弹性力学 第7章_应力应变分析

yx
(σ y
m1 l1
zx
n1 l1
σ1 )
m1 l1
(σx
zy
n1 l1
σ1 )
xy
0,
0.
(g)
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§7.2 应力状态分析与主应力、主方向
m1 , n1
由上两式解出 l1 l1 。然后由式(e)得出
l1
1
.
1 ( m1 )2 ( n1 )2
(e)
l1
l1
再求出 m1 及 n1 。
l 2 m2 n2 1.
(e)
结论：式(d) , (e)是求主应力及其方向余 弦的方程。
11
§7.2 应力状态分析与主应力、主方向
4. 求主应力 σ
将式(d)改写为：
(σ x σ)l yxm xyl (σ y σ)m
zzxynn00,,
xzl yzm(σ z σ)n0。
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§7.2 应力状态分析与主应力、主方向
(3) 3个主应力包含了此点的最大和最小 正应力。
(4) 一点存在3个应力不变量 I1 ,I2 ,I3.
(5) 最大和最小切应力为 σ1 σ3 .
2
设σ1σ，2 作σ3用 于通过中间
主应力、并且“平分最大和最小正应
力的夹角”的平面上。
20
所受的内力
应力矢量：
r
lim r
pn
S 0
F S
pr n 随截面的法线方向n的方向改变而变化
目录
3
§7.1 内力和应力
应力矢量沿坐标轴分解： 正应力和切应力：n，n与结构强度关系密切。
应力状态：物体内一点处的局部受力情况， 是一个具有双重方向性（面元的方向和应力矢 量的方向）的物理量。
✓ 具有多重方向性的物理量成为张量。
2 n
,
得
2 n
px2
py2
pz2
σn2
.
(c)
8
§7.2 应力状态分析与主应力、主方向
从式(b)、(c )可见, 当六个坐标面上的 应力分量确定之后，任一斜面上的应力也 就完全确定了。
9
§7.2 应力状态分析与主应力、主方向
3.假设 n面 (l , m , n)为主面，则此斜面上
n 0 , p σn σ.
是与坐标选择无关的客观量。
I1 1 2 3
I
2
( 1
2
2 3
31)
I3 1 2 3
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§7.2 应力状态分析与主应力、主方向
主应力性质
•主应力和应力主方向取决于结构外
不变性 力和约束条件，与坐标系无关。
•因此特征方程的三个根是确定的。
实数性
•特征方程的三个根，即一点的三 个主应力均为实数。
上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于l , m , n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得
σx σ
xy xz
yx
σ y σ
yz
zx zy 0,
σz σ
展开，即得求主应力的方程,
σ
3
(σx
σ
y
σ
z
)σ
2
(σ
yσz
σzσx
σ
xσ
y
2 yz
2 zx
2 xy
)σ
(σ百度文库
xσ
y
σ
z
σ
x
2 yz
σ
y
2 zx
σz
2 xy
2
yz
zx
xy
)
0.
(f)
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§7.2 应力状态分析与主应力、主方向
即： 3 I1 2 I2 I3 0
I1 x y z
I
2
x
y
y z
z x
2 xy
2 yz
2 zx
I
3
x
y
z
2
xy
yz zx
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
称为应力张量的第一、第二、第三不变量，
18
§7.2 应力状态分析与主应力、主方向
6.关于一点应力状态的结论：
(1)6个坐标面上的应力分量完全确定一点 的应力状态。只要6个坐标面上的应力 分量确定了，则通过此点的任何面上的 应力也完全确定并可求出。
(2)一点存在着3个互相垂直的应力主面及 主应力。
19
§7.2 应力状态分析与主应力、主方向
第7章 应力与应变分析
目录
1
主要内容
§7-1 内力和应力 §7-2 应力状态分析与主应力、主方向 §7-3 应力张量分解及其不变量 §7-4 位移场的分解与应变张量 §7-5 应变张量分解及其不变量
目录
2
§7.1 内力和应力
内力——外界因素作用下，物体内部 各个部分之间的相互作用力。
附加内力
应力：单位面积上
斜面上沿坐标向的应力分量为：
px l , py m , pz n .
代入 px , py , pz , 得到：
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§7.2 应力状态分析与主应力、主方向
lσ x m yx n zx lσ,
mσ y
n zy
l xy
mσ ,
(d )
nσ z
l xz
m yz
nσ.
考虑方向余弦关系式，有
•根据三次方程性质可以证明。
正交性 •任意一点三个应力主方向是相互
垂直的——三个应力主轴正交的。
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§7.2 应力状态分析与主应力、主方向
• 坐标系的改变导致应力张量各分量变 化，但应力状态不变。
• 应力不变量正是对应力状态性质的描述。
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§7.2 应力状态分析与主应力、主方向
5.应力主向
设主应力 σ1 的主向为 l1,m1,n1。代入式 (d)中的前两式，整理后得
目录
5
§7.2 应力状态分析与主应力、主方向
应力分析：用应力张量的九个应力分量来计 算任意方向斜截面上应力矢量。
斜面的全应力p 可表示为 两种分量形式：
p沿坐标向分量:
p ( px , py , pz ).
p沿法向和切向分量:
p (σn ,n ).
目录
6
§7.2 应力状态分析与主应力、主方向
✓一点所有截面应力矢量的集合，即一点的应 力状态必须用一个二阶应力张量才能完整加以 描述。
目录
4
§7.1 内力和应力
应力张量
x xy xz 11 12 13
ij yx y yz 21 22 23
zx
zy
z
31
32
33
面元指标i：表示面元的 法线方向；
分量指标j：应力矢量的 分解方向。
1. 求 p ( px , py , pz )
取出如图的包含斜面的 微分四面体，斜面面积为 ds, 则x面，y面和z面的面 积分别为lds,mds,nds。
由四面体的平衡条件 Fx 0 (x, y, z)，
得出坐标向的应力分量,
px lσx m yx n zx ,
(x, y, z). (a)
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§7.2 应力状态分析与主应力、主方向
2. 求 p (σn , n ) 将 p ( px , py , pz )向法向 n投影，即得
σn lpx mpy npz l2σx m2σy n2σz 2mn yz 2nl zx 2lm xy . (b)
由
p
2
px2
p
2 y
pz2
σ
2 n