－，试求的分布密度.

10. 设随机变量X服从正态分布),(211N，Y服从正态分布),(222N，且}1{}1{21YPXP，试比较1和2的大小.

多元随机变量及其分布函数

随机变量是概率论与统计学中的基础概念，它是指在一次随机试验中，能够取到的所有可能的值。单个随机变量只有一个取值，但是现实世界中有很多情况是需要考虑多个随机变量，因此就有了多元随机变量的概念。本文将介绍多元随机变量及其分布函数。

一、多元随机变量的定义

假设有n个随机变量$X_{1},X_{2},...,X_{n}$，如果这些随机变量是在同一个概率空间上定义的，则这n个随机变量组成的向量$(X_{1},X_{2},...,X_{n})$就是一个多元随机变量。我们可以将多元随机变量看作是一个n维向量空间中的一个点。

在多元随机变量中，每个随机变量都有自己的分布函数。对于一个n元随机变量$(X_{1},X_{2},...,X_{n})$，其分布函数记为$F(x_{1},x_{2},...,x_{n})$，定义为：

$$F(x_{1},x_{2},...,x_{n}) = P(X_{1} \leq x_{1}, X_{2} \leq

x_{2}, ..., X_{n} \leq x_{n})$$

其中$(x_{1},x_{2},...,x_{n})$是n个实数，表示$(X_{1},X_{2},...,X_{n})$的取值点。

二、多元离散型随机变量的分布函数

对于多元离散型随机变量$(X_{1},X_{2},...,X_{n})$，其取值只能是离散值，其分布函数定义为：

$$F(x_{1},x_{2},...,x_{n}) = P(X_{1} \leq x_{1}, X_{2} \leq

x_{2}, ..., X_{n} \leq x_{n})$$

显然，对于每个$(x_{1},x_{2},...,x_{n})$，其$F(x_{1},x_{2},...,x_{n})$都是一个概率值，而当所有$(x_{1},x_{2},...,x_{n})$取遍所有可能的值时，就可以得到分布函数的全貌。

多维随机变量及其分布

对于多维随机变量应理解其概念及其性质，在多位随机变量中，二维随机变量是基础，很多结论都是可以从二维随机变量推广到多维的。对于二维随机变量，不仅要理解联合分布的概念与性质，还要理解二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布和二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度、和条件密度。

一、 多维随机变量的联合分布函数、边缘分布函数

[1] 多维随机变量的及其分布的概念：

如果N维向量12{,}nXXX的每个分量都是随机变量，则，称之为N维随机变量，并称函数

121122(,){,,}nnnFxxxPXxXxXx

是N维随机变量12{,}nXXX的联合分布函数。

称函数(){}(,,,,iiiiFxPXxFx为N维向量12{,}nXXX关于iX的边缘分布，或为12(,)nFxxx的边缘分布函数。

[2] 二维随机变量的联合分布函数的概念和性质

a) 二维随机变量的联合分布函数的概念：

二维随机变量的联合分布函数定义如下：

(,)(,)FxyPXxYy

b) 二维随机变量的联合分布函数的性质：

① 对于任意x,y, 0(,)1Fxy

② (,)Fxy为关于x或y均为单调非降、右连续的函数。 ③ (,)(,)(,)0FFyFx

④ (,)1F

⑤ 发生在矩形区域上的概率：

(,)(,)(,)(,)(PaXbcYdFbdFbcFadFa

[3] 二维随机变量的边缘分布的概念

二维随机变量(,)XY关于X与Y的边缘分布函数分别定义为：

①(){}{,}(,)xFxPXxPXxYFx

②(){}{,}(,)yFyPYyPXYyFY

二、 二维离散型随机变量