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非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅里叶级数 ; 有效值、平均值和平均功率、 非正弦周期电流电路的计算

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第13章 非正弦

第13章 非正弦

u = U 0 + u1 = U 0 + U1m sinω t
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t
此时电路中的电流也是非正弦周期量。 此时电路中的电流也是非正弦周期量。 即：
u U 0 U 1m i= = sinω t + R R R
三、非正弦周期电流电路的分析方法 谐波分析法 既然不同频率的正弦量和直流分量可以叠加成一 个周期性的非正弦量， 个周期性的非正弦量，那么反过来一个非正弦的周期 量是否也可分解为正弦分量和直流分量呢？ 量是否也可分解为正弦分量和直流分量呢？数学上已 有了肯定的答案，一切满足狄里赫利条件的周期函数 有了肯定的答案， 都可以分解为傅里叶级数。 都可以分解为傅里叶级数。 这样就可将非正弦周期量分解为若干个正弦交流 电路来求解。 电路来求解。 分解合成法
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bK =
π∫
Im
1
2π
0
iS (ω t )sinkω td(ω t)
0 K为偶数 2I = m kπ K为奇数
1 π (− cos kω t ) 0 = π k
2 K 2 K
2Im AK = b + a = bK = 为奇数） （K为奇数） kπ − bK o ψK = arctan = −90 aK
1 T 2 I= ∫0 i dt i = I0 + i1 + i2 +K T 2 2 2 2 i = I0 + i1 + i2 +K
) ) + 2I0(i1 + i2 +K + 2(i1i2 + i1i3 +K +K
1 T 2 2 2 ∫0 Adt = I0 + I1 + I2 +K T 1 T 1 T 正交性 ∫0 Bdt = 0 T ∫0 Cdt = 0 得证 T

非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅里叶级数 ; 有效值、平均值与平均功率、 非正弦周期电流电路共4

非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅里叶级数 ; 有效值、平均值与平均功率、 非正弦周期电流电路共4

非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅 里叶级数 ; 有效值、平均值与平均功
率、 非正弦周期电流电路
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的源自生71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非

大学电路第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱课件

大学电路第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱课件

21 7 ) = 3[1+ j(0.143k − )] k k 3 Z(kω1) = cosϕ(k)
返 回
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电路 第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱 章 ϕ 7 cos (k) & P =1.5I 2m(k) & ϕ(k) = arctan(0.143k − ) Im(k) = Usm(k)∠−ϕ(k) (k) k 3 us=[280.11cos(ω1t)+93.37cos(3ω1t)+56.02cos(5ω1t)+ 40.03cos(7ω1t)+31.12cos(9ω1t)+…]V
& Im(k) =
& Usm(k) Z (kω1)
=
& Usm(k) R + jkω1L − j 1 kω1C
_
d
Z(kω1) = R + j(kω1L −
1 kω1C
) = 3 + j(0.429k −
则有
7 ϕ(k) = arctan(0.143k − ) k cosϕ(k) & & Im(k) = Usm(k)∠−ϕ(k) 3 1 2 P = I m(k) R =1.5I 2m(k) (k) 2
电路
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱 章
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱 本章重点
13.1 13.2 13.3 13.4 非正弦周期信号 周期函数分解为傅里叶级数 有效值、 有效值、平均值和平均功率 非正弦周期电流电路的计算 小结
电路
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱 章
重点
基波
三次谐波
T
t

第十二章 非正弦周期电流电路

第十二章 非正弦周期电流电路
IS 0
is1
is3
华东理工大学 上 页 下
页
§12-3 有效值、平均值和平均功率
一. 有效值
根据周期量有效值的定义, 为其方均根值:
I
1 T
0
T
[it ] dt U
2
1 T
0
T
[u t ]2 dt
it I 0 I km cos(k1t k )
k 1
P U 0 I 0 U k I k cos k
k 1

（三角函数的正交性）
U 0 I 0 U 1 I1 cos1 U 2 I 2 cos 2 U k I k cos k
Um Im 式中 : U k , Ik , k uk ik , k 1,2, 华东理工大学 2 2
0
ui
t
+ uo
③非正弦激励下的线性电路
0
－
+
0
t
ui
t
uo
0
t
页
－ 华东理工大学 上 页 下
§12-2 周期函数分解为傅里叶级数 (谐波分析) 一. 数学分析
设非正弦周期电流i(t)=i(t+T) ,当满足狄里赫利条件 ( ① i(t)在一周期内连续or有有限多个第一类间断点; ② i(t)在一周期内有有限多个极大值与极小值 )时, 可展成收敛的傅里叶级数：
I av
1 T i dt 0 T
例：正弦电流的平均值 为 1 T 2 I av 0 I m cost dt I M 0.898 I M 0.637 I T 恒定分量（直流分量） 磁电系仪表：
电磁系仪表： 全波整流仪表：

川大雷勇院长电路第13章课件

川大雷勇院长电路第13章课件

补例1
* L1 i2(t)
M L C R2 * 2
R1 =R2 =10Ω，ωL2 =25Ω , 1/ωC=ωL1=ωM=10Ω , i1(t) 求i1(t),i2(t)及有效值 uS(t) R1
解：
uS (t)=2+4cosωt +2cos(2ωt +30º ) V,
补例1
* L1 i2(t)
M L C R2 * 2 M
f 22
正弦量的平方
1 T 2 2 ∫0 f dt = F T
f 42
f32
5 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
f1 f 2
同频正弦量相乘
积分=0 为什么?
f3
f1 f 3
f1
不同频正弦量相乘
T /2
f1
f2
T /2
f3 f4
T /2
ak = Akm cosψ k , bk = − Akm sinψ k Akm = a k2 + bk2 , ψ k = tan −1 ( −bk / a k )
f ( t ) = A0 + ∑ Akm cos ( k ω 1 t + ψ k )
k =1ห้องสมุดไป่ตู้直流分量 ∞
a0 = A0
Akm 和 k ω 1的关系
K=5
K=7
K=31
K=81
§13-3 有效值、平均值和平均功率
f1 = 2 cos( 2t ) f 2 = 2.5 cos( 2t + 60° ) f 3 = 3 cos( t ) f 4 = 2 cos( t − 90° ) 1 T ∫ fdt = 0 T 0 f3 f1 f2 f4

非正弦周期信号的分解及有效值、平均功率

非正弦周期信号的分解及有效值、平均功率

k 1
k 1
式中： k uk ik
可见：非正弦周期电流电路的平均功率为直流分量的功率
与各次谐波单独作用时的平均功率之和。
同时可知：不同次的谐波电流与电压之间，只能构成瞬时 功率，不能构成平均功率。只有同次谐波的电流与电压之间， 才能既构成瞬时功率，又构成平均功率。
P181 [例6 －1] 求电动系电压表v、电 流表A和功率表W的读数。
解：电压表读数是u的有效值
U 102 (141.4)2 ( 28.28)2 102.5V
加，波形比较接近方波， 次谐波的叠加，更接近
但起伏较大
原方波，还有些小的起伏
方波电流信号的傅里叶级数为:
f
(t)
4Im
sin t
1 sin 3t
3
1 sin 5t
5
1 sin kt
k
其中k取奇数，取多少项为好依计算要求的精确度而定。
分解出来的各次谐波，随着 频率的增加振幅衰减。这种规律 体现在频谱图中。方波信号的频 谱图见右图。
内容简介
本教材理论推导从简，计算思路交待详细，概念述 明来龙去脉，增加例题数量和难度档次，章节分 “重计 算”及“重概念”两类区别对待，编排讲究逐步引深的 递进关系，联系工程实际，训练动手能力，尽力为后续 课程铺垫。借助类比及对偶手法，语言朴实简练，图文 印刷结合紧密，便于自学与记忆，便于节省理论教学时 数。适用于应用型本科及高职高专电力类、自动化类、 机电类、电器类、仪器仪表类、电子类及测控技术类专 业。
3
1 sin(5t)+...+ 1 sin(kt)+...]
5
k
名称
全波整 流波
波形图
傅立叶级数

非正弦周期函数的有效值和平均功率


iS
Im 2
2Im
(s in t
1 sin 3t
3
iS
Im
1 sin 5t )
5
T/2 T
t
代入已知数据： Im 157 μA, T 6.28 μs
上页 下页
直流分量
I0
Im 2
157 2
78.5μA
基波最大值
I1m
2Im
2 157 3.14
100 A
三次谐波最大值 五次谐波最大值
iS3
C
3L 3106 103 3kΩ
＋ R
L u3
－
Z(3 ) (R jXL3)( jXC 3) 374.5 89.19
R j( XL3 XC 3)
U 3
IS 3
Z(3 )
33.3 106 2
90 374.5
89.19
12.47 179.2mV 2
上页 下页
（d）五次谐波作用 iS5 20sin(5106 t)A
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
周期性方波波形分解
直流分量
基波
t
t
三次谐波
五次谐波 t
七次谐波
上页 下页
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
直流分量+基波
直流分量
基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
上页 下页
iS
Im
T/2 T
t
等效电源

非正弦周期信号有效值、平均值、功率

非正弦周期信号有效值、平均值、功率
1 ．有效值：
（1 ）周期量有效值的定义：
留意：对于非正弦周期信号，其最大值与有效值之间并无关系。

（2 ）非正弦周期量：
函数
则有效值为：
利用三角函数的正交性得：
同理非正弦周期电流的有效值为：
结论：周期函数的有效值为直流重量及各次谐波重量有效值平方和的方根。

2 ．平均值：
非正弦周期性函数的平均值为直流重量：
明显正弦周期性函数的平均值为0
3 ．功率：
如图所示，所示一端口N 的端口电压u ( t ) 和电流i ( t ) 的关联参考方向下，一端口电路汲取的瞬时功率和平均功率为
一端口电路的端口电压u ( t ) 和电流i ( t ) 均为非正弦周期量，其傅里叶级数形式分别为
在图示关联参考方向下，一端口电路汲取的平均功率
将上式进行积分，并利用三角函数的正交性，得
上式表明，不同频率的电压与电流只构成瞬时功率，不能构成平均功率，只有同频率的电压与电流才能构成平均功率；电路的平均功率等于直流重量和各次谐波重量各自产生的平均功率之和，即平均功率守恒。

即：平均功率＝直流重量的功率＋各次谐波的平均功率。

电路 第五版邱关源 第十三章


bk 0
－T/2 o
f (t)
T/2
T/2
t
f (t ) f ( t )
③奇谐波函数
ak 0
-T/2
o f (t)
t
T f (t ) f (t ) 2
k 1
a2 k b2 k 0 o
T/2
T
t
9
f 2013-12-8 a0 [ak cos k1 t bk sin k1t ] (t )
4.166 89.53 mV U5 2
u U 0 u1 u3 u5 1.57 5000 sin t 12.47 sin( 3t 89.2 ) 4.166 sin( 5t 89.53 ) mV
2013-12-8
34
例
解 C1中只有基波电流， 说明L和C2对三次谐波 发生并联谐振。即：
第13章 非正弦周期电流电路 和信号的频谱
13.1 非正弦周期信号
13.2 周期信号分解为傅里叶级数 13.3 有效值、平均值和平均功率 13.4 非正弦周期电流电路的计算
13.5 对称三相电路中的谐波
2013-12-8
1
13.1 非正弦周期信号
半波整流电路的输出信号
示波器内的水平扫描电压 周期性锯齿波
IS0
R
I S 0 78.5μA
电容断路，电感短路
Uo
U0 RIS 0 20 78.5 10 1.57mV
6
2013-12-8
30
（b)基波作用
is1 100 sin 10 t μA
6
1 1 j1kΩ 6 12 j1C j10 1000 10 j1 L j10 10 j1kΩ

第十二章 非正弦周期电流电路和信号的频谱


k
)
其中:
A
0
： 恒定分量 (直流分量)
： 一次谐波。
A 1 m cos( t 1 )
也称为基波分量。
A km cos( k 1 t k )
k 2 ,3 , 4 ,
称为高次谐波（如2次谐波、3次谐波等等）。
二、 频谱(图):
(1) 幅度频谱： (2) 相位频谱：
A km k 1

(sin t
1 3
sin 3 t )
f(t) A
O
t
O
t
f1 ( t )
f 1 (t) 4 A /
4A

sin t
f 3 ( t) A
f3 (t )
4A

(sin t
1 3
sin 3 t
1 5
sin 5 t )
O
t
O
t
f (t ) f3 (t )
电容对低频电流有抑制作用, 电感对低频电流起分流作用。
12-6
付里叶级数的指数形式
一、 付里叶级数的指数形式：
付里叶级数的指数形式：
f (t )
其中：
ck 1 T

k

cke
jk 1 t

T
f (t )e
jk 1 t
dt
0
二、 说明：
因为： 且：
A km cos( k 1 t k ) 1 2 A km e
P

k 1
U k I k cos k Leabharlann pk ok
p
k o
k

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T /2
0
ak

2
2
0
iS (t ) cos kt d (t )
2I m 1 sin kt 0 0 k
11
bk

Im
1
2
0
iS (t ) sin ktd(t )
1 ( cos k t ) 0 k
若k为偶数，bk=0
2I m 若k为奇数， bk k
2
0
k p
17
2. 非正弦周期信号的有效值 设 i (t ) I 0 则有效值:
1 T 2 I i dt 0 T 1 T 0
1 I T 0
T
I
k 1

km
cos( k1t k )
T
I 0 I km cosk1t k dt k 1
k 1
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
9

f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1

式中：A0——直流分量
Akm cos( k1t k ) ——k次谐波分量
振幅 角频率 初相位
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率

2
2 2 I 2 I I cos k t I cos k t 0 0 km 1 k 1 k dt km k 1 k 1
18
1 T 2 2 I I 0 I km cos 2 k1t k 2 I km I jm cosk1t k cos j1t j dt T 0 k 1 k , j 1 k j
21
4. 非正弦周期电路的平均功率
u (t ) U 0 U km cos( k1t uk )
i (t ) I 0 I km cos( k1t ik )
k 1

k 1
1 T 1 T P pdt uidt T 0 T 0 利用三角函数的正交性，得：
f (t ) a0 [a1 cos(1t ) b1 sin( 1t )] [a2 cos( 21t ) b2 sin( 21t )] [ak cos( k1t ) bk sin( k1t )]
k=0,1,2,…
f (t ) a0 [ak cos( k1t ) bk sin( k1t )]
第十三章 非正弦周期电流电 路和信号的频谱
§13-1 非正弦周期信号 §13-2 周期函数分解为傅里叶级数
§13-3 有效值、平均值和平均功率
§13-4 非正弦周期电流电路的计算
1
§13-1 非正弦周期信号在 Nhomakorabea产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。
在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方
面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。 例 半波整流电路的输出信号
各次谐波分量的复振幅（振幅相量）随频率变化 的分布图称为信号的频谱。 振幅随频率变化的图形称为幅度谱，初相位随频 率变化的图形称为相位谱。
Um V
5
10
10 10 10 10 2 3 4 5
2 3 4 5
o
k
15
锯齿波电压的幅度谱
周期性信号频谱的特点： 1）离散性：离散的线状谱
U o (1)
R 89.4526.57 V U S(1) R jX C (1)
24
三次谐波单独作用： 300 V U
S( 3)
jXC(3) + R U o(3) _
X C ( 3)
1 3000 2 10 6
+ U S( 3) 166.67 _
2）若R>>1/C，则输入信号无衰减地传输到输出端
25
例2 已知： R 20, L 1mH,
C 1000pF, I m 157μA, T 6.28μS
iS
求电压u（计算到3次谐波）。 解
I m 2I m 1 iS (sin t sin 3t ) 2 3
U o ( 3)
R 29.599.46 V U S ( 3) R jX C (3)
uo 126.48 cos(1000t 26.57 ) 41.84 cos(3000t 9.46 ) V 2 2 89.45 29.59 PP 8.88W 1P 3 3 3 10 10 1）输出信号中无直流分量；
求i 的有效值。
i i1 i2 i3 i4 先求i2 i3的有效值
I 40 4 - 60 6.93 30 A I 2 3
I 62 6.932 42 10A
20
3. 非正弦周期信号的平均值
设 i (t ) I 0
I
k 1
k 1 2 k 2 k

2
0
f (t ) sin k1td (1t )
a bk k a b cos( k1t ) sin( k1t ) 2 2 2 2 ak bk ak bk
8
f (t ) a0
k 1

a b k k a b cos( k1t ) sin( k1t ) 2 2 2 2 ak bk ak bk
u1 5000 cos(10 t 91.15 ) mV 5000 sin( 106 t 1.15 ) mV

2
0
sin ktd (t ) 0

2
0
cos ktd (t ) 0
k为整数
2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。

2
0
sin ktd (t )
2

0
2
0
cos 2 ktd (t )
3）三角函数的正交性

2
0 2
cos kt sin ptd (t ) 0, cos kt cos ptd (t ) 0 sin kt sin ptd (t ) 0

km
cos( k1t k )
则其平均值定义为：
1 T 1 T I av i dt ( I 0 i (t )dt 直流分量 ) T 0 T 0 例： i(t ) I m cos t 2 1 T I av I m cos t dt I m 0.637 I m T 0 1 T 1 I 0 I m cos tdt 0 I I m 0.707 I m T 0 2
2
晶体管放大电路的交直流共存信号 +ECC
+
uS(t)
-
3
电子示波器内的水平扫描电压
锯齿波
4
自动控制、计算机等领域的脉冲电路中 的脉冲信号和方波信号
i (t )
u ( t)
t
o
T
t 方波电压
脉冲电流
5
2. 非正弦周期电路的分析
把非正弦周期激励信号分解成一系列正弦信号，
称为非正弦周期信号的各次谐波。
13
2. 波形对称性
f(t)
偶函数： f (t ) f (t )
bk 0
－T/2
f(t)
T/2 t
奇函数： f (t ) f (t )
ak 0
－T/2
f (t)
T/2
t
奇谐波函数： f (t ) f (t T ) 2 a2k b2k 0
t
14
3. 信号的频谱
2）求直流分量和各谐波分量单独作用下的响应； 直流分量：C→开路，L→短路
jk1C 3）把各响应的瞬时表达式叠加得总响应。
23
谐波分量： Z C ( k )
1
，Z L ( k ) jk1 L
例1 已知：R=1k，C=2F，
C + +
uS 10 141.40 cos1000t 42.42 cos 3000t V


利用三角函数的正交性得：
2 I I I 02 km k 1 2
2 2 I I0 I12 I 2
周期信号的有效值为直流分量及各次谐波分量
有效值平方和的平方根。
19
例
已知 i1 6A
i1 i2
i3
解
i
i4
i2 4 2 cos tA i3 5.66 cos(t 60 )A i4 4 2 cos(3t 45 )A
k 1
7

f (t ) a0 [ak cos( k1t ) bk sin( k1t )]
式中：
2 1 T 1 T a0 f (t )d t T 0 1 2 ak f (t ) cos k1td (1t )
k 1


1
0
bk
f (t ) a0
2 k 2 k
令：
2 A0 a0，Akm ak bk2
ak bk cos k ，sin k Akm Akm bk k arctan ak
f (t ) A0 Akm cos k cos( k1t ) sin k sin( k1t )
二次以上谐波分量统称为高次谐波分量 任意周期信号均可分解为直流分量和一系列谐波
分量的代数和。
10
例
周期性方波信号的分解
Im iS (t ) 0 0t T 2
iS
Im
T/2 T
解