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样本及抽样分布讲解学习

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《样本抽样分布》PPT课件

《样本抽样分布》PPT课件
简称为样本，其观察值 x1 , xn称为样本值。
由定义知：若X 1 ,, X n 为X的一个样本， 则 ( X1 ,, X n ) 的联合分布函数为：
n
F * ( x1 ,, xn ) F ( xi )
5
i 1
第五页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
§1 随机样本
若设X的概率密度为 f (x) ，
例如：某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每一个 灯泡的寿命是一个个体；某学校男生的身高的全体
3
一个总体，每个男生的身高是一个个体。
第三页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
§1 随机样本
二、随机抽样 抽样分放回和不放回抽样， 放回抽样保证每次抽取时各个个体被抽到的概率相同， 但同一个体可能被多次抽到。
1） 定义：设 X1 , X n 为来自总体X的一个样本，g 是 X1 , X n的函数，若g是连续函数，且g中不含任 何未知参数，则称g( X 1 , X n )是统计量。
设( x1 ,, xn )是相应于样本( X1 , X n )的样本值。 则称g( x1 , xn )是g( X 1 , X n )的观察值。
n i 1
Xi
nX 2 )
1n (
n 1 i1
X
2 i
2 XnX
nX
2)
15
1n [
n 1 i1
Xi2
nX 2 ]
第十五页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
§2 抽样分布
样本标准差 S
S2
1 n 1
n i1
(Xi
X )2
1
n
[
n 1 i1
Xi2
nX
2]

样本及抽样分布培训课件(共46张PPT)

样本及抽样分布培训课件(共46张PPT)




所以
n 1 2 2 2 ES E ( X X ) i n 1 i 1
n 1 12 2 2 n ES E ( X X ) n i n n i 1
3.与4.的结论由大数定律即可得。
6.4 抽样分布
§6.4 三个常用分布
统计量的分布称为抽样分布。一般情况下， 当总体分布已知时，求统计量的分布是很困难的。 然而，当总体服从正态分布时，某些统计量的分 布比较容易求得。
第六章 数理统计基础知识
基本概念 经验分布函数 统计量及其分布 三个常用分布 抽样分布定理 典型例题

第六章 数理统计基础知识
现实世界中存在着形形色色的数据,分析这些 数据需要多种多样的方法. 因此,数理统计中的方法和支持这些方法的相 应理论是相当丰富的.概括起来可以归纳成两大类: 参数估计──根据数据,用一些方法对分布的未知 参数进行估计. 假设检验──根据数据,用一些方法对分布的未知 参数进行检验. 它们构成了统计推断的两种基本形式.这两种推断 渗透到了数理统计的每个分支.
6.1 基本概念
§5.1 基本概念
总体:研究对象的某项数量指标的全部可能的观察值 个体：每一个可能观察值为个体。 容量：总体所包含的个体的个数称为总体的容量 有限总体：容量有限的称为有限总体 无限总体：容量无限的称为无 限总体 某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体， 每一个灯泡的寿命是一个个体； 某学校男生的身高的全体一个总体， 每个男生的身高是一个个体。
P 则当 n 时， Ak k , k 1,2,,
X , X , , X ) 是来自总体X的一个样本 定理 设 ( 1 2 n
2 记 EX ,DX
那么

统计学中抽样和抽样分布基础知识

统计学中抽样和抽样分布基础知识
从无限总体的抽样 无限总体的随机样本 如果从一个无限总体中抽取一个容量为n的样本，使得以下条件被满足 抽取的每个个体来自于同一总体 每个个体的抽取是独立的
样本均值的抽样分布
定义：样本均值的所有可能值的概率分布 样本均值的数学期望：对于简单随机样本时，样本均值的数学期望与总体均值相等 样本均值样本中具有感兴趣特征的个体个数/样本容量 样本比率的抽样分布：是样本比率的所有可能值的概率分布
样本比率的数学期望：样本比率的数学期望与总体比率相等 样本比率的标准差
有限总体：有限总体修正系数*无限总体样本比率的标准差 无限总体：根号下p(1-p)/n 样本比率的抽样分布的形态 当样本容量足够大，同时np≥5和n(1-p)大于等于5时，样本比率的抽样分布可以 用正态分布近似
统计学中抽样和抽样分布基础知识
抽样基本属于
抽样总体：抽取样本的总体 抽样框：用于抽选样本的个体清单 参数：总体的数字特征
抽样
从有限总体的抽样 建议采用概率抽样 简单随机样本：从容量为N的有限总体中抽取一个容量为n的样本，如果容量为n 的每一个可能的样本都以相等的概率被抽出，则称该样本为简单随机样本 无放回抽样和有放回抽样 无放回抽样：被抽取对象已经选入样本，不希望该对象被多次选入 有放回抽样：对已经出现过的随机数仍选入样本
点估计
样本统计量：为了估计总体参数，计算样本的特征 抽样总体和目标总体
目标总体是我们想要推断的总体 抽样总体是指实际抽取样本的总体 点估计的性质 无偏性：样本统计量是相应总体参数的无偏估计量 有效性：采用标准误差较小的点估计量，给出的估计值与总体参数更接近 一致性：大样本容量给出的点估计与总体均值更接近
其他抽样方法
分层随机抽样：总体中的个体首先被分成层，总体中的每一个体属于且仅属于某一 层，从每一层抽一个简单随机样本 整群抽样：总体中的个体首先被分成单个组，总体中的每一个个体属于且仅属于某 一群，有群为单位抽取一个简单随机样本 系统抽样：对容量很大的总体，第一个个体为随机抽样，总体个体排列时个体的随 机顺序 方便抽样：非概率抽样 判断抽样：对总体非常了解主观确定总体中认为最具代表性的个体组成样本

第六章 样本及抽样分布1精品PPT课件

第六章 样本及抽样分布1精品PPT课件
一般, 代表总体的指标(如显象管寿命)是一个随机变量 X, 所以总体就是指某个随机变量X 可能取值的全体。
二．样本
1．抽样: 从总体中抽取若干个体的过程。
2．样本: 从总体中抽取若干个体, 观察得随机变量的一组试验 数据(观测值), 样本中所含个体的数量称为样本容量。
从总体中抽取样本, 一般假设满足下述条件： (1) 随机性: 使总体中的每一个个体有同等机会被抽取到； (2) 独立性: 每次抽样的结果既不影响其他各次抽样的结果,
1
f
xn
b
1n
0
a xi b 其他
测试题B答案:
一．填空题。
1. 1)满足X1, X2 , … X n独立且同分布
2. 21) 2 n
n
2.
Xi p i1
n
1 p
n Xi
i1
,
E X p,
p 1 p DX
n
3. 5/8
二．计算题。
解: 因为X1, X2 , … X n来自均匀分布总体 N , 2 ,则X1, X2 , …
3. 简单随机样也本不：受由其随他机各的次, 独结立果的的抽影样响方；法得到的样本, 这 种随机的, 独立的抽样方法称为简单随机抽样。
注: 今后凡是提到抽样与样本, 都是简单随机抽样与简单随 机样本。
由于从总体中抽取容量为n的样本, 即是对代表总体的随 机变量X随机的,独立的进行n次试验, 每次试验结果可以看作 一个随机变量, n 次试验结果就是n个随机变量 X1, X2 , … X n , 它们相互独立且与总体X同分布。
则的联合概率密度为 。
二. 计算题。
1. 设X1, X2 , … X n是来自均匀分布总体U (a , b)的样本, 求样本 (X1, X2 , … X n)的联合概率密度。

第五讲样本及抽样分布

第五讲样本及抽样分布

第五讲 样本及抽样分布一 基本概念总体 含义1：研究对象的全体，例如一批灯泡。

含义2：研究对象的某数量指标（例如灯泡的寿命，随机变量）X 的取值全体，总体的分布是指随机变量X 的分布。

个体 组成总体的某个基本单元，例如一个个的灯泡，也指基本单元的数量指标。

样本 从总体中抽取的n 个个体，n 又称样本容量。

简单随机样本 样本中的n 个个体n X X X ,,,21 相互独立，且与总体同分布的样本，简称样本。

样本n X X X ,,,21 的实验结果n x x x ,,,21 称为样本观测值。

样本空间 样本n X X X ,,,21 的所能可能结果。

统计量 样本的不含任何参数的函数。

二 重要统计量样本均值 ,11∑==n i i X n X （而∑==ni i x n x 11称为样本均值的观测值）样本方差 ∑=-=ni i X X S 1212)( 注：212111,1σμn DX n X D EX n X E n k k n i k ====∑∑== ∑∑==--=--=n i i n i iX X D n X X E n ES 1122)(11)(11 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---+---=∑=n X X n n n X D n n i n i 11111 212)1(2)1(211σσσ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∑=--n i n n n n n三、抽样分布统计量的分布：大多数情况下，针对正态分布样本而言，以下不说明均指正态分布。

1、-2x 分布： 如果r.v X 的密度函数为 []12/2/12/)2/(2,0,)(---=>=n c x ecxx f n x n Γ则称X 服从参数为n 的-2x 分布，记作n n x X ),(~2又称自由度，指独立变量的个数。

如果)1,0(..,,,21N d i i X X X n ，则)(~212n x X nk k ∑=。

定理5.1 如果),(..,,,221σμdN i i X X X n ，则 ),(~2nN X σμ与∑=--=-nk k n x X X S n 12222)1(~/)()1(σ独立。

《样本及其抽样分布》课件

《样本及其抽样分布》课件
阶段可采用不同的抽样方法。
特点
第一阶段采用简单随机抽样，后 一阶段采用系统抽样或分层抽样
。
适用范围
适用于大规模、多阶段的复杂调 查。
03
抽样分布
抽样分布的定义
抽样分布
描述样本统计量（如均值、中位数、众数等）如 何分散和变化的分布。
样本统计量
从样本中计算得出的数值，用于估计总体参数。
总体参数
描述总体特性的数值，如总体均值、总体比例等 。
中心极限定理的应用
中心极限定理表明，无论总体分布是什么，只要样本容量足够大，样本均值的分布 就会趋近于正态分布。
在实际应用中，中心极限定理用于推断总体参数，通过样本均值来推断总体均值和 总体标准差。
中心极限定理是统计分析中重要的理论基础之一，它为样本均值的分布提供了理论 支持。
样本均值的分布近似正态分布
有效性
如果样本统计量的方差最小，则该统计量是有效 的。
3
一致性
随着样本量的增加，样本统计量逐渐接近总体参 数。
04
样本统计量
样本均值
定义
样本均值的计算公式为 $bar{x} = frac{1}{n}sum_{i=1}^{n} x_i$，其中 $n$ 是样本容量 ，$x_i$ 是每个样本观测值。
意义
样本均值代表了样本数据的集中趋势和平均水平。
应用
在统计分析中，样本均值常用于推断总体均值，是描述数据分布特性的重要统计量之一。
样本方差和标准差
定义
01
样本方差的计算公式为 $s^2 = frac{1}{n}sum_{i=1}^{n} (x_i -
bar{x})^2$，标准差的计算公式为 $s = sqrt{s^2}$。

统计学抽样与抽样分布培训课件

统计学抽样与抽样分布培训课件
• 使用相应的公式或方法计算置信区间。
置信区间的计算与应用
应用示例
1. 估计总体均值：通过样本均值构建均值的置信区间，可以了解总体均值的可能取值范围。
2. 估计总体比例：通过样本比例构建比例的置信区间，可以了解总体中某一特征或属性的分 布情况。
置信区间的计算与应用
3. 假设检验：置信区间也可以用于 假设检验，通过比较构建的置信区间 与假设值来判断是否拒绝原假设。
统计学抽样与抽样分布培训课件
汇报人： 日期:
目录
• 统计学抽样概述 • 抽样方法 • 抽样分布 • 抽样误差与置信区间 • 抽样检验与假设检验 • 案例分析与实践
01
统计学抽样概述
抽样的定义和目的
定义
抽样是从总体中按照一定方法选 取部分观测单位构成样本的过程 。
目的
抽样的目的是通过样本的统计特 征推断总体的参数，以减小调查 成本，提高调查效率，并获得更 加准确、可靠的统计推断结果。
抽样过程实施
按照抽样方案进行实地抽样，记录抽样过程中的关键信息，如抽样 时间、地点、样品编号等，确保抽样过程的规范性和可追溯性。
抽样结果分析
对抽取的样品进行质量检验，根据检验数据计算合格率、不合格率等 关键指标，评估产品质量水平和生产过程中的问题。
案例二：民意调查的抽样设计
1 2 3
抽样框确定
明确调查的总体范围和目标人群，选择合适的抽 样框，如电话簿、户籍名册等，确保抽样框具有 代表性和覆盖性。
决策准则
如果检验统计量的值落在拒绝 域内，则拒绝原假设，否则接
受原假设。
两类错误
第一类错误（拒真错误）、第 二类错误（纳伪错误），需要
控制两类错误的概率。
功效函数

概率论第六章样本及抽样分布

概率论第六章样本及抽样分布
2 1 2 2
本相互独立，记
1 n1 X Xi n1 i 1 1 n2 Y Yi n2 i 1
则有 ⑴
2 1 2 2 2 1 2 2
1 n1 S12 ( X k X )2 n1 1 k 1 1 n2 2 S2 (Yk Y ) 2 n2 1 k 1
S / ~ F (n1 1, n2 1) S /
⑵ 当 时
2 1 2 2 2
X Y ( 1 2 ) ~ N (0,1) 1 1 n1 n2
(n1 1) S12

2 1

2 (n2 1) S2

2 2
~ 2 (n1 n2 2)
X Y ( 1 2 ) ~ t (n1 n2 2) 1 1 S n1 n2
2
又因为
(n 1)S 2

2
~ (n 1)
2
X n1 X n
故 Y

(n 1) S 2
n n 1 ~ t (n 1) /(n 1)

2
X n1 X n Y S
n ~ t (n 1) n 1
例4
设总体X , Y 相互独立 X ~ N (0,32 ) , Y ~ N (0,32 ) ,
2
X n1 X n n X 1 , X 2 ,, X n , X n1 , 求 Y 的分布 . S n 1 1 n 1 n 2 2 其中 X n X i , S ( Xi X n ) n i 1 n 1 i 1
1 2 解 由已知得 X n1 ~ N ( , ) , X n ~ N ( , ) , n n 1 2 所以 X n1 X n ~ N (0, ) n n 标准化得 X n1 X n ~ N (0,1) n 1

3样本及抽样分布

3样本及抽样分布

x
n n 1 1 2 2 2 2 s ( x x ) [ x n x ] i i n 1 i 1 n 1 i 1
x n
i 1
i
第三章 样本及抽样分布
s
1 2 ( xi x) n 1 i 1
n
§3 抽样分布
1 n k a k x i , k 1,2 n i 1 1 n bk ( x i x ) k , k 1,2 n i 1
2
n
第三章 样本及抽样分布
§3 抽样分布
二、 常用统计量的分布
1) 2 分布 设( X 1 , X n )为来自于正态总体 N (0,1)的样本，
则称统计量：
X X
2 2 1
2
2 n
所服从的分布为自由度 是n的 分布。
记为 ~ (n)
2 2
2 分布具有下面的性质：
t 0.95 (9) 1.___ 8331. 2 __________
第三章 样本及抽样分布
3) F 分布
X / n1 F Y / n2
§3 抽样分布
若 X ~ 2 (n1 ), Y ~ 2 (n2 ), X ,Y 独立， 则 称随机变量
所服从的分布为自由度
是n1 , n2 的 F 分布，记作 F ~ F (n1 , n2 ).
定理：若 F ~ F (n1 , n2 ),则 1 / F ~ F (n2 , n1 ).
对于给定的 (0 1)， 称 满 足 条 件 ： P{ F F ( n1 , n2 )}
的点 F (n1 , n2 )为F分布的 上分位点 。

F (n1 , n2 )

样本及抽样分布教案

样本及抽样分布教案

样本及抽样分布教案教案标题：样本及抽样分布教案教案目标：1. 理解样本和抽样分布的概念。

2. 学习如何进行简单随机抽样。

3. 掌握样本统计量的计算方法。

4. 理解抽样分布的特征和应用。

教案步骤：步骤一：引入（5分钟）1. 引导学生回顾总体和样本的概念。

2. 提出问题：为什么我们需要使用样本进行统计推断？3. 解释抽样分布的概念，并强调其在统计推断中的重要性。

步骤二：样本抽取方法（10分钟）1. 介绍简单随机抽样的概念和步骤。

2. 解释如何使用随机数表或随机数生成器进行简单随机抽样。

3. 提供示例和练习，让学生实际操作并抽取样本。

步骤三：样本统计量的计算（15分钟）1. 介绍样本均值和样本比例的概念。

2. 解释如何计算样本均值和样本比例。

3. 提供示例和练习，让学生计算样本统计量。

步骤四：抽样分布的特征（15分钟）1. 解释抽样分布的概念和特征。

2. 引导学生理解中心极限定理的作用。

3. 通过示例和图表展示不同样本大小下的抽样分布特征。

步骤五：抽样分布的应用（10分钟）1. 解释抽样分布在统计推断中的应用。

2. 引导学生理解如何使用抽样分布进行区间估计和假设检验。

3. 提供实际应用案例，让学生运用抽样分布进行推断分析。

步骤六：总结与评价（5分钟）1. 总结样本及抽样分布的重要概念和方法。

2. 提醒学生练习和巩固所学知识。

3. 鼓励学生提出问题和分享观点。

教案评估：1. 练习题：提供一些样本抽取和样本统计量计算的练习题，检查学生对所学内容的理解和应用能力。

2. 课堂讨论：引导学生参与课堂讨论，评估他们对抽样分布应用的理解和思考能力。

3. 反馈问答：与学生进行问答交流，解答他们对教学内容的疑问。

教案扩展：1. 深入研究其他抽样方法，如系统抽样和分层抽样。

2. 探索不同样本大小对抽样分布的影响。

3. 引导学生进行实际调查或研究，运用所学知识进行样本抽取和推断分析。

概率课件-样本及抽样分布

概率课件-样本及抽样分布
是来自总体的一个样本，则
(1) E( X ) E( X ) ,
(2) D( X ) D( X ) 2 n ,
n
(3) E(S 2 ) D( X ) 2
矩估計法的 理論根據
若总体X的k阶矩E( X k ) k存在，则
(4) Ak
1 n
n i 1
Xik
p k
k 1, 2,
.
(3)证明：E(S2 )
2. 樣本
• 總體分佈一般是未知，或只知道是包含未知參 數的分佈。
• 為推斷總體分佈及各種特徵，按一定規則從總 體中抽取若干個體進行觀察試驗，以獲得有關 總體的資訊，這一抽取過程稱為 “抽樣”。
• 所抽取的部分個體稱為樣本。 • 樣本中所包含的個體數目稱為樣本容量。
对总体X在相同的条件下，进行n次重复、独立 观察，其结果依次记为X1，X2，，Xn .
概率論與數理統計的區別： • 概率論所研究的隨機變數，其分佈都是假設已知
的，在這個前提下研究其性質、特點和規律性。 • 數理統計所研究的隨機變數，其分佈是未知或不
完全知道的。需要通過獨立重複的觀察並對觀察 數據進行分析，來推斷其分佈。
數理統計的任務就是研究有效地收集、整理、 分析所獲得的有限的資料，對所研究的問題, 盡 可能地作出精確可靠的結論.
Y ( X1 X2 X3 )2 ( X4 X5 X6 )2
试决定常数C，使随机变量CY 服从 2分布.
解: 因为 X1 X2 X3 ~ N (0,3) 所以 X1 X2 X3 ~ N (0,1) 3
从而
X1
X2 3
X3
2
~
2 (1)
同理可知
X4
X5 3
X6
2

第6章-样本及抽样分布

第6章-样本及抽样分布

X
k i
样本 k 阶中心矩
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k,
§２ 抽样分布
统计量旳分布称为抽样分布。数理统计中 常用到如下三个分布：
2分布、 t 分布和F分布。
一、 2分布
iid
n
1. 构造 设 X1,, X n ~ N (0,1), 则 2
X
2 i
~
2 (n).
i 1
称为自由度为n的 2 分布.
h(
y)
(
n1
2
n
2
)(n1
/
(
n1 2
)(
n2 2
)(1
0,
n2
n1 n2
) y n1 / 2
n1 1 2
,
y)(n1 n2 ) / 2
y0
y0
2. F分布旳分位点
对于：0<<1，
若存在F(n1, n2)>0 ，满足
P{FF(n1, n2)}=，
则称F(n1, n2)为
F(n1, n2)旳上侧分
位点；
P447附表5
F (n1, n2 )
注：
F1
(n1, n2 )
F
1 (n2 , n1)
证明:
设F~F(n1,n2), 则
1 F
~
F (n2 , n1)
P{F F1 (n1, n2 )} 1
P{ 1 1 } 1
F F1 (n1, n2 )
P{ 1 1 }
F F1 (n1, n2 )
4.性质：
(1)分布可加性 若X ~ 2(n1)，Y~ 2(n2 )，X，Y 独立，则X + Y ~ 2(n1+n2 ) (2)期望与方差 若X~ 2(n)，则

样本及其抽样分布PPT课件

样本及其抽样分布PPT课件
总体
等同于
相应的随机变量
研 究 对 象体现为 研 究 对 象 的 某 项 数可 看 作 某 个 随 机 变 量
的全体
量指标值的全体
取值的全体
第1页/共23页
样本: 由部分个体构成的集合。经常说,来 自(或取自 )某总体的样本。
样本具有二重性: 在抽样前,它是随机向量, 在抽样后,它是数值向量(随机向量的取值)。
例6.3.3 设 N (0,4) 的s.r.s,
是取自总体
当a=
, b=
时,
解(1)服从 2(n)(2)由题意得
a =1/20 b=1/100
第9页/共23页
3. 2(n)的密度曲线
f(x) n=1 n=4
n=10 X
随着n的增大,密度曲线逐渐趋于平缓,对称.
第10页/共23页
五、t 分布及其性质
X
是样本均值，则有
X
~
N
,
2 n
注：在大样本情况下，无论总体服从何种分布均有
X
~
N ,
2 n
第7页/共23页
二、 2分布及其性质
1.定义: 称 n 个相互独立同标准正态分布的随机变量的平方和X的分布为自由度为n的
分布,记作
2.性质:
X ~ 2(n)
(1) X 1,X2,…Xn独立,Xi~N(0,1),(i=1,2,…,n),则
1
t2
e2
2
（2）
n
E(T) 0, D(T)
(n 2)
n2
（3） h(t)的图形关于Y轴对称
第13页/共23页
例6.3.6
设随机变量 X 和 Y 相
互独立且都服从正态分布
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样本及抽样分布第六章样本及抽样分布【基本要求】1、理解总体、个体和样本的概念；2、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算；3、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论；4、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。

【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布——2 分布，t分布，F分布；分位数的理解和计算。

【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。

【学时分配】4学时【授课内容】§6.0 前言前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一门数学分支。

它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性；而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的一门数学分支。

所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来选择、构造数学模型（即研究随机现象）。

其研究方法是归纳法（部分到整体）。

对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。

数理统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。

§6.1 随机样本一、总体与样本1.总体、个体在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。

例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每个男大学生就是个体。

但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几项数量指标X(可以是向量)和该数量指标X在总体的分布情况。

在上述例子中X是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。

在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值，因而这个数量指标X是一个随机变量（或向量），而X的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。

由于我们关心的正是这个数量指标，因此我们以后就把总体和数量指标X可能取值的全体组成的集合等同起来。

定义1：把研究对象的全体（通常为数量指标X可能取值的全体组成的集合）称为总体；总体中的每个元素称为个体。

我们对总体的研究，就是对相应的随机变量X的分布的研究，所谓总体的分布也就是数量指标X的分布，因此，X的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。

今后将不区分总体与相应的随机变量，笼统称为总体X。

根据总体中所包括个体的总数，将总体分为：有限总体和无限总体。

例1：考察一块试验田中小麦穗的重量：X =所有小麦穗重量的全体（无限总体）；个体——每个麦穗重x对应的分布：+∞<<σμσπ=≤=≤ξ=⎰∞-σμ--x N dt ex 重量x P x F xt 0),(~21}{)(22)(22总麦穗数的麦穗数例2：考察一位射手的射击情况：X =此射手反复地无限次射下去所有射击结果全体； 每次射击结果都是一个个体（对应于靶上的一点）个体数量化⎩⎨⎧=未中射中01x1在总体中的比例p 为命中率 0在总体中的比例p -1为非命中率总体X 由无数个0，1构成，其分布为两点分布),1(p B p X P p X P -====1}0{,}1{ 2.样本与样本空间为了对总体的分布进行各种研究，就必需对总体进行抽样观察。

抽样——从总体中按照一定的规则抽出一部分个体的行动。

一般地，我们都是从总体中抽取一部分个体进行观察，然后根据观察所得数据来推断总体的性质。

按照一定规则从总体X 中抽取的一组个体),,,(21n X X X Λ称为总体的一个样本，显然，样本为一随机向量。

为了能更多更好的得到总体的信息，需要进行多次重复、独立的抽样观察（一般进行n 次），若对抽样要求①代表性：每个个体被抽到的机会一样，保证了n X X X ,,,21Λ的分布相同，与总体一样。

②独立性：n X X X ,,,21Λ相互独立。

那么，符合“代表性”和“独立性”要求的样本),,,(21n X X X Λ称为简单随机样本。

易知，对有限总体而言，有放回的随机样本为简单随机样本，无放回的抽样不能保证n X X X ,,,21Λ的独立性；但对无限总体而言，无放回随机抽样也得到简单随机样本，我们本书则主要研究简单随机样本。

对每一次观察都得到一组数据（n x x x ,,,21Λ），由于抽样是随机的，所以观察值（n x x x ,,,21Λ）也是随机的。

为此，给出如下定义：定义2:设总体X 的分布函数为)(x F ，若n X X X ,,,21Λ是具有同一分布函数)(x F 的相互独立的随机变量，则称（n X X X ,,,21Λ）为从总体X 中得到的容量为n 的简单随机样本，简称样本。

把它们的观察值（n x x x ,,,21Λ）称为样本值。

定义3:把样本(n X X X ,,,21Λ)的所有可能取值构成的集合称为样本空间,显然一个样本值(n x x x ,,,21Λ)是样本空间的一个点。

注：样本具有双重性，在理论上是随机变量，在具体问题中是数据。

二、样本的分布：设总体X 的分布函数为)(x F ，（n X X X ,,,21Λ）是X 的一个样本，则其联合分布函数为：)x ,,x ,x (F n *Λ21=∏=ni 1)(i x F 。

例3：设总体),,(,),1(~21n X X X p B X Λ为其一个简单随机样本，则样本空间}n ,,,i ;,x )x ,,x ,x {(i n ΛΛ211021===Ω，因为1{}(1)x x P X x p p -==⋅-，0,1x = 所以样本的联合分布列为：11221122{,,,}{}{}{}n n n n P X x X x X x P X x P X x P X x =======L Ln i x p p p p p p i x x x x x x nn ,,2,11,0)1()1(.)1(1112211ΛΛ==---=---§6.2 抽 样 分 布0、引言有了总体和样本的概念，能否直接利用样本来对总体进行推断呢？一般来说是不能的，需要根据研究对象的不同，构造出样本的各种不同函数，然后利用这些函数对总体的性质进行统计推断，为此，我们首先介绍数理统计的另一重要概念——统计量。

一、统计量（随机变量）定义1：设12(,,,)n X X X L 是来自总体X 的一个样本，12(,,,)n g X X X L 是样本的函数，若g中不含任何未知参数，则称g (n X X X ,,,21Λ)是一个统计量。

设12(,,,)n x x x L 是对应于样本12(,,,)n X X X L 的样本值，则称12(,,,)n g x x x L 是12(,,,)n g X X X L 的观察值。

下面列出几个常用的统计量。

1、样本均值与样本方差（随机变量）定义2 设（n X X X ,,,21Λ）是来自总体X 的一个样本，称∑==n1i i X n 1X 为样本均值。

)X n X n X (n )X X X X (n [)X X (n S n i ni i n i i i i 211221222221121111∑∑∑===+--=+--=--= )]X n X (n ni i 21211--=∑=为样本方差。

∑=--==ni i X X n S S 122)(11为样本标准差。

样本均值与样本方差分别刻划了样本的位置特征及样本的分散性特征。

2.样本矩（r.v ）设总体X 的分布函数为)(x F ，则称)X (E m k k =（假设它存在）为总体X 的k 阶原点矩；称]))X (E X [(E k k -=μ为总体X 的k 阶中心矩。

把总体的各阶中心矩和原点矩统称为总体矩。

特别地：1m =)(X E ；)(2x D =μ是总体X 的期望和方差。

定义3：设)X ,,X ,X (n Λ21是来自总体X 的一个样本，则称∑==ni k ik Xn A 11，k =1，2，3……；为样本的k 阶原点矩（随机变量）∑=-=ni k i k X X nB 1)(1，k =1，2，3……；为样本值的k 阶中心矩（随机变量）。

特别地，X A =1，但2B 与2S 却不同，由2S 与2B 的计算式可知：221S nn B -=， 当∞→n 时，2B =2S ，所以常利用2B 来计算S （标准差）。

设)x ,,x ,x (n Λ21为样本)X ,,X ,X (n Λ21的观测值，则样本矩对应观测值分别为：∑==ni i x n x 11；2s =∑=--ni i )x x (n 1211；∑=--==ni i )x x (n s s 12211； ∑==n i k i k x n a 11； ∑=-=ni k i k x x n b 1)(1；k =1，2，3……；在不至于混淆的情况下，这些值也分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本k 阶原点矩、样本k 阶中心矩。

【注】： ()1,2,pk k A m n k −−→→∞=L ，这就是下一章要介绍的矩估计的理论根据。

统计量是我们对总体的分布函数或数字特征进行统计推断的最重要的基本概念，所以寻求统计量的分布成为数理统计的基本问题之一。

我们把统计量的分布称为抽样分布。

然而要求出一个统计量的精确分布是十分困难的。

而在实际问题中，大多总体都服从正态分布：而对于正态分布，我们可以求出一些重要统计量的精确分布，这就是： 二、几种常用的抽样分布：（正态分布中的几种统计量的分布）把2χ分布，t 分布，F 分布，统称为“统计三大分布”。

1、正态分布由正态分布的性质，可得如下结论：1）定理：设n X X X ,,,21Λ相互独立,),(~2i i i N X σμ，n i ,,2,1Λ=，η是关于i X 的任一确定的线性函数(∑==n i i i X a 1η)，则η也服从正态分布，且~η∑∑==σμn i ni i i i i a a N 1122),(。

2）结论：若（n X X X ,,,21Λ）是来自总体2~(,)X N μσ的一个样本，X 为样本均值，则①~X ),(2nN σμ，由上述结论可知：X 的期望与X 的期望相同，而X 的方差却比X 的方差小的多，即X 的取值将更向μ集中。

②X 与2S 相互独立。

2、2χ分布1)定义:设（n X X X ,,,21Λ）是来自总体),(N ~X 10 的一个样本，则称统计量：∑==ni i X 122χ所服从的分布是自由度为n 的2χ分布，记作：)n (~22χχ。

)(2n χ的概率密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧Γ=χ--0)(21),(212222x n n e x n x n 00≤>x x ，其中:⎰∞--=Γ012)2(dx e x nx n，()π=Γ21 显然， 0),(2≥χn x ,且⎰+∞∞-=χ1),(2dx n x ，即符合密度函数性质。