[基础知识]
n -b n =(a -b)( a n−1+a n−2b+…+ab n−2+b n−1) ( n 为正偶数时)a n -b n =(a +b)( a n−1-a n−2b+…+ab n−2-b n−1) ( n 为正奇数时)a n +b n =(a +b)( a n−1-a n−2b+…-ab n−2+b n−1)
+b)n =∑C n k a k b
n−k
n k=0
(1) a,b 位实数，则
○
12|ab |≤a 2+b 2；○2|a ±b |≤|a |+|b |；○3|a |−|b |≤|a −b |. (2) a 1,a 2,…,a n >0, 则 ○1a 1+a 2+⋯+a n n ≥√a 1a 2⋯a n n
＜[x]≤x
和差化积;积化和差(7)：
sin α+sin β=2(sin
α+β2)(cos
α−β2) sin αcos β=12(sin
α+β2+cos
α−β2) sin α-sin β=2(cos
α+β
2)(sin
α−β
2
) cos αcos β=12(cos α+β
2+cos
α−β
2) cos α+cos β=2(cos α+β
2)(co s
α−β2) sin αsin β=-1
2(cos α+β
2
-cos
α−β
2
)
cos α-cos β=2(sin
α+β
2
)(sin
α−β
2
)
1+tan 2α=sec 2α 1+cot 2α=csc 2α
sin 2α=2sin αcos α cos 2α=cos 2α-sin 2α=1-2sin 2α=2cos 2α-1
tan(α±β)=tanα±tanβ
1∓tanαtanβcot(α±β)=1∓cotαcotβ
cotα+cotβ
tanα
2=1−cosα
sinα
=sinα
1+cosα
=±√1−cosα
1+cosα
cotα
2
=sinα
1−cosα
=1+cosα
sinα
=±√1+cosα
1−cosα
万能公式：u=tan x
2(−π1+u2
，cos x=1−u
2
1+u2
函数图像
sec(x) csc(x) cot(x)
arcsin(x) arccos(x)
arctan(x) arc cot(x)
[极限]
函数极限x•：（6）
lim
x→x0
f(x)=A: ∀E>0,∃δ>0,当0<|x- x0|< δ时，恒有|f(x)-A|< E.
lim
x→x0+
f(x)=A: ∀E>0,∃δ>0,当0<(x- x0)< δ时，恒有|f(x)-A|lim
x→x0−
f(x)=A: ∀E>0,∃δ>0,当0<( x0- x)< δ时，恒有|f(x)-A|< E.
lim
x→∞
f(x)=A: ∀E>0, ∃X>0,当|x|>X时,恒有|f(x)-A|lim
x→∞+
f(x)=A: ∀E>0, ∃X>0,当x>X时,恒有|f(x)-A|< E.
lim
x→∞−
f(x)=A: ∀E>0, ∃X>0,当-x>X时,恒有|f(x)-A|< E.
数列极限n∞ ：
lim
n→∞
f(x)=A: ∀E>0, ∃N>0,当n>N时,恒有|X n-A|< E.
(1)唯一性:设lim
x→x0f(x)=A，lim
x→x0
f(x)=B，则A=B.
(2)局部有界性：若lim
x→x0
f(x)存在，则存在δ>0,使f(x)在U={x｜0<｜x-x0｜<δ内有界.
(3)局部保号性：○1(脱帽)若lim
x→x0
f(x) =A>0,则存在x0的一个去心邻域，在该邻域内恒有f(x)>0.
○2(戴帽)若存在x0的一个去心邻域，在该邻域内
f(x)>(≥)0，且lim
x→x0
f(x)=A(∃)，则A≥0.
极限四则运算：设lim x→x 0 f(x)=A(∃),lim x→x 0
f(x)=B(∃),则
○
1lim x→x 0 [f (x )±g (x )]=A±B. ○2lim x→x 0 [f (x )g (x )]=A⋅B. ○3lim x→x 0
f(x)g(x)=A
B
(B≠0). 等价无穷小（9）
sin x 1−cos x ~1
2x 2 arc sin x a x −1~lna ⋅x
tan x (1+x )α−1~αx
~x arctan x
ln (1+x ) e x −1
lim n→∞√n n =1 , lim n→∞
√a n
=1, (a>0) ,
lim x→0
+
x δ(ln x )k =0 ,lim x→+∞
x k e −δx =0 (δ>0,k >0) lim n→∞
√a 1
n +a 2n +⋯+a m n
n =max {a i }i =1,2,…,m;a i >0
洛必达法则：“0
0”型：○
1lim x→x 0
f(x)=0, lim x→x 0
g(x)=0; ○2f(x),g(x)在x 0的某去心领域内可导,且g’(x)≠0 ○
3lim x→ x 0f′(x)
g′(x)
=A 或为∞.
