平面向量与三角形“四心”的应用问题

平面向量奔驰定理与三角形四心的应用定理：已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A证明：如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则；BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆；OD =DC BC OB +BCBDOC =C B BS S S +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SSOA OD +=++===∴ CB A S S S OD +-=OA ； ∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论 O 是ABC ∆内的一点，且0OA OB OC x y z •••++=，则::::BOC COA AOB S S S x y z ∆∆∆=有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0OA OB OC ++= O 是ABC ∆的内心 [三角形的内心在向量AB AC ABAC+所在的直线上. ]⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0OA OB OC a b c •••++= O 是ABC ∆的外心OA OB OC ⇔==⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆⇔sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC •••++= O 是ABC ∆的垂心[OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅⇔O 为△ABC 的垂心.]⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆⇔tan tan tan 0A OA B OB C OC •••++=证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :； ∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆例1 P 是ABC ∆内一点，2155AP AB AC =+，则ABP ABC S S ∆∆= .例2 若ABC ∆接于以O 为圆心， 1 为半径的圆，且3450OA OB OC ++= ，则该ABC ∆ 的面积为（ ）例3 P 为ABC ∆内部一点，且满足22PB PA ==，56APB π∠=，且2340PA PB PC ++=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．98B ．43C ．1D ．65奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

专题:平面向量与三角形四心问题三角形四心指的是三角形的垂心、重心、内心和外心，在高考中常常结合平面向量的知识进行考察，是高中数学的一个难点.很多学生对三角形四心总是产生混淆，面对与四心有关的问题也常常束手无策，为了解决广大学子的困扰，本文以四心的常见结论出发，借助几道经典的例题，对三角形四心问题进行系统梳理，希望能够为读者提供帮助.如果读者是在校高中生，则标注了星号的内容可作为拓展知识. 一、三角形的内心（1）定义：三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点（如图1）. （2）向量表示：若O 为△ABC 的内心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0OC c OB b OA a . （注：本文中的边a ，b ，c 分别表示BC ，AC ，AB .角A ，B ，C 分别表示BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠.）证明：→→→→→→→→→→=+⋅++⋅+⋅⇔=⋅+⋅+⋅0)()(0AC OA c AB OA b OA a OC c OB b OA a→→→→=⋅+⋅+⋅++⇔0)(AC c AB b OA c b a →→→⋅+⋅=⋅++⇔AC c AB b AO c b a )(||||||||)(→→→→→→→⋅⋅+⋅⋅=⋅++⇔AC AC AC c AB AB AB b AO c b a)||||()(→→→→→+⋅=⋅++⇔AC ACAB ABbc AO c b a)||||(→→→→→+⋅++=⇔AC ACAB AB c b a bc AO （图1）⇔点O 在角A 的角平分线上，同理点O 也在角B 、C 的角平分线上. ⇔O 为△ABC 的内心.（3）常用性质性质1：))(||||(R AC ACAB AB∈+⋅→→→→λλ所在的直线与A ∠的角平分线重合（经过内心）.证明：如图所示，||→→AB AB 表示→AB 上的单位向量，不妨记作→AD ，||→→AC AC 表示→AC 上的单位向量，不妨记作→AE .设→→→+=AE AD AP ，由平行四边形法则知，四边形ADPE 为菱形， 故直线AP 为A ∠的角平分线.))(||||(RAC ACAB AB∈+⋅∴→→→→λλ所在的直线与A ∠的角平分线重合（经过内心）.性质2：r c b a S ABC ⋅++=∆)(21（r △ABC 内切圆的半径）. 证明：由等面积法易证.性质3：O 为△ABC 的内心c b a S S S OAB OAC OBC ::::=⇔∆∆∆. 证明：由面积公式易证. （4）典例剖析例1-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)||||(→→→→→→++=AC ACAB ABOA OP λ,),0(+∞∈λ.则动点P 的轨迹经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由性质1知，答案为A .例1-2：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若cb a PCc PB b PA a PO ++++=→→→→（其中P 是△ABC 所在平面内任意一点），则O 是△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题意知→→→→→→++=++PC c PB b PA a PO c PO b aPO ，即+-→→)(PO PA a→→→→→=-+-0)()(PO PC c PO PB b ，化简得→→→→=⋅+⋅+⋅0OC c OB b OA a .根据内心的向量表示知，O 是△ABC 的内心，答案为A .例1-3：已知O 是△ABC 内的一点，且满足0)||||(=-⋅→→→→→AC ACAB ABOA ，则OA 所在的直线一定经过三角形的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：||→→AB AB 表示→AB 上的单位向量，不妨记作→1e ，||→→AC AC 表示→AC 上的单位向量，不妨记作→2e .故0)(21=-⋅→→→e e OA ，即→→→→⋅=⋅21e OA e OA ,即>>=<<→→→→21,,e OA e OA .∴直线OA 与A ∠的角平分线重合，故OA 所在的直线一定经过三角形的内心，答案A .二、三角形的外心（1）定义：三角形外接圆的圆心，即三角形三边中垂线的交点（如图2）. （2）向量表示：若O 为△ABC 的外心||||||→→→==⇔OC OB OA . （3）常用性质：奔驰定理*：已知O 为△ABC 内的一点（不一定为外心）， 则→→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅0OC S OB S OA S OAB OAC OBC .（该定理反之也成立）证明：不妨延长AO 到D （如下图），则 （图2）=++===∆∆∆∆∆∆∆∆ACD ABD OAC OAB ACD OAC ABD OAB S S S S S S S S AD AO ABC OACOAB S S S ∆∆∆+， 即→∆∆∆→+=AD S S S AO ABCOAC OAB .且根据B ，D ,C 三点共线知，→∆∆∆→∆∆∆→+++=AB S S S AC S S S AD OAC OAB OACOAC OAB OAB ，故→∆∆→∆∆→+=AB S S AC S S AO ABC OAC ABC OAB ，即)()(→→∆∆→→∆∆→-+-=-OA OB S S OA OC S S OA ABCOAC ABC OAB . →→∆→∆→∆=⋅+⋅+⋅∴0OC S OB S OA S OAB OAC OBC （反之易证）性质1*：O 为△ABC 的外心C B A S S S OAB OAC OBC 2sin :2sin :2sin ::=⇔∆.证明：如图2所示，O 为△ABC 的外心A R BOC R S OBC 2sin 212sin 2122=∠=⇔∆，B R AOC R S OAC 2sin 212sin 2122=∠=∆，C R AOB R S OAB 2sin 212sin 2122=∠=∆ C B A S S S OAB OAC OBC 2sin :2sin :2sin ::=⇔∆（R 为△ABC 外接圆半径）.性质2*：O 为△ABC 的外心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0)2(sin )2(sin )2(sin OC C OB B OA A . 证明：结合性质1与奔驰定理易证.（4）典例剖析例2-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足++=→→→2OCOB OP )cos ||cos ||(CAC AC BAB AB →→→→+λ，),0(+∞∈λ.则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：设线段BC 的中点为D ，故)cos ||cos ||(C AC AC BAB AB OD OP →→→→→→++=λ，即)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB DP →→→→→+=λ,而)cos ||cos ||(CAC BC AC BAB BC AB BC DP →→→→→→→→⋅+⋅=⋅λ，即)cos ||cos ||||cos ||)cos(||||(CAC CBC AC B AB B BC AB BC DP →→→→→→→→⋅+-⋅=⋅πλ0|)|||(=+-=→→BC BC λ 即→→⊥BC DP ，故点P 在线段BC 的垂直平分线上. ∴动点P 的轨迹一定经过△ABC 的外心，答案B .例2-2：在△ABC 中，动点O 满足→→→→⋅=-BC AO AB AC 222，则点O 一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由题知→→→→→→⋅=+-BC AO AB AC AB AC 2))((，设D 为BC 的中点，则=⋅→→AD BC 2→→⋅BC AO 2,故0=⋅→→OD BC ,即→→⊥OD BC ，O ∴在BC 的垂直平分线上，故点O 一定经过△ABC 的外心，答案B .例2-3：已知O 为△ABC 所在平面内的一点，满足→→→→⋅=⋅BA OB AB OA ，=⋅→→BC OB→→⋅CB OC ，则O 为△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：由→→→→⋅=⋅BA OB AB OA 知0)(=+⋅→→→OA OB AB ,即0)()(=+⋅-→→→→OA OB OA OB ，即||||→→=OA OB ,同理可得：||||→→=OC OB ，O ∴为△ABC 的外心，答案B .三、三角形的垂心（1）定义：三角形三条高的交点（如图3）.（2）向量表示：若O 为△ABC 的垂心→→→→→→⋅=⋅=⋅⇔OC OB OC OA OB OA . 证明：→→→→→→→→→→→⊥⇔=⋅=-⋅⇔⋅=⋅BC OA BC OA OB OC OA OC OA OB OA 0)(.同理→→⊥AC OB ,O AB OC ⇔⊥→→为△ABC 的垂心.（3）常用性质性质1*：O 为锐角△ABC 的垂心⇔=∆∆∆OAB OAC OBC S S S ::C B A tan :tan :tan . （图3）证明：ACDOC b BCDOC a OF b OE a S S OAC OBC ∠⋅⋅∠⋅⋅=⋅⋅=∆∆sin sin ,且在直角△BCD 和直角△ACD 中有 B BCD cos sin =∠，A ACD cos sin =∠.故BAA B B A A b B a S S OAC OBC tan tan cos sin cos sin cos cos =⋅⋅=⋅⋅=∆∆. 同理，CBS S OAB OAC tan tan =∆∆. C B A S S S OAB OAC OBC tan :tan :tan ::=∴∆∆∆，反之易证.性质2*：当O 为锐角△ABC 的垂心→→→→=⋅+⋅+⋅⇔0tan tan tan C OC B OB A OA .证明：利用性质1和“奔驰定理”易证. （4）典例剖析例3-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB OA OP →→→→→→++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知)cos ||cos ||(CAC AC BAB AB AP →→→→→+=λ,得=⋅+-⋅=⋅+⋅=⋅→→→→→→→→→→→→→→)cos ||cos ||||cos ||)cos(||||()cos ||cos ||(CAC CBC AC B AB B BC AB CAC BC AC BAB BC AB BC AP πλλ0|)|||(=+-→→BC BC λ，即→→⊥BC AP .P ∴在BC 边上的高上，过垂心，答案C .例3-2：已知O 为△ABC 所在平面内的一点，且满足=+=+→→→→2222||||||||AC OB BC OA22||||→→+AB OC ,则O 是△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知2222||||||||→→→→-=-BC AC OB OA ，即=+⋅-→→→→)()(OB OA OB OA)()(→→→→+⋅-BC AC BC AC ，即0)()(=+⋅++⋅→→→→→→OB OA AB BC AC AB ,即02=⋅→→OC AB ，故→→⊥OC AB ，同理→→⊥OB AC ，→→⊥OA BC∴O 是△ABC 的垂心，答案C .例3-3：设O 是△ABC 的外心，点P 满足→→→→=++OP OC OB OA ,则P 是△ABC 的（ ）A .内心B .任意一点C .垂心D .重心 解析：由题知→→→→→=-=+CP OC OP OB OA ，由于O 是△ABC 的外心，故→→→=+OD OB OA 2（D 为线段AB 的中点）且→→⊥AB OD ，即→→=OD CP 2，→→⊥∴AB CP ，同理→→⊥AC BP ，→→⊥BC AP ，故P 是△ABC 的垂心，答案C .四、三角形的重心（1）定义：三角形三条中线的交点（如图4）.（2）向量表示：若O 为△ABC 的重心→→→→=++⇔0OC OB OA . （3）常用性质 （ 图4 ）性质1：若O 为△ABC 的重心ABC OBC OAC OAB S S S S ∆∆∆∆===⇔31性质2：若O 为△ABC 的重心→→=⇔AF AO 32，→→=BD BO 32，→→=CF CO 32性质3：已知),(11y x A ，),(22y x B ,),(33y x C .若O 为△ABC 的重心)3,3(321321y y y x x x O ++++⇔.（4）典例剖析例4-1：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB OA OP →→→→→→++=λ，),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心 解析：由题知)sin ||sin ||(CAC AC BAB AB AP →→→→→+=λ，其中hC AC B AB ==→→sin ||sin ||（h 表示BC 边上的高），故)(hACh AB AP →→→+=λ→=AF h λ2（F 为线段BC 的中点）. P ∴在BC 边上的中线上，故动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，答案D .例4-2：在△ABC 中，O 为平面内一个定点，动点P 满足])21()1()1[(31→→→→++-+-=OC OB OA OP λλλ，R ∈λ，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心解析：设AB 的中点为D ，故])21()1(2[31→→→++-=OC OD OP λλ，由于+-3)1(2λ1321=+λ，即点P ，C ，D 三点共线. P ∴在AB 边上的中线上，故动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心，答案D .例4-3：已知O 在△ABC 内，且满足→→→→=++0432OC OB OA ，现在到△ABC 内随机取一点，次点取自△OAB ，△OAC ，△OBC 的概率分别记为1P 、2P 、3P ,则（ ）A .321P P P ==B .123P P P >>C .321P P P >>D .312P P P >> 解析：法一：如图，延长OA ，OB ，OC 使得OA OD 2=,OB OE 3=，OC OF 4=, 故→→→→=++0OF OE OD ，即O 是△DEF 的重心，即△OED 、△ODF 、 △OEF 的面积相等，不妨令它们的面积都为1. 61=∴∆OAB S ，81=∆OAC S ，121=∆OBC S ,故321P P P >>，答案C . 法二：由“奔驰定理”知，k S OBC 2=∆，k S OAC 3=∆，kS OAB 4=∆（k 为比例系数），故321P P P >>，答案C .法三：根据三角形内心的向量表示，不妨设O 是以2k ，3k ，4k （k 为比例系数）为边长的三角形的内心，所以OBC OAC OAB S S S ∆∆∆>>,即321P P P >>，答案C .五、等腰（边）三角形的四心 （1）等腰三角形等腰三角形只有顶角的角平分线与中线、高三线重合，其余的线不重合.另外，等腰三角形的四心不重合. （2）等边三角形性质1：若△ABC 为等边三角形⇔△ABC 四心合一. 性质2：若△ABC 为等边三角形⇔△ABC 三线合一. 六、欧拉线*瑞士数学家欧拉（1707~1783）于1765年在他的著作《三角形 的几何学》中首次提出：（如图5）任意△ABC （非等边三角形）的垂心D 、重心E 、外心F 三点共线，即欧拉线. （图5）特别地，（如图6）当△ABC 为直角三角形时（A 为直角），垂心D 与A 重合，外心F 在BC 的中点上，欧拉线为直角△ABC 的外接圆半径（或BC 边上的中线）.（图6）性质1：在任意三角形中，垂心与重心的距离是重心与外心距离的2倍，即EF DE 2=.。

平面向量 三角形“四心”应用一、三角形四心：重心：ABC ∆三边中线交点小结论：M 是三角形ABC ∆的重心（中线交点），则=++。

外心：ABC ∆外接圆的圆心（ABC ∆三边垂直平分线的交点）。

内心：ABC ∆的内角平分线交点。

垂心：ABC ∆三条高现的交点。

1、已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 . 90° 1()2AO AB AC =+,所以O 为线段BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，090=∠∴BAC , 2、△ABC 外接圆的半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，|AO →|＝|AC →|，则向量BA →在BC →方向上的投影= 解析 由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 是BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|， 又因为|AO →|＝|AC →|＝1，故△OAC 为等边三角形，即∠AOC ＝60°，由圆周角定理可知∠ABC ＝30°，且|AB →|＝3，所以BA →在BC →方向上的投影为|BA →|·cos ∠ABC ＝3×cos 30°＝32，故选C.答案 C3、4、18、O 是平面上的一5、定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC 的（ ）由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD(D为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．6、（第五章第解课时作业16）解析 作∠BAC 的平分线AD .∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝λ′·AD →|AD →|(λ′∈[0，＋∞))， ∴AP →＝λ′|AD →|·AD →，∴AP →∥AD →.∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 答案 B7、O 为ABC ∆外接圆的圆心，且=++,则A ∠= 0608、设O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)．若AO →＝13AB →＋13AC →，则∠BAC 的度数等于= 解析 取BC 的中点D ，连接AD ，则AB →＋AC →＝2 AD →.由题意得3AO →＝2AD →，∴AD 为BC 的中线且O 为重心．又O 为外心，∴△ABC 为正三角形，∴∠BAC ＝60°9、在△ABC 中，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的（ ）解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →，∴OB →·(OA →－OC →)＝0，∴OB →·CA →＝0，∴OB ⊥CA ，即OB 为△ABC 底边CA 上的高所在直线．同理OA →·BC →＝0，OC →·AB →＝0，故O 为△ABC 的垂心．10、已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若)(31AC AB AO +=,则AB 与的夹角为二、三点共线向量：设向量,不共线 1、作业题（创新设计）2、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3,1），B （-1,3）平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C 满足=α+β,其中α,β∈R 且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( ) A ．(x-1)2+(y-2)2=5 B ．3x+2y-11=0 C ．2x-y=0 D ．x+2y-5=0解:设C(x,y),则=(x,y),=(3,1),=(-1,3).由=α+β,得(x,y)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β).于是由③得β=1-α代入①②,消去β得，再消去α得x+2y=5,即x+2y-5=0. 1OP mOA nOB m n =++=，且三点P 、A 、B共线【一题多解】由平面向量共线定理,得当=α+β,α+β=1时,A,B,C 三点共线.因此,点C 的轨迹为直线AB,由两点式求直线方程得=,即x+2y-5=0.3、（第五章第解课时作业16）如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，则实数m 的值为________.解析 由N 是OD 的中点得AN →＝12AD →＋12AO →＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14AB →，又因为A ，N ，E 三点共线，故AE →＝λAN →，即mAB →＋AD →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫34AD →＋14AB →，又AB →与AD →不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14λ，1＝34λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，λ＝43，故实数m ＝13.答案 13。

平面向量中的三角形四心问题向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要工具。

本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。

在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。

一、重心（barycenter)三角形重心是三角形三边中线的交点。

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

结论1：是三角形的重心所在平面内一点，则为若G GC GB GA ABC G ⇔=++∆0的重心为故上在中线同理可得上在中线这表明，，则中点为证明：设ABC G CF BE G AD G GD GA GCGB GA GC GB GA GCGB GD D BC ∆=-∴+=-⇔=+++=,,202结论2：的重心是证明：的重心是所在平面内一点，则为若ABC G GC GB GA PC PG PB PG PA PG PC PB PA PG ABC G PC PB PA PG ABC ∆⇔=++⇔=-+-+-⇔++=∆⇔++=∆00)()()()(31)(31P二、垂心(orthocenter)三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

结论3：的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H HA HC HC HB HB HA ABC ∆⇔⋅=⋅=⋅∆H 为三角形垂心故同理，有证明：H ABHC CB HA ACHB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅,00)(结论4：可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心是所在平面内一点，则为若3)()(H 22222222222222HAHC HC HB HB HA HAHC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⇔-+=-++=+∆⇔+=+=+∆三、外心(circumcenter)三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。

平面向量与三角形的“四心”综合问题【例题精讲】例题1 已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|，NA ―→＋NB ―→＋NC ―→＝0，且P A ―→·PB ―→＝PB ―→·PC ―→＝PC ―→·P A ―→，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心【解析】由|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|知，O 为△ABC 的外心； 由NA ―→＋NB ―→＋NC ―→＝0知，N 为△ABC 的重心；因为P A ―→·PB ―→＝PB ―→·PC ―→，所以(P A ―→－PC ―→)·PB ―→＝0， 所以CA ―→·PB ―→＝0，所以CA ―→△PB ―→，即CA △PB ，同理AP △BC ，CP △AB ，所以P 为△ABC 的垂心，故选C.例题2 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP ―→＝x OB ―→＋y OC ―→，其中x ，y △[0,1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063B ．1463C ．4 3D ．62【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部， 其面积为△BOC 的面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463，故选B.【知识小结】三角形“四心”的向量表示(1)在△ABC 中，若|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|或OA ―→2＝OB ―→2＝OC ―→2，则点O 是△ABC 的外心．(2)在△ABC 中，若GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0，则点G 是△ABC 的重心．(3)对于△ABC ，O ，P 为平面内的任意两点，若OP ―→－OA ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋12BC ―→，λ△(0，＋∞)，则直线AP 过△ABC 的重心． (4)OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→或者|OA ―→|2＋|OB ―→|2＝|OB ―→|2＋|OC ―→|2＝|OC ―→|2＋|OA ―→|2，则点O 为三角形的垂心．(5)|BC ―→|·OA ―→＋|AC ―→|·OB ―→＋|AB ―→|·OC ―→＝0，则点O 为三角形的内心．(6)对于△ABC ，O ，P 为平面内的任意两点，若OP ―→＝OA ―→＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|(λ>0)，则直线AP 过△ABC 的内心．【变式练习】1．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→)，λ△(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【解析】选C 由原等式，得OP ―→－OA ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，即AP ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，根据平行四边形法则，知AB ―→＋AC ―→＝2AD ―→(D 为BC 的中点)，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．故选C.2．在△ABC 中，|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2，AD ―→＝12AB ―→＋34AC ―→，则直线AD 通过△ABC 的( )A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心解析：选D △|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2，△12|AB ―→|＝34|AC ―→|＝32.设AE ―→＝12AB ―→，AF ―→＝34AC ―→，则|AE ―→|＝|AF ―→|.△AD ―→＝12AB ―→＋34AC ―→＝AE ―→＋AF ―→，△AD 平分△EAF ，△AD 平分△BAC ，△直线AD 通过△ABC 的内心。

平面向量基本定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCΘ CB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

平面向量与三角形四心问题问题探究：已知点G 是ABC 内任意一点,点 M 是ABC 所在平面内一点.试根据下列条件判断G 点可能通过ABC 的__________心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).(1)若存在常数λ,满足()(0)ABACMG MA AB AC λλ=++≠,则点G 可能通过ABC 的____. (2)若点D 是ABC 的底边BC 上的中点,满足GD GB GD GC =,则点G 可能通过ABC 的_______.(3)若存在常数λ,满足()(0)sin sin AB AC MG MA AB B AC C λλ=++≠,则点G 可能通过ABC 的_______. (4)若存在常数λ,满足()(0)cos cos AB AC MG MA AB B AC C λλ=++≠,则点G 可能通过ABC 的________.一．基础梳理（一）重心：中线的交点 重心性质：（1）重心是中线的三等分点—重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1 （2）重心的向量公式：0=++GC GB GA G ⇔是ABC ∆的重心O ⇔是平面内任意一点，且1()3OG OA OB OC =++ （3）重心的坐标公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=33321321y y y y x x x x（4）重心面积公式：G 是ABC ∆的重心ABC BCG ACG ABG S S S S ∆∆∆∆===⇔31 ⇔重心到3条边的距离与3条边的边长成反比（二）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直 垂心的向量表示：⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.（三）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），（1）角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（2）内心的向量式：AB c =，AC b =，BC a =，且0aIA bIB cIC ++=，⇔I 是ABC △的内心（3）设O 为△ABC 所在平面内任意一点，c b a OC c OB b OA a OI ++++=，⇔I 是 ABC △的内心（4）内心坐标公式：内心I ),(cb a cy by ayc b a cx bx ax C B A C B A ++++++++ （四）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心）（1）外心到三角形各顶点的距离相等；（2）外心的向量式：222OA OB OC ==⇔O 是ABC △的外心．⇔().().().0OA OB AB OB OC BC OA OC AC +=+=+=※ 锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边的中点.二、典例分析例1、证明：（1）重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1.（2）已知G 是ABC △的重心，证明：0GA GB GC ++=（3）已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，证明：G 是ABC△的重心变式1、O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心变式2、已知是所在平面上的一定点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的( ) A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心例2、P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，证明：P 是ABC △的垂心．变式3、已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的__________.例3、已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，证明：I 是ABC △的内心．变式4、O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：,[0,)||||AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫=++∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心例4、已知O 是平面上的一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，试说明动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心.三、巩固练习1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ）A ．2B ．23 C ．3 D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21B ．0C ．1D ．21- 3．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+ 222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =6．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|+AC →|AC →|)·BC →=0且AB →|AB →|·AC →|AC →|=12 , 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 7．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆ 为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形8、已知P 点为ABC 内任意一点，若P 点分别满足下列，试确定点P 是ABC 的什么心. （1）(),0()0AB AC AP AB AC P ABC BA BC BP t t BA BC λλ⎧=+>⎪⎪⎪⇒⎨⎪=+>⎪⎪⎩为的__.， （2）D E 、两点分别是ABC 的边BC CA 、上的中点,且DP PB DP PC P ABC EP PC EP PA⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的_____. （3）1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩为的_______.， （4）00AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的_______. 思考：在△ABC 内求一点P ，使222AP BP CP ++最小．。

平面向量种三角形“四心”与应用一．重要结论1.重心：三角形三条中线的交点，重心为O →→→→=++⇔0OC OB OA 证明：G 是ABC ∆所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明:作图如右，图中GEGC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））重心性质1．P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB P A PG ++=.证明：CG PC BG PB AG P A PG +=+=+=⇒)()(3PC PB P A CG BG AG PG +++++=∵G 是△ABC 的重心∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB P A PG ++=3，由此可得)(31PC PB P A PG ++=.（反之亦然（证略））重心性质2.如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N两点，且AM xAB = ，AN y AC = ，则113x y+=.证明：点G 是ABC ∆的重心，知GA GB GC ++=O ，得()()AG AB AG AC AG -+-+-=O ，有1()3AG AB AC =+ .又M ，N ，G 三点共线（A不在直线MN 上），于是存在,λμ，使得(1)AG AM AN λμλμ=++=且，有AG xAB y AC λμ=+ =1()3AB AC +，得113x y λμλμ+=⎧⎪⎨==⎪⎩，于是得113x y +=2．外心：三角形三条中垂线的交点.外心O →→→==⇔OC OB OA 222OCOB OA ==⇔→→→→→→→→→=⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇔0CA OA OC BC OC OB AB OB OA 外心性质：如图，O 为ABC ∆的外心，证明：1.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.2.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.3.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明：结合三角形中线向量公式及极化恒等式即可完成证明.附：如图，直角三角形ABC 中，2||→→→=⋅AB AC AB .3．内心.三角形三条角平分线的交点.内心为O 0=⋅+⋅+⋅⇔→→→→→→OC AB OB CA OA BC 内心性质.O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足ACAC ABAB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心解：ABAB AB 的单位向量设AB 与AC方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.4．垂心：三角形三条高线的交点.垂心为O →→→→→→⋅=⋅=⋅⇔OAOC OC OB OB OA 垂心性质.点H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心.由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(,同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心.（反之亦然（证略））二．典例分析1．若O 在△ABC 所在的平面内，a ，b ，c 是△ABC 的三边，满足以下条件0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，则O 是△ABC 的（）A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心解析：,OB OA AB OC OA AC =+=+ 且0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，()0a b c OA b AB c AC ∴++⋅+⋅+⋅=，化简得bc AB AC AO a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+⎪++⎝⎭，设AB AC AP AB AC =+ ，又AB AB与AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，AP ∴平分BAC ∠，又,AO AP共线，故AO 平分BAC ∠，同理可得BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，故O 是△ABC 的内心.故选：C.2．在ABC 中，向量AB 与AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，且2||||BA BC BA BC ⋅=，则ABC为（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形解析：∵0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，∴BAC ∠的角平分线垂直于BC ，根据等腰三角形三线合一定理得到ABC为等腰三角形，又∵2||||BA BC BA BC ⋅= ，∴=45ABC ∠︒，则ABC 为等腰直角三角形，故选：D.3．已知D 是ABC 内部（不含边界）一点，若::5:4:3ABD BCD CAD S S S =△△△，AD xAB y AC =+，则x y +=（）A ．23B ．34C ．712D ．1解析：如图，连接AD 并延长交BC 与点M,设点B 到直线AD 的距离为B d ,点C 到直线AD 的距离为C d ,因为::5:4:3ABD BCD CAD S S S =△△△，所以设5,4,3ABD BCD CAD S k S k S k ===△△△，因为AM 与向量AD 共线，设AM AD xAB y AC ==+ λλλ,BM BC = μ,AM AB BM ∴=+AB BC =+ μ()(1),AB AC AB AB AC =+-=-+ μμμ所以1x y λμλμ=-⎧⎨=⎩，即11x y μμλλλ-+=+=，AM AD DM AD AD +==λ()()()B C B C AD DM d d AD d d +⨯+=⨯+111()53432221153222B B c B C C AD d AD d d d k k k k k AD d AD d ⨯+⨯+⨯+++===+⨯+⨯,所以123x y +==λ故选：A4．已知点P 是ABC 所在平面内的动点，且满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++⎪ ⎪⎝⎭(0)λ>，射线AP 与边BC 交于点D ，若23BAC π∠=，||1AD = ，则||BC 的最小值为（）AB ．2C．D．解析：AB AB 表示与AB 共线的单位向量，AC AC表示与AC共线的单位向量，所以点P 在BAC ∠的平分线上，即AD 为BAC ∠的角平分线，在ABD △中，3BAD π∠=，||1AD = ，利用正弦定理知：2sin sin 3sin AD BD B Bπ=⨯=同理，在ACD △中，2sin sin 3sin AD CD C Cπ=⨯=，1122sin sin 2sin sin BC BD CD B C B C ⎫=+==+⎝⎭，其中3B C π+=，分析可知当6B C π==时，BC取得最小值，即min 12sin 6BC π=⨯=5．已知点O 是锐角ABC 的外心，8AB =，12AC =，3A π=，若AO x AB y AC =+ ，则69x y +=（）A ．6B ．5C ．4D ．3解析：如图所示，过点O 分别作⊥OD AB ，OE AC ⊥，垂足分别为D ，E ；则D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴221183222AO AB AB ⋅==⨯= ，2211127222AO AC AC ⋅==⨯= ；又3A π=，∴812cos 483AB AC π⋅=⨯⨯= ，∵AO x AB y AC =+ ，∴2AO AB xAB y AC AB ⋅=+⋅ ，2AO AC xAC AB y AC ⋅=⋅+ ，化为326448x y =+①，7248144x y =+②，联立①②解得16x =，49y =；∴695x y +=．故选：B6．已知ABC 外接圆圆心为O ，G 为ABC 所在平面内一点，且0GA GB GC ++=．若AB AC += 52AO，则sin BOG ∠=（）A ．12B ．14C．4D解析：取BC 的中点D ，连接AD ，由0GA GB GC ++=，知G 为ABC 的重心，则G 在AD 上，所以12()33AG AB AC AD =+= ，而24()55AO AB AC AD =+=，所以A ，G ，O ，D 四点共线，所以AB AC =，即AD BC ⊥，不妨令5AD =，则4AO BO ==，1OD =．所以sin sin 4BD BOG BOD BO ∠=∠==．故选：C ．7．设H 是ABC ∆的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos ABC ∠=______.解析：H 是ABC ∆的垂心⇔::tan :tan :tan BHC CHA AHB S S S A B C∆∆∆=⇔tan tan tan 0A HAB HBC HC∙∙∙++=由题设得tan tan tan345A B Cλ===.再由tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，得λ=，tan 5B =.故cos 21ABC ∠=.故答案为:218．已知点O 为三角形ABC 所在平面内的一点，且满足1OA OB OC ===，3450OA OB OC ++=，则AB AC ⋅= ___．解析：∵1OA OB OC === ，3450OA OB OC ++= ，∴345OA OB OC +=-，两边同时平方可得，9162425OA OB ++⋅= ，∴0OA OB ⋅=，∵3455OC OA OB =--，则()()AB AC OB OA OC OA ⋅=-⋅- ()8455OB OA OA OB ⎛⎫=-⋅-- ⎪⎝⎭2284845555OB OA OB OA OB OA =-⋅-++⋅ 48400555=-++=，故答案为45．。

平面向量基本定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。