多维随机变量及其概率分布汇总
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《概率论与数理统计》内容提要及习题详解 第三章 多维随机变量及其概率分布 第 17 页 共 13 页
17 第三章 多维随机变量及其概率分布
【内容提要】
一、二维随机变量及其分布函数
【定义】设(),()XXYY是定义于随机试验E的样本空间上的两个随机变量，则称(,)XY
为二维随机变量，称(,)(),()FxyPXxYy为其联合分布函数，而称:
1()()FxPXx及2()()FyPYy分别为,XY的边缘分布函数。
二维随机变量(,)XY的联合分布函数(,)Fxy具有如下性质:
⑴．非负性: ,xyR，有0(,)1Fxy；
⑵．规范性: ,xyR，有(,)(,)0,(,)1FxFyF；
⑶．单调性: 当()xy或固定不变时，(,)Fxy是()yx或的单增函数；
⑷．右连续性: ,xyR，有(0,0)(,)FxyFxy；
⑸．相容性: ,xyR，有12(,)(),(,)()FxFxFyFy；
⑹．特殊概率: 若1212,xxyy，则
121222122111(,)(,)(,)(,)(,)0PxXxyYyFxyFxyFxyFxy。
二、二维离散型随机变量
1．二维离散型随机变量及其概率分布律
若二维随机变量(,)XY的一切可能取值为离散值2(,)ijxyR，其中,1,2,...ij，且取到这些值的概率(,)(,)0,,1,2,...ijijpxyPXxYyij满足1,(,)1ijijpxy，则称(,)XY为二维离散型随机变量，而称(,),1ijpxyij为其联合概率分布律，记为:
(,)(,),,1,2,...ijXYpxyij。
⑴.,XY的边缘概率分布律:
1211()()(,),()()(,)iiijjiijjiXpxPXxpxyYpyPYypxy；
⑵.,XY的条件概率分布律:
12(,)(,)(),()()()ijijYXjiXYijijijpxypxyYXpyxpxyXxYypxpy；
⑶.XY与的相互独立12,1,(,)()()ijijijpxypxpy恒有。
二维离散型随机变量(,)XY的联合分布律及其边缘分布律也可用下表来表示: 《概率论与数理统计》内容提要及习题详解 第三章 多维随机变量及其概率分布 第 18 页 共 13 页
18 YX 1y 2y ny ()PX
1x 11(,)pxy 12(,)pxy 1(,)npxy 11()px
2x 21(,)pxy 22(,)pxy 2(,)npxy 12()px
mx 1(,)mpxy 2(,)mpxy (,)mnpxy 1()mpx
()PY 21()py 22()py 2()npy 1
设2DR为平面区域，则二维离散型随机变量(,)XY的联合分布函数及其取值落在D内的概率为:
,(,),(,)ijijxxyyFxyPXxYypxy，(,)(,)(,)ijijxyDPXYDpxy。
2．常用二维离散型分布
⑴．三项式分布:设1n为自然数，12120,1pppp为常数，则三项式分布的联合分布律为：
1212!(1)(,)!!()!ijnijnppppPXiYjijnij，其中0,ijijn，
而其边缘分布律、条件分布律为：
1212110!(1)()(1)!!()!ijnijiininjninppppPXiCppijnij，
1212220!(1)()(1)!!()!ijnijjjnjninjnppppPYjCppijnij，
1212(,)()(1)()jjnijniPXiYjPYjXiCppPXi，其中2121011ppp，
2121(,)()(1)()iinijnjPXiYjPXiYjCppPYj，其中1212011ppp。
⑵．二维超几何分布: 设121,,nMMN为自然数，则二维超几何分布的联合分布律为：
1212(,)ijnijMMNMMnNCCCPXiYjC，其中0,ijijn；
而其边缘分布律、条件分布律为：
1212110()ijnijiniMMNMMMNMnnjniNNCCCCCPXiCC， 《概率论与数理统计》内容提要及习题详解 第三章 多维随机变量及其概率分布 第 19 页 共 13 页
19 1212220()ijnijjnjMMNMMMNMnninjNNCCCCCPYjCC，
2121(,)()()jnijMNMMniNMCCPXiYjPYjXiPXiC，
1122(,)()()inijMNMMnjNMCCPXiYjPXiYjPYjC。
⑶．二维Poisson分布: 设12,0为常数，则二维Poisson分布的联合分布律为:
12()12,0!()!(,)0,jijejijijPXiYj若其它,
而其边缘分布律、条件分布律为：
1212()()12120()()!()!!jijijiPXieejiji，
121()121()!()!!jijjjiPYjeejijj，
11(,)()(1)()jjijiPXiYjPYjXiCppPXi，其中111201p，
22(,)()()()!ijPXiYjPXiYjePYjij。
三、二维连续型随机变量
1．二维连续型随机变量及其概率密度函数
若二维随机变量(,)XY的一切可能取值充满了某一平面区域，且存在一个函数(,)0pxy，使其联合分布函数可表为(,),(,)yxFxyPXxYypuvdudv，且(,)1pxydxdy，则称(,)XY为二维连续型随机变量，而称(,)pxy为其联合密度函数，记为(,)(,)XYpxy。
设2DR为平面区域，则二维连续型随机变量(,)XY的联合分布函数、联合密度函数满足：
2(,),(,),(,)xyFFxyPXxYypuvdudvpxyxy，而(,)XY的取值落在D内的概率为(,)(,)DPXYDpxydxdy。
2．常用二维连续型分布 《概率论与数理统计》内容提要及习题详解 第三章 多维随机变量及其概率分布 第 20 页 共 13 页
20 ⑴．均匀()UD: 1,(,)()(,)0,(,)xyDSDpxyxyD若若，其中0()SD平面区域D的面积；
⑵．二维指数分布(,,)er:二维指数分布的联合分布为:
()1,,0(,)0,xyxyrxyeeexyFxy若其它，
()2(1)(1),,0(,)0,xyrxyrxryrexyFpxyxy若其它，
其中12001r,及为常数，而其边缘分布及条件分布为:
1111,0,0()(,),()()0,0,xxexexXFxFxpxFx若若其它其它，
2221,0,0()(,),()()0,0,yyexeyYFyFypyFy若若其它其它，
(1)1(1)(1),,0(,)(,)()0,yrxYXrxryrexypxyYpxyXxpx若其它，
(1)2(1)(1),,0(,)(,)()0,xryXYrxryrexypxyXpxyYypy若其它。
⑶．二维分布: 其联合密度、边缘密度及条件密度分别为(其中,,0均为常数)
11(),0()()(,)(,)0,xyxyeyxXYpxy若其它,
11,0()()(,)0,0xxexXpxpxydyx若若，
12,0()()(,)0,0yyeyYpypxydxy若若， 《概率论与数理统计》内容提要及习题详解 第三章 多维随机变量及其概率分布 第 21 页 共 13 页
21 1()2(),0(,)()(,)()0,xyYXxyeyxpxyXpxyYypy若其它，
1111()(),0(,)()()(,)()0,YXyxyyxpxyYxpxyXxpx若其它。
⑷．二维正态分布221212(,,,,)Nr:二维正态分布的联合密度为:
2211222211221211(,)exp()2()()()2(1)21xxyypxyrrr，
其中121212,,,,,1,,0rRr为常数且而，而其边缘分布及条件分布为:
211211()1()(,)exp22xXpxpxydy，即211(,)XN，
222222()1()(,)exp22yYpypxydx，即222(,)YN，
212211222122()(,)1(,)exp()2(1)2(1)YXyrxpxyYpxyXxpxrr，
即2222121(),(1)YNrxrXx。
四、二维随机变量函数的分布
设(,)XY为二维随机变量，而(,)fxy为连续的确定型函数。
⑴．若(,)XY为离散型随机变量，且(,)(,),1ijXYpxyij，，则(,)ZfXY的分布律为:
(,)()()(,)ijkkkijfxyzZgzPZzpxy；
⑵．若(,)XY为连续型随机变量，且(,)(,)XYpxy，则(,)ZfXY的概率密度函数为:
(,)()()(,)fxyzddZgzPZzpxydxdydzdz；
⑶．若连续型随机变量12,,...,nXXX独立，且具有相同的分布函数为()Fx，将12,,...,nXXX按其取值由小到大的顺序重新排为12nXXX，称12,,,nXXX为12,,...,nXXX的顺序统计量，则第k个顺序统计量kX的分布函数为(其中()()fxFx为kX的密度，1kn):
