高等教育出版社积分变换第五版课后答案

第五版物理化学课后习题答案第五版物理化学课后习题答案物理化学是一门综合性的学科，涉及到物理学和化学的交叉领域，对于学习者来说，掌握习题的解答方法是非常重要的。

本文将为大家提供第五版物理化学课后习题的答案，帮助大家更好地理解和掌握物理化学知识。

第一章：热力学1. 根据热力学第一定律，ΔU = q + w，其中ΔU表示系统内能的变化，q表示系统吸收的热量，w表示系统对外界做的功。

2. 热容量C = q/ΔT，其中C表示热容量，q表示系统吸收的热量，ΔT表示温度变化。

3. 热力学第二定律表明，热量不会自发地从低温物体传递到高温物体，热量的传递总是从高温物体向低温物体传递。

4. 熵的变化ΔS = q/T，其中ΔS表示熵的变化，q表示吸收的热量，T表示温度。

5. 熵是一个系统无序程度的度量，熵的增加意味着系统的无序程度增加。

第二章：量子力学1. 波粒二象性是指粒子既可以表现出波动性质，也可以表现出粒子性质。

2. 波函数描述了量子力学系统的状态，波函数的平方表示在某个位置上找到粒子的概率。

3. 薛定谔方程描述了量子力学系统的演化。

4. 波函数的归一化要求波函数的平方在整个空间上的积分等于1。

5. 量子力学中的不确定性原理表明，无法同时精确测量粒子的位置和动量，精确测量其中一个属性，另一个属性的测量结果就会变得模糊。

第三章：电化学1. 电化学反应可以分为两类：氧化还原反应和非氧化还原反应。

2. 氧化还原反应中，氧化剂接受电子，被还原，而还原剂失去电子，被氧化。

3. 电解质溶液中的电解质会在电解过程中分解成离子。

4. 电解过程中，阳极是发生氧化反应的电极，阴极是发生还原反应的电极。

5. 电解质溶液中的电导率与电解质浓度成正比，与温度成反比。

第四章：动力学1. 反应速率可以通过反应物浓度的变化率来表示。

2. 反应速率与反应物浓度的关系可以由速率方程来描述。

3. 反应级数表示反应速率与反应物浓度的关系，可以是零级、一级或二级反应。

复变函数与积分变换第五版答案目录练 习 一...............................1 练 习 二...............................3 练 习 三...............................5 练 习 四...............................8 练 习 五..............................13 练 习 六..............................16 练 习 七..............................18 练 习 八..............................21 练 习 九 (24)练 习 一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。

（1）i iii 524321----； 解：i i i i 524321---- =i 2582516+ zk k Argz z z z ∈+====π221arctan2558258Im 2516Re（2）3)231(i + 解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin 3(cos 3332．将下列复数写成三角表示式。

1）i 31-解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i +12解：i i+12)4sin 4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。

（1）i i2332++- 解：i i 2332++-2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k ki k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。

第一章 傅里叶变换内容提要：一 傅里叶变换定义1定义2定义34傅里叶积分定理二 δ函数型序列的充分条件构成δ1.)(21)(,)(21)(,)()( 为傅里叶积分公式即称则若设：dw e dx e x f t f dw e w F t f dt e t f w F iwt iwx iwt iwt ⎰⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞-+∞∞--+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡===ππ=)(t f [])(1-w F ℱ;)()()(21逆变换的傅里叶为Fourier w F dw e w F iwt ⎰+∞∞-=π=)(w F [])(t f ;)()()(变换的傅里叶为Fourier t f dt e t f iwt -+∞∞-⎰=ℱ .)(21)(,)(21)(,)()( 为傅里叶积分公式即称则若设：dw e dx e x f t f dw e w F t f dt e t f w F iwt iwx iwt iwt ⎰⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞-+∞∞--+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡===ππ满足如下两个条件：若函数)(t f 限个极值点；类间断点，且至多有有上连续或有有限个第一在即条件上满足狄利克雷在实轴的任何有限区间],[)( ,)(],[)( )b a t f Dirichlet b a t f i .],[)( )的反常积分收敛在区间+∞-∞t f ii .)()(,)(21)]0()0([21)(dt e t f w F dw e w F t f t f t f iwtiwt -∞+∞-∞+∞-⎰⎰==-++其中且的傅里叶变换存在，则函数π函数列的该趋向下，，则在）（的某种趋向下，函数若在参数可积，且满足在实轴的任何有限区间设普通函数βεβϕβ++∞∞→==⎰0,1)()(-dt t f t f ).()( )0)(( ))(1()(1)(t t f t f t f δδβϕβϕβϕββ→>=即：型序列，构成一个型序列几个常用 2δ⎪⎩⎪⎨⎧<<===⎩⎨⎧<<=. 0)0( 1)1(1)( . 0)10( 1)( )1其它，，则令其它，εεεεβεεt t f t f t t f ).()(lim 00t t δδδεεε=→+→+型序列，即时为当.)()1(1)(,1)(,)1(1)( )2(22-2πεεεεδπεw w f w dt t f t t f R +===+=⎰+∞∞构造：显然).()(lim 00w w R δδδεεε=→+→+即型序列，时为当.)cos(21sin )()(,sin ,sin )( )3(-⎰⎰-+∞∞=====RRIR dw wt t Rt Rt Rf t dt tt t tt f ππδππ构造：因为).()(lim t t R IR R δδδ=+∞→+∞→型序列，即时为当.2)1(1)(,2,2)( )4(2222-22πβββδππββw G t t ew f w dt eet f -∞+∞--====⎰构造：因为).()(lim 00w w G δδδβββ=→+→+型序列，即时为当函数的积分3δ).)(()()(lim )()()1-00-0处处无穷次可微，定义：t f dt t f t t dt t f t t ⎰⎰+∞∞→+∞∞-=-+εεδδ三 傅立叶变换的性质四 几个常用函数傅里叶变换对1.线性性质2.位移性质)( t f 若ℱ, )(w F 3.微分性质)( n1k ∑=t f C k k . )(1∑=nk k k w F C ℱ )( )1 a t f ±ℱ ;)( )(为实数a w F e iwa ±t iw et f 0)( )2±.)( )(00为实数w w w F ℱ)( t f k 若),,2,1( )(n k w F k =ℱ)( t f 若ℱ, )(w F )( )1 )(t fn ;)( )()(为自然数n w F iw n ℱ)()( )2t f -it n .)( )()(为自然数n w F n ℱ)( t f 若ℱ)(w F 4.积分性质 则ℱ []).(1)(w F iw t g =).( )10)((lim )(1lim )()(lim)()()2000-00-000t f t f dt t f dtt f t t dt t f t t t t =<<+==-=-+++→+→+∞∞→+∞∞⎰⎰⎰θεθεδδδεεεεε函数的筛选性质：2sin 2τw w E).2( 0),2( )()1⎪⎩⎪⎨⎧><=ττt t E t f ℱ)0( )0( 0)0( )()2>⎩⎨⎧<>=-ββt t e t f t 1iw+βℱ习题1.11. 求下列函数的Fourier 变换. （1）ℱ)]([t f =dt e A t i ⎰-τω0=0τωωt i e i A --=)1(ωτωi e i A --.(2) ℱ)]([t f =dt te e t i t⎰+∞∞---ωcos =dt te t i ⎰+∞+-0)1(cos ω+dt te t i ⎰∞--0)1(cos ω由201cos a a dt te at +=⎰+∞-，2001cos cos aa dt te dt te at at +==⎰⎰+∞-∞-， 可知：ℱ)]([t f =22)1(11)1(11ωωωωi i i i -+-++++=22424ωω-+.2. 求Fourier 逆变换. ℱ)]([1ωF -=ωπωωβd e et i ⎰+∞∞--21=ωωπωβωβd e d e it it ⎰⎰∞-++∞+-+0)(0)([21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞-++∞++-++-010121)()(ωβωβββπit it e it e it=22221t +ββπ=)(22t +βπβ.3. ℱ)]([t f =⎰--⋅ππωdt e t t i sin=-⎰--ππωt d e t i cos =-⎰---⋅--⋅ππωωωππdt e t i te t i t i cos cos=()⎰-----ππωωωωπt d e i e e t i t i t i sin cos=⎰----⋅+-ππωωωωωdt te i i e e t i t i t i sin )(=⎰---+-ππωωωωdt teeeti ti ti sin 2ℱ)(1w iwπδ+)( )5t u )( )3t δℱ 1)( 2w πδ1)4ℱℱ)]([t f =1sin 22-ωωπi由ℱ)()]([1t f F =-ω可知下面的等式成立.4. 求下列函数的Fourier 积分。

习题1−11. 设A=(−∞, −5)∪(5, +∞), B=[−10, 3), 写出A∪B,A∩B,A\B及A\(A\B)的表达式.解A∪B=(−∞, 3)∪(5, +∞),A∩B=[−10, −5),A\B=(−∞, −10)∪(5, +∞),A\(A\B)=[−10, −5).2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (A∩B)C=A C ∪B C.证明因为x∈(A∩B)C⇔x∉A∩B⇔x∉A或x∉B⇔x∈AC或x∈B C⇔x∈AC ∪B C,所以(A∩B)C=A C ∪B C.3. 设映射f: X→Y,A⊂X,B⊂X. 证明(1)f(A∪B)=f(A)∪f(B);(2)f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).证明因为y∈f(A∪B)⇔∃x∈A∪B,使f(x)=y⇔(因为x∈A或x∈B)y∈f(A)或y∈f(B)⇔y∈f(A)∪f(B),所以f(A∪B)=f(A)∪f(B).(2)因为y∈f(A∩B)⇒∃x∈A∩B,使f(x)=y⇔(因为x∈A且x∈B)y∈f(A)且y∈f(B)⇒y∈f(A)∩f(B),所以f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).4. 设映射f: X→Y,若存在一个映射g:Y→X,使, , 其中IXIfg=㣠YIgf=㣠X、I Y分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个x∈X,有IX x=x;对于每一个y∈Y,有IY y=y.证明: f是双射, 且g 是f的逆映射: g=f−1.证明因为对于任意的y∈Y,有x=g(y)∈X,且f(x)=f[g(y)]=I y y=y,即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f为X到Y的满射.又因为对于任意的x1≠x2, 必有f(x1)≠f(x2), 否则若f(x1)=f(x2) ⇒g[f(x1)]=g[f(x2)] ⇒x1=x2.因此f既是单射, 又是满射, 即f是双射.对于映射g:Y→X,因为对每个y∈Y,有g(y)=x∈X,且满足f(x)=f[g(y)]=I y y=y, 按逆映射的定义, g是f的逆映射.5. 设映射f: X→Y,A⊂X. 证明:(1)f−1(f(A))⊃A;(2)当f是单射时, 有f−1(f(A))=A.证明 (1)因为 x ∈ A ⇒ f ( x )= y ∈ f ( A ) ⇒ f −1( y )= x ∈f −1( f ( A )), 所以 f−1(f ( A ))⊃ A .(2)由(1)知 f−1(f ( A ))⊃ A. 另一方面, 对于任意的 x ∈ f −1( f ( A ))⇒存在 y ∈ f ( A ), 使 f −1( y )= x ⇒ f ( x )= y . 因为 y ∈f ( A )且 f 是单 射, 所以 x ∈ A . 这就证明了 f−1(f ( A ))⊂ A . 因此 f −1( f (A ))= A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+= xy ;解 由3 x +2≥0得32−>x . 函数的定义域为) ,32[∞+−.(2)211xy −=;解 由1− x 2≠0得 x ≠±1. 函数的定义域为(−∞, −1)∪(−1, 1)∪(1, +∞). (3)211xxy −−=;解 由 x ≠0且1− x2≥0得函数的定义域D =[−1, 0)∪(0, 1].(4)2 4 1 xy − =;解 由4− x 2>0得 | x |<2. 函数的定义域为(−2, 2). (5)xysin=; 解 由 x ≥0得函数的定义 D =[0, +∞). (6) y =tan( x +1);解 由 2 1π≠+ x ( k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12−+≠ππ kx( k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin( x −3);解 由| x −3|≤1得函数的定义域 D =[2, 4].(8) xxy1arctan3+−=;解 由3− x ≥0且 x ≠0得函数的定义域 D =(−∞, 0)∪(0, 3). (9) y =ln( x +1);解 由 x +1>0得函数的定义域 D =(−1, +∞). (10) xey1=.解 由 x ≠0得函数的定义域 D =(−∞, 0)∪(0, +∞). 7. 下列各题中, 函数 f ( x )和 g ( x )是否相同？为什么？(1) f ( x )=lg x 2, g ( x )=2lg x ;(2) f ( x )= x , g ( x )=2 x ; (3)334)(xxxf −=,31)(−=xxxg .(4) f ( x )=1, g ( x )=sec2 x −tan2 x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g ( x )=− x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同. 8. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧ ≥<= 3||3|| |sin|)(ππϕ x xx x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ−, ϕ(−2), 并作出函数 y =ϕ( x )的图形.解 21|6sin|)6(==ππϕ, 22|4sin|)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=−=−ππϕ, 0)2(=−ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1) x xy− = 1 , (−∞, 1);(2) y = x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的 x 1, x 2∈(−∞, 1), 有1− x 1>0, 1− x 2>0. 因为当x 1< x 2时,0 )1)(1(1121212 2 1121< −− −= − − − =− xx xx x x x xyy ,所以函数 x xy− = 1 在区间(−∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的 x 1, x 2∈(0, +∞), 当 x 1< x 2时, 有0ln)()ln()ln(2121221121<+−=+−+=− x xxxxxxxyy ,所以函数 y= x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的. 10. 设 f ( x )为定义在(− l , l )内的奇函数, 若 f ( x )在(0, l )内单调增加, 证明 f ( x )在(− l , 0)内也单调增加.证明 对于∀ x 1, x 2∈(− l , 0)且 x 1< x 2, 有− x 1, − x 2∈(0, l )且− x 1>− x 2. 因为 f ( x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (− x 2)< f (− x 1), − f ( x 2)<− f ( x 1), f ( x 2)> f( x 1), 这就证明了对于∀ x 1, x 2∈(− l , 0), 有 f ( x 1)< f ( x 2), 所以 f ( x )在(− l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(−l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是 奇函数.证明 (1)设 F ( x )= f ( x )+ g ( x ). 如果 f ( x )和 g ( x )都是偶函数, 则F (− x )= f (− x )+ g (− x )= f ( x )+ g ( x )= F ( x ), 所以 F ( x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果 f ( x )和 g ( x )都是奇函数, 则F (− x )= f (− x )+ g (− x )=− f ( x )− g ( x )=− F ( x ), 所以 F ( x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设 F ( x )= f ( x )⋅ g ( x ). 如果 f ( x )和 g ( x)都是偶函数, 则 F (− x )= f (− x )⋅ g (− x )= f ( x )⋅ g ( x )= F ( x ), 所以 F ( x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果 f ( x )和 g ( x )都是奇函数, 则F (− x )= f (− x )⋅ g (− x )=[− f ( x )][− g ( x )]= f ( x )⋅ g ( x )= F ( x ), 所以 F ( x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果 f ( x )是偶函数, 而 g ( x )是奇函数, 则F (− x )= f (− x )⋅ g (− x )= f ( x )[− g ( x )]=− f ( x )⋅ g ( x )=− F ( x ), 所以 F ( x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1) y = x 2(1− x 2); (2) y =3 x 2− x3; (3)22 1 1 xxy + −=; (4) y = x ( x −1)( x +1); (5) y =sin x −cos x +1; (6)2 xxaay −+ =.解 (1)因为 f(− x )=(− x )2[1−(− x )2]= x 2(1−x2)=f ( x ), 所以 f ( x )是偶函数.(2)由 f (− x)=3(− x )2−(− x )3=3 x 2+x 3可见 f ( x )既非奇函数又非偶函数. (3)因为 () )(11 1 )(1)( 2 2 2 2 xfxx x xxf =+−= −+−−=−,所以 f ( x )是偶函数. (4)因为 f (− x )=(− x )(− x −1)(− x +1)=− x ( x +1)( x −1)=− f ( x ), 所以 f ( x )是奇函数. (5)由 f (− x )=sin(− x )−cos(− x )+1=−sin x −cos x +1可见 f ( x )既非奇函数又非偶函数. (6)因为)(22)()()(xfaaaaxf xxxx=+=+=− −−−− , 所以 f ( x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1) y =cos( x −2); (2) y =cos 4 x ; (3) y =1+sin π x ; (4) y = x cos x ; (5) y =sin2 x .解 (1)是周期函数, 周期为 l=2π. (2)是周期函数, 周期为2π=l .(3)是周期函数, 周期为 l =2. (4)不是周期函数.(5)是周期函数, 周期为 l =π. 14. 求下列函数的反函数: (1)31+= xy ; (2) xxy+ −= 1 1; (3)dcxbaxy+ +=( ad − b c ≠0); (4) y =2sin3 x ; (5) y =1+ln( x +2);(6) 122 + = x xy .解 (1)由31+= xy 得 x = y3−1, 所以31+= xy 的反函数为 y = x3−1.(2)由 x xy + −= 1 1得 yyx + −= 1 1, 所以 x xy + −= 1 1的反函数为xxy+ −= 1 1. (3)由dcxbaxy + +=得 acybdyx − +−=, 所以 dcxbaxy + +=的反函数为 acxbdxy − +−=.(4)由 y =2sin 3 x 得2arcsin31 yx=, 所以y =2sin 3 x 的反函数为2arcsin31xy=. (5)由 y =1+ln( x +2)得 x= e y−1−2, 所以 y =1+ln( x +2)的反函数为 y = e x −1−2.(6)由122+=x xy 得y yx −=1log2, 所以12 2 +=x xy 的反函数为x xy−=1log2.15. 设函数 f ( x )在数集 X 上有定义, 试证: 函数 f ( x )在 X 上有界的充分必要条件是它在 X上既有上界又有下界.证明 先证必要性. 设函数f ( x )在 X 上有界, 则存在正数 M , 使| f ( x )|≤ M , 即− M≤ f ( x )≤ M . 这 这就证明了 f ( x )在 X 上有下界− M 和上界 M . 再证充分性. 设函数 f ( x )在 X 上有下界 K 1和上界K 2, 即 K 1≤ f( x )≤ K 2 . 取 M =max{| K 1|, | K 2|}, 则 − M≤ K 1≤ f ( x )≤ K 2≤ M , 即 | f ( x)|≤ M . 这就证明了 f ( x )在 X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和 x 2的函数值: (1) y = u 2,u =sin x , 61π=x , 32π= x ;(2) y =sin u , u =2 x , ,81π= x ,42π=x ; (3) uy =, u =1+ x 2, x 1=1, x 2= 2;(4) y = e u , u = x 2, x 1 =0, x 2=1;(5) y = u 2 , u = e x , x 1=1, x 2=−1.解 (1) y =sin2 x, 41)21(6sin221===πy ,43)23(3sin222===πy. (2) y =sin2 x , 224sin)82sin(1==⋅=ππy ,12sin)42sin(2==⋅=ππy .(3)21 xy +=, 21121=+= y , 52122=+= y .(4), , . 2 xey =1201== eyeey==212(5) y = e 2 x , y 1= e 2⋅1= e 2, y 2= e 2⋅(−1)= e −2.17. 设 f ( x )的定义域 D =[0, 1], 求下列各函数的定义域: (1) f ( x2);(2) f (sin x ); (3) f ( x + a )( a >0); (4) f ( x + a )+ f ( x − a )( a >0).解 (1)由0≤ x 2≤1得| x |≤1, 所以函数 f( x 2)的定义域为[−1, 1]. (2)由0≤sin x ≤1得2 n π≤ x ≤(2 n +1)π ( n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数 f (sin x )的定义域为[2 n π, (2 n +1)π] ( n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) .(3)由0≤ x+ a ≤1得− a ≤ x ≤1− a , 所以函数 f ( x + a )的定义域为[− a , 1− a ]. (4)由0≤ x+ a ≤1且0≤ x − a ≤1得: 当210≤< a 时, a ≤ x ≤1− a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤< a 时 函数的定义域为[ a , 1− a ], 当21>a 时函数无意义.18. 设⎪⎩⎪ ⎨⎧ >− = < = 1|| 11|| 0 1|| 1 )( x x x xf , g (x )= e x , 求 f [ g ( x )]和 g [ f ( x )], 并作出这两个函数的图形. 解⎪⎩⎪⎨⎧ >− = < = 1|| 1 1|| 0 1|| 1 )]([x x x e e e xgf , 即 ⎪⎩⎪⎨ ⎧>− = < = 0 10 0 0 1)]([x x x xgf . , 即() ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = < == −1|| 1|| e 1|| ][ 1 0 1 )( xe x xe exfgxf () ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >= < = −1|| 1|| 1 1|| ][ 1 xe x xe xfg . 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40°(图1−37). 当过水断面ABCD 的面积为定 值S0时, 求湿周 L(L=AC+CD+DB)与水深h 之间的函数关系式, 并说明定义域. 图1−37解 㗸40sin hDCAb ==, 又从0)]40cot2([2 1ShBCBCh=⋅++㗸得 hhSBC ⋅−=㗸40cot0,所以hhSL 㗸 㗸 40sin40cos20−+=. 自变量 h 的取值范围应由不等式组h >0, 040cot0>⋅− hhS㗸 确定, 定义域为㗸40cot00Sh<<. 20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价 p 表示为订购量 x 的函数;(2)将厂方所获的利润 P 表示成订购量 x 的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤ x ≤100时, p=90. 令0. 01( x 0−100)=90−75, 得 x 0=1600. 因此当 x ≥1600时, p=75. 当100< x <1600时, p =90−( x −100)×0. 01=91−0. 01 x . 综合上述结果得到. ⎪⎩⎪⎨ ⎧≥ <<− ≤≤ =1600 751600100 01.091 1000 90 x xx x p(2).⎪ ⎩⎪ ⎨⎧ ≥ <<− ≤≤ =−= 160015 1600100 01.031 1000 30 )60(2 xx xxx xx xpP (3) P =31×1000−0. 01×10002=21000(元).习题1−21. 观察一般项 xn 如下的数列{ xn }的变化趋势, 写出它们的极限: (1) nnx2 1=; (2) nxnn1)1(−=; (3)212n xn +=;(4) 11 + −=n nx n ;(5) x n = n (−1) n .解 (1)当 n →∞时, nnx 2 1=→0, 021lim= ∞→ nn . (2)当 n →∞时, n xnn1)1(−=→0, 01)1(lim=− ∞→ nnn .(3)当 n →∞时, 212 nxn→ nn.(4)当 n →∞时, 1211 1 + −= + −=nn nx n11lim=+ − ∞→ n n n.(5)当 n →∞时, x n =n (−1) n没有极限. 2. 设数列{ xn }的一般项 nn xn 2cosπ=. 问=? 求出 N , 使当 n > N 时, xnnx ∞→limn 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数 N. 解 . 0lim=∞→nnx nn n xn1|2cos||0|≤=− π. ∀ε >0, 要使| x n −0|<ε , 只要ε< n1, 也就是ε1>n. 取]1[ε= N ,则∀ n > N , 有| xn −0|<ε . 当ε =0.001时, ]1[ ε=N =1000.3. 根据数列极限的定义证明: (1)01lim2=∞→ nn;(2) 23 12 13lim=+ + ∞→ n n n ;(3)1lim22 =+∞→nann(4). 19999.0lim=⋅⋅⋅个nn (1)分析 要使ε<=−221|01| nn , 只须 ε12>n, 即 ε1>n.证明 因为∀ε>0, ∃]1[ ε=N , 当 n > N 时, 有ε<−|01|2n, 所以01lim2=∞→ nn.(2)分析 要使ε<<+=−++nnnn 4 1)12(2 1| 2 3 12 13|, 只须ε< n4 1, 即ε41> n .证明 因为∀ε>0, ∃] 4 1[ε = N , 当 n > N 时, 有ε<−+ +| 23 12 13| n n , 所以23 12 13lim=+ + ∞→ n n n .(3)分析 要使ε<<++ =−+=−+nanann a nnan nan 222 22222)( |1|, 只须ε2an>.证明 因为∀ε>0, ∃][ 2 εaN=, 当∀n > N 时, 有ε<−+|1|22 n an, 所以1lim22 =+∞→nann. (4)分析 要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9−1|ε<=−1 101n, 只须1 101− n <ε , 即 ε1lg1+>n .证明 因为∀ε>0, ∃]1lg1[ε += N , 当∀ n > N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9−1|<ε , 所以. 19999.0lim=⋅⋅⋅ n 个n 4. , 证明. 并举例说明: 如果数列{|xaunn =∞→lim||||lim aunn =∞→ n|}有极限, 但数列{ xn }未必有 极限.证明 因为, 所以∀ε>0, ∃ N ∈N, 当 n > N 时, 有, 从而 aunn=∞→limε<−|| aun || u n |−| a ||≤| un − a |<ε .这就证明了|. |||lim aunn =∞→数列{| xn |}有极限, 但数列{ xn }未必有极限. 例如, 但不存在. 1|)1(|lim=−∞→n nn n)1(lim−∞→5. 设数列{ xn }有界, 又, 证明: .0lim=∞→nny 0lim=∞→ nnnyx证明 因为数列{ xn }有界, 所以存在 M , 使∀ n ∈ Z , 有| xn |≤M . 又, 所以∀ε>0, ∃N ∈ N , 当 n > N 时, 有0lim=∞→nnyMyn ε<||. 从而当n > N 时, 有εε=⋅<≤=− MMyMyxyxnnnnn|||||0|, 所以. 0lim=∞→ nnnyx6. 对于数列{ xn }若 x 2 k → a ( k →∞), x 2 k +1→ a ( k →∞), 证明: xn → a ( n →∞).证明 因为 x 2 k → a ( k →∞), x 2 k +1→ a ( k →∞), 所以∀ε>0, ∃ K 1, 当2 k >2 K 1时, 有| x 2 k − a |<ε ; ∃ K 当2 k +1>2 K 2+1时, 有|x 2 k +1− a |<ε . . 取 N =max{2 K 1, 2 K 2+1}, 只要 n > N , 就有| xn − a |<ε . 因此 x n → a ( n →∞).习题1−31. 根据函数极限的定义证明: (1); 8)13(lim3=−→ xx (2); 12)25(lim2=+→ xx (3)424lim22−=+ − −→ x x x ;(4)212 41lim321=+ − −→ x x x .证明 (1)分析 |(3 x −1)−8|=|3 x −9|=3| x −3|, 要使|(3 x −1)−8|<ε , 只须ε 31|3|<−x . 证明 因为∀ε >0,∃εδ 31=, 当0<|x −3|<δ时, 有|(3 x −1)−8|<ε , 所以. 8)13(lim3=−→xx (2)分析 |(5 x +2)−12|=|5 x −10|=5| x −2|, 要使|(5 x +2)−12|<ε ,只须ε 51|2|<−x . 证明 因为∀ε >0,∃εδ 51=, 当0<|x −2|<δ时, 有|(5 x +2)−12|<ε ,所以. 12)25(lim2=+→xx (3)分析 |)2(||2|244)4(2422−−=+=+ ++=−− + − xxx xx x x , 要使ε<−−+ −)4(242x x , 只须ε<−−|)2(|x . 证明 因为∀ε >0,∃εδ=, 当0<| x −(−2)|<δ时, 有ε<−−+ −)4(242x x , 所以424lim22−=+− −→ x x x .(4)分析 |)2 1(|2|221|2 12413−−=−−=− + − xxx x , 要使ε<− + −2 12413x x , 只须ε 21|)2 1(|<−− x.证明 因为∀ε >0,∃εδ 2 1=, 当δ<−−<|) 2 1(|0x 时, 有ε<−+ −2 12413 x x , 所以21241lim321=+ − −→ x x x . 2. 根据函数极限的定义证明: (1)2 12 1lim3 3 =+∞→ xx x; (2)0sinlim=+∞→ x xx .证明 (1)分析 333333||2 121 21 2 1 xx xxxx =−+=−+, 要使ε<−+ 212 1 33xx , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x .证明 因为∀ε >0, ∃3 2 1ε= X , 当| x|> X 时, 有ε<−+ 2 12 13 3 x x , 所以2 12 1lim3 3 =+∞→ xx x. (2)分析xx xxx 1|sin|0sin≤=−, 要使ε<−0sin xx , 只须ε<x1, 即2 1ε> x . 证明 因为∀ε>0, ∃21 ε = X , 当 x> X 时, 有ε<−0sin xx, 所以0sinlim=+∞→ xxx .3. 当 x →2时, y= x 2→4. 问δ等于多少, 使当| x −2|<δ时, | y −4|<0. 001？解 由于 x →2, | x −2|→0, 不妨设| x −2|<1, 即1< x <3. 要使| x 2−4|=| x +2|| x −2|<5| x −2|<0. 001, 只要0002.0 5001.0|2|=<− x, 取δ=0. 0002, 则当0<| x −2|<δ时, 就有| x2−4|<0. 001. 4. 当 x →∞时, 1312 2 → + −=x xy , 问 X 等于多少, 使当| x |> X 时, | y −1|<0.01? 解 要使01.0341 3122 2 < + =− + − xx x , 只397301.04||=−>x , 397= X .5. 证明函数 f ( x )=| x | 当 x →0时极限为零.6. 求,)(xxxf= x xx ||)(=ϕ当 x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在 x →0时的极限是否存在.证明 因为 11limlim)(lim 000 ===−−− →→→xxxx xxf , 11limlim)(lim 000 ===+++→→→xxxx xxf, , )(lim)(lim 00xfxfxx +→→=− 所以极限存在. )(lim0 xfx→因为1lim||lim)(lim 000 −=−==−−−→→→ xxx xx xxx ϕ, 1lim||lim)(lim 000 ===+++→→→ xxxxx xxx ϕ, , )(lim)(lim 00xx xx ϕϕ+→→≠− 所以极限不存在. )(lim0xx ϕ→7. 证明: 若 x →+∞及 x →−∞时, 函数 f ( x )的极限都存在且都等于 A , 则.Axfx =∞→)(lim证明 因为, , 所以∀ε>0, Axfx =−∞→)(lim Axfx =+∞→)(lim∃ X 1>0, 使当 x <− X 1时, 有| f ( x )− A |<ε ; ∃ X 2>0, 使当 x > X 2时, 有| f ( x )− A |<ε . 取 X =max{ X 1, X 2}, 则当|x |> X 时, 有| f ( x )− A |<ε , 即.Axfx =∞→)(lim8. 根据极限的定义证明: 函数 f ( x )当 x → x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各 自存在并且相等.证明 先证明必要性. 设 f ( x )→ A ( x → x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x − x 0|<δ 时, 有| f ( x )− A |<ε .因此当 x 0−δ< x < x 0和 x 0< x < x 0+δ 时都有| f ( x )− A |<ε .这说明 f ( x )当 x → x 0时左右极限都存在并且都等于A .再证明充分性. 设 f ( x 0−0)= f ( x 0+0)= A, 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当 x 0−δ1< x < x 0时, 有| f( x )− A <ε ; ∃δ2>0, 使当 x 0< x < x 0+δ2时, 有|f ( x )− A |<ε . 取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<| x − x 0|<δ 时, 有 x 0−δ1< x < x 0及 x 0< x < x 0+δ2 , 从而有| f ( x )− A |<ε ,即 f ( x )→ A ( x → x 0).9. 试给出 x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明. 解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果 f ( x )当 x →∞时的极限存在, 则存在 X >0及M >0, 使当| x |> X 时, | f ( x )|< M .证明 设 f ( x )→ A ( x →∞), 则对于ε =1,∃ X >0, 当| x |> X 时, 有| f ( x )− A |<ε =1. 所以 | f ( x )|=| f ( x )− A + A |≤| f ( x )− A |+| A |<1+| A |.这就是说存在 X >0及 M >0, 使当| x|> X 时, | f ( x )|< M , 其中 M =1+| A |.习题1−41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定.例如, 当 x →0时, α( x)=2 x , β( x )=3 x 都是无穷小, 但 3 2 )( )(lim 0=→ x x x β α, )()( x x β α不是无穷小.2. 根据定义证明: (1) 3 92+ −= x xy 当 x →3时为无穷小; (2)xxy1sin=当x →0时为无穷小. 证明 (1)当 x ≠3时|3|39||2−=+ −= xx xy . 因为∀ε >0, ∃δ=ε , 当0<| x −3|<δ时, 有εδ=<−=+ −=|3|39||2 xx xy , 所以当 x →3时392+ −= x xy 为无穷小. (2)当 x ≠0时|0||1sin|||||−≤=xxxy . 因为∀ε >0, ∃δ=ε , 当0<| x −0|<δ时, 有εδ=<−≤=|0||1sin|||||x xxy, 所以当 x →0时 xxy1sin=为无穷小.3. 根据定义证明: 函数 xxy 21+=为当 x →0时的无穷大. 问 x 应满足什么条件, 能使| y |>104？ 证明 分析2|| 11221||−≥+=+= xxx xy, 要使| y |> M , 只须M x >−2 ||1, 即21|| + < M x .证明 因为∀ M >0, ∃ 2 1+ = M δ, 使当0<| x −0|<δ时, 有M xx >+21,所以当 x →0时, 函数 xxy 21+=是无穷大. 取 M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<−<x时, | y|>104. 4. 求下列极限并说明理由: (1) x x n 12lim+∞→;(2)xx x − − →1 1lim20.解 (1)因为 xx x1212+=+, 而当 x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim=+∞→ x x n . (2)因为x xx += − −1 1 12( x ≠1), 而当 x →0时 x 为无穷小, 所以111lim20=− − → xx x .5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:6. 函数 y = x c os x 在(−∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当 x →+∞ 时的无穷大？为什么？解 函数 y= x c os x 在(−∞, +∞)内无界. 这是因为∀ M >0, 在(−∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得| y( x )|> M . 例如 y (2 k π)=2 k π cos2 k π=2 k π ( k=0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 当 k 充分大时, 就有| y(2 k π)|> M . 当 x →+∞ 时, 函数 y = xc os x 不是无穷大. 这是因为∀ M >0, 找不到这样一个时刻 N , 使对一切大于 N 的 x , 都有| y( x )|> M . 例如 0) 22cos()22() 2 2(=++=+ππππππ kkky ( k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 对任何大的 N , 当 k 充分大时, 总有 Nkx >+=22ππ, 但| y ( x )|=0< M .7. 证明: 函数 xxy 1sin1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数 xxy1sin1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为 ∀ M >0, 在(0, 1]中总可以找到点 xk , 使 y ( x k )> M . 例如当22 1 ππ+=kxk( k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+= kxyk ,当 k 充分大时, y ( xk )> M . 当 x →0+ 时, 函数 xxy1sin1=不是无穷大. 这是因为∀ M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点xk , 使0< xk <δ, 但 y ( xk )< M . 例如可取 πk xk2 1=( k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当 k 充分大时, x k <δ, 但 y ( x k )=2 k πsin2 k π=0< M .习题1−51. 计算下列极限: (1)35lim2 2− +→ xx x ;解 9325235lim22 2−=− +=− +→ x x x .(2)13lim2 2 3+ −→ xx x ;解 01)3(3)3( 1 3lim22 2 2 3=+−= + − → x x x .(3)112lim221−+−→ xxx x ;解02011lim)1)(1()1(lim112lim1 212 21==+ −=+−−= −+−→→→x x xx x x xx xxx .(4)xxxxxx 23 24lim 2 23 0++− →; 解2123124lim2324lim 20223 0=+ +−=+ +− →→xxx xxxxxxx .(5)hxhx h 22 0 )(lim−+ →;解xhxhxhhxxhxhxhhh2)2(lim2lim)(lim0 222 0220=+=−++=−+→→→.(6))112(lim2 xxx+−∞→;解21lim1lim2)112(lim22=+−=+−∞→∞→∞→ xxxxxxx.(7)121lim2 2 −−− ∞→xx x x ;解 21112 11lim121lim 22 2 2 = −− −=−−−∞→∞→ xxx xx x xx. (8)13lim242 −−+ ∞→xx xxx ;解 013lim242=−−+∞→ xxxxx(分子次数低于分母次数, 极限为零)或 0121 11 lim13lim 4232 242 = −− + =−−+∞→∞→ xxxx xx xx xx .(9)4586lim224+− +− → xx xx x ; 解32142412lim)4)(1()4)(2(lim4586lim442 24=−−=−−=−−−−=+−+− →→→ x x xx xx xx xx xxx .(10))12)(11(lim2 xxx −+∞→;解221)12(lim)11(lim)12)(11(lim22=×=−⋅+=−+∞→∞→∞→ xxxxxxx.(11))21 41211(limnn+⋅⋅⋅+++∞→;解 2211)21(1lim)21 41211(lim 1 = − − =+⋅⋅⋅+++ + ∞→∞→ n nnn .(12)2)1( 321lim nn n −+⋅⋅⋅+++ ∞→; 解 211lim212 )1( lim)1( 321li m22=−=− =−+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→ nnn nnnn nnn .(13)35)3)(2)(1(limnnnn n +++ ∞→; 解515)3)(2)(1(lim3=+++∞→ nnnnn (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或51)31)(21)(11(lim515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→ nnnnnnn nn .(14))1311(lim31 xxx −−−→;解 112lim)1)(1()2)(1(lim)1)(1(31lim)1311(lim212122 131−=++ +−=++− +−−=++− −++=−−−→→→→ xxx xxxxx xxx xx xxxxxx .2. 计算下列极限: (1)2232)2(2lim−+→x xxx ; 解 因为01602)2(lim2322==+ − → xxx x , 所以∞=−+→223 2)2( 2limxxx x .(2)12lim 2 +∞→x xx ;解∞=+∞→12lim2xx x (因为分子次数高于分母次数(3). )12(lim3+−∞→xxx 解 (因为分子次数高于分母次数). ∞=+−∞→)12(lim3xxx 3.计算下列极限: (1)xxx1sinlim20→;解 01sinlim20=→ xxx(当 x →0时, x2是无穷小, 而x1sin 是有界变量).(2)xx x arctanlim ∞→. 解0arctan1limarctanlim=⋅=∞→∞→ xxxxxx (当 x →∞时, x1是无穷小, 而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题1−61. 计算下列极限: (1)xx x ωsinlim0→; 解 ωωωωω==→→ xx xx xx sinlimsinlim00. (2)xx x 3tanlim0→; 解33cos133sinlim33tanlim00=⋅=→→ xxxxxxx .(3)x x x 5sin2sinlim 0→; 解52525sin522sinlim5sin2sinlim00=⋅⋅=→→xxxxx x xx .(4);xxx cotlim0→ 解1coslimsinlimcossinlimcotlim0000=⋅=⋅=→→→→ xxxxxxxxxxxx. (5)xxx x sin 2cos1lim 0 − →;解法一 ()2sinlim2sin2lim2cos1limsin2cos1lim2022 0200===−=− →→→→ xxx x x xxx x xxxx .解法二2sinlim2sinsin2limsin2cos1lim0 2 00===− →→→ xxxxx xxxxxx .(6)n n nx2 sin2lim∞→( x 为不等于零的常数). 解xxx x xnnnnn n=⋅=∞→∞→2 2sinlim2 sin2lim. 2. 计算下列极限: (1)xxx 10)1(lim−→;解 {}11)( 1)1()(10 10)](1[lim)](1[lim)1(lim−−− → −− →→=−+=−+=−exxxxxxxxx. (2)xxx1 0)21(lim+→;解 []22212210 10)21(lim)21(lim)21(limexxxxxxxxx =+=+=+→⋅→→.(3)x xx x 2)1(lim+∞→;解[]222)11(lim)1(lim exxxxxxx =+=+∞→∞→.(4)kx xx)11(lim−∞→( k 为正整数). 解kkx x kxxexx−−− ∞→∞→=−+=−))(()11(lim)11(lim.3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I′. 解4. 利用极限存在准则证明: (1)111lim=+∞→ nn;证明 因为 nn11111+<+<, 而 且11lim=∞→n1)11(lim=+∞→ nn, 由极限存在准则I, 111lim=+∞→ nn.(2)()11211lim222=++⋅⋅⋅++++∞→πππ nnnnnn;证明 因为()πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+2 22222 21211n n nnnnnnn n ,而 1lim22 =+∞→π nn n n , 1lim2 2=+∞→π n n n , 所以 ()11211lim222=++⋅⋅⋅++++∞→πππnnnnnn.(3)数列2, 22+, 222++, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限存在; 证明 21=x ,nnxx +=+21( n=1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅). 先证明数列{ xn }有界. 当 n =1时221<= x , 假定 n = k 时 x k <2, 当 n = k +1时,22221=+<+=+kkxx, 所以 xn <2( n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 即数列{ xn }有界.再证明数列单调增.nnnn nnnnnnnn xx xx xx xxxxxx ++ +−−= ++ −+=−+=− +2 )1)(2( 2222 1,而 x n −2<0, xn +1>0, 所以 xn +1− xn >0, 即数列{ xn }单调增. 因为数列{ xn }单调增加有上界, 所以此数列是有极限的. (4)11lim0=+→ n xx;证明 当| x |≤1时, 则有1+ x ≤1+| x |≤(1+| x |) n ,1+ x ≥1−| x |≥(1−| x |) n , 从而有 ||11||1xxxn +≤+≤−.因为 ,1|)|1(lim|)|1(lim00=+=−→→ xxxx 根据夹逼准则, 有11lim0=+→ n xx.(5)[]11lim=+ → xx x .证明 因为[]xxx 1111≤<−, 所以[]111≤<−xxx .又因为, 根据夹逼准则, 有11lim)1(lim 00==−++ →→xx x []11lim0 =+ → xx x .习题 1−71. 当 x →0时, 2 x − x2 与 x 2−x3相比, 哪一个是高阶无穷小？ 解 因为0 2 lim 2 lim202320=− −= − − →→ x xxxx xxxx,所以当 x →0时, x 2− x3是高阶无穷小, 即x 2− x 3=o (2 x − x2).2. 当 x →1时, 无穷小1− x 和(1)1− x 3, (2))1( 212 x −是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim1 )1)(1(lim1 1lim2 1 2 13 1=++=− ++−= − − →→→xxx xxx xx xxx ,所以当 x →1时, 1− x 和1− x3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim2 1 1 )1(2 1lim1 2 1=+=− − →→ x x x xx,所以当 x →1时, 1− x 和)1( 2 12x −是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当 x →0时, 有: (1) arctan x ~ x ; (2)2~1sec2 xx−. 证明 (1)因为1tan limarctanli m00==→→y yxx yx (提示: 令 y =arctan x , 则当 x →0时, y →0), 所以当 x →0时, arctan x~ x . (2)因为()12 2sin2lim 22 sin2limcos cos1lim2 2 1 1seclim2 02 2 02020=== −=− →→→→ x x x xxx x x x xxxx ,所以当 x →0时,2~1sec2xx−. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xx x 2 3tanlim0→; (2) m nxx x )(sin )sin(lim0→( n , m 为正整数);(3)xxx x 30sin sintanlim− →;(4))1sin1)(11(tansinlim320−+−+− → xx xx x .解(1)2323lim23tanlim00==→→ xxx x xx .(2)⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <∞ > = ==→→ mnmn mn xx xx m n xm n x0 1lim)(sin)sin(lim00.(3)21cos2 1 limsincoscos1limsin)1cos1(sinlimsinsintanlim2 2 0203030== −=−=− →→→→ xxx xx x x xx x xx xxxx . (4)因为 32221)2 (2~ 2 sintan2)1(costantansin xxxxxxxxx −=⋅−−=−=−( x →0),232322232 3 1~ 11)1(11 x xx xx++++ =−+(x →0), xx x xx ~sin~ 1sin1sin1sin1++ =−+(x →0),所以 331 21lim )1sin1)(11( tansinlim230320−=⋅ − = −+−+ − →→ xxx xx xx xx .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim=αα, 所以α ~α ; (2) 若α ~β, 则1lim= β α, 从而1lim= αβ. 因此β~α ; (3) 若α ~β, β~γ, 1limlimlim=⋅=βαγ β γ α. 因此α~γ.习题1−81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形: (1);⎩⎨ ⎧ ≤<− ≤≤= 21 210 )(2 xx xxxf (2). ⎩⎨⎧> ≤≤− = 1|| 111 )( x xx xf 解 (1)已知多项式函数是连续函数, 所以函数 f ( x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的.在 x =1处, 因为 f1lim)(lim2 11==−− →→xxf xx 1)2(lim)(lim11=−=++ →→xxf xx 所以, 从而函数f ( x )在 x =1处是连续的. 1)(lim1=→xfx 综上所述，函数 f( x )在[0, 2]上是连续函数. (2)只需考察函数在 x =−1和 x =1处的连续性.在 x =−1处, 因为 f (−1)=−1, , , 所以 函数在 x =−1处间断, 但右连续. )1(11lim)(lim11 −≠==−− −→−→fxf xx )1(1lim)(lim11 −=−==++ −→−→fxxf xx 在 x =1处, 因为 f (1)=1, = f (1), = f (1), 所以函数在 x =1处连续.1lim)(lim 11==−− →→xxf xx 11lim)(lim 11==++ →→xx xf综合上述讨论, 函数在(−∞, −1)和(−1, +∞)内连续, 在 x =−1处间断, 但右连续.2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续: (1)231 22 +− −=xx xy , x =1, x =2;(2) x xytan =, x = k ,2ππ+=kx( k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);(3),1cos2 x y = x =0;(4), x =1. ⎩⎨⎧ >− ≤− = 1 31 1xx xx y 解 (1) )1)(2()1)(1(231 22 −− −+= +− −= xx xx xx xy . 因为函数在 x =2和 x =1处无定义, 所以 x =2和 x =1是函数 的间断点. 因为∞=+−−= →→23 1limlim2 2 22 xx xy xx , 所以 x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim11−=− += →→ x xy xx , 所以 x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处,令 y =−2, 则函数在 x =1处成为连续的. (2)函数在点 x = k π( k ∈Z)和 2ππ+=kx( k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 因∞=→ x xkx tan limπ( k ≠0), 故 x = k π( k ≠0)是第二类间断点; 因为1tan lim0=→ x x x , 0 tan lim2= +→ x xkx ππ( k ∈Z), 所以 x =0和2ππ+=kx( k ∈Z) 是第一类间断点且是可 去间断点.令 y | x =0=1, 则函数在 x =0处成为连续的;令2ππ+= kx时, y =0, 则函数在 2ππ+=kx处成为连续的. (3)因为函数 xy1cos2=在x =0处无定义, 所以 x =0是函数 xy 1cos2=的间断点. 又因为 xx1coslim20→不存在, 所以 x =0是函数的第二类间断点.(4)因为所以 x =1是函数的第一类不可去间断 点.0)1(lim)(lim11 =−=−− →→xxf xx 2)3(lim)(lim 11=−=++ →→xxf xx 3. 讨论函数xx xxfn nn22 1 1lim)(+ −= ∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解⎪⎩⎪⎨ ⎧ < = >− = + −= ∞→ 1||1|| 0 1|| 1 1lim)( 2 2 xx x xx x x xxf n nn . 在分段点 x =−1处, 因为, , 所以 x =−1为函数的第一类不可去间断点.1)(lim)(lim11 =−=−− −→−→ xxf xx 1lim)(lim 11 −==++ −→−→xxf xx 在分段点 x =1处, 因为, , 所以 x =1为函数的第一 类不可去间断点.1lim)(lim11==−− →→xxf xx 1)(lim)(lim 11−=−=++ →→xxf xx 4. 证明: 若函数 f ( x )在点 x 0连续且 f( x 0)≠0, 则存在 x 0的某一邻域 U ( x 0), 当 x ∈ U ( x 0)时, f( x )≠0.证明 不妨设 f ( x 0)>0. 因为f ( x )在 x 0连续, 所以, 由极限的局部保号性定理, 存在 x 0)()(lim0 0>=→xfxfxx 0的某一去心邻域, 使当 x ∈时 f ( x )>0, 从而当 x ∈ U ( x )(0xU 䡘)(0 xU 䡘0)时, f( x )>0. 这就是说, 则存 在 x 0的某一邻域U ( x 0), 当 x ∈ U ( x 0)时, f( x )≠0.5. 试分别举出具有以下性质的函数 f ( x )的例子:(1) x =0, ±1, ±2,2 1±, ⋅ ⋅ ⋅, ± n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f ( x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;(2) f ( x )在R 上处处不连续, 但|f ( x )|在R 上处处连续;(3) f ( x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续. 解 函数xxxfππcsc)csc()(+=在点 x =0, ±1, ±2,2 1±, ⋅ ⋅ ⋅, ± n ,n1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的, 且这些点是函数的无穷间断点.解(2)函数在R 上处处不连续, 但|f ( x )|=1在R 上处处连续.⎩ ⎨ ⎧ ∉ ∈− = Q Q x xxf 1 1 )( 解(3)函数在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.⎩ ⎨ ⎧ ∉− ∈ = Q Q xx xxxf )(习题1−9 1. 求函数633)(2 23−+ −−+= xx xxxxf 的连续区间, 并求极限, 及. )(lim0xfx→)(lim3xfx−→)(lim2xfx→解)2)(3()1)(1)(3(633)(223−+ +−+= −+−−+=xx xxx xx xxxxf , 函数在(−∞, +∞)内除点 x =2和 x =−3外是连续的, 所以函数 f ( x )的连续区间为(−∞, −3)、(−3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点 x =0处,21)0()(lim0==→fxfx. 在函数的间断点 x =2和 x =−3处,∞= −++−+= →→)2)(3( )1)(1)(3(lim)(lim22 xx xxxxf xx ,58 2 )1)(1(lim)(lim33−=− +−= −→−→ x xxxf xx .2. 设函数 f ( x )与 g ( x )在点 x 0连续, 证明函数ϕ( x )=max{ f ( x ), g ( x )}, ψ( x )=min{ f ( x ), g ( x )} 在点 x 0也连续. 证明 已知, . )()(lim0 0xfxfxx =→)()(lim0xgxgxx=→ 可以验证] |)()(|)()([2 1)(xgxfxgxfx −++=ϕ, ] |)()(|)()([2 1)(xgxfxgxfx−−+=ψ. 因此 ] |)()(|)()([2 1)(00000 xgxfxgxfx −++=ϕ, ] |)()(|)()([2 1)(00000xgxfxgxfx −−+=ψ. 因为 ] |)()(|)()([21lim)(lim00xgxfxgxfxxxxx −++=→→ϕ]|)(lim)(lim|)(lim)(lim[ 2 10000xgxfxgxfxxxxxxxx→→→→−++= ] |)()(|)()([2 10000xgxfxgxf −++==ϕ( x 0), 所以ϕ( x )在点 x 0也连续.同理可证明ψ( x )在点 x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim20+−→ xxx ;。

2-51.求下列常系数微分方程的解：1）()2e ,00t y y y '-==；8）()()()331,0000y y y y y y y '''''''''+++====；12）()()()()()420,0000,01y y y y y y y ''''''''++=====；16）()π10sin 2,00,12y y t y y ⎛⎫''+=== ⎪⎝⎭。

分析：解题步骤，首先取Laplace 变换将微分方程化为象函数的代数方程, 解代数方程求出象函数, 再取Laplace 逆变换得最后的解.解：1）方程两边取Laplace 变换，并结合初始条件可得()()21e 2t sY s Y s s ⎡⎤-==⎣⎦-L 即()()()1112121Y s s s s s ==-----. 从而方程的解为()()12e e t t y t Y s -⎡⎤==-⎣⎦L8）对方程两边取Laplace 变换，并结合初始条件，有()()()()32133s Y s s Y s sY s Y s s+++= 即()()()332113311Y s s s s s s s ==++++ 由留数计算法，由于10s =是()Y s 的一个一级极点，21s =-是()Y s 的一个三级极点，从而方程的解为()()()121Res e k st s s k f t Y s Y s =-=⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦∑L ()12232e 1d 1lim e 2!d 1stst s s s s s s s →=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦+ ()2231e 2211lim 2st s s t st s →--+=+2111e 2t t t -⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. 12）对方程两边取Laplace 变换，并结合初始条件，有()()()()()()()()()43220000220200s Y s s y s y sy y s Y s sy y Y s '''''''----+--+= 即()()22221111ss Y s s s s ==⋅+++ 从而方程的解为()()11cos sin sin 2y t Y s t t t t -⎡⎤==*=⎣⎦L . 16）对方程两边取Laplace 变换，并结合初始条件，有 ()()()()22200104s Y s sy y Y s s '--+=+ 即()()()()222020114y Y s s s s '=++++()222020113141y s s s '⎛⎫=-+ ⎪+++⎝⎭，从而 ()()()12010sin sin 20sin 33y t Y s t t y t -'⎡⎤==-+⎣⎦L . 为了确定()0y '，将条件π12y ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入上式可得()1703y '=-，所以方程的解为()10sin sin 23y t t t =- 2.求下列变系数微分方程的解：1）()()40,03,00ty y ty y y ''''++===；3）()()()2120,02ty t y t y y '''+-+-==；5）()()()()10,000,0ty n y y y y n ''''+-+===≥.解: 1）方程两边取Laplace 变换，有[]40ty y ty '''++=L即[][][]40ty y ty '''++=L L L ，亦即()()()()()()2d d 00040d d s Y s sy y sY s y Y s s s'⎡⎤⎡⎤---+--=⎣⎦⎣⎦ 从而()()2d 40d Y s sY s s ++= 2d d 04Y s s Y s +=+ 两边积分可得()211ln ln 42Y s c ++=或()Y s =取其逆变换，有()()02y t cJ t =欲求c ，可由条件()03y =得到，即()()0003y cJ c ===，所以方程的解为()()032y t J t =其中()()()2001!12kk k x J x k k ∞=-⎛⎫= ⎪Γ+⎝⎭∑称为零阶第一类Bessel 函数.3）方程两边取Laplace 变换，有[]()()2120ty t y t y '''⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦L L L()()()()()2d d 0020d d s Y s sy y sY s y s s'⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦ ()()()()d2020d sY s y Y s Y s s ⎡⎤---=⎣⎦整理化简后可得()()()()2d21416d s s Y s s Y s s ++++=即()()()2d46d 11Y s Y s s s s +=++这是一阶线性非齐次微分方程，这里()()()246,11P s Q s s s ==++所以()()()()d d e e d P s s P s sY s Q s s c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰()()24161d 1s s c s ⎡⎤=++⎣⎦+⎰()4211cs s =+++从而方程的解为()()132e e 3!t t cy t Y s t ---⎡⎤==+⎣⎦L ()312etc t -=+（1c 为任意常数）5）方程两边取Laplace 变换，有[]()[][]10ty n y y '''+--=L L L即()()()2d 00d s Y s sy y s'⎡⎤---+⎣⎦()()()()100n sY s y Y s ⎡⎤---=⎣⎦ 整理化简后可得()()()2d 11d Y s n ss Y s s -+=两边积分可得()()11ln n Y s s cs -+=-即()()1111e e n s s n cY s cs s ---++==从而方程的解为()(2nn y t ct J =（c 为任意常数）其中n J 称为n 阶第一类Bessel 函数。

1． 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级： 1)()2211+z z解：2． 31z z sin 1123+−−z z z ()z z lz 1+()()z e z z π++11211−z e ()112+z e z n n z z +12，n 为正整数21zsin 求证：如果0z 是()z f 的()1>m m 级零点，那么0z 是()z f'的1−m 级零点。

验证：2i z π=是chz 的一级零点。

0=z 是函数()22−−+z shz z sin 的几级极点？如果()z f 和()z g 是以0z 为零点的两个不恒等于零的解析函数，那么()()()()z g z f z g z f z z z z ''lim lim→→=（或两端均为∞）设函数()z ϕ与()z ψ分别以a z =为m 级与n 级极点（或零点），那么下列三个函数在a z =处各有什么性质：3． ()()z z ψϕ；()()z z ψϕ；()()z z ψϕ+；函数()()211−=z z z f 在1=z 处有一个二级极点；这个函数又有下列洛朗展开式：()()()()345211111111−+−−−+=−z z z z z ，11>−z ，所以“1=z 又是()z f 的本性奇点”；又其中不含()11−−z 幂，因此()[]01=,Re z f s 。

这些说法对吗？求下列各函数()z f 在有限奇点处的留数：4． z z z 212−+421z e z −()32411++z z z z cos z −11cos z z 12sin z z sin 1chz shz 计算下列各积分（利用留数；圆周均取正向）5． ⎰=23z dzz z sin ()⎰=−2221z zdz z e ⎰=−231z m dzz zcos ， 其中m为整数⎰=−12i z thzdz⎰=3z zdztg π()()⎰=−−11z nndz b z a z （其中n 为正整数，且1≠a ，1≠b ，b a <）。

教育科学“十五”国家规划课题研究成果复变函数与积分变换高等教育出版社内容提要本书是教育科学“十五”国家规划课题研究成果,是依据工科数学《复变函数与积分变换教学大纲》,结合本学科的发展趋势,在教学实践的基础上编写而成的.在编写的过程中始终遵循着:为专业课打好基础,培养学生的数学素质,提高其应用数学知识解决实际问题的能力的原则.在具体内容编写上力求做到:分析客观事物———建立概念———发展理论———应用理论解决实际问题.强调将基础知识的学习,数学思想、方法的学习、能力的培养孕育其中.强调理论的应用性及与计算机的结合.本书具有体系严谨,逻辑性强,内容组织由浅入深,理论联系实际,适应新形势要求,讲授方式灵活等特点.本书的内容为第一篇、第二篇、数学实验三部分,第一篇为复变函数,共七章,主要内容是:复数和复变函数,导数,积分,级数,留数,保形映照及解析函数的应用.第二篇为积分变换,共二章,主要内容是:傅里叶变换,拉普拉斯变换.数学实验的主要内容为数学软件的应用和积分变换的部分程序.本教材建议学时约本书可作为高等院校有关专业本科教材,也可供科技、工程技术人员阅读参考.前 言《复变函数与积分变换》一书是作者研究了大量的中外相关教材资料,在教学实践的基础上,依据工科数学《复变函数与积分变换教学大纲》,结合大学教学课程体系和内容的改革要求,以培养学生数学素质为目的编写而成的.本书具有如下特点:1．复变函数的内容体系方面,复数,复函数,复导数,复积分,级数,留数,保形映照等概念与高等数学的函数,微分,积分,级数等概念遥相呼应,使学生通过对比易于学习和掌握有关内容且能达到对所学内容由少到多,再由多到少.在内容的展开方面,不论是复变函数部分还是积分变换部分都特别注重内容(事件)发生、发展的自然过程,强调概念的产生过程所蕴含的思想方法,注重概念、定理叙述的精确性.从而在学生获得知识的同时培养学生推理、归纳、演绎和创新能力.2．为了适应社会发展需要,将数学理论与实际问题拉近距离,在复变函数部分增加了解析函数对平面向量场的应用一章,使来自实际的数学理论再回到实际中去解决问题.在积分变换部分,添加了离散傅里叶变换、离散沃尔什变换、梅林变换、z变换的简单介绍.3．随着计算机的发展,数学与计算机的关系越来越密切,本书数学实验部分通过数学软件和程序将抽象数学理论与计算机的结合展现在读者面前.4．本书的习题量较大,这给了教师选择和学生练习的余地,并且设置了一定数量的思考型题目.5．本书在内容的表述方式上,不像对数学系专业学生的要求那样严格,而是将数学语言在某些地方“通俗化”,做到了简单、明了、直白.总之,本书具有体系严谨,逻辑性强,内容组织由浅入深,理论联系实际,适应新形势要求,讲授方式灵活等特点.本书由西安建筑科技大学苏变萍主编,其中第一篇的第一、二、三、四章、第二篇及数学实验部分由苏变萍编写,第五、六、七章由西安建筑科技大学陈东立编写.全书最后由苏变萍统稿.本书在编写过程中得到了学校、理学院、数学教研室和广大同仁的大力支持和帮助,潘鼎坤教授、徐裕生教授给予了许多重要的指导,西安建筑科技大学刘林教授仔细审阅了全部书稿.在此深表感谢.并恳切希望读者对此书提出宝贵意见和建议.作者2003年3月于西安目 录第一篇　复变函数第1章　复数与复变函数1．1　复数(2)…………………………………………………………………………………………………………………1．1．1　复数及其代数运算(2) 1．1．2　复数的几何表示(4)……………………………………………………………………………………1．1．3　复数四则运算的几何意义(6)……………………………………………………1．1．4　扩充复平面(10) 1．2　复数的乘幂与方根(11)…………………………………………………………………………………………………………1．2．1　复数的乘幂(11)……………………………………………………1．2．2　复数的方根(11) 1．3　平面点集(13)……………………………………………………………………………………………………………………………1．3．1　区域(13)……………………………………………………………1．3．2　曲线(14)…………………………………………1．3．3　单连通域和多连通域(14)………………………………………………………………1．4　复变函数(15)………………………………………………1．4．1　复变函数的概念(15) 1．4．2　复变函数的几何意义———映照(16)……………………………………………………………………………1．4．3　反函数与复合函数(17)………………………………………………………………1．5　初等函数(18)………………………………………………………1．5．1　指数函数(19)………………………………………………………1．5．2　对数函数(19)…………………………………………………………1．5．3　幂函数(21)………………………………………1．5．4　三角函数与反三角函数(22)………………………………………1．5．5　双曲函数与反双曲函数(24)第1章习题(25)…………………………………………………………………第2章　导　数2．1．1　复变函数极限的概念(31)…………………………………………2．1．2　复变函数极限定理(32)……………………………………………2．2　复变函数的连续性(35)……………………………………………………2．2．1　复变函数连续的概念(35)…………………………………………2．2．2　复变函数连续的定理(35)…………………………………………2．3　导数(37)……………………………………………………………………2．3．1　导数的概念(37)……………………………………………………2．3．2　导数的运算法则(38)………………………………………………2．3．3　函数可导的充分必要条件(39)……………………………………2．3．4　高阶导数(42)………………………………………………………2．4　解析函数(43)………………………………………………………………2．4．1　解析函数的概念(43)………………………………………………2．4．2　初等函数的解析性(43)……………………………………………2．4．3　函数解析的充要条件(44)…………………………………………2．5　调和函数(45)………………………………………………………………2．5．1　调和函数的概念(45)………………………………………………2．5．2　已知实部或虚部的解析函数的表达式(46)………………………第2章习题(49)…………………………………………………………………第3章　积　分3．1　复变函数积分的概念、性质、计算(54)……………………………………3．1．1　不定积分(54)………………………………………………………3．1．2　定积分(55)…………………………………………………………3．1．3　积分值的计算(57)…………………………………………………3．2　柯西定理及其推广(59)……………………………………………………3．3　柯西积分公式(65)…………………………………………………………3．4　解析函数的导数(67)………………………………………………………第3章习题(69)…………………………………………………………………第4章　级　数4．1　收敛序列与收敛级数(76)…………………………………………………4．1．1　收敛序列(76)………………………………………………………4．1．2　收敛数项级数(78)…………………………………………………4．1．3　函数项级数(80)……………………………………………………·2·目 录4．2．1　幂级数的概念(80)…………………………………………………4．2．2　幂级数的收敛半径(82)……………………………………………4．2．3　幂级数和函数的性质(84)…………………………………………4．3　泰勒级数(85)………………………………………………………………4．4　罗朗级数(91)………………………………………………………………4．4．1　罗朗级数的概念(91)………………………………………………4．4．2　解析函数的罗朗展式(92)…………………………………………第4章习题(98)…………………………………………………………………第5章　留　数5．1　解析函数的孤立奇点(103)………………………………………………5．1．1　孤立奇点的定义与分类(103)……………………………………5．1．2　零点与极点的关系(105)…………………………………………5．1．3　解析函数在无穷远点的性质(107)………………………………5．2　留数的一般理论(109)……………………………………………………5．2．1　留数的定义及计算(109)…………………………………………5．2．2　留数定理(112)……………………………………………………5．2．3　无穷远点的留数(114)……………………………………………5．3　留数对定积分计算的应用(117)…………………………………………第5章习题(121)…………………………………………………………………第6章　保形映照6．1　导数的几何意义及保形映照的概念(125)………………………………6．1．1　曲线的切向量(125)………………………………………………6．1．2　导数的几何意义(125)……………………………………………6．1．3　保形映照的概念(127)……………………………………………6．2　分式线性函数及其映照性质(127)………………………………………6．2．1　分式线性函数(127)………………………………………………6．2．2　分式线性函数的映照性质(130)…………………………………6．3　分式线性函数的应用(133)………………………………………………6．4　指数函数与幂函数所确定的映照(136)…………………………………6．4．1　指数函数w =e z所确定的映照(136)……………………………6．4．2　幂函数w =z n 所确定的映照(139)………………………………第6章习题(142)…………………………………………………………………·3·目 录＊第7章　解析函数对平面向量场的应用7．1　平面向量场(146)…………………………………………………………7．2　平面场的复势(148)………………………………………………………7．3　应用(152)…………………………………………………………………7．3．1　对流体力学的应用(152)…………………………………………7．3．2　对电学的应用(154)………………………………………………第二篇　积分变换第1章　傅里叶变换1．1　傅里叶积分(158)…………………………………………………………1．1．1　傅里叶积分的概念(158)…………………………………………1．1．2　傅里叶积分的物理意义———频谱(159)…………………………1．1．3　傅里叶积分定理(163)……………………………………………1．2　傅里叶变换(164)…………………………………………………………1．2．1　傅里叶变换的定义(164)…………………………………………1．2．2　傅里叶变换的性质(167)…………………………………………1．3　δ函数(178)………………………………………………………………1．3．1　δ函数的概念(178)………………………………………………1．3．2　δ函数的性质(181)………………………………………………1．3．3　δ函数的傅里叶变换(185)………………………………………＊1．4　离散傅里叶变换和离散沃尔什变换(186)……………………………1．4．1　离散傅里叶变换(186)……………………………………………1．4．2　快速傅里叶变换(189)……………………………………………1．4．3　离散沃尔什变换(193)……………………………………………第1章习题(195)…………………………………………………………………第2章　拉普拉斯变换2．1　拉普拉斯变换的概念(198)………………………………………………2．1．1　拉普拉斯积分(198)………………………………………………2．1．2　拉普拉斯变换(202)………………………………………………·4·目 录2．3　拉普拉斯变换的性质(208)………………………………………………2．4　拉普拉斯变换的应用(224)………………………………………………2．4．1　线性微分方程及微分方程组(224)………………………………＊2．4．2　具有特殊扰动函数的微分方程(229)…………………………＊2．5　梅林变换和z 变换(231)………………………………………………2．5．1　梅林变换(231)……………………………………………………2．5．2　z 变换(233)………………………………………………………第2章习题(236)…………………………………………………………………＊数学实验实验一:Matlab 软件的应用(241)…………………………………………实验二:快速傅里叶变换、拉普拉斯逆变换的计算程序(243)……………附录A 区域变换表(256)………………………………………………………附录B 傅氏变换简表(261)……………………………………………………附录C 拉氏变换简表(265)……………………………………………………习题答案(270)……………………………………………………………………参考书目(282)……………………………………………………………………·5·目 录第一篇　复变函数复数是十六世纪人们在解代数方程时引入的,在十七和十八世纪,随着微积分的发明与发展,人们研究了复变数函数(简称复变函数),得到了一些重要结果.因为复数最初是单纯地从形式上推广而引进的,并且在十八世纪以前,由于人们对复数的有关概念了解得不够清楚,用它们进行计算得到了一些矛盾,所以复数在历史上长期不能为人们所接受,“虚数”这一名词本身恰好反映了这一点.可是复数并不神秘,它可与有序实数对或平面向量一一对应,在某些情况下用复数表示的向量计算起来更方便.十八世纪,J．达朗贝尔(1717—1783)与L．欧拉(1707—1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义,澄清了复数的概念,并应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题.直到这时,人们才接受了复数.复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的.A．L．柯西(1789—1857),K．外尔斯特拉斯(1815—1897)和G．F．B黎曼(1826—1866)是这一时期的三位代表人物.柯西和外尔斯特拉斯分别应用积分和级数研究复变函数,黎曼研究复变函数的映照性质.本世纪,复变函数论成为数学的重要分支之一,随着它的应用领域不断扩大而发展成一门庞大的学科.这门学科不但研究本身在发展中提出的问题,而且对于自然科学其它部门(如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等)以及数学中其他分支(如微分方程、积分方程、概率论、数论等)复变函数论都有重要的应用．第1章　复数与复变函数高等数学和复变函数都是以变量为研究对象的数学课程.所不同的是高等数学的变量来自于实数集合,而复变函数中的变量来自于复数集合.本章将介绍复数的概念、运算、复变函数、初等函数的概念及其性质.1．1　复 数1．1．1　复数及其代数运算1．复数的概念在中学我们已经学过复数.知道i是方程x2+1=0的一个根,即i2= -1,这里i称做虚数单位.当x,y都是实数时,我们称z=x+i y为复数.x,y分别称为z的实部与虚部.记作x=Re(z),y=Im(z).当x=0,y≠0时,z=i y称为纯虚数;当y=0时,z=x被视作实数x.两个复数的相等,当且仅当它们的实部与虚部分别相等.一个复数等于零,当且仅当它的实部与虚部同时等于零.称复数x+i y和x-i y互为共轭复数.复数z的共轭复数常记为z.2．复数的代数运算对以上定义的复数,我们来规定其运算方法.由于实数是复数的特例,因此复数的运算法则施行于实数时,应与实数的运算结果相符.同时复数运算应能够满足实数运算的一般规律.两个复数z1=x1+i y1,z2=x2+i y2的运算定义如下:复数的加法、减法:　z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2).复数的乘法:　z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1).复数的除法:z1x1x2+y1y2x2y1-x1y2以上各式的右端分别称为复数z1与z2的和、差、积、商.复数运算所满足的算律:(1)交换律z1+z2=z2+z1; z1z2=z2z1.(2)结合律z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3; z1(z2z3)=(z1z2)z3.(3)分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.算律(1)、(2)、(3)读者可自行证之.我们注意到对复数的运算仍有以下事实:(1)z+0=z,　0·z=0;(2)z·1=z,　z·1z=1;(3)若z1z2=0,则z1与z2至少有一个为零,反之亦然.这是因为如果z1z2=0,z2≠0　z1=z1z2·1z2=(z1z2)1z2=0．(4)z1+z2z3=z1z3+z2z3.计算1 2-3i11+i=15-i=526+126i．例1．1　证明:(1+z)2=1+2z+z2．证　(1+z)2=(1+z)(1+z)=1+z+z+z2=1+2z+z2．共轭复数的运算性质:(1)z==z;(2)z1±z2=z1±z2;(3)z1z2=z1z2;(4)z1z2=z1z2.我们来证明性质(3),其余留给读者.证　设z1=x1+i y1,z2=x2+i y2.那么 z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1), z1z2=(x1x2-y1y2)-i(x1y2+x2y1), z1z2=(x1-i y1)(x2-i y2)=(x1x2-y1y2)+i(-x1y2-x2y1)=(x1x2-y1y2)-i(x1y2+x2y1)．因而 z1z2=z1　z2.例　共轭复数-1+3i 2-i =(-1+3i)(2-i)=-1+3i2+i．例1．2　证明:Re(z)=z+z2, Im(z)=z-z2i.证　设z=x+i y．则　z+z2=(x+i y)+(x-i y)2=x=Re(z);　z-z2i=(x+i y)-(x-i y)2i=y=Im(z).1．1．2　复数的几何表示1．复平面一个复数z=x+i y本质上由一对有序实数(x,y)唯一确定.于是能够建立全体复数和x y平面上的点之间的一一对应关系.换句话说,我们可以用横坐标为x,纵坐标为y的点来表示复数z=x+i y.由于x轴上的点对应着实数,故x轴称为实轴;y轴上非原点的点对应着纯虚数,故y轴称为虚轴.这样表示复数z的平面称为复平面或z平面.2．复数的模与幅角在复平面上,复数z还与从原点O到z=x+i y所引向量构成一一对应关系.因此,我们也可以用向量来表示复数z=x+i y(如图1．1).复数的模我们称向量z的长度为复数z的模,记作z(如图1．1).关于复数z的模z有:(1)z=x2+y2;(2)z=z,z z=z2;(3)z≤x+y,x≤z,y≤z;(4)z1z2=z1z2(5)z1+z2≤z1+z2;(6)z1-z2≥z1-z2.这里z1-z2又表示点z1与z2之间的距离.(1)、(2)、(3)显然成立,利用运算定义和性质容易得到(4).在1．1．3节定理1．1中我们还将利用复数的其它形式更简捷地证明它.图1．1图1．2 我们来证明不等式(5).证　z 1+z 22　=(z 1+z 2)(z 1+z 2)=(z 1+z 2)(z 1+z 2)　=z 1z 1+(z 1z 2+z 1z 2)+z 2z 2　=z 12+z 22+2Re (z 1z 2).但 Re (z 1z 2)≤z 1z 2=z 1z 2,所以 z 1+z 22≤(z 1+z 2)2.即 z 1+z 2≤z 1+z 2.对上式我们可以推广到有限个复数,即z 1+z 2+…+z n ≤z 1+z 2+…+z n.我们再来证明不等式(6).证　当z 1≥z 2时,z 1=z 1-z 2+z 2≤z 1-z 2+z 2,因而　z 1-z 2≤z 1-z 2.　当z 1≤z 2时,同理有　z 2-z 1≤z 1-z 2,所以z 1-z 2≤z 1-z 2.复数的幅角由实轴的正向到向量z 之间的夹角θ称为复数z 的幅角,记作Arg z (如图1．1).显然Arg z 有无穷多个值,其中每两个值相差2π的整数倍.但Arg z 只有一个值θ0,满足条件-π<θ0≤π,称它为复数z的幅角的主值,记作arg z.则　Arg z=arg z+2kπ　(k=0,±1,±2,…,-π<arg z≤π.),　tan(Arg z)=y x幅角主值arg z由等式tan(arg z)=yx右边的值,x和y的符号及-π<arg z≤π来确定.当z=0时,我们说z的模为0,幅角不定.例1．3　求Arg(2-2i)和Arg(-3+4i).解Arg(2-2i)=arg(2-2i)+2kπ=arctan -22+2kπ=-π4+2kπ　(k=0,±1,±2,…)．　Arg(-3+4i)=arg(-3+4i)+2kπ=arctan 4-3+2kπ+π=(2k+1)π-arctan 43　(k=0,±1,±2…)．1．1．3　复数四则运算的几何意义由直角坐标系与极坐标系的关系: x=r cosθ,　y=r sinθ得到 z=r(cosθ+i sinθ).这里θ=Arg z,此式称为复数z的三角表达式.例1．4　求i,-2,1-3i的三角表达式．解(a)因为 i=1,Arg i=π2+2kπ　(k=0,±1,±2,…),所以 i=cos π2+i sinπ2.　(b)因为 -2=2,Arg(-2)=π+2kπ　(k=0,±1,±2,…),所以 -2=2(cosπ+i sinπ).　(c )因为 1-3i =2, Arg (1-3i )=-π3+2k π　(k =0,±1,±2,…),所以 1-3i =2cos -π3+i sin -π3.复数的加法、减法运算的几何意义由向量的加法、减法的几何意义给出(如图1．2).应用复数的三角表达式,我们可以得到若　z 1=r 1e i θ≠0,z 2=r 2e i θ≠0,则 z 1z 2=r 1r 2[cos (θ1+θ2)+i sin (θ1+θ2)],(1．1) z 1z 2=r 1r 2[cos (θ1-θ2)+i sin (θ1-θ2)],(1．2)从而有图1．3定理1．1　两个复数乘积的模等于它们模的乘积;两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.定理的含义(如图1．3):对任何两个非零复数z 1、z 2,下面两个等式同时成立.z 1z 2=z 1z 2;　Arg (z 1z 2)=Arg z 1+Arg z 2.上面关于幅角的等式应理解为集合的相等.也就是说,对于等式左端的任一值,等式的右端必有一值和它相等,反之亦然.例　设z 1=-1,z 2=i ．那么　Arg z 1+Arg z 2=π+π2+2k ′π,　Arg (z 1z 2)=Arg (-i )=-π2+2k π,这里k ′,k 分别为0,±1,±2,…. 显然,作为集合 Arg (z 1z 2)=Arg z 1+Arg z 2.定理1．2　两个复数商的模等于它们模的商;两个复数商的幅角等于被除数与除数的幅角差.即z 1≠0,z 2≠0时, z 1z 2=z 1z 2; Argz 1z 2=Arg z 1-Arg z 2.这里关于幅角的结论与定理1．1中的一样,亦为集合意义下的相等.另外,由复数的三角表达式 z =r (cos θ+i sin θ)经欧拉公式 e i θ=cos θ+i sin θ,我们可以得到等式 z =r e i θ,此式称为复数z 的指数表达式.如设　z 1=r 1e i θ1,z 2=r 2e i θ2　(z 1≠0,z 2≠0).那么, e i θ1ei θ2=(cos θ1+i sin θ1)(cos θ2+i sin θ2)=cos (θ1+θ2)+i sin (θ1+θ2)=ei (θ1+θ2). 1ei θ2=1cos θ2+i sin θ2=cos θ2-i sin θ2=cos (-θ2)+i sin (-θ2)=ei (-θ2)=e-i θ2.因此 z 1z 2=r 1r 2ei (θ1+θ2);(1．3) z 1z 2=r 1r 2e i (θ1-θ2).(1．4)这便是定理1．1与1．2的结论.例1．5　设z 1=1+3i ,z 2=-1-i .分别应用式(1．1)和式(1．2),式(1．3)和式(1．4)计算z 1z 2和z 1z 2.解　因为z 1=2,tan (Arg z )=3,z 1在第Ⅰ象限,所以z 1的三角表达式为 z 1=2cos π3+i sin π3.z 1的指数表达式为 z 1=2e π3i .因为z 2=2,tan (Arg z 2)=1,z 2在第Ⅲ象限,所以z 2的三角表达式为 z 2=2cos -34π+i sin -34π.z2的指数表达式为 z2=2e-34πi.由式(1．1)和式(1．2)可得: z1z2=22cos π3-34π+i sinπ3-34π=22cos-512π+i sin-512π. z1z2=22cosπ3+34π+i sinπ3+34π=2cos1312π-2π+i sin1312π-2π=2cos-1112π+i sin-1112π.由式(1．3)和式(1．4)可得 z1z2=22e i π3-34π=22e-512iπ. z1z2=22e i(π3+34π)=2e-1112πi.根据复数三角表达式与指数表达式的关系 r e iθ=r(cosθ+i sinθ), r e i(θ+2kπ)=r[cos(θ+2kπ)+i sin(θ+2kπ)],显然 r e iθ=r e iθ·e2kπi　(k=0,±1,±2,…)．从几何上来看(如图1．4),当θ增加或减少2π时,z点沿圆周移动一圈回到出发点.因此,z=r e iθ与z=r e i(θ+2kπ)(k=0,±1,±2,…)表示的是同一个复数.由图1．4我们还可以看到,一个圆心在原点,半径为R的圆可表示为: z=R.一个圆心在z0,半径为R的圆(如图1．5)可以表示为:z-z0=R.图1．4图1．51．1．4　扩充复平面图1．61．复数的球面表示取一个中心位于复平面原点处的球面,球面与始于原点且垂直于复平面的射线相交于点N .对复平面上任一点z,过z 和N 作直线与球面相交于异于N 的一点P (当点z 位于圆周C 所围区域内时,P 在下半球面上).反之,对球面上任一异于N 的点P ,过N 和P 的直线与复平面交于一点z (如图1．6).这就是说,除去点N 外球面上的点P 与复平面上的点z 为一一对应,即复数可用球面上的点来表示.2．扩充复平面对球面上的点N,复平面上没有复数与之对应.从图1．6可以看到,当z 无限远离原点时P 无限逼近N .我们规定,无限远离原点的点称为“无穷远点”,它与球面上的点N 相对应.不包含无穷远点在内的复平面仍称为复平面.包含无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.为了使扩充复平面上的点与球面上的点一一对应,规定“无穷远点”是唯一的.本书中如无特别声明,只考虑有限复数及复平面.3．复数∞扩充复平面上的无穷远点与复数中的∞对应,记作z =∞.复数z =∞的实部、虚部、幅角均无意义,它的模z 规定为+∞,对于其它每一个复数z 则有z <+∞.设α为不等于零的有限复数,对于z =∞的运算规定为:　α±∞=∞±α=∞;　α·∞=∞·α=∞;　α0=∞,α∞=0.∞±∞,0·∞,0以及∞∞均无意义.1．2　复数的乘幂与方根1．2．1　复数的乘幂设n为正整数,z n表示n个非零复数z的乘积,按乘法法则z n+1=z n·z,可得z n=r n e i nθ.当n=0时,我们约定z0=1.显然,这时z n=r n e i nθ仍然成立.当n为负整数时,定义z-1=1z,我们有　z n=(z-1)-n=1z-n=1re-iθ-n=1r-ne i nθ=r n e i nθ.因此,对任何整数n,复数z的乘幂有下列公式成立:z n=r n e i nθ.特别地,当r=1时,上述公式成为(e iθ)n=e i nθ,即(cosθ+i sinθ)n=cos nθ+i sin nθ.此公式称为棣莫弗(De Moivre)公式.1．2．2　复数的方根我们称满足方程w n=z(这里w≠0,n≥2)的复数w为该方程的n次方根,记作n z,即w=n z.或者记作z 1n,此时w=z1n.设　z=r e iθ,w=ρe iφ,由方程w n=z可得 (ρe iφ)n=r e iθ.即 ρn e i nφ=r e iθ.所以 ρn=r, nφ=θ+2kπ　(k=0,±1,±2,…).从而 ρ=r 1 n, φ=θ+2kπn　(k=0,±1,±2,…).故 w=r 1n e iθ+2kπn,　z 1n=r1n cosθ+2kπn+i sinθ+2kπn　(k=0,±1,±2,…)为方程w n=z的全部的根,当k取0,1,2,…,n-1时得到方程w n=z的n 个单根,这n个单根在几何上表现为以原点为中心,r1n为半径的圆内接正n 边形的n个顶点.当k取其它整数值时,得到的方程w n=z的根必与这n个单根中的某个根重合.方程w n=1(n=2,3,…,z≠0)在复数范围内有n个单根w=cos 2kπn+i sin2kπn　(k=0,1,2,…,n-1).从几何上来看,若设w n=e i 2πn,方程w n=1的n个单根可记为1,w n,w2n,w3n,…,w n-1n.它们是单位圆内接正n边形的n个顶点,以n=3为例作图1．7,n=6为例作图1．8.图1．7图1．8例1．6　求-8i的三个三次方单根.解　因为 -8i=8e i-π2+2kπ　(k=0,±1,±2,…),所以它的三个三次方单根为 (-8i)13=2e i-π6+23kπ　(k=0,1,2),也就是　3-i,　2i,　-3-i.例1．7　计算-1-i.解　因为　-1-i=2cos-34π+i sin-34π,所以　-1-i=42cos -34π+2kπ2+i sin-34π+2kπ2(k=0,1).即　w02=42cos 38π-i sin38π,　w12=42cos 58π+i sin58π.1．3　平面点集关于平面点集的基本概念在高等数学的下册已讲述过了.在此我们仅做回顾.1．3．1　区　域邻域　平面上以z0为心,δ(任意的正数)为半径的圆:z-z0<δ内部的点的集合称为z0的邻域或圆盘.而称由不等式0<z-z0<δ所确定的点集为z0的去心邻域.内点　设E为平面上的一个点集,z0为E内的一点,如果存在z0的一个邻域,而该邻域内所有的点都属于E,则称z0为E的内点.开集　如果点集E的每一个点都是内点,则称E为开集.边界点　如果点z0的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,则称z0为E的边界点.边界　集E的全部边界点所组成的点集,称为集E的边界.连通的　设E是开集,如果对于E内任何两点,都可用折线连接起来,且该折线上的点都属于E,则称开集E是连通的.开区域　连通的开集称为开区域或区域.闭区域　开区域连同它的边界一起,称为闭区域.有界集、无界集　如果集E可以包含在原点的一个邻域内(即存在一个正数M,对任意的z∈E,都有z<M),那么称集E为有界集.否则称集E 为无界集.例如:　圆盘:z-z0≤r为有界闭区域.　圆环:r1<z-z0<r2为有界开区域.　上半平面:Im(z)>0是无界开区域.　角形域:0<arg z<φ是无界区域.1．3．2　曲　线1．简单曲线、简单闭曲线.定义1．1　设x(t)及y(t)是闭区间[α,β]上连续的两个实函数,则由方程 x=x(t)y=y(t) (α≤t≤β),或由复数方程 z=x(t)+i y(t)(α≤t≤β) (简记为z=z(t))所决定的点集C称为复平面(z平面)上的一条连续曲线.在这个意义下, z(α)及z(β)分别称为曲线的起点和终点;若任取t1,t2∈[α,β],且t1≠t2, t1与t2不同时取到端点时,有z(t1)≠z(t2),则称该曲线为简单曲线(或无重点曲线);z(α)=z(β)的简单曲线称为简单闭曲线.例如:没有重点的线段、圆弧、抛物线的弧段等都是简单曲线.椭圆周是简单闭曲线,双纽线不是简单闭曲线(有重点的曲线).2．光滑曲线、分段光滑曲线.定义1．2　设曲线C的方程为z(t)=x(t)+i y(t)　(α≤t≤β),又在α≤t≤β上,x′(t),y′(t)连续且不全为零,则称曲线C为光滑曲线.由几段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.例如:摆线x(t)=a(t-sin t),y(t)=a(1-cos t)(a>0)的一拱为一条光滑曲线.星形线x(t)=a cos3t,y(t)=a sin3t(a>0)为分段光滑曲线.1．3．3　单连通域和多连通域定义1．3　设D 是平面上一区域,如果在D 内任作一条简单闭曲线,而图1．9曲线所围的部分总属于D,则称区域D 为单连通区域.不是单连通的区域称为多连通区域或复连通区域.例如:由单连通域,多连通域的定义可以判断出,区域:{zz <1}和区域:{zIm (z )>0}均为单连通区域;区域{zr 1<z -z 0<r 2}为多连通域.复杂一点的多连通区域如图1．9所示,它可以是由曲线C 所围成的区域中挖了几个洞,去除了几个点和一条线段而形成的区域.1．4　复变函数1．4．1　复变函数的概念定义1．4　设D 是一个给定的复数集,如果有一法则f ,对于每一个数z ∈D,总有确定的复数w 和它对应.则称f 是定义在D 上的复变数函数(简称为复变函数),记作w =f (z ).数集D 叫做这个函数的定义域.如果给定一个函数w =f (z )却没有指明函数的定义域,我们约定该函数的定义域为复变数z 所能取的使w =f (z )有意义的值的集合.当取z 0∈D 时,通过w =f (z )与之对应的值w 0称为复变函数w =f (z )在z 0处的函数值.如果任取z ∈D ,通过w =f (z )有唯一的w 值与之对应,这种函数称为单值函数.否则称为多值函数.在以后的讨论中,如无特别声明,所讨论的函数均指单值函数.例如:函数　w =z 12是定义在整个复平面上的多值函数.　w =arg z 是定义在除原点外整个复平面上的单值函数.　w =1z,其中Im (z )>0.是定义在上半平面的单值函数.设w =f (z )是定义域为D 的函数,其中 z =x +i y, w =u +i v ,则u ,v 随x ,y 而确定.因而w =f (z )又常写成f (z )=u(x ,y)+i v(x ,y),其中u (x ,y)及v(x ,y)是二元实函数.例　设f (z )=z 2,那么　f (z )=(x +i y)2=x 2-y 2+i2xy ,因此u =x 2-y 2, v =2xy .例　若　u (x ,y)=y ∫+∞e-x td t ,　v(x ,y)=∑∞n =0y n,则　f (z )=y∫+∞e-x td t +i∑∞n =0y n,这个函数的定义域为:x >0且-1<y <1.若a 0,a 1,a 2,…,a n (a n ≠0)为复常数,n 为非负整数,函数P(z )=a 0+a 1z +a 2z 2+…+a n zn称为n 次多项式函数,它的定义域是整个复平面.若Q (z )也为多项式函数,P(z )/Q(z )称为有理函数,它的定义域为除去Q (z )=0的点z 以外的所有点的集合.1．4．2　复变函数的几何解释———映照在高等数学中,我们常用几何图形来表示函数.这给研究函数的性质提供了许多直观的帮助.现在我们取两张复平面,分别称为w 平面和z 平面(有时为了方便,将两张平面重叠在一起),如果在z 平面上函数w =f (z )的定义域D 内取一点z 0,通过w =f (z )在w 平面上有相应的点w 0与之对应,当z 取遍点集D 时,在w 平面上就有相应的点集G 与之对应.因此,从几何上来讲,复变函数w =f (z )代表的是z 平面上点集D 到w 平面上的点集G 之间的一种变换,亦即一种映照.例如:如图1．10所示函数w =z 2将z 平面上的扇形区域 0<θ<π4,0<r <2．映照成w 平面上的扇形区域 0<φ<π2,0<ρ<4．如果我们将z 平面与w 平面重叠起来,那么,我们可以认为映照w =z +1,是将z 平面上每一个点都向右移了一个单位;映照w =i z 是将z 平面上作为向量的每一个点按逆时针旋转了π2角度;映照w =z 是将复平面上每一图1．10个点映照到它关于实轴的对称位置.例1．8　试想映照w=z+1 z将z平面上的圆周z=R映照成w平面上的什么图形.解　若设z=R e iθ,w=u+i v,则　w=R e iθ+1 R e iθ=R(cosθ+i sinθ)+1R(cosθ-i sinθ)=R+1Rcosθ+i R-1Rsinθ,因而　u=a cosθ, v=b sinθ　a=R+1R,b=R-1R．显然,当R≠1时u2 a2+v2b2=1．这就是说映照w=z+1z将z平面上的圆周z=R(R≠1),映照成w平面上长轴为2a,短轴为2b的椭圆线.当R=1时,w=2cosθ.这说明映照w=z+1z将z平面上的单位圆映射成w平面上实轴的一段-2≤u≤2.以上讨论如图1．11所示.图1．111．4．3　反函数与复合函数1．反函数 定义1．5　设w=f(z)定义在z平面的点集D上,函数值集合G在w 平面上.则对任意z∈D,在G内有确定的w与之对应.反过来,由G中任取一点w,通过法则f(z)=w,总有确定的z∈D与之对应.由函数的定义知,此时z与w之间具有了函数的对应关系,记作z=f-1(w),我们称新函数z= f-1(w)为函数w=f(z)的反函数.例如:w=az+bcz+d的反函数为z=-d w-bcw-a,其中a,b,c,d为复常数.在下一节中我们还将看到类似于高等数学中的指数函数与对数函数互为反函数,三角函数与它的反三角函数互为反函数.2．复合函数定义1．6　设函数w=f(h)的定义域为D1,函数h=φ(z)的定义域为D2,值域G D1.那么对任一z∈D2,通过h=φ(z)有确定的h∈G D1与之对应,从而通过w=f(h)有确定的w值与z对应.由函数的定义知,此时w与z之间具有了函数的对应关系,记作w=f[φ(z)].这个函数称为w= f(h)与h=φ(z)的复合函数.例如:函数　w=1h1(h1≠0),h1=h2+β,h2=αz,(α,β均为复常数)的复合函数为w=1αz+β.1．5　初等函数这一节我们来讨论复数域上初等函数的定义和性质.1．5．1　指数函数定义1．7　我们将复变数z=x+i y的指数函数定义为:e x+i y=e x(cos y+i sin y)对于复指数函数e z,它具有如下性质:(1)当z=x时,这个定义与实数集上定义的指数函数一致,但当z=x=1n(n=2,3,…)时,对1．2节e1n为e的n次方根集合的约定是个例外.(2)e z=e x,　Arg(e z)=y+2kπ　(k=0,±1,±2,…);(3)e z1e z2=e z1+z2.事实上,设z1=x1+i y1,z2=x2+i y2,那么　e z1e z2=(e x1e i y1)(e x2e i y2)=(e x1e x2)(e i y1e i y2),因为x1,x2均为实数,由1．1节e i y1e i y2=e i(y1+y2),得e z1e z2=e x1+x2e i(y1+y2).又因为z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2),故上式的右边为e z1+z2.(4)e z+2kπi=e z,这里k为任一整数.这个等式说明指数函数e z是以2kπi 为周期的周期函数.例1．9　证明 (a)(e z)n=e nz(n为正整数); (b)e z1e z2=e z1-z2．证　(a)因为(e z)n=e z e z…e zn,从而(e z)n=e n z. (b)因为e z e-z=e0=1,从而e-z=1 e z,故e z1e z2=e z1·e-z2=e z1-z2.1．5．2　对数函数定义1．8　我们定义对数函数是指数函数的反函数,即若z=e w (z≠0,∞),则称w是z的对数函数,记为w=Ln z.现在我们来推导w=Ln z的具体表达式.设w=u+i v,z=r e iθ.由e w=z可得e u+i v=r e iθ,因而e u=r,　v=θ,故 w=u+i v=ln r+iθ=ln z+i Arg z．即 Ln z=ln z+i(arg z+2kπ)　(k=0,±1,±2,…)．这是一个多值函数,每给一个z有多个Ln z的值与之对应.若令k=0,则上式中的多值函数便成为了单值函数,我们称这个单值函数为多值函数Ln z的主值,记作ln z.即 ln z=ln z+i arg z; Ln z=ln z+2kπi　(k=0,±1,±2,…)．对数函数Ln z具有如下性质:(1)当z=x>0时,ln z=ln x;(2)当z=x<0时,Ln x=ln x+i(2k+1)π(k=0,±1,±2,…);(3)e Ln z=z;　Ln e z=z+2kπi　(k=0,±1,±2,…);(4)Ln(z1z2)=Ln z1+Ln z2;　Ln z1z2=Ln z1-Ln z2．关于性质(3),由于e L n z=e ln z+i arg z+2kπi=z e i arg z=z　(k=0,±1,±2,…),Ln e z=ln e z+i arg e z+2kπi=z+2kπi(k=0,±1,±2,…),结论显然成立.对性质(4),我们现在来证明 Ln(z1z2)=Ln z1+Ln z2.证　因为　Ln(z1z2)=ln(z1z2)+i Arg(z1z2), Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2.。

一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。

(1) i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解：1cos sin i e i πππ-==+ (3)1+解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解：1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a bi ctg abi ctgaπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解：6226363463222i k i i i i e i ee e iπππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i 解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解：()1/2222ii k k eeππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i ee ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。