2018届江西省南昌市高三第一次模拟考试理科数学试题(解析版)

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2018届江西省南昌市高三第一次模拟考试理科数学试题（解析版）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由题意可得：，，

则：.

本题选择B选项.

2. 欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】由题意可得：，

即表示的复数位于复平面中的第一象限.

本题选择A选项.

3. 已知角的终边经过点，则( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由题意可得三角函数的定义可知：

，，则：

本题选择A选项. 页 2第 4. 已知奇函数是函数是导函数，若时，则( )

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】函数 是奇函数，则，据此有：，

即函数为偶函数，且当，，单调递增，

综上可得：函数是区间上的偶函数，

结合可得：，

据此可得.

本题选择C选项.

5. 设不等式组表示的平面区域为，若直线经过区域内的点，则实数的取值范围为( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，如图所示的虚线处为满足题意的临界值，

当直线经过点时，取得最小值：，

当直线经过点时，取得最小值：，

据此可得则实数的取值范围为.

本题选择C选项. 页 3第

6. 平面内直角三角形两直角边长分别为，则斜边长为，直角顶点到斜边的距离为，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为，类比推理可得底面积为，则三棱锥顶点到底面的距离为( )

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】设三棱锥两两垂直的三条侧棱长度为，三棱锥顶点到底面的距离为，由题意可得：

，

据此可得：，

且，故：，

则.

本题选择C选项.

点睛：在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．

7. 已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视页 4第 图的面积为( )

A. B. C. D. 8

【答案】B

【解析】由题意可得，侧视图的上部分是一个三角形，

其底为，高为2，面积，

下部分是一个梯形，上底为2，下底为4，高为2，

其面积，

.

本题选择B选项.

8. 执行如图程序框图，则输出的等于( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】依据流程图可知，程序运行如下：

首先初始化数据：，

第一次循环：，

执行：，

第二次循环：， 页 5第 执行：，

第三次循环：，

执行：，

第四次循环：，此时跳出循环，输出.

本题选择C选项.

点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．

9. 函数的图象大致为( )

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】由函数的解析式可得：，则函数的图像关于坐标原点对称，

据此可排除B选项，

考查函数，则，

当时，单调递增，则，据此有：，

据此可排除C选项；

当时，，则，据此可排除D选项；

本题选择A选项.

点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

10. 已知具有线性相关的五个样本点，，，，，用最小二乘法得到回归直线方程，过点，的直线方程，那么下列4个命题中， 页 6第 ①；②直线过点；③

④.(参考公式，)

正确命题的个数有( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】B

【解析】由所给的数据计算可得：，回归方程为：，

过点，的直线方程为

逐一考查所给的结论：

①该说法正确；

②直线过点即回归方程过样本中心点，该说法正确；

③=0.8，=9，说法③错误；

④，，说法④错误；

综上可得，正确命题的个数有2个.

本题选择B选项.

11. 设函数，若的最大值不超过1，则实数的取值范围为( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】当时，，

绘制函数图象如图所示，观察可得函数的最大值为，满足题意，

据此排除B选项； 页 7第

当时，，

绘制函数图象如图所示，观察可得函数的最大值为，满足题意，

据此排除CD选项；

本题选择B选项.

12. 已知椭圆，为坐标原点，是椭圆上两点，的斜率存在并分别记为、，且，则的最小值为( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由均值不等式的结论有：, 页 8第 当且仅当，即时等号成立，

结合椭圆的对称性可知，此时点关于轴对称，

设直线的方程为，则直线的方程为，

据此可得：，

联立方程：可得：，

则：，

此时.

本题选择C选项.

点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 展开式中的常数项为________________.

【答案】

【解析】，

据此可得，展开式中的常数项为：.

14. 平面向量，，若有，则实数 ________________.

【答案】

【解析】由题意可得：，据此可得：，

即：，求解关于实数的方程可得：.

15. 在圆上任取一点，则该点到直线的距离的概率为________________.

【答案】

【解析】圆心到直线的距离为：，

则直线与圆相切，

设直线与直线的距离为1，

则：或，

如图所示，设直线与圆交于两点， 页 9第 由题意可得：，

则，则为满足题意的点，

由角度型几何概型公式可得满足题意的概率值：.

点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．

16. 已知台风中心位于城市东偏北(为锐角)度的200公里处，若，则__________.

【答案】

【解析】如图所示，设台风在题中所叙述的过程中从B点运动到C点，则，，且，

在△ABC中，由正弦定理有：，则：，

结合题意可得：，

求解方程组可得：，

则，

在中，，

台风的速度公里/小时. 页 10第

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知等比数列的前项和为，满足，.

(1)求的通项公式；

(2)记，数列的前项和为，求证：.

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）由题意可得,则，易得首项为.所以.

（2）由（1）的结果可知，则，放缩之后裂项求和可得.

试题解析：

（1）设的公比为，由得，,

所以，所以.又因为，

所以，所以.所以.

（2）由（1）知，

所以，

所以

.

点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，页 11第 未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．

18. 某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在，按照区间，，，，进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀.

完成表格，并判断是否有以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；

(2)从乙班，，分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自发言的人数为随机变量，求的分布列和期望.

【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：

（1）依题意得，则有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”.

（2）由题意可得随机变量的所有可能取值为且，据此可得分布列，计算数学期望.

试题解析：

（1）依题意得

有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”

（2）从乙班分数段中抽人数分别为2，3，2

依题意随机变量的所有可能取值为