江西省中考数学复习题 (2)

准考证号____________________姓名____________机密★启用前江西省2023年初中学业水平考试数学试题卷说明：1.本试题卷满分120分，考试时间为120分钟。

2.请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效。

一、单项选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置。

错选、多选或未选均不得分。

1.下列各数中，正整数是···A.3B.2.1C.0D.－22.下列图形中，是中心对称图形的是A B C D3.若有意义，则a的值可以是A.－1B.0C.2D.64.计算(2m2)3的结果为A.8m6B.6m6C.2m6D.2m55.如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为A.35°B.45°C.55°D.65°PA BA B C D l(第6题)6.如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为A.3个B.4个C.5个D.6个PC M O N D(第5题)BABA图2(1)在图1中作锐角△ABC ，使点C 在格点上；(2)在图2中的线段AB 上作点Q ，使PQ 最短.A (第10题)ADPBC(第12题)C B11.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的PDQ(第11题)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7.单项式－5ab 的系数为______.8.我国海洋经济复苏态势强劲.在建和新开工海上风电项目建设总规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18000000用科学记数法表示应为______.9.化简：(a ＋1)2－a 2＝______.10.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B ，C 表示的刻度分别为1cm ，3cm ，则线段AB 的长为______cm .C 01cm 23α45AB ABC ).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A ，B ，Q 在同一水平线上，∠ABC 和∠AQP 均为直角，AP 与BC 相交于点D .测得AB ＝40cm ，BD ＝20cm ，AQ ＝12m ，则树高PQ ＝______m.12.如图，在□ABCD 中，∠B ＝60°，BC ＝2AB ，将AB 绕点A 逆时针旋转角α(0°＜α＜360°)得到AP，连接PC ，PD .当△PCD 为直角三角形时，旋转角α的度数为______.三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13.(1)计算：3＋tan45°－30；(2)如图，AB ＝AD ，AC 平分∠BAD .求证：△ABC△ADC .B······D14.如图是4×4的正方形网格,请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).AC P图1解：原式＝+·…OxyA B C15.化简(+)·.下面是甲、乙两同学的部分运算过程：乙同学(1)甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；(填序号)①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律.(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程.16.为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动.根据活动要求，每班需要2名宣传员.某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员.(1)“甲、乙同学都被选为宣传员”是______事件；(填“必然”、“不可能”或“随机”)(2)请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率.17.如图，已知直线y ＝x ＋b 与反比例函数y ＝(x ＞0)的图象交于点A(2，3)，与y 轴交于点B ，过点B 作x 轴的平行线交反比例函数y ＝(x ＞0)的图象于点C .四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18.今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵.(1)求该班的学生人数；(2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元.购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？解：原式＝·+·…(1)求直线AB 和反比例函数图象的表达式；(2)求△ABC 的面积.甲同学E D A 2图图AD C9080706050403020100高中学生视力情况统计图初中学生视力情况统计表视力人数百分比0.6及以下84%0.7168%0.82814%0.93417%1.0m34%1.1及以上46n合计200100%19.图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知点B ，A ，D ，E 均在同一直线上，AB ＝AC ＝AD ，测得∠B ＝55°，BC ＝1.8m ，DE ＝2m.(结果保留小数点后一位)(1)连接CD ，求证：DC ⊥BC ；(2)求雕塑的高(即点E 到直线BC 的距离).(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)(1)m ＝______，n ＝______；(2)被调查的高中学生视力情况的样本容量为______；分析处理(3)①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好.”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由；五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21.为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图.整理描述②约定：视力未达到 1.0为视力不良.若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议.82656055441420.如图，在△ABC 中，AB ＝4，∠C ＝64°,以AB 为直径的⊙O 与AC 相交于点D ，E 为上一点,且∠ADE ＝40°.(1)求的长；(2)若∠EAD ＝76°,求证：CB 为⊙O 的切线.0.6及0.70.80.9 1.01.1及视力以下以上EBOBC ···1人数22.课本再现知识应用图2(2)如图2，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6.①求证：□ABCD是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝∠ACD，求的值.图1思考我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.定理证明(1)为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图1)，并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.已知：在□ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O.求证：□ABCD是菱形.t六、解答题(本大题共12分)23.综合与实践问题提出某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为AC 上一点，CD＝.动点P以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿C →B →A 匀速运动，到达点A 时停止，以DP 为边作正方形DPEF .设点P 的运动时间为t s ，正方形DPEF 的面积为S ，探究S 与t 的关系.初步感知(1)如图1，当点P 由点C 运动到点B 时，①当t ＝1时，S ＝______；②S 关于t 的函数解析式为______.(2)当点P 由点B 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息，求S 关于t 的函数解析式及线段AB 的长.延伸探究(3)若存在3个时刻t 1，t 2，t 3(t 1＜t 2＜t 3)对应的正方形DPEF 的面积均相等.①t 1＋t 2＝______；②当t 3＝4t 1时，求正方形DPEF 的面积.AF D BP 图1S 1862O图2CE4。

江西中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是实数的平方根？A. -2B. 2C. √2D. -√2答案：C2. 一个数的相反数是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A3. 一个等腰三角形的两个底角相等，如果一个底角是40°，那么另一个底角是：A. 40°B. 70°C. 50°D. 80°答案：A4. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 正数B. 负数C. 非负数D. 非正数答案：C5. 一个数的立方等于它本身，这个数可以是：A. 0B. 1C. -1D. 所有选项答案：D6. 一个数的平方是25，这个数是：A. 5B. -5C. ±5D. 25答案：C7. 一个数的倒数是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B8. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 4答案：A9. 一个数的立方根是它本身，这个数可以是：A. 0B. 1C. -1D. 所有选项答案：D10. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 正数B. 负数C. 非负数D. 非正数答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方是36，这个数是______。

答案：±612. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长为整数，那么第三边长可以是______。

答案：1, 2, 3, 4, 513. 一个数的立方是-8，这个数是______。

答案：-214. 一个数的绝对值是5，这个数可以是______。

答案：±515. 一个数的倒数是它本身，这个数是______。

答案：±1三、解答题（每题10分，共50分）16. 已知一个等腰三角形的底边长为6，一个底角为30°，求这个三角形的顶角。

答案：因为等腰三角形的两个底角相等，所以另一个底角也是30°。

江西省中考数学试卷样卷一、选择题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项。

1．9的算术平方根是（）A．﹣3 B． 3 C．±3 D． 812．下列运算，正确的是（）A． a2•a=a2B． a+a=a2C． a6÷a3=a2D．（a3）2=a63．如图是由一个圆柱和长方体组合而成的几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为（）A． 16a B． 12a C． 8a D． 4a5．二次函数y=kx2﹣6x+7的图象过点（1，2），且与x轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0），则x1x2的值是（）A． 1 B． 3 C． 6 D． 76．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，点E、F、G、H分别在已知矩形的四条边上，且四边形EFGH也是矩形，GF=2EF．若设AE=a，AF=b，则a与b满足的关系为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。

7．﹣3的相反数是．8．不等式组的解集是．9．小亮家新房屋装修，购进了同为50×50cm规格但品牌不同的两种瓷砖，他从这两种瓷砖（都是正方形）中各随机抽取五块测量，并将这十块瓷砖的边长（单位：cm）记录下表中：A种品牌50.1 49.9 50.2 49.8 50.0B种品牌50.3 49.6 50.0 50.4 49.7算得两种品牌瓷砖边长的平均数相等，则从边长上可确定更标准的品牌为．10．化简的结果是．11．梁老师驾车从家乡出发，上国道到南昌，其间用了4.5h；返回时走高速公路，路程缩短了5km，平均速度提高了10km/h，比去时少用了0.5h回到家乡，若设他家乡到南昌走国道的路程为xkm，则可列方程为．12．如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C=25°，小贤同学将它扶起平放在地面上（如图2），则灰斗柄AB绕点C转动的角度为．13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，平移△ABC使点B与圆心O重合，A、C两点恰好落在圆上的D、E两点处．若AC=2，则平移的距离为．14．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，∠BCD=120°，BC=2，AD=DC．若P是四边形边上一动点，且∠BPC=30°，则CP的长为．三、解答题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。

专题3 分式与二次根式一、单选题1．下列计算一定正确的是（ ）A ．2a 2b ⋅a 3=2a 5bB ．2a 2+a 3=2a 5C ．a a−1−1a−1=0D ．3a −a =32．计算 a+1a −1a 的结果为（ ）A ．1B ．-1C ．a+2aD ．a−2a3．分式 x+5x−2的值是零，则 x 的值为（ ）A ．5B ．-5C ．-2D ．24．（2021·章贡模拟）下列运算中，正确的是（ ）A ．（a 2）3＝a 5B ．(12)−1=−2 C ．(2021−√5)0=1D ．a 3•a 3＝2a 65．下列计算错误的是( )A ．a 2ab =a b(ab≠0 )B ．ab 2÷ 12b =2ab 3(b≠0)C ．2a 2b+3ab 2＝5a 3b 3D ．(ab 2)3＝a 3b 66．（2020·吉安模拟）下列计算正确的是（ ）A ．3x 2y +5xy =8x 3y 2B ．(x +y)2=x 2+y 2C ．(−2x)2÷x =4xD ．y x−y +xy−x =17．下列说法正确的是（ ）A ．若A 、B 表示两个不同的整式，则 A B一定是分式B ．(a 4)2÷a 4=a 2C ．若将分式 xyx+y 中，x 、y 都扩大 3 倍，那么分式的值也扩大 3 倍 D ．若 3m =5,3n =4 则 32m−n =528．2019新型冠状病毒，因武汉病毒性肺炎病例而被发现，2020年1月12日被世界卫生组织命名“2019-nCoV”．冠状病毒是一个大型病毒家族，借助电子显微镜，我们可以看到这些病毒直径约为125纳米（1纳米=1 × 10-9米），125纳米用科学记数法表示等于（ ）米 A ．1.25 × 10-10 B ．1.25 × 10-11 C ．1.25 × 10-8D ．1.25 × 10-79．下列各等式中，正确是（ ）A ．－ √（−3）2 ＝－3B ．± √32 ＝3C ．( √−3 )2＝－3D ．√32 ＝±310．（2020·抚州模拟）下列计算正确的是（ ）A ．-（x -y ）2=-x 2-2xy -y 2B ．（- 12 xy 2）3=- 16x 3y 6C ．x 2y÷ 1y =x 2（y≠0）D ．（- 13 ）-2÷ 94=4二、填空题11．（2022·玉山模拟）计算12x −13x的结果是 ．12．（2022·石城模拟）已知 a ，b(a ≠b) 满足 a 2−2a −1=0 ， b 2−2b −1=0 ，则 ab +ba =． 13．（2022·瑞金模拟）使式子√x+3x−5有意义的x 的取值范围是 ．14．（2022·新余模拟）2021年10月11日，联合国《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议（COP15）在昆明正式拉开帷幕.在多彩的生物界，科学家发现世界上最小的开花结果植物是澳洲的出水浮萍，其质量仅有0.000000076克，0.000000076用科学记数法表示是 ．15．（2021·江西模拟）若二次根式 √2021−x 有意义，则x 的取值范围是 .16．（2020·安源模拟）今年世界各地发现新冠肺炎疫情，疫情是由一种新型冠状病毒引起的，疫情发生后，科学家第一时间采集了病毒样本进行研究.研究发现这种病毒的直径约85纳米（1纳米＝0.000000001米）.数据85纳米用科学记数法可以表示为 米．17．（2020·石城模拟）一种细菌的半径约为0.000045米，用科学记数法表示为 米．18．（2020·抚州模拟）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算※如下：a※b= √a+b a−b，如3※2= √3+23−2=√5 ．那么4※8= ． 19．（2020七上·景德镇期中）已知： a =√5+√3 ， b =√5−√3，则 a 2−ab +b 2= ． 20．（2020八下·高安期末）计算： (2√13)⋅(13√27)= ． 三、计算题21．（2022七下·南康期末）计算下列各式的值：（1）√2(√2+2)；（2）√3(√31√3．22．（2022八下·新余期末）计算：（1）√28−|1−√7|−(√2022−1)0（2）(√3+2)2−√48+√8×√1223．（2022·瑞金模拟）（1）计算：(π−3)0+(13)−1−√12+2sin60° （2）化简：(1x+2−1)÷x 2−1x+224．（2022·高安模拟）计算：（1）(−12)0+|√3−2|+tan60°； （2）2m−4m 2−4÷m−1m+2−1m−125．（2022·赣州模拟）先化简，再求值：5a +a 2−4a−1÷a 2+2a a−1，其中a ＝3．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】2a 2b ⋅a 3=2a 5b ，故A 符合题意；2a 2+a 3不能合并同类项，故B 不符合题意；a a−1−1a−1=a−1a−1=1，故C 不符合题意； 3a −a =2a ，故D 不符合题意； 故答案为：A ．【分析】根据合并同类项，单项式乘单项式，分式的加减分别计算，再判断即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：a+1a−1a =a+1−1a =aa =1 ． 故答案为：A ．【分析】利用分式的基本性质计算求解即可。

2022年江西省中考数学真题汇总 卷（Ⅱ） 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意： 1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1补角的度数为（ ）A ．45︒B ．135︒C ．75︒D ．165︒ 2、有理数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）．A ．0a >B ．1b >C ．0a b ->D ．a b >3、点()4,9-关于x 轴的对称点是（ ） A ．()4,9--B ．()4,9-C ．()4,9-D ．()4,9 4、利用如图①所示的长为a 、宽为b 的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的等式为（ ）·线○封○密○外A ．22()4()a b ab a b -+=+B ．22()()a b a b a b -+=-C ．222()2a b a ab b +=++D ．222()2a b a ab b ---+5、东东和爸爸一起出去运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，东东继续前行，5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家．东东和爸爸在整个运动过程中离家的路程1y （米），2y （米）与运动时间x （分）之间的函数关系如图所示，下列结论中错误的是（ ）A ．两人前行过程中的速度为180米/分B ．m 的值是15，n 的值是2700C ．爸爸返回时的速度为90米/分D ．运动18分钟或31分钟时，两人相距810米6、下列图形是全等图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．7、已知ab ＝a ，b 的关系是（ ） A ．相等 B ．互为相反数C ．互为倒数D ．互为有理化因式8、如图，将一副三角板平放在一平面上（点D 在BC 上），则1∠的度数为（ ）A ．60︒B ．75︒C ．90︒D ．105︒9、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，0)，B (3，0)，C 为平面内的动点，且满足∠ACB =90°，D 为直线y =x 上的动点，则线段CD 长的最小值为（ ）A ．1B ．2 C1 D110、已知单项式5xayb +2的次数是3次，则a +b 的值是（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．0 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分） 1、如图，在ABC 中，3cm AB =，6cm BC ，5cm AC =，蚂蚁甲从点A 出发，以1.5cm/s 的速度沿着三角形的边按A B C A →→→的方向行走，甲出发1s 后蚂蚁乙从点A 出发，以2cm/s 的速度沿着三角形的边按A C B A →→→的方向行走，那么甲出发________s 后，甲乙第一次相距2cm ．·线○封○密○外2、如图， 已知在 Rt ABC △ 中， 90,30,1,ACB B AC D ∠∠=== 是 AB 边上一点， 将 ACD △ 沿 CD 翻折， 点 A 恰好落在边 BC 上的点 E 处，那么AD =__________3、班主任从甲、乙、丙、丁四位同学中选择一位同学参加学校的演讲比赛．甲同学被选中的概率是______．4、据统计我国微信用户数量已突破8.87亿人，近似数8.87亿有__个有效数字．5、如图，围棋盘的方格内，白棋②的位置是()5,2--，白棋④的位置是()4,6--，那么黑棋①的位置应该表示为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1，把一副三角板拼在一起，边OA ，OC 与直线EF 重合，其中45AOB ∠=︒，60COD ∠=︒．(1)求图1中BOD ∠的度数；(2)如图2，三角板COD 固定不动，将三角板AOB 绕点O 顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板AOB 一直在EOD ∠的内部，设EOA α∠=． ①若OB 平分EOD ∠，求α； ②若4AOC BOD ∠=∠，求α． 2、数学课上，王老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为b ，宽为a 的长方形．并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积： 方法1： ； 方法2： ； (2)观察图2，请你写出代数式：（a +b ）2，a 2+b 2，ab 之间的等量关系 ； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a +b ＝5，（a ﹣b ）2＝13，求ab 的值； ②已知（2021﹣a ）2+（a ﹣2020）2＝5，求（2021﹣a ）（a ﹣2020）的值． 3、问题发现： (1)如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ， ·线○封○密○外①求证：△ACD ≌△BCE ；②求∠AEB 的度数．(2)拓展探究：如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高交AE 于M ，连接BE ．请求∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．4、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，且80AOD DOB ∠-∠=︒．求∠AOC 和∠DOE 的度数．5、计算：（a ﹣2b ）（a +2b ）﹣（a ﹣2b ）2+8b 2．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据题意得出∠1=15°，再求∠1补角即可．【详解】由图形可得1453015∠=︒-︒=︒∴∠1补角的度数为18015165︒-︒=︒故选：D ．【点睛】本题考查利用三角板求度数和补角的定义，熟记各个三角板的角的度数是解题的关键． 2、D 【解析】 【分析】 先根据数轴可得101a b <-<<<，再根据有理数的减法法则、绝对值性质逐项判断即可得． 【详解】 解：由数轴的性质得：101a b <-<<<． A 、0a <，则此项错误； B 、1b <，则此项错误； C 、0a b -<，则此项错误； D 、1a b >>，则此项正确； 故选：D ． 【点睛】 本题考查了数轴、有理数的减法、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 3、A 【解析】 【分析】·线○封○密○外直接利用关于x 轴对称点的性质得出答案．【详解】解：点P （−4，9）关于x 轴对称点P ′的坐标是：（−4，−9）．故选：A ．【点睛】此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确得出横纵坐标的关系是解题关键．4、A【解析】【分析】整个图形为一个正方形，找到边长，表示出面积；也可用1个小正方形的面积加上4个矩形的面积表示，然后让这两个面积相等即可．【详解】∵大正方形边长为：()a b +，面积为：()2a b +； 1个小正方形的面积加上4个矩形的面积和为：()24a b ab -+； ∴()()2222424a b ab a ab b ab a b -+=-++=+．故选：A ．【点睛】此题考查了完全平方公式的几何意义，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键．5、D【解析】【分析】两人同行过程中的速度就是20分钟前进3600千米的速度，即可判断A ；东东在爸爸返回5分钟后返回即第20分钟返回，即可得到m =15，由此即可计算出n 的值和爸爸返回的速度，即可判断B 、C ；分别求出运动18分钟和运动31分钟两人与家的距离即可得到答案． 【详解】 解：∵3600÷20=180米/分， ∴两人同行过程中的速度为180米/分，故A 选项不符合题意； ∵东东在爸爸返回5分钟后返回即第20分钟返回 ∴m =20-5=15， ∴n =180×15=2700，故B 选项不符合题意； ∴爸爸返回的速度=2700÷（45-15）=90米/分，故C 选项不符合题意； ∵当运动18分钟时，爸爸离家的距离=2700-90×（18-15）=2430米，东东离家的距离=180×18=3240米， ∴运动18分钟时两人相距3240-2430=810米； ∵返程过程中东东45-20=25分钟走了3600米， ∴东东返程速度=3600÷25=144米/分， ∴运动31分钟时东东离家的距离=3600-144×（31-20）=2016米，爸爸离家的距离=2700-90×（31-15）=1260米， ∴运动31分钟两人相距756米，故D 选项符合题意； 故选D ． 【点睛】 本题主要考查了从函数图像获取信息，解题的关键在于能够准确读懂函数图像． 6、D 【解析】 【详解】·线○封○密○外解：A 、不是全等图形，故本选项不符合题意；B 、不是全等图形，故本选项不符合题意；C 、不是全等图形，故本选项不符合题意；D 、全等图形，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了全等图形的定义，熟练掌握大小形状完全相同的两个图形是全等图形是解题的关键．7、A【解析】【分析】求出a 与b 的值即可求出答案．【详解】解：∵a=，b ＝∴a ＝b ，故选：A ．【点睛】本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a 与b 的值，本题属于基础题型．8、B【解析】【分析】根据三角尺可得45,30EDB ABC ∠=︒∠=︒，根据三角形的外角性质即可求得1∠【详解】 解：45,30EDB ABC ∠=︒∠=︒175EDB ABC ∴∠=∠+∠=︒ 故选B 【点睛】 本题考查了三角形的外角性质，掌握三角形的外角性质是解题的关键． 9、C 【解析】 【分析】 取AB 的中点E ，过点E 作直线y =x 的垂线，垂足为D ，求出DE 长即可求出答案． 【详解】 解：取AB 的中点E ，过点E 作直线y =x 的垂线，垂足为D ，∵点A （1，0），B （3，0）， ∴OA =1，OB =3， ∴OE =2，∴ED∵∠ACB =90°， ∴点C 在以AB 为直径的圆上， ·线○封○密○外∴线段CD−1．故选：C ．【点睛】本题考查了垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理等知识，确定C ，D 两点的位置是解题的关键．10、A【解析】【分析】根据单项式的次数的概念求解．【详解】解：由题意得：a+b +2=3，∴a+b =1．故选：A ．【点睛】本题考查了单项式的有关概念，解答本题的关键是掌握单项式的次数：所有字母的指数和．二、填空题1、4【解析】【分析】根据题意，找出题目的等量关系，列出方程，解方程即可得到答案．【详解】 解：根据题意， ∵3cm AB =，6cm BC ，5cm AC =， ·线∴周长为：35614++=（cm ），∵甲乙第一次相距2cm ，则甲乙没有相遇，设甲行走的时间为t ，则乙行走的时间为(1)t -，∴1.52(1)214t t +-+=，解得：4t =；∴甲出发4秒后，甲乙第一次相距2cm ．故答案为：4．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程．21##1-【解析】【分析】翻折的性质可知AD DE AC CE ==，，A CED ∠=∠；在Rt ABC 中有60A ∠=︒，BC =CED B EDB ∠=∠+∠，得DEB 是等腰三角形，AD DE BE BC CE BC AC ===-=-即可求出长度．【详解】解：翻折可知：ACD ECD ≌，AD DE AC CE ==，∵30B ∠=︒，1AC =，90ACB ∠=︒∴在Rt ABC 中，22AB AC ==∴60A CED ∠=∠=︒，BC =∵CED B EDB ∠=∠+∠∴30EDB B ∠=∠=︒∴DEB 是等腰三角形∴DE EB =∴1AD EB BC CE ==-=1．【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角，勾股定理等知识点．解题的关键在于找出边相等的关系．3、14或0.25【解析】【分析】由题意得出从4位同学中选取1位共有4种等可能结果，其中选中甲同学的只有1种结果，根据概率公式可得．【详解】解：从4位同学中选取1位共有4种等可能结果，其中选中甲同学的只有1种结果， ∴恰好选中乙同学的概率为14， 故答案为：14．【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n ． 4、3【解析】 【分析】 根据有效数字的定义求解．·线【详解】解：近似数8.87亿有3个有效数字，它们为8、8、7．故答案为：3．【点睛】本题考查了近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．5、()1,5--【解析】【分析】先根据白棋②的位置是()5,2--，白棋④的位置是()4,6--确定坐标系，然后再确定黑棋①的坐标即可．【详解】根据图形可以知道，黑棋①的位置应该表示为()1,5--故答案为：()1,5--【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，解决问题的关键是正确建立坐标系．三、解答题1、 (1)75°；(2)①15°；②40°．【解析】【分析】（1）根据平角定义，利用角的差∠BOD =180°-∠AOB -∠COD 运算即可；（2）①根据补角性质求出∠EOD =180°-∠COD =180°-60°=120°，根据角平分线定义求出∠EOB =12∠EEE =12×120°=60°，再根据两角差E =∠EEE −∠EEE =15°即可；②根据角的和求出∠AOC =∠AOB +∠BOD +∠COD =105°+∠BOD ，然后列方程求出∠EEE =35°，求出∠EEE =4∠EEE =4×35°=140°，再求补角即可．(1)解：∵45AOB ∠=︒，60COD ∠=︒，∴∠BOD =180°-∠AOB -∠COD =180°-45°-60°=75°；(2)解：①∵60COD ∠=︒，∴∠EOD =180°-∠COD =180°-60°=120°，∵OB 平分EOD ∠，∴∠EOB =12∠EEE =12×120°=60°，∵45AOB ∠=︒，∴E =∠EEE −∠EEE =60°−45°=15°；②∵45AOB ∠=︒，60COD ∠=︒．∴∠AOC =∠AOB +∠BOD +∠COD =45°+∠BOD +60°=105°+∠BOD ，∵4AOC BOD ∠=∠，∴105°+∠EEE =4∠EEE ，解得：∠EEE =35°，∴∠EEE =4∠EEE =4×35°=140°，∴α=180°-∠AOC =180°-140°=40°． 【点睛】 本题考查三角板中形成的角计算，平角，补角，角平分线有关的计算，角的和差倍分，一元一次方·线程，本题难度不大，是角中计算的典型题．2、 (1)(E+E)2；E2+E2+2EE(2)(E+E)2=E2+E2+2EE;(3)①EE=3；②-2【解析】【分析】（1）方法1，由大正方形的边长为（a+b），直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可；（2）由（1）直接可得关系式；（3）①由（a-b）2=a2+b2-2ab=13，（a+b）2=a2+b2+2ab=25，两式子直接作差即可求解；②设2021-a=x，a-2020=y，可得x+y=1，再由已知可得x2+y2=5，先求出xy=-2，再求（2021-a）（a-2020）=-2即可．(1)方法一：∵大正方形的边长为（a+b），∴S=（a+b）2；方法二：大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，∴S=b2+ab+ab+a2=a2+b2+2ab；故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；(2)由（1）可得（a+b）2=a2+b2+2ab；故答案为：（a+b）2=a2+b2+2ab；(3)①∵（a-b）2=a2+b2-2ab=13①，（a+b）2=a2+b2+2ab=25②，由①-②得，-4ab=-12，解得：ab=3；②设2021-a=x，a-2020=y，∴x+y=1，∵（2021-a）2+（a-2020）2=5，∴x2+y2=5，∵（x+y）2=x2+2xy+y2=1，∴2xy=1-（x2+y2）=1-5=-4，解得：xy=-2，∴（2021-a）（a-2020）=-2．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握正方形、长方形面积的求法，灵活应用完全平方公式的变形是解题的关键．3、(1)①见解析；②∠AEB＝60°(2)∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM．理由见解析【解析】【分析】（1）①先证明∠EEE=∠EEE,再结合等边三角形的性质，利用EEE证明△ACD≌△BCE即可；②先求解∠EEE=120°,由△ACD≌△BCE可得∠ADC＝∠BEC，再利用角的和差关系可得答案；（2）先证明△EEE≌△EEE,∠EEE=135°,再结合全等三角形的性质与等腰直角三角形的性质可得∠EEE=90°,由EE⊥EE,结合等腰直角三角形的性质，可得EE=EE=EE,结合全等三角形的性质可得EE=EE+2EE.(1) 证明：①∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD ＝60°﹣∠DCB ＝∠BCE ． 在△ACD 和△BCE 中，{EE =EE ∠EEE =∠EEEEE =EE， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）．解：②∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC ＝∠BEC ．∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE ＝∠CED ＝60°．∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC ＝120°，∴∠BEC ＝120°．∴∠AEB ＝∠BEC ﹣∠CED ＝60°．(2)解：∠AEB ＝90°，AE ＝BE +2CM ．理由如下： 如图2所示：由题意得：EE⊥EE ,·线○封○密○外∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，{EE=EE∠EEE=∠EEEEE=EE，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°，∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME．∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，确定每一问中的两个全等三角形是解本题的关键.4、50°，25°．【解析】【分析】 根据邻补角的性质，可得∠AOD +∠BOD ＝180°，即∠EEE =180°−∠EEE ，代入80AOD DOB ∠-∠=︒可得∠BOD ，根据对顶角的性质，可得∠∠AOC 的度数，根据角平分线的性质，可得∠DOE 的数． 【详解】 解：由邻补角的性质，得∠AOD +∠BOD ＝180°，即∠EEE =180°−∠EEE ∵80AOD DOB ∠-∠=︒， ∴180°−∠EEE −∠EEE =80°． ∴∠EEE =50°，∴∠AOC ＝∠BOD ＝50°， ∵OE 平分∠BOD ，得 ∠DOE ＝12∠DOB ＝25°．【点睛】 本题考查了角平分线的定义，对顶角、邻补角的性质，解题关键是熟记相关性质，根据角之间的关系建立方程求解． 5、4EE 【解析】 【分析】 根据整式的乘法公式及运算法则化简，合并即可求解． 【详解】 （a ﹣2b ）（a +2b ）﹣（a ﹣2b ）2+8b 2 =a 2-4b 2-a 2+4ab -4b 2+8b 2 =4ab ． ·线○封○密·○外【点睛】此题主要考查整式的乘法运算，解题的关键是熟知其运算法则及运算公式．。

江西中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是不等式2x-3>0的解集？A. x>3B. x<3C. x>1.5D. x<1.5答案：C2. 已知函数y=2x+3，当x=2时，y的值为：A. 7B. 5C. 3D. 1答案：A3. 一个圆的半径为5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 78.5B. 25πC. 100πD. 78.5π答案：D4. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，那么第三边的长x的范围是：A. 1<x<7B. 0<x<7C. 1<x<7且x≠3.5D. 0<x<7且x≠3.5答案：C5. 一个等腰三角形的底边长为6厘米，腰长为5厘米，那么它的周长是多少？A. 16厘米B. 21厘米C. 17厘米D. 26厘米答案：B6. 下列哪个选项是方程x^2-5x+6=0的解？A. x=2或x=3B. x=2或x=-3C. x=3或x=-2D. x=-2或x=-3答案：A7. 一个长方体的长、宽、高分别为2、3、4，那么它的体积是多少？A. 24立方厘米B. 12立方厘米C. 26立方厘米D. 8立方厘米答案：D8. 一个正数的平方根是2，那么这个正数是多少？A. 4B. -4C. 2D. -2答案：A9. 一个数的相反数是-3，那么这个数是多少？A. 3B. -3C. 0D. 6答案：A10. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是：A. 5或-5B. 只有5C. 只有-5D. 0答案：A二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个数的立方根是2，那么这个数是_6_。

12. 一个数的倒数是1/3，那么这个数是_3_。

13. 一个角的补角是120°，那么这个角是_60°_。

14. 一个数的平方是25，那么这个数是_±5_。

15. 一个数的绝对值是3，那么这个数是_±3_。

专题二创新作图类型一与三角形有关如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为AB的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹)．(1)在图①中，画出△ABD的BD边上的中线；(2)在图②中，若BA＝BD，画出△ABD的AD边上的高．【分析】 (1)要画出BD边上的中线，关键是找到BD的中点，由E是AB的中点，想到利用三角形中位线定理可得BD的中点，即想到连接EC，而已知A B∥CD，从而只需证明四边形AECD是平行四边形即可，利用AB＝2CD＝2AE可得证；(2)要画出AD边上的高，结合AB＝BD可知要作AD边上的中线，而三角形的三条中线交于同一点，可知只需找到△ABD中边AB和边BD上的中线即可．【自主解答】解决与三角形有关的创新作图题时，一定要注意三角形的基本性质，如三条高线、三条中线、三条角平分线交于一点；三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半；三角形的中线平分三角形面积等．由于创新作图题只要求用无刻度的直尺作图，因此找点很重要，而一般情况下，所找的点都是与三角形三边有关的特殊点，如边的中点、三角形内心、重心、垂心等．1．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC于点D.(1)如图①，点P为AB上任意一点，请你用无刻度的直尺在AC上找出一点P′，使得AP＝AP′；(2)如图②，点P为BD上任意一点，请你用无刻度的直尺在CD上找出一点P′，使得BP＝CP′.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．(保留作图痕迹，不写作法)(1)在图①中作线段BC的中点P；(2)在图②中，在OB，OC上分别取点M，N，使MN∥BC.3在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于O，点P是BC的中点．请仅用无刻度直尺按要求画图．(1)在图①中，画出△ABC的边AB上的中线；(2)在图②中，画出正方形ABCD.4．如图，点E是△ABC的边AC的三等分点，且靠近点A，AD平分∠BAC，BD⊥AD 于D.请仅用无刻度的直尺按要求作图．(1)在图①中作点F，使得CF＝EF；(2)在图②中作线段DP，使得DP∥AC，交BC于P.类型二与特殊四边形有关如图，已知四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD相交于点O，E为AO上一点，过点E作EF⊥AC，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．(保留画图痕迹)(1)在图①中，EF交AD于点F，画出线段EF关于BD的对称线段E′F′；(2)在图②中，点F在AD外时，画出线段EF关于BD的对称线段E′F′.图①图②【分析】 (1)由菱形的轴对称性和中心对称性可以先延长FE交AB于点G，然后连接GO并延长交CD于F′，此时点F′即为点F关于BD的对称点，再同样确定点F关于点O中心对称的点H，连接F′H交AC于E′即可；(2)由EF与E′F′关于BD对称，且A，C关于BD对称，可连接AF，CF′，其延长线的交点在对称轴BD上，从而得到对称四边形，再利用(1)中的结论画图即可．【自主解答】与特殊四边形有关的画图，一定要注意特殊四边形具有的性质，尤其是矩形、菱形、正方形，它们均有轴对称性质和中心对称性质，其中对角线交点即为对称中心，在解决此类问题时，涉及对称、中点、垂直等问题，常需要借助它们的对称中心来画图．1．已知四边形ABCD 是矩形，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图①和图②中作图．(1)如图①，P 为CD 的中点，作出AB 的垂线，垂足为Q ；(2)如图②，在矩形ABCD 中，以对角线AC 为一边构造一个矩形CAEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点B ，请找出EF 的中点M.2．请分别在下列图中使用无刻度直尺按要求画图．(1)在图①中，点P 是平行四边形ABCD 的边AD 的中点，过点P 画一条线段PM ，使得PM ＝12AB ；(2)在图②中，点A ，D 分别是平行四边形BCEF 的边FB 和EC 的中点，且点P 是边EC 上的动点，画出△PAB 的一条中位线．3．(2019·南昌3月模拟)如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺，分别在图①，图②中按要求作图(保留作图痕迹，不写作法)．(1)在图①中，在AB边上求作一点N，连接CN，使得CN＝AM；(2)在图②中，在AD边上求作一点Q，连接CQ，使得CQ∥AM.4．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AE⊥BC，垂足为E，请仅用无刻度的直尺按要求作图．(1)在图①中，作菱形ABCD的高CF，使得点F在AB上；(2)在图②中，作出以AE为边的等边△AEG.类型三与正多边形有关如下图，已知正七边形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．(1)在图①中，画出一个以AB为对角线的菱形；(2)在图②中，画出一个以AB为对角线的菱形．【分析】要画出以AB为对角线的菱形，可考虑菱形的性质：对角线互相垂直平分，从而找到一条能够垂直平分AB的线，即只需确定两个到线段AB的距离相等的点即可．【自主解答】【难点突破】本题要求画出一个以已知线段为对角线的菱形，难点在于确定菱形的另一条对角线，而菱形对角线互相垂直平分，即找出线段AB的垂直平分线是解决本题的难点．考虑到线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解决本题的关键所在．解决与正多边形有关的创新作图问题时，一定要熟记正多边形的基本性质．在中考中也常利用正多边形的对称性进行作图：如正n(n为奇数)边形是轴对称图形，正n(n为偶数)边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．1．已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺按要求作图．(1)在图①中，以AB为边作一个等边三角形；(2)在图②中，在AB的延长线上，作BH＝2AB.2．已知五边形ABCDE中，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∠A＝∠B＝90°，∠D＝60°.请仅用不含刻度的直尺按要求画图．(1)在图①中，作AB的垂直平分线DF；(2)在图②中，作线段BC的垂直平分线PQ，其中点P在AE上，点Q在BC上．类型四与圆有关(2019·江西)在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内，请仅用无刻度的直尺．．．．．．分别按下列要求画图(保留画图痕迹)．(1)在图①中作弦EF，使EF∥BC；(2)在图②中以BC为边作一个45°的圆周角．【分析】 (1)要得到EF∥BC，结合已知AB＝AC，得到∠ABC＝∠ACB，从而延长BA交圆于E，延长CA交圆于F，连接EF即可；(2)要得到以BC为边作一个45°的圆周角，只需确定半圆的中点D，根据对称性由EF∥BC得到BF＝CE，再用线段垂直平分线确定点D即可．【自主解答】1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形．∠BAC＝45°.请仅用无刻度的直尺按要求画图．(1)如图①，画出弦CD，使得CD＝BC(点D不与点B重合)；(2)如图②，AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，点A，C，M在同一条直线上，在图中画出△ABM的边BM上的中线AD.2．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O，请在下面的图中按要求仅用无刻度的直尺作图．(1)如图①，当∠ADC＝60°时，⊙O与DC相交于点M，过点M作⊙O的切线；(2)如图②，当∠ADC＝90°时，过点C作⊙O的切线(CD除外)．3．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图①，图②中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法)．(1)如图①，AC＝BC；(2)如图②，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC.4．如图所示，等边△ABC 内接于圆，点D ，F 分别是AC ︵，AB ︵的中点，AD ，BC 的延长线相交于点E.请仅用无刻的直尺作图． (1)在图①中，作出圆的圆心O ； (2)在图②中，过点C 作圆的切线CG.5．如图，△ABC 内接于⊙O，BC 为直径，D 为AC 的中点．请仅用不含刻度的直尺作图．(1)在图①中，作AC ︵的中点E ；(2)在图②中，已知∠ACB＝30°，作∠BAC 的平分线AG ，交⊙O 于G.6．(2019·广丰区一模)如图，AB、AD是⊙O的弦，△ABC是等腰直角三角形，△ADC≌△AEB.请仅用无刻度直尺作图．(1)在图①中作出圆心O；(2)在图②中过点B作BF∥AC.类型五网格中作图(2019·宜春一模)如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按照下列要求画三角形．(1)使三角形的三边长分别为3，22，5；(2)使三角形为边长都是无理数的钝角三角形，且面积为4.【分析】 (1)利用网格，先画出长为3的线段，再分别在该线段的两端点处画长分别为22，5的线段，使得它们能够围成一个三角形即可；(2)由网格图可知，该网格对角线长为42，从而以网格对角线为底，再画出高为2且另外两边均为无理数的三角形即可．【自主解答】对于网格中的创新作图问题，抓住网格各边长相等，且均为正方形，从而利用勾股定理可得到对应线段的长，同时图中的网格线提供平行、相等等条件，从而注意相似、全等等知识点可提供作图依据．1．图①，图②均为6×6的正方形网络，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB 的端点均在格点上，按下列要求画图．(1)在图①中找到一个格点C ，使得∠ABC 是锐角，且tan∠ABC＝14，并画出△ABC ；(2)在图②中找到一个格点D ，使得∠ADB 是锐角，且tan∠ADB＝1，并画出△ABD.2．(2019·天津改编)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC＝50°，∠BAC＝30°，经过点A，B的圆的圆心在AC上．请仅用不含刻度的直尺按要求画图．(1)如图①，画出边AB的垂直平分线DQ；(2)如图②，在△ABC内画出点P，使得∠PAC＝∠PBC＝∠PCB.3．(2019·无锡)按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．(1)如图①，A为⊙O上一点，请用直尺(不带刻度)和圆规作出⊙O的内接正方形；(2)我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于同一点，三条中线相交于同一点．事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于同一点．运用上述性质，只用直尺(不带刻度)作图．②如图③，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH.参考答案【例1】解：(1)如解图①所示，AF即为所求；(2)如解图②所示，BH即为所求．【解法提示】 (1)如解图①，连接CE交BD于点F.∵点E是AB的中点，∴AE是平行四边形，∴EC∥AD.∵点E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴BF ＝DF，∴AF是△ABD的中线．(2)如解图②，连接CE交BD于点F，连接AF，由(1)知BF＝DF，连接DE交AF 于点G.∵AE＝BE，∴点G是△ABD三条中线的交点．连接BG并延长交AD于点H，则BH是△ABD的边AD上的中线．∵BA＝BD，∴BH⊥AD.跟踪训练1．解： (1)作图如解图①所示，点P′即为所求；(2)作图如解图②所示，点P′即为所求；2．解： (1)如解图①所示，点P即为所求．(2)如解图②所示，MN即为所求．3．解：(1)如解图①所示，CQ即为所求；(2)如解图②所示，正方形ABCD即为所求．4．解：(1)作图如解图①所示，点F即为所求；(2)作图如解图②所示，线段DP即为所求．【例2】解：(1)如解图①所示，线段E′F′即为所求；(2)如解图②所示，线段E′F′即为所求．跟踪训练1．解： (1)如解图①所示，PQ即为所求．(2)如解图②所示，点M即为所求．2．解：(1)如解图①，线段PM即为所求；(2)如解图②，线段GH即为所求．3．解：(1)作图如解图①所示，点N即为所求；(2)作图如解图②所示，点Q即为所求．4．解：(1)如解图①所示，线段CF即为所求．(2)如解图②所示，△AEG即为所求．【例3】(1)如解图①所示，菱形ACBD即为所求．(2)如解图②所示，菱形ACBD即为所求．跟踪训练1．解：(1)如解图①所示，△AOB即为所求．(2)线段BH即为所求．2．.解：(1)作图如解图①所示，DF即为所求．(2)作图如解图②所示，PQ即为所求．【例4】解：(1)作图如解图所示，弦EF即为所求；(2)如解图所示，∠DBC即为所求．跟踪训练1．解：(1)如解图①所示，弦CD即为所求；(2)如解图②所示，AD即为所求．2．解：(1)如解图①所示，MN即为所求；(2)如解图②所示，CF即为所求．3．解：(1)如解图①，弦CD即为所求；(2)如解图②，弦AF即为所求．4．解：(1)作图如解图①所示，点O即为所求；(2)作图如解图②所示，直线CG即为所求．5．解：(1)如解图①所示，点E即为所求；(2)如解图②所示，射线AG即为所求．6．解：(1)如解图①所示，设AC交⊙O于K，连接BK，DE，BK交DE于点O，点O即为所求．(2)如解图②中，作直线AO交⊙O于F，直线BF即为所求．【例5】解：(1)如解图①所示，图中△ABC即为所求；(2)如解图②所示，图中△DEF即为所求．跟踪训练1．解：(1)如图①所示，△ABC即为所求；(2)如解图②所示，△ABD即为所求．2．解：(1)画图如解图①所示，直线DQ即为所求；(2)画图如解图②所示，点P即为所求．3．解：(1)如解图①所示，四边形ABCD即为所求；(2)①如解图②所示，点F即为所求；③如解图③所示，线段AH即为所求．。

专题三实际应用题类型一几何实际应用题命题角度❶以三角形为背景(2019·江西)图①是一台实物投影仪，图②是它的示意图，折线B－A－O 表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC 绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8 cm，CD＝8 cm，AB＝30 cm，BC＝35 cm.(结果精确到0.1)(1)如图②，∠ABC＝70°，BC∥OE.①填空：∠BAO＝°；②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．(2)如图③，将(1)中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时，求∠ABC的大小．(参考数据：sin 70°≈0.94，cos 20°≈0.94，sin 36.8°≈0.60，cos 53.2°≈0.60)【分析】(1)①要求∠BAO的度数，由BC∥OE，知过点A作OE的平行线，利用平行线性质求解；②要求探头D到桌面OE的距离，可先在Rt△ABG中求出AG，进而利用线段间的数量关系求解；(2)要求∠ABC的大小，可先过点B作OE的平行线，利用锐角三角函数求出∠HBC的度数，即可得解．【自主解答】命题角度❷ 以四边形为背景如图①，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°，图②是其侧面简化示意图，其中视线AB 水平，且与屏幕BC 垂直.(1)若屏幕上下宽BC ＝20 cm ，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB 的长；(2)若肩膀到水平地面的距离DG ＝100 cm ，上臂DE ＝30 cm ，下臂EF 水平放置在键盘上，其到地面的距离FH ＝72 cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°？(参考数据：sin 69°≈1415，cos 21°≈1415，tan 20°≈411，tan 43°≈1415，所有结果精确到个位)【分析】 (1)在Rt△ABC中，用∠A的正切直接求解；(2)判断β是否符合科学要求的100°，主要是求∠β，可在Rt△DME中求∠DEM 即可．【自主解答】命题角度❸以圆为背景(2019·安徽)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图①，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图②，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°.若点C为运行轨道的最高点(C，O的连线垂直于AB)，求点C到弦AB所在直线的距离．(参考数据：sin 41.3°≈0.66，cos 41.3°≈0.75，tan 41.3°≈0.88)【分析】求点C到弦AB的距离，可通过圆的性质，连接CO并延长交AB于D，利用垂径定理在Rt△OAD中求出OD即可．【自主解答】1．为“方便交通，绿色出行”，人们常选择以共享单车作为代步工具．图①所示的是一辆自行车的实物图．图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45 cm和60 cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20 cm，点A、C、E在同一条直线上，且∠CAB＝75°.(1)求车架档AD的长；(2)求车座点E到车架档AB的距离(结果精确到1 cm)．(参考数据：sin 75°≈0.966，cos 75°≈0.259，tan 75°≈3.732)2．(2019·台州改编)如图①是一辆在平地上滑行的滑板车，图②是其示意图，已知车杆AB长92 cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6 cm，B，C为前后两个轮子所在圆的圆心．(1)判定BC与水平地面的位置关系，并说明理由；(2)求车把手A距离地面的高度．(结果精确到0.1cm，参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)3．(2019·绍兴)如图①为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5 cm，长度均为20 cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．(1)转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图②，求连杆端点D 离桌面l的高度DE；(2)将(1)中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图③，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？(精确到0.1 cm，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)4．(2019·舟山)某挖掘机的底座高AB＝0.8米，动臂BC＝1.2米，CD＝1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°，初始位置如图①，斗杆顶点D与铲斗顶点E 所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°(示意图②)．工作时如图③，动臂BC会绕点B转动，当A，B，C在同一直线上时，斗杆顶点D升至最高点(示意图④)．(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数；(2)问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米？(精确到0.1米)(参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34)5．(2019·常德改编)如图①是一种淋浴喷头，图②是图①的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25 cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°.(1)BC与竖直方向所成的夹角(锐角)的度数为；(2)若住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使得DE ＝50 cm，CE＝130 cm，求安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置上．(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08，sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70)6．(2019·泰州)某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1∶2，顶端C离水平地面AB的高度为10 m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C，D两点间的距离为4 m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3 m，求：(1)观众区底端水平宽度AB；(2)顶棚的E处离地面的高度EF.(sin 18°30′≈0.32，tan 18°30′≈0.33，结果精确到0.1 m)7．(2019·九江二模)将一盒足量的牛奶按如图①所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入，图②是它的平面示意图，请根据图中的信息解答下列问题：(1)填空：AP＝ cm，PF＝ cm；(2)求出容器中牛奶的高度CF.8．(2019·南昌二模)如图所示的是一个地球仪及它的平面图，在平面图中，点A、B分别为地球仪的南、北极点，直线AB与放置地球仪的平面交于点D，所夹的角度约为67°，半径OC所在的直线与放置它的平面垂直，垂足为点E，DE＝15 cm，AD＝14 cm.(1)求半径OA的长．(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan 67°≈2.36)(2)求扇形BOC 的面积．(π取3.14，结果精确到1 cm)9．如图①是校园内的一种铁制乒乓球桌，其侧面简化结构如图②所示．直线型支架的上端A ，B 与台面下方相连，与圆弧形底座支架EF 在C ，D 处相连接，支架AC 与BD 所在的直线过EF ︵的圆心．若AB ＝200 cm ，∠CAB＝∠DBA＝60°，EC ︵＝FD ︵，AB 平行于地面EF ，EF ︵最顶端与AB 的距离为2 cm. (1)求EF ︵的半径；(2)若台面AB 与地面EF 之间的距离为72 cm ，求E ，F 两点之间的距离．(精确到1 cm，参考数据：3≈1.7，1682－982≈137)10．为了应对人口老龄化问题，国家大力发展养老事业．某养老机构定制轮椅供行动不便的老人使用．图①是一种型号的手动轮椅实物图，图②为其侧面示意图，该轮椅前后长度为120 cm，后轮半径为24 cm，CB＝CD＝24 cm，踏板CB 与CD垂直，横档AD、踏板CB与地面所成的角分别为15°、30°.求：(1)横档AD的长；(2)点C离地面的高度．(sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，精确到1 cm)类型二方程、不等式的实际应用题如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度(如图①所示)．使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸(如图②所示)．图③是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50 cm，第2节套管长46 cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4 cm.完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为x cm.(1)请直接写出第5节套管的长度；(2)当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311 cm，求x的值．【分析】 (1)根据“第n节套管的长度＝第1节套管的长度－4×(n－1)”代入数据即可；(2)同(1)的方法求第10节套管重叠的长度，再根据“完全拉伸时长度为311 cm”列方程即可．【自主解答】1．(2019·福建)某工厂为了贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天固定成本30元，并且每处理1吨废水还需其他费用8元，将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元，根据记录，5月21日，该厂生产工业废水35吨，共花费废水处理费370元．(1)求该车间的日废水处理量m；(2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．2．(2019·聊城)某商场的运动服装专柜，对A，B两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：(1)问A，B两种品牌运动服的进货单价各是多少元？(2)由于B品牌运动服的销量明显好于A 品牌，商家决定采购B 品牌的件数比A 品牌件数的32倍多5件，在采购总价不超过21 300元的情况下，最多能购进多少件B 品牌运动服？3．某商店购买60件A 商品和30件B 商品共用了1 080元，购买50件A 商品和20件B 商品共用了880元．(1)A ，B 两种商品的单价分别是多少元；(2)已知该商店购买B 商品的件数比购买A 商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A ，B 两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A ，B 两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案．4．书籍是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好.问题1：现有精装词典长、宽、厚尺寸如图①所示(单位：cm)，若按图②的包书方式，将封面和封底各折进去3 cm.试用含a、b、c的代数式分别表示词典封皮(包书纸)的长AB是 (2b＋c＋6) cm，宽BC是 a cm；问题2：在如图④的矩形包书纸示意图中，虚线为折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长即为折叠进去的宽度．(1)若有一数学课本长为26 cm、宽为18.5 cm、厚为1 cm，小海宝用一张面积为1 260 cm2的矩形纸包好了这本数学书，封皮展开后如图④所示．若设正方形的边长(即折叠的宽度)为x cm，则包书纸长EF为 38＋2xcm，宽FG为 26＋2xcm(用含x的代数式表示)；(2)请帮小海宝列方程，求出第(1)题中小正方形的边长x cm.类型三函数实际应用题(2019·江西样卷一)今年某水果加工公司分两次采购一批桃子，第一次费用为25万元，第二次费用为30万元．已知第一次采购时每吨桃子的价格比去年的平均价格上涨了0.1万元，第二次采购时每吨桃子的价格比去年的平均价格下降了0.1万元，第二次采购的数量是第一次采购数量的2倍．(1)求去年每吨桃子的平均价格是多少万元，两次采购的总数量是多少吨；(2)该公司可将桃子加工成桃脯或桃汁，每天只能加工其中一种．若单独加工成桃脯，每天可加工3吨桃子，每吨可获利0.7万元；若单独加工成桃汁，每天可加工9吨桃子，每吨可获利0.2万元．为出口需要，所有采购的桃子必须在30天内加工完毕．①根据该公司的生产能力，加工桃脯的时间不能超过多少天；②在这次加工生产过程中，应将多少吨桃子加工成桃脯才能获取最大利润？最大利润为多少．【分析】 (1)由第一次采购价格比去年平均价格上涨0.1万元，第二次采购价格比去年平均价格下降0.1万元，可分别表示两次采购桃子的数量，然后利用第二次采购桃子的数量是第一次采购的2倍列分式方程求解；(2)①由所有桃子必须在30天内加工完毕，可设加工桃脯的天数为x天，从而表示出加工桃汁的天数，再列出不等式求解；②列出利润关于加工桃脯天数的一次函数关系式，再根据函数性质确定最值即可．【自主解答】1．(2019·陕西)根据记录，从地面向上11 km以内，每升高1 km气温降低6 ℃；又知在距离地面11 km以上高空，气温几乎不变，若地面气温为m(℃)，设距离地面的高度为x(km)处的气温为y(℃)．(1)写出距离地面的高度在11 km以内的y与x之间的函数表达式；(2)上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为－26 ℃，飞机距离地面的高度为7 km，求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时在距离地面12 km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12 km时，飞机外的气温．2．某商店以8元/个的价格收购1 600个文具盒进行销售，为了得到日销售量y(个)与销售价格x(元/个)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：(1)请你根据表中的数据，用所学知识确定y与x之间的函数表达式；(2)该商店应该如何确定这批文具盒的销售价格，才能使日销售利润最大；(3)根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，判断一个月能否销售完这批文具盒，并说明理由．3为拓宽学生视野，我市某中学决定组织部分师生去庐山西海开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17名学生，还剩12名学生没人带；若每位老师带18名学生，就有一位老师少带4名学生．为了安全，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？租用客车总数为多少辆？(2)设租用x辆乙种客车，租车总费用为w元，请写出w与x之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3 100元，租用乙种客车不少于5辆，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．4．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．参考答案【例1】 解：(1)①如解图①，过点A 作AF∥BC，则∠BAO＝∠BAF＋∠OAF＝∠ABC＋∠AOE＝160°.②如解图②，过点A 作AG⊥BC ，交BC 于点G ，∵AB＝30，OA ＝6.8，∠ABC＝70°， ∴AG＝30sin 70°＝28.2，∴OG＝OA ＋AG ＝35， ∴OG－CD ＝27，即点D 到桌面OE 的距离是27 cm.(2)如解图③，延长CD 交OE 于M ，过点B 作BH⊥CD，交DC 的延长线于H. ∵CD⊥OE，OE∥BH，∴∠ABH＝70°， 由题意，得 CM ＝14，由(1)得HM ＝35，∴CH＝21.在Rt△BCH 中，sin∠CBH＝CH BC ＝2135＝0.60，∴∠CBH＝36.8°，∴∠ABC＝∠ABH－∠CBH＝33.2°.【例2】 解：(1)由已知，得BC ＝20 cm ，在Rt△ABC 中，tan α＝BCAB ，∴AB＝BC tan α＝BC tan 20°≈20411＝55(cm)． (2)由已知得DG ＝100 cm ，DE ＝30 cm ，FH ＝72 cm ， 如解图，作EM⊥DG 于M ，则MG ＝FH ＝72 cm ， ∴DM＝DG －MG ＝28 cm ， ∴sin∠DEM＝DM DE ＝2830＝1415.∵sin 69°≈1415，∴∠DEM≈69°.∵∠DEM＋∠DEF＝180°， ∴β＝∠DEF＝111°， ∴不符合科学要求的100°.【例3】 解：如解图，连接CO 并延长，与AB 交于点D ， ∵OD⊥AB，∴AD＝BD ＝12AB ＝3(米)，在Rt △OAD 中，∠OAB＝41.3°，cos 41.3°＝ADAO ，∴AO＝3cos 41.3°≈30.75＝4.∵tan 41.3°＝ODAD，∴OD＝AD·tan 41.3°≈3×0.88＝2.64(米)，∴CD＝OC＋OD＝AO＋OD＝4＋2.64＝6.64米．答：点C到弦AB所在直线的距离是6.64米．跟踪训练1．解：(1)∵在Rt△ACD中，AC＝45 cm，DC＝60 cm，∴AD＝452＋602＝75(cm)．∴车架档AD的长是75 cm.(2)如解图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∵AE＝AC＋CE＝(45＋20) cm，∴EF＝AEsin 75°＝(45＋20)·sin 75°≈62.79≈63(cm)，∴车座点E到车架档AB的距离约是63 cm.2．解：(1)BC与水平地面平行．理由：如解图，分别过点B，C作水平地面的垂线，垂足记为G，H，∴BG∥CH.∵前后轮子的半径均为6 cm，∴BG＝CH＝6 cm，∴四边形BGHC是平行四边形，∴BC∥GH，即BC与水平地面平行．(2)如解图，过点A作AD⊥BC于点D，延长AD交地面于点E，∵sin∠ABD＝ADAB ，∴AD＝ABsin∠ABD＝92sin 70°≈92×0.94＝86.48 cm.∵DE＝BG ＝6 cm.∴AE＝AD ＋DE ＝92.48 cm≈92.5 cm. 答：车把手A 离地面的高度约为92.5 cm.3．解：(1)如解图①中，作BO⊥DE 于O.∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE 是矩形，∴∠OBA＝90°， ∴∠DBO ＝150°－90°＝60°，∴OD＝BD·sin 60°＝203(cm)， ∴DE＝OD ＋OE ＝OD ＋AB ＝203＋5≈39.6(cm)．(2)如解图②，作DF⊥l 于F ，CP⊥DF 于P ，BG⊥DF 于G ，CH⊥BG 于H ，则四边形PCHG 是矩形，∵∠CBH＝60°，∠CHB＝90°，∴∠BCH＝30°. ∵∠BCD＝165°，∴∠DCP＝45°，∴CH＝BCsin 60°＝103(cm)，DP ＝CDsin 45°＝102(cm)， ∴DF＝DP ＋PG ＋GF ＝DP ＋CH ＋AB ＝(102＋103＋5)(cm)，∴下降高度：DE －DF ＝203＋5－102－103－5＝103－102＝3.2(cm)． 4．解：(1)过点C 作CG⊥AM 于点G ，如解图①所示． ∵AB⊥AM，DE⊥AM，∴AB∥CG∥DE，∴∠DCG＝180°－∠CDE＝110°， ∴∠BCG＝∠BC D －∠GCD＝30°， ∴∠ABC＝180°－∠BCG＝150°.(2)过点C 作CP⊥DE 于点P ，过点B 作BQ⊥DE 于点Q ，交CG 于点N ，如解图①所示，在Rt△CPD 中，DP ＝CDcos 70°≈0.51米， 在Rt△BCN 中，CN ＝BC cos30°≈1.04米， ∴DE＝DP ＋PQ ＋QE ＝2.35米．如解图②所示，过点D 作DH⊥AM 于点H ，过点C 作CK⊥DH 于点K. ∵∠BCD＝140°，∠BCK＝90°，∴∠DCK＝50°. 在Rt△CKD 中，DK ＝CDsin 50°≈1.16米， ∴DH＝DK ＋KH ＝3.16米， ∴DH－DE ＝0.8米．答：斗杆顶点D 的最高点比初始位置高了0.8米．5．解：(1)35°.(2)如解图，过点B 作BG⊥D′D 于点G ，延长EC ，GB 交于点F ， ∴sin 37°＝GB AB ，cos 37°＝GAAB，∴GB＝ABsin 37°≈25×0.60＝15 cm ，GA ＝ABcos 37° ≈25×0.80＝20 cm ，∴BF＝GF －GB ＝DE －GB ＝50－15＝35 cm. 由(1)可知，∠BCF＝35°，∴tan 35°＝BFCF ，∴CF＝BF tan 35°≈350.70＝50 cm ，∴FE＝FC ＋CE ＝180 cm ， ∴AD＝GD －GA ＝FE －GA ＝160 cm.答：安装师傅应将支架固定在离地面160 cm 的位置． 6．解：(1)观众区AC 的坡度i 为1∶2，顶端C 离水平地面AB 的高度为10 m ， ∴AB＝2BC ＝20 m.答：观众区的水平宽度AB 为20 m.(2)如解图，作CM⊥EF 于M ，DN⊥EF 于N ，则四边形MFBC 与四边形MCDN 都为矩形，∴MF＝BC ＝10，MN ＝CD ＝4，DN ＝MC ＝BF ＝23. 在Rt△END 中，tan∠EDN＝ENDN ，则EN ＝DNtan∠EDN≈7.59米，∴EF＝EN ＋MN ＋MF ＝7.59＋4＋10≈21.6米． 答：顶棚的E 处离地面的高度EF 约为21.6 m.7．解：(1)在Rt△ABP 中，∵∠APB＝90°，∠ABP＝30°，AB ＝10 cm ，∴AP＝12AB ＝5 cm ，∠BAP＝60°. ∴∠EAP＝30°，∴EP ＝12AP ＝52cm ，∴PF＝10－52＝152(cm)；故答案为：5，152.(2)∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠ABP＝30°. 又∵∠BFP＝90°，∴tan 30°＝BFPF ，∴BF＝152×33＝532(cm)，∴CF＝BC －BF ＝(12－532)(cm)．即容器中牛奶的高度CF 为(12－532) cm.8．解：(1)在Rt△ODE 中，DE ＝15 cm ，∠ODE＝67°. ∵cos∠ODE＝DEOD ，∴OD≈150.39≈38.46( cm)，∴OA＝OD －AD ＝38.46－14≈24.5( cm)． 答：半径OA 的长约为24.5 cm. (2)∵∠ODE＝67°，∴∠BOC＝157°，∴扇形BOC 的面积≈157×3.14×24.52360≈822( cm 2)．答：扇形BOC 的面积约为822 cm 2.9．解：(1)如解图延长AC ，BD 相交于O ，则点O 是EF ︵的圆心，过点O 作OH⊥AB 于H ，交EF ︵于G.∵∠OAB＝∠OBA＝60°， ∴△AOB 是等边三角形 ∴AH＝BH ＝100 cm ， ∴OH＝3AH≈170 cm. ∵GH＝2 cm ，∴EF ︵的半径为170－2＝168 cm. (2)连接EF 交OH 于P ，连接OE.在Rt△OEP 中，OP ＝OH －HP ＝98 cm ，OE ＝168 cm ， 由勾股定理，得EP ＝EO 2－OP 2≈137 cm. ∴EF＝2EP ＝274 cm. 10．解： (1)如解图所示．在Rt△DFC 中，FC ＝DCsin 30°＝24×12＝12 cm ，DF ＝DCcos 30°＝24×32＝12 3 cm. 在Rt△BCG 中，CG ＝BCcos 30°＝24×32＝12 3 cm.∴AE＝120－12－24－123≈63.2(cm)．在Rt△ADE中，AD＝AEcos 15°≈63.20.97≈65(cm)．因此，横档AD的长为65 cm.(2)在Rt△ADE中，DE＝ADsin 15°≈65×0.26＝16.9 cm，∴点C离地面的高度为DE＋24－DF＝16.9＋24－123≈20(cm)．因此，点C离地面的高度为20 cm.【例4】解：(1)第5节套管的长度为：50－4×(5－1)＝34(cm)．(2)第10节套管的长度为：50－4×(10－1)＝14(cm)．∵每相邻两节套管间重叠的长度为x cm，根据题意，得(50＋46＋42＋…＋14)－(10－1)x＝311，即320－9x＝311.解得x＝1.答：每相邻两节套管间重叠的长度为1 cm.跟踪训练1．解：(1)∵35×8＋30＝310，310＜350，∴m＜35，由题意，得30＋8m＋12(35－m)＝370，解得m＝20.答：该车间的日废水处理量为20吨．(2)设一天产生工业废水x吨，当0＜x≤20时，8x＋30≤10x，解得15≤x≤20，当x＞20时，12(x－20)＋8×20＋30≤10x，解得20＜x≤25，综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围是15≤x≤25.2．解：(1)设A ，B 两种品牌运动服的进货单价各是x 元y 元，根据题意可得： ⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ＝10 200，30x ＋40y ＝14 400，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝240，y ＝180，答：A ，B 两种品牌运动服的进货单价各是240元和180元．(2)设购进A 品牌运动服m 件，则购进B 品牌运动服(32m ＋5)件， 则240m ＋180(32m ＋5)≤21 300， 解得m≤40，∴32m ＋5≤32×40＋5＝65. 答：最多能购进65件B 品牌运动服．3．解：(1)设A 商品的单价为x 元，B 商品的单价为y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋30y ＝1 080，50x ＋20y ＝880，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝4，答：A 商品的单价为16元，B 商品的单价为4元．(2)设购买A 商品a 件，则购买B 商品(2a －4)件，∵购买A ，B 两种商品的总件数不少于32件，∴a＋(2a －4)≥32，解得a≥12. ∵购买A ，B 两种商品的总费用不超过296元，∴16a ＋4(2a －4)≤296.解得a≤13，∴a 的取值范围是12≤a≤13.∵a 为整数，∴a＝12或a ＝13.∴共有两种购买方案，方案一：购买A 商品12件，B 商品20件；方案二：购买A 商品13件，B 商品22件．4．解： 问题1：a 2b ＋c ＋6问题2：(1)38＋2x 26＋2x(2)∵折进去的宽度为x cm ，列方程得：(38＋2x)(26＋2x)＝1 260，988＋128x ＋4x 2＝1 260，x 2＋32x －68＝0，x 1＝2，x 2＝－34(舍去)，∴折进去的宽度为2 cm.答：小正方形的边长为2 cm.【例5】 解：(1)设去年每吨桃子的平均价格是a 万元，依题意得2×25a ＋0.1＝30a －0.1，解得a ＝0.4， 经检验，a ＝0.4是原方程的解，25a ＋0.1＋30a －0.1＝250.4＋0.1＋300.4－0.1＝150吨． 答：去年每吨桃子的平均价格是0.4万元，两次采购的总数量为150吨．(2)①设该公司加工桃脯用x 天，则x ＋150－3x 9≤30，解得x≤20， ∴加工桃脯的时间不能超过20天；②设该公司加工桃脯x 天，获得最大利润为w 万元，依题意得w ＝0.7·3x＋0.2×(150－3x)＝1.5x ＋30，∵k＝1.5＞0，∴w 随x 的增大而增大．∵x≤20，∴当x ＝20时w 最大，最大值为1.5×20＋30＝60万元，3×20＝60吨，答：将60吨桃子加工成桃脯才能获取最大利润，最大利润为60万元． 跟踪训练1．解：(1)y ＝－6x ＋m ；(2)将x ＝7，y ＝－26代入得，－6×7＋m ＝－26，解得m ＝16，∴当时地面气温为16 ℃.∵x＝12＞11，∴y＝16－6×11＝－50(℃)．答：假如当时飞机距离地面12 km ，则飞机外的气温为－50 ℃.2．解：(1)设函数表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧18k ＋b ＝30，16k ＋b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝120， ∴y＝－5x ＋120，∴所求的函数表达式为y ＝－5x ＋120.(2)设利润为w ，根据题意，得w ＝(x －8)(－5x ＋120)＝－5x 2＋160x －960，整理，得w ＝－5(x －16)2＋320，∴当售价为16元时，可使日销售利润最大为320元．(3)一个月不能销售完这批文具盒．理由：由(2)得最大利润时，售价为16元，则由(1)可知，日销售量为40个， ∵1 600÷40＝40天，∴一个月不能销售完这批文具盒．3．解：(1)设老师有x 名，学生有y 名．依题意，列方程组为⎩⎪⎨⎪⎧17x ＝y －12，18x ＝y ＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝284.∵每辆客车上至少要有2名老师，∴汽车总数不能大于8辆；又要保证300名师生都有车坐，汽车总数不能小于30042＝507(取整为8)辆， ∴汽车总数为8辆．(2)设租用x 辆乙种客车，则租用甲种客车(8－x)辆，w ＝400x ＋300(8－x)＝100x ＋2 400.(3)∵租车总费用不超过3 100元，∴400x＋300(8－x)≤3 100, 解得x≤7.∵x≥5，∴5≤x≤7(x 为整数)，∴共有3种租车方案：方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为2 900元； 方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为3 000元； 方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为3 100元； 故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．4．解： (1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y ＝a(x －3)2＋5(a≠0)，将(8，0)代入y ＝a(x －3)2＋5，得：25a ＋5＝0，解得a ＝－15， ∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y ＝－15(x －3)2＋5(0＜x ＜8)．(2)当y ＝1.8时，－15(x －3)2＋5＝1.8， 解得x 1＝－1，x 2＝7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．(3)当x ＝0时，y ＝－15(x －3)2＋5＝165. 设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y ＝－15x 2＋bx ＋165. ∵该函数图象过点(16，0)，∴0＝－15×162＋16b ＋165， 解得b ＝3，∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y ＝－15x 2＋3x ＋165＝－15(x －152)2＋28920， ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920米．。

二次函数综合题(必考1道，9或12分)类型一 与图形规律有关的探究问题(2019.23，2016.23，2014.24，2013.24)1.(2018江西样卷)已知抛物线C n ：y n ＝－12x 2＋(n －1)x ＋2n (其中n 为正整数)与x 轴交于A n ，B n 两点(点A n 在B n 的左边)，与y 轴交于点D n .(1)填空：①当n ＝1时，点A 1的坐标为________，点B 1的坐标为________； ②当n ＝2时，点A 2的坐标为________，点B 2的坐标为________；(2)猜想抛物线C n 是否经过某一个定点，若经过请写出该定点坐标并给予证明；若不经过，并说明理由； (3)①判断△A 2D 2B 4的形状；②猜想∠A n D n B n 2的大小，并给予证明．2.(2019南昌模拟)如图①，抛物线C：y＝x2经过变换可得到抛物线C1：y1＝a1x(x－b1)，C1与x轴的正半轴交于点A1，且其对称轴分别交抛物线C、C1于点B1、D1.此时四边形OB1A1D1恰为正方形；按上述类似方法，如图②，抛物线C1：y1＝a1x(x－b1)经过变换可得到抛物线C2：y2＝a2x(x－b2)，C2与x轴的正半轴交于点A2，且其对称轴分别交抛物线C1、C2于点B2、D2.此时四边形OB2A2D2也恰为正方形；按上述类似方法，如图③，可得到抛物线C3：y3＝a3x(x－b3)与正方形OB3A3D3，请探究以下问题：(1)填空：a1＝________，b1＝________；(2)求出C2与C3的解析式；(3)按上述类似方法，可得到抛物线C n：y n＝a n x(x－b n)与正方形OB n A n D n(n≥1)．①请用含n的代数式直接表示出C n的解析式；②当x取任意不为0的实数时，试比较y2018与y2019的函数值的大小关系，并说明理由．第2题图3.(2019江西黑白卷)如图，抛物线y1＝x2－(2m＋4)x＋m2＋4m与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)若抛物线y1＝x2－(2m＋4)x＋m2＋4m过点(1，0)，求抛物线y1的解析式；(2)当△AOC∽△COB时，求点C的坐标；(3)当m＝－3时，过点(－2，0)且平行于y轴的直线l与抛物线y1交于点P，抛物线y1向右平移1个单位得到抛物线y2，抛物线y2与直线l交于点Q.y1向右平移2个单位得到抛物线y3，y1向右平移n－1(n为正整数)个单位得到抛物线y n，抛物线y n与直线l交于点R，当四边形P ARB的面积为70时，求n的值．第3题图4.(2019抚州模拟)如图，已知∠OBB1＝30°，点A1，A2，A3，…在x轴上，点B1，B2，B3，…在射线BB1上，△OA1B1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，若OB＝1，过O、A1、B1三点的抛物线称为y1，过A1、B2、A2三点的抛物线称为y2，过A n－1、B n、A n三点的抛物线称为y n.(1)写出A1，A2，A3和B1，B2，B3的坐标；(2)求出抛物线y1和y2的解析式；(3)若把△A2018B2019A2019沿边A2018B2019向上翻折得到四边形A2018A2019B2019A′2019，点A2019与A′2019是对应点，请判断四边形A2018A2019B2019A′2019的形状，并说明理由；(4)若抛物线y n和y n＋1的对称轴分别交x轴于点C n和C n＋1，连接B n－1C n并延长交y n＋1的对称轴于点D，请判断△B n－1B n＋1D的形状(不需证明)，求出B n＋1D的长，并说明理由．第4题图5.(2018章贡模拟)已知抛物线C1：y1＝a(x－1)2＋k1(a≠0)交x轴于点M(－2，0)和点A1(b1，0)，抛物线C 2：y 2＝a (x －12b 1)2＋k 2交x 轴于点M (－2，0)和点A 2(b 2，0), 抛物线C 3：y 3＝a (x －12b 2)2＋k 3交x 轴于点M (－2，0)和点A 3(b 3，0)，…，按此规律，抛物线C n ：y n ＝a (x －12b n －1)2＋k n 交x 轴于点M (－2，0)和点A n (b n ，0)(其中n 为正整数)，我们把抛物线C 1，C 2，C 3，…，C n 称为系数a 的抛物线族．(1)直接写出b 1的值；(2)线段A n －1A n 的长为________； (3)探究如下问题：(用含a 的代数式表示)①抛物线C 3的顶点坐标为(________，________)；②依此类推第n 条抛物线C n 的顶点坐标为(________，________)；(4)抛物线C 10的顶点为N ，是否存在△MNA 10是等腰直角三角形的情况？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．6.(2019江西样卷六)已知以直线x ＝1为对称轴的抛物线y 1与x 轴交于点A 1(d ，0)和A 2，顶点为B 1，以直线x ＝2为对称轴的抛物线y 2与x 轴交于点A 2和A 3，顶点为B 2，…，以直线x ＝n 为对称轴的抛物线y n与x 轴交于点A n 和A n ＋1，顶点为B n ，我们把这样的抛物线y 1，y 2，…，y n 对应的二次函数称为“整对称轴”二次函数．(1)当0<d <1时：①填空：A 1A 2＝______，A 2A 3＝______，A 3A 4＝______；(用含d 的代数式表示)②若d ＝0.4，“整对称轴”二次函数y 1，y 2，…，y n 的图象的顶点B 1，B 2，…，B n 都在直线y ＝15x 上，当n 的值为多少时，△A n A n ＋1B n 是直角三角形？(2)当0<d <1时，已知“整对称轴”二次函数y 1，y 2，…，y n 的图象的开口方向都向下，且△A 1A 2B 1，△A 2A 3B 2，…，△A n A n ＋1B n 均为直角三角形．①请求出“整对称轴”二次函数y 1，y 2的解析式，并猜想出二次函数y 2019的解析式(可以含d )； ②请通过画草图分析直线y ＝12与抛物线y 1，y 2，…，y 2019的公共点个数．第6题图类型二与图象变换有关的探究问题(2019.23，2017.22，2011.24，2010.24)1.(2019江西模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线M：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(－1，0)，且顶点为B(0，1)．(1)求抛物线M的函数表达式；(2)设点F(t，0)为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1.①抛物线M1的顶点B1的坐标为________；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．第1题图2.(2019江西定心卷)已知抛物线C1：y＝ax2－2ax－3 (a≠0)．(1)当a＝1时，①抛物线C1的顶点坐标为________；②将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的解析式为__________；(2)无论a为何值，直线y＝m与抛物线C1相交所得的线段EF(点E在点F左侧)的长度都不变，求m 的值和EF的长；(3)在(2)的条件下，将抛物线C1沿直线y＝m翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，C3的顶点分别记为P，Q，是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．第2题图3.(2019江西样卷二)如图，已知二次函数L1：y＝mx2＋2mx－3m＋1(m≥1)和二次函数L2：y＝－m(x－3)2＋4m－1(m≥1)图象的顶点分别为点M、N，与x轴分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)和C、D两点(点C在点D的左边)．(1)函数y＝mx2＋2mx－3m＋1(m≥1)的顶点坐标为________；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是________；(2)当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状(直接写出，不必证明)；(3)抛物线L1，L2均会分别经过某些定点．①求所有定点的坐标；②若抛物线L1位置固定不变，通过平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？4.(2017江西样卷二)已知抛物线C1：y1＝a1x2＋b1x＋c1中，函数值y1与自变量x之间的部分对应关系如下表：(1)设抛物线C1的顶点为P，则点P的坐标为________；(2)现将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2：y2＝a2x2＋b2x＋c2，试求抛物线C2的解析式；(3)现将抛物线C2向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为点D，与x轴的两交点为点A、B.①在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点A、B之间的距离不小于6个单位？②在最初的状态下，若向下平移m(m＞0)个单位时，对应的线段AB长为n，请直接写出m与n的等量关系．5.(2019江西模拟)将抛物线y＝－(x＋1)2向右平移2个单位，再向上平移4个单位得抛物线m，抛物线m交x轴于A，B(点A在B的左侧)两点，交y轴于点C，过点C且平行于x轴的直线与抛物线m交于另一点D.(1)求抛物线m的解析式及点D的坐标，在如图所示的坐标系中画出抛物线m的示意图；(2)P是抛物线上一动点，点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标；(3)M是抛物线上一动点，当M点在抛物线m的对称轴右侧时，过点M作直线CD的垂线，垂足为N，若将△CMN沿CM翻折，点N的对应点为N′.是否存在点M，使N′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．第5题图6.(2019江西黑白卷)已知抛物线L1：y1＝ax2－2的顶点为P，交x轴于A、B两点(A点在B点左侧)，且sin∠ABP＝5 5.(1)求抛物线L1的函数解析式；(2)过点A的直线交抛物线于点C，交y轴于点D，若△ABC的面积被y轴分为1∶4两个部分，求直线AC的解析式；(3)在(2)的情况下，将抛物线L1绕点P逆时针旋转180°得到抛物线L2，点M为抛物线L2上一点，当点M的横坐标为何值时，△BDM为直角三角形？第6题图类型三 二次函数性质的探究问题(2015.23，2012.23)1.(2019北京)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx －1a(a ≠0)与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．(1)求点B 的坐标(用含a 的式子表示)；(2)求抛物线的对称轴；(3)已知点P (12，－1a)，Q (2，2)，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．2.(2019江西样卷一)已知抛物线y ＝x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1.(1)若该抛物线经过点P (1，4)，试求m 的值及抛物线的顶点坐标．(2)求此抛物线的顶点坐标(用含m 的代数式表示)，并证明：不论m 为何值，该抛物线的顶点都在同一条直线l 上．(3)直线l 截抛物线所得的线段长是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．3.已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c (b ，c 为常数)．(1)当b＝2，c＝－3时，求二次函数图象的顶点坐标；(2)当c＝10时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；(3)当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．4.(2017江西样卷一)已知抛物线L1：y1＝x2＋6x＋5k和抛物线L2：y2＝kx2＋6kx＋5k，其中k≠0.(1)下列说法你认为正确的序号是________；①抛物线L1和L2与y轴交于同一点F(0，5k)；②抛物线L1和L2开口都向上；③抛物线L1和L2的对称轴是同一条直线；④当k＜－1时，抛物线L1和L2都与x轴有两个交点．(2)抛物线L1和L2相交于点E、F，当k的值发生变化时，请判断线段EF的长度是否发生变化，并说明理由；(3)在(2)中，若抛物线L1的顶点为M，抛物线L2的顶点为N，问是否存在实数k，使MN＝2EF？如存在，求出实数k的值；如不存在，请说明理由．5.如图，已知抛物线l1的顶点是P(－2，4)，且经过点O(0，0)、A(t，0)，平行于y轴的直线m与x轴交于点B(b，0)，与抛物线l1交于点M.(1)求t的值及抛物线l1的解析式；(2)当BM＝4时，求b的值；(3)把抛物线l1绕点(0，1)旋转180°，得到抛物线l2.①直接写出当两条抛物线对应的函数值y都随着x的增大而减小时，x的取值范围；②直线m与抛物线l2交于点N，设线段MN的长为n，求n与b的关系式，并求出线段MN的最小值及此时b的值．第5题图类型四与新定义有关的探究问题(2014.24)1.我们定义：对于抛物线y，以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们称抛物线y′为抛物线y关于点M(0，m)的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．(1)求抛物线y＝x2－2关于原点O(0，0)的“衍生抛物线”的解析式；(2)已知抛物线y＝ax2＋2ax－b(a≠0)．①若抛物线y的“衍生抛物线”为y′＝bx2－2bx＋a2(b≠0)，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点(0，k＋12)的“衍生抛物线”为y1，其顶点为A1；关于点(0，k＋22)的“衍生抛物线”为y2，其顶点为A2；…；关于点(0，k＋n2)的“衍生抛物线”为y n，其顶点为A n…(n为正整数)．求A n A n 的长(用含n的式子表示)．＋12.(2019南昌模拟)已知：抛物线C1：y＝－(x＋m)2＋m2(m＞0)，抛物线C2：y＝(x－n)2＋n2(n＞0)，称抛物线C1，C2互为派对抛物线，例如抛物线C1：y＝－(x＋1)2＋1与抛物线C2：y＝(x－2)2＋2是派对抛物线，已知派对抛物线C1，C2的顶点分别为A，B，抛物线C1的对称轴交抛物线C2于C，抛物线C2的对称轴交抛物线C1与D.(1)已知抛物线①y＝－x2－2x，②y＝(x－3)2＋3，③y＝(x－2)2＋2，④y＝x2－x＋错误!，则抛物线①②③④中互为派对抛物线的是________(请在横线上填写抛物线的数字序号)；(2)如图①，当m＝1，n＝2时，证明：AC＝BD；(3)如图②，连接AB，CD交于点F，延长BA交x轴的负半轴于点E，记BD交x轴于G，CD交x轴于点H，∠BEO＝∠BD C.①求证：四边形ACBD是菱形；②若已知抛物线C2：y＝(x－2)2＋4，请求出m的值．第2题图参考答案类型一 与图形规律有关的探究问题1.解：(1)①(－2，0)，(2，0)；②(－2，0)，(4，0)；(2)经过，定点为(－2，0)；解法一：∵当x ＝－2时，y ＝－12×(－2)2＋(n －1)×(－2)＋2n ＝－2－2n ＋2＋2n ＝0，结果与n 无关， ∴必经过点(－2，0)；解法二：y n ＝－12x 2＋nx －x ＋2n ＝－12x 2＋(x ＋2)n －x ， 令x ＋2＝0，即x ＝－2.y n ＝0与n 无关．∴必经过点(－2，0)；解法三：令y n ＝0，即x 2－2(n －1)x －4n ＝0，(x ＋2)(x －2n )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2n ，∴定点为(－2，0)；(3)①△A 2D 2B 4的形状为直角三角形；②猜想∠A n D n B n 2＝90°.证明：当x ＝0时，y n ＝2n ，∴D n (0，2n )．∵B n (2n ，0)，∴B n 2(2n 2，0)．在△A n D n O 中，tan ∠A n D n O ＝A n O D n O ＝22n ＝1n， 在△OD n B n 2中，tan ∠OB n 2D n ＝OD n OB n 2＝2n 2n 2＝1n， ∴∠A n D n O ＝∠OB n 2D n .∵∠A n D n O ＋∠D n A n B n 2＝90°，∠OB n 2D n ＋∠OD n B n 2＝90°，∴∠A n D n O ＋∠OD n B n 2＝90°.∴∠A n D n B n 2＝90°.2.解：(1)1，2；【解法提示】当y 1＝0时，a 1x (x －b 1)＝0，解得x 1＝0，x 2＝b 1，∴A 1(b 1，0)．由正方形OB 1A 1D 1得，OA 1＝B 1D 1＝b 1，∴B 1(b 12，b 12)，D 1(b 12，－b 12)． ∵B 1在抛物线C 上，则b 12＝(b 12)2， 化简后为b 1(b 1－2)＝0，b 1＝0(不符合题意，舍去)，b 1＝2，∴D 1(1，－1)．把D 1(1，－1)代入y 1＝a 1x (x －b 1)中得：－1＝－a 1，∴a 1＝1.(2)当y 2＝0时，a 2x (x －b 2)＝0，解得x 1＝0，x 2＝b 2，∴A 2(b 2，0)．由正方形OB 2A 2D 2得，OA 2＝B 2D 2＝b 2，∴B 2(b 22，b 22)，D 2(b 22，－b 22)． ∵B 2在抛物线C 1上，则b 22＝(b 22)2－2×b 22， 化简后为b 2(b 2－6)＝0，b 2＝0(不符合题意，舍去)，b 2＝6，∴D 2(3，－3)．把D 2(3，－3)代入C 2的解析式中，得－3＝3a 2(3－6)，∴a 2＝13， ∴抛物线C 2的解析式为y 2＝13x (x －6)＝13x 2－2x . 当y 3＝0时，a 3x (x －b 3)＝0，解得x 1＝0，x 2＝b 3，∴A 3(b 3，0)．由正方形OB 3A 3D 3得，OA 3＝B 3D 3＝b 3，∴B 3(b 32，b 32)，D 3(b 32，－b 32)． ∵B 3在抛物线C 2上，则b 32＝13(b 32)2－2×b 32， 化简后为b 3(b 3－18)＝0，b 3＝0(不符合题意，舍去)，b 3＝18，∴D 3(9，－9)．把D 3(9，－9)代入C 3的解析式中，得－9＝9a 3(9－18)，∴a 3＝19， ∴抛物线C 3的解析式为y 3＝19x (x －18)＝19x 2－2x ； (3)①C n 的解析式为y n ＝13n －1x 2－2x (n ≥1)； ②由①可得，抛物线C 2018的解析式为y 2018＝132017x 2－2x ， 抛物线C 2019的解析式为y 2019＝132018x 2－2x ， ∴两抛物线的交点为(0，0)．如解图，由图象得，当x ≠0时，y 2018＞y 2019.第2题解图3.解：(1)把(1，0)代入y 1＝x 2－(2m ＋4)x ＋m 2＋4m 中，得1－(2m ＋4)＋m 2＋4m ＝0， 解得m ＝1或－3，当m ＝1时，抛物线y 1的解析式为y 1＝x 2－6x ＋5；当m ＝－3时，抛物线y 1的解析式为y 1＝x 2＋2x －3；∴抛物线y 1的解析式为y 1＝x 2－6x ＋5或y 1＝x 2＋2x －3；(2)令y 1＝0，有x 2－(2m ＋4)x ＋m 2＋4m ＝0，即(x －m )[x －(m ＋4)]＝0.解得x 1＝m ，x 2＝m ＋4，∴点A 的坐标为(m ，0)，点B 的坐标为(m ＋4，0)．令y 1＝x 2－(2m ＋4)x ＋m 2＋4m 中x ＝0，则y 1＝m 2＋4m ， ∴C (0，m 2＋4m )．∵△AOC ∽△COB ，∴OA OC ＝OC OB. 当A 、B 在y 轴左侧时，OA ＝－m ，OB ＝－m －4，OC ＝m 2＋4m ，∴－m m 2＋4m ＝m 2＋4m －m －4. ∴m 2＋4m ＝1，即点C 的坐标为(0，1)；当A 、B 在y 轴异侧时，OA ＝－m ，OB ＝m ＋4，OC ＝－m 2－4m ，∴－m －m 2－4m ＝－m 2－4m m ＋4. ∴m 2＋4m ＝－1，即点C 的坐标为(0，－1)；当A 、B 在y 轴右侧时，OA ＝m ，OB ＝m ＋4，OC ＝m 2＋4m ，∴m m 2＋4m ＝m 2＋4m m ＋4. ∴m 2＋4m ＝1，即点C 的坐标为(0，1)．综上所述，当△AOC ∽△COB 时，点C 的坐标为(0, 1)或(0，－1)；(3)当m ＝－3时，y 1＝[x －(m ＋2)]2－4＝(x ＋1)2－4，令y 1＝0，得(x ＋1)2－4＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴A (－3，0)，B (1，0)．当x ＝－2时，y 1＝(－2＋1)2－4＝－3，∴点P 的坐标为(－2，－3)．∵y 1向右平移n －1(n 为正整数)个单位得到抛物线y n ，∴y n ＝[x ＋1－(n －1)]2－4＝(x ＋2－n )2－4，∴当x ＝－2时，y n ＝(x ＋2－n )2－4＝n 2－4.∴点R 的坐标为(－2，n 2－4)．∵S 四边形P ARB ＝S △P AB ＋S △RAB ＝12×3×4＋12×4×(n 2－4)＝70， 解得n ＝±6.∵n 为正整数，∴n ＝6.4.解：(1)A 1(1，0)、A 2(3，0)、A 3(7，0)、B 1(12，32)、B 2(2，3)、B 3(5，23)； (2)设抛物线y 1的解析式为y 1＝ax (x －1)，把B 1(12，32)代入y 1，中，解得a ＝－23， ∴y 1＝－23x 2＋23x .同理可得y 2＝－3x 2＋43x －33；(3)四边形A 2018A 2019B 2019A ′2019是菱形，由折叠性质可知，△A 2018B 2019A ′2019是等边三角形，∵△A 2018A 2019B 2019是等边三角形，∴A ′2019B 2019＝B 2019A 2019＝A 2018A 2019＝A 2018A ′2019，∴四边形A 2018A 2019B 2019A ′2019是菱形；(4)△B n －1B n ＋1D 是等边三角形．由题意可得：B n －1(3×2n －3－1，2n －33)、B n ＋1(3×2n －1－1，2n －13)， 过点B n －1作B n －1E ⊥B n ＋1D 交B n ＋1D 于点E ，∵△B n －1B n ＋1D 是等边三角形∴B n －1E ＝3DE .∴B n －1E ＝3×2n －1－1－(3×2n －3－1)＝9×2n －3.∴DE ＝33×2n －3.∴B n ＋1D ＝2DE ＝33×2n －2.5.解：(1)4；【解法提示】∵抛物线C 1∶y 1＝a (x －1)2＋k 1(a ≠0)，交x 轴于点M (－2，0)和点A 1(b 1，0)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(4，0)，∴b 1＝4.(2)2；【解法提示】同(1)可知，b 2＝6，b 3＝8，b 4＝10，…，按此规律得b n ＝2n ＋2，∴A n －1A n ＝b n －b n －1＝2n ＋2－[2(n －1)＋2]＝2.(3)①3，－25a ；②n ，－(n ＋2)2a ；【解法提示】①∵y 3＝a (x －12b 2)2＋k 3交x 轴于点M (－2，0)和点A 3(b 3，0)，b 2＝6，∴0＝a (－2－3)2＋k 3，∴k 3＝－25a ，∴抛物线C 3的顶点坐标为(3，－25a )；②∵b n －1＝2n ，∴第n 条抛物线的对称轴为直线x ＝n ，∴0＝a (－2－n )2＋k n ，∴k n ＝－(n ＋2)2a ，∴第n 条抛物线C n 的顶点坐标为[n ，－(n ＋2)2a ]．(4)存在，理由如下：∵抛物线C 10∶y 10＝a (x －10)2－144a ，顶点坐标N 为(10，－144a )，点A 10的坐标为(22，0)， ∴|MA 10|＝24.∵△MNA 10是等腰直角三角形，∴|－144a |＝12×24. 解得a ＝±112. ∴存在a ＝±112使△MNA 10为等腰直角三角形． 6.解：(1)①2－2d ，2d ，2－2d ；②∵顶点B 1，B 2，…，B n 都在直线y ＝15x 上， ∴当x ＝n 时，y ＝15n . 由①可知，当n 为奇数时，A n A n ＋1＝2－2d ，当n 为偶数时，A n A n ＋1＝2d .∴当d ＝0.4时，只要满足15n ＝12A n A n ＋1＝12(2－2d )＝0.6，或15n ＝12A n A n ＋1＝12×2d ＝0.4时，△A n A n ＋1B n 是直角三角形． 解得n ＝3或n ＝2.(2)①∵△A 1A 2B 1是直角三角形，A 1A 2＝2－2d ， ∴抛物线y 1的顶点B 1的坐标为(1，1－d )． 设二次函数y 1的解析式为y 1＝a 1(x －1)2＋1－d ， ∵抛物线y 1过点A 1(d ，0)，将A 1的坐标代入得a 1＝1d －1， ∴二次函数y 1的解析式为y 1＝1d －1(x －1)2＋1－d . 同理，∵△A 2A 3B 2是直角三角形，A 2A 3＝2d ， ∴抛物线y 2的顶点B 2的坐标为(2，d )． 设二次函数y 2的解析式为y 2＝a 2(x －2)2＋d ，∵抛物线y 2过点A 2(2－d ，0)，将A 2的坐标代入得a 2＝－1d ，∴二次函数y 2的解析式为y 2＝－1d(x －2)2＋d .猜想二次函数y 2019的解析式为y 2019＝1d －1(x －2019)2＋1－d .②通过以上探究，画出草图，可知：当0<d <12时，直线y ＝12与y 1，y 2，…，y 2019的公共点个数为2020个；当d ＝12时，直线y ＝12与y 1，y 2，…，y 2019的公共点个数为2019个；当12<d <1时，直线y ＝12与y 1，y 2，…，y 2019的公共点个数为2018个．类型二与图形变换有关的探究问题1.解：(1)∵抛物线M的顶点为B(0，1)，∴可设抛物线M的函数表达式为y＝ax2＋1.∵抛物线M经过点A(－1，0)，∴a×(－1)2＋1＝0，解得a＝－1.∴抛物线M的函数表达式为y＝－x2＋1；(2)①(2t，－1)；②由①可知抛物线M1的顶点B1的坐标为(2t，－1)，∴抛物线M1的函数表达式为y＝(x－2t)2－1(t＞0)．当抛物线M1经过点A(－1，0)时，(－1－2t)2－1＝0，解得t1＝－1，t2＝0.当抛物线M1经过点B(0，1)时，(0－2t)2－1＝1，解得t＝±2 2.如解图，结合函数图象分析，∵t＞0，当抛物线M1与线段AB有公共点时，t的取值范围是0＜t≤2 2.第1题解图2.解：(1)①(1，－4)；【解法提示】当a＝1时，抛物线C1的解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴抛物线C1的顶点坐标为(1，－4)；②y＝－x2＋2x＋3；(2) 将y＝ax2－2ax－3变形，得y＝ax(x－2)－3，∴抛物线C1总经过定点(2，－3)．∵y＝ax2－2ax－3与y轴交于点(0，－3)，且EF的长度不变，∴当y＝－3时，EF的长为2，即当m＝－3时，线段EF的长恒为2；(3)存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形．理由如下：易得抛物线C1：y＝ax2－2ax－3的顶点坐标为(1，－a－3) .由(2)知EF＝2，点E、F均在直线y＝－3上，根据翻折的性质可知P、Q两点关于EF对称，即P、Q在EF的两侧，故要使E，F，P，Q四点构成的四边形为正方形，需满足PQ＝2，即点P到直线y＝－3的距离为1，∴|(－a－3)－(－3)|＝1，∴|－a|＝1，解得a＝1或a＝－1.3.解：(1)(－1，－4m＋1)，－1＜x＜3；(2)四边形AMDN是矩形；(3)①y＝mx2＋2mx－3m＋1＝m(x＋3)(x－1)＋1，∴当x＝－3或1时，y＝1.故抛物线L1恒经过定点(－3，1)或(1，1)；y＝－m(x－3)2＋4m－1＝－m(x－5)(x－1)－1，∴当x＝5或1时，y＝－1.故抛物线L2恒经过定点(5，－1)或(1，－1)；②∵抛物线L1经过定点(－3，1)或(1，1)与抛物线L2经过定点(5，－1)或(1，－1)，设E为(－3，1)，F为(1，1)，G为(5，－1)，H为(1，－1)，则组成的四边形EFGH是平行四边形，如解图，另设平移的距离为x，根据平移后的图形是菱形，由勾股定理得42＝22＋(4－x)2，解得x＝4±23，故抛物线L2应平移的距离是4＋23或4－2 3.第3题解图4.解：(1)(－1，0)；【解法提示】观察表格可知，抛物线上的点(－3，－4)与点(1，－4)关于对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x＝－1，∴顶点P的坐标为(－1，0)．(2)设抛物线C1的解析式为y1＝a(x＋1)2，把(－2，－1)代入得到a＝－1，∴抛物线C1的解析式为y1＝－(x＋1)2.将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2，根据对称性可知，抛物线C2的顶点为(－1，0)，a＝1，∴抛物线C2的解析式为y2＝(x＋1)2；(3)①抛物线C2向下平移过程中，对称轴为直线x＝－1，当A、B之间的距离为6时，可知A(－4，0)，B(2，0)，∴此时抛物线C2的解析式为y＝(x＋4)(x－2)．即y＝(x＋1)2－9，∴抛物线C2至少向下平移9个单位，才能使点A、B之间的距离不小于6个单位；②m ＝14n 2.【解法提示】抛物线C 2向下平移m (m ＞0)个单位后的解析式为y ＝(x ＋1)2－m ， 令y ＝0，解得x ＝－1±m ，∴A (－1－m ，0)，B (－1＋m ，0)． ∴n ＝AB ＝2m . ∴m ＝14n 2.5.解：(1)依题意得抛物线m 的解析式为y ＝－(x －1)2＋4， ∴C (0，3)，∴直线CD 的解析式为y ＝3.由y ＝－(x －1)2＋4与y ＝3联立解得x ＝0(舍去)或2， ∴D (2，3)．抛物线y ＝－(x －1)2＋4如解图①所示；第5题解图①(2)由－(x －1)2＋4＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3， ∴A (－1，0)．∵A ，E 两点都在x 轴上，∴AE 有两种可能： ①当AE 为平行四边形一边时，AE ∥PD ，∴P 1(0，3)；②当AE 为对角线时，根据平行四边形对角的顶点到另一条对角线距离相等，可知点P 、点D 到直线AE (即x 轴)的距离相等，∵D (2，3)，即点D 到x 轴的距离为3，∴点P 的纵坐标为－3. ∴－3＝－(x －1)2＋4.解得x 3＝7＋1，x 4＝－7＋1， ∴点P 的坐标为(7＋1，－3)或(－7＋1，－3)．综上所述，满足条件的点P 的坐标为(0，3)，(7＋1，－3)，(－7＋1，－3)； (3)存在满足条件的点M .理由如下：如解图②，设直线MN 交x 轴于F ，假设点N ′在x 轴上，第5题解图②依题意得，点M 在直线CD 下方，设CN ＝a ， ∵M 是抛物线上一动点，∴点M 的坐标为(a ，－a 2＋2a ＋3)， MN ＝3－(－a 2＋2a ＋3)＝a 2－2a . 由折叠性质得△CMN ≌△CMN ′，∴∠N ＝∠CN ′M ＝90° , CN ′＝CN ＝a ，MN ′＝MN ＝a 2－2a ， ∴∠CN ′O ＋∠FN ′M ＝90°. ∵∠OCN ′＋∠CN ′O ＝90°， ∴∠FN ′M ＝∠OCN ′.又∵∠CON ′＝∠N ′FM ＝90°， ∴△CON ′∽△N ′FM ， ∴N ′C OC ＝MN ′FN ′， ∴a 3＝a 2－2a FN ′， ∴N ′F ＝3a －6，∴ON ′＝OF －N ′F ＝a －(3a －6)＝6－2a ， 在Rt △CON ′中，∵∠CON ′＝90°， ∴CO 2＋ON ′2＝N ′C 2. ∴32＋(6－2a )2＝a 2， 解得a ＝3或5，∴点M 的坐标为(3，0)或(5，－12)． 6.解：(1)∵抛物线y 1＝ax 2－2的顶点为点P ， ∴点P 的坐标为(0，－2)． 又∵sin ∠ABP ＝55， ∴BP ＝OP sin ∠ABP ＝2÷55＝2 5.在Rt △OBP 中，由勾股定理可得 OB ＝（25）2－4＝4.∴A (－4，0)，B (4，0)．将A (－4，0)代入y 1＝ax 2－2中，解得a ＝18，∴抛物线L 1的解析式为y 1＝18x 2－2；(2)如解图，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，由题意得S △AOD ＝15S △ABC ，AB ＝2OA ，第6题解图∵S △AOD ＝12AO ·OD ，S △ABC ＝12AB ·CE .即12AO ·OD ＝15×12AB ·CE . ∴OD CE ＝25. ∵CE ⊥x 轴，DO ⊥x 轴，∴△AOD ∽△AEC ， ∴OD EC ＝OA EA ＝25. ∵OA ＝4，∴AE ＝10.∴OE ＝6. 在y 1＝18x 2－2中，令x ＝6，得y ＝52.∴C (6，52)．设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A (－4，0)，C (6，52)代入得⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝0，6k ＋b ＝52， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝14，b ＝1.∴直线AC 的解析式为y ＝14x ＋1；(3)将抛物线L 1绕点P 逆时针旋转180°得到抛物线L 2的解析式为y 2＝－18x 2－2，当△BDM 为直角三角形时，分两种情况讨论：(ⅰ)当BD 为直角边时，∵直线AC 的解析为y ＝14x ＋1，∴D (0，1)． ∵B (4，0)，易得直线BD 的解析式为y ＝－14x ＋1，①当∠MDB ＝90°时，即DM ⊥DB ，设直线DM 的解析式为y ＝4x ＋m ，代入D (0，1)得y ＝4x ＋1， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋1，y 2＝－18x 2－2， 解得x 1＝－16＋258，x 2＝－16－258； ②当∠DBM ＝90°时，即BD ⊥BM ，设直线BM 的解析式为y ＝4x ＋n ，代入B (4，0)得y ＝4x －16，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －16，y 2＝－18x 2－2， 解得x 3＝－16＋423，x 4＝－16－423. (ⅱ)当BD 为斜边时，Rt △BDM 不存在；综上所述，当点M 的横坐标为－16＋258或－16－258或－16＋423或－16－423时，△BDM 为直角三角形．类型三 二次函数性质的探究问题1.解：(1)当x ＝0时，y ＝－1a .∴A (0，－1a)．∵点A 向右平移2个单位长度得到点B ， ∴B (2，－1a)；(2)∵点B (2，－1a )在抛物线上，∴－1a ＝a ·22＋b ·2－1a .∴b ＝－2a .∴对称轴为直线x ＝－b2a ＝－－2a 2a ＝1；(3)由(2)知b ＝－2a .∴y ＝ax 2＋bx －1a ＝ax 2－2ax －1a.当a ＞0时，在y ＝ax 2－2ax －1a 中，当x ＝12时，y ＝－34a －1a .∵－34a －1a ＜－1a，∴点P (12，－1a )在抛物线的上方．当x ＝2时，y ＝－1a .∵－1a＜2，∴点Q (2，2)在抛物线的上方．∴抛物线与线段PQ 没有公共点，故此情况舍去． 当a ＜0时， ∵－34a －1a ＞－1a，∴点P (12，－1a)在抛物线的下方．∴当－1a ≤2，即a ≤－12时，Q (2，2)在抛物线上方，此时抛物线与线段PQ 恰好有一个公共点．综上所述，a 的取值范围是a ≤－12.2.解：(1)将x ＝1，y ＝4代入y ＝x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1，得m 2＋2m －3＝0. 解得m ＝1或m ＝－3.当m ＝1时，y ＝x 2＋3x ，其顶点坐标为(－32，－94)；当m ＝－3时，y ＝x 2－5x ＋8，其顶点坐标为(52，74)；(2)方法1：设顶点坐标为(x ，y )， 则x ＝－2m ＋12＝－m －12，y ＝4（m 2－1）－（2m ＋1）24＝－4m －54＝－m －54，∴顶点坐标为(－m －12，－m －54)．方法2：∵y ＝x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1＝x 2＋(2m ＋1)x ＋(2m ＋12)2＋m 2－1－(2m ＋12)2＝(x ＋2m ＋12)2－4m ＋54，∴顶点坐标为(－m －12，－m －54)．证明：∵y －x ＝－34，∴不论m 为何值，该抛物线的顶点都在同一条直线l ：y ＝x －34上．(3)是．将y ＝x －34代入y ＝x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1得x 2＋2mx ＋m 2－14＝0⇒(x ＋m )2＝14⇒x ＝－m ±12.∴l 与抛物线的交点坐标分别为A (－m －12，－m －54)，B (－m ＋12，－m －14)．∴AB ＝＝ 2 .3.解：(1)当b ＝2，c ＝－3时，二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4， 故二次函数的顶点坐标为(－1，－4)；(2)当c ＝10时，二次函数的解析式为y ＝x 2＋bx ＋10， 由题意得，x 2＋bx ＋10＝1有两个相等的实数根， ∴b 2－4ac ＝b 2－36＝0， 解得b 1＝6，b 2＝－6，∴二次函数的解析式为y ＝x 2＋6x ＋10或y ＝x 2－6x ＋10； (3)当c ＝b 2时，二次函数解析式为y ＝x 2＋bx ＋b 2， 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－b2，①当对称轴在取值范围的左边，即－b2＜b ，b ＞0时，在自变量x 的值满足b ≤x ≤b ＋3的情况下，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝b 时，y ＝b 2＋b ·b ＋b 2＝3b 2为最小值， ∴3b 2＝21，解得b 1＝－7(舍去)，b 2＝7；②当对称轴在取值范围之间，即b ≤－b2≤b ＋3时，解得－2≤b ≤0，∴x ＝－b 2时有最小值，为y ＝34b 2，∴34b 2＝21，解得b 1＝－27(舍去)，b 2＝27(舍去)； ③当对称轴在取值范围的右边，即－b2＞b ＋3时，解得b ＜－2，在自变量x 的值满足b ≤x ≤b ＋3的情况下，y 随x 的增大而减小， 故当x ＝b ＋3时，y ＝(b ＋3)2＋b (b ＋3)＋b 2＝3b 2＋9b ＋9为最小值， ∴3b 2＋9b ＋9＝21.解得b 1＝1(舍去)，b 2＝－4； ∴当b ＝7时，二次函数解析式为y ＝x 2＋7x ＋7； 当b ＝－4时，二次函数解析式为y ＝x 2－4x ＋16.综上所述，此时二次函数的解析式为y ＝x 2＋7x ＋7或y ＝x 2－4x ＋16. 4.解：(1)①③④；(2)由(1)可知：点F (0，5k )是抛物线L 1和L 2与y 轴的一个交点，两条抛物线相交的另一点E 与点F 的纵坐标相等．当k ＝1时，抛物线L 1和L 2重合，当k ≠1时，k 的值变化时，线段EF 的长度不会变化，理由如下：∵抛物线L 1的对称轴和L 2的对称轴均为直线x ＝－b2a ＝－3，又F (0，5k )，∴点F 关于直线x ＝－3对称的点E 的坐标为E (－6，5k )， ∴线段EF ＝0－(－6)＝6； (3)存在实数k ，使MN ＝2EF ， ∵y 1＝x 2＋6x ＋5k ＝(x ＋3)2－9＋5k ， y 2＝kx 2＋6kx ＋5k ＝k (x ＋3)2－4k ， ∴抛物线L 1顶点M (－3，－9＋5k )， 抛物线L 2顶点N (－3，－4k )， 由题意得NM ＝|－4k －(5k －9)|＝2×6， 解得k 1＝73，k 2＝－13.5.解：(1)∵抛物线l 1的顶点是P (－2，4)， ∴对称轴为直线x ＝－2. ∴A (－4，0)． ∴t ＝－4.设抛物线l 1的解析式为y ＝a (x ＋2)2＋4，∵抛物线过点O，∴4a＋4＝0.解得a＝－1.∴抛物线l1的解析式为y＝－(x＋2)2＋4；(2)由题知点M在抛物线l1上，点B在x轴上，且BM＝4，①当点M在x轴下方时，M(b，－4)，∴－4＝－(b＋2)2＋4，解得b＝－2±22，②当点M在x轴上方时，M(b，4)，∴4＝－(b＋2)2＋4，解得b＝－2，综上所述，当BM＝4时，b＝－2或－2＋22或－2－22；(3)①－2<x<2.【解法提示】如解图所示，第5题解图由图象知，－2＜x＜2.②∵点P关于(0，1)的对称点为P′(2，－2)，∴抛物线l2的解析式为y＝(x－2)2－2.设点M(b，－(b＋2)2＋4)，∴N(b，(b－2)2－2)．∴MN＝n＝(b－2)2－2－[－(b＋2)2＋4]＝2b2＋2.∴当b＝0时，MN的最小值为2.类型四 与新定义有关的探究问题1.解：(1)∵抛物线y ＝x 2－2的顶点为(0，－2)，∴抛物线的顶点坐标(0，－2)关于原点(0，0)的对称点为(0，2)．∴衍生抛物线的顶点坐标为(0，2)．∵衍生抛物线开口大小不变，方向改变，故二次项系数与原二次项系数互为相反数，∴衍生抛物线的解析式为：y ′＝－x 2＋2.(2)①抛物线y ＝ax 2＋2ax －b ＝a (x ＋1)2－a －b .∴此抛物线的顶点坐标为(－1，－a －b )．∵抛物线y 的衍生抛物线为y ′＝bx 2－2bx ＋a 2＝b (x －1)2＋a 2－b ，∴此抛物线的顶点坐标为(1，a 2－b )．∵两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2b ＋a 2＝－a －b a ＋2a －b ＝a 2－b . 解得a ＝0(舍去)或a ＝3，b ＝－3.∴抛物线y 的顶点坐标为(－1，0)，抛物线y 的衍生抛物线y ′的顶点坐标为(1，12)．∵衍生中心为两顶点连线的中点，∴衍生中心的坐标为(0，6)；②抛物线y ＝ax 2＋2ax －b 的顶点坐标为(－1，－a －b )，∵点(－1，－a －b )关于点(0，k ＋n 2)的对称点为(1，a ＋b ＋2k ＋2n 2)．∴抛物线y n 的顶点坐标A n 为(1，a ＋b ＋2k ＋2n 2)．同理：A n ＋1(1，a ＋b ＋2k ＋2(n ＋1)2)．∴A n A n ＋1＝a ＋b ＋2k ＋2(n ＋1)2－(a ＋b ＋2k ＋2n 2)＝4n ＋2.2.解：(1)①与③，①与④ 【解法提示】①y ＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋12，②y ＝(x －3)2＋3＝(x －3)2＋(3)2，③y ＝(x －2)2＋(2)2，④y ＝x 2－x ＋12＝(x －12)2＋(12)2，所以①与③互为派对抛物线；①与④互为派对抛物线；(2)证明：当m ＝1，n ＝2时，抛物线C 1：y ＝－(x ＋1)2＋1，抛物线C 2：y ＝(x －2)2＋4， ∴A (－1，1)，B (2，4)．∵AC ∥BD ∥y 轴，∴点C 的横坐标为－1，点D 的横坐标为2.当x ＝－1时，y ＝(x －2)2＋4＝13，则C (－1，13)；当x ＝2时，y ＝－(x ＋1)2＋1＝－8，则D (2，－8)，∴AC ＝13－1＝12，BD ＝4－(－8)＝12.∴AC ＝BD ；(3)①抛物线C 1：y ＝－(x ＋m )2＋m 2(m ＞0)，则A (－m ，m 2)；抛物线C2：y＝(x－n)2＋n2(n＞0)，则B(n，n2)；当x＝－m时，y＝(x－n)2＋n2＝m2＋2mn＋2n2，则C(－m，m2＋2mn＋2n2)；当x＝n时，y＝－(x＋m)2＋m2＝－2mn－n2，则D(n，－2mn－n2)；∴AC＝m2＋2mn＋2n2－m2＝2mn＋2n2，BD＝n2－(－2mn－n2)＝2mn＋2n2. ∴AC＝BD；∴四边形ACBD为平行四边形．∵∠BEO＝∠BDC，而∠EHF＝∠DHG，∴∠EFH＝∠DGH＝90°.∴AB⊥CD.∴四边形ACBD是菱形；②∵抛物线C2：y＝(x－2)2＋4，则B(2，4)，∴n＝2.∴AC＝BD＝2mn＋2n2＝4m＋8.而A(－m，m2)，∴C(－m，m2＋4m＋8)．∴BC2＝(－m－2)2＋(m2＋4m＋8－4)2＝(m＋2)2＋(m＋2)4.∵四边形ACBD是菱形，∴BC＝BD.∴(m＋2)2＋(m＋2)4＝(4m＋8)2.即(m＋2)4＝15(m＋2)2，∵m＞0，∴(m＋2)2＝15.∴m＋2＝15.∴m＝15－2.。

2023年江西省中考数学真题试卷及答案一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分．1. 下列各数中，正整数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据有理数的分类即可求解．解：是正整数，是小数，不是整数，不是正数，不是正数，故选：A．【点拨】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．2. 下列图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C.D.【答案】B【解析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．解：选项A.C.D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；故选：B．【点拨】本题主要考查了中心对称图形，关键找出对称中心．3. 若有意义，则的值可以是（ ）A. B.C.D.【答案】D 【解析】根据二次根式有意义的条件即可求解．解：∵有意义，∴，解得：，则的值可以是故选：D ．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 4. 计算的结果为（ ）A. B.C.D.【答案】A 【解析】根据积的乘方计算法则求解即可．解：，故选A ．【点拨】本题主要考查了积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．5. 如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】根据题意可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．解：依题意，，∴，∵，∴，故选：C．【点拨】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键．6. 如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】D【解析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆，∴共有6个，故选：D．【点拨】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. 单项式的系数为______．【答案】【解析】根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果即可．解：单项式的系数是．故答案是：．【点拨】本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义．8. 我国海洋经济复苏态势强劲．在建和新开工海上风电项目建设规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18000000用科学记数法表示应为_______．【答案】【解析】根据科学记数法的表示形式进行解答即可．解：，故答案为：．【点拨】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示形式为（，a为整数）的形式，n的绝对值与小数点移动的位数相同是解题的关键．9. 计算：（a+1）2﹣a2=_____．【答案】2a+1【解析】原式利用完全平方公式展开，然后合并同类项即可得到结果．（a+1）2﹣a2=a2+2a+1﹣a2=2a+1，故答案为2a+1.【点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及合并同类项的法则是解题的关键.10. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm．【答案】【解析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．解：∵直尺的两边平行，∴，又，∴是等边三角形，∵点，表示的刻度分别为，∴，∴∴线段的长为,故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．11. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m．【答案】【解析】根据题意可得，然后相似三角形的性质，即可求解．解：∵和均为直角∴，∴，∴∵，∴,故答案为：．【点拨】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______．【答案】或或【解析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解．解：连接，取的中点，连接，如图所示，∵在中，，∴，∴是等边三角形，∴，，∴∴，∴∴，如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，当点在的延长线上时，如图所示，则当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示，∵，，∴四边形是平行四边形，∵∴四边形是矩形，∴即是直角三角形，综上所述，旋转角的度数为或或故答案为：或或．【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13. （1）计算：（2）如图，，平分．求证：．【答案】（1）2；（2）证明见解析【解析】（1）先计算立方根，特殊角三角函数值和零指数幂，再计算加减法即可；（2）先由角平分线的定义得到，再利用证明即可．解：（1）原式；（2）∵平分，∴，在和中，，∴．【点拨】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，特殊角三角函数值，全等三角形的判定，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键．14. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中作锐角，使点C在格点上；（2）在图2中的线段上作点Q，使最短．【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析【解析】（1）如图，取格点，使，在的左上方的格点满足条件，再画三角形即可；（2）利用小正方形的性质取格点，连接交于，从而可得答案．【小问1详解】解：如图，即为所求作的三角形；【小问2详解】如图，即为所求作的点；【点拨】本题考查的是复杂作图，同时考查了三角形的外角的性质，正方形的性质，垂线段最短，熟记基本几何图形的性质再灵活应用是解本题的关键．15. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：解：原式……解：原式……（1）甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．【答案】（1）②，③ （2）见解析【解析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．【小问1详解】解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，故答案为：②，③；【小问2详解】解：甲同学的解法：原式；乙同学的解法：原式．【点拨】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．16. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．（1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”）（2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．【答案】（1）随机（2）【解析】（1）由确定事件与随机事件的概念可得答案；（2）先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可．【小问1详解】解：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件；【小问2详解】画树状图为：共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为2，所以选中的两名同学恰好是甲，丁的概率．【点拨】本题考查的是事件的含义，利用画树状图求解随机事件的概率，熟记事件的概念与分类以及画树状图的方法是解本题的关键．17. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B 作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C．（1）求直线和反比例函数图象的表达式；（2）求的面积．【答案】（1）直线的表达式为，反比例函数的表达式为（2）6【解析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C坐标，即可求得结果．【小问1详解】解：∵直线与反比例函数的图象交于点，∴，，即，∴直线的表达式为，反比例函数的表达式为．【小问2详解】解：∵直线的图象与y轴交于点B，∴当时，，∴，∵轴，直线与反比例函数的图象交于点C，∴点C纵坐标为1，∴，即，∴，∴，∴．【点拨】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18. 今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．（1）求该班的学生人数；（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？【答案】（1）该班的学生人数为45人（2）至少购买了甲树苗80棵【解析】（1）设该班的学生人数为x人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可；（2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可．【小问1详解】解：设该班的学生人数为x人，由题意得，，解得，∴该班的学生人数为45人；【小问2详解】解：由（1）得一共购买了棵树苗，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，由题意得，，解得，∴m得最小值为80，∴至少购买了甲树苗80棵，答：至少购买了甲树苗80棵．【点拨】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程，找到不等关系列出不等式是解题的关键．19. 如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上，，测得．（结果保小数点后一位）（1）连接，求证：；（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．（参考数据：）【答案】（1）见解析（2）雕塑的高约为米【解析】（1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出，即可得证；（2）过点作，交的延长线于点，在中，得出，则，在中，根据，即可求解．（1）解：∵，∴∵即∴即∴；（2）如图所示，过点作，交的延长线于点，在中，∴，∴∴在中，，∴（米）．答：雕塑的高约为米．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．20. 如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．（1）求长；（2）若，求证：为的切线．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）如图所示，连接，先求出，再由圆周角定理得到，进而求出，再根据弧长公式进行求解即可；（2）如图所示，连接，先由三角形内角和定理得到，则由圆周角定理可得，再由是的直径，得到，进而求出，进一步推出，由此即可证明是的切线．（1）解：如图所示，连接，∵是的直径，且，∴，∵E为上一点，且，∴，∴，∴的长；（2）证明：如图所示，连接，∵，，∴，∴，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，即，∵是的半径，∴是的切线．【点拨】本题主要考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21. 为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．整理描述初中学生视力情况统计表视力人数百分比0.6及以下80.7160.8280.934m及以上46n合计200高中学生视力情况统计图（1）_______，_______；（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为_______；（3）分析处理：①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由：②约定：视力未达到为视力不良．若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议．【答案】（1）；；（2）；（3）①小胡的说法合理，选择中位数，理由见解析；②14300人，合理化建议见解析，合理即可．【解析】（1）由总人数乘以视力为的百分比可得的值，再由视力1．1及以上的人数除以总人数可得的值；（2）由条形统计图中各数据之和可得答案；（3）①选择视力的中位数进行比较即可得到小胡说法合理；②由中学生总人数乘以样本中视力不良的百分比即可，根据自身体会提出合理化建议即可．（1）解：由题意可得：初中样本总人数：人，∴（人），；（2）由题意可得：，∴被调查的高中学生视力情况的样本容量为；（3）①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”小胡的说法合理；初中学生视力的中位数为第100个与第101个数据的平均数，落在视力为这一组，而高中学生视力的中位数为第160个与第161个数据的平均数，落在视力为的这一组，而，∴小胡的说法合理．②由题意可得：（人），∴该区有26000名中学生，估计该区有名中学生视力不良；合理化建议为：学校可以多开展用眼知识的普及，规定时刻做眼保健操．【点拨】本题考查的是从频数分布表与频数分布直方图中获取信息，中位数的含义，利用样本估计总体，理解题意，确定合适的统计量解决问题是解本题的关键．22. 课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．己知：在中，对角线，垂足为．求证：是菱形．（2）知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．①求证：是菱形；②延长至点，连接交于点，若，求的值．【答案】（1）见解析（2）①见解析；②【解析】（1）根据平行四边形的性质证明得出，同理可得，则，，进而根据四边相等的四边形是菱形，即可得证；（2）①勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，得出，即可得证；②根据菱形的性质结合已知条件得出，则，过点作交于点，根据平行线分线段成比例求得，然后根据平行线分线段成比例即可求解．（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∵∴，在中，∴∴，同理可得，则，又∵∴∴四边形是菱形；（2）①证明：∵四边形是平行四边形，．∴在中，，，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴四边形是菱形；②∵四边形是菱形；∴∵，∴，∵，∴，∴，如图所示，过点作交于点，∴，∴，∴．【点拨】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．六、解答题（本大题共12分）23. 综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当时，_______．②S关于t的函数解析式为_______．（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．（3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．①_______；②当时，求正方形的面积．【答案】（1）①3；②（2），（3）①4；②【解析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出，进而求出，则；（2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案；（3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案．（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，∴当时，点P在上，且，∵，，∴，∴，故答案为：3；②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，∴，∵，，∴，∴；（2）解：由图2可知当点P运动到B点时，，∴，解得，∴当时，，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，∴可设S关于t的函数解析式为，把代入中得：，解得，∴S关于t的函数解析式为，在中，当时，解得或，∴；（3）解：①∵点P在上运动时，，点P在上运动时，∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，∴，∴，∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．∴可以看作，∴，故答案为：4；②由（3）①可得，∵，∴，∴，∴．.【点拨】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．。