5.2 样本频率的抽样分布与抽样误差

统计学中的抽样误差分布在统计学中，抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。

当我们从总体中抽取一个样本，并用样本统计量来估计总体参数时，由于抽取的样本并不是总体的全部，因此存在抽样误差。

抽样误差的分布是统计学中一个重要的概念，它描述了抽样误差的概率分布情况。

本文将介绍统计学中的抽样误差分布。

一、抽样误差的产生原因抽样误差的产生主要有以下几个原因：1. 随机抽样：在统计学中，我们通常采用随机抽样的方法来获取样本。

由于样本是从总体中随机选择的，因此样本与总体之间的差异是不可避免的。

2. 样本大小：样本大小对抽样误差有影响。

样本越大，抽样误差越小；样本越小，抽样误差越大。

3. 总体分布的形状：总体分布的形状也会对抽样误差的分布产生影响。

当总体呈正态分布时，抽样误差往往服从正态分布。

二、抽样误差的分布在统计学中，常见的抽样误差分布有以下几种：1. 正态分布：当总体分布是正态分布，并且样本大小足够大时，根据中心极限定理，样本均值的抽样误差大致服从正态分布。

这也是许多统计推断方法的基础。

2. t分布：在实际应用中，当总体分布未知且样本大小较小的情况下，我们通常使用t分布来描述样本均值的抽样误差。

3. 二项分布：在二项分布中，我们关注的是成功与失败的次数。

当样本来自二项分布总体时，样本比例的抽样误差可以用二项分布来描述。

4. 指数分布：在某些情况下，我们关注的是事件发生的时间间隔。

当事件按照指数分布发生时，我们可以使用指数分布来描述事件发生时间的抽样误差。

三、抽样误差的影响抽样误差的分布对统计推断和决策具有重要影响：1. 置信区间：在统计推断中，我们常常需要给出一个参数的置信区间。

抽样误差的分布决定了置信区间的宽度，即置信水平的精度。

2. 假设检验：在假设检验中，我们常常需要计算p值来判断统计显著性。

抽样误差的分布决定了p值的计算方式。

3. 决策风险：在决策分析中，我们常常需要权衡风险和效益。

抽样误差的分布决定了决策的可靠性和风险程度。

数值变量的参数估计
一、均数的抽样分布与抽样误差
抽样研究的目的就是要用样本信息来推断 总体特征。由于存在个体变异，样本均数 （X）往往不等于总体均数（），因此抽 样后各个样本均数也往往不等于总体均数， 且各个样本均数间也不一定都相等。这种 由抽样造成的样本均数与总体均数的差异 或各样本均数之间的差异称为抽样误差， 抽样误差是不可避免的。
100个样本均数频数分布直方图
样本均数的抽样分布具有以下特点：
1. 各样本均数未必等于总体均数；
2. 样本均数之间存在差异；
3. 样本均数的分布很有规律，围绕着总体 均数，中间多、两边少，左右基本对称， 也服从正态分布；
4. 样本均数的变异较之原变量的变异大大 缩小。
抽样，样 本量为n
总体均数为μ，标准差σ
频率密度 f(x)=(fi/n)/i
0.1
（i＝0.1）
0.08
0.06
0.04
0.02
0
3.8
4 4.2 4.4 4.6 4.8
5 5.2 5.4 5.6 5.8
这条所描述的分布，便近似于我们通常所说 的正态概率分布，简称正态分布。
正态分布是自然界最常见的一 种分布，例如，测量的误差、 人体的身高、体重、许多生化 指标的值（例如血压、血红蛋 白含量、红细胞数等等）等都 属于正态分布或近似正态分布。 还有些偏态资料可经数据转换 成正态或近似正态分布，例如 抗体滴度、血铅值等。
用 X 表示，或SE、SEM。
x
n
4.09 1.29(cm) 10
由于在实际抽样研究中往往未知，通
常用某一样本标准差s来替代，得标准误
的估计值 sX (通常也简称为标准误)，其计
算公式为：

概率与统计抽样频率与误差分析概率和统计是数学中两个重要的分支，涵盖了许多与随机事件和数据分析相关的理论和方法。

在实际应用中，我们常常需要通过抽样来获取代表性的样本，然后利用统计方法对样本数据进行分析和推断。

而在这个过程中，抽样频率和误差分析是非常关键的概念和技术。

一、概率与统计基础在探讨抽样频率和误差分析之前，我们首先需要了解一些概率与统计的基础知识。

概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，统计是通过收集和分析数据得出有关总体特征的方法。

二、抽样频率抽样频率是指在多次独立抽样中，出现某一特定事件的频率。

在抽样的过程中，我们从总体中随机选择样本，通过对样本的观察和测量，得到了某种事件发生的频率。

这种频率可以用于对总体特征的推断和估计。

抽样频率的计算需要满足随机抽样和独立性的条件。

随机抽样保证了样本的代表性，使得样本能够反映总体的特征。

而独立性则保证了多次抽样之间的独立性，使得每次抽样的结果相互独立。

三、抽样误差抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。

由于我们无法对整个总体进行观察和测量，而只能通过样本来对总体进行推断，因此样本统计量与总体参数之间必然存在一定的差异。

这种差异即抽样误差。

抽样误差的大小与样本容量、总体变异性以及抽样方法等因素密切相关。

增加样本容量可以减小抽样误差，因为样本容量越大，样本统计量越接近总体参数。

总体变异性越小，抽样误差越小。

而选择恰当的抽样方法也可以减小抽样误差，如使用分层抽样、系统抽样等方法。

四、频率与误差分析频率与误差分析是在探究抽样频率和误差的基础上进行的统计推断和分析。

通过研究抽样频率和误差的分布、置信区间、假设检验等方法，可以对总体特征进行推断和判断。

在频率与误差分析中，我们常常使用参数估计和假设检验等方法。

参数估计是通过样本统计量来估计总体参数的值，如样本均值估计总体均值。

而假设检验是用于检验某一假设是否成立的方法，如检验总体均值是否等于某一特定值。

五、实例应用为了更好地理解概率与统计抽样频率和误差分析的应用，我们举一个实例来说明。

五、样本平均值之差的分布
5.3 抽样分布
设x1是独立地抽自总体x1 ~N(μ1 ,σ12 )的一个容量为n1的样本， 则有：E(x1 -x 2 )=μ1 -μ 2 σ12 σ 2 2 D(x1 -x 2 )= + , n1 n 2 两个总体均为正态分布，则(x1 -x 2 )也为正态分布， σ12 σ 2 2 其均值为μ1 -μ 2，方差为 + n1 n 2
2 2( X )
n
一、抽样分布的含义 2、抽样分布的分类 样本均值的抽样分布 重置抽样样本均值的分布 不重置抽样样本均值的分布 样本成数的抽样分布 重置抽样样本均值的分布 不重置抽样样本均值的分布
5.3 抽样分布
二、样本均值的分布
1、总体方差 已知时，抽样平均数 x 的抽样分布
2
5.3 抽样分布
从正态总体中抽样得到的 样本平均数的分布服从正态分 布，从非正态总体中抽样得到 的样本平均数的分布呢？
中心极限定理
如果一个随机变量是由大量相互独立 的随机因素的综合影响所造成，而每一个 因素对这种综合影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服从或近似服从正 态分布. • 该定理表明：不论总体服从什么分布，只 要数学期望和方差存在，对这一总体进行重 复抽样，当样本容量n充分大时（n≥30）， n X i 或 X 就趋于正态分布。
小结：样本均值的分布
1、总体方差
x ~ N (, 重置抽样：
已知时
2
2
X ~ N ( , 2 )
X
/ n)
X ~ N (0,1) / n
不重置抽样：
2、总体方差 未知时 （1）大样本n≥30
2
2
N n X ~ N[ , ( )] n N 1

P0.05
第三节 总体均数及总体概率的估计
一、参数估计的基础理论
参数估计区 点间 估估 计计
对总体参数估计 称的 为范 置围 信区C间（ I ， co用 nfidenicneterv）al
表示，其置信1度 ）为，（一般取置95信 %，度即为取 为0.05，此区
间的较小值称为 限置 ，信 较下 大值称为 限置 。信 一上 般进行双 区侧 间的估计。
卫生统计学七版 第五ຫໍສະໝຸດ 参数估 计基础第一节 抽样分布与抽样误差
一、样本均数的抽样分布与抽样误差
……
x15 .55 1 sx0.9617
样本均数的标准差越，大抽样误差就越大
样本均数的标准差称标为准误
x
n
sx
s n
sx称为标准误估计值，简也称标准误
标准误与标准差成正比 ，与样本含量成反比
标准误越大，抽样误差越大。
2、正态近似法
当已知时X： u
n
当未知但n足够大时X：u0.05
s n
X1.96 s n
或：X1.96s X
例5-3(P95) 某医生于2000年在某市随机抽取90名 19岁的健康男大学生，测量了他们的身高，得样本均数 为172.2cm，标准差为4.5cm，试估计该市2000年19岁健 康男性大学生平均身高的95%置信区间 。
对任意分布，在样本含量足够大时，其样本均数的分布都 近似正态分布，且样本均数的均数等于原分布的均数。
二、样本频率的抽样分布与抽样误差
总体率的标准误：
p
(1 )
n
率的标准误的估计值：
sp
p(1 p) n
标准误大抽样误差就大。
第二节 t分布
一、t分布的概念

正态近似法：当n足够大时，且样本频率p不太接近0或1时，p的抽样分布接近正态分布，此时，总体概率的置信区间为p+-Zα/2 * Sp.
1总体分布的形态和样本含量对样本均数的抽样分布会产生何种影响？
从正态分布的总体中随机抽样，样本均数呈正态分布；从非正态分布的总体中随机抽样，样本量n较小时，样本均数的分布仍呈非正态分布，当样本量n足够大时，样本均数的分布近似正态哦分布。
计算：σXbar=σ/√n.在实际应用中，总体标准差σ常常未知，需要用样本标准差S来估计。此时，均数标准误的估计值为SXbar=S/√n.由此式可见，若增加样本含量n可减小样本均数的抽样误差。
主要应用：1估计总体均数的置信区间。 2均数的假设检验。
样本频率的抽样分布和抽样误差：频率的标准误用符号σp表示，它反映了样本频率之间以及样本频率与总体概率之间的离散程度，也反映了样本频率抽样误差的大小。
1.点估计：直接用随机样本的样本均数Xbar作为总体均数μ的估计值或用样本频率p作为总体概率π的估计值的方法称为点估计。这是一种没有考虑抽样误差的简单估计方法。
2.区间估计：用已知样本统计量和标准误确定总体参数所在范围的方法称为区间估计。所估计的总体参数的范围通常称为参数的置信区间，，是一个开区间，这一估计可相信的程度称为置信度或置信水平。若标准差不变，置信度由95%提高到99%，置信区间便由窄变宽，估计的精度下降。
计算：σp=√（π(1-π)/n）。在实际应用中，总体概率π常常未知，需要用样本频率p来估计。因此频率标准误的估计值为Sp=√（p(1-p)/n-1）约等于 √（p(1-p)/n）。由此式可见，增加样本含量n可减小样本频率的抽样误差。
主要应用：1估计总体概率的置信区间 2频率指标的假设检验。

表 4-2 样本量为 25 从 N(72.5,6.32)共随机抽取 10 个样本
样
样 样 最最抽
本
本 本 小大样
编
n=9
均 标 值值误
号
数准
差
差
1 65 68 68 76 84 6480 63 84 72.4 8.6 63 84 -0.10
2 74 61 65 75 67 78 72 70 67 69.9 5.4 61 78 -2.60
每次抽取10000个样本并计算各自的样本均 数
以10000个样本均数作为一个新的样本制作 频率密度分布图
72 74 74 73 66 67 80 73 64 75 78 69
4 74 80 76 64 66 71 82 78 67 79 56 64 6571.6 7.1 56 83-0.90
69 74 64 66 62 75 71 80 83 77 76 71
5 75 72 79 74 76 65 80 71 74 75 79 74 7373.5 4.4 65 80 1.00
72 81 60 76 77 69 73 74 76 71 76 79
10 79 82 75 64 77 74 73 67 67 84 79 78 7373.9 6.8 60 84 1.40
80 83 78 76 60 80 79 72 72 66 61 69
6
x
1 10
10 i 1
xi
1 10
7 74 67 71 77 70 61 66 70 73 69.9 4.8 61 77 -2.60
8 62 73 80 64 84 66 74 69 76 72.0 7.4 62 84 -0.50
9 73 68 62 73 73 69 76 71 68 70.3 4.1 62 76 -2.20

统计学中的抽样与抽样误差统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。

在统计学中，抽样是一种常用的方法，用于从总体中选择一部分样本来进行研究和分析。

抽样的目的是通过对样本的研究，对总体进行推断和估计。

然而，在抽样过程中，由于各种原因可能会引入抽样误差，这是需要注意和控制的。

一、抽样方法在统计学中，有多种抽样方法可供选择，常见的有随机抽样、分层抽样、系统抽样和整群抽样等。

不同的抽样方法适用于不同的研究目的和场景。

1. 随机抽样随机抽样是最常用的抽样方法之一。

在随机抽样中，每个个体都有相等的概率被选中为样本。

这样可以保证样本的代表性和可靠性，从而使得对总体的推断具有统计学上的意义。

2. 分层抽样分层抽样是将总体划分为若干相对独立的层，然后从每个层中进行随机抽样。

这种方法可以确保每个层都有足够的样本，从而提高估计的精确度。

3. 系统抽样系统抽样是按照一定的规则和间隔，从总体中选取样本。

例如，每隔k个单位选择一个样本。

这种方法在样本选择过程中具有一定的规律性，适用于总体有序排列的情况。

4. 整群抽样整群抽样是将总体分为若干个群体，然后随机选择部分群体进行抽样。

这种方法在样本选择过程中可以更好地保留群体间的差异性，适用于总体分为多个独立群体的情况。

二、抽样误差抽样误差是指通过抽样所得到的样本统计量与总体参数之间的差异。

抽样误差是不可避免的，但可以通过合理的抽样设计和样本量的确定来控制和减小。

1. 随机误差随机误差是由于样本选择的随机性导致的误差。

随机误差是无法完全消除的，但可以通过增加样本量来减小其影响。

较大的样本量可以使样本统计量更加接近总体参数。

2. 非抽样误差非抽样误差是由于抽样过程以外的因素引起的误差。

例如，调查问卷的设计不当、数据记录错误等。

非抽样误差可以通过加强调查问卷的设计和培训调查员等方式进行控制。

3. 抽样偏倚抽样偏倚是指样本与总体之间存在系统性的差异。

抽样偏倚可能会导致样本的代表性不足，从而影响对总体的推断。

第五章
参数估计基础
抽样研究的目的就是要用样本信息来推断相应总 抽样研究的目的就是要用样本信息来推断相应总 体的特征，这一过程称为统计推断。 体的特征，
统计推断包括： 统计推断包括：参数估计和假设检验
在用样本信息来推断相应总体特征 的过程中总是存在误差 误差--的过程中总是存在误差 抽样误差。
抽样误差： 抽样误差： 由个体变异产生的、由于抽样而造成的样 个体变异产生的、由于抽样 抽样而造成的样 产生的 本统计量与样本统计量及样本统计量与总体参 数之间的差异称为抽样误差。 数之间的差异称为抽样误差。
3、置信区间的计算
X ± zα / 2σ X
X± X± Zα / 2SX
X ± tα / 2,ν sX
3、置信区间的计算
（1）σ已知，按标准正态分布原理计算 已知，
通式： 通式： X
± zα / 2σ X
（双侧） 双侧）
为标准正态变量， 相当于按ν=∞时及P ν=∞时及 Zа/2为标准正态变量，Zа/2相当于按ν=∞时及P取α，由附 查的的t界值。 表2查的的t界值。 95%的双侧置信区间： 的双侧置信区间： 的双侧置信区间 99%的双侧置信区间： 的双侧置信区间： 的双侧置信区间
（二）频率的抽样分布
从总体中随机抽取若干样本， 从总体中随机抽取若干样本，计算出样 本频率， 本频率，这些频率的分布即为频率的抽样分 布。也是抽样分布的一种。 也是抽样分布的一种。 频率的抽样分布也有一定的规律。 频率的抽样分布也有一定的规律。 p72：表5-3 ：
频率的抽样分布： 频率的抽样分布： 1.样本频率服从正态分布： 样本频率服从正态分布： 样本频率服从正态分布 Nπ,n（1-π）≥5时 （ ） 时
(X −1.96σX, X + 1.96σX ) (X − 2.58σX, X + 2.58σX )

统计学中的抽样分布和抽样误差统计学是一门研究数据收集、处理和分析的学科，而在进行统计分析时，抽样是一项重要的技术。

抽样分布和抽样误差是统计学中关键的概念，本文将具体介绍它们的定义、特点和应用。

一、抽样分布在统计学中，抽样分布指的是从总体中抽取样本的过程中得到的样本统计量的概率分布。

样本统计量可以是样本均值、样本方差等。

抽样分布是由大量不同的样本所形成的，它们具有一定的数学特性。

抽样分布的特点有：1. 抽样分布的中心趋向于总体参数。

当样本容量足够大时，抽样分布的中心会接近总体参数的真值。

2. 抽样分布的形状可能与总体分布相同，也可能近似于正态分布。

中心极限定理是解释抽样分布接近正态分布的重要定理。

3. 样本容量越大，抽样分布的方差越小。

样本容量增大，抽样误差减小。

抽样分布在实际应用中具有重要价值。

通过了解抽样分布的性质，我们可以进行假设检验、构建置信区间以及进行参数估计等统计推断。

二、抽样误差抽样误差是指由于从总体中抽取样本而导致的估计值与总体参数值之间的差异。

它是统计推断中常见的误差来源，也是统计分析中需要控制的重要因素。

抽样误差的大小受到多个因素的影响，包括样本容量、总体变异性以及抽样方法等。

通常情况下，样本容量越大，抽样误差越小，因为更大的样本容量能够更好地代表总体。

为了降低抽样误差，我们可以采取以下策略：1. 增加样本容量。

增大样本容量可以减小抽样误差，提高估计值的准确性。

2. 采用随机抽样方法。

随机抽样可以降低抽样误差，确保样本的代表性。

3. 控制变异性。

尽量减少总体的变异性，可以减小抽样误差。

抽样误差的存在对于统计推断的可靠性有着重要的影响。

在进行数据分析和解释时，我们需要正确理解抽样误差的概念，并将其考虑在内。

总结：统计学中的抽样分布和抽样误差是进行统计推断不可或缺的概念。

抽样分布是样本统计量的概率分布，具有一定的数学特性，可以用于进行假设检验和置信区间估计。

抽样误差是由于从总体中抽取样本而导致的估计值与总体参数值之间的差异，它的大小受到多个因素的影响。

由表3-1可见，从同一总体中随机 抽取样本含量n=10的若干样本， 各样本算得的样本均数并不等于 相应的总体均数，且各样本均数 也不完全相同。由于随机抽样而 造成的来自同一总体的样本均数 之间及样本均数与相应的总体均 数之间的差异，称之为均数的抽 样误差。
抽样试验与抽样误差
抽样试验（sampling experimentation ）
例题：已知某市16岁女中学生的身高值分布服从均数 155.4 (cm)，标准差 5.3 (cm)的正态分布。现用计算机作抽样模拟试验，每次随机抽出10个观察值（即样本 含量），共抽取100个样本，求得100个样本均数和标准差。现将100个样本均数列 入表3-1。
抽样试验与抽样误差
抽样试验（sampling experimentation ）
②即使从非正态总体中抽取样本，所得均数分布仍近似呈正态。 ③随着样本量的增大, 样本均数的变异范围也逐渐变窄。
均数的抽样误差：
X
n
SX
s n
从正态分布总体N（5.00,0.502）中，每次随机抽取样本含量n＝5
，并计算其均数与标准差；重复抽取1000次，获得1000份样本；计算 1000份样本的均数与标准差，并对1000份样本的均数作直方图。
按上述方法再做样本含量n＝10、样本含量n＝30的抽样实验；比较
计算结果。
抽样试验与抽样误差
抽样试验（sampling experimentation ）
抽样试验与抽样误差
抽样试验（sampling experimentation ）
抽样试验（n=10）
抽样试验与抽样误差
抽样试验（sampling experimentation ）
抽样试验（n=30）

23
t分布
﹡ 由于t分布曲线是一簇曲线，对应于每个自由度都有
一条曲线，因而其界值不像u曲线那样是固定值，而 是一个与自由度ν有关的值。
为方便起见，统计学家也编制了t界值表，应用时可 以查取相应自由度下某一概率对应的界值。
24
t分布
P (t ≤ − tα / 2 ,ν ) =
α
2
1-α
P (t ≥ tα / 2 ,ν ) =
σX =
σ
n
s SX = n
样本均数标准误的估计值：
14
§2.1 均数的抽样分布与抽样误差
﹡ 在样本含量一定的情况下，标准误与标准差成正比。 当总体中观测值的变异较小时，估计的可靠程度高， 反之可靠程度低。 ﹡ 标准误与样本含量的平方根成反比。 样本含量越大，标准误越小。 ﹡ 标准误反映了抽样误差的大小。 标准误反映了样本均数间的离散程度，也反映了样本 均数与总体均数的差异。
2 2 2 χ 2 = X1 + X2 + + Xn
服从自由度为 n 的 χ 2 分布，记为 χ 2 ~ χ 2 ( n)
χ 2分布的密度函数：
n x −1 − 1 2 2 x e , x>0 n p ( x) = 2 2 Γ( n ) 2 x≤0 0,
18
χ² 分 布
0
14 8. 6 9 2 5 8 1 4 7 8. 9. 9. 9. 0. 0. 0. 1 3 6 9 2 5 8 1 4 7 14 14 14 14 15 15 15 15 15 1. 1. 1. 2. 2. 2. 3. 3. 3. 4 3 6 9 2 5 8 1 4 7 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 4. 4. 4. 5. 5. 5. 6. 6. 6. 7 3 6 9 2 5 8 1 4 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 7. 7. 7. 8. 8. 8. 9. 9. 0 3 6 9 15 15 15 15 15 15 15 16 16 0. 0. 0. 16 16

抽样检的基础必学知识点
抽样检的基础知识点包括以下内容：
1. 抽样方法：在进行抽样检时，需要选择适当的抽样方法，常见的抽
样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、整群抽样等。

2. 抽样误差：抽样误差是指抽样所引入的估计误差，其大小通常取决
于样本容量的大小和抽样方法的选择。

抽样误差越小，样本代表性越好，估计结果越可靠。

3. 样本容量：样本容量是指进行抽样检的样本数量，通常样本容量越大，估计结果越可靠。

样本容量的确定需要考虑抽样误差允许范围、
资源和时间等因素。

4. 抽样分布：抽样分布是指某一统计量在大量独立抽样情况下的分布。

常见的抽样分布有正态分布、t分布、卡方分布等。

根据不同的情况选择适当的抽样分布进行参数估计和假设检验。

5. 抽样误差的控制：为了减小抽样误差，可以采取增加样本容量、改
进抽样方法、增加抽样次数等方法进行控制。

合理选择抽样方法和样
本容量可以有效控制抽样误差。

以上是抽样检的基础必学知识点，通过学习这些知识点可以帮助我们
正确进行抽样检，得到可靠的估计结果。

二、总体均数及总体概率的区间估计
（一）总体均数的置信区间
1、t 分布法
当 未知且 n 较小时，估计双侧置信 区间：
（X
-t
,
s X
,
X
t ,
s X
)
可简写为：
X
t ,
s X
或X t,
s n
总体均数的95%双侧置信区间为：X
t0.05,
s X
例5-2(P95) 已知某地27名健康成年男子血红蛋白 含量的均数为125g/L，标准差为15g/L，试估计该地健康 成年男子血红蛋白平均含量的95%和99%置信区间 。
二项分布 n 31 X 25 n X 6 查附表6，得7 37 改错
该药物治疗脑血管梗塞有效概率的95%置信区间为 63%～93%。
2、正态近似法 适用范围：np＞5,且n(1-p)＞ 5
例5-6（P96） 用某种仪器检查已确诊的乳腺癌患者 120名，检出乳腺癌患者94例，检出率为78.3%，试估计该 仪器乳腺癌总体检出率的95%置信区间。 np 1200.783 93.96 n(1 p) 1200.217 26.04
第三节 总体均数及总体概率的估计
一、参数估计的基础理论
参数估计区 点间 估估 计计
对总体参数估计的范围称为置信区间，用CI（confidence interval）
表示，其置信度为（1 ），一般取置信度为95%，即取为0.05，此区
间的较小值称为置信下限，较大值称为置信上限。一般进行双侧置信区 间的估计。
第五章 参数估计基础
公共卫生学院 邹焰

定量资料

统计描述等级资料（有序分类资 料）

抽样误差与抽样分布引言在统计学中，抽样误差和抽样分布是两个重要的概念。

理解这两个概念对于正确分析和解释统计数据非常关键。

本文将介绍抽样误差和抽样分布的根本概念，以及它们在统计学中的应用。

抽样误差抽样误差是指由于抽样过程所引入的误差。

在统计学中，我们通常无法对整个人群〔总体〕进行调查，而是通过从总体中抽取一局部样本来进行调查。

因为样本是总体的一个子集，所以样本的特征和总体的特征是有差异的。

抽样误差正是由于样本与总体之间的这种差异而产生的。

抽样误差是所有因素对样本的影响造成的误差的综合。

它可以是由于抽样方法的不完善导致的有意或无意的偏斜，也可以是由于抽样过程中的随机性所导致的随机误差。

抽样误差可以通过屡次重复抽样来估计。

通过对不同的样本进行调查，我们可以了解抽样误差的变化范围。

通常，我们使用置信区间来度量抽样误差的大小。

置信区间表示一个范围，样本统计量〔如均值或比例〕有一定的概率落在这个范围内。

抽样分布抽样分布是指样本统计量的分布。

统计量可以是样本均值、样本比例、样本标准差等。

抽样分布描述了样本统计量在所有可能的样本中的分布情况。

抽样分布是重点研究的对象，因为它提供了对总体参数的估计和推断的根底。

通过抽样分布，我们可以计算样本统计量的期望值、方差和置信区间等。

抽样分布可以通过重复抽样和统计推断方法来估计。

通过从总体中抽取多个样本，并计算每个样本统计量的值，我们可以建立抽样分布。

我们还可以使用中心极限定理来近似抽样分布。

中心极限定理指出，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。

抽样误差与抽样分布的关系抽样误差与抽样分布是密切相关的。

抽样误差反映了样本与总体之间的差异，而抽样分布描述了样本统计量的分布。

当我们从总体中抽取一个样本时，样本统计量的值就是在这次抽样所得到的估计值。

通过屡次重复抽样，我们可以得到一系列样本统计量的值，这个系列就是抽样分布。

抽样误差是由于抽样过程中的随机性导致的，从而影响了样本统计量的值。

按无关标志排队，其抽样效果相当于简单随机抽样； 按有关标志排队，其抽样效果相当于类型抽样。
4·整群抽样（集团抽样）
—— 将总体全部单位分为若干“群”，然后 随机抽取一部分“群”，被抽中群体的所有 单位构成样本
例：总体群数R=16 样本群数r=4
A D
E
B F G
CM N
J H
L K
P O I
LP HD
样本比例的抽样分布
(数学期望与方差)
1. 样本比例的数学期望
E(p)
2. 样本比例的方差
– 重复抽样
p2
(1)
n
–
不重复抽样
2 p
(1)Nn
n N1
第二节 抽样误差
一、抽样误差的概念 二、抽样平均误差 三、抽样极限误差
指样本估计量与总体参数之间数量抽样Biblioteka 差 上的差异，仅指由于按照随机原则
•第一个
•第二个观察值
•观察值
•1
•2
•3
•4
•1
•1,1
•1,2
•1,3
•1,4
•2
•2,1
•2,2
•2,3
•2,4
•3
•3,1
•3,2
•3,3
•3,4
•4
•4,1
•4,2
•4,3
•4,4
计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均 值的抽样分布
•16个样本的均值（x）
•第一个 •观察值
•第二个观察值 •1 •2 •3 •4
•
值越来越接近被估计的总体参数
P(ˆ ) 较大的样本容量
B
较小的样本容量
A

ˆ

.
二、总体概率可信区间的计算
1.查表法：n≤50，特别是p接近0或100%时，可查 附表6（P478-480)，二项分布概率的置信区间表， 例6-4。
注意：附表6中X值只列出了X≤n/2部分，当X>n/2 时，应以n - X值查表，然后用100减去查得的数 值，即为所求的区间。
2.正态近似法**：当n较大且np和n（1-p）均大于5 时，二项分布接近正态分布，则总体率的双侧 （1-α）可信区间为： P ± Ζα/2· Sp
f(t)
0.4
υ=∞
υ＝5
0.3
υ＝1
0.2
0.1
0.0
t
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
图6-4 自由度为1、5、∞的t分布
.
t分布的特征：只有一个参数ν 以0为中心，左右对称的单峰分布； t分布是一簇曲线，形态变化与n（即自由度）大
小有关。自由度ν越小，t分布曲线越低平；自 由度ν越大，t分布曲线越接近标准正态分布 （Ζ分布）曲线。 t分布峰部较矮，尾部翘得较高，说明远侧的t值 的个数相对较多，即尾部面积（概率P）较大。 自由度ν越小这种情况越明显，ν渐大时，t分 布渐逼近标准正态分布；当ν=∞时，t分布就成 为标准正态分布了。 附表2，t界值表P467
.
均数的抽样误差——指由抽样而造成的样本均数 与总体均数之间的差异。
x 称标准误，它说明均数抽样误差的大小。
x / n
n越大，标准误越小，样本均数的抽样误差亦越小 实际工作中，σ常未知，而是用样本标准差s来估
计，则有 sx s/ n
常用来说明均数的抽样误差的大小。
.
即使从偏态总体抽样，当n足够大时， 样本均数也近似正态分布（见实验6-2， 观察图6-1及图6-2的变化）。