概率论与数理统计的习题集及答案

第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。

（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。

（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。

（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。

（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。

（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。

（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。

（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。

（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。

（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。

概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。

参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。

参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。

参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。

参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。

参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。

概率论与数理统计练习题集及答案一、选择题：1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为 A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++ C 321321321A A A A A A A A A ++ D 321A A A2．掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为 A365 B 364 C 363 D 362 3．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则A )(1)(B P A P -= B )()()(B P A P AB P =C 1)(=+B A PD 1)(=AB P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-000)(2x x ce x f x ,则=EXA 21B1 C2 D 415．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是A +∞<<∞-+=x x x F ,11)(21 B ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=001)(2x x x x x FC +∞<<∞-=-x e x F x ,)(3D +∞<<∞-+=x x x F ,arctan 2143)(4π6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为A )2(2y f X -B )2(y f X -C )2(21y f X -- D )2(21y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=h A 81 B 83 C 41 D 318．设随机变量]5,1[~U X ,随机变量)4,2(~N Y ,且X 与Y 相互独立,则=-)2(Y XY EA3 B6 C10 D129．设X 与Y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正,若EY EX EXY ⋅=,则下列结论不正确的是A X 与Y 相互独立B X 与Y 不相关C 0),cov(=Y XD DY DX Y X D +=+)(答案：1. B2. A 6. D 7. D 8. C 9. A1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为 C A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++C 321321321A A A A A A A A A ++D 321A A A2．将两封信随机地投入4个邮筒中,则未向前两个邮筒中投信的概率为 AA 2242B 2412C C C 24!2AD !4!23．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则 D A )()|(A P B A P = B )()()(B P A P AB P = C )()()|(B P A P B A P = D 0)|(=B A P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其他),0(2)(a x x x f ,则=EX AA 32B1 C 38 D316 5．随机变量X 的分布函数⎩⎨⎧≤>+-=-0)1()(x x e x A x F x,则=A B A0 B1 C2 D36．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 3-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为 DA )3(3y f X -B )3(y f X -C )3(31y f X --D )3(31y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=e B A 81 B 41 C 83 D 318．设随机变量Y X ,相互独立,且)5.0,16(~b X ,Y 服从参数为9的泊松分布,则=+-)12(Y X D CA-14 B13 C40 D419．设),(Y X 为二维随机向量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D A X 与Y 相互独立 B EY EX Y X E +=+)( C DY DX DXY ⋅= D EY EX EXY ⋅= 一、填空题1.设A ,B 是两个随机事件,5.0)(=A P ,8.0)(=+B A P ,)1(若A 与B 互不相容,则)(B P = ；)2(若A 与B 相互独立,则)(B P = .2.一袋中装有10个球,其中4个黑球,6个白球,先后两次从袋中各取一球不放回.已知第一次取出的是黑球,则第二次取出的仍是黑球的概率为 .3.设离散型随机变量X 的概率分布为}{k a k X P 3==, ,2,1=k ,则常数=a .4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,0,0)(2x x ax x x F则常数=a ,}31{<<X P = . 5.设随机变量X 的概率分布为则)33(2+X E = .6.如果随机变量X 服从],[b a 上的均匀分布,且3)(=X E ,34)(=X D ,则a = ,b = .7.设随机变量X ,Y 相互独立,且都服从参数为6.0的10-分布,则}{Y X P == .8.设X ,Y 是两个随机变量,2)(=X E ,20)(2=X E ,3)(=Y E ,34)(2=Y E ,5.0=XY ρ,则)(Y X D - = .答案：1. 3.0,6.02. 313. 414.41,435.5.46. 1,57. 0.52 8. 211.设A ,B 是两个随机事件,3.0)(=A P ,)()(B A P AB P =,则)(B P = .2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码,破译成功的概率依次为,,,则密码能译出的概率为 .3.设随机变量X 的概率分布为,5,4,3,2,1,15}{===k kk X P 则}31123{<<X P = . 4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x x x F ,则=<}6{πX P .5.设随机变量X 服从]3,1[上的均匀分布,则X1的数学期望为 .6.设随机变量21,X X 相互独立,其概率分布分别为则}{21X X P == .7.设X ,Y 是两个随机变量,)3,0(~2N X ,)4,1(~2N Y ,X 与Y 相互独立,则~Y X + .8.设随机变量21,X X 相互独立,且都服从0,1上的均匀分布,则=-)3(21X X D .9.设随机变量X 和Y 的相关系数为5.0,=)(X E 0)(=Y E ,=)(2X E 2)(2=Y E ,则2)(Y X E + = . 答案：1. 0.72.3.314. 0.55. 3ln 216. 957. )5,1(2N8. 659. 6二、有三个箱子,第一个箱子中有3个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子中有3个黑球5个白球. 现随机地选取一个箱子,再从这个箱子中任取1个球.1求取到的是白球的概率；2若已知取出的球是白球,求它属于第二个箱子的概率.解：设事件i A 表示该球取自第i 个箱子)3,2,1(=i ,事件B 表示取到白球.2411853163314131)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P114)()|()()()()|(241163312222=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P三、某厂现有三部机器在独立地工作,假设每部机器在一天内发生故障的概率都是2.0. 在一天中,若三部机器均无故障,则该厂可获取利润2万元；若只有一部机器发生故障,则该厂仍可获取利润1万元；若有两部或三部机器发生故障,则该厂就要亏损5.0万元. 求该厂一天可获取的平均利润.设随机变量X 表示该厂一天所获的利润万元,则X 可能取5.0,1,2-,且512.08.0}2{3===X P ,384.08.02.0}1{213=⨯⨯==C X P ,104.0384.0512.01}5.0{=--=-=X P .所以356.1104.0)5.0(384.01512.02)(=⨯-+⨯+⨯=X E 万元四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,4),(y x xy y x f .)1(求}{Y X P <；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解： 1 5.0)1(24),(}{102110=-===<⎰⎰⎰⎰⎰<dx x x xydy dx dxdy y x f Y X P x yx ；2,,010,24),()(,,010,24),()(1010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y y xydx dx y x f y f x x xydy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它,010,3)(2x x x f X ,求随机变量12+=X Y 的密度函数.解法一：Y 的分布函数为)21(}21{}12{}{)(-=-≤=≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤-=-=-=其它即,0311210,)1(83)21(23)21(21)(22y y y y y f y f X Y解法二：因为12+=x y 是10≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-=≤-=⨯-==其它即,031121)(0,)21(2321)21(3|)(|))(()(22y y y h y y dy y dh y h f y f X Y注：21)(-==y y h x 为12+=x y 的反函数;二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件,他们生产的零件数之比为5:3:2. 已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为%2%,4%,3. 现从三人生产的零件中任取一个. )1(求该零件是次品的概率；)2(若已知该零件为次品,求它是由甲生产的概率.解：设事件321,,A A A 分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产,事件B 表示取到的零件是次品.1 028.0%2105%4103%3102)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P ；2 143028.0%32.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P .三、设一袋中有6个球,分别编号1,2,3,4,5,6. 现从中任取2个球,用X 表示取到的两个球的最大编号. )1(求随机变量X 的概率分布；)2(求EX .解：X 可能取6,5,4,3,2,且6,5,4,3,2,1511}{26=-=-==k k C k k X P所以X 的概率分布表为3/115/45/115/215/165432P X且31415162=-⨯=∑=k k k EX .四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,020,10,),(y x x y x f .)1(求}1{≤+Y X P ；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解：1 31),(}1{1020101====≤+⎰⎰⎰⎰⎰≤+dx x xdy dx dxdy y x f Y X P x y x ； 2,,020,21),()(,,010,2),()(1020⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y xdx dx y x f y f x x xdy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 服从区间]3,0[上的均匀分布,求随机变量13-=X Y 的密度函数.解法一：由题意知⎩⎨⎧≤≤=其它,030,3/1)(x x f X . Y 的分布函数为)31(}31{}13{}{)(+=+≤=≤-=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+≤=+=其它即,0813310,91)31(31)(y y y f y f X Y 解法二：因为13-=x y 是30≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+=≤=⨯==其它即,081,331)(0,913131|)(|))(()(y y y h dy y dh y h f y f X Y 注：31)(+==y y h x 为13-=x y 的反函数; 三、已知一批产品中有90%是合格品,检查产品质量时,一个合格品被误判为次品的概率为,一个次品被误判为合格品的概率是．求：1任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率； 2一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率． 解：设=1A “确实为合格品”,=2A “确实为次品”, =B “判为合格品”1)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P += 859.004.01.095.09.0=⨯+⨯=29953.0)()|()()|(111==B P A B P A P B A P四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他0),(yx e y x f y,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}1{<+Y X P ． 解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞-∞+∞-⎰⎰000000),()(x x ex x dy e dy y x f x f x x y X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰00000),()(0y y yey y dx e dx y x f y f y y y Y 2)()(),(y f x f y x f Y X ≠ ∴ X 与Y 不独立 315.0210121}1{----+-==<+⎰⎰e e dxdy e Y X P xxy四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<>=-其他10,02),(y x ye y x f x,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}{Y X P <． 解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰0000002),()(10x x ex x dy ye dy y x f x f x x X⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰+∞-∞+∞-其他其他01020102),()(0y y y dx ye dx y x f y f x Y2)()(),(y f x f y x f Y X = ∴ X 与Y 独立 3142}{1101-==<--⎰⎰e dxdy ye Y X P x x一、单项选择题1. 对任何二事件A 和B,有=-)(B A P C .A. )()(B P A P -B. )()()(AB P B P A P +-C. )()(AB P A P -D. )()()(AB P B P A P -+ 2. 设A 、B 是两个随机事件,若当B 发生时A 必发生,则一定有 B . A. )()(A P AB P = B. )()(A P B A P =⋃ C. 1)/(=A B P D. )()/(A P B A P = 3. 甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次,命中率分别为0.5,0.8,则目标被击中的概率为 C 甲乙至少有一个击中A. 0.7B. 0.8C. 0.9D.0.854. 设随机变量X 的概率分布为则a,b 可以是 D 归一性. A. 4161==,b a B. 125121==,b a C. 152121==,b a D.3141==,b a 5. 设函数0.5,()0,a x bf x ≤≤⎧=⎨⎩其它 是某连续型随机变量X 的概率密度,则区间],[b a 可以是 B 归一性.A. ]1,0[B. ]2,0[C. ]2,0[D. ]2,1[6. 设二维随机变量),(Y X 的分布律为则==}0{XY P D .A. 0.1B. 0.3C.D.7. 设随机变量X 服从二项分布),(p n B ,则有 D 期望和方差的性质.A. 12(-X E np 2)=B. 14)12(-=-np X EC. 1)1(4)12(--=-p np X DD. )1(4)12(p np X D -=- 8．已知随机变量(,)X B n p ,且 4.8, 1.92EX DX ==,则,n p 的值为 AA.8,0.6n p == B.6,0.8n p == C.16,0.3n p ==D.12,0.4n p == 9．设随机变量(1,4)XN ,则下式中不成立的是 BA. 1EX =B. 2DX =C. {1}0P X ==D.{1}0.5P X ≤=10. 设X 为随机变量,1,2=-=DX EX ,则)(2X E 的值为 A 方差的计算公式.A ．5 B. 1- C. 1 D. 311. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其它,010,)(x b ax x f ,且EX=0,则A 归一性和数学期望的定义.A. 6,4a b =-=B. 1,1a b =-=C. 6,1a b ==D.1,5a b ==12. 设随机变量X 服从参数为的指数分布,则下列各项中正确的是 A A. ()0.2,()0.04E X D X == B. ()5,()25E X D X == C. ()0.2,()4E X D X == D. ()2,()0.25E X D X == 13. 设(,)X Y 为二维连续型随机变量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D .A. X 与Y 相互独立B.()()()E X Y E X E Y +=+C. ()()()E XY E X E Y =D. 221212(,)(,,,0)X Y N μμσσ 二、填空题1. 已知PA=,PA-B=,且A 与B 独立,则PB= .2. 设B A ,是两个事件,8.0)(,5.0)(=⋃=B A P A P ,当A, B 互不相容时,PB=；当A, B 相互独立时,PB=53 .3. 设在试验中事件A 发生的概率为p,现进行n 次重复独立试验,那么事件A 至少发生一次的概率为1(1)n p --.4. 一批产品共有8个正品和2个次品,不放回地抽取2次,则第2次才抽得次品的概率P =845. 5. 随机变量X 的分布函数Fx 是事件 PX )x ≤ 的概率.6. 若随机变量X ~ )0)(,(2>σσμN ,则X 的密度函数为 .7.设随机变量X 服从参数2=θ的指数分布,则X 的密度函数()f x = ； 分布函数Fx= .8. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,三个值,其相应的概率依次为125236,,c c c,则c = 2 归一性 . 9. 设随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,x x f x λ⎧<<=⎨⎩其它,则λ＝ 3归一性 .10. 设随机变量X ～2(2,)N σ,且{23}0.3P X <<=,则{1}P X <=.22232{23}{}11()(0)0.3,(0)0.5()=0.821211{1}{}=()=1()=0.2X P X P X P X P σσσσσσσσσ---<<=<<=Φ-Φ=Φ=∴Φ--<=<Φ--Φ又，，11. 设随机变量X ～N1,4,φ=,φ=,则P{|X |﹥2}= .{||>2}1{||2}1{22}2112111{}1{1.50.5}22221((0.5)( 1.5)0.9332),( 1.5)0.06680.69150.06680.31(1.5)=1-{||>2}=1((0.5)( 1.5))=751)3(P X P X P X X X P P P X ==-≤=--≤≤-----=-≤≤=--≤≤=-Φ-Φ-Φ-=-Φ∴-Φ-Φ--=-又 12. 设随机变量X ~ ),(211σμN ,Y ~ ),(222σμN ,且X 与Y 相互独立,则X+Y ~221212(,)N μμσσ++ 分布.13. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差0DX >都存在,令DXEX X Y -=,则____0__=EY ；___1___=DY .14. 若X 服从区间0,2上的均匀分布,则2()E X ＝4/3 . 15. 若X ～(4,0.5)B ,则(23)D X -= 9 . 17. 设随机变量X 的概率密度23,01()0,x x f x ⎧<<=⎨⎩其它,()_____E X =,()_____D X =.18. 设随机变量X 与Y 相互独立,1,3DX DY ==,则(321)D X Y -+=(3)(2)9()4()D X D Y D X D Y +=+=21 .三、计算题1. 设随机变量X 与Y 独立,X ～(1,1)N ,Y ～)2,2(2N ,且0.2XY ρ=,求随机变量函数23Z X Y =-的数学期望与方差. 四、证明题1. 设随机变量X 服从标准正态分布,即X ～)1,0(N ,2X Y =,证明：Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,21)(2y y e yy f y Y π .五、综合题1.设二维随机变量X,Y 的联合密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,010,10,6),(2y x xy y x f ,求：1关于X,Y 的边缘密度函数；2判断X,Y 是否独立；3求{}P X Y >.。

概率论与数理统计<概率论>试题一、填空题1．设 A 、B 、C 是三个随机事件;试用 A 、B 、C 分别表示事件1A 、B 、C 至少有一个发生2A 、B 、C 中恰有一个发生3A 、B 、C 不多于一个发生2．设 A 、B 为随机事件, P (A)=0.5,P(B)=0.6,P(B A)=0.8;则P(B )A ＝3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3,P(A B)=0.7,则α=4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为和,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)kP X k A k ===⋅⋅⋅则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =⎩⎨⎧<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为8081,则该射手的命中率为_________10.若随机变量ξ在1,6上服从均匀分布,则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=,4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用,X Y 的联合分布函数Fx,y 表示P{a b,c}X Y ≤≤<=13.用,X Y 的联合分布函数Fx,y 表示P{X a,b}Y <<=14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成,二维随机变量x,y 在区域D 上服从均匀分布,则x,y 关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 ;15.已知)4.0,2(~2-N X ,则2(3)E X +＝16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ,且X 与Y 相互独立,则(3)D X Y -=17.设X的概率密度为2()x f x -=,则()D X ＝ 18.设随机变量X 1,X 2,X 3相互独立,其中X 1在0,6上服从均匀分布,X 2服从正态分布N0,22,X 3服从参数为λ=3的泊松分布,记Y=X 1－2X 2+3X 3,则DY=19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===,则()D X Y +=20.设12,,,,n X X X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或X ～ ;特别是,当同为正态分布时,对于任意的n ,都精确有X ～ 或X ～ .21.设12,,,,n X X X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=,2i DX σ=(1,2,)i =⋅⋅⋅ 那么211n i i X n =∑依概率收敛于 . 22.设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本,令221234()(),Y X X X X =++- 则当C = 时CY ～2(2)χ;23.设容量n = 10 的样本的观察值为8,7,6,9,8,7,5,9,6,则样本均值= ,样本方差=24.设X 1,X 2,…X n 为来自正态总体2(,)N μσX的一个简单随机样本,则样本均值11ni i n =X =X ∑服从二、选择题1. 设A,B 为两随机事件,且B A ⊂,则下列式子正确的是 AP A+B = P A; B ()P(A);P AB =C (|A)P(B);P B =D (A)P B -=()P(A)P B -2. 以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为 A “甲种产品滞销,乙种产品畅销”； B “甲、乙两种产品均畅销”C “甲种产品滞销”；D “甲种产品滞销或乙种产品畅销”;3. 袋中有50个乒乓球,其中20个黄的,30个白的,现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球;则第二人取到黄球的概率是A1/5 B2/5 C3/5 D4/54. 对于事件A,B,下列命题正确的是A 若A,B 互不相容,则A 与B 也互不相容;B 若A,B 相容,那么A 与B 也相容;C 若A,B 互不相容,且概率都大于零,则A,B 也相互独立;D 若A,B 相互独立,那么A 与B 也相互独立;5. 若()1P B A =,那么下列命题中正确的是A AB ⊂ B B A ⊂C A B -=∅D ()0P A B -=6． 设X ～2(,)N μσ,那么当σ增大时,{}P X μσ-<= A 增大 B 减少 C 不变 D 增减不定;7．设X 的密度函数为)(x f ,分布函数为)(x F ,且)()(x f x f -=;那么对任意给定的a 都有A 0()1()a f a f x dx -=-⎰B 01()()2a F a f x dx -=-⎰ C )()(a F a F -= D 1)(2)(-=-a F a F8．下列函数中,可作为某一随机变量的分布函数是A 21()1F x x =+B x x F arctan 121)(π+= C =)(x F 1(1),020,0x e x x -⎧->⎪⎨⎪≤⎩D ()()x F x f t dt -∞=⎰,其中()1f t dt +∞-∞=⎰ 9． 假设随机变量X 的分布函数为Fx,密度函数为fx.若X 与-X 有相同的分布函数,则下列各式中正确的是AFx = F-x; B Fx = - F-x;C f x = f -x;D f x = - f -x.10．已知随机变量X 的密度函数fx=x x Ae ,x 0,λλ-≥⎧⎨<⎩λ>0,A 为常数,则概率P{X<+a λλ<}a>0的值A 与a 无关,随λ的增大而增大B 与a 无关,随λ的增大而减小C 与λ无关,随a 的增大而增大D 与λ无关,随a 的增大而减小 11．1X ,2X 独立,且分布率为 (1,2)i =,那么下列结论正确的是A 21X X = Ｂ1}{21==X X P C 21}{21==X X P Ｄ以上都不正确12．设离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为 且Y X ,相互独立,则A 9/1,9/2==βαB 9/2,9/1==βαC 6/1,6/1==βαD 18/1,15/8==βα13．若X ～211(,)μσ,Y ～222(,)μσ那么),(Y X 的联合分布为 A 二维正态,且0=ρ B 二维正态,且ρ不定C 未必是二维正态D 以上都不对14．设X,Y 是相互独立的两个随机变量,它们的分布函数分别为F X x,F Y y,则Z = max{X,Y} 的分布函数是AF Z z= max { F X x,F Y y}; B F Z z= max { |F X x|,|F Y y|}C F Z z= F X x ·F Y yD 都不是(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1/61/91/181/3X Y P αβ15．下列二无函数中, 可以作为连续型随机变量的联合概率密度;Afx,y=cos x,0,⎧⎨⎩x ,0y 122ππ-≤≤≤≤其他B gx,y=cos x,0,⎧⎨⎩1x ,0y 222ππ-≤≤≤≤其他C ϕx,y=cos x,0,⎧⎨⎩0x ,0y 1π≤≤≤≤其他 D hx,y=cos x,0,⎧⎨⎩10x ,0y 2π≤≤≤≤其他16．掷一颗均匀的骰子600次,那么出现“一点”次数的均值为A 50B 100 C120 D 15017． 设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布,令1231()3Y X X X =++,则2()E Y =A1. B9. C10. D6.18．对于任意两个随机变量X 和Y ,若()()()E XY E X E Y =⋅,则A ()()()D XY D X D Y =⋅B ()()()D X Y D X D Y +=+C X 和Y 独立D X 和Y 不独立19．设()(P Poission λX 分布),且()(1)21E X X --=⎡⎤⎣⎦,则λ= A1, B2, C3, D020． 设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0,则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y 的A 不相关的充分条件,但不是必要条件；B 独立的必要条件,但不是充分条件；C 不相关的充分必要条件；D 独立的充分必要条件21．设X ～2(,)N μσ其中μ已知,2σ未知,123,,X X X 样本,则下列选项中不是统计量的是A 123X X X ++B 123max{,,}X X XC 2321i i X σ=∑D 1X μ-22．设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本,那么下列选项中不正确的是A 当n 充分大时,近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫ ⎪⎝⎭B {}(1),k k n k n P X kC p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ C {}(1),k k n k n k P X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ D {}(1),1k k n k i nP X k C p p i n -==-≤≤ 23．若X ～()t n 那么2χ～A (1,)F nB (,1)F nC 2()n χD ()t n24．设n X X X ,,21为来自正态总体),(2σμN 简单随机样本,X 是样本均值,记2121)(11X X n S n i i --=∑=,2122)(1X X n S n i i -=∑=,2123)(11μ--=∑=n i i X n S , 22411()ni i S X n μ==-∑,则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是 A 1/1--=n S X t μ B 1/2--=n S X t μ C n S X t /3μ-= D n S X t /4μ-=25．设X 1,X 2,…X n ,X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n+m 的样本,则统计量2121n i i n m i i n m V n =+=+X =X ∑∑服从的分布是A (,)F m nB (1,1)F n m --C (,)F n mD (1,1)F m n --三、解答题1．10把钥匙中有3把能打开门,今任意取两把,求能打开门的概率;2.任意将10本书放在书架上;其中有两套书,一套3本,另一套4本;求下列事件的概率;1 3本一套放在一起;2两套各自放在一起;3两套中至少有一套放在一起;3.调查某单位得知;购买空调的占15％,购买电脑占12％,购买DVD 的占20%；其中购买空调与电脑占6%,购买空调与DVD 占10%,购买电脑和DVD 占5％,三种电器都购买占2％;求下列事件的概率;1至少购买一种电器的；2至多购买一种电器的；3三种电器都没购买的；4．仓库中有十箱同样规格的产品,已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的,且甲厂,乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品,求取得正品的概率;5．一箱产品,A,B 两厂生产分别个占60％,40％,其次品率分别为1％,2％;现在从中任取一件为次品,问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大6．有标号1∼n 的n 个盒子,每个盒子中都有m 个白球k 个黑球;从第一个盒子中取一个球放入第二个盒子,再从第二个盒子任取一球放入第三个盒子,依次继续,求从最后一个盒子取到的球是白球的概率;7．从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品,各种产品被抽到的可能性相同,求在二种情况下,直到取出合格品为止,所求抽取次数的分布率;1放回 2不放回8．设随机变量X 的密度函数为()x f x Ae -= ()x -∞<<+∞,求 1系数A,2 {01}P x ≤≤3 分布函数)(x F ;9．对球的直径作测量,设其值均匀地分布在b a ,内;求体积的密度函数;10．设在独立重复实验中,每次实验成功概率为,问需要进行多少次实验,才能使至少成功一次的概率不小于;11．公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在以下来设计的,设男子的身高2(168,7)X N ,问车门的高度应如何确定12． 设随机变量X 的分布函数为：Fx=A+Barctanx,-x ∞<<+∞.求：1系数A 与B ；2X 落在-1,1内的概率；3X 的分布密度;13．把一枚均匀的硬币连抛三次,以X 表示出现正面的次数,Y 表示正、反两面次数差的绝对值 ,求),(Y X 的联合分布律与边缘分布;14．设二维连续型随机变量),(Y X 的联合分布函数为 )3arctan )(2arctan (),(y C x B A y x F ++= 求1A B C 、、的值, 2),(Y X 的联合密度, 3 判断X Y 、的独立性;15．设连续型随机变量X,Y 的密度函数为fx,y=(34)0,0,0,x y x y Ae -+>>⎧⎨⎩其他, 求 1系数A ；2落在区域D ：{01,02}x y <≤<≤的概率;16． 设),(Y X 的联合密度为x y x x Ay y x f ≤≤≤≤-=0,10),1(),(,1求系数A,2求),(Y X 的联合分布函数;17．上题条件下：1求关于X 及Y 的边缘密度; 2X 与Y 是否相互独立18．在第16题条件下,求)(x y f 和)(y x f ;19．盒中有7个球,其中4个白球,3个黑球,从中任抽3个球,求抽到白球数X 的数学期望()E X 和方差()D X ;20． 有一物品的重量为1克,2克,﹒﹒﹒,10克是等概率的,为用天平称此物品的重量准备了三组砝码 ,甲组有五个砝码分别为1,2,2,5,10克,乙组为1,1,2,5,10克,丙组为1,2,3,4,10克,只准用一组砝码放在天平的一个称盘里称重量,问哪一组砝码称重物时所用的砝码数平均最少21． 公共汽车起点站于每小时的10分,30分,55分发车,该顾客不知发车时间,在每小时内的任一时刻随机到达车站,求乘客候车时间的数学期望准确到秒;22．设排球队A 与B 比赛,若有一队胜4场,则比赛宣告结束,假设A,B 在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负23．一袋中有n 张卡片,分别记为1,2,﹒﹒﹒,n ,从中有放回地抽取出k 张来,以X 表示所得号码之和,求(),()E X D X ;24．设二维连续型随机变量X ,Y 的联合概率密度为：f x ,y=,0x 1,0y x 0,k <<<<⎧⎨⎩其他 求：① 常数k, ② ()E XY 及()D XY .25．设供电网有10000盏电灯,夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7,并且彼此开闭与否相互独立,试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率;26．一系统是由n 个相互独立起作用的部件组成,每个部件正常工作的概率为0.9,且必须至少由 80%的部件正常工作,系统才能正常工作,问n 至少为多大时,才能使系统正常工作的概率不低于 0.9527．甲乙两电影院在竞争1000名观众,假设每位观众在选择时随机的,且彼此相互独立,问甲至少应设多少个座位,才能使观众因无座位而离去的概率小于1%;28．设总体X 服从正态分布,又设X 与2S 分别为样本均值和样本方差,又设21(,)n X N μσ+,且1n X +与12,,,n X X X ⋅⋅⋅相互独立,求统计量的分布;29．在天平上重复称量一重为α的物品,假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布2(,0.2)N α,若以n X 表示n 次称量结果的算术平均值,为使()0.10.95n P X a -<≥成立,求n 的最小值应不小于的自然数30．证明题 设A,B 是两个事件,满足)()(A B P A B P =,证明事件A,B 相互独立; 31．证明题 设随即变量X 的参数为2的指数分布,证明21X Y e -=-在区间0,1上服从均匀分布;<数理统计>试题一、填空题1．设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2σN 的简单随机样本,2σ已知,令∑==161161i i X X ,则统计量σ-164X 服从分布为 必须写出分布的参数;2．设),(~2σμN X ,而,,,,是从总体X 中抽取的样本,则μ的矩估计值为 ;3．设]1,[~a U X ,n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本,求a 的矩估计为 ;4．已知2)20,8(1.0=F ,则=)8,20(9.0F ;5．θˆ和βˆ都是参数a 的无偏估计,如果有 成立 ,则称θˆ是比βˆ有效的估计;6．设样本的频数分布为则样本方差2s =_____________________;7．设总体X~N μ,σ²,X1,X2,…,Xn 为来自总体X 的样本,X 为样本均值,则D X ＝________________________;8．设总体X 服从正态分布N μ,σ²,其中μ未知,X1,X2,…,Xn 为其样本;若假设检验问题为1H 1H 2120≠↔σσ：＝：,则采用的检验统计量应________________;9．设某个假设检验问题的拒绝域为W,且当原假设H0成立时,样本值x1,x2, (x)落入W 的概率为,则犯第一类错误的概率为_____________________; 10．设样本X1,X2,…,Xn 来自正态总体N μ,1,假设检验问题为：，：＝：0H 0H 10≠↔μμ 则在H0成立的条件下,对显著水平α,拒绝域W 应为______________________;11．设总体服从正态分布(,1)N μ,且μ未知,设1,,n X X 为来自该总体的一个样本,记11nii X X n ==∑,则μ的置信水平为1α-的置信区间公式是 ；若已知10.95α-=,则要使上面这个置信区间长度小于等于,则样本容量n 至少要取__ __;12．设n X X X ,,,21 为来自正态总体2(,)N μσ的一个简单随机样本,其中参数μ和2σ均未知,记11n i i X X n ==∑,221()ni i Q X X ==-∑,则假设0H ：0μ=的t 检验使用的统计量是 ;用X 和Q 表示13．设总体2~(,)X N μσ,且μ已知、2σ未知,设123,,X X X 是来自该总体的一个样本,则21231()3X X X σ+++,12323X X X μσ++,222123X X X μ++-,(1)2X μ+中是统计量的有 ;14．设总体X 的分布函数()F x ,设n X X X ,,,21 为来自该总体的一个简单随机样本,则n X X X ,,,21 的联合分布函数 ;15．设总体X 服从参数为p 的两点分布,p 01p <<未知;设1,,n X X 是来自该总体的一个样本,则21111,(),6,{},max n niin i n i ni i X XX X X X pX ≤≤==--+∑∑中是统计量的有 ;16．设总体服从正态分布(,1)N μ,且μ未知,设1,,n X X 为来自该总体的一个样本,记11nii X X n ==∑,则μ的置信水平为1α-的置信区间公式是 ;17．设2~(,)X X X N μσ,2~(,)Y Y Y N μσ,且X 与Y 相互独立,设1,,m X X 为来自总体X 的一个样本；设1,,n Y Y 为来自总体Y 的一个样本；2X S 和2Y S 分别是其无偏样本方差,则2222//X X Y Y S S σσ服从的分布是 ;18．设()2,0.3X N μ~,容量9n =,均值5X =,则未知参数μ的置信度为的置信区间是 查表0.025 1.96Z =19．设总体X ～2(,)N μσ,X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本,X 为样本均值,则D X ＝________________________;20．设总体X 服从正态分布N μ,σ²,其中μ未知,X 1,X 2,…,X n 为其样本;若假设检验问题为1H 1H 2120≠↔σσ：＝：,则采用的检验统计量应________________;21．设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本,μ和2σ均未知,记11n i i X X n ==∑,221()ni i X X θ==-∑,则假设0:0H μ=的t 检验使用统计量T＝ ;22．设11m i i X X m ==∑和11ni i Y Y n ==∑分别来自两个正态总体211(,)N μσ和222(,)N μσ的样本均值,参数1μ,2μ未知,两正态总体相互独立,欲检验22012:H σσ= ,应用检验法,其检验统计量是 ;23．设总体X ～2(,)N μσ,2,μσ为未知参数,从X 中抽取的容量为n 的样本均值记为X ,修正样本标准差为*n S ,在显著性水平α下,检验假设0:80H μ=,1:80H μ≠的拒绝域为 ,在显著性水平α下,检验假设2200:H σσ=0σ已知,2110:H σσ≠的拒绝域为 ;24．设总体X ～12(,),01,,,,n b n p p X X X <<⋅⋅⋅为其子样,n 及p 的矩估计分别是 ;25．设总体X ～[]120,,(,,,)n U X X X θ⋅⋅⋅是来自X 的样本,则θ的最大似然估计量是 ;26．设总体X ～2(,0.9)N μ,129,,,X X X ⋅⋅⋅是容量为9的简单随机样本,均值5x =,则未知参数μ的置信水平为0.95的置信区间是 ;27．测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差微米如下： +2,+1,-2,+3,+2,+4,-2,+5,+3,+4则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是28．设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本,令221234()(),Y X X X X =++- 则当C = 时CY ～2(2)χ;29．设容量n = 10 的样本的观察值为8,7,6,9,8,7,5,9,6,则样本均值= ,样本方差= 30．设X 1,X 2,…X n 为来自正态总体2(,)N μσX的一个简单随机样本,则样本均值11ni i n =X =X ∑服从二、选择题1.1621,,,X X X 是来自总体），10(N ~X 的一部分样本,设：216292821X X Y X X Z ++=++= ,则YZ~ )(A )1,0(N )(B )16(t )(C )16(2χ )(D )8,8(F2.已知n X X X ,,,21 是来自总体的样本,则下列是统计量的是X X A +)( +A ∑=-n i iX n B 1211)( a X C +)( +10 131)(X a X D ++5 3.设81,,X X 和101,,Y Y 分别来自两个相互独立的正态总体)2,1(2-N 和)5,2(N 的样本, 21S 和22S 分别是其样本方差,则下列服从)9,7(F 的统计量是)(A 222152S S )(B 222145S S )(C 222154S S )(D 222125S S 4.设总体),(~2σμN X ,n X X ,,1 为抽取样本,则∑=-ni i X X n 12)(1是)(A μ的无偏估计 )(B 2σ的无偏估计 )(C μ的矩估计 )(D 2σ的矩估计5、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本,且μ=EX ,则下列是μ的无偏估计的是)(A ∑-=111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=ni i X n 21 )(D ∑-=-1111n i i X n 6．设n X X X ,,,21 为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本,若进行假设检验,当__ __时,一般采用统计量X t =A 220μσσ未知，检验＝B 220μσσ已知，检验＝ C 20σμμ未知，检验＝ D 20σμμ已知，检验＝7．在单因子方差分析中,设因子A 有r 个水平,每个水平测得一个容量为im 的样本,则下列说法正确的是___ __A 方差分析的目的是检验方差是否相等B 方差分析中的假设检验是双边检验C 方差分析中211.()im r e ij i i j S y y ===-∑∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异D 方差分析中2.1()rA i i i S m y y ==-∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异8．在一次假设检验中,下列说法正确的是______ A 既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误B 如果备择假设是正确的,但作出的决策是拒绝备择假设,则犯了第一类错误C 增大样本容量,则犯两类错误的概率都不变D 如果原假设是错误的,但作出的决策是接受备择假设,则犯了第二类错误9．对总体2~(,)X N μσ的均值μ和作区间估计,得到置信度为95%的置信区间,意义是指这个区间A 平均含总体95%的值B 平均含样本95%的值C 有95%的机会含样本的值D 有95%的机会的机会含μ的值 10．在假设检验问题中,犯第一类错误的概率α的意义是 A 在H 0不成立的条件下,经检验H 0被拒绝的概率 B 在H 0不成立的条件下,经检验H 0被接受的概率 C 在H 00成立的条件下,经检验H 0被拒绝的概率 D 在H 0成立的条件下,经检验H 0被接受的概率 11. 设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本,则2σ的最大似然估计为A ()211n i i X X n =-∑B ()2111n i i X X n =--∑C 211n i i X n =∑ D 2X 12.X 服从正态分布,1-=EX ,25EX =,),,(1n X X 是来自总体X 的一个样本,则∑==ni inX X 11服从的分布为___ ;A N 1-,5/nB N 1-,4/nC N 1-/n,5/nD N 1-/n,4/n13．设n X X X ,,,21 为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本,若进行假设检验,当___ __时,一般采用统计量X U =A 220μσσ未知，检验＝B 220μσσ已知，检验＝C 20σμμ未知，检验＝D 20σμμ已知，检验＝14．在单因子方差分析中,设因子A 有r 个水平,每个水平测得一个容量为i m 的样本,则下列说法正确的是____ _ A 方差分析的目的是检验方差是否相等 B 方差分析中的假设检验是双边检验C 方差分析中211.()im r e ij i i j S y y ===-∑∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异D 方差分析中2.1()rA i i i S m y y ==-∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异15．在一次假设检验中,下列说法正确的是___ ____ A 第一类错误和第二类错误同时都要犯B 如果备择假设是正确的,但作出的决策是拒绝备择假设,则犯了第一类错误C 增大样本容量,则犯两类错误的概率都要变小D 如果原假设是错误的,但作出的决策是接受备择假设,则犯了第二类错误16．设ˆθ是未知参数θ的一个估计量,若ˆE θθ≠,则ˆθ是θ的___ _____A 极大似然估计B 矩法估计C 相合估计D 有偏估计 17．设某个假设检验问题的拒绝域为W,且当原假设H 0成立时,样本值x 1,x 2, …,x n落入W 的概率为,则犯第一类错误的概率为__________; A B C D18.在对单个正态总体均值的假设检验中,当总体方差已知时,选用A t 检验法B u 检验法C F 检验法D 2χ检验法19.在一个确定的假设检验中,与判断结果相关的因素有 A 样本值与样本容量 B 显著性水平α C 检验统计量 DA,B,C 同时成立 20.对正态总体的数学期望μ进行假设检验,如果在显著水平0.05下接受00:H μμ=,那么在显著水平下,下列结论中正确的是A 必须接受0HB 可能接受,也可能拒绝0HC 必拒绝0HD 不接受,也不拒绝0H21.设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个简单样本,则2()E X 的矩估计是A 22111()1n i i S X X n ==--∑B 22211()n i i S X X n ==-∑C 221S X +D 222S X +22.总体X ～2(,)N μσ,2σ已知,n ≥ 时,才能使总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间长不大于LA 152σ/2LB 15.36642σ/2LC 162σ/2LD 16 23.设12,,,nX X X ⋅⋅⋅为总体X 的一个随机样本,2(),()E X D X μσ==,12211()n i i i C X X θ-+==-∑为 2σ的无偏估计,C ＝A 1/nB 1/1n -C 1/2(1)n -D 1/2n - 24.设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本,则2σ的最大似然估计为A ()211n i i X X n =-∑B ()2111n i i X X n =--∑C 211n i i X n =∑ D 2X 25.设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本,那么下列选项中不正确的是A 当n 充分大时,近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫⎪⎝⎭B {}(1),k kn k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅C {}(1),k k n k n k P X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅D {}(1),1k kn k i nP X k C p p i n -==-≤≤ 26.若X ～()t n 那么2χ～A (1,)F nB (,1)F nC 2()n χ D ()t n27.设n X X X ,,21为来自正态总体),(2σμN 简单随机样本,X 是样本均值,记2121)(11X X n S n i i --=∑=,2122)(1X X n S n i i -=∑=,2123)(11μ--=∑=n i i X n S , 22411()ni i S X n μ==-∑,则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是A 1/1--=n S X t μ B 1/2--=n S X t μ C nS X t /3μ-=D nS X t /4μ-=28.设X 1,X 2,…X n ,X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n+m 的样本,则统计量2121ni i n mi i n m V n =+=+X =X ∑∑服从的分布是A (,)F m nB (1,1)F n m --C (,)F n mD (1,1)F m n -- 29．设 ()2~,X N μσ,其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本, 下列各项不是统计量的是＿＿＿＿Ａ4114i i X X ==∑ Ｂ142X X μ+-Ｃ42211()i i K X X σ==-∑ Ｄ4211()3i i S X X ==-∑30. 设 ()2~,N ξμσ,其中μ已知,2σ未知,123,,X X X 为其样本, 下列各项不是统计量的是A 22212321()X X X σ++ Ｂ13X μ+Ｃ123max(,,)X X X D 1231()3X X X ++三、计算题1.已知某随机变量X 服从参数为λ的指数分布,设n X X X ,,,21 是子样观察值,求λ的极大似然估计和矩估计;10分2.某车间生产滚珠,从某天生产的产品中抽取6个,测得直径为： 已知原来直径服从)06.0,(N μ,求：该天生产的滚珠直径的置信区间;给定05.0=α,645.105.0=Z ,96.1025.0=Z 8分3.某包装机包装物品重量服从正态分布)4,(2μN ;现在随机抽取16个包装袋,算得平均包装袋重为900=x ,样本均方差为22=S ,试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有变化05.0=α488.2715262.6)15(2025.02975.0==）（，χχ8分 4.设某随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧+=0)1()(λλx x f 其他10<<x 求λ的极大似然估计; 6分5.某车间生产滚珠,从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布,且直径的方差为04.02=σ,从某天生产的产品中随机抽取9个,测得直径平均值为15毫米,试对05.0=α求出滚珠的平均直径的区间估计;8分)96.1,645.1(025.005.0==Z Z6.某种动物的体重服从正态分布)9,(μN ,今抽取9个动物考察,测得平均体重为3.51公斤,问：能否认为该动物的体重平均值为52公斤;05.0=α8分96.1645.1025.005.0==Z Z7.设总体X 的密度函数为：⎩⎨⎧+=0)1()(ax a x f 其他10<<x , 设n X X ,,1 是X 的样本,求a 的矩估计量和极大似然估计;10分8.某矿地矿石含少量元素服从正态分布,现在抽样进行调查,共抽取12个子样算得2.0=S ,求σ的置信区间1.0=α,68.19)11(22=αχ,57.4)11(221=-αχ8分9．某大学从来自A,B 两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生,测其身高单位：cm 后算得x ＝,y ＝；1.9s 3.11s 2221==，;假设两市新生身高分别服从正态分布X-N μ1,σ2,Y-N μ2,σ2其中σ2未知;试求μ1－μ2的置信度为的置信区间;9=,11=10．10分某出租车公司欲了解：从金沙车站到火车北站乘租车的时间; 随机地抽查了9辆出租车,记录其从金沙车站到火车北站的时间,算得20x =分钟,无偏方差的标准差3s =;若假设此样本来自正态总体2(,)N μσ,其中2,μσ均未知,试求σ的置信水平为的置信下限;11．10分设总体服从正态分布2(,)N μσ,且μ与2σ都未知,设1,,n X X 为来自总体的一个样本,其观测值为1,,n x x ,设11n i i X X n ==∑,2211()n n i i S X X n ==-∑;求μ和σ的极大似然估计量;12．8分掷一骰子120次,得到数据如下表若我们使用2χ检验,则x 取哪些整数值时,此骰子是均匀的的假设在显著性水平0.05α=下被接受13.14分机器包装食盐,假设每袋盐的净重服从2~(,)X N μσ正态分布, 规定每袋标准重量为1μ=kg,方差220.02σ≤;某天开工后,为检验其机器工作是否正常,从装好的食盐中随机抽取抽取9袋,测得净重单位：kg 为：,,,,,,,,算得上述样本相关数据为：均值为0.998x =,无偏标准差为0.032s =,21()0.008192nii x x =-=∑;问1在显著性水平0.05α=下,这天生产的食盐的平均净重是否和规定的标准有显著差异2 在显著性水平0.05α=下,这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准3你觉得该天包装机工作是否正常14．8分设总体X 有概率分布现在观察到一个容量为3的样本,11x =,22x =,31x =;求θ的极大似然估计值15．12分对某种产品进行一项腐蚀加工试验,得到腐蚀时间X 秒和 腐蚀深度Y 毫米的数据见下表：X 5 5 10 20 30 40 50 60 65 90 120 Y 4 6 8 13 16 17 19 25 25 29 46假设Y 与X 之间符合一元线回归模型01Y X ββε=++1试建立线性回归方程;2在显著性水平0.01α=下,检验01:0H β=16. 7分设有三台机器制造同一种产品,今比较三台机器生产能力,记录其五天的日产量17.10分设总体X 在),0(θ)0(>θ上服从均匀分布,n X X ,,1 为其一个样本,设},,max{1)(n n X X X =1)(n X 的概率密度函数()n p x 2求()[]n E X18.7分机器包装食盐,假设每袋盐的净重服从2~(,)X N μσ正态分布,规定每袋标准重量为1μ=kg,方差220.02σ≤;某天开工后,为检验其机器工作是否正常,从装好的食盐中随机抽取抽取9袋,测得净重单位：kg 为：,,,,,,,,算得上述样本相关数据为：均值为0.998x =,无偏标准差为0.032s =,在显著性水平0.05α=下,这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准19.10分设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,1,,n X X 是来自该总体的一个样本,记11(11)kk i i X X k n k ==≤≤-∑,求统计量1k k X X +-的分布;20．某大学从来自A,B 两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生,测其身高单位：cm 后算得x ＝,y ＝；1.9s 3.11s 2221==，;假设两市新生身高分别服从正态分布X-N μ1,σ2,Y-N μ2,σ2其中σ2未知;试求μ1－μ2的置信度为的置信区间;9=,11=<概率论>试题参考答案一、填空题1． 1 C B A 2 C B A C B A C B A3 B A C A C B 或 C B A C B A C B A C B A2． , 3．3/7 , 4．4/7 = 1/1260 , 5．, 6． 1/5, 7．1=a ,=b 1/2, 8．, 9．2/3, 10．4/5, 11．5/7, 12．Fb,c-Fa,c, 13．F a,b, 14．1/2, 15．, 16．, 17．1/2, 18．46, 19．85 20．22(,),(0,1),(,),(0,1)N N N N nnσσμμ； 21．22μσ+, 22,1/8 ,23．X =7,S 2=2 , 24．2N ,n σμ⎛⎫⎪⎝⎭,二、选择题1．A 2．D 3．B 4．D 5．D 6．C 7．B 8．B 9．C 10 ．C11．C 12．A 13．C 14．C 1 5．B 16．B 17．C 18．B 19．A 20 ．C21．C 22．B 23．A 24．B 25．C 三、解答题 1. 8/15 ；2. 11/15, 21/210, 32/21;3. 1 , 2, 3 ;4. ;5. 取出产品是B 厂生产的可能性大;6. m/m+k;7.11{}(3/13)(10/13)k P X K -== 28. 1A ＝1/2 , 211(1)2e -- , 31,02()11,02xx e x F x e x ⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩9. 1/32/3330()161()(),()366f x x x a b b a πππ-⎧⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥-⎣⎦⎩其他, 10. 4≥n11. 提示：99.0}{01.0}{≥<≤≥h x P h x P 或,利用后式求得31.184=h 查表(2.33)0.9901φ= 12. 错误!A=1/2,B=1π； 错误! 1/2； 错误! f x=1/π1+x 2 13. 14. 12,,22A B C ππ===；2 222(,)(4)(9)f x y x y π=++；3 独立 ；15. 1 12; 2 1-e -31-e -816. 124A =24322432340003812(/2)010(,)3861014301111x y y y x x y x y x F x y y y y x y x x x x y x y <<⎧⎪-+-≤<≤<⎪⎪=++≥≤<⎨⎪-≤<≤⎪≥≥⎪⎩或 17. 1212(1),01()0,x x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其他 ； 212(1),01()0,y y y y f y ⎧-≤≤=⎨⎩其他2不独立18. 22,0,01()0,Y X yy x x f y x x ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其他 ；22(1),1,01(1)()0,X Y x y x y y f x y -⎧≤<<<⎪-=⎨⎪⎩其他19. 1224(),()749E X D X ==20. 丙组 21. 10分25秒 22. 平均需赛6场j PiP1/823. 2(1)(1)(),()212k n k n E X D X +-== ; 24. k = 2, EXY=1/4, DXY=7/144 25. 26. 27. 537 28. (1)t n - 29. 1630. 提示：利用条件概率可证得;31. 提示：参数为2的指数函数的密度函数为220()00xe xf x x -⎧>=⎨≤⎩ ,利用21xY e-=-的反函数⎪⎩⎪⎨⎧--=0)1ln(21y x 即可证得;<数理统计>试题参考答案一、填空题1．)1,0(N , 2．∑=n i i X n 11=, 3．121-∑=ni i x n , 4．, 5．)ˆ()ˆ(β<θD D 6．2 , 7．n 2σ, 8．n-1s 2或∑=n 1i 2i )x -(x , 9． , 10．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>2u |u |σ,其中n x u =11．21X u α-±, 385；12．X t =13． 222123X X X μ++-, (1)2X μ+ ； 14．1(,,)n F x x 为1()ni i F x =∏,15．2111,(),6,{}max n ni in i i ni i X XX X X ≤≤==--∑∑ ；16．21X u α-±,17． (,)F m n , 18．,, 19．n 2σ, 20．n-1s 2或∑=n1i 2i )x -(x ,21．T =, 22．F ,2121(1)()(1)()mi i ni i n X X F m Y Y ==--=--∑∑ , 23．__22221122100222()()(1),(1)(1)n n i i i i n x x x x t n n n αααχχσσ==-⎧⎫⎧⎫--⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪->-⋃<-⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭∑∑, 24．2,1X S n p p X∧∧==- , 25．12max{,,,}n X X X θ=⋅⋅⋅ ,26．[4.412,5.588], 27．2 , 28．1/8 , 29．X =7, S 2=2, 30．2N ,n σμ⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题1．D 2．B 3．B 4．D 5．D 6．C 7．D 8．A 9．D 10．C11．A 12．B 13．D 14．D 15．C 16．D 17．B 18．B 19．D 20．A21．D 22．B 23．C 24．A 25．B 26．A 27．B 28．C 29．C 30．A 三、计算题 1．10分解：设n X X X ,,,21 是子样观察值 极大似然估计： ∑⋅===-=-∏ni iix nni x eeL 11)(λλλλλ∑=-⋅=ni i n n x l n L l 1)(λλλ0)(1=-=∂∂∑=ni i n x n L l λλλ x1=λ 矩估计：λ=⋅λ⋅=⎰+∞λ-1)(0dx e x X E x 样本的一阶原点矩为：∑==ni i X n X 11所以有：XX X EX 1ˆ1=λ⇒=λ⇒= 2．8分解：这是方差已知,均值的区间估计,所以有： 置信区间为：],[22αασ+σ-Z n X Z n X 由题得：95.14)1.152.158.149.141.156.14(61=+++++=X696.105.0025.0===αn Z代入即得：]96.1606.095.14,96.1606.095.14[⨯-⨯-所以为：]146.15,754.14[ 3．8分解：统计量为：)1(~)1(222--n X S n σ0H ：22024==σσ,1H ：202σσ≠16=n ,22=S ,224=σ代入统计量得875.116215=⨯ 262.6)15(875.12975.0=<χ所以0H 不成立,即其方差有变化; 4．6分解：极大似然估计：λλλλλ)()1()1(),,(111∏∏==+=+=ni i nni i n X X X X L ；∏=++=ni i X n L 1ln )1ln(ln λλ0ln 1ln 1=++=∑=ni i X nd L d λλ 得 ∑∑==+-=ni ini iXX n 11ln ln ˆλ5．8分解： 这是方差已知均值的区间估计,所以区间为：],[22αασ+σ-Z n x Z n x 由题意得：905.004.0152==α=σ=n x 代入计算可得]96.192.015,96.192.015[⨯+⨯-化间得：]131.15,869.14[ 6．8分解：52:00==μμH ,01:μμ≠H7.093523.51-=-=-nx σμ96.12=αμ96.17.0|7.0|025.0=μ<=-所以接受0H ,即可以认为该动物的体重平均值为52;7．10分 解： 矩估计为：210121)1()(21++=++=+⋅=+⎰a a x a a dx x a x X E a a 样本的一阶原点矩为：∑==ni i x n X 11所以有：XX a X a a --=⇒=++112ˆ21极大似然估计：∏∏==⋅+=+=ni i a ni ni an x a x a x x x f 1121)1(])1[(),,,(两边取对数：∑=++=ni i n x a a n x x f 11)ln()1ln(),,(ln两边对a 求偏导数：=∂∂afln ∑=++ni i x a n 1)ln(1=0 所以有：∑=--=ni ix na1)ln(1ˆ8．8分 解：由2222221)1(ααχσχ≤-≤-S n 得 2222)1(αχσS n -≥,22122)1(αχσ--≤S n所以σ的置信区间为：)11()1(222αχS n -,)11()1(2212αχ--S n 将12=n ,2.0=S 代入得 15.0,31.09．解：这是两正态总体均值差的区间估计问题;由题设知,2-n n 1)s -(n 1)s -(n s .05.01.9s 3.11s 172y 9.175x 6,n 5,n 21222211w 222121++========α，，，， 2分=, 4分 选取9=,则21μμ－置信度为的置信区间为： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++21w 21221w212n 1n 12)s -n (n t y -x ,n 1n 12)s -n (n t -y -x αα 8分 ＝,. 10分 注：置信区间写为开区间者不扣分; 10． 解：由于μ未知,故采用2222(1)~(1)n S n χχσ-=-作枢轴量 2分要求()1L P σσα≥=- 2分这等价于要求22()1L P σσα≥=-, 也即2222(1)(1)()1Ln S n S P ασσ--≤=- 2分而2212(1)((1))1n S P n αχασ--≤-=- 2分所以2212(1)(1)Ln S n αχσ--=-,故2221(1)(1)Ln S n ασχ--=- 1分 故σ的置信水平为1α-的置信下限为L σ=由于这里9n =,0.05α=,20.95(8)15.507χ=所以由样本算得ˆ 2.155L σ= 1分 即σ的置信水平为的置信下限为; 11． 解：写出似然函数221222()()2222(,)(2)ni i i n x x ni L eμμσσμσπσ=-----=∑== 4分取对数2222211ln (,)ln(2)()2nn ii L x μσπσμσ==---∑ 2分求偏导数,得似然方程221231ln 1()0ln 1()0n i i n i i L x L n x μμσμσσσ==∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+-=⎪∂⎩∑∑ 3分解似然方程得：ˆX μ=,ˆσ= 1分12．解：设第i 点出现的概率为i p ,1,,6i =101266:H p p p ====,1126:,,,H p p p 中至少有一个不等于161分采用统计量 221()ri i i i n np np χ=-=∑1分在本题中,6r =,0.05α=,20.95(5)11.07χ= 1分所以拒绝域为2{11.107}W χ=≥ 1分 算实际的2χ值,由于1612020i np =⨯=,所以22222621()(20)4(2020)(20)(20)2010i i i i n np x x x np χ=--+-+--===∑ 1分所以由题意得2(20)011.10710x -≤<时被原假设被接受即9.4630.54x <<,故x 取[10,30]之间的整数时, 2分 此骰子是均匀的的假设在显著性水平0.05α=下被接受;1分13. 解：“这几天包装是否正常”,即需要对这天包装的每袋食盐净重的期望与方差分别作假设检验1检验均值,总共6分0:1H μ=,1:1H μ≠ 选统计量,并确定其分布~(1)X t t n =-确定否定域21{||}{|| 2.306}W t t t α-=≥=≥统计量的观测值为0.1875x t ==因为21||0.1875 2.306t t α-=<=,所以接受0:1H μ=;2检验方差,总共6分220:0.02H σ≤,220:0.02H σ>选统计量222211()~(1)0.02nii XX n χχ==--∑确定否定域2221{(1)}{15.5}W n αχχχ-=≥-=≥ 统计量的观测值为222221180.032()20.480.020.02n i i x x χ=⨯=-==∑因为22120.4815.5(1)n αχχ-=>=-,所以拒绝220:0.02H σ≤32分结论：综合1与2可以认为,该天包装机工作是不正常的; 14．解：此时的似然函数为123123()(1,2,1)(1)(2)(1)L P X X X P X P X P X θ======== 2分即225()2(1)2(1)L θθθθθθθ=⨯-⨯=- 2分 ln ()ln 25ln ln(1)L θθθ=++- 1分ln ()511d L d θθθθ=-- 1分 令 ln ()0d L d θθ= 1分得θ的极大似然估计值5ˆ6θ=.1分15．解：1解：根据公式可得01ˆˆY X ββ=+其中 011ˆˆˆXYXX l lY X βββ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 2分。

概率论与数理统计习题（含解答,答案）概率论与数理统计复习题（1）⼀．填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。

若A 与B 独⽴，则=-)(B A P ；若已知B A ,中⾄少有⼀个事件发⽣的概率为6.0，则=-)(B A P 。

2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。

3．设),(~2σµN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥==>}0{X P 。

4．1)()(==X D X E 。

若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。

5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。

7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独⽴，则=-<-<-}12{Y X P （⽤Φ表⽰），=XY ρ。

8．已知X 的期望为5，⽽均⽅差为2，估计≥<<}82{X P 。

9．设1?θ和2?θ均是未知参数θ的⽆偏估计量，且)?()?(2221θθE E >，则其中的统计量更有效。

10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信⽔平愈愈好，⽽置信区间的长度愈愈好。

但当增⼤置信⽔平时，则相应的置信区间长度总是。

⼆．假设某地区位于甲、⼄两河流的汇合处，当任⼀河流泛滥时，该地区即遭受⽔灾。

设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；⼄河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，⼄河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受⽔灾的概率；（2）当⼄河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。

三．⾼射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独⽴），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，⼜知若敌机中⼀弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。

概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。

8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。

12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。

§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。

试题一、填空1、设P(A)=0.4,P(AUB)=0.7,A与B不相容，则P(B)=0.3 解：由公式,P(AUB)= P(A)+ P(B)所以P(B)= 0.7-0.4=0.32、若X~B(n,p),则X的数学期望E(X)= n*p解：定义：二项分布E(X)= n*p D(X)=n*p(1-p)3、甲盒中有红球4个，黑球2个，白球2个；乙盒中有红球5个，黑球3个；丙盒中有黑球2个，白球2个。

从这3个盒子中任取1个盒子，再从中任取1球，他是红球的概率0.375解：设甲为A1,乙为A2，丙为A3，红球为B则P(B)=P(A1)P(B| A1)+P(A2)P(B| A2)+P(A3)P(B| A3)=1/3*1/2+1/3*5/8+1/3*0=0.3754、若随机变量X的分布函数为f(x)={0,x<0√x,0≤x<1 1, x≥1则P{0.25<X≤1}=0.5解：分布函数求其区间概率即右端点函数值减去左端点函数值F (1)-F (0.25) = 1-0.5=0.55、设（X1,X2,…X n）为取自正态分布，总体X~N(μ,σ2),的样本，则X的分布为N(μ,σ2n )解：定义6、设ABC表示三个随机变量事件，ABC至少有一个发生，可表示为AUBUC解：至少；如果是一切发生为A∩B∩C7、设X为连续随机变量，C是一个常数，则P{X=C}=0 解：取常数，取一个点时，恒定为08、一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中1次的概率为80/81，则该射击的命中率为2/3解:射击，即伯努利试验。

求P(X=0)=Cn0p0(1−p)4=1−80/81(1−p)4=181,1−p=13,p=239、设X~N(−1，2)，Y~N(1,3)且X与Y相互独立，则X+ 2Y~N(1,14)解：因为X与Y相互独立，再由正态分布得E(X)=-1,D(X)=2;E(Y)=1,D（Y）=3;所以E(X+2Y)=E(X)+2E(Y)=-1+2*1=1D(x+2Y)=D(X)+4D(Y)=2+4*3=14所以X+2Y~N(1,14)10、设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率得P{|X−E(X)|≥7.5}≤ 2.57.52解：由切比雪夫不等式P{|X−μ|≥ε}≤σ2ε2≤ 2.57.52二、 计算1、 从0，1，2，…9中任意取出3个不同的数字，求下列的概率。

《概率论与数理统计》练习题（含答案）一、单项选择题1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（ ） （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立. （D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立.答案：（D ）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图 可见A 与C 不独立.2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（ ） （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-. （C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ.答案：（A ）解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ ） （A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+. （C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =.SABC答案：（B ）解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=），（ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，） 应选（B ）.4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（ ）（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==.答案：（A ）解答： 若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+∴29α=， 19β=故应选（A ）.5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中正确的是（ ）（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. 答案：（A ） 解答：1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.6. 设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有（ ）Y X（A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤ （C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥答案：C 解答：由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =，故()()P C P AB ≥ ()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+- 应选C.7. 设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +-=-∞<<∞, 且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（ ） （A ）1/2, 1.a b == （B）2,a b ==（C ）1/2,1a b ==-. （D）2,a b == 答案：B 解答：22(2)4()x f x +-==即~(2,)X N - 故当a b ===时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.8. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为010.40.6X P010.40.6Y P则有（ ）（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y ==（C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == 答案：C解答：()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=⨯+⨯= 应选C.9. 对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于（ ）（A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX 答案：C 解答：[()]E E EX EX = 应选C.10. 设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的置信度为1α-的置信区间为（ ） （A ）/2/2(x u x u αα-+ （B ）1/2/2(x u x u αα--+ （C ）(x u x uαα-+ （D ）/2/2(x u x u αα-+ 答案：D 解答：因为方差已知，所以μ的置信区间为/2/2(X u X u αα-+应选D. 11、设为总体的一个样本，为样本均值，则下),,,(21n X X X )2,1(2N X列结论中正确的是（ D ）。

第1章 概率论的基本概念§1 .8 随机事件的独立性1. 电路如图，其中A,B,C,D 为开关。

设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路（用T 表示）的概率。

A B L R C D1. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。

第1章作业答案§1 .8. 1： 用A,B,C,D 表示开关闭合，于是 T = AB ∪CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D 的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)424222p p p p p -=-+=2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章 随机变量及其分布§2.2 10-分布和泊松分布1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布，求(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率；2 设随机变量X 有分布律： X 23 , Y ～π(X), 试求： p 0.4 0.6（1）P(X=2,Y ≤2)； (2)P(Y ≤2)； (3) 已知 Y ≤2, 求X=2 的概率。

§2.3 贝努里分布2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？§2.6 均匀分布和指数分布2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。