北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 达标检测卷 含答案

第四章达标检测卷

一、选择题(每题3分，共30分)

1．已知5x＝6y(y≠0)，那么下列比例式中正确的是( )

A.x5＝y6 B.x6＝y5 C.xy＝56 D.x5＝6y

2．下列各组图形中有可能不相似的是( )

A．各有一个角是45°的两个等腰三角形

B．各有一个角是60°的两个等腰三角形

C．各有一个角是105°的两个等腰三角形

D．两个等腰直角三角形

3．如图，直线a，b，c被直线l1，l2所截，交点分别为点A，C，E和点B，D，F.已知a∥b∥c，且AC＝3，CE＝4，则BDBF的值是( )

A.34 B.43 C.37 D.47

(第3题) (第4题) (第6题) (第7题)

4．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为( )

A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)

5．对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P′，Q′，保持PQ＝P′Q′，我们把这种变换称为“等距变换”．下列变换中不一定是等距变换的是( )

A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似

6．如图，为估算河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于( )

A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m

7．如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(6，0)，B(0，8)，以某点为位似中心，作出△CDE，使它与△AOB位似，且相似比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为( )

A．(0，0)，2 B．(2，2)，12

C．(2，2)，2 D．(1，1)，12

8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于( )

A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.25

9．如图，在▱ABCD中，E是CD上的一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF等于( )

A．2∶5∶25 B．4∶9∶25 C．2∶3∶5 D．4∶10∶25

10．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC，PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

(第8题) (第9题) (第10题) (第13题) (第14题)

二、填空题(每题3分，共24分)

11．假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500 000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________．

12．若a＋bc＝b＋ca＝c＋ab＝k(a＋b＋c≠0)，则k＝________.

13．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC.若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD(AD＝AB)、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为____________． 14．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF＝1，则BC＝________，△ADE与△ABC的周长之比为________，△CFG与△BFD的面积之比为________．

15．如图，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得到正方形A′B′C′D′，则点C的对应点C′的坐标为________．

(第15题) (第16题) (第17题) (第18题)

16．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4 m宽的区域DE，已知点E到窗口下的墙脚C的距离为5 m，窗口AB高2 m，那么窗口底端B距离墙脚C________m.

17．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．

18．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2，……，以此类推，则Sn＝________(用含n的式子表示，n为正整数)．

三、解答题(19，20题每题8分，24题14分，其余每题12分，共66分)

19．如图，矩形ABCD为一密封的长方体纸盒的纵切面的示意图，AB边上的点E处有一小孔，光线从点E处射入，经纸盒底面上的平面镜反射，恰好从点D处的小孔射出．已知AD＝26 cm，AB＝13 cm，AE＝6 cm.

(1)求证：△BEF∽△CDF；

(2)求CF的长．

(第19题)

20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′.

(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；

(2)计算△A′B′C′的面积．

(第20题)

21．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.

(1)求证：△ADF∽△DEC；

(2)若AB＝8，AD＝63，AF＝43，求AE的长．

(第21题)

22．如图，某水平地面上有一建筑物AB，在点D和点F处分别竖有2米高的标杆CD和EF，两标杆相距52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，点G与建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆EF后退4米到点H处，点H与建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物AB的高度．

(第22题)

23．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：

(第23题)

(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论．

(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？

24．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

(1)当α＝0°和α＝180°时，求AEBD的值．

(2)试判断当0°≤α＜360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．

(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．

(第24题) 答案

一、1.B 2.A

3．C 点拨：因为a∥b∥c，所以BDBF＝ACAE＝33＋4＝37.

4．A 5.D

6．B 点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°.

又∵∠AEB＝∠DEC，

∴△ABE∽△DCE.

∴ABDC＝BECE，即AB20＝2010.

∴AB＝40 m.

7．B

8．B 点拨：由∠A＝90°，CF⊥BE，AD∥BC，易证△ABE∽△FCB.

∴ABBE＝CFBC.由AE＝12×3＝1.5，

AB＝2，易得BE＝2.5，

∴22.5＝CF3.∴CF＝2.4.

9．D

10．C 点拨：设AP＝x，则BP＝8－x，当△PAE∽△PBC时，

AEBC＝PAPB，

∴AE·PB＝BC·PA，即3(8－x)＝4x，解得x＝247.

当△PAE∽△CBP时，AEPB＝PABC，

∴AE·BC＝PA·PB，即3×4＝x(8－x)，解得x＝2或6.

故满足条件的点P的个数为3个．

二、11.160 km 点拨：设小明所居住的城市与A地的实际距离为x km，根据题意可列比例式为1500 000＝32x×105，解得x＝160.

12．2 点拨：∵a＋bc＝b＋ca＝c＋ab＝k， ∴2a＋2b＋2ca＋b＋c＝k，故k＝2.

易错提醒：在运用等比性质时，注意分母的和不等于0这个条件．

13．S1＝S2 点拨：∵点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC，

∴BC2＝AC·AB.又∵S1＝BC2，S2＝AC·AD＝AC·AB，∴S1＝S2.

14．2；；

15．(2，1)或(0，－1) 点拨：如图，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，根据图形可得点C′的坐标为(2，1)或(0，－1)．

(第15题)

易错提醒：此类题要注意多种可能：位似图形可能位于位似中心的同侧，也可能位于位似中心的两侧，要分情况进行讨论．

16．2.5 点拨：由题意得CE＝5 m，AB＝2 m，DE＝4 m.

∵AD∥BE，

∴BCAB＝CEED，

∴BC2＝54，

解得BC＝2.5 m，即窗口底端B距离墙脚C 2.5 m.

17.163或3 点拨：∵∠ABC＝∠FBP＝90°，∴∠ABP＝∠CBF.当△MBC∽△ABP时，BM∶AB＝BC∶BP，得BM＝4×4÷3＝163；当△CBM∽△ABP时，BM∶BP＝CB∶AB，得BM＝4×3÷4＝3.

18.32×34n 点拨：在正三角形ABC中，AB1⊥BC，

∴BB1＝12BC＝1.

在Rt△ABB1中，AB1＝AB2－BB21＝22－12＝3，