第４１卷第１期 ２０１１年１月 东南大学学报（自然科学版）
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＳＯＵＴＨＥＡＳＴ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．４１ Ｎｏ．１ Ｊａｎ．２０１１
ｄｏｉ：１０．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１００１—０５０５．２０１１．０１．００１
压缩感知及其重构算法
邹采荣 赵 力 奚 吉 张学武
（ 东南大学信息科学与１一程学院，南京２１００９６） （ 河海大学计算机及信息工程学院，常州２１３０２２）
摘要：在研究语音信号在小波域的稀疏性的基础上，提出双正交小波变换的方法，与一维小波变 换方法相比稀疏度提高１０％～２５％．此外，提出基于自适应次梯度投影算法（ＡＳＰＭ）进行压缩
感知（ｃｓ）语音信号重构的方案．ＡＳＰＭ算法首先根据压缩感知重构模型建立包含稀疏重构信号
并具有随机属性的凸集，然后运用次梯度投影的思想将该凸集的投影转化为对多个闭合半平面
的投影，最后将更新后的稀疏重构信号投影到限定集合上．同时，该算法设计了自适应调节膨胀
系数的机制以获得快速收敛性．理论分析和仿真结果表明，该算法具有快速收敛性和较低的重构
误差，在不同的噪声强度下具有较高的鲁棒性．
关键词：次梯度投影；双正交小波；压缩感知；稀疏重构
中图分类号：ＴＮ９１２ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００１—０５０５（２０１１）０１－０００１－０５
ａｎｄ ｉｔｓ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ
Ｌｉａｎｇ Ｒｕｉｙｕ ， Ｚｏｕ Ｃａｉｒｏｎｇ Ｚｈａｏ Ｌｉ Ｘｉ Ｊｉ Ｚｈａｎｇ Ｘｕｅｗｕ
（ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｏｕｔｈｅａｓｔ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ ２１００９６，Ｃｈｉｎａ） （ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，Ｈｏｈａｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｚｈｏｕ ２１３０２２．Ｃｈｉｎａ）
第４７卷第８期 ２０１３年８月 西 安 交 通 大 学 学 报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＸＩ’ＡＮ ＪＩＡＯＴＯＮＧ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ Ｖｏ１．４７ ＮＯ．８ Ａｕｇ．２０１３
ＤＯＩ：１０．７６５２／ｘｊｔｕｘｂ２０１３０８０１３
合成孑Ｌ径雷达图像的贝叶斯压缩感知重构算法
侯兴松，张兰，肖琳 （西安交通大学电子与信息工程学院，７１００４９，西安）
摘要：针对目前合成孔径雷达（ＳＡＲ）图像压缩感知重构算法没有充分利用小波系数相关性的缺 点，提出了一种综合利用尺度间衰减性和尺度内方向能量聚集性的ＳＡＲ图像贝叶斯压缩感知重构
算法（ＤＬＷＴ—ＴＤＣ）。首先采用方向提升小波变换（ＤＬＷＴ）对ＳＡＲ图像进行稀疏表示，然后在３ 个高频子带中分别使用３×５、５×３、５×５邻域设计了具有方向和空间局部自适应的先验概率分布 模型，最后利用马尔科夫链蒙特卡罗采样的贝叶斯推理恢复出图像的小波系数，进而得到重构图
像。实验结果表明，ＤＩ ｗＴ—ＴＤＣ算法在采样率为５Ｏ ～９０ 下可以提高图像的重构性能，与仅利 用尺度间相关性的小波树结构的压缩感知重构算法相比，在９０ 高采样率下的重构性能可提高
３ ｄＢ左右。 关键词：合成孔径雷达；方向提升小波变换；稀疏表示；贝叶斯推理；压缩感知 中图分类号：ＴＮ９１４．４２ 文献标志码：Ａ 文章编号：０２５３—９８７Ｘ（２０１３）０８—００７４—０６
Ａ Ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗｉｔｈ Ｂａｙｅｓｉａｎ Ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ Ｓｅｎｓｉｎｇ
ｆｏｒ Ｓｙｎｔｈｅｔｉｃ Ａｐｅｒｔｕｒｅ Ｒａｄａｒ Ｉｍａｇｅｓ
ＨＯＵ Ｘｉｎｇｓｏｎｇ，ＺＨＡＮＧ Ｉ ａｎ，ＸＩＡＯ Ｉ ｉｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｘｉ’ａｎ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ ７ １ ００４９，Ｃｈｉｎａ）
压缩感知 稀疏贝叶斯算法
压缩感知是一种信号处理方式，其基本思想是通过采集少量的信号样本，然后通过某种算法重构出原始信号。稀疏贝叶斯算法是压缩感知中的一种重要方法，它利用贝叶斯估计理论来恢复稀疏信号。
压缩感知的基本模型可描述为：y = Ax + v，其中y为观测到的信号，A为M×N的感知矩阵，x为N×1维的待求信号，v为M×1维的噪声向量。稀疏贝叶斯学习则是在压缩感知的基础上引入了贝叶斯估计理论，用于恢复稀疏信号。具体来说，稀疏贝叶斯学习将信号建模为一个稀疏的概率图模型，然后通过贝叶斯公式来求解最优的信号值。
然而，传统的稀疏贝叶斯算法在存在噪声的情况下，其恢复效果可能不佳。为了解决这个问题，研究者们提出了结合自适应稀疏表示和稀疏贝叶斯学习的压缩感知图像重建方法。此外，还有研究者提出基于块稀疏贝叶斯学习的多任务压缩感知重构算法，该算法利用块稀疏的单测量矢量模型求解多任务重构问题。这些改进的方法都在一定程度上提高了压缩感知的性能。
压缩感知理论
一、压缩感知理论简介
压缩感知，又称压缩采样，压缩传感。它作为一个新的采样理论，它通过开发信号的稀疏特性，在远小于Nyquist采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法完美的重建信号。压缩感知理论一经提出，就引起学术界和工业界的广泛关注。它在信息论、图像处理、地球科学、光学、微波成像、模式识别、无线通信、大气、地质等领域受到高度关注，并被美国科技评论评为2007年度十大科技进展。
二、压缩感知产生背景
信号采样是模拟的物理世界通向数字的信息世界之必备手段。多年来，指导信号采样的理论基础一直是著名的Nyquist采样定理。定理指出，只有当采样速率达到信号带宽的两倍以上时，才能由采样信号精确重建原始信号。可见，带宽是Nyquist采样定理对采样的本质要求。但是，对于超宽带通信和信号处理、核磁共振成像、雷达遥感成像、传感器网络等实际应用，信号的带宽变得越来越大，人们对信号的采样速率、传输速度和存储空间的要求也变得越来越高。为了缓解对信号传输速度和存储空间的压力，当前常见的解决方案是信号压缩但是，信号压缩实际上是一种严重的资源浪费，因为大量采样数据在压缩过程中被丢弃了，它们对于信号来说是不重要的或者只是冗余信息。故而就有人研究如何很好地利用采集到的信号，压缩感知是由 E. J. Candes、J. Romberg、T. Tao 和D. L. Donoho等科学家于2004
年提出，压缩感知方法抛弃了当前信号采样中的冗余信息。它直接从连续时间信号变换得到压缩样本，然后在数字信号处理中采用优化方法处理压缩样本。这里恢复信号所需的优化算法常常是一个已知信号稀疏的欠定线性逆问题。
三、压缩感知理论
压缩感知理论主要涉及到三个方面，即信号的稀疏表示、测量矩阵的设计和重构算法的构造。稀疏信号广义上可理解为信号中只有少数元素是非零的，或者信号在某一变换域内少数元素是非零的。那么在我们如果只保留这些非零数据，丢弃其他的系数，则可以减小储存该信号需要的空间，达到了压缩(有损压缩）的目的，同时，这些系数可以重构原始信号，不过一般而言得到的是X的一个逼近。在实际生活中有很多数字信号都是稀疏信号或者在某一变换域内是稀疏的，这样压缩感知理论的第一个方面就可以得到满足。如果信号NxR在某变换域内是稀疏的，可以用一组正交基12[,,,]N线性组合表示：1Niiixss，其中式中，是对应于正交基的投影系数。由稀疏性可知其内只含有少数不为零的数，感知信号y可表示为：yxss，Φ就为测量矩阵，Ψ为稀疏表示矩阵，当测量矩阵与稀疏表示矩阵不相关时就可以从s中不失真的恢复出原始信号x，常用的测量矩阵有高斯随机阵等。接下来是算法的重构，由于用少数信号恢复原来的大信号，这是一个欠定问题，一般用最优化方法来求解。这就是压缩感知理论体系的基本理论。
