龙岩市2015年5月高中毕业班质量检查数学理科试题及答案

龙岩市2015年高中毕业班教学质量检查 数学（理科）参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分． 1-5 ACCAD 6-10 BBBCC二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分． 11．15 12．10 13．7 14．288 15．32三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由()()()b b a c a c =+-得222b a c =-，得222b c a +-= 于是222cos 2b c a A bc +-==又(0,)A ∈π，∴6A π= ……………………………………………6分 （Ⅱ）∵B 为钝角 于是2AC π+<，又6A π=，∴03C π<< 由正弦定理可知，12211sin 2a R A ===所以bsin B C =5sin()6C C π=--1cos 22C C =-cos()3C π=+ 又03C π<<， 2333C πππ<+<∴b cos()3C π=+11,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ …………………………………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设小刘五次参加测试合格的概率依次为12344,,,,()99999p p p p p p ++++≤，则,274)91)(1(=+-p p 即0524272=+-p p ，0)59)(13(=--p p ， 解得31=p 或95=p （舍去） 所以小刘第一次参加测试就合格的概率为31. …………………………6分 （Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3， 12545(1)39981P ξ==+==， 5624(2)(1)9981P ξ==-=， 5612(3)(1)(1)9981P ξ==--=， 所以ξ的分布列为123.8181818127Eξ=⨯+⨯+⨯== ………………………………13分 18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题设,AB AF ⊥且平面⊥ABEF 平面ABCD ，可知⊥AF 平面ABCD又BD 是圆的直径，,AD AB ⊥因此，以点A 为原点可建立空间直角坐标系如图由于,AC BD 是圆O 的两条互相垂直的直径，且AC =所以四边形ABCD 是边长为4的正方形则)0,0,4(B ，，)0,4,4(C ，)0,2,2(O ，)2,0,4(E ，)6,0,0(F ，)4,0,2(N EB AB ⊥, ，BC AB ⊥,，)0,0,4(=∴AB 是平面EBC 的法向量)4,2,0(-=NO ，0)4,2,0()0,0,4(=-⋅=⋅NO AB所以直线//NO 平面EBC ………………………………………7分 （Ⅱ）点M 在线段AC 上，可设)0,4,4()0,4,4(λλλλ===AC AM NC 的中点为)2,2,3(Q ，)2,42,43(λλ--=，由题设有⊥MQ 平面CEF )4,0,4(-= ，)2,4,0(-=，⎪⎩⎪⎨⎧=--=⋅=+--=⋅∴04)42(408)43(4λλEF MQ 解得41=λ )0,1,1()0,4,4(==λλ，线段AM2= ………………………………13分（第18题图）19.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题设可知3a =因为e =即c a =，所以c =222981b a c =-=-= 所以椭圆C 的方程为： 2219x y += ………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：由0m k +=知:(1,0)D ， …………………………………………………5分 设直线1A M 的方程为1(3)y k x =+，直线2NA 的方程为2(3)y k x =-． 联立方程组122(3)19y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得:222111(19)548190k x k x k +++-= 解得点M 的坐标为21122113276(,)1919k k M k k -++． ……………………8分 同理，可解得点N 的坐标为22222222736(,)1919k k N k k --++ ……………………9分 由,,M D N 三点共线，有122212221212661919327273111919k k k k k k k k -++=----++， ………………10分 化简得2112(2)(182)0k k k k -+=．由题设可知k 1与k 2同号，所以212k k =，即．121()02k k +-= …………12分 所以，存在12λ=- 使得使得120k k λ+=. ……………………………13分 解法二：由0m k +=知，k m -=，直线l 方程化为)1(-=x k y ，所以l 过定点(1,0)D ……………………5分当直线l 的倾斜角∞→α时，)322,1(→M ，)322,1(-→N 此时621→k ，322→k ，2121-=-→k k λ 由此可猜想：存在21-=λ满足条件，下面证明猜想正确 …………………7分 联立方程组09918)91(19)1(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y ， 设),(),,(2211y x N y x M ， 则22219118k k x x +=+，22219199k k x x +-=⋅ …………………10分3111+=x y k ，3222-=x y k 所以12λ=-时，3213221121--+=+x y x y k k λ =)3)(3(2)3)(1()3)(1(2211221-++----x x x x k x x k =-++--)3)(3(2)955(211221x x x x x x k )3)(3(2)9911859199(212222-+++-+-x x k k kk k 0)3)(3)(91(2)8199099(212222=-++++--=x x k k k k k ………………………………12分 由此可得猜想正确，因此，存在21-=λ使得120k k λ+=成立 ………13分 20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）2)1()()1]()([)(+⋅+-+⋅++='x e a x x e a x e x f x x x 22)1(]1)1([++++=x x a x e x 依题意得：e e a f 434)3()1(=⋅+='， 0=∴a ……………………………4分 （Ⅱ）对任意的),32(+∞∈x ， )12()()1(-≥+x m x f x 恒成立等价于0)12(≥--x m xe x 对),32(+∞∈x 恒成立，即12-≤x xe m x 对),32(+∞∈x 恒成立 令)32(12)(>-=x x xe x t x , 则最小)(x t m ≤ 22)12()12()(---='x x x e x t x 由0)(='x t 得：1x =或12x =-（舍去） 当)1,32(∈x 时，0)(<'x t ；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x t )(x t ∴在)1,32(上递减，在),1(+∞上递增 e t x t ==∴)1()(最小e m ≤∴ ………………………………………9分（Ⅲ）()g x ==x x e e e +e e e e e e e e e e x g x x x x +=+⋅=+=---11)1(， 1)1()(=++=-+∴xx e e e e x g x g ……………………………10分 因此有)1,,3,2,1(,1)()(-==-+n k nk n g n k g由123112[g()g()g()g()]n n T n n n n-=+++++ )]1()2()1([21ng n n g n n g T n ++-+-+= 得n n T n 2)1(22]111[222=-+=++++= ， n T n =∴ …………………………11分 3693111111111()3123n T T T T n++++=++++，取2m n =(*m N ∈)， 则=++++n 1312111 111111111()()123456782m +++++++++ 0121231111122222222m m -≥+⨯+⨯+⨯++⨯12m =+， ………………12分 当m 趋向于+∞时，12m +趋向于+∞． ……………………………13分 所以，不存在正常数M ，对任意给定的正整数(2)n n ≥，都有36931111nM T T T T ++++<成立． …………………………14分21.（本小题满分14分）解：（1）（Ⅰ）由211133a b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2111311a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得333a b a b -+=-⎧⎨+=⎩ 解得30a b =⎧⎨=⎩ …………………………………4分 （Ⅱ）设311531m n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则335m n m n -+=-⎧⎨+=⎩解得21m n =⎧⎨=-⎩ ∴122βαα=-∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=-=24924111331)1(225525155ααβM M M ………7分 （2）（Ⅰ）圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=，设(,)Q x y ，则(,)22x y M ， ∴22(2)()422x y -+= ∴22(4)16x y -+=这就是所求的直角坐标方程. ……………3分 （Ⅱ）把122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(4)16x y -+=，即代入2280x y x +-= 得2211()(2)8()022t t -++--=，即2(440t t +++= 令,A B 对应参数分别为12,t t ，则0)324(21<+-=+t t ，1240t t ⋅=> 所以3242121+=+=+=+t t t t PB PA . …………………7分（3）（Ⅰ）21)(--+=x x x f ,由0)(≤x f 得21-≤+x x ⇔441222+-≤++x x x x ⇔21≤x ， 所以所求不等式的解集为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,. ………………………………4分 （Ⅱ）当1=b 时，⎪⎩⎪⎨⎧-≤---<<--++≥++-=1,4)2(21,4)2(2,4)2()(x a x a x a x a x a x a x f因为()f x 既存在最大值，也存在最小值， 所以02=-a ，所以2=a所以a 的取值集合为{}2. ………………………………………7分。

2015年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题。

本试卷共5页，满分150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{0log 2}A x x =<<，{32,}x B y y x R ==+∈，则A B ⋂= （ ）.{x 24}A x << .{x 14}B x << .{x 12}C x << .{x 4}D x >2. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．15 B. 16 C. 25 D.36 3. 21()n x x -展开式的二项式系数和为64，则其常数项为（ ）A ．-20 B. -15 C. 15 D. 204.某校为了解本校高三学生学习心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加测试，为此将他们随机编号为1，2，…，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18.抽到的40人中，编号落入区间[1,200]的人做试卷A,编号落入区间[201,560]的人做试卷B ，其余的人做试卷C. 则做试卷C 的人数为 （ ）A ．10 B. 12 C. 18 D. 285.已知双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角等于60︒，则双曲线C 的离心率等于 （ ）AD. 2 6. 函数cos(sin )y x =的图象大致是 （ ）7.已知集合10A (x,y)30,1x y x y x ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪=--≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≥⎩⎩⎭，{}222(,)(2)(2),0B x y x y R R =-+-≤>且A B ⋂≠∅，则R 的最小值为（ ）.2AB .3C .5D 8. 在ABC ∆中，AB=3 ，AC=4 ， BC=5 . 若I 为ABC ∆的内心，则CI CB 的值为（ ）A ． 6 B. 10 C. 12 D. 159. (n N)n A ∈系列的纸张规格如图，其特点是：①012,,,...,n A A A A 所有规格的纸张的长宽比都相同;②0A 对裁后可以得到两张1A ，1A 对裁后可以得到两张2A ,…,1n A -对裁后可以得到两张n A若有每平方厘米重量为b 克的012,,,...,n A A A A 纸各一张，其中4A 纸的较短边的长为a 厘米，记这(1)n +张纸的重量之和为1n S +，则下列论断错误的是（ ）A. 存在n N ∈，使得21n S b +=B. 存在n N ∈，使得21n S b +=C ．对于任意n N ∈，都有21n S b +≤ D. 对于任意n N ∈，都有21n S b +≥10. 定义在(0,)+∞上的可导函数()f x 满足'()()xf x f x x -=，且(1)1f = . 现给出关于函数()f x 的下列结论：①函数()f x 在1(,)e +∞上单调递增；②函数()f x 的最小值为21e -； ③函数()f x 有且只有一个零点； ④对于任意0x >，都有2()f x x ≤其中正确结论的个数是 （ ）A. 1 B ．2 C. 3 D. 4第II 卷（非选择题共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡相应位置11. 已知z C ∈且(1i)i z =+，则z 等于______________________12. 设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且2412a a +=，则5S 等于__________________13. 在ABC ∆中，6ABC π∠=，AB =3BC =. 若在线段BC 上任取一点D ，则BAD ∠为锐角的概率是________________14. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则三棱锥1B ABC -与三棱锥111B A B C -公共部分的体积是____________15. 定义在R 上的函数()f x 满足：()()f x f x -=，(2)(2)f x f x +=-. 若曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为30x y -+= ，则该曲线在5x =处的切线方程为_____三．解答题：本大题共6小题共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分) 已知函数1()sin cos cos 22f x x x x =+ （1） 若tan 2θ=， 求()f θ的值；（2） 若函数()y g x =的图象是由函数()y f x =的图象上所有的点向右平移4π个单位长度而得到，且()g x 在区间(0,m)内是单调函数，求实数m 的最大值.17.(本小题满分13分)如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，90BAD ∠=︒，PD ABCD ⊥平面，3AD AB PD ===，1BC =. 过AD 作一平面分别交PB ，PC 于点E F ，.（1）求证：//AD EF ；（2）设13BE BP =，求AE 与平面PBC 所成的角的大小.18. （本小题满分13分）“抢红包”的网络游戏给2015年的春节增添了一份趣味.“抢红包”有多种玩法，小明参加了一种接龙红包游戏：小明在红包里装了9元现金，然后发给朋友A ，并给出金额所在区间[1,9],让A 猜（所猜金额为整数元；下同），如果A 猜中，A 将获得红包里的金额；如果A 未猜中，A 要将当前的红包转发给朋友B ，同时给出金额所在区间[6,9],让B 猜，如果B 猜中，A 和B 可以平分红包里的金额；如果B 未猜中，B 要将当前的红包转发给朋友C ，同时给出金额所在区间[8,9],让C 猜，如果C 猜中，A 、B 和C 可以平分红包里的金额；如果C 未猜中，红包里的资金将退回至小明的帐户.（Ⅰ）求A 恰好得到3元的概率；（Ⅱ）设A 所获得的金额为X 元，求X 的分布列及数学期望；(Ⅲ)从统计学的角度而言，A 所获得的金额是否超过B 和C 两人所获得的金额之和？并说明理由.19.(本小题满分13分)已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 及椭圆的短轴端点为顶点的三角形是等边三角形，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1 .(1) 求椭圆E 的方程；(2) 如图，直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点M ，且交y轴于点P ，过点M作垂直于l 的直线交y 轴于点Q .求证：12,,,,F Q F M P 五点共圆.20.(本小题满分14分) 已知函数2*2()()1n nx ax f x a N x -=∈+的图象在点(0,(0))n f 处的切线方程为y x =- (Ⅰ)求a 的值及1()f x 的单调区间；(Ⅱ)是否存在实数k ,使得射线(3)y kx x =≥-与曲线1()y f x =有三个公共点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.(Ⅲ)设12,...n x x x ,,为正实数，且12...1n x x x +++=， 证明：12()()...()0n n n n f x f x f x +++≥21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分. 如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换已知曲线C: 223x xy y -+=，2222M ⎛ = - ⎝⎭，且曲线C 在矩阵M 对应的变换的作用下得到曲线'C . (Ⅰ)求曲线'C 的方程 (Ⅱ)求曲线C 的离心率及焦点坐标.(2)(本小题满分7分)选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，点M 的坐标为(1,2)-.在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为cos sin 10ρθρθ+-=.(Ⅰ)判断点M 与直线l 的位置关系；(Ⅱ)设直线l 与抛物线2y x =相交于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.(3)(本小题满分7分)选修4-5： 不等式选讲 设函数()1f x x =+.(Ⅰ)若2()(6)f x f x m m +-≥+对任意x R ∈恒成立,求实数m 的取值范围；(Ⅱ)当14x -≤≤。

龙岩市2015年高中毕业班教学质量检查数学（理科）参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．1-5 BAACB 6-10 DBCDA二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．11．7 12．-13．3414．①②15．22(21)3nn n-+三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意41693381t t⨯⨯=, …………………………………………3分所以2t=. ……………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙应聘成功的概率均为23, …………………………7分ξ的可能取值为0,1,2 ………………………………………8分428(2)9327Pξ==⋅=，415214(1)939327Pξ==⋅+⋅=，515(0)9327Pξ==⋅=，……………………………………………………12分所以81453010210272727279Eξ=⨯+⨯+⨯==. ……………………………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）222(sin cos)12sin cos sin2()tan2cos sin cos2cos2x x x x xf x xx x x x+-====-, …………2分由()f x=0x>得2,3x kππ=+∴()26kx k Zππ=+∈………4分方程()f x =(0,)+∞的解从小到大依次排列构成首项为6π， 公差为2π的等差数列∴(32)(1)626n n a n πππ-=+-=. ………………6分 （Ⅱ）23(32)(41)(32)62(21)(21)n n b n n n n ππ-=⋅=---+ …………………8分 111()42121n n π=--+， ……………………………………………10分 111111(1)()()(1)4335212142142n n S n n n n πππ⎡⎤=-+-++-=-=⎢⎥-+++⎣⎦. ………………………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵CD AB //，︒=∠90ABC ，42==AB CD又BC AE //交CD 于点E .∴四边形ABCE 是边长为2的正方形 ………………………1分 ∴BE AC ⊥，AE DE ⊥.又∵平面ADE ABCE ⊥平面平面ADEABCE AE =平面∴DE ABCE ⊥平面 ………………………3分∵AC ABCE ⊂平面，∴DE AC ⊥ ……………………4分 又E BE DE =∴AC DBE ⊥平面 ………………………5分 ∵AC DAC ⊂平面∴平面DAC DEB ⊥平面 ………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE ABCE ⊥平面，EC AE ⊥以E 为原点，ED EC EA ,,的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系. ………………………7分则)0,0,2(A ，)0,2,2(B ，(0,2,0)C ，)2,0,0(D设x EH =，则x DH GH -==2（20<<x ）∵CE AB //，∴DAE AB 面⊥ …………………8分 ∴2)]2(21[3131⨯-=⋅=∆-x x AB S V GHE GHE B ]1)1([31)2(3122+--=+-=x x x ………………………9分 ∵20<<x ，∴1=x 时，三棱锥GHE B -体积最大，此时，H 为ED 中点. ∵AE GH //，∴G 也是AD 的中点，∴)1,0,1(G ，)1,2,1(--=BG .…10分 设),,(z y x n =是面BCD 的法向量.则⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅=⋅=-=-⋅=⋅022)2,2,0(),,(02)0,0,2(),,(z y z y x DC n x z y x 令1=y ，得)1,1,0(=n ………………………11分设BG 与面BCD 所成角为θ则||sin||||BG nBG nθ⋅===∴BG与平面BCD所成角的正弦值为6.………………………13分19.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设(,)Q x y…………2分整理得24y x=，所以动圆圆心Q的轨迹C的方程是24y x=. ………4分（Ⅱ）设存在符合题意的定点G.设直线的方程为(0x ny m n=+≠且)n R∈，则(,0)G m. …………5分将x m ny=+代入24y x=，整理得2440y ny m--=.由题意得216160n m∆=+>，即20n m+>.设11(,)A x y，22(,)B x y，则124y y n+=，124y y m⋅=-，11112211114(1)2824PAy y ykyx y---===+++，2224(1)8PByky-=+，1122PGkm m==---+，由题意得2PA PB PGk k k+=，即20PA PB PGk k k+-=,所以1222122(1)2(1)1882y yy y m--++=+++，……………………7分即221212121212122(2)()16(2)()2[()2](2)()320 m y y y y m y y y y y y m y y m+++++++--+-=……………9分把124y y n+=，124y y m⋅=-代入上式，整理得(2)(2)(2)m n m m-=+-，………11分又因为n R∈，所以(2)(2)020m mm+-=⎧⎨-=⎩，解得2m=所以存在符合题意的定点G，且点G的坐标为(2,0). …………………13分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()(sin cos)(cos sin)x xf x e x x e x x'=++-=2cosxe x，又曲线()y f x=在(0,(0))f处的切线过点(1,2),得(0)f'=(0)201f--，…3分即21a=-，解得1a=-…………………………………………4分（Ⅱ）存在实数1x，2[0,]xπ∈，使得221()()13g x f x eπ<+-成立，即2min()()13g x f x eπ<+-max………………………………5分由（Ⅰ）知()2cos0xf x e x'==在x[0,]π∈上的解为2xπ=，函数()f x在0,)2π（上递增，在(,2ππ）上递减2max()()2f x f e aππ==+…………………………………7分又2100a a -+>恒成立，2()(10)x g x a a e =-+在[0,]π上递增， 2()(0)10g x g a a ==-+min ， ……………………………8分 故2221013a a e a e ππ-+<++-，得2230a a --<，所以实数a 的取值范围是(1,3)- ………………………………9分 （Ⅲ）由222(1)()1()1ln 0(10)b e g x x x a a xe xϕ+=-++=-+ (0)x >得 22(1)e 11ln 0x b e x xe x +-++=，化为22(1)e 1ln xb e x x x e+=--， ……10分 令()1ln h x x x x =--，则()2ln h x x '=--由()2ln 0h x x '=--=，得2x e -=，故()h x 在21(0,)e 上递增，在21(,)e+∞上递减， 2211()()1h x h e e==+max . …………………………………………12分 再令222(1)e 1()(1)x x b e t x b e e e+==+， 因为1b >，所以函数21()(1)x t x b e e=+在(0,)+∞上递增， 0222111()t(0)(1)(1)1t x b e b e e e>=+=+>+. …………………………13分 知max ()()t x h x >，由此判断函数()x ϕ在(0,)+∞上没有零点，故()x ϕ零点个数为0. ………………14分21.（本小题满分14分）解：（1）（Ⅰ）0110M -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ……………………………2分 2003N ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ……………………………3分 （Ⅱ）0230NM -⎛⎫= ⎪⎝⎭, ……………………………………4分 由02'30'x x y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得2'3'y x x y -=⎧⎨=⎩, ……………………………5分 由题意得''y x =得32x y =-，所以直线l 的方程为320x y +=. ……7分（2）（Ⅰ）由cos()4πρθ-=40x y +-=， ………………2分 ∴直线l 的直角坐标方程为40x y +-=. ………………………3分（Ⅱ）设(2cos )M θθ，M 到l 的距离为d ,则d ===其中2cos ,sin 3ϕϕ== ………………………5分当cos()1θϕ-=时，d 有最小值,∴M 到直线l 的距离的最小值为2. ……………7分 （3）（Ⅰ）由()02332315f x x x x <⇔-<⇔-<-<⇔-<<， ………2分所以x 的取值范围是(1,5)-. ……………………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()g x =由柯西不等式22222(34]++≥………………5分所以()g x ≤==即25x =-时，()g x 取最大值 ……7分。

龙岩市2015年高中毕业班教学质量检查（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|2M x x =≥，，则M N 等于（ ）A ．{}3B ．{}2,3C ．{}|2x x ≥D ．2．双曲线2214x y -=的离心率为 （ ） A ．54BCD ．23．若a R ∈，则“1a =”是“直线0x y a ++=与圆221x y +=相交”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知向量(2,1),(1,)a b x ==，若与平行，则实数的值是（ ）A ．-2B ．2C ．1D ．125．下列程序执行后输出的结果是（ ）A ．3B ．6C ．10D ．15{}0,1,2,3N ={}0,1,2,36．高三某班有34位同学，座位号记为01,02,,34⋅⋅⋅，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号为（ ）49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06A ．23B ．09C ．02D ．167．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为2π的扇形，则该几何体的侧面积．．．为（ ）A ．B ．C ．D ． 8．已知0,0a b >>，且3,a b ab +=则ab 的最小值为 （ ） A ．B ．C ．D ．9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()2f x x =，则(2015)f 等于（ ） A ．2-B ．1-C ． 1D ．210. 已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-，有下列四个结论：①函数()f x 在区间3[,]88ππ-上是增函数； ②点3(,0)8π是函数()f x 图象的一个对称中心； ③函数()f x的图象可以由函数2y x 的图象向左平移4π得到； ④若[0,]2x π∈，则()f x的值域为．则所有正确结论的序号是（ ）1214π+14+144π++6121622A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①②11.已知函数04,()6,4,x f x x x <≤=⎨->⎪⎩若方程()1f x kx =+有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是（ ）A ．11(,)64-B ．11(,)(,)64-∞-+∞ C ．11[,)64-D ．11(,]64-12．若不等式()22(ln )x a x a m -+->对任意(),0,x R a ∈∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．⎛-∞⎝⎭C ． (-∞D ． (),2-∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应位置． 13．已知,a b R ∈，i 为虚数单位，若i =2+i a b -，则a b +=__________．14．已知,x y 满足约束条件,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =-的最小值是__________．15．为了判断高中二年级学生是否喜欢足球运动与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到22⨯列联表:（参考公式22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，()n a b c d =+++）则有___________以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”．16．已知点A 是定圆M 所在平面上的一定点，点P 是圆M 上的动点，若线段PA 的垂直平分线交直线PM 于点Q ，则点Q 的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中正确命题的序号是_________．（填上你认为所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）某中学共有1000名文科学生参加了该市高三第一次质量检查的考试，其中数学成绩如下表所示：抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查. 甲同学在本次测试中数学成绩为75分，求他被抽中的概率；（Ⅱ）年级将本次数学成绩75分以下的学生当作“数学学困生”进行辅导，请根据所提供数据估计“数学学困生”的人数；（III ）请根据所提供数据估计该学校文科学生本次考试的数学平均分．18．（本小题满分12分）已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足11a =，322a a -=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19．（本小题满分12分）如图1，在矩形ABCD 中，E ,F 分别是AB ,CD 的中点，沿EF 将矩形BEFC 折起，使90CFD ∠=︒，如图2所示：（Ⅰ）若G ,H 分别是AE ,CF 的中点，求证：GH //平面ABCD ；（Ⅱ）若1AE =，60DCE ∠=︒，求三棱锥C DEF -的体积．图 1 图220．（本小题满分12分）如图，函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,2A πωϕ>>≤）的图象与坐标轴的三个交点为,,P Q R ，且(1,0)P ,(,0)Q m (0)m >，4PQR π∠=，M 为QR 的中点，PM =（Ⅰ）求m 的值及()f x 的解析式； （Ⅱ）设PRQ θ∠=，求tan θ．21．（本小题满分12分）如图，已知抛物线E :()220y px p =>的准线为直线1x =-，过点()(),00D a a >的动直线l 交抛物线E 于A ,B 两点．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）若以线段AB 为直径的圆恒过抛物线E 上的某定点C （异 于,A B 两点），求a 的值和点C 的坐标．22．（本小题满分14分）已知函数()(sin cos )x f x e x x a =++（a 为常数）．（Ⅰ）已知3a =-，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0x π≤≤时，求()f x 的值域；（Ⅲ）设2()(10)xgx aa e=-+，若存在1x ，2[0,]x π∈，使得212()()13f x g x e π-<-成立，求实数a 的取值范围．龙岩市2015年高中毕业班教学质量检查（文）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1-5 BBADC 6-10 DCBAD 11-12 AA 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．1 14．1- 15．99.5％ 16．①②④⑥三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．命题意图：本题主要考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想． 解：（Ⅰ）分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为：样本容量总体中个体总数，故甲同学被抽到的概率P ＝110………………4分 （Ⅱ）由题意得x ＝1 000－(60＋400＋360＋100)＝80． ……………6分设估计“数学学困生”人数为m16080804m =+⨯=． 故估计该中学“数学学困生”人数为80人 …………………8分 （III ）该学校本次考试的数学平均分．60608080100400120360140100107.21000x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==估计该学校本次考试的数学平均分为107.2分． ……………12分18．命题意图：本题主要考查等比数列的通项公式、错位相减法求前n 项和等知识；考查学生的运算求解能力，考查函数与方程及化归与转化思想． 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由11a =，322a a -=得：220q q --= …………………………………………2分解得：2q =或1q =- …………………………………4分 数列{}n a 的各项均为正数∴2q = …………………………………………5分∴11122n n n a --=⨯= ………………………………………6分（Ⅱ）2n nnb =∴23111111123...(1)22222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ……①∴1234111111123...(1)222222n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯… ② ……8分 由①-②得：12311111222222n n n nS +=+++⋅⋅⋅+- ……………………9分 111[1()]221212n n n +-=--11122n n n +=-- ……………11分 11222n n n nS -∴=-- ……………………………12分注：答案为：222n n n S +=-或1222n n nnS +--=均可. 19．命题意图：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及体积等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力． 解：（Ⅰ）法一：取AB 中点P ，连结PG 、PC ………………………………1分G ,H 分别是AE ,CF 的中点∴1//2CH BE ，且12CH BE =，1//2PG BE ，且12PG BE =//,PG CH PG CH ∴=∴四边形CPGH 为平行四边形，//GH PC ∴……4分又GH ⊄平面ABCD ，PC ⊂平面ABCD∴GH //平面ABCD ………………6分法二：取CD 中点Q ，连结QA ,QH ………1分G ,H 分别是AE ,CF 的中点∴1//2QH DF ，且12QH DF =，1//2AG DF ，且12AG DF =//,AG QH AG QH ∴=，∴四边形AGQH 为平行四边形//GH AQ ∴ ………………………4分又GH ⊄平面ABCD ，AQ ⊂平面ABCD∴GH //平面ABCD …………………6分法三：取DF 中点M ，连结MG ,MH …………1分G ,H 分别是AE ,CF 的中点，∴//GM AD ， //MH CD又GM ⊄平面ABCD ，AD ⊂平面ABCDMH ⊄平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD∴GM //平面ABCD ，MH //平面ABCD ……4分GM MH M ⋂=，∴平面GMH //平面ABCD而GH ⊂平面GMH∴GH //平面ABCD ……………6分（Ⅱ）90CFD ∠= ∴C F D F ⊥ ,CF EF EF DF F ⊥⋂=∴CF ⊥平面ADFE …………………………………………8分又1AE EB ==，CE DE ∴==，且1CF DF ==60DCE ∠= ∴D C E ∆为等边三角形而Rt CDF ∆中，CD =1EF ∴= ………………………………10分111326C DEF V EF DF CF -∴=⨯⋅⋅⨯=故三棱锥C DEF -的体积为16． ………………………………12分 20．命题意图：本题主要考查三角函数的图象与性质、同角三角函数关系、正余弦定理等解三角形基础知识；考查两点间距离公式、运算求解能力以及化归与转化思想． 解：（Ⅰ）4PQR π∠=，OQ OR ∴=， (,0)Q m ，(0,)R m ∴- ……1分又M 为QR 的中点，(,)22m mM ∴-，又PM ==2280m m --=，4m =，2m =-（舍去），…3分 (0,4)R ∴-，(4,0)Q ，32T =，6T =，26πω=，3πω= …………4分 把(1,0)P 代入()sin()3f x A x πϕ=+，sin()03A πϕ+=，2πϕ≤，3πϕ∴=- ………………………5分把(0,4)R -代入()sin()33f x A x ππ=-，sin()43A π-=-，3A =分 ()f x的解析式为()sin()333f x x ππ=- 所以m 的值为4，()f x 的解析式为()sin()33f x x ππ=- ………7分 （Ⅱ）解法一：△PQR中，PR =3PQ =，RQ =分由余弦定理得：222cos 2PR RQ PQ PR RQ θ+-=⋅22234==， ……………………10分θ为锐角，sin θ=， ……………………………11分 3tan 5θ∴=……………………………………12分 解法二：△PQR中，PR = ………………………8分由正弦定理得：sin sin PQ PRPQRθ=∠，3sin θ== ………10分θ为锐角，cos 34θ=， ………………11分 3tan 5θ∴=…………………………12分 解法三：在△OPR 中，4ORP πθ∠=-，tan OPORP OR∠=，1tan()44πθ-= ………………………………………9分1tan 11tan 4θθ-=+，3tan 5θ= …………………………………………12分21．命题意图：本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、方程思想等． 解：（Ⅰ）抛物线2:2(0)E y px p =>的准线方程为：1x =-∴12p-=- ，∴2p =∴抛物线方程为：24y x =． ……………………………3分（Ⅱ）方法一：设直线l 的方程为： x my a =+联立24x my a y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得：2440y my a --= ………………4分22(4)41(4)16160m a m a ∆=--⨯⨯-=+> ……………………5分设112200(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则12124,4y y m y y a +==-，0204y x = …………………6分10201020()()()()CA CB x x x x y y y y ⋅=--+-- …………………7分 10201020()()()()my a x my a x y y y y =+-+-+--22212001200(1)[()]()()m y y m a x y y y a x y =++--++-+2220004(1)4()()a m m ma mx y a x y =-++--+-+ 22242000011441162m y my a a y a y ⎛⎫=--+-++- ⎪⎝⎭…………………9分 以线段AB 为直径的圆恒过抛物线E 上的某定点C （异于,A B 两点）0CA CB ∴⋅=对任意实数m 恒成立 ……………………10分∴2002420004011410162y y a a y a y ⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎛⎫⎪-++-=⎪⎪⎝⎭⎩…………………11分 又0200,4a y x >= ∴000,4x y a ===所以a 的值为4，点C 的坐标为()0,0． …………………12分 方法二：设直线l 的方程为： x my a =+联立24x my ay x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2440y my a --= ………………4分216160m a ∆=+> …………………5分设222012120(,),(,),(,)444y y y A y B y C y ， 则12124,4y y m y y a +==- ……………………6分222210201020(,),(,)44y y y y CA y y CB y y --=-=-则222210201020()()()()16y y y y CA CB y y y y --⋅=+--…………………7分 102010201()()[()()16]16y y y y y y y y =--+++ 210201201201()()[()16]16y y y y y y y y y y =--++++ 21020001()()(4416)16y y y y a my y =---+++ …………………9分 以线段AB 为直径的圆恒过抛物线E 上的某定点C （异于,A B 两点）0CA CB ∴⋅=对任意实数m 恒成立 ………………10分20041640my y a ∴++-=对任意实数m 恒成立020401640y y a =⎧⎪∴⎨+-=⎪⎩ …………………11分 又0200,4a y x >= ∴000,4x y a ===所以a 的值为4，点C 的坐标为()0,0． ……………………12分 方法三：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()y k x a =-联立()24y k x a y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 得：()22222240k x k a x k a -++=………4分216160k a ∆=+>，直线l 交抛物线E 相交 ……………5分设点112200(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则221212222442,k a x x a x x a k k++==+= ………………6分 10201020()()()()CA CB x x x x y y y y ⋅=--+--10201020()()()()x x x x kx ak y kx ak y =--+----()222212001200(1)()()k x x ak ky x x x x ak y =+-++++++()22222220000024(1)(2)2k a ak ky x a x a k ay k y k=+-+++++++ 2220000024442x y a a ax x y k k=--+--++ ………………8分 以线段AB 为直径的圆恒过抛物线E 上的某定点C （异于,A B 两点）0CA CB ∴⋅=对任意实数k 恒成立 ……………9分∴002220004040420x y a a ax x y ⎧-=⎪-=⎨⎪--++=⎩ 又0200,4a y x >= ，∴000,4x y a ===． ………………10分 当直线l 的斜率不存在时，x a =代入24y x =，得((,A a B a -设00(,)C x y，则2000())()CA CB a x y y ⋅=-+-22200042a a ax x y =--++当000,4x y a ===时，仍有0CA CB ⋅=成立． ………………11分 综上可知，a 的值为4，点C 的坐标为()0,0． ……………12分22．命题意图：本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、存在量词等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等.解：（Ⅰ）()(sin cos )(cos sin )2cos x x x f x e x x e x x e x '=++-= ……………1分(0)2f '=，(0)2f =- ………………………2分 ∴切线方程为：22(0)y x +=-，即220x y --=为所求的切线方程．…3分（Ⅱ）由()2c o s 0xf x e x '=≥，得02x π≤≤．，()2c o s0xf x e x '=≤，得2x ππ≤≤．∴ ()y f x =在[0,]2π上单调递增，在[,]2ππ上单调递减． ……………5分∴2max ()2y f e a ππ==+ …………………………………6分 (0)1f a =+，()(0)f e a f ππ=-+<,min ()y f e a ππ==-+, ………7分∴()f x 的值域为2[,]e a e a ππ-++ ……………………………8分（Ⅲ）2100a a -+>，()g x ∴在[0,]π是增函数，2(0)10g a a =-+，2()(10)g a a e ππ=-+，()g x ∴的值域为22[10,(10)]a a a a e π-+-+．…………………………10分222210()(1)(9)0a a e a a e ππ-+-+=-+-> ………………………11分依题意，22210()13a a e a e ππ-+-+<-， ………………………12分 即2230a a --<， 13a ∴-<< …………………………14分。

第I 卷(50分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【题文】2sin15cos15︒︒=（ ） A ．21 B ．21- C ．23 D ．23- 【答案】A考点：1.三角函数的倍角公式；2.特殊角的三角函数值. 【结束】2.【题文】命题“对任意实数x [1,2]∈，关于x 的不等式20x a -≤恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A ．4a ≥ B ．4a ≤C ．3a ≥D ．3a ≤【答案】C考点：1.充要条件；2.不等式及不等关系. 【结束】3.【题文】如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm ）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为（ ）A ．20B ．25C ．22.5D ．22.75【答案】C 【解析】考点：1.频率分布直方图；2.中位数. 【结束】4.【题文】已知复数(2)z a a i =+-（,a R i ∈为虚数单位）为实数，则0)a x dx ⎰的值为（ ） A ．π+2 B ．22π+C ．π24+D ．π44+【答案】A 【解析】考点：1.微积分基本定理、定积分的几何意义；2.复数的概念. 【结束】5.【题文】如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（ ）（第3题图）A．3B．2C ．D1【答案】D 【解析】考点：1.三视图；2.几何体的表面积. 【结束】6.【题文】如图，B A ,分别是射线ON OM ,上的两点，给出下列向量：①2OA OB +；②1123OA OB +； ③3143OA OB + ；④3145OA OB + ；⑤3145OA OB -若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有（ ）A ．①②B ．②④C ．①③D ．③⑤ 【答案】B 【解析】试题分析：在ON 上取C 使2OC OB = ，以,OA OC为邻边作平行四边形（第5题图）正视图 侧视图 俯视图（第6题图）,2OCDA OD OA OB =+，其终点不在阴影区域内，排除选项,A C ；取OA 的中点E ，作1//3EF OB ，由于12EF OB <,所以1123OA OB + 的终点在阴影区域内；排除选项C ，故选B .考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量的几何运算. 【结束】7.【题文】已知过抛物线x y 122=焦点的一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，若||14AB =，则线段AB 的中点到y 轴的距离等于（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】考点：1.抛物线的定义；2.抛物线的几何性质. 【结束】8.【题文】若函数1)62sin(2)(-++=a x x f π)(R a ∈在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个零点21,x x )(21x x ≠，则a x x -+21的取值范围是（ ）A ．)13,13(+-ππB ．)13,3[+ππ C ．)132,132(+-ππ D ．)132,32[+ππ 【答案】B 【解析】12133x x a ππ≤+-<+，选B .考点：1.函数与方程；2.三角函数的图象和性质. 【结束】9.【题文】已知函数)(x f y =是R 上的减函数，且函数)1(-=x f y 的图象关于点A )0,1(对称．设动点M ),(y x ，若实数y x ,满足不等式 0)6()248(22≥-++-x y f y x f 恒成立，则OM OA ⋅的取值范围是（ ） A ．),(∞+-∞ B ．]1,1[-C ．]4,2[D ．]5,3[【答案】C 【解析】考点：1.函数的奇偶性、单调性；2.圆的方程. 【结束】10.【题文】定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和． 如：1111236=++，1111124612=+++，1111112561220=++++，…… 依此类推可得：1111111111111126123042567290110132156m n =++++++++++++，其中n m ≤，*,m n ∈N ．设n y m x ≤≤≤≤1,1，则12+++x y x 的最小值为（ ）A ．223 B ．25 C ．78 D ．334【答案】C 【解析】考点：1.归纳推理；2.简单线性规划的应用；3.裂项相消法. 【结束】第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上. 11.【题文】如右图所示的程序执行后输出的结果S 为 ．【答案】15 【解析】试题分析：根据算法语句可知，1,i =符合条件，01S =+；2,i =符合条件，012S =++；……，直到6i =时，不符合条件，输出1234515S =++++=，结束.（第11题图） 1i =0S =WHILE 5i <=S S i =+1i i =+WEND PRINT S END考点：算法与程序框图. 【结束】12.【题文】二项式2531()x x+展开式中的常数项为 （用数字作答）. 【答案】10 【解析】考点：二项式定理. 【结束】13.【题文】已知点P 在渐近线方程为034=±y x 的双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上，其中1F ，2F 分别为其左、右焦点．若12PF F ∆的面积为16且120PF PF ⋅=，则a b +的值为 ． 【答案】7 【解析】考点：1.双曲线的几何性质；2.双曲线的定义；3.勾股定理. 【结束】14.【题文】若用1,2,3,4,5,6,7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字，且任何相邻两个数字的奇偶性不同的六位数，则这样的六位数共有 个（用数字作答）． 【答案】288 【解析】考点：1.分步计数原理；2.简单排列问题. 【结束】15.【题文】已知动点P 在函数24)(+-=x x f 的图像上，定点)2,4(--M ，则线段PM 长度的最小值是 ． 【答案】32 【解析】考点：1.两点间距离公式；2.二次函数图象和性质；3.转化与化归思想. 【结束】三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.【题文】（本小题满分13分）已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()()()b b a c a c =-+，且B ∠为钝角．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若12a =，求b 的取值范围．【答案】（Ⅰ）6A π= ；（Ⅱ）b 11,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由()()()b b a c a c =+-得222b ac =-，得222b c a +-=，应用余弦定理即得.考点：1.正弦定理、余弦定理的应用;2.三角函数的图象和性质. 【结束】17.【题文】（本小题满分13分）某运动队拟在2015年3月份安排5次体能测试，规定：依次测试，只需有一次测试合格就不必参加后续的测试．已知运动员小刘5次测试每次合格的概率依次构成一个公差为91的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过94，且他直到第二次测试才合格的概率为278． （Ⅰ）求小刘第一次参加测试就合格的概率；（Ⅱ）在小刘参加第一、第二次测试均不合格的前提下，记小刘参加后续测试的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）31. （Ⅱ）ξ的分布列为123.8181818127E ξ=⨯+⨯+⨯==【解析】（Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3，考点：1.随机变量的分布列与数学期望；2.等差数列的性质. 【结束】18.【题文】（本小题满分13分）如图，已知,AC BD 是圆O 的两条互相垂直的直径，直角梯形ABEF 所在平面与圆O 所在平面互相垂直，其中90FAB EBA ∠=∠=︒，2BE =，6AF =，AC =N 为线段EF 中点．（Ⅰ）求证：直线//NO 平面EBC ；（Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且点M 在平面CEF 上的射影为线段NC 的中点，请求出线段AM 的长．【答案】（Ⅰ）见解析；2= .【解析】试题分析：（Ⅰ）由题设,AB AF ⊥且平面⊥ABEF 平面ABCD ，可知⊥AF 平面ABCD 根据BD 是圆的直径，,AD AB ⊥以点A 为原点可建立空间直角坐标系由图形特征及数据，AFDC BEN O （第18题图）得到)0,0,4(B ，，)0,4,4(C ，)0,2,2(O ，)2,0,4(E ，)6,0,0(F ，)4,0,2(N试题解析：（Ⅰ）由题设,AB AF ⊥且平面⊥ABEF 平面ABCD ，可知⊥AF 平面ABCD（Ⅱ）点M 在线段AC 上，可设)0,4,4()0,4,4(λλλλ===AC AMNC 的中点为)2,2,3(Q ，)2,42,43(λλ--=，由题设有⊥MQ 平面CEF（第18题图）考点：1.空间向量方法；2.空间距离；3.平行关系. 【结束】19.【题文】（本小题满分13分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，其左、右顶点分别为12(3,0),(3,0)A A -．一条不经过原点的直线l y kx m =+：与该椭圆相交于M 、N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若0m k +=，直线1A M 与2NA 的斜率分别为12,k k ．试问：是否存在实数λ，使得120k k λ+=？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）2219x y +=；（Ⅱ）存在12λ=- 使得使得120k k λ+=.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题设可知3a =及3c a =、222b a c =-确定22,a b . （Ⅱ）思路一：由0m k +=知:(1,0)D ，设直线1A M 的方程为1(3)y k x =+，直线2NA 的方程为2(3)y k x =-．（第19题图）分别联立方程组得点M 的坐标为21122113276(,)1919k k M k k -++．N 的坐标为22222222736(,)1919k k N k k --++.由,,M D N 三点共线，确定得到121()02k k +-=. 思路二：联立方程组09918)91(19)1(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y ，（Ⅱ）解法一：由0m k +=知:(1,0)D ， …………………………………………………5分 设直线1A M 的方程为1(3)y k x =+，直线2NA 的方程为2(3)y k x =-．联立方程组122(3)19y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得:222111(19)548190k x k x k +++-=由题设可知k 1与k 2同号，所以212k k =，即．121()02k k +-= …………12分 所以，存在12λ=- 使得使得120k k λ+=. ……………………………13分 解法二：则22219118k k x x +=+，22219199k k x x +-=⋅ …………………10分3111+=x y k ，3222-=x y k考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 【结束】20.【题文】（本小题满分14分）已知函数1)()(+⋅+=x e a x x f x （e 为自然对数的底数），曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线与直线0134=++ey x 互相垂直. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若对任意),32(+∞∈x ， )12()()1(-≥+x m x f x 恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）设()g x =，123112[g()g()g()g()]n n T n n n n -=+++++ (2,3)n = ．问：是否存在正常数M ，对任意给定的正整数(2)n n ≥，都有36931111nM T T T T ++++< 成立？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）0a =;（Ⅱ）e m ≤∴;（Ⅲ）不存在正常数M ，对任意给定的正整数(2)n n ≥，都有36931111nM T T T T ++++< 成立． 【解析】试题分析：（Ⅰ）求导数由e e a f 434)3()1(=⋅+='即得；（Ⅲ研究）()g x ==x x e e e +e e ee e e e e e e x g x x x x +=+⋅=+=---11)1(， 知)1,,3,2,1(,1)()(-==-+n k nkn g nkg 利用“错位相减法”求123112[g()g()g()g()]n n T n n n n-=+++++ 得到n T n =，求3693111111111()3123n T T T T n++++=++++ ，取2m n =(*m N ∈)， 则=++++n 1312111 111111111()()123456782m +++++++++ 0121231111122222222m m -≥+⨯+⨯+⨯++⨯ 12m =+，当m 趋向于+∞时，12m+趋向于+∞．作出判断.令)32(12)(>-=x x xe x t x , 则最小)(x t m ≤ 22)12()12()(---='x x x e x t x（Ⅲ）()g x ==x x e e e +e e ee e e e e e e x g x x x x +=+⋅=+=---11)1(， 1)1()(=++=-+∴xx ee ee x g x g ……………………………10分 因此有)1,,3,2,1(,1)()(-==-+n k n kn g nk g 由123112[g()g()g()g()]n n T n n n n -=+++++ )]1()2()1([21ng n n g n n g T n ++-+-+=得n n T n 2)1(22]111[222=-+=++++= ，n T n =∴ …………………………11分考点：1.数列的求和；2.应用导数研究函数的单调性、最值；3.转化与化归思想. 【结束】本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． 21. （1）【题文】（本小题满分14分）已知二阶矩阵21M a b ⎛⎫=⎪⎝⎭),(R b a ∈，若矩阵M 属于特征值1-的一个特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=311α，属于特征值3的一个特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112α． （Ⅰ）求实数b a ,的值；（Ⅱ）若向量35β-⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算5M β 的值．【答案】（Ⅰ）30a b =⎧⎨=⎩；（Ⅱ）241249-⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】（Ⅱ）设311531m n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则335m n m n -+=-⎧⎨+=⎩解得21m n =⎧⎨=-⎩ ∴122βαα=-∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=-=24924111331)1(225525155ααM M M ………7分考点：1.矩阵与变换；2.方程思想. 【结束】21. （2）【题文】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 23221（t 为参数），若以原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为θρcos 4=，设M 是圆C 上任一点，连结OM 并延长到Q ，使MQ OM =． （Ⅰ）求点Q 轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与点Q 轨迹相交于B A ,两点，点P 的直角坐标为(0,2)，求PB PA +的值． 【答案】（Ⅰ）22(4)16x y -+=；（Ⅱ）4+. 【解析】（Ⅱ）把1222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(4)16x y -+=，即代入2280x y x +-=考点：1.极坐标与参数方程;2.直线与圆的位置关系.【结束】21. （3）【题文】已知函数421)(--+=x b x a x f ),(R b a ∈. （Ⅰ）当21,1==b a 时，解不等式0)(≤x f ； （Ⅱ）当1=b 时，若函数)(x f 既存在最小值，也存在最大值，求所有满足条件的实数a 的集合．【答案】（Ⅰ）⎥⎦⎤⎝⎛∞-21,.（Ⅱ）{}2.【解析】所以a 的取值集合为{}2. ………………………………………7分考点：1.不等式选讲;2.分段函数及其图象.【结束】。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{}|2M x x =≥，{}0,1,2,3N =，则M N ⋂等于（ ） A ．{}3 B ．{}2,3 C ．{}|2x x ≥ D ．{}0,1,2,3 【答案】B 【解析】试题分析：由已知，{}2,3M N ⋂=，故选B 。

考点：1。

集合的概念；2。

集合的基本运算。

2.双曲线2214x y -=的离心率为()A ．54B ．5C 3 D ．2【答案】B 【解析】试题分析：由2214x y -=得224,1,a b ==所以，2251b e a =+=故选B .考点：双曲线的几何性质。

3。

若a R ∈，则“1a =”是“直线0x y a ++=与圆221x y +=相交”的( ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：1a =时，10x y ++=，圆心(0,0)1=<,所以直线10x y ++=与圆221xy +=相交；反之，如果直线0x y a ++=与圆221x y +=相交,那么01,<<解得0a a ≠⎧⎪⎨<<⎪⎩，故“1a =”是“直线0x y a ++=与圆221x y +=相交”的充分而不必要条件,选A 。

考点:1。

充要条件；2.直线直线与圆的位置关系。

4。

已知向量(2,1),(1,)a b x ==，若a b +与a b -平行，则实数x 的值是（ ） A ．—2 B ．2 C ．1 D ．12【答案】D 【解析】试题分析：由(2,1),(1,)a b x ==,得a b+(3,1)x =+，a b -(1,1)x =-，由已知得，3(1)(1)0,x x --+=所以12x =，选D 。

考点:1.共线向量；2.平面向量的坐标运算。

龙岩一中2015届高考模拟考数学（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷 （选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设i 是虚数单位，若复数)(310R a ia ∈--是纯虚数，则a 的值为 A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．32．已知集合}{22(,)1,(,)()4x M x y y N x y y k x b ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，若k R ∃∈，使得M N =∅I 成立，则实数b 的取值范围是A ．[]2,2-B ．(,2)(2,)-∞-+∞UC ．[]1,1-D ．(,1)(1,)-∞-+∞U 3. 在正项等比数列}{n a 中，11=a ，前n 项和为n S ,且423,,a a a -成等差数列，则7S 的值为A. 125B. 126C. 127D. 1284．下列命题中，真命题是A ．0x R ∃∈，使得00x e≤ B ．22sin 3(π,)sin x x k k Z x+≥≠∈ C ．将函数3cos()2y x π=+的图像上的每个点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度变为函数sin(2)4y x π=+的图像． D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件5．已知四棱锥P ABCD -的三视图如下图所示,则四棱锥P ABCD -的四个侧面中的最大面积是A.3B.8C.D.6 6．右边程序框图中，若输入4m =，10n =，则输出,a i 的值分别是A.12,4B.16,5C.20,5D.24,67．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为A ．425 B ．825 C ．2425 D ．16258．如右图所示，等边△ABC 的边长为2，D 为AC 中点，且△ADE 也是等边三角形，让△ADE 以点A 为中心向下转动到稳定位置的过程中，则BD CE ⋅uu u r uu r的取值范围是A ．]23,21[B ．]21,31[ C ． 14[,]23 D ． 15[,]439.已知函数)(x f 满足0sin )(3=++x x x f ，数列{}n a 为等差数列，且,22n a ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭.若()100f a <，则()()()123f a f a f a +++⋅⋅⋅ ()()1819f a f a ++取值A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为零D ．可正可负10.用[]x 表示不超过实数x 的最大整数（如[][][]3.143,00, 3.144==-=-）.若正整数x 满足211x -=，则称x 为“孪生数”.那么，在1—2015这2015个正整数中“孪生数”有A. 35 个B. 39个 C ．43个 D. 47个第Ⅱ卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上. 11．某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是 .12.已知01sin ,2a xdx π=⎰，在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是 ．13．已知双曲线2221y x b-=()0b >的左、右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆被直线(1)y b x =--，则双曲线的离心率为 ．E 、F ，x x x f ln )(=.其中在区间),1[+∞上通道宽度可以为22的函数有_______________.（写出所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本题满分13分)已知数列{}n a 的前n 项和为8)1(1nn S --=*()n N ∈.17.(本题满分13分)如图，在四面体P -ABC 中，P A ⊥面ACB ，BC ⊥AC ， M 是P A 的中点，E 是BM 的中点，AC =2CB=2，P A =4， F 是线段PC 上的点． (Ⅰ) 求证：BC AF ⊥；(Ⅱ) 若EF ∥面ACB ，求EF 与面P AB 所成角θ的正弦值.18.(本题满分13分) 全国青少年校园足球工作电视电话会议已于2014年11月26日召开，教育部已将足球纳入学校体育课程教学体系，作为体育课必修内容，为学生提供学习足球的机会。