()1rank p <+X ，则解释变量之间线性相关，1()X X -'是奇异阵，则β
的估计不稳定。
证明 随机误差项ε的方差2
的无偏估计。
证明:
2
21
2
2
2
2
21
1
1
1
1
2
22
1
111
ˆ(),111()()(1)(1)()(1)1
ˆ()()1n
i i n n n
n
n
i
i ii ii
ii i i i i i n
i i SSE e e e n p n p n p E e D e h h n h n p E E e n p σσσ
σ
σσσ======='===------∴==-=-=-=--∴==--∑∑∑∑∑∑∑Q
一个回归方程的复相关系数R=，样本决定系数R 2
=，我们能断定这个回归方程就很理想吗？
答：不能。复相关系数R 与样本决定系R 2
数都是用来表示回归方程对原始数据拟合程度的好坏。样本决定系数取值在【0,1】区间内，
一般来说，R2越接近1，即R2取值越大，说明回归拟合的效果越好。但由于R2的大小与样本容量n和自变量个数p有关，当n与p的值接近时，R2容易接近1，说明R2中隐含着一些虚假成分。而当样本容量n较小，自变量个数p较大时，尽管R2很大，但参数估计效果很不稳定。所以该题中不能仅仅因为R2很大而断定回归方程很理想。如何正确理解回归方程显著性检验拒绝H0，接受H0？
答：一般来说，当接受假设H0时，认为在给定的显著性水平α之下，自变量x1,x2,…,x p对因变量y无显著性影响，则通过x1,x2,…,x p 去推断y就无多大意义。此时，一方面可能该问题本应该用非线性模型描述，我们误用线性模型描述了，使得自变量对因变量无显著影响；另一方面可能是在考虑自变量时，由于认识上的局限性把一些影响因变量y的自变量漏掉了，这就从两个方面提醒我们去重新考虑建模问题。
当拒绝H0时，也不能过于相信该检验，认为该模型已经很完美。其实当拒绝H时，我们只能认为该回归模型在一定程度上说明了自变量x1,x2,…,x p与因变量y的线性关系。因为这时仍不能排除我们漏掉了一些重要自变量。此检验只能用于辅助性的，事后验证性的目的。（详细内容可参考课本P95～P96评注。）
数据中心化和标准化在回归分析中的意义是什么？
答：原始数据由于自变量的单位往往不同，会给分析带来一定的困难；又由于设计的数据量较大，可能会以为舍入误差而使得计算结果并不理想。中心化和标准化回归系数有利于消除由于量纲不同、数量级不
同带来的影响，避免不必要的误差。
验证ˆˆ,1,2,,j
j
j p ββ*==L 证明：多元线性回归方程模型的一般形式为：
01122p p y x x x ββββε
=+++++L
其经验回归方程式为
01122ˆˆˆˆˆp p
y x x x ββββ=++++L ，
又01122ˆˆˆˆp p
y x x x ββββ=----L ， 故111222ˆˆˆˆ()()()p p p
y y x x x x x x βββ=+-+-++-L ， 中心化后，则有111222ˆˆˆˆ()()()i p p p
y y x x x x x x βββ-=-+-++-L ，
=
令21
(),1,2,,n
jj ij j i L x x i n ==-=∑L ，1,2,,j p =L
12()ˆˆˆp x x y x x βββ-=++L 样本数据标准化的公式为
1,2,,ij i x x y x y i n **-=
=
=L ，1,2,,j p =L
则上式可以记为
1
1
2
2
1122ˆˆˆˆˆˆi i i p
ip
i i p ip
y x x x x x x ββββββ*
*
*
*******=+++=⨯+⨯++⨯L L
则有
ˆˆ,1,2,,j
j
j p β*==L 验证
验证决定系数R 2与F 值之间的关系式：p
p n F F
R /)1(2--+=
验证决定系数R 2与F 值之间的关系式：p
p n F F
R /)1(2--+=
证明：
2/,
/(1)1
1
1(1)/1
SSR p
F SSE n p F SSE
SSR p
n p F SSE
p
SSR SSR F p F n p R F SSE SST SSR SSE F p n p F n p p
p SSE n p =
--⋅∴=⨯--⋅⨯⨯--∴=====
⋅+⨯+--+--⨯+--Q
