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灰色关联分析灰色关联分析(Grey Relational Analysis, GRA)什么是灰色关联分析灰色关联分析是指对一个系统发展变化态势的定量描述和比较的方法，其基本思想是通过确定参考数据列和若干个比较数据列的几何形状相似程度来判断其联系是否紧密，它反映了曲线间的关联程度[1]。
灰色系统理论是由著名学者邓聚龙教授首创的一种系统科学理论(Grey Theory)，其中的灰色关联分析是根据各因素变化曲线几何形状的相似程度，来判断因素之间关联程度的方法。
此方法通过对动态过程发展态势的量化分析，完成对系统内时间序列有关统计数据几何关系的比较，求出参考数列与各比较数列之间的灰色关联度。
与参考数列关联度越大的比较数列，其发展方向和速率与参考数列越接近，与参考数列的关系越紧密。
灰色关联分析方法要求样本容量可以少到4个，对数据无规律同样适用，不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。
其基本思想是将评价指标原始观测数进行无量纲化处理，计算关联系数、关联度以及根据关联度的大小对待评指标进行排序。
灰色关联度的应用涉及社会科学和自然科学的各个领域，尤其在社会经济领域，如国民经济各部门投资收益、区域经济优势分析、产业结构调整等方面，都取得较好的应用效果。
[2]关联度有绝对关联度和相对关联度之分，绝对关联度采用初始点零化法进行初值化处理，当分析的因素差异较大时，由于变量间的量纲不一致，往往影响分析，难以得出合理的结果。
而相对关联度用相对量进行分析，计算结果仅与序列相对于初始点的变化速率有关，与各观测数据大小无关，这在一定程度上弥补了绝对关联度的缺陷。
[2]灰色关联分析的步骤[2]灰色关联分析的具体计算步骤如下：第一步：确定分析数列。
确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列。
反映系统行为特征的数据序列，称为参考数列。
影响系统行为的因素组成的数据序列，称比较数列。
设参考数列（又称母序列）为Y={Y(k) | k = 1,2,Λ,n}；比较数列（又称子序列）X i={X i(k)| k = 1,2,Λ,n},i = 1,2,Λ,m。
灰色关联分析灰色关联分析是指对一个系统发展变化态势的定量描述和比较的方法，其基本思想是通过确定参考数据列和若干个比较数据列的几何形状相似程度来判断其联系是否紧密，它反映了曲线间的关联程度[1]。
灰色系统理论是由著名学者邓聚龙教授首创的一种系统科学理论(Grey Theory)，其中的灰色关联分析是根据各因素变化曲线几何形状的相似程度，来判断因素之间关联程度的方法。
此方法通过对动态过程发展态势的量化分析，完成对系统内时间序列有关统计数据几何关系的比较，求出参考数列与各比较数列之间的灰色关联度。
与参考数列关联度越大的比较数列，其发展方向和速率与参考数列越接近，与参考数列的关系越紧密。
灰色关联分析方法要求样本容量可以少到4个，对数据无规律同样适用，不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。
其基本思想是将评价指标原始观测数进行无量纲化处理，计算关联系数、关联度以及根据关联度的大小对待评指标进行排序。
灰色关联度的应用涉及社会科学和自然科学的各个领域，尤其在社会经济领域，如国民经济各部门投资收益、区域经济优势分析、产业结构调整等方面，都取得较好的应用效果。
[2]关联度有绝对关联度和相对关联度之分，绝对关联度采用初始点零化法进行初值化处理，当分析的因素差异较大时，由于变量间的量纲不一致，往往影响分析，难以得出合理的结果。
而相对关联度用相对量进行分析，计算结果仅与序列相对于初始点的变化速率有关，与各观测数据大小无关，这在一定程度上弥补了绝对关联度的缺陷。
[2]灰色关联分析的步骤[2]灰色关联分析的具体计算步骤如下：第一步：确定分析数列。
确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列。
反映系统行为特征的数据序列，称为参考数列。
影响系统行为的因素组成的数据序列，称比较数列。
设参考数列（又称母序列）为Y={Y(k) | k= 1,2,Λ,n}；比较数列（又称子序列）X i={X i(k) | k= 1,2,Λ,n},i= 1,2,Λ,m。
灰色关联分析方法是我国著名学者邓聚龙教授于1982年创立的灰色系统理论中的一种重要方法，它是分析不同数据项之间相互影响、相互依赖的关系．其本质是指在系统动态发展过程中，根据子系统（因素）之间发展趋势的相似或相异程度，作为衡量子系统（因素）间关联程度的一种方法．若两个子系统（因素）变化的趋势具有一致性，即同步变化程度较高，则可以认为两者关联程度较大；反之，认为两者关联程度较小．对于某一个多属性决策问题，设12{,,,}m X x x x = 为方案集，12{,,,C c c =}n c 为属性集，Tn w w w w },,,{21 =为属性的权重向量，且0≥j w ，11=∑=nj j w ．方案i x 在属性j c 下的属性值为ij a ，从而得到决策矩阵为：111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 灰色关联分析方法的步骤可归纳为：第一步：将决策矩阵进行规范化处理．对于多属性决策问题，最常见的属性类型一般分为效益型和成本型两种，其中效益型属性是指属性值越大越好的属性，成本型属性是指属性值越小越好的属性．由于不同的评价属性通常具有不同的物理量纲和量纲单位，且不同量纲和量纲单位会带来不可公度性．为了消除不同物理量纲和量纲单位对决策结果的影响，可按如下规范化公式进行处理，将决策矩阵()ij m nA a ⨯=转化为规范化决策矩阵()ijm nR r ⨯=．对于效益型属性，有：min max min ij ijiij ij ijiia a r a a -=-， (3.1)对于成本型属性，有：max max min ij ijiij ij ijiia a r a a -=-． (3.2)第二步：确定参考数列．确定参考数列的原则是：参考数列中的元素应由各备选方案规范化后的属性值的最优解组成．即：{}001020, ,, .n R r r r = (3.3)这里，0max , 1,2,,.j ij jr x j n ==第三步：计算参考数列与属性值数列对应元素之差的绝对值（即计算参考数列与属性值数列对应元素之间的Hamming 距离）ij ∆，即0(,)i j j i j d r r ∆=，1,2,,; 1,2,,.i m j n == (3.4) 第四步：求最大差max ∆和最小差min ∆．其中：max ,max ij i j∆=∆， (3.5)min ,min ij i j∆=∆. (3.6)第五步：计算各备选方案属性值数列与参考数列之间的关联系数矩阵()ij m n ξ⨯．其中关联系数公式为：min maxmaxij ij ρξρ∆+∆=∆+∆，1,2,,; 1,2,,.i m j n == (3.7)式中，ij ξ是比较数列与参考数列在第j 个评价指标上的相对差值．[0,1]ρ∈称为分辨系数，ρ越小，分辨能力越大．通常情况下取ρ=0.5．第六步：计算各备选方案属性值数列与参考数列之间的灰色关联度i γ．其中：1ni ij j i w γξ==⋅∑，1,2,,.i m = (3.8)第七步：依据灰色关联度i γ(1,2,,)i m = 值的大小对各备选方案进行排序并且择优．关联度值越大，对应的方案就越优．Multiple attribute decision making 多属性决策 Grey relational analysis (GRA) 灰色关联分析 Intuitionistic fuzzy numbers 直觉模糊数Incomplete weight information 不完全权重信息 Degree of grey relation 灰色关联度 positive-ideal solution (PIS) 正理想方案 negative-ideal solution (NIS) 负理想方案 membership degree 隶属度non-membership degree 非隶属度 degree of indeterminacy 不确定度 Hamming distance 海明距离 weighting vector 权重向量grey relational coefficient 灰色关联系数。
灰色关联分析法灰色关联分析理论对于两个系统之间的因素，其随时间或不同对象而变化的关联性大小的量度，称为关联度。
在系统发展过程中，若两个因素变化的趋势具有一致性，即同步变化程度较高，即可谓二者关联程度较高；反之，则较低。
因此，灰色关联分析方法，是根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，亦即“灰色关联度”，作为衡量因素间关联程度的一种方法。
灰色系统理论提出了对各子系统进行灰色关联度分析的概念，意图透过一定的方法，去寻求系统中各子系统（或因素）之间的数值关系。
因此，灰色关联度分析对于一个系统发展变化态势提供了量化的度量，非常适合动态历程分析。
關聯度對兩個系統或兩個因素之間關聯性大小的量度，稱爲關聯度。
它描述系統發展過程中因素間相對變化的情況，也就是變化大小、方向及速度等指標的相對性。
如果兩者在系統發展過程中相對變化基本一致，則認爲兩者關聯度大；反之，兩者關聯度就小。
灰關聯分析的计算方法：關聯度分析一般包括下列計算和步驟：(1) 原始資料變換；(2) 計算關聯係數；(3) 求關聯度；(3) 排關聯序；(4) 列關聯矩陣。
在應用中是否進行所有步驟，可視具體情況而定。
（1）資料變換的理由由於系統中各因素的量綱(或單位)不一定相同，如勞動力爲人，産值爲萬元，産量爲噸等，且有時數值的數量級相差懸殊，如人均收入爲幾百元，糧食每公頃産量爲幾千公斤，費用爲幾十萬元，有些産業産值達百億元，有些産業才幾萬元，等等，這樣的資料很難直接進行比較，且它們的幾何曲線比例也不同。
因此，對原始資料需要消除量綱(或單位)，轉換爲可比較的資料序列。
目前，原始資料的變換有以下幾種常用方法：(a)初值化變換。
分別用同一序列的第一個資料去除後面的各個原始資料，得到新的倍數數列，即爲初值化數列。
各值均大於0，且數列有共同的起點。
(b)均值化變換。
先分別求出各個序列的平均值，再用平均值去除對應序列中的各個原始資料，所得到新的資料列，即爲均值化序列。
什么是灰色关联分析
灰色关联分析是指对一个系统发展变化态势的定量描述和比较的方法，其基本思想是通过确定参考数据列和若干个比较数据列的几何形状相似程度来判断其联系是否紧密，它反映了曲线间的关联程度[1]。
灰色系统理论是由著名学者邓聚龙教授首创的一种系统科学理论(Grey Theory)，其中的灰色关联分析是根据各因素变化曲线几何形状的相似程度，来判断因素之间关联程度的方法。
此方法通过对动态过程发展态势的量化分析，完成对系统内时间序列有关统计数据几何关系的比较，求出参考数列与各比较数列之间的灰色关联度。
与参考数列关联度越大的比较数列，其发展方向和速率与参考数列越接近，与参考数列的关系越紧密。
灰色关联分析方法要求样本容量可以少到4个，对数据无规律同样适用，不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。
其基本思想是将评价指标原始观测数进行无量纲化处理，计算关联系数、关联度以及根据关联度的大小对待评指标进行排序。
灰色关联度的应用涉及社会科学和自然科学的各个领域，尤其在社会经济领域，如国民经济各部门投资收益、区域经济优势分析、产业结构调整等方面，都取得较好的应用效果。
[2]
关联度有绝对关联度和相对关联度之分，绝对关联度采用初始点零化法进行初值化处理，当分析的因素差异较大时，由于变量间的量纲不一致，往往影响分析，难以得出合理的结果。
而相对关联度用相对量进行分析，计算结果仅与序列相对于初始点的变化速率有关，与各观测数据大小无关，这在一定程度上弥补了绝对关联度的缺陷。
[2]
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灰色关联分析的步骤[2]
灰色关联分析的具体计算步骤如下：
第一步：确定分析数列。
确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列。
反映系统行为特征的数据序列，称为参考数列。
影响系统行为的因素组成的数据序列，称比较数列。
设参考数列（又称母序列）为Y={Y(k) | k= 1,2,Λ,n}；比较数列（又称子序列）X
i={X i(k) | k = 1,2,Λ,n},i= 1,2,Λ,m。
第二步，变量的无量纲化
由于系统中各因素列中的数据可能因量纲不同，不便于比较或在比较时难以得到正确的结论。
因此在进行灰色关联度分析时，一般都要进行数据的无量纲化处理。
第三步，计算关联系数
x
0(k)与x i(k)的关联系数
记，则
，称为分辨系数。
ρ越小，分辨力越大，一般ρ的取值区间为(0,1),具体取值
可视情况而定。
当时，分辨力最好，通常取ρ = 0.5。
第四步，计算关联度
因为关联系数是比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联程度值，所以它
的数不止一个，而信息过于分散不便于进行整体性比较。
因此有必要将各个时刻（即曲线中的各点）的关联系数集中为一个值，即求其平均值，作为比较数列与参考数列间关联程度的数量表示，
关联度r
i公式如下：
第五步，关联度排序
关联度按大小排序，如果r
1 < r2，则参考数列y与比较数列x2更相似。
在算出X
i(k)序列与Y(k)序列的关联系数后，计算各类关联系数的平均值，平均值r i就称为Y(k)与X i(k)的关联度。
