专插本高等代数试卷1 (2)

高等代数专升本试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 0; 0 0]B. [1 2; 3 4]C. [1 2; 2 4]D. [1 0; 0 1]答案：D2. 设A为3阶实对称矩阵，且A的特征值为1, 2, 3，则A的平方的特征值为？A. 1, 4, 9B. 0, 4, 9C. 1, 2, 3D. 0, 1, 4答案：A3. 线性空间V的维数是指：A. 基的大小B. 线性无关向量组中向量的最大个数C. 线性相关向量组中向量的最大个数D. 向量空间中向量的最大个数答案：A4. 以下哪个是线性变换？A. f(x) = x^2B. f(x) = x + 1C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)答案：B5. 线性方程组的解集是：A. 向量B. 矩阵C. 线性空间D. 集合答案：C6. 矩阵A的迹（trace）是：A. A的行列式B. A的逆矩阵的行列式C. A的主对角线元素之和D. A的转置矩阵答案：C7. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大个数B. 矩阵中非零列的最大个数C. 矩阵中线性无关行向量的最大个数D. 矩阵中线性无关列向量的最大个数答案：D8. 以下哪个不是向量空间？A. 所有实数向量B. 所有复数向量C. 所有实数矩阵D. 所有实数多项式答案：C9. 矩阵的行列式可以用来判断：A. 矩阵是否可逆B. 矩阵的特征值C. 矩阵的秩D. 矩阵的转置答案：A10. 以下哪个是线性无关的向量组？A. [1, 0], [0, 1]B. [1, 1], [1, 0]C. [1, 2], [2, 4]D. [1, 0], [0, 0]答案：A二、填空题（每题2分，共20分）11. 矩阵的转置是将矩阵的行和列________。

答案：互换12. 线性方程组的增广矩阵中，________是增广项。

答案：最后列13. 如果向量组线性相关，则存在不全为零的标量使得它们的线性组合为零向量。

广东省2022年普通学校专升本真题高等数学一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分。

每小题只有一个符合题目要求)1.若函数f (x )={x +1,x ≠1a,x =1,在 x ≠1处连续，则常数a=（ ）A.-1B.0C.1D.22.lim x→0(1−3x )1x=（ ） A.e−3B.e 13C.1D.e 33.lim x→0u n =0是级数∑u n ∞n=1收敛的（ ） A.充分条件 B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件 4.已知1x 2是函数f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx =+∞1（ ）A.2B.1C.-1D.-25.将二次积分I =∫dx 10∫f(x 2+y 2)dy 1x 化为极坐标系下的二次积分，则I=（ ）A.∫dθπ40∫f(p 2)dp secθ0 B.∫dθπ40∫pf(p 2)dp cscθ0C.∫dθπ2π4∫f(p 2)dp secθ0 D.∫dθπ2π4∫pf(p 2)dp cscθ0二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6.若x →0时，无穷小量2x 与3x 2+mx 等价，则常数m =7.设{x =5t −t 2y =log 2t ，则dy dx |t=2=8.椭圆x 24+y 23=1所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体积为9.微分方程e −x y′=2的通解是10.函数Z =x ln y 在点（e ，e ）处的全微分dz |（e ,e ）= 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 11.求极限limx→1x 3+3x 2−9x+5x 3−3x+212.设y =arc tan x 2，求 d 2ydx 2|x=113.设函数f (x )={ x 2sin 1x +2x,x ≠00, x =0 ,利用导数定义求f′(0).14.求不定积分2x √1−x 215.已知∫tanxdx =−ln |cos x |+C ，求定积分∫xsec 2π40xdx16.设Z =f(x,y)是由方程Z =2x −y 2e z 所确定的隐函数，计算ðzðx −y ðzðy 17.计算二重积分∬cosxdσD ，其中D 是由曲线y =sinx(o ≤x ≤π2)和直线 y =0,x =π2围成的有界闭区域。

X 省202X 年一般高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题〔本在题共5小题，每题3分，共15分。

每题只有一个选项符合题目要求〕1．函数22()2x x f x x x -=+-的间断点是A ．2x =- 和0x =B ．2x =- 和1x =C ．1x =- 和2x =D ．0x = 和1x =2．设函数1,0()2,0cos ,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪>⎩，则0lim ()x f x → A ．等于1 B ．等于2 C ．等于1 或2 D ．不存在 3. 已知()tan ,()2xf x dx x Cg x dx C =+=+⎰⎰C 为任意常数，则以下等式正确的选项是A ．[()()]2tan x f x g x dx x C +=+⎰B ．()2tan ()x f x dx x C g x -=++⎰C ．[()]tan(2)x f g x dx C =+⎰D ．[()()]tan 2x f x g x dx x C +=++⎰4．以下级数收敛的是A ．11nn e ∞=∑ B ．13()2nn ∞=∑C ．3121()3n n n ∞=-∑ D ．121()3n n n ∞=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑．5．已知函数 ()bf x ax x =+在点1x =-处取得极大值，则常数,a b 应满足条件 A ．0,0a b b -=< B ．0,0a b b -=> C ．0,0a b b +=< D ．0,0a b b +=> 二、填空题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕6．曲线33arctan x t ty t ⎧=+⎨=⎩，则0t =的对应点处切线方程为y =7．微分方程0ydx xdy +=满足初始条件的1|2x y ==特解为y =8．假设二元函数(,)z f x y =的全微分sin cos ,x xdz e ydx e ydy =+ ,则 9．设平面地域{(,)|0,01}D x y y x x =≤≤≤≤，则Dxdxdy =⎰⎰10．已知1()sin(1)tf x dx t t tπ=>⎰，则1()f x dx +∞=⎰三、计算题〔本大题共8小题，每题6分，共48分〕11．求20sin 1lim x x e x x →--12．设(0)21x x y x x =>+，求dydx13．求不定积分221xdx x ++⎰14．计算定积分012-⎰15．设xyzx z e-=，求z x ∂∂和z y∂∂ 16．计算二重积分22ln()Dx y d σ+⎰⎰，其中平面地域22{(,)|14}D x y x y =≤+≤ 17．已知级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑满足0,n n a b ≤≤且414(1),321n n b n b n n ++=+-判定级数1n n a ∞=∑的收敛性18．设函数()f x 满足(),xdf x x de-=求曲线()y f x =的凹凸区间 四、综合题〔大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分〕 19．已知函数()x ϕ满足0()1()()xxx x t t dt x t dt ϕϕϕ=+++⎰⎰〔1〕求()x ϕ；〔2〕求由曲线 ()y x ϕ=和0,2x x π==及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转而成的立体的体积20．设函数()ln(1)(1)ln f x x x x x =+-+ 〔1〕证明：()f x 在区间(0,)+∞内单调减少； 〔2〕比拟数值20192018与20182019的大小，并说明理由；202X 年X 省一般高校本科插班生招生考试《高等数学》参考答案及评分标准一、单项选择题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕 1.B 2.A 3.D 4.C 5.B二、填空题〔本大题共5小题，每个空3分，共15分〕 6.13x 7.2x 8.cos x e y 9.1310.π 三、计算题〔本大题共8小题，每题6分，共48分〕11.原式00cos sin 1limlim 222x x x x e x e x x →→-+=== 12.解： 13.解：14.,t =则211,22x t dx tdt =-= 15.解：设(,,)xyzf x y z x z e=--16.解：由题意得12,0r θπ≤≤≤≤17.解：由题意得414(1),321n n b n b n n ++=+-由比值判别法可知1nn b∞=∑收敛0,n n a b ≤≤由比拟判别法可知1n n a ∞=∑也收敛18．解()f x ∴的凹区间为(1,)+∞，凸区间为(,1)-∞19.〔1〕由题意得0()1()()()1()xxx x x t dt x x t dt ϕϕϕϕϕ'=++-=+⎰⎰特征方程210r +=，解得r i=±通解为()cos sin x x x Cϕ=++(2)由题意得 20.证明〔1〕 证明11ln(1)ln ()01x x x x+--+<+即可 即证11ln(1)ln ()1x x x x+-<++令()ln g x x =()ln g x x =在(0,)+∞连续可导，由拉格朗日中值定理得ln(1)ln 1ln(1)ln ()1x x x x g x x x ξ+-'+-===+-且1x x ξ<<+ 11ln(1)ln ()1x x x x ∴+-<++成立()f x ∴在(0,)+∞单调递减〔2〕设2019,2018a b ==则201820192019,2018ba ab ==比拟,a b b a 即可，假设a bb a >即ln ln a b b a >即ln ln b ab a >设ln (),x g x x =则21ln ()xg x x -'=()g x 在(0,)+∞单调递减即()()g b g a ∴>，即a b b a >成立即2019201820182019>X 省202X 年一般高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题〔本在题共5小题，每题3分，共15分。

试题一考核课程： 《高等代数》（上） 考核类型： 考试 考核形式： 闭卷 学生院系： 年 级： 试 卷：一、判断题（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分）1． 若整系数多项式()f x 在有理数域可约，则()f x 一定有有理根． （ ） 2． 若()p x 、()q x 均为不可约多项式，且((),())1p x q x ≠，则存在非零常数c ，使得()()p x cq x =． （ ）3． 对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变． （ ） 4． 若矩阵A 的所有1r +级的子式全为零，则A 的秩为r ． （ ） 5． 若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数． （ ） 6． 若向量组12,,,s ααα（1s >）线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合． （ ）7． 若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同． （ ） 8． 若矩阵A 、B 满足0AB =，且0A ≠，则0B =． （ ） 9． A 称为对称矩阵是指'A A =．若A 与B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵． （ ） 10．设n 级方阵A 、B 、C 满足ABC E =，E 为单位矩阵，则CAB E =． （ ）二、填空题：（每小题2分，共20分） 1． 设()()g x f x ，则()f x 与()g x 的最大公因式为 ．2． 设0a ≠，用()g x ax b =-除()f x 所得的余式是函数值 ．3． 多项式()f x 、()g x 互素的充要条件是存在多项式()u x 、()v x 使得 ． 4．一个n 级矩阵A 的行（或列）向量组线性无关，则A 的秩为 ． 5．线性方程组有解的充分必要条件是 ．6．设矩阵A 可逆，且1A =，则A 的伴随矩阵A *的逆矩阵为 ．7．设A 、B 为n 阶方阵，则222()2A B A AB B +=++的充要条件是 ． 8．设P 、Q 都是可逆矩阵，若PXQ B =，则X = ． 9．若120s ααα+++=，则向量组12,,,s ααα必线性 ．10．一个齐次线性方程组中共有1n 个线性方程、2n 个未知量，其系数矩阵的秩为3n ，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数为 ． 三、计算题（每小题5分，共20分）1．求多项式32()24f x x x x =++-与32()241g x x x x =+-+的最大公因式．2．111111111aa a+++ （n 级）3．设000a A b a c b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，给出A 可逆的充分必要条件，并在A 可逆时求其逆．4．求向量组(1,1,1)α=、(1,2,3)β=、(3,4,5)γ=的一个极大线性无关组，并将其余向量 表为该极大线性无关组的线性组合．四、设向量组12,,,r ααα线性无关，而向量组12,,,,r αααβ线性相关，证明：β可以由12,,,r ααα线性表出，且表示法唯一．（本大题10分）五、设A 是一个秩为r 的m n ⨯矩阵，证明：存在一个秩为n r -的 ()n n r ⨯-矩阵B ，使0AB =．（本大题10分）六、（10分）设12111n a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12111n B b b b ⎛⎫=⎪⎝⎭． （1）计算AB 及BA ；（2）证明：BA 可逆的充分必要条件是111()()nnniii ii i i a b n a b ===≠∑∑∑；（3）证明：当2n >时，AB 不可逆． （本大题10分）七、设线性方程组为1234123412341234123(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x λλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩ 讨论λ为何值时，下面线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解）． （本大题10分）试题一参考答案及评分标准课程名称： 高等代数（下） 执笔人： 胡付高一、判断题（每小题2分，共20分）（1）×； （2）√； （3）√； （4）×； （5）√； （6）√； （7）×； （8）×； （9）×； （10）√．二、填空题（每小题2分，共20分）（1）()g x ； （2）()b f a； （3）()()()()1u x f x v x g x +=； （4）n ；（5）系数矩阵与增广矩阵的秩相等； （6）A ； （7）AB BA =；（8）11P BQ --； （9）相关； （10）23n n -三、计算题（每小题5分，共20分） 1．((),())1f x g x x =-．注：本题一般用辗转相除法求出最大公因式，如果分解因式2()(1)(24)f x x x x =-++，2()(1)(31)g x x x x =-+-得到最大公因式，也给满分．2．解：原式1()n n a a-=+．3．解：因为3A a =，所以A 可逆的充分必要条件是0a ≠．…………………（2分）A 的伴随矩阵2222000a A aba b ac ab a *⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭ …………………（4分） 故21232200110a A A ab a A a b ac ab a -*⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪--⎝⎭…………………（5分） 注：本题在得到A 可逆时，求其逆矩阵可以采用初等变换法．院系负责人签字4．由113102124011135000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知,αβ为向量组的一个极大线性无关组，…………………（3分）且有2γαβ=+． …………………（5分）注：本题也可以先说明其秩为2，故任意两个向量都是极大线性无关组（容易看出任意 两个向量线性无关），或其它方法均可．四、证明 （1）由12,,,,r αααβ线性相关，存在不全为零的数121,,,,r r k k k k +，使112210r r r k k k k αααβ+++++=…………………（2分）又由12,,,r ααα线性无关，得10r k +≠（否则，12,,,r ααα线性相关，矛盾），于是有1212111rr r r r k kk k k k βααα+++=----； …………………（5分）（2）设1122r r c c c βααα=+++，1122r r l l l βααα=+++，则1111r r r r c c l l αααα++=++，即111222()()()0r r r c l c l c l ααα-+-++-=，…………………（8分）由于12,,,r ααα线性无关，故11220,0,,0r r c l c l c l -=-=-=，即i i c l =（1,2,,i r =）． …………………（10分）五、证明 考虑齐次线性方程组0Ax =，因为秩()A r =，故存在基础解系12,,,n r ξξξ-，作()n n r ⨯-矩阵12(,,,)n r B ξξξ-=，则0AB =， …………………（6分）由于B 的n r -个列向量线性无关，故有秩()B n r =-．…………………（10分）注： 本题的另一证法是：由秩()A r =，存在可逆矩阵,P Q 使000r E PAQ ⎛⎫=⎪⎝⎭，即11000rE A P Q --⎛⎫=⎪⎝⎭，取0n r B Q E -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0AB =．（B 的取法不唯一）． 六、（1）1112121222212111111111n n n n n a b a b a b a b a b a b AB a b a b a b +++⎛⎫⎪+++⎪= ⎪⎪+++⎝⎭， 111ni i n nii i i i n a BA b a b ===⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑． …………………（4分）（2）由于111()()n n ni iiii i i BA na b a b ====-∑∑∑，故BA 可逆的充分必要条件是0BA ≠，即111()()nnni i i i i i i a b n a b ===≠∑∑∑． …………………（7分）（3）当2n >时，由于()()2R AB R A n ≤≤<，故AB 不可逆．…………………（10分）注：对（3）直接证明0AB =的，只要方法正确，也给满分．七、解 由于系数行列式2(1)(2)A λλ=-- …………………（2分） （1）由克莱姆法则知，当1λ≠且2λ≠时，方程组有唯一解 ；…………………（4分）（2）当1λ=时，11111111121111311101⎛⎫ ⎪⎪→⎪ ⎪⎝⎭11111000010000200020⎛⎫⎪⎪⎪⎪-⎝⎭，方程组无解；…………………（6分）（3）当2λ=时，11111121121121311111⎛⎫ ⎪⎪→⎪ ⎪⎝⎭11111010010010200000⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭方程组有无穷多解： …………………（8分）123421102001x x k x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． …………………（10分）注：直接作初等变换111111112111311111λλλ⎛⎫ ⎪⎪→⎪ ⎪-⎝⎭11111010010010200020λλλ⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪-⎝⎭，然后讨论 方程组解的情况亦可，根据相应步骤给分．试题二一、判断题：（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分）1．任一排列施行一次对换后，其逆序数必增加1或减少1． （×） 2．1122121233443434a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+++． （×）3．若行列式中所有元素都是整数，则行列式的值一定是整数． （√） 4．若矩阵A 的秩是r ，则A 的所有r 级的子式全不等于零． （×） 5．若矩阵A 经过初等变换化为矩阵B ，则A B =． （×） 6．若一组向量的和为零向量，则它们必线性相关． （√） 7．任一线性方程组有解⇔它的导出组有解． （×）8．若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同． （×） 9．若向量组12,,,s ααα（1s >）线性相关，则每个向量都是其余向量的线性组合． （×）10．一个非齐次线性方程组的两个解（向量）之差一定是它的导出组的解． （√）二、填空题（每小题2分，共20分）1．排列(1)321n n -的逆序数为(1)2n n -．2．五级行列式D 中的一项2113324554a a a a a 在D 中的符号为 负 ． 3．n 级行列式D 按第j 列展开公式是D =1122j j j j n j n j a A a A a A +++．4．已知非零向量组α、β、γ两两线性相关，则该向量组的秩为 1 ． 5．线性方程组有解的充分必要条件是 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩 ．6．若矩阵A 中有一个r 级子式不为零，则秩()A r ≥．7．一个齐次线性方程组中共有s 个线性方程、t 个未知量，其系数矩阵的秩为p ，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数等于t p -．8．一个非齐次线性方程组记为（Ⅰ），它的导出组记为（Ⅱ），则（Ⅰ）的一个解与（Ⅱ）的一个解的差是（Ⅰ）的解．9．一个n 级矩阵A 的行（或列）向量组线性相关，则A 的行列式 等于0 ． 10．两个向量组等价是指它们 可以相互线性表出 ． 三、计算下列行列式（每小题5分，共20分）．（1）1827641491612341111解 原式33322222233311111234123412341234123412341111==12=．注：其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分．（2）1111222a b c bc ac a b b c c a a b+++ 解 将所有列加到第1列上，则第1列与第4列成比例，故原式0=． 注：本题也可以从第4行提取公因子12，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化为元素全为零，故原式0=．（3）121212nn n a x a a a a x a a a a x+++；解 将所有列全加到第1列并提起公因子，得原式221211()1n nn i i n a a a x a x a a a x=+=++∑21100()n ni i a a x x a x==+∑11()nn i i x a x-==+∑11()nnn i i x a x -==+∑．（4）12n a x x xx a x x xxa x+++ （120n a a a ≠）解 将所有行减去第1行，化为爪形行列式，得原式112100na x x x a a a a +-=-11121000ni ina a x x xa a a =+=∑11211()nn i ia a x a a a ==+∑1211(1)nn i ix a a a a ==+∑．注：本题也可以用加边法化为爪形行列式计算．四、设线性方程组为：1234123412341234111(1)2x x x x x x x x x x x x x x x x λλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩，试讨论下列问题：（1）当λ取什么值时，线性方程组有唯一解？（2）当λ取什么值时，线性方程组无解？（3）当λ取什么值时，线性方程组有无穷多解？并在有无穷多解时求其解．（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解） （共15分）解 线性方程组的系数行列式为211111111111010(1)(2)111001111102λλλλλλλλ-==-----（1）当2(1)(2)0λλ--≠，即1λ≠且2λ≠时，线性方程组有唯一解； （2）当2λ=时，1111111111121110100011211001001111200001⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭线性方程组无解；（3）当1λ=时111111111111102111110000000011111110000000000111020001100000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性方程组有无穷多解，且其通解为123412(,,,)(1,1,0,0)(1,0,1,0)(2,0,0,1)x x x x k k =-+-+-．五、（1）设向量123,,ααα线性无关，证明：向量122331,,αααααα+++ 线性无关；（2）证明：对任意4个向量1234,,,αααα，向量组1223,,αααα++34,αα+41αα+都线性相关． （共15分）证明 （1）设112223331()()()0k k k αααααα+++++=，即131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=，由于123,,ααα线性无关，故有13122300k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解之得，1230k k k ===故122331,,αααααα+++也线性无关． (8)（2）由12233441()()()()0αααααααα+-+++-+=得，12233441,,,αααααααα++++线性相关．六、设向量组12,,,r ααα线性无关，而12,,,,,r αααβγ线性相关，但β不能由12,,,,r αααγ线性表出，证明：γ可以由12,,,r ααα线性表出，且表示法唯一．（10分）证明 （1）先证γ可以由12,,,r ααα线性表出：因为12,,,,,r αααβγ线性相关，所以存在不全为零的数122,,,r k k k +，使得1122120r r r r k k k k k αααβγ+++++++=．由于β不能由12,,,,r αααγ线性表出，故必有10r k +=，下证20r k +≠．用反证法：若20r k +=，则11220r r k k k ααα+++=，由于122,,,r k k k +不全为零，故12,,,r k k k 不全为零，与12,,,r ααα线性无关的假设矛盾，于是20r k +≠，得到1212222rr r r r k kk k k k γααα+++=-----．（2）次证表示法唯一：设1122r r c c c γααα=+++，1122r r l l l γααα=+++，则 11221122r r r r c c c l l l αααααα+++=+++，即111222()()()0r r r c l c l c l ααα-+-++-=，由于12,,,r ααα线性无关，故11220,0,,0r r c l c l c l -=-=-=，即i i c l =（1,2,,i r =），于是表示法唯一．七、（附加题）证明或否定下面命题：若三个向量,,αβγ两两线性无关，则,,αβγ线性无关．并说明在三维矢量空间中的几何意义．（10分）解 本结论的几何描述是：三个矢量（向量）两两不共线，则它们不共面．很明显该结论是错误的，例如某平面上存在彼此不共线的三个矢量，但它们共面.注 否定上述结论时，也可构造反例，如(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)αβγ===等，或构造三个二维向量，使它们两两线性无关．试题四（每小题2分，共20分）1. 集合A =｛a +︱,a b 为整数｝是一个数域； （ ）2. 设在数域P 上(,())1x a f x -=，则一定有()0f a ≠； （ ）3. 若整系数多项式()f x 无有理根，则()f x 在有理数域上一定不可约； （ ）4. 设A 是n 级矩阵，k 是任意常数，则kA k A =或kA k A =-； （ ）5. 设abcd 是一个4级排列，则abcd 与badc 的奇偶性相同； （ ）6. 设方程个数与未知量的个数相等的非齐次线性方程组的系数行列式等于0， 则该线性方程组无解； （ ）7. 任意等价向量组中所含向量的个数相等； （ ）8. 任何齐次线性方程组都存在基础解系； （ ）9. 设,αβ都是n 维列向量，则''αββα=； （ ） 10．设,A B 都是n 级对称矩阵，且0AB ≠，则A 与B 在复数域上合同． （ ）二、填空题：（每小题2分，共14分）1．设,,αβγ是多项式32()f x x ax bx c =+++的三个根，则αβγ++= ． 2．四阶行列式中，项23124134a a a a 的符号为 ． 3．设矩阵A 可逆，且1A =，则1()A *- ．4．设A 、B 为n 阶方阵，则22()()A B A B A B +-=-的充要条件是 ． 5．设A 为s t ⨯矩阵，则齐次线性方程组0AX =有非零解的充要条件是：秩（A ） ． 6．设,,,a b c d 是互异常数，则线性方程组12312322221231x x x ax b x c x d a x b x c x d⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩的解向量中分量1x = ． 7．二次型22212312323(,,)22f x x x x x x x x λμ=+++是正定的充分必要条件是λ与μ满足 ．（每小题6分，共12分）1．1111111111111111a a a a ++++（n 级）2．设000a b c A a b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，给出A 可逆的充分必要条件，并在A 可逆时求其逆．四、（共10分）化二次型222123112132323(,,)2443f x x x x x x x x x x x x =++++-为标准形，写出所作的非退化的线性替换．并回答下列问题：（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？（2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？五、（14分）当λ为何值时，下面线性方程组有解？并求解．1234123412341234123(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x λλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩六、（10分）设向量β可以由12,,,,s αααγ线性表出，但不能由12,,,s ααα线性表出．证明：（1）γ可由向量组12,,,,s αααβ线性表出；（2）γ不能由12,,,s ααα 线性表出．七、（10分）设A 是一个秩为r 的n n ⨯矩阵，证明：存在一个秩为n r -的n n ⨯矩阵B ，使0AB =．八、（10分）证明：如果((),())1f x g x =，((),())1f x h x =，则((),()())1f x g x h x =．参考答案及评分标准（试题四）一．判断题（每小题2分）1．×； 2．√；3．×；4．×；5．√；6．×；7．×；8．×；9．√；10．√．二．填空题（每小题2分，共14分）1．a -； 2．负号； 3．A ； 4．AB BA =； 5．t <； 6．()()()()()()c d c b b d c a c b b a ------； 7．220λμ->．三．计算（每小题6分，共12分）1． 原式11111111()11111111a n a a a +=+++1111000()000a n a a a=+………（2分） ………（4分）(1)12(1)()n n n n a a --=-+ ………（6分）2．因为3A a =，所以A 可逆的充分必要条件是0a ≠， ………（3分）且221232100a ab b ac A a ab a a -⎛⎫-- ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭………（6分）四．f 212323(2)7x x x x x =++-，令112322332y x x x y x y x =++⎧⎪=⎨⎪=⎩ ，则f 21237y y y =-………（2分）再令11223323y z y z z y z z=⎧⎪=+⎨⎪=-⎩，则f 22212377z z z =-+ ………（4分）且所作的非退化的线性替换为111222333112112100010010011001001011x y z x y z x y z ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123131011011z z z -⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭． ………（6分） （1）该二次型的正、负惯性指数及符号差分别是2，1，1． ………（8分） （2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是222123f w w w =++与222123f w w w =+- ………（10分）五．解 111111112111311111λλλ⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭11111010010010200020λλλ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭………（2分） （1）当1λ≠且2λ≠时，方程组有唯一解 ………（4分）141x λλ-=-，211x λ=-，321x λ=-，40x =； ………（7分） （2）当1λ=时，方程组无解； ………（9分） （3）当2λ=时，方程组有无穷多解： ………（11分）123421102001x x k x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ………（14分） 六．证明 （1）因为β可以由12,,,,s αααγ线性表出，所以存在不全为零的数11,,,s s k k k +，使11221s s s k k k k βαααγ+=++++， ………（2分）若10s k +=，则β可以由12,,,s ααα线性表出，矛盾．故10s k +≠， ………（4分）从而有121211111s s s s s s k k kk k k k γαααβ++++=----+． ………（5分） （2）（反证法）若γ可由12,,,s ααα线性表出，又由于β可以由12,,,,s αααγ线性表出，得β可以由12,,,s ααα线性表出，矛盾．故γ不能由12,,,s ααα线性表出．……（10分）七．证明 考虑齐次线性方程组0Ax =，因为秩()A r =，故存在基础解系12,,,n r ξξξ-，作n n ⨯矩阵12(,,,,0,,0)n r B ξξξ-=，则0AB =，且秩()B n r =-． ………（10分）注1 在构造矩阵B 时，B 的后面r 列未必一定要取零向量，事实上，只要说明B 中每列都是线性方程组0Ax =的解，且B 中含n r -个线性无关的列向量即可．注2 本题的另一证法是：由秩()A r =，存在可逆矩阵,P Q 使000r E PAQ ⎛⎫=⎪⎝⎭，即 11000rEA P Q --⎛⎫= ⎪⎝⎭，取000n r B Q P E -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0AB = 八．证明 由((),())1f x g x =及((),())1f x h x =，存在多项式(),()i i u x v x （1,2i =），使11()()()()1u x f x v x g x +=，22()()()()1u x f x v x h x +=， ………（4分）两式相乘得，12122112()()1u u f u v h u v g f v v gh +++= ………（8分） 所以有((),()())1f x g x h x =． ………（10分）试题六1．如果11dim V m =，22dim V m =，123dim()V V m +=，则12dim()V V ⋂= ． 2．两个有限维线性空间1V 、2V 同构的充分必要条件是 ．3．用()L V 表示n 维线性空间V 的所有线性变换构成的线性空间，则dim ()L V = ． 4．若n nA P⨯∈，且2A E =，则A 的特征值为 ．5．设欧氏空间的正交变换A 在一组标准正交基下的矩阵是U ，则U = ． 6．设V 是一个n 维欧氏空间，0α≠是V 中非零向量，{}(,)0,W V βαββ==∈，则dim W = ．一、填空题（每小题2分，共20分）7．矩阵111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式为 ．8．已知线性变换A 在基123,,εεε下的矩阵为111213212223313233a a a a aa a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 在基321,,εεε下的 矩阵为 ．9．在[]n P x 中，线性变换D (()f x )'()f x =，则D 在基211,,,,n x x x -下的矩阵为 ．10．设6级矩阵A 的不变因子是231,1,1,1,(2),(2)(3)λλλ---，则A 的若尔当标准形是 ．1．下列集合构成n nP⨯的子空间的是 （ ）a ．{},0n n A A P A ⨯∈≠；b ．{},0n n A A P A ⨯∈=；c ．{},'n n A A P A A ⨯∈=．2．n 维线性空间V 的线性变换A 可以对角化的充要条件是 （ ）a ．A 有n 个互不相同的特征向量；b ．A 有n 个互不相同的特征根；c ．A 有n 个线性无关的特征向量．3．对子空间123,,V V V ，123V V V ++为直和的充要条件是 （ ）a ．{}1230V V V ⋂⋂=；b ．123V V V V =++；c ．{}()0i j j iV V ≠⋂=∑，1,2,3i =．4．下列类型的矩阵A 一定相似于对角矩阵 （ ）a ．正交矩阵；b ．特征值皆为实数的矩阵；c ．主对角元两两互异的上三角矩阵．5．~A B 的充要条件是 （ ）a ．A二、选择题（每小题3分，共15分）四、 （10分）设[]n P x 表示数域P 上次数小于n 的多项式及零多项式 作成的线性空间．（1）证明：211,,(),,()n x a x a x a ----是[]n P x 的一组基；（2）求上述的一组基到基211,,,,n x x x -的过渡矩阵．五、（12分）设A ()L V ∈，且A 2=A ．证明（1）A的特征值为０或１； （2）V =A V⊕A -1(0)．六、（8分）设12,,,s ααα是欧氏空间V 的两两正交的非零向量组，证明它们线性无关． ,,s α是欧氏空间,,)s α，W ∈使(,i γα1,2,,s ，那么(,)iβαβ=1,2,,s ，那么s W V ⊥⋂⋂．试题六参考答案及评分标准一、填空题（每小题2分，共20分）（1）123m m m +-； （2）12dim dim V V =； （3） 2n ；（4）1或1-； （5）1±； （6）1n -； （7）23λλ-；（8）333231232221131211a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； （9）01000020000100n ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪ ⎪⎝⎭； （10）221231313⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭．二、选择题（每小题3分，共15分） （1）c ；（2）c ；（3）c ；（4）c ；（5）c ．三、（1）解 21111113111E A λλλλλλ----=---=----（），因此A 的特征值为0λ=与3λ=．…………………（4分）对3λ=，可求出A 的一个线性无关的特征向量为3111ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故得A 的所有特征向量为123()k εεε++，这里k 不为零． …………………（6分）对0λ=，求出A 的两个线性无关的特征向量1110ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故A 的所有特征向量为1211223()k k k k εεε-+++，或112213()()k k εεεε-++-+，这里1k 、2k 不全为零．…………………（8分）院系负责人签字（2）由于A 有三个线性无关的特征向量，故A 可以对角化． …………………（3分）取0T =⎪⎪⎭，则1300000000T AT -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ …………………（7分） 注：也可以指出A 是实对称阵，故A 可以对角化．另外注意正交矩阵T 的取法不唯一．四、（1）证明（方法1）由于dim []n P x n =，只需证明211,,(),,()n x a x a x a ----线性无关：设211231()()()0n n k k x a k x a k x a -⋅+-+-++-=，令x a =，得10k =，又对等式两边求导后令x a =，得20k =，再求二阶导数，…，求1n -阶导数，分别得到30n k k ===，于是211,,(),,()n x a x a x a ----是[]n P x 的一组基； …………………（5分）（方法2）已知211,,,,n x x x -是[]n P x 的一组基，求出21(1,,(),,())n x a x a x a ----=21(1,,,,)n x x x A -中的矩阵A ，只需说明A 可逆，便得结论；（方法3）由数学分析中的泰勒定理可知，对于()[]n f x P x ∀∈，都有(1)11()()1'()()()()(1)!n n f x f a f a x a f a x a n --=⋅+-++--又已知dim []n P x n =，故211,,(),,()n x a x a x a ----是[]n P x 的一组基．（2）所求过渡矩阵为12101(1)001n n a a n a A --⎛⎫⎪-⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． …………………（10分）五、证明（1）设A ξλξ=（0ξ≠），则由A 2=A 推出A ２2ξλξ=，从而2λξλξ=，即得2λλ=，于是0λ=或１； …………………（6分）（2）对V α∀∈，由α=A α+(α-A )α，注意到A (α-A )0α=，因此α∈A V +A -1(0)，于是V ⊂A V +A -1(0)，即得V =A V +A -1(0)； …………………（3分）设β∀∈A V ⋂A -1(0)，则V α∃∈，.s tβ=A ()α，且A ()0β=，推出A ２()0α=，即得β=A ()0α=，于是A V ⋂A -1(0){}0=，故V =A V⊕A -1(0)．…………………（6分）六、证明 设11220s s k k k ααα+++=，由于(,)0i j αα=，i j ≠，故由(,)0i j j k αα=∑，得(,)0i i i k αα=， …………………（5分）而0i α≠，所以(,)0i i αα≠，于是0i k =，1,2,,i s =．因此12,,,s ααα线性无关．…………………（8分）七、证明（1）因为0W ∈，所以W φ≠． …………………（1分）设,X Y W ∀∈，由()A XY AX AY +=+()XA YA X Y A =+=+，得X Y W +∈．…………………（3分）又设X W ∀∈，k P ∀∈，由()()A kX kAX kX A ==，得kX W ∈，因此W 是n n P ⨯的一个子空间； …………………（5分）（2）当A 为主对角元两两互异的对角矩阵时，与A 可换的矩阵也一定是对角矩阵，即W 是由所有对角矩阵作成的子空间，因此W 的一组基可取为1122,,,nn E E E ，故dim W n =．…………………（10分）八、证明（1）若W γ∈，则有1122s s k k k γααα=+++，于是1122(,)(,)s s k k k γγγααα=+++11(,)(,)0s s k k γαγα=++=，则0γ=；…………………（5分）（2）设ξ∀∈W ⊥，则(,)0i αξ=，从而i V ξ∈，即i WV ⊥⊂，1,2,,i s =，因此有12s W V V V ⊥⊂⋂⋂⋂． …………………（2分）设β∀∈12s V V V ⋂⋂⋂，则(,)0i αβ=，对w W ∀∈，设1122s s w l l l ααα=+++，则(,)0w β=，于是有W β⊥∈，即12s V V V W ⊥⋂⋂⋂⊂．故12s W V V V ⊥=⋂⋂⋂．…………………（5分）试题八一、（共12分）叙述下列概念或命题： （1）线性相关；（2）极大线性无关组；（3）行列式按一行（列）展开定理.答：（1）向量组12,,,s ααα称为线性相关，如果有数域P 中不全为零的数12,,,s k k k ，使11220s s k k k ααα+++=.注 对如下定义也视为正确：如果向量组12,,,s ααα（1s >）中有一个向量可由其余的向量线性表出，那么向量组12,,,s ααα称为线性相关的.（2）一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关.注 对如下定义也视为正确：向量组12,,,s ααα的一个部分组12,,,t i i i ααα称为一个极大线性无关组，是指：（ⅰ）12,,,t i i i ααα线性无关；（ⅱ）12,,,s ααα可由12,,,t i i i ααα线性表出.（3）行列式等于某一行（列）的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.注 用公式写出按行（或列）展开定理亦可.二、判断题：（在括号里打“√”或“×”，共20分） 1．1122121233443434a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+++． （×）2．若向量组12,,,s ααα（1s >）线性相关，则其中每个向量都是其余向量的线性组合． （×）3．在全部n （1n >）级排列中，奇排列的个数为!2n ． （√） 4．若排列abcd 为奇排列，则排列badc 为偶排列． （×） 5．若矩阵A 的秩是r ，则A 的所有高于r 级的子式（如果有的话）全为零． （√） 6．若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比例． （×） 7．当线性方程组无解时，它的导出组也无解． （×） 8．对n 个未知量n 个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解． （×） 9．等价向量组的秩相等． （√） 10．齐次线性方程组解的线性组合还是它的解． （√） 三、（共18分）计算行列式（1）1827641491612341111解 原式33322222233311111234123412341234123412341111==12=．注 用其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分．（2）1111222a b c bc ac a b b c c a a b+++ 解 将所有列加到第1列上，则第1列与第4列成比例，故原式0=． 注 本题也可以从第4行提取公因子12，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化为元素全为零，故原式0=．（3）11212212nn n n a x a a a a x a a a a x +++ （120n x x x ≠）．解 原式11231213100nna x a a a x x x x x x +-=--123123(1)00000000ni n i inax a a a x x x x =+=∑121(1)nin i ia x x x x ==+∑． 注 本题也可按最后一列（或行）展开，得递推式：112112122122121112120nn n n n n n nna x a a a x a a a x a a a x D a x x x x D a a a a a x --++++=+=+，答案正确给满分，有正确的递推式但结果有误，给3分．另外对按第一行（或列）展开者类似给分．四、设向量组1(1,1,0,0)α=，2(1,2,1,1)α=-，3(0,1,1,1)α=-，4(1,3,2,1)α=，5(2,6,4,1)α=-．试求向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出．（10分）解11012121360112401111⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭→10101011020001100000--⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭…………（5分）故向量组的秩为3，124,,ααα是一个极大线性无关组，并且 …………（8分）312ααα=-+，51242αααα=-++． …………（10分）注 本题关于极大线性无关组答案中，除123,,ααα不能构成极大线性无关组外，任何三个向量都是极大线性无关组，对其它方法求出极大线性无关组，但未得到线性表出式的给5分． 五、讨论λ取什么值时下列线性方程组有解，并求解．（10分）123123123111x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解 方程组的增广矩阵为111111111λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，系数行列式为21111(2)(1)11λλλλλ=+- ……（2分）（1） 当1λ≠且2λ≠-时，方程有唯一解，此时 …………（3分）1112223111111111111λλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33111111221111010211110012λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪+⎪- ⎪→→- ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭ ⎪+⎝⎭311111002211010010221100100122λλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，故得解为12312x x x λ===+； …………（5分） （2）当2λ=-时，增广矩阵211121111211121111210003--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，无解；…………（7分）（3）当1λ=时，增广矩阵111111111111000011110000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有无穷多组解，通解为1231x x x =--（23,x x 为自由未知量），或表成12(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)k k ξ=+-+-． ……（10分）注 本题也可以对增广矩阵用初等行变换的方法讨论．对唯一解及无穷多组解的表达式未能给出者，各扣2分． 六、证明题：（每小题10分，共30分）1．证明：如果向量组12,,,r ααα线性无关，而12,,,,r αααβ线性相关，则向量β可以由12,,,r ααα线性表示，且表示法唯一．（10分）．证明 （1）由12,,,,r αααβ线性相关，存在不全为零的数121,,,,r r k k k k +，使112210r r r k k k k αααβ+++++= …………（2分）又由12,,,r ααα线性无关，得10r k +≠（否则，12,,,r ααα线性相关，矛盾）…………（4分）于是，1212111rr r r r k kk k k k βααα+++=----； …………（5分）（2）设1122r r c c c βααα=+++，1122r r l l l βααα=+++，则11221122r r r r c c c l l l αααααα+++=+++，即111222()()()0r r r c l c l c l ααα-+-++-=，由于12,,,r ααα线性无关，故11220,0,,0r r c l c l c l -=-=-=，即i i c l =（1,2,,i r =）． …………（10分）2．证明：若向量,,αβγ线性无关，则,,αββγγα+++也线性无关．并说明该结论对4个向量的情形是否成立．证明 设123()()()0k k k αββγγα+++++=，即131223()())()0k k k k k k αβγ+++++=，…………（2分）由于,,αβγ线性无关，故有13122300k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解之得，1230k k k === …………（5分）故,,αββγγα+++也线性无关． …………（6分）对4个向量的情形其相应结论不成立，因为，由4个向量1234,,,αααα线性无关，并不能得到向量12233441,,,αααααααα++++线性无关的结论．注1 由12233441()()()()0αααααααα+-+++-+=知，12233441,,,αααααααα++++是线性相关的，对该问题未说明原因的，只要结论正确给满分；注2 如果认为对4个向量的情形其相应结论也成立的，必须说明是指如下结论: 若4个向量1234,,,αααα线性无关，则向量234134124123,,,αααααααααααα++++++++也线性无关．该答案也给满分，但仅说相应结论成立,而未给出任何说明者,不得分．3．设12,,n a a a 是数域P 中个互不相同的数，12,,,n b b b 是数域P 中任一组给定的数．求证：（1）存在唯一的数域P 上的次数不超过1n -的多项式01()f x c c x =++22n n c x --+11n n c x --+，使()i i f a b =，1,2,,i n =；（2）特别的，求出使1()n i i f a a -=，1,2,,i n =成立的1n -次的多项式()f x ．证明 （1）将()i i f a b =，1,2,,i n =，代入01()f x c c x =++22n n c x --+11n n c x --+，得21011121112102122212210121n n n n n n n n n n n n n n n nc a c a c a c b c a c a c a c b c a c a c a c b ------------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩ …………（2分）由于系数行列式1111221111n n n nn a a a a a a ---1()0j i i j na a ≤<≤=-≠∏， …………（4分）故线性方程组有且仅有唯一解，即存在唯一的数域P 上的次数不超过1n -的多项式01()f x c c x =++22n n c x --+11n n c x --+，使()i i f a b =，1,2,,i n =； …………（5分）（2）由克莱姆定理110D x D ==，，110n n D x D --==，111n n D Dx D D--===，故使1()n i i f a a -=，1,2,,i n =成立的1n -次的多项式为1()n f x x -=． …………（10分）注 对（2）不用克莱姆定理，而直接观察出1()n f x x-=的也给满分．七、（附加题）证明或否定如下结论：若三个向量,,αβγ两两线性无关，则,,αβγ线性无关．并说明在三维几何空间中的意义．（10分）解 本结论的几何描述是：三个矢量（向量）两两不共线，则它们不共面． ………（5分） 很明显该结论是错误的，例如某平面上存在彼此不共线的三个矢量，但它们共面． ………（10分）注 否定上述结论时，也可构造反例，如(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)αβγ===等，或构造三个二维向量，使它们两两线性无关．试题十及答案一、判断题：（每小题2分，共30分，在括号里打“√”或“×”）1． 零多项式的次数为零． （×） 2． 零多项式与()f x 的最大公因式为()f x ． （√） 3． 设(),(),()[]f x g x d x P x ∈且(),()[]u x v x P x ∃∈，使得 ()()()d x u x f x =+()()v x g x ，则()d x 为()f x 与()g x 的一个最大公因式． （×）４．零次多项式能整除任一多项式． （√） 5．若()()h x f x ，但()h x 不整除()g x ，则()h x 不整除()()f x g x +． （√） 6．设()()()h x f x g x ，但()h x ()g x ，则()()h x f x ． （×） ７．若α是()f x 的导数()f x '的k 重根，则α为()f x 的1k +重根． （×） ８．设P P ⊆，P 、P 为数域，如果在[]P x 中()f x 与()g x 互素，则在[]P x 中()f x 与()g x 也互素． （√） ９．若12((),())1f x f x =，且23((),())1f x f x =，则13((),())1f x f x =． （×） 10．若()p x 在数域P 上不可约，则()p x 在P 上没有根． （×） 11．设()[]f x Q x ∈，如果()f x 无有理根，则()f x 在Q 上不可约． （×） 12．若()()()f x g x h x ，则()()f x g x 或()()f x h x ． （×） 13．设()p x 是不可约多项式，如果()()()p x f x g x =，则()f x 与()g x 有且仅有一个为零次多项 式． （√） 14．设()[]f x P x ∈，且(1)(1)0f f -==，则21()x f x -． （√） 15．n 次实系数多项式的实根个数的奇偶性与n 的奇偶性相同． （√） 二、填空题：（每小题2分，共10分）１．若3642(1)x x ax bx c -+++，则a = -3 ，b = 3 ，c = -1 ．２．若()p x ，()q x 均为P 上的不可约多项式，且((),())1p x q x ≠，则()p x 与()q x 的关系是()(),0p x cq x c P =≠∈．３．若1-是52()1f x x ax ax =--+的重根，则a = -5 ． ４．用()23g x x =+除3()89f x x =+所得的余数r = -18 ．5．已知12i +为32()375f x x x x =-+-的一个根，那么()f x 的其余根是 1，1-2i ． 三、计算题： １．（8分）求543211113()372222f x x x x x x =+----的根和标准分解式． 解 54321()(614113)2f x x x x x x =+----41(1)(3)2x x =+- 2．（10分）λ为何值时，32()31f x x x x λ=-+-有重根．解 因为2'()36f x x x λ=-+，作辗转相除法，要使()f x 有重根，则必须('(),())1f x f x ≠，3()(1)'()(3)(21)f x x f x x λ=-+-+，若3λ=，则('(),())1f x f x ≠；3λ≠，由于2'()f x =1515(3)(21)222x x λ-+++，当15202λ+=，即154λ=-时('(),())1f x f x ≠． 故当3λ=或154λ=-时，()f x 有重根．3．（12分）设432()352f x x x x x =+---，32()22g x x x x =+--．（1）用辗转相除法求((),())f x g x ．（2）求()u x ，()v x 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+． 答案 （1）((),())1f x g x x =+；（2）回代得：222(2)()(21)()x x f x x x g x +=-+-++，故取1()(2)2u x x =-， 21()(21)2v x x x =-++，使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+．四、证明题：（每小题10分，共30分）1．设5()54f x x x =++，证明：（1）()f x 在Q 上不可约；（2）()f x 至少有一个实根，但不是有理根．证明 （1）令1x y =+，则5(1)(1)5(1)4f y y y +=++++5432510101010y y y y y =+++++， 取5p =，由Eisenstein 判别法知，(1)f y +在Q 上不可约，从而()f x 在Q 上不可约；注 也可利用反证法证之：若可约，则()f x 能分解成两个次数低的整系数多项式之积，或为1次与4次多项式之积，或为2次与3次多项式之积，都能推出矛盾，这里从略．（2）因为()f x 是奇次的，则()f x 必有一个实根，此根若是有理根，则()f x 在Q 上可约，矛盾． 注 奇次多项式有实根可由数学分析中连续函数的介值定理证得，或将()f x 在实数域上作标准分解，由于实数域上的不可约因式只有一次因式与二次不可约因式，故奇次多项式()f x 一定有一次因式，因此()f x 必有一个实根．另外，对()f x 没有有理根的结论，可以对其所有可能的有理根进行直接检验得知．2．设(),()f x g x 不全为零，证明((),()())((),()())f x f x g x g x g x f x +=-．证明 设1((),()())()f x f x g x d x +=，2((),()())()g x g x f x d x -=，由11()(),()()()d x f x d x f x g x +1()(()())()()d x f x g x f x g x ⇒+-=1()()()d x g x f x ⇒-， 又2()d x 为()g x 与()()g x f x -的最大公因式，故12()()d x d x ；反之，由2()()d x g x ，2()()()d x g x f x -2()()(()())()d x g x g x f x f x ⇒--=2()()()d x f x g x ⇒+，又1()d x 为()f x 与()()f x g x +的最大公因式，故21()()d x d x ．又1()d x 、2()d x 均为首1多项式，从而12()()d x d x =． 3．若整系数多项式()f x 有根pq，这里(,)1p q =，则()(1)q p f -，()(1)q p f +-． 证明 因p q为()f x 的根，则()()()pf x xg x q =-，()g x 为整系数多项式．由(1)(1)(1)pf g q=-，即(1)()(1)qf q p g =-，()(1)q p qf -，又(,)1q p q -=，故有()(1)q p f -； 由(1)(1)(1)pf g q-=---，得(1)()(1)qf q p g --=+-，同理可得()(1)q p f +-． 注 可以由()()px f x q-，得()()qx p f x -，()()()f x qx p h x =-，由于qx p -是本原多项式，故()h x 为整系数多项式， (1)()(1)f q p h =-，(1)()(1)f q p h -=-+-，因此有()(1)q p f -，()(1)q p f +-．试题十一及答案一、判断题（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分）１．若向量组12,,,s ααα与向量组12,,,t βββ都线性无关，则12,,,s ααα,12,,,t βββ也线性无关； （×）2．n 维线性空间V 中任何n 个线性无关的向量都是V 的一组基； （√）3．对n 维线性空间V 中任何非零向量α，在V 中一定存在1n -个向量121,,,n βββ-，使得1121,,,,n αβββ-作成V 的一组基； （√）4．三个子空间123,,V V V 的和123V V V ++为直和的充要条件是{}1230V V V ⋂⋂=； （×） 5．把复数域看成实数域R 上的线性空间，它与2R 是同构的； （√） 6．线性空间V 的两组基12,,,n ααα到12,,,n βββ的过渡矩阵是可逆的； （√）7．V 的任意两个子空间的交12V V ⋂与并12V V ⋃都是V 的子空间； （×） 8．集合{},0n nW A A PA ⨯=∈=作成n n P ⨯的子空间； （×）9．实对称矩阵为半正定的充要条件是它的所有顺序主子式都非负； （×） 10．设n 元实二次型的正负惯性指数分别为,s t ，则必有s t n +≤． （√）二、填空题（每小题2分，共20分）1．如果11dim V m =，22dim V m =，123dim()V V m +=，则12dim()V V ⋂=123m m m +-． 2．两个有限维线性空间1V 、2V 同构的充分必要条件是12dim dim V V =． 3．两个复对称矩阵合同的充分必要条件是 它们的秩相等 ．4．设实二次型的秩为r ，负惯性指数为q ，符号差为m ，则r 、q 、m 的关系是2r m q =+． 5．22⨯级实对称矩阵的所有可能的规范型是：001010101010,,,,000000010101--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 6．设基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵是A ，而基12,,,n βββ到基12,,,n γγγ的过渡矩阵是B ，则12,,,n γγγ到12,,,n ααα的过渡矩阵是11B A --．7．已知,,αβγ为线性空间V 的三个线性无关的向量，则子空间(,)(,)L L αββγ+的维数为 3 ． 8．若1212dim()dim dim V V V V +=+，则12V V ⋂={}0．9．设三维线性空间V 的基123,,ααα到123,,βββ的过渡矩阵为111111111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，向量η在基123,,βββ下的坐标为(1,2,3)，在η在基123,,ααα下的坐标为(4,2,0)． 10．n 元实二次型2221212(,,,)(1)(2)()n n f x x x a x a x a n x =-+-++-正定的充分必要条件是常数a 满足a n >．三、简述下列定义（共12分）1．n 级矩阵A 、B 合同：如果存在可逆矩阵C ，使得'B C AC = 2．子空间的和12V V +={}12,1,2i i V i ααα+∈=3．生成子空间123(,,)L ααα={}112233,1,2,3i k k k k P i ααα++∀∈=4．子空间的直和：12V V +中每个向量α的分解式12ααα=+（,1,2i i V i α∈=）是唯一的．四、（10分）设β可由12,,,r ααα线性表出，但不能由121,,,r ααα-线性表出，证明：121121(,,,,)(,,,,)r r r L L αααααααβ--=．证明 只需证明向量组{}121,,,,r r αααα-与{}121,,,,r αααβ-等价：易知{}121,,,,r αααβ-可由与{}121,,,,r r αααα-线性表示，另一方面，由于β可由12,,,r ααα线性表出，故有1122r r k k k βααα=+++，且0r k ≠，（否则β可121,,,r ααα-线性表出，矛盾），于是11111r r r rr rk k k k k αααβ--=----+，因而{}121,,,,r r αααα-可由{}121,,,,r αααβ-线性表出，故向量组{}121,,,,r r αααα-与{}121,,,,r αααβ-等价，最后不难得到结论．五、（1）讨论：λ取什么值时，二次型2222123123()()x x x x x x λ++-++是正定的．（2）证明当3λ=时，上述二次型是半正定的．（共14分）解 （1）二次型可化为222123121323(1)(1)(1)222x x x x x x x x x λλλ-+-+----，它对应的矩阵是111111111λλλ---⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭。

高等代数(专升本)单选题1. 设多项式，则该多项式的阶数为_____(10分)(A) 5；(B) 2；(C) 3；(D) 1标准答案是：A2. 下列结论正确的是_____(10分)(A) n次多项式必有n个实根；(B) 整系数多项式的根都是整数；(C) 多项式与互素的充要条件是没有重因式(D) 5次多项式必有5个复根。

标准答案是：C3. 多项式_____(10分)(A) 有重因式；(B) 没有复根；(C) 是不可约的；(D) 是本原的。

标准答案是：D4. 对任意实数，必有实根的多项式是_____。

(10分)(A) (B) (C) (D)标准答案是：A5. 排列的逆序数是_____(10分)(A) (B) (C) (D)标准答案是：B6. 行列式的数值为_____。

(10分)(A) 0；(B) 6；(C) 24；(D) -24.标准答案是：C7. 行列式的数值为_____(10分)(A) 0；(B) 6；(C) 24；(D) -24.标准答案是：C8. 行列式的数值为_____(10分)(A) 0；(B) 6；(C) 24；(D) -24.标准答案是：C9. 两个多项式，互素的充分必要条件是。

(10分)(A) (B) (C) (D)标准答案是：B10. 线性方程组的解为_______。

(10分)(A) (B) (C) (D)标准答案是：D单选题1. 线性方程组有解的充要条件是_____(10分)(A) 向量可由的行向量组线性表示(B) 向量可由的列向量组线性表示(C) 矩阵的行向量组线性无关(D) 矩阵的行列式不为零标准答案是：B2. 下列论断不正确的是_____(10分)(A) 线性方程组的任意两个解之和仍为其解(B) 线性方程组的任意两个解之差仍为其解(C) 线性方程组的任意两个解之差仍为的解(D) 线性方程组的任意两个解之和仍为其解标准答案是：D3. 设，均为阶可逆矩阵，则仍为可逆矩阵的是_____(10分)(A) (B) (C) (D)标准答案是：B4. 若均为对称矩阵，则有_____(10分)(A) 可逆；(B) 正交；(C) 对称；(D) 奇异标准答案是：C5. 设为阶方阵，则_______(10分)(A) (B) (C) ；(D) 。

一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分）1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。

2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为__________________。

3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。

4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。

5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。

6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。

7．在22P ⨯中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。

8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ⊆，若12dim dim V V =，则_____________________。

9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。

10．向量α在基12,,,n ααα⋅⋅⋅（1）与基12,,,n βββ⋅⋅⋅（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。

二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分）1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。

（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()10V V σσ-+=。

（ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。

（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++⋅⋅⋅+=与12n x x x ==⋅⋅⋅=的解空间，则12n V V P ⊕= （ ）5．2211nn i i i i n x x ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑为正定二次型。

韩山师范学院本科三年级插班生考试 数学与应用数学 专业 高等代数 试卷一、 填空题（每题2分，共12分）1、设)(x p 是)(x f 的导数)(x f '的1-k 重因式，则)(x p 是)(x f 的k 重因式的充要条件是 ．2、设 A 是 n 阶方阵，则det(3A)= ．3、设 A 都是 n 阶可逆方阵, 满足aA 2+bA+I=0，则A -1= ． 4、n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r ，那么其基础解系含 个解向量． 5、欧氏空间中向量α的长度 α=2，则><αα,= ．6、复数域上两个n 元二次型等价的充要条件是它们____ _____． 二、 判断题（每题2分，共10分；在题后括号内打“√”或“×”） 1．A 、B 都为n 阶实方阵，detA = detB ，则A = B ．( ) 2．等价的向量组含有相同个数的向量．( )3．设δ，τ是n 维向量空间V 的两个线性变换．A ，B 分别是δ，τ关于V 的基n ααα,,,21 的矩阵，当δ≠τ时，必有 B ≠A ．（ ） 4．两个不同矩阵的特征根一定不同．（ ）5．在欧氏空间中V 中，对任何实数 k 都有 k k αα=．（ ） 三、 选择题（每题3分，共18分；将正确的选项序号填在题中括号内）1．下列命题正确的是：（ ） A 、如果)()()()(x h x f x g x f =，那么)()(x h x g =； B 、如果)()()(x g x f x h ，那么)()(x f x h 或)()(x g x h ； C 、如果)()(x f x p ，那么)())(),((x f x p x f =； D 、若既约分数sr为整系数多项式)(x f 的有理根，则)1(f r s -而且)1(-+f r s ． 2．n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij M 与ij a 的代数余子式ij A 的关系是：（ ） A ．ij ij M A =； B 、ij ij M A -=； C 、ij ji ij M A +-=)1(； D 、ij ij M A ≠3、设0λ是可逆矩阵A 的非零特征根，则10-λ是（ ）的一个特征根．A ．—A ；B ．A ' ；C ．2A ； D ．1-A ．4．若m ααα,,,21 与n βββ,,,21 都线性无关,则向量组m αα,,,1 ,n ββ,,,1 ( )．A.一定线性无关；B.不一定线性无关；C.一定线性相关；D.以上结论都不对. 5、设A=)(ij a , detA=0, b=),,,(21'n b b b , X=),,,(21'n x x x ．其中A ，b 为已知，则线性方程组AX=b( )．A.无解；B.有无穷多解；C.有唯一解；D.无解或有无穷多解． 6、设A 、B ∈)(F M n ，则A 的列向量组与B 的列向量等价当且仅当( )． A.A ＝B ； B.detA ＝detB ； C.det(AB)≠0； D.秩A=秩B四、（8分）计算行列式D ＝y y x x -+-+1111111111111111．五、（8分）判断方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+=+242131243121b x x b x x a x x a x x （其中2121b b a a +=+）是否有解，有解时求其一般解．六、（10分）证明：),(),(222g f g f =． 七、（8分）证明：秩AB ＝秩B 的充分必要条件是(AB)X=0与BX=0有相同的解．八、(8分)设 n 阶方阵 A 满足A 2=A ，证明I+A 可逆，且 (I+A)-1 = I －A ． 九、（8分）设V 是数域F 上的向量空间，()1 , λδV L ∈ 和 2λ 是δ的两个不同的本征值，i α是δ的属于i λ的本征向量，2 , 1=i ．证明：021≠+αα，但它却不再是δ的本征向量，即F ∈∀λ，()() 2121ααλαασ+≠+．十、（10分）判定二次型ơ()32312123222132128632,,x x x x x x x x x x x x -++++=是否正定．。

高等代数试卷二一、 单项选择题（每小题2分，共10分）【 】1、设)(x f 为3次实系数多项式，则A.)(x f 至少有一个有理根B. )(x f 至少有一个实根C.)(x f 存在一对非实共轭复根D. )(x f 有三个实根.【 】2、设,A B 为任意两个n 级方阵，则如下等式成立的是 A. 222()2A B A AB B +=++ B. A B A B +=+ C. AB B A = D. A B A B -=-【 】3、设向量组12,αα线性无关，则向量组1212,a b c d αααα++线性无关的充分必要条件为A. ad bc ≠B. ad bc =C. ab cd ≠D. ab cd = 【 】4.一个(2)n ≥级方阵A 经过若干次初等变换之后变为B , 则一定有A. A B =B. 0Ax =与0Bx =同解C. 秩()A =秩()BD. **A B =【 】5、设矩阵A 和B 分别是23⨯和33⨯的矩阵，秩()2A =，秩()3B =，则秩()AB 是A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每小题2分，共20分）1．多项式)(x f 没有重因式的充要条件是 . 2 .若()()1f x g x +=,则((),())f x g x = .3. 设1230231002A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则*1()A -= .4. 行列式1230000a a a 的代数余子式之和:313233A A A ++为______________. 5.设3级方阵1211222,2A B ααββββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,i i αβ均为3维行向量。

若16,2A B ==，则A B -= .6. 若矩阵A 中有一个r 级子式不为0, 则 r(A)= .7.线性方程组 121232343414x x a x x a x x a x x a -=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩, 有解的充要条件是 .8. 若向量组12,,r ααα可由12,,s βββ线性表示，且12,,r ααα线性无关，则r s.9.设A 为3级矩阵, 且12A =, 则 1*A A --= 10. 设001200373*******A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭, 则1A -= .三、判断题（每小题2分，共10分）【 】1、若不可约多项式p(x)是()f x '的2重因式,则p(x)是)(x f 的3重因式.【 】2、设n 级方阵A 为可逆矩阵，则对任意的n 维向量β，线性方程组Ax β=都有解。

专插本高数练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的最小值出现在 \( x \) 等于（）。

A. 0B. 2C. 4D. 82. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = L \)，那么 \( L \) 的值是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 23. 曲线 \( y = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 24. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的值域是（）。

A. \( (-\infty, 0) \)B. \( (0, +\infty) \)C. \( (-\infty, +\infty) \)D. \( [0, +\infty) \)5. 已知 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，那么\( \int_{0}^{1} x^3 dx \) 的值是（）。

A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( 1 \)二、填空题（每题4分，共20分）6. 若 \( \lim_{x \to 2} f(x) = 5 \)，则 \( \lim_{x \to 2}(f(x) - 5) = ________ 。

7. 若 \( a \) 和 \( b \) 是二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的两个根，则 \( a + b \) 的值为 ________。

8. 若 \( \sin x = \frac{3}{5} \)，且 \( x \) 在第一象限，那么\( \cos x \) 的值为 ________。

9. 曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 4x \) 交点的坐标为________。