高中数学提高拓展题专题2.17：二次函数图象相关问题的研究与拓展

二次函数的像与应用题解答方法总结二次函数是高中数学中重要的一章，通过对二次函数的学习，我们可以掌握解二次方程和研究二次函数的性质等内容。

本文将总结二次函数的像与应用题解答方法，帮助读者更好地理解和应用二次函数。

一、二次函数的像在了解二次函数的像之前，我们先回顾一下基本概念。

二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。

我们先来看一下二次函数图像的基本特点：1. 开口方向：当a > 0时，二次函数图像开口向上；当a < 0时，二次函数图像开口向下。

2. 顶点坐标：二次函数图像的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)为函数在顶点的函数值。

3. 对称轴：二次函数图像的对称轴方程为x = -b/2a。

二次函数的像即为函数在定义域中所有的取值。

常见的二次函数像包括开口向上的抛物线、开口向下的抛物线以及特殊情况下的两个点、一条直线等不同形式。

例如，对于函数y = x^2，其像是所有非负实数，即y ≥ 0。

对于函数y = -x^2，其像是所有的实数，即整个数轴上的点。

二、二次函数的应用题解答方法除了了解二次函数的基本性质之外，我们还需要掌握如何解答二次函数的应用题。

下面将介绍两种常见的应用题解答方法。

1. 构建二次函数方程当遇到与二次函数相关的具体问题时，我们可以通过构建二次函数方程来解决。

具体步骤如下：(1) 根据题意，确定自变量与因变量的关系，利用已知条件列出方程。

(2) 整理方程，将方程化为一般形式y = ax^2 + bx + c。

(3) 解二次方程，求解方程得到x的值。

(4) 根据求得的x值，计算对应的y值，得到应用题的解答。

2. 通过图像解答应用题有些应用题可以通过观察二次函数图像解答。

具体步骤如下：(1) 根据题意，确定二次函数的开口方向、顶点坐标等基本特点。

(2) 利用已知条件，画出二次函数的图像。

(3) 根据图像，得到应用题的解答。

二次函数的像与题目解答技巧总结在数学学科中，二次函数是一种非常重要的函数形式。

对于高中数学的学习来说，理解二次函数的像以及掌握相应的题目解答技巧是至关重要的。

本文将对二次函数的像与题目解答技巧进行总结与探讨。

一、二次函数的像二次函数可以表达为一般形式的函数表达式：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

通过对二次函数的图像进行观察，我们可以得出以下结论：1. 对称轴：二次函数的图像总是关于一个垂直于x轴的直线对称的。

这条直线称为二次函数的对称轴，其方程可以通过求解x = -b/2a得到。

2. 开口方向：二次函数的图像的开口方向取决于二次函数的系数a的值。

当a > 0时，图像开口朝上；当a < 0时，图像开口朝下。

3. 顶点：顶点是二次函数图像的最高点或最低点。

对于一个开口朝上的二次函数，其顶点是图像的最低点；对于一个开口朝下的二次函数，其顶点是图像的最高点。

顶点的横坐标可以通过对称轴的方程求解得到，纵坐标则可以通过将横坐标代入函数表达式中得到。

4. 零点：零点是指函数取值为0的横坐标。

在二次函数中，可以通过解一元二次方程来求解零点。

一元二次方程的解可以通过因式分解、配方法或求根公式等方式求得。

二、题目解答技巧总结对于二次函数相关题目的解答，以下技巧可能会对大家有所帮助：1. 图像分析法：通过对二次函数图像的分析，可以直观地得出函数的对称轴、开口方向、顶点位置等信息。

这一方法特别适用于解答与函数图像特性相关的问题。

2. 因式分解法：对于给定的二次函数，可以尝试将其进行因式分解，以便于更好地理解函数的性质，并在解答过程中简化计算。

因式分解法在求解函数的零点时特别有用。

3. 配方法：配方法是求解一元二次方程的一种有效方法。

通过对方程进行系数配比，将其转化为一个完全平方的形式，从而求得方程的解。

4. 求根公式：二次函数的零点可以通过求根公式得到。

对于一般形式的二次函数ax^2 + bx + c = 0，其根可以通过x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a得到。

高中数学二次函数及其图像性质的分析与解答一、二次函数的定义与性质二次函数是指具有形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

二、二次函数的图像特点1. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标。

求二次函数的零点可以通过解方程ax^2+bx+c=0来实现。

例如，对于函数y=x^2-3x+2，解方程x^2-3x+2=0，得到x=1和x=2，因此函数的零点为x=1和x=2。

2. 对称轴：二次函数的对称轴是函数图像的中心轴线，对称轴的方程为x=-b/2a。

例如，对于函数y=2x^2+4x-3，对称轴的方程为x=-4/(2*2)=-1，因此对称轴为x=-1。

3. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点（当抛物线开口向下时）或最低点（当抛物线开口向上时）。

顶点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标可以通过将对称轴的横坐标代入函数得到。

例如，对于函数y=-x^2+2x+3，对称轴的横坐标为x=2/(-2)=-1，将x=-1代入函数得到y=-(-1)^2+2*(-1)+3=4，因此顶点为(-1, 4)。

三、二次函数图像的平移与伸缩1. 平移：二次函数的图像可以通过平移来改变其位置。

平移的方式有两种：水平平移和垂直平移。

水平平移是指将整个图像沿x轴平行移动，垂直平移是指将整个图像沿y轴平行移动。

平移的规律为：y=a(x-h)^2+k，其中(h, k)为平移的距离。

2. 伸缩：二次函数的图像可以通过伸缩来改变其形状。

伸缩的方式有两种：水平伸缩和垂直伸缩。

水平伸缩是指将整个图像沿x轴方向拉伸或压缩，垂直伸缩是指将整个图像沿y轴方向拉伸或压缩。

伸缩的规律为：y=a(bx-c)^2+d，其中a为垂直伸缩的比例因子，b为水平伸缩的比例因子，c为水平方向的平移距离，d为垂直方向的平移距离。

高中数学二次函数图像题解题方法二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在图像题中经常出现。

解题时，我们需要掌握一些基本的解题方法和技巧。

本文将以具体的题目为例，介绍高中数学二次函数图像题的解题方法和考点，并通过举一反三的方式深入探讨相关知识点。

一、基本形式的二次函数图像题考虑以下题目：已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像经过点$A(1,2)$和$B(2,5)$，且对称轴为$x=3$，求函数$f(x)$的解析式。

解题思路：1. 根据题目中给出的点$A(1,2)$和$B(2,5)$，我们可以得到两个方程：$2=a+b+c$ (1)$5=4a+2b+c$ (2)2. 根据题目中给出的对称轴$x=3$，我们可以得到一个方程：$3=-\frac{b}{2a}$ (3)3. 将方程(3)代入方程(1)和方程(2)，得到一个关于$a$和$b$的方程组：$2=a-\frac{b}{2a}+c$ (4)$5=4a-2b+\frac{b}{2a}+c$ (5)4. 解方程组(4)和(5)，得到$a$和$b$的值。

将$a$和$b$的值代入方程(1)，求得$c$的值。

通过以上步骤，我们可以得到函数$f(x)$的解析式。

二、顶点坐标已知的二次函数图像题考虑以下题目：已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像的顶点坐标为$V(2,-1)$，且过点$A(1,2)$，求函数$f(x)$的解析式。

解题思路：1. 根据题目中给出的顶点坐标$V(2,-1)$，我们可以得到一个方程：$-1=4a+2b+c$ (6)2. 根据题目中给出的过点$A(1,2)$，我们可以得到一个方程：$2=a+b+c$ (7)3. 将方程(7)代入方程(6)，得到一个关于$a$和$b$的方程：$-1=4a+2b+a+b+2$ (8)4. 解方程(8)，得到$a$和$b$的值。

将$a$和$b$的值代入方程(7)，求得$c$的值。

通过以上步骤，我们可以得到函数$f(x)$的解析式。

专题2.7：函数中一类保值（k 倍值）问题的研究与拓展【问题提出】 若函数xa x f 1)(-=的定义域与值域均为区间[]n m ,（n m <），求实数a 的取值范围. 【探究拓展】探究1：已知关于x 的函数2(1)()()t x t f x t R x--=∈的定义域为D ，若存在区间[,]a b D ⊆使得()f x 的值域也是[,]a b ，则当t 变化时，b a -的最大值为 .【分析】首先观察到函数22(1)()1t x t t f x t x x---==-+为定义域内的增函数；则有：()22(1)()(1)t a t f a a a t b t f b bb ⎧--==⎪⎪⎨--⎪==⎪⎩,得到()2(1)t x t f x x x --==，则()2210x t x t --+=.那么：b a -===≤变式1：若函数3)(+-=x m x f 的定义域为[]b a ,，值域为[]b a ,，则m 的取值范围是__________.解析 观察得到函数()f x 在区间[,]a b 为减函数，则有：()a f b m == ①()b f a m == ②由①②得到：m a b == ③；a b -= ④；2m a b =+⑤；令t s =223,3a t b s =-=-； 代入④得到22t s t s -=-，即1t s +=，其中01t s ≤<≤. 那么代入⑤得到2222265m t s t s t s =+-++=+-222(1)5224s s s s =-+-=-- 2192()22s =--；由01t s ≤<≤可知112s <≤，利用二次函数图象可知9242m -<≤-，即924m -<≤-.变式2：已知函数1()(),[1,1]3x f x x =∈-，函数2()()2()3g x f x af x =-+的最小值为()h a . （1）求()h a ；（2）是否存在实数m ，n 同时满足下列条件：①m >n >3；②当)(a h 的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？ 若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由． 解：（1）∵11[1,1],()[,3].33x x ∈-∴∈设2223)(32)(]3,31[,)31(a a t at t t t t x -+-=+-=∈=φ，则 当13a <时min 1282()()393a y h a φ===-，； 当133a ≤≤时，2min ()()3y h a a a φ===-； 当.612)3()(3min a a h y a -===>φ时，∴22821()9331()3(3)3126(3)a a h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩（2）∵m >n >3， ∴()126(3,)h a a =-+∞在上是减函数. ∵)(a h 的定义域为[n ，m ]；值域为[n 2，m 2]，∴22126126, .m n n m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 可得),)(()(6n m n m n m +-=- ∵m >n >3， ∴m +n =6，但这与“m >n >3”矛盾. ∴满足题意的m ，n 不存在．变式3：设f (x )奇函数，当0x ≥时， f (x )＝2x －x 2，若函数f (x )(x ∈[a ，b ])的值域为[1b ，1a ]，则b 的最小值为____________，实数a 的取值集合为___________变式4：对于区间[,]a b ，若函数()f x 同时满足下列两个条件：①函数()f x 在[,]a b 上是单调函数；②函数()f x 当定义域为[,]a b 时，值域也为[,]a b ，则称区间[,]a b 为函数()f x 的“保值区间”． （1）写出函数2y x =的保值区间；（2）函数2(0)y x m m =+≠是否存在保值区间？若存在，求出相应的实数m 的取值范围； 若不存在，试说明理由． 解：（1）[]0,1（2）由题易得：[](],,0,a b ⊆-∞或者[][),0+a b ⊆∞，（i ）当[][),0+a b ⊆∞，时，此时()()f a a f b b =⎧⎨=⎩，则可将,a b 视为方程20x x m -+=的两个非负实数根，则14010,04m m m ->⎧⎛⎫⇒∈⎨⎪>⎝⎭⎩； （ii ）当[](],,0a b ⊆-∞时，22()1()f b a b m aa b f a b a m b ⎧=+=⎧⎪⇒⇒+=-⎨⎨=+=⎪⎩⎩ 2211m b b m a a ⎧-=++⎪⇒⎨-=++⎪⎩可将问题转化为方程21m x x -=++有两个非负实数解 数形结合可得3-1-4m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，综上：31-1-044m ⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，， 变式5：若函数2113()22f x x =-+在区间[,]a b 上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[,]a b . （2000年全国高中数学联赛试题）【解答】分如下三种情形来讨论区间[,]a b .（1）当0a b <≤时，()f x 在区间[,]a b 上单调递增，所以()2f a a =，()2f b b =，即221132,221132.22a ab b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 所以a 、b 是方程21132022x x --+=的两个不同实根，而方程21132022x x --+=的两根异号，不可能.（2）当0a b <<时，()f x 在[,0]a 上递增，在[0,]b 上递减，故(0)2f b =，且{}min (),()2f a f b a =. 由(0)2f b =，得134b =. 于是21131339()024232f b ⎛⎫=-+=> ⎪⎝⎭. 而0a <，故()2f b a ≠，所以()2f a a=，即2113222a a -+=.解方程，得2a =-此时13[,]24a b ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.（3）当0a b ≤<时，()f x 在[,]a b 上递减，于是()2f a b =，()2f b a =，即221132,221132.22a b b a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解方程组，得1a =，3b =，此时[,][1,3]a b =.综上所述，所求的区间[,]a b 为[1,3]或1324⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.拓展1：若函数1()1,g x x=-是否存在形如[],()a b a b <的保值区间？若存在，求出该区间，若不存在，请说明理由. 先进行局部缩小0a ≥ 不存在；1a b <<不成立 不存在拓展2：函数()()21x f x x R x =∈+，区间[](),M a b a b =<其中，(){},N y y f x x M ==∈则使M N =成立的实数对(),a b 有 个. 3个；()01-，；()11-，；()10，探究2：若函数()()y f x x D =∈同时满足下列条件：① ()f x 为D 上单调函数；② 存 在区间[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ；则()y f x =叫做闭函数. 若函数y k =k 的取值范围是 ．【分析】首先，观察到函数y k =+为定义域内单调增函数；则有：()()()f a k af x k x f b k b⎧==⎪⇔==⎨==⎪⎩在 [,]a b 内有两个互异实根.亦即：方程x k =-在[,]a b内有两个互异实根1y ⇔=2y x k =-的图像有两个不同的交点；下画出图像：得到当直线的纵截距9[2,)4k -∈时，满足题意，从而得到9(,2]4k ∈--.变式1：函数()y f x =的定义域为D ，若满足：① ()f x 为D 上单调函数；② 存在区间[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域为[,]b a --；则()y f x =叫做对称函数.现有y k =-是对称函数，那么实数k 的取值范围是 ．【分析】首先，观察到函数y k =为定义域内单调减函数；则有：()()()f a k af x k x f b k b⎧==-⎪⇔==-⎨==-⎪⎩ 在[,]a b 内有两个互异实根.x k =-+在[,]a b内有两个互异实根1y ⇔=2y x k =-+的图像有两个不同的交点； 下画出图像：得到当直线的纵截距9[2,)4k ∈时，满足题意.变式2：若函数()f x m =在区间[],a b 上的值域为(),122a b b a ⎡⎤>≥⎢⎥⎣⎦,则实数m 的取值范围为________.【分析】首先，观察到函数()f x m =为定义域内单调增函数；则有：()()()222af a m x f x m b f b m ⎧==⎪⇔==⎨⎪==⎩在[)1,+∞上有两个不同的根；再转化为函数y =2xy m =-有两个交点，利用图像： 首先，12m =时，过()1,0点与曲线有两个交点； 0∆=得到其次，考虑相切的临界情况，可利用平方后二次函数的0m =；(避免求导). 则得到1(0,]2m ∈.拓展：已知函数b ax x x f ++=3)(的图像关于坐标原点对称，且与x 轴相切. （1）求实数b a ,的值；（2）是否存在实数n m ,，使函数)(3)(x f x g -=在区间[]n m ,上的值域仍为[]n m ,？若 存在，求出n m ,的值；若不存在，说明理由.探究3：已知函数xx f 11)(-=，若存在实数)(,b a b a <使得)(x f 的定义域是[]b a ,，值域是[]),0(,R m m mb ma ∈≠，则实数m 的取值范围为_________ ⎪⎭⎫⎝⎛41,0变式：对于函数()x f y =，若存在区间[]b a ,，当∈x []b a ,时，()x f 的值域为[]kb ka ,(k ＞0），则称()x f y =为k 倍值函数。

2023学年二轮复习解答题专题二十七：二次函数中直角三角形的存在性问题探究方法点睛一、构造直角三角形的一般思路:构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆.二、解题思路是否存在一点，使之与另外两个定点构成直角三角形的问题：首先弄清题意，注意区分直角顶点；其次借助于动点所在图形的解析式，表示出动点的坐标；然后按分类的情况，利用几何知识建立方程(组)，求出动点坐标，注意要根据题意舍去不符合题意的点．方法一：利用勾股定理进行边长的计算，从而来解决问题；方法二：往往可以利用到一线等三角之K字（90°）类型和母子相似型类型，尝试建构相应的相似来进行处理；方法三：两条直线互相垂直的条件，即=-1来解决．典例剖析类型一：利用勾股定理来解决直角三角形的存在性问题例1. （2022滨州中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．（1）求线段AC 的长；（2）若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；（3）若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM V 为直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1（2）()11，-（3）()14-，或()25-，或-或-【解析】【分析】（1）根据解析式求出A ，B ，C 的坐标，然后用勾股定理求得AC 的长；（2）求出对称轴为x =1，设P （1，t ），用t 表示出PA 2和PC 2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M （m ,m 2-2m -3），分情况讨论，当222CM BC BM +=，222BM BC CM +=，k 1k2222BM CM BC +=分别列出等式求解即可．【小问1详解】223y x x =--与x 轴交点：令y =0，解得121,3x x =-=，即A （-1，0），B （3，0），223y x x =--与y 轴交点：令x =0，解得y =-3，即C （0，-3），∴AO =1,CO =3,∴AC ==;【小问2详解】抛物线223y x x =--的对称轴为：x =1，设P （1，t ），∴()()22221104PA t t =++-=+，()()()222210313PC t t =-++=++，∴24t + ()213t =++∴t =-1，∴P （1，-1）；【小问3详解】设点M （m ,m 2-2m -3），()()()()22222223230323BM m m m m m m =-+---=-+--，()()()222222202332CM m m m m m m =-+--+=+-，()()222300318BC =-++=,①当222CM BC BM +=时，()()()222222218323m m m m m m +-+=-+--，解得，10m =（舍），21m =，∴M （1，-4）；②当222BM BC CM +=时，()()()222222323182m m m m m m -+--+=+-，解得，12m =-，23m =（舍），∴M （-2，5）；③当222BM CM BC +=时，()()()222222323218m m m m m m -+--++-=，解得，m =，∴M -或-；综上所述：满足条件的M 为()14-，或()25-，或-或-．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．类型二：构造相似来解决直角三角形存在性问题例2.（2021巴中中考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）P（3，﹣），有最大值；（3）D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．【分析】（1）将A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c即可求解析式；（2）过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，由PF∥AE，可得＝，则求的最大值即可；（3）分三种情况讨论：当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，可证明△DBG∽△BCH，求出D（3，6）；当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，可证明△OBC∽△KCD，求出D（3，﹣9）；当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T（3，﹣），设D（3，m），由DT＝BC，可求D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣x﹣3；（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，∴PF∥AE，∴＝，设直线BC的解析式为y＝kx+d，∴，∴，∴y＝x﹣3，设P（t，t2﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），∴PF＝t﹣3﹣t2+t+3＝﹣t2+t，∵A（﹣2，0），∴E（﹣2，﹣4），∴AE＝4，∴＝＝＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，∴当t＝3时，有最大值，∴P（3，﹣）；（3）∵P（3，﹣），D点在l上，如图2，当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，∴∠GDB＝∠CBH，∴△DBG∽△BCH，∴＝，即＝，∴BG＝6，∴D（3，6）；如图3，当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，∴∠CDK＝∠OCB，∴△OBC∽△KCD，∴＝，即＝，∴KC＝6，∴D（3，﹣9）；如图4，当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T（3，﹣），BC＝3，设D（3，m），∵DT＝BC，∴|m+|＝，∴m＝﹣或m＝﹣﹣，∴D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）；综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．专题过关1. （2022柳州中考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．【答案】（1）b=4，c=5，m=5（2）当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）（3）所有符合条件的点P的坐标为（2，233），（2，﹣9）【解析】【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，利用待定系数法求解b，c即可，再令y=0，再解方程求解m即可；（2）先求解抛物线的对称轴为x＝2，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（4﹣x，﹣x2+4x+5），证明四边形DEFG 是矩形，而224,45,DE x DF x x =-=-++ 可得四边形DEFG 的周长＝2（﹣x 2+4x +5）+2（2x ﹣4）＝﹣2x 2+12x +2＝﹣2（x ﹣3）2+20，再利用二次函数的性质可得答案；（3）过点C 作CH ⊥对称轴于H ，过点N 作NK ⊥y 轴于K ，证明△MCH ≌△NCK （AAS ），再求解N （﹣4，3），求解直线BN 的解析式为：15,33y x =-+ 可得50,,3Q æöç÷ç÷èø设P （2，p ），再利用勾股定理表示2222510612,339PQ p p p æöç÷=+-=-+ç÷èø BP 2＝()222529p p -+=+，222525525,39BQ æöç÷=+=+ç÷èø再分两种情况建立方程求解即可．【小问1详解】把A （﹣1，0），C （0，5）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，105b c c ì--+=ï\í=ïî ，解得：4,5b c ì=ïí=ïî∴这个抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+4x +5，令y ＝0，则﹣x 2+4x +5＝0，解得x 1＝5，x 2＝﹣1，∴B （5，0），∴m ＝5；【小问2详解】∵抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+4x +5＝﹣（x ﹣2）2+9，∴对称轴为x ＝2，设D （x ，﹣x 2+4x +5），∵DE x ∥轴，∴E （4﹣x ，﹣x 2+4x +5），∵过点D 作x 轴的平行线交抛物线于点E ，作y 轴的平行线交x 轴于点G ，过点E 作EF ⊥x 轴，∴四边形DEFG 是矩形，∴224,45,DE x DF x x =-=-++∴四边形DEFG 的周长＝2（﹣x 2+4x +5）+2（2x ﹣4）＝﹣2x 2+12x +2＝﹣2（x ﹣3）2+20，∴当x ＝3时，四边形DEFG 的周长最大，∴当四边形DEFG 的周长最大时，点D 的坐标为（3，8）；【小问3详解】过点C 作CH ⊥对称轴于H ，过点N 作NK ⊥y 轴于K ，∴∠NKC ＝∠MHC ＝90°，由翻折得CN ＝CM ，∠BCN ＝∠BCM ，∵B （5，0），C （0，5）．∴OB ＝OC ，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵CH⊥对称轴于H，∴CH x∥轴，∴∠BCH＝45°，∴∠BCH＝∠OCB，∴∠NCK＝∠MCH，∴△MCH≌△NCK（AAS），∴NK＝MH，CK＝CH，∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴对称轴为x＝2，M（2，9），∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，∴N（﹣4，3），设直线BN的解析式为y＝mx+n，∴43,50m nm nì-+=ïí+=ïî解得：13,53mnì=-ïïíï=ïî∴直线BN的解析式为：15,33 y x=-+∴50,,3 Qæöç÷ç÷èø设P（2，p），∴2222510612,339PQ p p p æöç÷=+-=-+ç÷èøBP 2＝()222529p p -+=+，222525525,39BQ æöç÷=+=+ç÷èø分两种情况：①当∠BQP ＝90°时，BP 2＝PQ 2+BQ 2，∴22106125925,399p p p +=-+++ 解得：23,3p = ∴232,,3P æöç÷ç÷èø②当∠QBP ＝90°时，P ′Q 2＝BP ′2+BQ 2，∴22106125925,399p p p -+=+++ 解得：9,p =-∴点P ′的坐标为（2，﹣9）．综上，所有符合条件的点P 的坐标为232,3æöç÷ç÷èø或()2,9P -．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．2. （2022雅安中考）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （﹣1，0），B （3，0），且与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D 的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E ，使△ACE 为Rt △，若存在，试求点E 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系中，存在点P ，满足PA ⊥PD ，求线段PB 的最小值．【答案】（1）()223,1,4y x x D =--- （2）E 的坐标为：21,3æöç÷èø或81,3æö-ç÷èø或()1,1-或()1,2.- （3）BP-【解析】【分析】（1）根据题意可设抛物线为()()13,y a x x =+-再代入C 的坐标可得函数解析式，化为顶点式可得顶点坐标；（2）如图，由()()()22132314,y x x x x x =+-=--=--可得抛物线对称轴为：1,x =设()1,,E n 而A （﹣1，0），C （0，-3），再利用勾股定理分别表示210,AC = 224,AE n =+ 22610,CE n n =++ 再分三种情况讨论即可；（3）如图，连结AD ，记AD 的中点为H ，由,PA PD ⊥ 则P 在以H 为圆心，HA为半径的的圆H 上，不与A ，D 重合，连结BH ，交圆H 于P ，则PB 最短，再求解H 的坐标，结合勾股定理可得答案．【小问1详解】解：Q 二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （﹣1，0），B （3，0），∴设二次函数为：()()13,y a x x =+-把C （0，﹣3）代入抛物线可得：33,a -=-解得：1,a =∴抛物线为：()()()2213231 4.y x x x x x =+-=--=-- ()1,4.D \-【小问2详解】如图，由()()()22132314,y x x x x x =+-=--=--可得抛物线的对称轴为：1,x =设()1,,E n 而A （﹣1，0），C （0，-3），()()222100310,AC \=--++= ()2222114,AE n n =++=+ ()()2222103610,CE n n n =-++=++ 当90EAC Ð=°时，22610410n n n ++=++，解得2,3n = 即21,,3E æöç÷ç÷èø当90ACE Ð=°时，22410610,n n n +=+++ 解得：8,3n =- 即81,,3E æöç÷-ç÷èø当90AEC Ð=°时，22461010,n n n ++++=整理得：2320,n n ++=解得：121,2,n n =-=-()()1,1,1,2,E E \--综上：E 的坐标为：21,3æöç÷èø或81,3æö-ç÷èø或()1,1-或()1,2.-【小问3详解】如图，连结AD ，记AD 的中点为H ，由,PA PD ⊥则P 在以H 为圆心，HA 为半径的圆H 上，不与A ，D 重合，连结BH ，交圆H 于P ，则PB 最短，()()1,0,1,4,A D --Q()0,2,H AD HP \-= ()3,0,B QBH \==BP \即BP -【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理的应用，二次函数与圆的综合，判断PB 最小时，P 的位置是解本题的关键．3. （2022广安中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m =++（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，其中点B 坐标为（0，－4），点C 坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D 是直线AB 下方抛物线上一个动点，连接AD 、BD ，探究是否存在点D ，使得△ABD 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB 为直角三角形，请求出点P 的坐标．【答案】（1）2142y x x =+-（2）（-2，-4） （3）P 点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(12--+，，(12---，【解析】【分析】（1）直接将B （0，-4），C （2，0）代入2y ax x m =++，即可求出解析式；（2）先求出直线AB 关系式为：4y x =--，直线AB 平移后的关系式为：4y x n =--+，当其与抛物线只有一个交点时，此时点D 距AB 最大，此时△ABD 的面积最大，由此即可求得D 点坐标；（3）分三种情况讨论，①当∠PAB =90°时，即PA ⊥AB ，则设PA 所在直线解析式为：y =x+z ，将A （-4,0）代入y =x+z 得，解得：4z =，此时P 点坐标为：（-1,3）；②当∠PBA =90°时，即PB ⊥AB ，则设PB 所在直线解析式为：y x t =+，将B （0，-4）代入y x t =+得，4t =-，此时P 点坐标为：（-1,-5）；③当∠APB =90°时，设P 点坐标为：()1p y -，，由于PA 所在直线斜率为：3py ，PB 在直线斜率为：41p y +-，3py g 41p y +-=-1，则此时P点坐标为：(12--+，，(12--，．【小问1详解】解：将B （0，-4），C （2，0）代入2y ax x m =++， 得：4420m a m =-ìí++=î，解得：412m a =-ìïí=ïî，∴抛物线的函数解析式为：2142y x x =+-．【小问2详解】向下平移直线AB ，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D 时，此时点D 到直线AB 的距离最大，此时△ABD 的面积最大，∵21402x x +-=时，12x =，24x =-，∴A 点坐标为：（-4,0），设直线AB 关系式为：0y kx b k =+¹（），将A （-4,0），B （0，-4），代入0y kx b k =+¹（），得：404k b b -+=ìí=-î，解得：14k b =-ìí=-î，∴直线AB 关系式为：4y x =--，设直线AB 平移后的关系式为：4y x n =--+，则方程21442x n x x --+=+-有两个相等的实数根，即21202x x n +-=有两个相等的实数根，∴2n =-，即212202x x ++=的解为：x =-2，将x =-2代入抛物线解析式得，()2122442y =´---=-，∴点D 的坐标为：（-2，-4）时，△ABD 的面积最大；【小问3详解】①当∠PAB =90°时，即PA ⊥AB ，则设PA 所在直线解析式为：y =x+z ，将A （-4,0）代入y =x+z 得，40z -+=，解得：4z =，∴PA 所在直线解析式为：4y x =+，∵抛物线对称轴为：x =-1，∴当x =-1时，143y =-+=，∴P 点坐标：（-1，3）；为②当∠PBA =90°时，即PB ⊥AB ，则设PB 所在直线解析式为：y x t =+，将B （0，-4）代入y x t =+得，4t =-，∴PA 所在直线解析式为：4y x =-，∴当x =-1时，145y =--=-，∴P 点坐标为：（-1，-5）；③当∠APB =90°时，设P 点坐标为：()1p y -，，∴PA 所在直线斜率为：3py ，PB 在直线斜率为：41p y +-，∵PA ⊥PB ，∴3py 41p y +-=-1，解得：12p y =-22p y =--，∴P 点坐标为：(12--+，，(12--，综上所述，P 点坐标为：（-1，3），（-1，-5），(12--，，(12---，时，△PAB 为直角三角形．【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键．4. （2022呼和浩特中考）如图，抛物线212y x bx c =-++经过点(4,0)B 和点(0,2)C ，与x 轴的另一个交点为A ，连接AC 、BC ．（1）求抛物线的解析式及点A 的坐标；（2）如图1，若点D 是线段AC 的中点，连接BD ，在y 轴上是否存在点E ，使得BDE V 是以BD 为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点P 是第一象限内抛物线上的动点，过点P 作PQ y ∥轴，分别交BC 、x 轴于点M 、N ，当PMC △中有某个角的度数等于OBC Ð度数的2倍时，请求出满足条件的点P 的横坐标．【答案】（1）213222y x x =-++；A （-1，0）； （2）存在E （0，3）或（0，-1），使得BDE V 是以BD 为斜边的直角三角形； （3）2或32【解析】【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）先根据中点坐标公式可得点1,12D æö-ç÷èø，设点E （0，m ），再根据两点坐标公式可得()22221501224DE m m m æö=--+-=-+ç÷èø，2222181424BD m m æö=++=+ç÷èø，2216BE m =+，再由勾股定理，即可求解；（3）先求出1tan 2OC OBC OB Ð==，再求出直线BC 的解析式，然后设点213,222P a a a æö-++ç÷èø，则1,22M a a æö-+ç÷èø，CF =a ，可得2122PM a a =-+，再分三种情况讨论：若∠PCM =2∠OBC ，过点C 作CF ∥x 轴交PM 于点F ；若∠PMC =2∠OBC ；若∠CPM =2∠OBC ，过点P 作PG 平分∠CPM ，则∠MPG =∠OBC ，即可求解．【小问1详解】解：把点(4,0)B 和点(0,2)C 代入，得：1164022b c c ì-´++=ïíï=î，解得：322b c ì=ïíï=î，∴抛物线的解析式为213222y x x =-++，令y =0，则213222y x x =-++，解得：121,4x x =-=，∴点A （-1，0）；【小问2详解】解：存在，理由如下：∵点A （-1，0），点(0,2)C ，点D 是线段AC 的中点，∴点1,12D æö-ç÷èø，设点E （0，m ），∴()22221501224DE m m m æö=--+-=-+ç÷èø，2222181424BD m m æö=++=+ç÷èø，2216BE m =+，∵BDE V 是以BD 为斜边的直角三角形，∴22258116244m m m m ++-+=+，整理得：2230m m --=，解得：3m =或-1，∴点E 的坐标为（0，3）或（0，-1）；【小问3详解】解：∵点B （4，0），C （0，2），∴OB =4，OC =2，∴1tan 2OC OBC OB Ð==，设直线BC 的解析式为()10y kx b k =+¹，把点B （4，0），C （0，2）代入得：11402k b b +=ìí=î，解得：1122k b ì=-ïíï=î，∴直线BC 的解析式为122y x =-+，设点213,222P a a a æö-++ç÷èø，则1,22M a a æö-+ç÷èø，CF =a ，∴2213122222122PM a a a a a -æöæö=-++-=-+ç÷ç÷èøèø+，若∠PCM =2∠OBC ，过点C 作CF ∥x 轴交PM 于点F ，如图甲所示，∴∠FCM =∠OBC ，即1tan tan 2FCM OBC Ð=Ð=，∴∠PCF =∠FCM ，∵PQ y ∥轴，∴CF ⊥PQ ，∴PM =2FM ，∴214FM a a =-+，∴21142a a a -+=，解得：解得：a =2或0（舍去），∴点P 的横坐标为2；若∠PMC =2∠OBC ，∵∠PMC =∠BMN ，∴∠BMN =2∠OBC ，∵∠OBC +∠BMN =90°，∴∠OBC =30°，与1tan 2OC OBC OB Ð==相矛盾，不合题意，舍去；若∠CPM =2∠OBC ，如图乙所示，过点P 作PG 平分∠CPM ，则∠MPG =∠OBC ，∵∠PMG =∠BMN ，∴△PMG ∽△BMN ，∴∠PGM =∠BNM =90°，∴∠PGC =90°，∵PG 平分∠CPM ，即∠MPG =∠CPG ，∴∠PCM =∠PMC ，∴PC =PM ，∴2122a a -+=，解得：32a =或0（舍去），∴点P 的横坐标为32；综上所述，点P 的横坐标为2或32．图甲 图乙【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的综合题，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．5. （2022抚顺中考） 如图，抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,4)C ，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45°得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D 在第二象限且34DE EO =时，求点D 的坐标；（3）当ODF △为直角三角形时，请直接写出点D 的坐标．【答案】（1）234y x x =--+（2）(1,6)D -或(3,4)D -（3）()3,4-或(0,4)或2ö÷÷ø或2ö÷÷ø【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点D 作DG AB ⊥于点G ，交AC 于点H ，先求出直线AC 的解析式，设()()2,34,,4D n n n H n n --++，则24DH n n =--，证明△EDH ∽△EOC 得到DH DE OC OE=，即可求出DH =3，据此求解即可；（3）分D 和F 为直角顶点进行讨论求解即可．【小问1详解】解：将(4,0),(0,4)A C -代入23y ax x c =-+得：161204a c c ++=ìí=î，解得14a c =-ìí=î，∴抛物线解析式为234y x x =--+；【小问2详解】解：过点D 作DG AB ⊥于点G ，交AC 于点H ，设过点(4,0),(0,4)A C -的直线的解析式为y kx b =+，则404k b b -+=ìí=î，解得14k b =ìí=î，∴直线AC 的解析式为4y x =+，设()()2,34,,4D n n n H n n --++，则24DH n n =--．∵DH OA OC OA ⊥，⊥，∴DG OC ∥，的∴,ECO EHD EOC EDH Ð=ÐÐ=Ð，∴EDH EOC V V ∽，∴DH DE OC OE=，∵3,44DE OC OE ==，∴3DH =，∴243n n --=解得1n =-或3n =-将1,3n n =-=-分别代入234y x x =--+得6,4y y ==∴(1,6)D -或(3,4)D -；【小问3详解】解：如图1所示，当点D 与点C 重合时，∵点A （-4，0），点C （0，4），∴OA =OC =4，∴∠OCA =∠OAC =45°，当点C 与点D 重合时，∵OP 是OD 逆时针旋转45°得到的，∴∠POD =45°，即∠FOC =45°，∴∠AOF =∠FOC =45°，又∵OA =OC ，∴OF ⊥AC ，即∠OFC =90°，∴△OFC 是直角三角形，∴此时点D 的坐标为（0，4）；如图2所示，当∠DFO =90°时，连接CD ，由旋转的性质可得∠DOF =45°，∴△DOF 是等腰直角三角形，∴OF =OD ，∠FDO =∠FCO =45°，∴C 、D 、F 、O 四点共圆，∴∠FCD =∠FOD =45°，∴∠OCD =∠FCD +∠FCO =90°，∴CD ⊥OC ，∴点D 的纵坐标为4，∴当y =4时，2344x x --+=，解得3x =-或0x =（舍去），∴点D 的坐标为（-3，4）；如图3所示，当∠ODF =90°时，过点D 作DH ⊥y 轴于H ，过点F 作FG ⊥DH 交HD 延长线于G ，同理可证△DOF 是等腰直角三角形，∴OD =DF ，∵FG ⊥DH ，DH ⊥y 轴，∴∠FGD =∠DHO =90°，∴∠GDF +∠GFD =90°，又∵∠GDF +∠HDO =90°，∴∠GFD =∠HDO ，∴△GDF ≌△HOD （AAS ），∴GD =OH ，GF =DH ，设点D 的坐标为（m ，234m m --+），∴234DH GF m OH GD m m ==-==--+，，∴244GH m m =--+，∴点F 的坐标为（244m m +-，224m m --+），∵点F 在直线AC ：4y x =+上，∴2244424m m m m +-+=--+，∴2320m m +-=，解得m =∴点D 的坐标为2ö÷÷ø或2ö÷÷ø；综上所述，点D 的坐标为（-3，4）或（0，4）或2ö÷÷ø或2ö÷÷ø【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．6. （2022恩施中考） 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线2y x c =-+与y 轴交于点()0,4P ．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线2y x c =-+向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q ，平移后的抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ．判断以B 、C 、Q 三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC 与抛物线2y x c =-+交于M 、N 两点（点N 在点M 的右侧），请探究在x 轴上是否存在点T ，使得以B 、N 、T 三点为顶点的三角形与ABC V 相似，若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线2y x c =-+进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC 最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线2y x c =-+平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【答案】（1）24y x =-+（2）以B 、C 、Q 三点为顶点的三角形是直角三角形，理由见解析（3）存在，T ö÷÷ø或T ö÷÷ø，（4527,88æöç÷èø【解析】【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式；（2）分别求得B 、C 、Q 的坐标，勾股定理的逆定理验证即可求解；（3）由CBA NBT Ð=Ð，故分两种情况讨论，根据相似三角形的性质与判定即可求解；（4）如图，作l BC ∥且与抛物线只有1个交点，交y 轴于点D ，过点C 作CE l ⊥于点E ，则DEC V 是等腰直角三角形，作EF DC ⊥于F ，进而求得直线l 与BC 的距离，即为所求最短距离，进而求得平移方式，将顶点坐标平移即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线2y x c =-+与y 轴交于点()0,4P ∴4c =\抛物线解析式为24y x =-+【小问2详解】以B 、C 、Q 三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：Q 24y x =-+的顶点坐标为()0,4P 依题意得，()1,4Q -\平移后的抛物线解析式为()214y x =-++令0y =，解()2140x -++=得123,1x x =-=()()1,03,0A B \-，令0x =，则3y =，即()0,3C()222222222331811231420BC CQ QB \=+==+==-++=，，222BC CQ QB \+=\以B 、C 、Q 三点为顶点的三角形是直角三角形【小问3详解】存在，T ö÷÷ø或T ö÷÷ø，理由如下，()3,0B -Q ，()03C ，，3OB OC \==\OBC V 是等腰直角三角形设直线BC 的解析式为y kx b =+，则303k b b -+=ìí=î，解得13k b =ìí=î，\直线BC 的解析式为3y x =+，联立234y x y x =+ìí=-+î解得11x y ì=ïïíïïî，22x y ì=ïïíïïîN \Q ()()1,0,3,0A B -，()0,3C ，OBC V 是等腰直角三角形\4AB =，BC ==设直线AC 的解析式为y mx n =+,03m n n +=ì\í=î33m n =-ì\í=î\直线AC 的解析式为33y x =-+当NT AC ∥时，BNT BCA V V ∽设NT 的解析式为3y x t =-+，由NT 过点N3t =-+解得1t =+\NT 的解析式为31y x =-++，令0y =解得x =T ö\÷÷ø3BT \=+=Q BNT BCA V V ∽，BT BN BA BC\==BN \=②当BNT BAC V V ∽时，则BT BN BC BA ==解得154BT =+3OB =QT ö\÷÷ø综上所述，T ö÷÷ø或T ö÷÷ø【小问4详解】如图，作l BC ∥，交y 轴于点D ，过点C 作CE l ⊥于点E ，则DEC V 是等腰直角三角形，作EF DC ⊥于FQ 直线BC 的解析式为3y x =+设与BC 平行的且与24y x =-+只有一个公共点的直线l 解析式为y x b=+则24y x y x bì=-+í=+î整理得：240x x b ++-=则()21440b D =--=解得174b =\直线l 的解析式为174y x =+175344CD \=-=，1528EF FC CD ===54CE\===即拋物线2y x c=-+EC方向()0,4PQ∴把点P先向右平移EF的长度，再向下平移FC的长度即得到平移后的坐标\平移后的顶点坐标为55,488æö-ç÷èø，即52788æöç÷èø，【点睛】本题是二次函数综合，考查了相似三角形的性质，求二次函数与一次函数解析式，二次函数图象的平移，勾股定理的逆定理，正确的添加辅助线以及正确的计算是解题的关键．7. （2022海南中考）如图1，抛物线2y ax2x c=++经过点(1,0)(0,3)A C-、，并交x 轴于另一点B，点(,)P x y在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P 的坐标为(1,4)时，求四边形BOCP 的面积；（3）点Q 在抛物线上，当PD AD的值最大且APQ V 是直角三角形时，求点Q 的横坐标；【答案】（1）2y x 2x 3=-++（2）152（3）点Q 的横坐标为76，113，52，1．【解析】【分析】（1）将A 、C 两点坐标代入解析式求解即可；（2）如图，连接OP ，令2230y x x =-++=，求得点B 的坐标，再根据各点的坐标确定OC 、OB 的长，然后再根据POC BOP BOCP S S S +=V V 四边形求解即可；（3）如图，作PF x ∥轴，交直线BC 于点F ，可得PFD ABD △∽△，即PD PF AD AB =，进一步说明当PF 最大时，PD PF AD AB=最大．设()2,23P m m m -++，则()222,23F m m m m --++，根据线段的核查运算求得PF 的最大值；设点()2,23Q t t t -++，若APQ V 是直角三角形，则点Q 不能与点P 、A 重合，∴3,12t t ¹¹-，再分90APQ Ð=°、90PAQ Ð=°、90AQP Ð=°三种情况解答即可．【小问1详解】解：∵抛物线2y ax 2x c =++经过点(1,0)(0,3)A C -、,∴203a c c -+=ìí=î解得13a c =-ìí=î∴该抛物线的函数表达式为2y x 2x 3=-++．【小问2详解】解：如图，连接OP ，令2230y x x =-++=，∴121,3x x =-=．∴(3,0)B ∵(0,3),(1,4)C P ，∴3,3,1,4P P OC OB x y ====．∴131,6222POC P BOP P S OC x S OB y =×==×=△△．∴152POC BOP BOCP S S S +==V V 四边形．【小问3详解】解：如图，作PF x ∥轴，交直线BC 于点F ，则PFD ABD △∽△．∴PD PF AD AB=．∵4AB =是定值，∴当PF 最大时，PD PF AD AB=最大．设BC y kx b =+，∵(0,3),(3,0)C B ，∴3BC y x =-+．设()2,23P m m m -++，则()222,23F m m m m --++．∴()222392324PF m m m m m m æö=--=-+=--+ç÷èø．∴当32m =时，PF 取得最大值94，此时315,24P æöç÷èø．设点()2,23Q t t t -++，若APQ V 是直角三角形，则点Q 不能与点P 、A 重合，∴3,12t t ¹¹-，下面分三类情况讨论：①若90APQ Ð=°，如图，过点P 作2PP x ⊥轴于点2P ，作12QP P P ⊥交2PP 的延长线于点1P ，则12PPQ AP P △∽△．∴1212QP PP PP AP =．∴23152415323142t t t -=-++-+．∵32t ¹，∴13122t =-．∴76t =．②若90PAQ Ð=°，如图，过点P 作直线1PA x ⊥轴于点1A ，过点Q 作2QA x ⊥轴于点2A ，12APA QAA ∽△△．∴1212PA AA AA QA =．∴2151432312t t t +=--+．∵1t ¹-，∴3123t =-．∴113t =．③若90AQP Ð=°，如图，过点Q 作1Q Q x ⊥轴于点1Q ，作21PQ Q Q ⊥交1Q Q 的延长线于点2Q ，则21PQQ QAQ ∽△△．∴2121PQ QQ QQ AQ =．∴()223232151234t t t t t t --++=+--++．∵3,12t t ¹¹-，∴2321t t =--．∴1251,2t t ==．综上所述，当PD AD 的值最大且APQ V 是直角三角形时，点Q 的横坐标为76，113，52，1．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何图形的综合、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论思想，灵活应用相关知识以及分类讨论思想成为解答本题的关键．8. （2022山西侯马二模）如图，抛物线23y ax bx =+-经过()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，P 为第四象限内抛物线上一点，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，连接AC ，AP ，AP 与y 轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当∠MPA ＝2∠PAC 时，求直线AP 的函数表达式．（3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点E ，使以E ，M ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--；（2）4433y x =--； （3）存在，点E 坐标为321,9æö-ç÷èø或101,27æöç÷èø或31,2æ-+çè或31,2æ--çè【解析】【分析】（1）把()1,0A -，()3,0B 分别代入23y ax bx =+-，解方程组即可；（2）先根据平行线的性质得到∠MPA ＝∠ODA ，然后再由三角形外角的性质得到△ADC 为等腰三角形，求出点D 的坐标，由A 、D 两点的坐标即可求得直线AP 的函数解析式；（3）先求出M 点坐标，设点E 的坐标为()1,n ，用含n 的代数式分别表示出2CM ，2CE ，2ME ，然后进行分类谈论依次解出点E 对应的坐标．【小问1详解】的解：把()1,0A -，()3,0B 分别代入23y ax bx =+-，得309330a b a b --=ìí+-=î．解得12a b =ìí=-î．∴抛物线的函数表达式为223y x x =--；【小问2详解】解：根据题意，得MP OD ∥．∴∠MPA ＝∠ODA ．又∵∠MPA ＝2∠PAC ，∴∠ODA ＝2∠PAC ．又∵∠ODA ＝∠DAC ＋∠ACD ，∴∠DAC ＝∠ACD ．∴CD ＝AD ．在223y x x =--中，令0x =，解得3y =-，∴()0,3C-．设OD ＝m ，则AD ＝CD ＝3－m ．∵()1,0A -，∴OA ＝1．在Rt △AOD 中，根据勾股定理，得()22213m m +=-．解得43m =．∴40,3D æö-ç÷èø．设直线AP 的函数表达式为y kx c =+．把()1,0A -，40,3D æö-ç÷èø分别代入，得0,4.3k c c -+=ìïí=-ïî解得4,34.3k c ì=-ïïíï=-ïî∴直线AP 的函数表达式为4433y x =--；【小问3详解】解：存在，点E 的坐标为321,9æö-ç÷èø或101,27æöç÷èø或31,2æ-+çè或31,2æ--çè．令2442333x x x --=--，解得11x =-，253x =．∴点P 的横坐标为53．∵PM ⊥x 轴，∴5,03M æöç÷èø．由223y x x =--，得抛物线的对称轴为直线12b x a=-=，由（2）可得()0,3C -．设点E 的坐标为()1,n ，则2225106339CM æö=+=ç÷èø，()22213CE n =++，22254139ME n n æö=-+=+ç÷èø．若∠MCE ＝90°，则222CM CE ME +=，即()22210641399n n +++=+，解得329n =-．若∠CME ＝90°，则222CM ME CE +=，即()22210641399n n ++=++，解得1027n =．若∠CEM ＝90°，则222CE ME CM +=，即()22241061399n n ++++=，解得132n =-+，232n =--．综上所述，点E 的坐标为321,9æö-ç÷èø或101,27æöç÷èø或31,2æ-+çè或31,2æ--çè．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像与性质，直角三角形的性质是解决问题的关键．9．（2021烟台中考）（14分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣2，0），B （4，0），与y 轴正半轴交于点C ，且OC ＝2OA ，抛物线的顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．直线y ＝mx +n 经过B ，C 两点．（1）求抛物线及直线BC 的函数表达式；（2）点F 是抛物线对称轴上一点，当FA +FC 的值最小时，求出点F 的坐标及FA +FC 的最小值；（3）连接AC ，若点P 是抛物线上对称轴右侧一点，点Q 是直线BC 上一点，试探究是否存在以点E 为直角顶点的Rt △PEQ ，且满足tan ∠EQP ＝tan ∠OCA ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交BC 于点F ，则点F 为所求点，此时，当FA +FC 的值最小，进而求解；（3）①当点Q 在点P 的左侧时，证明△QME ∽△ENP ，则＝tan ∠EQP ＝。

二次函数普及拓展题之阳早格格创做一、采用题1. 如图所示，已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的顶面P 的横坐标是4，图象接x 轴于面A(m ，0)战面B ，且m>4，那么AB 的少是( )A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m2.已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有接面，则k 的与值范畴是( )A ．k ＜4B ．k ≤4C ．k ＜4且k ≠3D ．k ≤4且k ≠3 3.若x 1，x 2（x 1＜x 2）是圆程（x-a ）（x-b ）=1（a ＜b ）的二个根，则真数x 1，x 2，a ，b 的大小闭系为（ ）A 、x 1＜x 2＜a ＜bB 、x 1＜a ＜x 2＜bC 、x 1＜a ＜b ＜x 2D 、a ＜x 1＜b＜x 24.如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ACB =90°，AB =AD ，AC =4BC ，设CD 的少为x ，四边形ABCD 的里积为y ，则y 与x 之间的函数闭系式是（ ）A ． 2425y x =B ．225y x =C ．2225y x =D ．245y x =5.如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 正在x 轴上，顶面C 正在y 轴正半轴上，B （4,2），一次函数1y kx =-的图象仄分它的里积，闭于x 的函数()232y mx m k x m k =-+++的图象与坐标轴惟有二个接面，则m 的值为（ ）.A ．0B ．21-C ．－1D ．0或者21-或者－1 A B C D 第5图二、挖空题6.如图所示，P 是边少为1的正三角形ABC 的BC 边上一面，从P 背AB 做垂线PQ ，Q 为垂脚．延少QP 与AC 的延少线接于R ，设BP =x （0≤x ≤1），△BPQ 与△CPR 的里积之战为y ，把y 表示为x 的函数是______________________．7.如图是二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 战一次函数y 2＝mx ＋n 的图象，瞅察图象写出y 2≥y 1时，x 的与值范畴______________．______.三、解问题8.已知：如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴接于A 、B 二面，其中A 面坐标为(-1，0)，面C(0，5)，另扔物线通过面(1，8)，M 为它的顶面. (1)供扔物线的剖析式； (2)供△MCB 的里积9.如左图，扔物线n x x y ++-=52通过面)0,1(A ，与y轴接于面B .（1）供扔物线的剖析式；（2）P 是y 轴正半轴上一面，且△P AB 是以AB为腰的等腰三角形，试供面P 的坐标. 10知：正在△ABC 中，BC ＝20，下AD ＝16，内接矩形EFGH 的顶面 O xy 1 -1 B A H AG第6图E、F正在BC上，G、H 分别正在AC、AB上，供内接矩形EFGH的最大里积.问案采用题1.考面：二次函数的图象特性.剖析：果为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶面P的横坐标是4，所以扔物线对于称轴地圆曲线为x=4，接x 轴于面D，所以A、B二面闭于对于称轴对于称，果为面A(m，0)，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，问案选C.2.解问：解：①当k－3≠0时，(k－3)x2＋2x＋1＝0，△＝b2－4ac＝22－4(k－3)×1＝－4k＋16≥0，k≤4；②当k－3＝0时，y＝2x＋1，与x轴有接面．故选B．3解问：解：∵x1战x2为圆程的二根，∴（x1-a）（x1-b）=1且（x2-a）（x2-b）=1，∴（x1-a）战（x1-b）共号且（x2-a）战（x2-b）共号；∵x1＜x2，∴（x1-a）战（x1-b）共为背号而（x2-a）战（x2-b）共为正号，可得：x1-a＜0且x1-b＜0，x1＜a且x1＜b，∴x1＜a，∴x2-a＞0且x2-b＞0，∴x2＞a且x2＞b，∴x2＞b，∴综上可知a，b，x1，x2的大小闭系为：x1＜a＜b＜x2．故选C．挖空题6问案：43238332+-=x x y 7考面:函数的图像战本量:剖析:图像辨别,不妨瞅出21x -≤≤解问题8(1)依题意：(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x 1=5，x 2=-1 ∴B(5，0)由，得M(2，9)做ME ⊥y 轴于面E ， 则可得S △MCB =15. 9 解：（1）由题意得051=++-n . ∴4-=n . ∴扔物线的剖析式为452-+-=x x y .（2）∵面A 的坐标为（1，0），面B 的坐标为)4,0(-. ∴OA =1，OB =4. 正在Rt △OAB 中，1722=+=OB OA AB ，且面P 正在y 轴正半轴上. ①当PB =P A 时，17=PB . ∴417-=-=OB PB OP . 此时面P 的坐标为)417,0(-. ②当P A =AB 时，OP =OB =4 此时面P 的坐标为（0，4）.10HG=x ，PD=y ，根据矩形的对于边仄止可得HG ∥EF ，而后得到△AHG 与△ABC 相似，根据相似三角形对于应下的比等于相似比列出比率式，用x 表示出y ，而后根据矩形的里积公式供解并整治，再利用二次函数的最值问题举止供解即可．解：如图，设HG=x ，PD=y ，∵四边形EFGH 是矩形，∴HG ∥EF ，∴△AHG ∽△ABC ，∴=，∵BC=20，AD=16，∴=，解得y=﹣x+16，∴矩形EFGH的里积=xy=x（﹣x+16）=﹣（x﹣10）2+80，∴当x=10，即HG=10时，内接矩形EFGH有最大里积，最大里积是80．。

高中数学二次函数相关题型分析在高中数学中，二次函数是一个重要的内容，涉及到的题型也比较多样化。

掌握了二次函数的相关知识和解题技巧，对于学生来说是非常有益的。

本文将对高中数学中的二次函数相关题型进行分析，并给出解题技巧和实例。

一、二次函数图像的性质题二次函数的图像是一个抛物线，其性质包括开口方向、最值、对称轴等。

在解答此类题目时，首先需要根据给定的函数表达式确定抛物线的开口方向，即判断二次函数的系数a的正负。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

接下来，我们需要确定抛物线的最值和对称轴。

对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，最值可以通过求导数或者利用二次函数的顶点公式来求得。

对称轴是抛物线的对称轴，可以通过对称轴公式x=-b/2a来求得。

例如，已知二次函数y=2x^2-4x+3，我们可以通过判断系数a的正负来确定抛物线的开口方向，由于a>0，所以抛物线开口向上。

然后，我们可以通过求导数或者利用顶点公式来求得最值。

对于这个函数，可以通过顶点公式x=-b/2a来求得对称轴。

根据公式，我们可以得到x=-(-4)/(2*2)=1，因此对称轴为x=1。

二、二次函数与方程题二次函数与方程的关系密切，可以通过二次函数的图像来解决方程问题，也可以通过方程来确定二次函数的性质。

在解答此类题目时，我们需要根据给定的条件建立方程，并通过求解方程来得到所需的结果。

例如，已知二次函数y=ax^2+bx+c与直线y=k交于两个不同的点，我们可以建立方程ax^2+bx+c=k，并通过求解方程来确定交点的横坐标。

解方程后，我们可以得到两个不同的解，分别代入二次函数中，求得对应的纵坐标。

三、二次函数的应用题二次函数的应用题主要涉及到最值问题和实际问题的建模。

在解答此类题目时，我们需要根据实际情况建立二次函数模型，并通过求解最值或者利用二次函数的性质来解决问题。

例如，已知一个矩形的周长为16cm，求矩形的最大面积。

二次函数提高拓展题一、选择题1. 如图所示，已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x 轴于点A(m ，0)和点B ，且m>4，那么AB 的长是( ) A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m2.已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值围是( ) A ．k ＜4 B ．k ≤4 C．k ＜4且k ≠3 D ．k ≤4且k ≠33.若x 1，x 2（x 1＜x 2）是方程（x-a ）（x-b ）=1（a ＜b ）的两个根，则实数x 1，x 2，a ，b 的大小关系为（ ）A 、x 1＜x 2＜a ＜bB 、x 1＜a ＜x 2＜bC 、x 1＜a ＜b ＜x 2D 、a ＜x 1＜b ＜x 2 4.如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ACB =90°，AB =AD ，AC =4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ） A ．2425y x =B ．225y x =C ．2225y x =D ．245y x =5.如图，等腰梯形ABCD 的底边AD 在x 轴上，顶点C 在y 轴正半轴上，B （4,2），一次函数1y kx =-的图象平分它的面积，关于x 的函数()232y mx m k x m k =-+++的图象与坐标轴只有两个交点，则m 的值为（ ）. A ．0B ．21-C ．－1D ．0或21-或－1二、填空题6.如图所示，P 是边长为1的正三角形ABC 的BC 边上一点，从P 向ABA BC D第5图 第6图作垂线PQ，Q为垂足．延长QP与AC的延长线交于R，设BP=x（0≤x≤1），△BPQ与△CPR的面积之和为y，把y表示为x的函数是______________________．7.如图是二次函数y1＝ax2＋bx＋c和一次函数y2＝mx＋n的图象，观察图象写出y 2≥y1时，x的取值围______________．8.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是---------------------。

二次函数的变形与拓展应用二次函数是高中数学中重要的一个概念，它在实际生活中有着广泛的应用。

本文将着重介绍二次函数的变形，以及它在实际问题中的拓展应用。

1. 二次函数的基本形式二次函数的基本形式可以表示为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于0。

此形式的二次函数典型的抛物线形状，开口方向由a的正负决定。

2. 二次函数的变形2.1 平移平移是一种常见的变形方式。

对于二次函数y = ax² + bx + c来说，平移即是将抛物线沿平行于坐标轴的方向进行移动。

平移的方向和距离由b和c的值决定。

2.2 翻折翻折是另一种常见的变形方式。

通过对二次函数y = ax² + bx + c中的x进行变换，可以得到y = a(-x)² + b(-x) + c形式的函数，即对称于y 轴。

这种变形可以将抛物线上下对称。

2.3 压缩与拉伸通过改变二次函数的系数a的大小，可以实现对抛物线的压缩和拉伸。

当a的绝对值大于1时，抛物线被压缩，开口变窄；当a的绝对值小于1时，抛物线被拉伸，开口变宽。

3. 二次函数的拓展应用3.1 最值问题利用二次函数的图像特点，我们可以解决一些涉及最值的问题。

例如，已知二次函数的开口朝上，可以通过求解顶点来确定函数的最小值；已知二次函数的开口朝下，则可以求解顶点来确定函数的最大值。

这在求解一些优化问题中非常实用。

3.2 路程问题二次函数也可以用来解决一些与速度、时间、路程相关的问题。

例如，已知汽车行驶一段路程的时间与速度的关系可以用二次函数来表示，通过求解函数的零点，可以得到汽车的起点和终点。

3.3 几何问题二次函数在几何中也有重要应用。

例如，通过给定一个抛物线上的点和该点处的切线斜率，可以确定抛物线的方程；通过给定一个抛物线上的三个点，可以确定抛物线的图像。

4. 总结二次函数的变形和拓展应用使我们可以更好地理解和应用这个函数。

通过了解平移、翻折、压缩与拉伸等变形方式，我们可以更灵活地描述实际问题。