第九章_空间分析的应用

第九章三维分析相当长的一段时间里，由于GIS理论方法及计算机软硬件技术所限，GIS以描述二维空间为主，同时发展了较为成熟的基于二维空间信息的分析方法。

但是将三维事物以二维的方式来表示，具有很大的局限性。

在以二维方式描述一些三维的自然现象时，不能精确地反映、分析和显示有关信息，致使大量的三维甚至多维空间信息无法加以充分利用。

随着GIS技术以及计算机软硬件技术的进一步发展，三维空间分析技术逐步走向成熟。

三维空间分析相比二维分析，更注重对第三维信息的分析。

其中第三维信息不只是地形高程信息，已经逐步扩展到其它更多研究领域，如降雨量、气温等。

ArcGIS具有一个能为三维可视化、三维分析以及表面生成提供高级分析功能的扩展模块3D Analyst，可以用它来创建动态三维模型和交互式地图，从而更好地实现地理数据的可视化和分析处理。

利用三维分析扩展模块可以进行三维视线分析和创建表面模型（如TIN）。

任何ArcGIS 的标准数据格式，不论二维数据还是三维数据都可通过属性值以三维形式来显示。

例如，可以把平面二维图形突出显示成三维结构、线生成墙、点生成线。

因此，不用创建新的数据就可以建立高度交互性和可操作性的场景。

如果是具有三维坐标的数据，利用该模块可以把数据准确地放置在三维空间中。

ArcScene是ArcGIS三维分析模块3D Analyst所提供的一个三维场景工具，它可以更加高效地管理三维GIS数据、进行三维分析、创建三维要素以及建立具有三维场景属性的图层。

此外，还可以利用ArcGlobe模型从全球的角度显示数据，无缝、快速地得到无限量的虚拟地理信息。

ArcGlobe能够智能化地处理栅格、矢量和地形数据集，从区域尺度到全球尺度来显示数据，超越了传统的二维制图。

利用交互式制图工具，可以在任何比例尺下进行数据筛选、查询和分析，或者把比例尺放大到合适的程度来显示感兴趣区域的高分辨率空间数据，例如航空相片的细节。

本章主要介绍如何利用ArcGIS三维分析模块进行创建表面、进行各种表面分析及在ArcScene中数据的三维可视化。

第九章状态空间分析方法第9章状态空间分析方法基本要求9-1 状态空间方法基础9-2 线性系统的可控性和可观性9-3 状态反馈和状态观测器9-4 有界输入、有界输出的稳定性9-5 李雅普诺夫第二方法引言：前面几章所学的内容称为经典控制理论；下面要学的内容称为现代控制理论。

两者作一简单比较。

经典控制理论(50年代前)现代控制理论(50年代后)研究对象单输入单输出的线性定常系统可以比较复杂数学模型传递函数(输入、输出描述)状态方程(可描述内部行为)数学基础运算微积、复变函数线性代数、矩阵理论设计方法的特点非唯一性、试凑成份多, 经验起很大作用。

主要在复数设计的解析性，与计算机结合，主要在时间域进行。

基本要求①掌握由系统输入—输出的微分方程式、系统动态结构图、及简单物理模型图建立系统状态空间模型的方法。

②熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域和复数域求解状态方程的方法。

熟练掌握由动态方程计算传递函数的公式。

③正确理解可逆线性变换, 熟练掌握可逆线性变换前、后动态方程各矩阵的关系。

④正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和运用可控性判据和可观性判据。

⑤熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法, 能将可控系统化为可控标准形。

能将不可控系统进行可控性分解。

⑥正确理解对偶原理, 会将原系统的有关可观测性的问题转化为对偶系统的可控性问题来研究。

⑦正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、可观测的关系。

熟练掌握传递函数的可控性标准形实现、可观性标准形实现的构成方法。

⑧正确理解状态反馈对可控性，可观性的影响, 正确理解状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。

⑨熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法, 熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状态反馈系统, 可进行闭环极点配置和观测器极点配置。

⑩正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统BIBO稳定的概念, 熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统BIBO稳定的方法。

11正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。

第九章 线性系统的状态空间分析与综合在第一章至第七章中，我们曾详细讲解了经典线性系统理论以及用其设计控制系统的方法。

可以看到，经典线性理论的数学基础是拉普拉斯变换和z 变换，系统的基本数学模型是线性定常高阶微分方程、线性常系数差分方程、传递函数和脉冲传递函数，主要的分析和综合方法是时域法、根轨迹法和频域法，分析的主要内容是系统运动的稳定性。

经典线性系统理论对于单输入-单输出线性定常系统的分析和综合是比较有效的，但其显著的缺点是只能揭示输入-输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构特性，也难以有效处理多输入-多输出系统。

在50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，在1960年前后开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中一个重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理论中来。

现代控制理论正是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。

在现代控制理论的发展中，线性系统理论首先得到研究和发展，已形成较为完整成熟的理论。

现代控制理论中的许多分支，如最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、随机控制、自适应控制等，均以线性系统理论为基础；非线性系统理论、大系统理论等，也都不同程度地受到了线性系统理论的概念、方法和结果的影响和推动。

现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间法描述输入-状态-输出诸变量间的因果关系，不但反映了系统的输入—输出外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性，是一种既适用于单输入--单输出系统又适用于多输入—多输出系统，既可用于线性定常系统又可用于线性时变系统的有效分析和综合方法。

在线性系统理论中，根据所采用的数学工具及系统描述方法的不同，又出现了一些平行的分支，目前主要有线性系统的状态空间法、线性系统的几何理论、线性系统的代数理论、线性系统的多变量频域方法等。

由于状态空间法是线性系统理论中最重要和影响最广的分支，加之受篇幅限制，所以本章只介绍线性系统的状态空间法。

9-1 线性系统的状态空间描述1. 系统数学描述的两种基本类型这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。

第八章 欧氏空间练习题1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量ηξ,,以下等式成立:(1)2222||2||2||||ηξηξηξ+=-++； (2).||41||41,22ηξηξηξ--+=在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么? 2．在区氏空间n R 里,求向量)1,,1,1(Λ=α与每一向量)0,,0,1,0,,0()(ΛΛi i =ε,n i ,,2,1Λ=的夹角.3．在欧氏空间4R 里找出两个单位向量,使它们同时与向量)4,5,2,3()2,2,1,1()0,4,1,2(=--=-=γβα 中每一个正交.4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形．5．设ηξ,是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明:222||||||ηξηξ+=+(勾股定理)6．设βααα,,,,21n Λ都是一个欧氏空间的向量,且β是n ααα,,,21Λ的线性组合.证明：如果β与i α正交,n i ,,2,1Λ=,那么0=β. 7．设n ααα,,,21Λ是欧氏空间的n 个向量. 行列式><><><><><><><><><=n n n n n n n G ααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,),,,(21222121211121ΛΛΛΛΛΛΛΛ 叫做n ααα,,,21Λ的格拉姆(Gram)行列式.证明),,,(21n G αααΛ=0,必要且只要n ααα,,,21Λ线性相关.8．设βα,是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件:><><ααβα,,2和><><βββα,,2都是0≤的整数.证明: βα,的夹角只可能是6543,32,2ππππ或. 9.证明:对于任意实数n a a a ,,,21Λ,23322211(||n ni ia a a a n a++++≤∑=Λ).10．已知)0,1,2,0(1=α,)0,0,1,1(2-=α, )1,0,2,1(3-=α,)1,0,0,1(4=α是4R 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出4R 的一个规范正交基．11．在欧氏空间]1,1[-C 里,对于线性无关的向量级{1,x ,2x ,3x }施行正交化方法,求出一个规范正交组．12．令},,,{21n αααΛ是欧氏空间V 的一组线性无关的向量,},,,{21n βββΛ是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即><>><=<=n n n n G G βββββββββααα,,,),,,(),,,(22112121ΛΛΛ13．令n γγγ,,,21Λ是n 维欧氏空间V 的一个规范正交基,又令},2,1,10,|{1n i x x V K ni i i i Λ=≤≤=∈=∑=γξξK 叫做一个n -方体.如果每一i x 都等于0或1,ξ就叫做K 的一个项点.K 的顶点间一切可能的距离是多少?14．设},,,{21m αααΛ是欧氏空间V 的一个规范正交组.证明,对于任意V ∈ξ,以下等式成立:∑=≤mi i122||,ξα.15．设V 是一个n 维欧氏空间.证明)(i 如果W 是V 的一个子空间,那么W W =⊥⊥)(.)(ii 如果21,W W 都是V 的子空间,且21W W ⊆,那么⊥⊥⊆12W W )(iii 如果21,W W 都是V 的子空间,那么⊥⊥⊥+=+2121)(W W W W16．证明,3R 中向量),,(000z y x 到平面}0|),,{(3=++∈=cz by ax R z y x W的最短距离等于222000||cb a cz by ax ++++．17．证明,实系数线性方程组∑===nj i j ijn i b x a1,,2,1,Λ有解的充分且必要条件是向量n n R b b b ∈=),,,(21Λβ与齐次线性方程组∑===nj j jin i x a1,,2,1,0Λ的解空间正交.18．令α是n 维欧氏空间V 的一个非零向量．令}0,|{>=<∈=αξξαV P ．αP 称为垂直于α的超平面,它是V 的一个1-n 维子空间.V 中有两个向量ξ,η说是位于αP 的同侧,如果><><αηαξ,,与同时为正或同时为负.证明,V 中一组位于超平面αP 同侧,且两两夹角都2π≥的非零向量一定线性无关．[提示:设},,,{21r βββΛ是满足题设条件的一组向量.则)(0,j i j i ≠>≤<ββ,并且不妨设)1(0,r i i ≤≤>><αβ.如果∑==ri i i c 10β,那么适当编号,可设0,,,0,,,121≤≥+r s s c c c c c ΛΛ,)1(r s ≤≤,令∑∑+==-==rs j j j s i i i c c 11ββγ,证明0=γ.由此推出0=i c )1(r i ≤≤.] 19．设U 是一个正交矩阵.证明:)(i U 的行列式等于1或-1; )(ii U 的特征根的模等于1; )(iii 如果λ是U 的一个特征根,那么λ1也是U 的一个特征根; )(iv U 的伴随矩阵*U 也是正交矩阵.20.设02cos≠θ,且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin 0sin cos 0001U . 证明,U I +可逆,并且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+--010*******tan ))((1θU I U I21.证明:如果一个上三角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n a a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ000000333223221131211 是正交矩阵,那么A 一定是对角形矩阵,且主对角线上元素ij a 是1或-1.22．证明:n 维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换的逆变换还是一个正交变换.23．设σ是n 维欧氏空间V 的一个正交变换.证明:如果V 的一个子空间W 在σ之下不变,那么W 的正交补⊥W 也在σ下不变.24．设σ是欧氏空间V 到自身的一个映射,对ηξ,有,)(),(ηησξσ=证明σ是V 的一个线性变换,因而是一个正交变换. 25．设U 是一个三阶正交矩阵,且1det =U .证明:)(i U 有一个特征根等于1; )(ii U 的特征多项式有形状1)(23-+-=tx tx x x f这里31≤≤-t .26．设},,,{21n αααΛ和},,,{21n βββΛ是n 维欧氏空间V 的两个规范正交基.)(i 证明:存在V 的一个正交变换σ,使n i i i ,,2,1,)(Λ==βασ.)(ii 如果V 的一个正交变换τ使得11)(βατ=,那么)(,),(2n ατατΛ所生成的子空间与由n ββ,,2Λ所生成的子空间重合.27．设σ是n 维欧氏空间V 的一个线性变换.证明,如果σ满足下列三个条件的任意两个,那么它必然满足第三个:)(i σ是正交变换;)(ii σ是对称变换;)(iii ισ=2是单位变换.28．设σ是n 维欧氏空间V 的一个对称变换,且σσ=2.证明,存在V 的一个规范正交基,使得σ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000101OO 29．证明:两个对称变换的和还是一个对称变换.两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.30．n 维欧氏空间V 的一个线性变换σ说是斜对称的,如果对于任意向量V ∈βα,, )(,),(βσαβασ-=.证明:)(i 斜对称变换关于V 的任意规范正交基的矩阵都是斜对称的实矩阵(满足条件A A -='的矩阵叫做斜对称矩阵))(ii 反之,如果线性变换σ关于V 的某一规范正交基的矩阵是斜对称的,那么σ一定是斜对称线性变换.)(iii 斜对称实矩阵的特征根或者是零,或者是纯虚数.31．令A 是一个斜对称实矩阵.证明,A I +可逆,并且1))((-+-=A I A I U 是一个正交矩阵.32．对于下列对称矩阵A,各求出一个正交矩阵U,使得AU U '是对角形式:)(i ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=510810228211A ; )(ii ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=114441784817A。

第九章_空间分析的应用空间分析是地理信息系统（GIS）中的一个重要概念，它通过利用空间数据的特征和关系，来研究地理现象和问题。

在不同领域和行业中，空间分析的应用非常广泛，例如城市规划、环境保护、农业决策等。

本文将重点介绍空间分析在城市规划和环境保护中的应用。

在城市规划方面，空间分析能够帮助规划师分析和评估城市的空间布局和发展趋势。

通过对城市土地利用、建筑物分布和人口分布等数据进行空间分析，规划师可以更好地了解城市的发展状况，并制定相应的城市发展计划。

例如，规划师可以利用空间分析来评估城市中不同地区的人口密度，以便更合理地规划住宅、商业和公共设施的布局。

此外，空间分析还可以帮助规划师分析城市的交通状况，包括道路拥堵情况、交通流量分布等，从而制定交通规划和交通管理策略。

此外，空间分析还可以应用在农业决策中。

农业是空间分析的一个重要应用领域，因为农业活动高度依赖于土地、气候和水资源等自然要素的地理分布。

空间分析可以帮助农民和农业专业人员分析土壤质量、气候变化、作物适应性等因素的关系，从而制定合理的农业种植和管理策略。

例如，农民可以利用空间分析技术，分析土地的肥力分布情况，从而合理选择不同地块的作物种植；同时，空间分析还可以帮助农民评估和优化灌溉系统，以便更有效地利用水资源。

综上所述，空间分析在城市规划和环境保护中的应用非常广泛和重要。

通过利用空间数据和空间分析技术，我们能够更好地了解和评估地理现象和问题，从而制定相应的规划和管理策略。

未来，随着技术的不断进步和数据的不断丰富，空间分析在各个领域中的应用将会进一步拓展和深化。