清华大学本科生高等数学微积分A期末模拟试题解答

共 4 页，第 1 页 学生答题注意：勿超黑线两端；注意字迹工整。

共 4页，第 2 页） ()f x 在x a =处可导； (B ）()f x 在x a =处不连续； （C)。

lim ()x af x →不存在 ； (D ） ()f x 在x a =处没有定义。

、设lnsin y x =,则dy =（ ）（A) 1cos x ; （B ） 1cos dx x；（C) cot x dx -； (D) cot x dx 。

6. 若()f x 的一个原函数为2x ,则()f x dx '=⎰（ ） （A)12x C + (B ） 2x C + （C) x C + (D ） 2C +7、 1dx =⎰（ ）(A ） 2； （B ） 2π-; (C ） 0； (D ）。

8、对-p 级数∑∞=11n p n ，下列说法正确的是（ ）(A ） 收敛; （B ） 发散;（C ） 1≥p 时，级数收敛； (D) 级数的收敛与p 的取值范围有关。

9、二元函数在(,)xy f x y ye =点0(1,1)p 可微，则(,)xy f x y ye =在0p 的全微 ）00)()limx x f x x→-- .cos x ，求它的微分共 4 页，第 5 页 学生答题注意：勿超黑线两端；注意字迹工整。

共 4页，第 6 页5、（10分）求微分方程()x xe y dx xdy +=在初始条件1|0x y ==下的特解；6、（12分）判断级数211ln(1)n n ∞=+∑的敛散性。

《微积分》课程期末考试试卷参考答案及评分标准(A 卷，考试）一、单项选择（在备选答案中选出一个正确答案，并将其号码填在题目后的括号内.每题3分，共30分）1、（C ）；2、（D ）；3、(B)；4、(A ）；5、(D)；6、（B);7、（A ）；8、（D ）；9、(A); 10、（D)。

二、填空（每题4分,共20分）1、 bx n e a b )ln (；2、 同阶无穷小；3、3- ；4、0；5、2。

一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)1．1lim 2xx -→=_________。

〔A 〕 -∞ 〔B 〕 +∞ 〔C 〕 0 〔D 〕 不存在 2．当0x →时，()x xf x x+=的极限为 _________。

〔A 〕 0 〔B 〕 1 〔C 〕2 〔D 〕 不存在 ３． 下列极限存在，则成立的是_________。

0()()()lim ()x f a x f a A f a x-∆→+∆-'=∆0()(0)()lim(0)x f tx f B tf x→-'=0000()()()lim 2()t f x t f x t C f x t →+--'=0()()()lim()x f x f a D f a a x→-'=-４． 设f 〔x 〕有二阶连续导数，且()0()(0)0,lim1,0()_______x f x f f f x x→'''==则是的。

〔A 〕 极小值 〔B 〕极大值〔 C 〕拐点 〔D 〕 不是极值点也不是拐点 5．若()(),f x g x ''=则下列各式 成立。

()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-=()()()C d f x d x φ=⎰⎰()()()d dD f x dx x dx dx dxφ=⎰⎰ 二、 填空题〔每小题3分，共18分〕1. 设0(2)()0(0)0,lim1sin x f x f x x f x→===-在处可导，且，那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。

２．函数()f x =[0，3]上满足罗尔定理，则定理中的ξ=。

3．设1(),()ln f x f x dx x'=⎰的一个原函数是那么 。

4．设(),xf x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。

期末样题参考解答一、填空题（15空45分，答案直接填写在横线上）1．积分⎰⎰xdy xy f dx 03)(在极坐标下的累次积分为 。

答案：⎰⎰=θπθθθcos 30240)sin cos (rdr r f d2．设平面闭域}1|||| :),{(≤+=y x y x D ，则积分()=+⎰⎰Ddxdy yx x )sin(12。

答案：2==⎰⎰Ddxdy3．已知函数),(y x f 在{}10 ,10 :),(≤≤≤≤=y x y x D 上具有连续偏导数，且x x f cos 2)1,(=，⎰⎰=Ddxdy y x f 1),(，则⎰⎰=∂∂Ddxdy yy x f y),( 。

答案：11sin 2-4．计算积分值⎰⎰=-1)1ln(yydx xx dy。

答案：⎰⎰⎰-=--=-=101041)1ln()1()1ln(2dx x x dy x x dx x x5. 设}2:),,{(22≤≤+=Ωz y x z y x ，则=++⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x )( 。

答案：ππθπ4222302020====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωdz z zrdr dz d zdxdydz z6. 设L 是xy 平面上以)1,1(),1,1(),1,1(--C B A 为顶点的三角形周边构成的曲线， 则第一型曲线积分=-⎰Lds y x )(22 。

答案：07. 设S 为上半球面222y x R z --=，则第一型曲面积分=++⎰⎰SdS z y x )( 。

答案：3222R dxdy zRzzdS R y x S π===⎰⎰⎰⎰≤+ 8. 设L 为xy 平面上的曲线10,2≤≤=x e y x ，起点为)1,0(，终点为),1(e ， 则第二型曲线积分=+⎰Lydy xdx 。

答案：2222),1()1,0(22),1()1,0(22e y x y x d e e =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰ 9．设32),,(z xy z y x f =，则在1===z y x 点=)],,(div[grad z y x f 。

2021⭌᮶㢔⫕➶᮷ᱤAᱥᱤ㔋ᱥ⶞⒴㋜ㄯⶌ㗎㗎㝘(2022年1⽉3⽇，⽤时120分钟)专业班级学号姓名题号⼀⼆三四总分分数㮥ᮢ㫍㵗㝘(ょ㝘4➶ᱨ⤎16➶)阅卷⼈得分1.下列说法正确的是(D)A.有界数列⼀定收敛；B.有限区间上的连续函数⼀定⼀致连续；C.函数f在R上处处可导，它的导函数f1⼀定是连续的;D.有界数集⼀定存在上确界。

2.下列哪个极限不存在(B)A.limxÑ0x sin1xB.limxÑ0D(x)，其中D(x)是Dirichlet函数C.limxÑ0|sgn(x)|D.limnÑ+8(1+122+¨¨¨+1n2)3.当xÑ0时，下⾯哪个函数不是与y=x等阶的⽆穷⼩(D)A.sin xB.arcsin xC.ln(1+x)D.1´cos x4.函数f(x)定义在R上，在x0处可导⽽且f(x0)ą0。

下列说法错误的是（A）A.函数f(x)在x0处的微分是f1(x0)；B.函数f(x)在x0处连续；C.存在x0的⼀个邻域U(x0)，使得在该邻域内f(x)ą0；D.当xÑx0时，f(x)=f(x0)+o(1)。

✠ᮢ㝤ⶥ㝘(ょ㝘4➶ᱨ⤎20➶)阅卷⼈得分5.集合A=t(1+1n)n|n P N,ną0u，那么inf A=2，sup A=e。

6.函数φ(t),ψ(t)在R上⼆阶可导，⽽且φ1(t)‰0。

由参数⽅程x=φ(t),y=ψ(t)确定了函数关系y=y(x)。

那么d yd x =ψ1(t)/φ1(t)，d2yd x2=ψ2(t)φ1(t)´ψ1(t)φ2(t)φ13(t)。

7.函数y=2x3+3x2´12x+18在区间[´3,3]上的最⼤值是63，最⼩值是11。

8.函数y=x4+8x3+1图像的垂直渐近线是x=´1，斜渐近线是y=x。

9.函数f(x)在R上的连续，F(x)=şxf(x+t)dt，那么F1(x)=2f(2x)´f(x)。

第二学期高等数学期末考试试卷答案清华大学第二学期期末考试模拟试卷一．填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1. 设向量的终点坐标为，它在轴、轴、轴上的投影依AB ()7,1,2-B x y z 次为、和，则该向量的起点的坐标为___________________________．44-7A 2. 设、、都是单位向量，且满足，则a b c0 =++c b a =⋅+⋅+⋅a c c b b a _____________________________．3. 设，则_____________________________．()()xy xy z 2cos sin +==∂∂yz4. 设，则___________________．yx z ==∂∂∂yx z25.某工厂的生产函数是，已知⑴.当时，),(K L f Q =20,64==K L ；（2）当时，劳力的边际生产率和投资的边际生产25000=Q 20,64==K L 率为，。

如果工厂计划扩大投入到，则产量270='Lf 350='K f 24,69==K L 的近似增量为_______________6. 交换积分顺序，有_____________________________．()=⎰⎰--221,y y ydx y x f dy7. 设级数收敛，且，则级数__________．∑∞=1n nuu u n n=∑∞=1()=+∑∞=+11n n n u u8. 级数在满足_____________条件下收敛．-p ∑∞=11n p n p9. 微分方程的通解为______________________．x x y sin +=''=y第二学期高等数学期末考试试卷答案10. 对于微分方程，利用待定系数法求其特解时，应设其xey y y -=+'+''23*y 特解______________________ （只需列出特解形式，不必具体求出系数）．=*y答案：1. ；()0,3,2-A2. ；23-3. ；()()()xy xy x xy x sin cos 2cos -4. ；()x y x y ln 11+-5. 单位；27506. ；()()⎰⎰⎰⎰----+11111012,,x xdy y x f dxdy y x f dx7. ；02u u -8. ；1>p9.；213sin 61C x C x x ++-10. ．xAxey -=*二．（本题满分8分）求过点，且与两平面和平行的直线方程．()3,2,10-P 12=+z x 23=-z y解：所求直线过点，设其方向向量为，l ()3,2,10-P s由于平行于平面和，所以其方向向量同时垂直于向量l 12=+z x 23=-z y s与．{}2,0,11=n {}3,1,02-=n第二学期高等数学期末考试试卷答案因此，方向向量可取为 ，s．k j i kj i s n s++-=-=⨯=32310201从而所求直线方程为．133221-=-=-+z y x 三．（本题满分8分）设函数，其中是常数，函数具有连续的一阶偏导数．试⎪⎭⎫⎝⎛=x y x zF x u k,k F 求．zuzy u y x u x∂∂+∂∂+∂∂解：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂-22211,,,x y x y xz F x x z x y x z F x x y xz F kx x u kkk⎪⎭⎫⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛=---x y xz F yx x y x z F zx x y xzF kx k k k ,,,22121⎪⎭⎫⎝⎛'=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∂∂-x y xz F x x x y x z F x y u k k ,1,212⎪⎭⎫⎝⎛'=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∂∂-x y xz F x x x y x zF x z u k k ,1,111所以，zuz y u y x u x∂∂+∂∂+∂∂第二学期高等数学期末考试试卷答案⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=---x y xz F yx x y xz F zx x y x z F kx x k k k ,,,22121⎪⎭⎫⎝⎛'⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛'⋅+--x y xz F x z x y xzF x y k k ,,1121⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xz F kx k ,四．（本题满分8分）计算二重积分的值．⎰⎰≤++=42222y x y x dxdy e I解：作极坐标变换：，则有θθsin ,cos r y r x ==⎰⎰⎰⎰==≤++2020422222rdre d dxdy eI r y x yx πθ．()12124202-=⋅=e e rππ五．（本题满分8分）某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为台和台，成本函数为x y （万元）xy y x y x c -+=222),(若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？解：即求成本函数在条件下的最小值()y x c ,8=+y x第二学期高等数学期末考试试卷答案构造辅助函数 ())8(2,22-++-+=y x xy y x y x F λ解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=++-='=+-='080402y x F y x F y x F y x λλλ解得 3,5,7==-=y x λ这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产台和台时，总成53本最小，最小成本为：（万）2835325)3,5(22=⨯-⨯+=c 六．（本题满分10分）⑴. 将展开为的幂级数；()21ln arctan x x x x f +-=x⑵. 指出该幂级数的收敛域；⑶. 求级数的和．()()∑∞=--1121n n n n解： ⑴. 因为 ，且，所以，()()∑∞=-=+='22111arctan n nn x x x ()1<x 00arctan = ()()()∑∑⎰⎰∑∞=+∞=∞=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01200200212111arctan n n nn xnn xn n n x n dt t dt t x()11≤<-x 而()()∑∞=-=+=+12221211ln 211ln n n nx nx x ()11≤≤-x()21ln arctan x x x x f +-=()()∑∑∞=∞=+--+-=12012121121n n nn n nxn x n x()()()()∑∑∞=+∞=++--+-=012022121121n n nn n n xn xn()∑∞=+⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=0222211211n n n x n n()()()∑∞=+++-=02222121n n nx n n ()11≤≤-x⑵. 幂级数的收敛域为．()()()∑∞=+++-02222121n n nx n n []1,1-⑶. 令，则有1=x()()()()∑∑∞=∞=--=--1112212121n nn n n n n n()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+-⋅==2ln 214211ln 1arctan 12122πf．2ln 2-=π七．（本题满分10分）求微分方程的通解．()1ln ln +=+'x x y x y x解：该方程为一阶线性微分方程xx y x x y ln 1ln ln 1+=+'， ．()x x x P ln 1=()xx x Q ln 1ln +=代入一阶线性微分方程的求解公式，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰+⎰=⎰-C dx e x x e y x x dx x x ln 1ln 1ln 1ln⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+=⎰C xdx x x x ln ln 1ln ln 1()()C dx x x ++=⎰1ln ln 1()C x x x+=ln ln 1所以，原方程的通解为()xC x C x x x y ln ln ln 1+=+=八．（本题满分10分）讨论级数的绝对收敛性与条件收敛性．()∑∞=+-11ln 1n n nn解：⑴. 因为级数为交错级数，．由于，()∑∞=+-11ln 1n nnn nn u n 1ln+= ()()0122ln 12ln 1ln 12ln 2221<+++=++=+-++=-+n n nn n n n n n n n u u n n 所以数列单调减少而且．{}n u 01lnlim lim =+=∞→∞→nn u n n n因此由Leibniz 判别法知，级数收敛．()∑∞=+-11ln 1n nnn第二学期高等数学期末考试试卷答案⑵. 讨论级数．其前项部分和为()∑∑∞=∞=+=+-111ln1ln 1n n nn n n n n∑=+=n k n kk s 11ln()()()()[]n n ln 1ln 3ln 4ln 2ln 3ln 1ln 2ln -+++-+-+-=()∞→+=1ln n ()∞→n 所以，级数发散．()∑∑∞=∞=+=+-111ln1ln 1n n n n n n n综上所述知，级数条件收敛．()∑∞=+-11ln 1n nnn 九．（本题满分8分）设函数具有二阶连续的导函数，而且满足方程()u f ()y e f z x sin =，z e yzx z x 22222=∂∂+∂∂试求函数．()u f解：设，则有y e u xsin =，()y e u f xzx sin '=∂∂()y e u f y z x cos '=∂∂所以，()()ye uf y e u f xzx x sin sin 2222'+''=∂∂()()y e u f y e u f xz xx sin cos 2222'-''=∂∂第二学期高等数学期末考试试卷答案代入方程，z e yzx z x 22222=∂∂+∂∂得，()()()()ze y e uf y e u f y e u f y eu f x x x x x 22222sin cos sin sin ='-''+'+''即，()()xxe uf eu f 22=''由此得微分方程()()0=-''u f u f 解此二阶线性微分方程，得其通解为（与为任意常数）()u u e C e C u f -+=211C 2C 此即为所求函数．。