初一数学角与角平分线含答案

5角平分线知识互联网板块一角平分线的性质与判定知识导航角平分线的性质与判定：⑴定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线．⑵角平分线的性质定理：如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑶角平分线的判定定理12如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线；在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．夯实基础【例1】⑴证明：三角形三个角的角平分线交于一点．⑵已知：如图，ABC △的两条外角平分线交于点P ．求证：PB 平分ABC ∠．BAP【解析】⑴如图，在ABC △中，设BAC ABC ∠∠、的平分线的交点为I ，过I 点作ID AB ⊥于D ，IE AC ⊥于E ，IF BC ⊥于F ，连接IC ．∵AI BI 、都是角平分线，∴ID IE =，ID IF =，∴IE IF =，∴IC 是ACB ∠的平分线，∴三角形三个角的平分线交于一点．这一点称之为三角形的内心，常用大写字母I 来表示，三角形的内心到三角形三条边的距离相等，它是三角形内切圆的圆心．⑵如图，过P 作PM BA ⊥于M ，PN AC ⊥于N ，PQ BC⊥于Q ．由角平分线的性质定理，易证PM PN =，PN PQ =，故PM PQ =，因此根据角平分线的判定定理，PB 平分ABC ∠，得证．这一点称之为三角形的旁心，三角形的旁心到三角形三条边的距离相等，它是三角形旁切圆的圆心．旁心有3个．【例2】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．请你证明：CF 平分AFB ∠．M D NEC BFAGM H D NEC BF AI FE DCB ANMC B AQ P3【解析】过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB △≌△，利用AAS 进而再证BCH NCG △≌△，可得AFC BFC ∠=∠，故CF 平分AFB ∠．【点评】此图在前面的学习中做过介绍，老师可以先带着学生简单复习一下相关结论。

《角》知识讲解及例题解析【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB ＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°，45°，60°，90°这样4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于180°的所有角．【答案与解析】解：除了可以画30°，45°，60°，90°外，还可画15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七个度数的角，画法如图所示．【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．举一反三：【变式】下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【答案】C．类型二、角度制的换算2. 计算下列各题：(1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．【答案与解析】解：(1)解法一：∵ 20.18°＝20°10′48″即：152°49′12″+20.18°＝173°．解法二：∵ 152°49′12″＝152.82°，∴ 152.82°+20.18°＝173°．即：152°49′12″+20.18°＝173°．(2)将82°化为81°59′60″，则∴ 82°-36°42′15″＝45°17′45″．423″＝7′3″， 324′+7′＝5°31′，∴ 35°36′47″×9＝320°31′3″．∴ 41°37′÷3=13°52′20″．【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．举一反三：【变式】计算：(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．类型三、角的比较与运算3. 如图所示表示两块三角板．(1)用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；(2)量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．【答案与解析】解：(1)如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．(2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较．举一反三：【变式】如图，∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线.某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝12（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来.【答案】解：正确，理由如下：∵∠AOB的平分线OM，∴∠AOM＝∠MOB又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON) －∠AON 即有∠MON＝∠BON－∠MON －∠AON∴ 2∠MON＝∠BON－∠AON∴∠MON＝12（∠BON－∠AON）4. 如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？【思路点拨】（1）要求∠MON，即求∠COM﹣∠CON，再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得；（2）和（3）均根据（1）的计算方法进行推导即可．（4）根据（2）和（3）中的结论进行总结．【答案与解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=60°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=+15°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=45°+，∠CON=．∴∠MON=∠COM ﹣∠CON=45°． （4）从上面的结果中，发现：∠MON 的大小只和∠AOB 得大小有关，与∠A0C 的大小无关．【总结升华】能够结合图形表示角之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示角之间的倍分关系．举一反三：【变式】如图，已知O 是直线AC 上一点，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内，且∠BOE ＝12∠EOC ，∠DOE ＝70°，求∠EOC 的度数.【答案】解：设∠EOC=x °，则∠BOE ＝12∠EOC ＝12x °，根据题意可得：1180127022x xx --+= ，解得： 80x = .∠EOC ＝2∠BOE ＝80°. 类型四、方位角5.已知小岛A 位于基地O 的东南方向，货船B 位于基地O 的北偏东50°方向，那么∠AOB 的度数等于 ． 【答案】85°． 【解析】解：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°， ∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°， 故答案为：85°．【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A ，B 的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键． 类型五、钟表上有关夹角问题6. 在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线? 【答案与解析】解：设7时x 分钟，时针与分针成一条直线，由题意得：16302x x -=，5511x =． 答：7时5511分钟时针与分针成一条直线．【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一定的角度．如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则： ① 分针的速度为36060＝6°/分；②时针的速度为3060°分＝0.5°/分． 故分针速度是时针速度的12倍． 举一反三：【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间? 【答案】解：设此人外出用了x 分钟，则分针转了6x 度，时针转了0.5x 度．根据题意得：6x-0.5x ＝110×2，解之得x ＝40． 答：此人外出购物用了40分钟的时间．。

初一数学角平分线、折叠问题专题一．选择题（共30小题）1．如图，∠A＝40°，∠C＝110°，则∠CDB的度数是（）A．70°B．130°C．150°D．160°2．如图，∠1＝53°，∠3＝108°，则∠2的度数为（）A．52°B．53°C．54°D．55°3．如图，∠A＝100°，∠B＝20°，则∠ACD的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．140°4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∠BAC＝∠B+15°，∠DAC是△ABC的外角，则∠DAC的度数是（）A．100°B．105°C．110°D．115°5．如图，在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝45°，那么∠ACD的度数为（）A．110B．100C．55D．456．根据图中的数据，可得∠B的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°7．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝70°，∠B＝40°，则∠ECD等于（）A．40°B．50°C．45°D．55°8．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（）A．95°B．85°C．75°D．65°9．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC和∠ACB的平分线交于点P，则∠BPC的度数是（）A．115°B．100°C．105°D．125°10．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A＝70°，则∠F＝（）A．125°B．130°C．135°D．140°11．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，则∠BOC等于（）A．140°B．130°C．131°D．无法确定12．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，若∠A＝62°，则∠P的度数为（）A．121°B．118°C．100°D．98°13．如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点O，若∠A＝80°，则∠O等于（）A．40°B．50°C．60°D．80°14．如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝（）A．47°B．66.5°C．60°D．无法确定15．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，且∠BIC＝140°，BM，CM分别平分∠ABC，∠ACB的外角，则∠BMC的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°16．如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，则∠D和∠G的数量关系为（）A．B．∠D+∠G＝180°C．D．17．如图，∠ACE是△ABC的外角，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，且BD，CD相交于点D．若∠A＝80°，则∠D等于（）A．30°B．40°C．50°D．55°18．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝60°，则∠A﹣∠P＝（）A．70°B．60°C．50°D．40°19．如图：①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠O1+∠O2+∠O3＝（）度．A．84B．111C．225D．20120．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（）①∠BOC＝90°+∠A；②∠D＝∠A；③∠A＝∠E；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．A．①②④B．①②③C．①②D．①②③④21．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α＝30°，则∠β的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°22．如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在△ABC的A′处折痕为DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ＝180°﹣α﹣βB．γ＝α+2βC．γ＝2α+βD．γ＝α+β23．如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1+∠2＝230°，则∠A等于（）A．35°B．50°C．65°D．70°24．如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°25．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝70°，∠B＝80°，将纸片的一角沿DE折叠，使点C落在△ABC 内，若∠1＝20°，则∠2＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°26．如图，将△ABC一角折叠，若∠1+∠2＝80°，则∠B+∠C＝（）A．40°B．100°C．140°D．160°27．如图，在△ABC中，∠C＝70°，若沿图中的虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（）A．360°B．250°C．180°D．140°28．如图，将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A′处，若∠1＝80°，∠2＝16°，则∠A为（）A．25°B．28°C．32°D．36°29．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝55°，则∠BOC的度数是（）A．100°B．120°C．80°D．90°30．如图，线段AD，BC相交于点O，连接AB，CD，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，则∠P，∠B，∠D满足的关系式是（）A．∠P＝∠B+∠D B．∠P＝∠D﹣∠BC．D．二．填空题（共10小题）31．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A＝50°，则∠BOC＝．32．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC＝125°，则∠A的度数为．33．如图所示，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF的平分线，则∠BDC与∠A之间的数量关系为．34．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝°．35．如图，已知△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于点P，若∠A＝70°，则∠P＝．36．如图①②③中，∠A＝50°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠O1+∠O2+∠O3＝°．37．纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），若∠1＝20°，则∠2的度数为．38．如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝58°，∠B＝83°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内．若∠1＝38°，则∠2＝．39．一张△ABC纸片，点M、N分别是AB、AC上的点，若沿直线MN折叠后，点A落在AC边的下面A′的位置，如图所示，则∠1，∠2，∠A之间的数量关系式是．40．如图，∠A＝65°，∠BDC＝140°，则∠1+∠2＝°．。

初一数学三角形试题答案及解析1.如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝30°，∠C ＝70°，则∠EAD＝【答案】20【解析】∵∠B=30°，∠C=70°，∴在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=40°，又∵AD⊥BC，∴∠BAD=90°﹣∠B=60°，∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=60°﹣40°=20°．故答案为：20．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质2.腰三角形的底角是顶角的两倍，则此等腰三角形的顶角为【答案】36°.【解析】设等腰三角形的顶角度数为x，则底角度数为2x，根据三角形内角和定理：x+2x+2x=180°，解得x的度数．试题解析：设等腰三角形的顶角度数为x，∵等腰三角形的底角是顶角的两倍，则底角度数为2x，根据三角形内角和定理：x+2x+2x=180°，解得x=36°.【考点】等腰三角形的性质．3.如图，AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，BC=9cm，BD=5cm，则点D到AB的距离是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．9 cm【答案】A.【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E，∵BC=9cm，BD=5cm，∴CD=BC-BD=9-5=4cm，∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，∴DE=CD=4cm，即点D到AB的距离是4cm．故选A．【考点】角平分线的性质．4.在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B与点C都在x轴上，且点B在点C的左侧，满足BC=OA，若-3a m-1b2与a n b2n-2是同类项且OA=m，OB=n．（1）m= ；n= ．（2）点C的坐标是．（3）若坐标平面内存在一点D，满足△BCD全等△ABO，试求点D的坐标．【答案】（1）3，2；（2）（5，0）或（1，0）；（3）（5，2）或（5，-2）或（2，2）或（2，-2），（1，2）或（1，-2）或（-2，2）或（-2，-2）．【解析】（1）根据同类项的概念即可求得；（2）根据已知条件即可求得B（2，0）或（-2，0），根据点B在点C的左侧，BC=OA，即可确定C的坐标；（3）根据三角形全等的性质即可确定D的坐标；试题解析：（1）∵-3a m-1b2与a n b2n-2是同类项，∴，解得．（2）∵OA=m，OB=n，∴B（2，0）或（-2，0），∵点B在点C的左侧，BC=OA，∴C（5，0）或（1，0）；（3）当C（5，0）时，∵△BCD全等△ABO，BC=OA=3，∴CD=2或BD=2，∴D的坐标为（5，2）或（5，-2）或（2，2）或（2，-2）；当C（1，0）时，∵△BCD全等△ABO，BC=OA=3，∴CD=2或BD=2，∴D的坐标为（1，2）或（1，-2）或（-2，2）或（-2，-2）．所以D点的坐标为（5，2）或（5，-2）或（2，2）或（2，-2），（1，2）或（1，-2）或（-2，2）或（-2，-2）．【考点】1.全等三角形的判定与性质；2.同类项；3.坐标与图形性质．5.如图，在△ABC中，∠B=400，∠C=1100．（1）画出下列图形：①BC边上的高AD；②∠A的角平分线AE．（2）试求∠DAE的度数．【答案】（1）图形见解析；（2）∠DAE=35°．【解析】（1）按照三角形高线和角平分线定义进行画图即可；（2）利用角平分线把一个角平分的性质和高线得到90°的性质可得∠DAE的度数．（1）如图：（2）∵∠DAB=180°﹣∠ABC﹣∠ADB=180°﹣90°﹣40°=50°，∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠C=180°﹣40°﹣110°=30°，又∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=150°，（角平分线的定义）∴∠DAE=∠DAB﹣∠BAE=50°﹣15°=35°．【考点】三角形高线和角平分线．6.作图题：（可以不写作法）如图已知三角形ABC内一点P．（1）过P点作线段EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F（2）过P点作线段PD使PD⊥BC垂足为D点．【答案】作图见解析．【解析】（1）根据过直线外一点作已知直线平行线的方法作图即可；（2）利用直角三角板，一条直角边与BC重合，沿BC平移，使另一条直角边过点P画垂线即可．（1）如图，EF即为所求．(2) 如图，PD即为所求．【考点】作图—基本作图．7.如图，AD为△ABC的中线,（1）作△ABD的中线BE；（2）作△BED的BD边上的高EF；（3）若△ABC的面积为60，BD=10，则点E到BC边的距离为多少？【解析】（1）找到边AD的中点E，连接BE，线段BE是△ABD的中线；（2）△BED是钝角三角形，所以BD边上的高在BD的延长线上；（3）先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，结合题意可求得△BED 的面积，再直接求点E 到BC 边的距离即可．试题解析：（1）如图所示，BE 是△ABD 的中线；（2）如图所示，EF 即是△BED 中BD 边上的高．（3）∵AD 为△ABC 的中线，BE 为三角形ABD 中线，∴S △BED =S △ABC =×60=15；∵BD=10，∴EF=2S △BED ÷BD=2×15÷10=3，即点E 到BC 边的距离为3．【考点】1．三角形的角平分线、中线和高；2．三角形的面积；8. 在△ABC 中，已知∠A:∠B:∠C=2:3:4，则这个三角形是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形【答案】C ．【解析】根据题意，设∠A 、∠B 、∠C 分别为2k 、3k 、4k ，则∠A+∠B+∠C=2k+3k+4k=180°，解得k=20°，∴4k=4×20°=80°＜90°，所以这个三角形是锐角三角形．故选C ．考点: 三角形内角和定理．9. 已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边为_________．【答案】9【解析】等腰三角形的两边长分别为4和9时，当4为腰时，则可知两腰和=4+4=8＜9不符合三角形任意两边和大于第三边。

三角形中两条角平分线组成的角总结初一数学几何类问题中，角平分线所组成的角是一个重点和难点，也是中考的一个高频考点。

如果同学们能够找出其中规律，掌握对应类型的模型和二级结论，对解题起到事半功倍，本文基于此，总结常见的三种模型，供大家参考学习。

1.三角形两内角角平分线组成的角：如图，△ABC 中∠ABC 与∠ACB 的角平分线BO,CO 相交与点O ，求∠BOC 的度数？【结论】：∠BOC=90o +12∠A 【文字描述】：三角形的两内角平分线组成的角应为90o 与第三角的一半的和。

【证明】：在△ABC 中∠A+∠ABC+∠ACB=180o∴∠ABC+∠ACB=180o －∠A∵BO,CO 是∠ABC 与∠ACB 的角平分线∴∠OBC=12∠ABC ∠OCB =12∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB =12(∠ABC+∠ACB)∴∠OBC+∠OCB=12(180o －∠A)=90o －12∠A 在△BOC 中∠BOC=180o －(∠OBC+∠OCB)=180o －(90o －12∠A)即：∠BOC=90o+12∠A 。

【练习】：1．如图，在△ABC 中，BM 平分∠ABC ，CM 平分∠ACB ，若∠M ＝119°，则∠A ＝°．2．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点E 、D ，若∠E ＝90°，则∠BDC °．2.三角形两外角角平分线组成的角：如图，△ABC 中，∠CBD 与∠BCE 的角平分线BO,CO 相交与点O ，求∠BOC 的度数？【结论】：∠BOC=90o _12∠A 【文字描述】：三角形的两个外角角平分线所组成的角等于90o 与第三角的一半的差。

【证明】：在△ABC 中,∠A+∠ABC+∠ACB=180o∴∠ABC+∠ACB=180o －∠A∵∠ABC+∠CBD=180o ，∠ACB+∠BCE=180o∴∠CBD+∠BCE=360o －(∠ABC+∠ACB)=360o －180o +∠A=180o +∠A∵BO,CO 是∠DBC 与∠ECB 的角平分线∴∠OBC=12∠CBD ，∠OCB =12∠BCE ∴∠OBC+∠OCB=12∠CBD+12∠BCE =12∠CBD+∠BCE)∴∠OBC+∠OCB=12(180o +∠A )=90o +12∠A 在△BOC 中∠OBC+∠OCB+∠BOC=180o∴∠BOC=180o －(∠OBC+∠OCB)=180o －(90o +12∠A)=90o －12∠A【练习】：如图，已知点A 、B 分别在∠MON 的边ON 、OM 上（不与点O 重合），AD 平分∠BAN ，BC平分∠ABM ，直线AD ，BC 相交于点C ．（1）如图1，若∠MON ＝90°，试猜想∠ACB ＝°；（2）如图2，在（1）的基础上，若∠MON 每秒钟变小10°，经过了t 秒（0＜t ＜9），①试用含t 的代数式表示∠ACB 的度数；②并求出当t 取何值时，∠MON 与∠ACB 的度数相等；（3）如图3，在（2）的条件下，若BC 平分∠ABO ，其它条件不改变，请直接写出∠BCD 与∠MON 的关系．3.三角形一内角角平分线与一外角角平分组成的角：如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACD 的角平分线BO,CO 相交与点O ，求∠BOC 的度数？【结论】：∠O =12∠A （∠A =2∠O ）【文字描述】：三角形一外角角平分和一内角角平分所组成的角为第三角的一半。

人教版数学初一上《角》测试题（含答案及解析）时间：60分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.一副三角板按如图所示的方法摆放，且∠1的度数是∠2的3倍，则∠2的度数为()A. 20∘B. 22.5∘C. 25∘D. 67.5∘2.如图所示，能用∠AOB，∠O，∠1三种要领表示联合个角的图形是()A. B.C. D.3.下列说法正确的是()A. 平角是一条直线B. 角的边越长，角越大C. 大于直角的角叫做钝角D. 两个锐角的和不一定是钝角4.下列说法中正确的个数有()①议决一点有且只有一条直线；②相连两点的线段叫做两点之间的隔断；③射线比直线短；④ABC三点在联合直线上且AB=BC，则B是线段AC的中点；⑤在联合平面内，两条直线的位置干系有两种：平行与相交；⑥在8：30时，时钟上时针和分针的夹角是75∘．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.下图中能用一个字母表示的角()A. 三个B. 四个C. 五个D. 没有6.甲、乙两人都从A地出发，分别沿北偏东30∘、60∘的偏向抵达C地，且BC⊥AB，则B地在C地的()A. 北偏东30∘的偏向上B. 北偏西30∘的偏向上C. 南偏东30∘的偏向上D. 南偏西30∘的偏向上第 1 页7.钟表盘上指示的时间是10时40分，此刻时针与分针之间的夹角为()A. 60∘B. 70∘C. 80∘D. 85∘8.下列四个图形中，能同时用∠1，∠ABC，∠B三种要领表示联合个角的图形是()A. B.C. D.9.在8点30分时，时针上的时针与分针之间的夹角为()A. 85度B. 75度C. 70度D. 60度10.在时刻9：30时，时钟上的时针与分针间的夹角是()A. 75∘B. 90∘C. 105∘D. 120∘二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.如图，∠1=∠2，则∠1+∠3=______度.12.如图，锐角的个数共有______个.13.如图，A岛在B岛的北偏东30∘偏向，C岛在B岛的北偏东80∘偏向，A岛在C岛北偏西40∘偏向，从A岛看B，C两岛的视角∠BAC是______ 度.14.如图，∠AOB=90∘，以O为极点的锐角共有______个.15.如图所示，能用一个字母表示的角有______个，以A为极点的角有______个，图中所有角有______个.16.如图，用字母A、B、C表示∠α、∠β.则∠α=______，∠β=______．17.把一个周角7平分，每一份是______ 度______ 分(准确到1分)．18.如图，把一根小棒OC一端钉在点O，旋转小木棒，使它落在不同的位置上形成不同的角，此中∠AOC为______，∠AOD为______，∠AOE为______，木棒转到OB时形成的角为______.(回答钝角、锐角、直角、平角)19.当时针指向2：30时，时针与分针的夹角是______ 度.20.已知一个锐角为(5x−35)∘，则x的取值范畴是______．三、谋略题（本大题共4小题，共24.0分）21.钟面上的角的标题．(1)3点45分，时针与分针的夹角是几多？(2)在9点与10点之间，什么时候时针与分针成100∘的角？22.如图所示，直线AB上有一点O，恣意画射线OC，已知OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的中分线，求∠DOE的度数．23.如图所示，OM是∠AOC的中分线，ON是∠BOC的中分线，(1)要是∠AOC=28∘，∠MON=35∘，求出∠AOB的度数；(2)要是∠MON=n∘，求出∠AOB的度数；(3)要是∠MON的巨细改变，∠AOB的巨细是否随之改变？它们之间有怎样的巨细干系？请写出来．24.如图，直线AB、CD相交于点O，∠EOD=∠AOC，OF中分∠AOE，若∠AOC=28∘，求∠EOF的度数．第 3 页四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25. 请将图中的角用不同要领表示出来，并填写下表：∠ABE∠1∠2∠326. 图中，以B 为极点的角有几个？把它们表示出来.以D 为极点的角有几个？把它们表示出来．答案和剖析【答案】 1. B 2. D 3. D 4. C5. A6. C7. C8. B 9. B 10. C11. 180 12. 5 13. 70 14. 515. 0；4；1516. ∠CAB 或∠BAC 表示∠α；∠CBA 或∠ABC 17. 51；2618. 锐角；直角；钝角；平角 19. 10520. 7<x <2521. 解：(1)如图，∵由3点到3点45分，分针转了270∘，时针转了270∘×112，∴时针与分针的夹角是：180∘−270∘×112=157.5∘；(2)设分针转的度数为x ，则时针转的度数为x 12， 得①90∘+x −x12=100∘， 解得，x =12011∘，12011∘÷6∘=2011(分)；②90∘+x12−(x −180∘)=100∘，第 5 页解得，x =204011∘，204011∘÷6∘=34011(分)；∴9点过2011或34011分钟时，时针与分针成100∘的角．22. 解：∵OD ，OE 分别是∠AOC ，∠BOC 的中分线，∴∠AOD =∠COD =12∠AOC ，∠BOE =∠COE =12∠BOC ，∵∠AOC +∠BOC =180∘，即2∠COD +2∠COE =180∘，∴∠DOE =∠DOC +∠COE =90∘．23. 解：(1)∵OM 是∠AOC 的中分线，∠AOC =28∘， ∴∠COM =12∠AOC =14∘，∵∠MON =35∘，∴∠CON =∠MON −∠COM =35∘−14∘=21∘， ∵ON 是∠BOC 的中分线，∴∠BOC =2∠CON =2×21∘=42∘，∴∠AOB =∠AOC +∠BOC =28∘+42∘=70∘；(2)∵OM 是∠AOC 的中分线，ON 是∠BOC 的中分线， ∴∠COM =12∠AOC ，∠CON =12∠BOC ，∴∠MON =∠COM +∠CON =12∠AOC +12∠BOC =12(∠AOC +∠BOC)=12∠AOB ， ∵∠MON =n ∘，∴∠AOB =2∠MON =2n ∘；(3)根据(2)的推导，∠AOB 随∠MON 巨细的改变而改变，∠AOB =2∠MON ． 24. 解：∵∠AOC =28∘， ∴∠BOD =∠AOC =28∘，∴∠AOE =180∘−56∘=124∘， 又∵OF 中分∠AOE ， ∴∠EOF =62∘． 故答案为62∘．25. 解：由图可知，∠ABE =∠α，∠1=∠ABC ，∠2=∠ACB ，∠3=∠ACF ． 故答案为∠α，∠ABC ，∠ACB ，∠ACF ．26. 解：以B 为极点的角有3个，分别是：∠ABD 、∠ABC 、∠DBC ，以D 为极点的角有6个，分别是∠ADE 、∠EDC 、∠ADB 、∠BDC.∠ADC ，∠BDE 【剖析】1. 【剖析】本题主要考察了余角、补角和角的概念，能根据图形求出∠1+∠2=90∘是解此题的要害.求出∠1+∠2=90∘，根据∠1的度数是∠2的3倍得出4∠2=90∘，即可求出答案． 【解答】解：根据图形得出：∠1+∠2=180∘−90∘=90∘， ∵∠1的度数是∠2的3倍， ∴∠2+3∠2=90∘， 即4∠2=90∘，∴∠2=22.5∘．故选B．2. 解：A、以O为极点的角不止一个，不能用∠O表示，故A选项错误；B、以O为极点的角不止一个，不能用∠O表示，故B选项错误；C、以O为极点的角不止一个，不能用∠O表示，故C选项错误；D、能用∠1，∠AOB，∠O三种要领表示联合个角，故D选项正确．故选：D．根据角的四种表示要领和具体要求回答即可．本题考察了角的表示要领的应用，掌握角的表示要领是解题的要害．3. 解：A、平角是两条射线组成的一条直线，故此选项错误；B、角的边越长，与角的巨细无关，故此选项错误；C、大于直角且小于180∘的角叫做钝角，故此选项错误；D、两个锐角的和不一定是钝角，正确．故选：D．直接利用角的定义以及钝角的定义分别剖析得出答案．此题主要考察了角的定义以及钝角的定义，正确把握定义是解题要害．4. 解：①议决两点有且只有一条直线，故本小题错误；②应为相连两点的线段的长度叫做两点的隔断，故本小题错误；③射线与直线不能比较长短，故本小题错误；④因为A、B、C三点在联合直线上，且AB=BC，所以点B是线段AC的中点，故本小题正确；⑤在联合平面内，两条直线的位置干系有两种：平行，相交，故本小题正确；⑥在8：30时，时钟上时针和分针的夹角是75∘，正确．综上所述，正确的有④⑤⑥共3个．故选C．根据直线的性质，两点间隔断的概念，射线与直线的意义，线段中点的概念，联合平面内两条直线的位置干系，钟面角的谋略，对各小题逐一剖析鉴别后，利用消除法求解．本题考察了直线的性质，两点间隔断的定义，射线与直线的意义，线段中点的定义，两条直线的位置干系，钟面角，是基础题，熟记性质与概念是解题的要害．5. 解：∵只有在极点处只有一个角的环境，才可用极点处的一个字母来记这个角，∴图中能用一个字母表示的角有三个：∠A、∠B、∠C．故选：A．只有在极点处只有一个角的环境，才可用极点处的一个字母来记这个角，不然分不清这个字母结局表示哪个角，据此鉴别出图中能用一个字母表示的角有几个即可．此题主要考察了角的表示要领，要熟练掌握，解答此题的要害是要明确：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示.此中极点字母要写在中间，唯有在极点处只有一个角的环境，才可用极点处的一个字母来记这个角，不然分不清这个字母结局表示哪个角.角还可以用一个希腊字母(如∠α，∠β，∠γ、…)表示，或用阿拉伯数字(∠1,∠2…)表示．6. 解：∵∠1=30∘，BC⊥AB，∴∠2=30∘，∴∠3=∠2=30∘，∴B地在C地的南偏东30∘的偏向上，故选C．此题考察了学生对偏向角的理解及直角三角形的鉴定等知识点的掌握环境．7. 解：10×30+40×0.5−6×40=320−240=80(∘)，故选：C．可画出草图，利用钟表表盘的特性解答．本题考察钟表时针与分针的夹角.在钟表标题中，常利用时针与分针转动的度数干系：)∘，而且利用开始时间时针和分针的位置干系建立分针每钟转动6∘，时针每分钟转动(12角的图形．8. 解：A、由于B为极点的角有四个，不可用∠B表示，故本选项错误；B、由于B为极点的锐角有一个，可用∠ABC，∠B，∠1三种要领表示联合个角，故本选项正确；C、由于B为极点的锐角有三个，不可用∠B表示，故本选项错误；D、由于B为极点的有二个，不可用∠B表示，故本选项错误．故选：B．根据角的表示要领对四个选项逐个举行剖析即可．本题考察了角的概念，要熟悉角的三种表示要领所适用的条件．9. 解：8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格．∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30∘，∴8点30分分针与时针的夹角是2.5×30∘=75∘．故选：B．根据钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30∘谋略得到答案．本题考察了钟面角，用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30∘．−6×30∘=105∘，10. 解：9：30时，时钟上的时针与分针间的夹角9×30∘+30∘×12故选：C．根据时针旋转的速度乘以时针旋转的时间，可得时针的旋转角，根据分针旋转的速度成分针旋转的时间，即是分针旋转的角度；再根据时针的角减去分针旋转的角即是时针与分针的夹角，可得答案．本题考察了钟面角，利用了时针的旋转角减去分针的旋转的角即是时针与分针的夹角．11. 解：∵∠2与∠3是邻补角，∴∠2+∠3=180∘，又∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=180∘．充分运用邻补角的数量干系及等量代换解题．本题利用了两个补角的和为180∘和等量代换．12. 解：以OA为一边的角∠AOB=20∘，∠AOC=20∘+30∘=50∘，∠AOD=20∘+30∘+ 50∘=100∘(钝角舍去)，以OB为一边的角∠BOC=30∘，∠BOD=50∘+30∘=80∘，以OC为一边的角∠COD=50∘．共有∠AOB，∠AOC，∠BOC，∠BOD，∠COD．故答案为5个．分别以OA、OB、OC为一边，数出所有角，相加即可．此题考察了角的数法，要以每条边为始边，数出所有角，要注意，不能漏数，也不能多数．13. 解：∵A岛在B岛的北偏东30∘偏向，即∠DBA=30∘，∵C岛在B岛的北偏东80∘偏向，即∠DBC=80∘；第 7 页∵A岛在C岛北偏西40，即∠ACE=40∘，∴∠ACB=180∘−∠DBC−∠ACE=180∘−80∘−40∘=60∘；在△ABC中，∠ABC=∠DBC−∠DBA=80∘−30∘=50∘，∠ACB=60∘，∴∠BAC=180∘−∠ABC−∠ACB=180∘−50∘−60∘=70∘．利用方位角的概念连合图形解答．解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再连合三角形的内角和定理与平行线的性质解答．14. 解：以OA为一边的角，∠AOD，∠AOC；以OD为一边的角，∠DOC，∠DOB；以OC为一边的角，∠COB．共5个角．故答案是：5．明确角的概念，依次数出以OA、OD、OC为一边的角的个数即可．此题考察了角的概念，首先要明白图中所示的角，再依次数出图中的角，要注意不要漏数，也不要多数．15. 解：能用一个字母表示的角有0个，以A为极点的角有4个，图中所有角有15个，故答案为：0，4，15．根据角的概念逐个得出即可．本题考察了角的概念，能数出相符的所有角是解此题的要害．16. 解：由图可知，∠α=∠CAB或∠BAC；∠β=∠CBA或∠ABC．故答案为∠CAB或∠BAC，∠CBA或∠ABC．根据角的定义找到图中角，用三个字母表示角时，将表示极点的字母置于三个字母中间．此题考察了角的多种表示要领，当极点处只有一个角时，此角可用多种要领表示，如有多个角，则不能只用一个字母表示，以免混淆．17. 解：由题意，得360∘÷7=51∘26′，故答案为：51，26．根据度分秒的除法，可得答案．本题考察了度分秒的换算，利用度分秒的除法是解题要害．18. 解：根据角的定义，∠AOC为锐角，∠AOD为直角，∠AOE为钝角，木棒转到OB时形成的角为平角．利用角的概念求解.互相垂直时，夹角是直角，即90∘；大于90∘小于180∘是钝角，小于90∘大于0∘是锐角，即是180度叫平角．由一点放射出两条射线，要是两条射线的夹角为90度叫直角，大于90度小于180度的叫钝角，在0度到90度之间的叫锐角，即是180度叫平角．19. 解：2：30时，时针与分针相距3.5份，2：30时，时针与分针的夹角是30∘×3.5=105∘，故答案为：105．根据钟面均匀分成12份，可得每份是30∘，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．本题考察了钟面角，利用了时针与分针相距的份数乘以每份的度数．20. 解：由题意可知：0<5x−35<90解得：7<x<25故答案为：7<x<25根据锐角的概念即可求出x的范畴．本题考察角的概念，解题的要害是根据锐角的定义列出不等式，本题属于基础题型．第 9 页21. (1)由图知，由3点到3点45分，分针转了270∘，时针转了270∘×112，180∘减去时针转的度数，即为夹角；(2)设分针转的度数为x ，则时针转的度数为x12，可根据干系式，①90∘+x −x12=100∘，②90∘+x12−(x −180∘)=100∘，求得x 值，根据分针走1分，其转动6∘，可得到时间； 本题考察了钟表分针所转过的角度谋略.在钟表标题中，常利用时针与分针转动的度数干系：分针每转动1∘时针转动(112)∘，而且利用开始时间时针和分针的位置干系建立角的图形．22. 由OD ，OE 分别为角中分线，利用角中分线定义得到两对角相等，而这四个角之和为一个平角，等量代换即可求出∠DOE 的度数．此题考察了角中分线定义，熟练掌握角中分线定义是解本题的要害．23. (1)根据角中分线的定义求出∠COM 的度数，再求出∠CON 的度数，然后根据角中分线的定义求出∠BOC 的度数，与∠AOC 相加即可得解； (2)根据角中分线的定义，用∠NOC 表示出∠BOC ，用∠COM 表示出∠AOC ，然后即可得解； (3)根据(2)的推导得解．本题考察了角中分线的定义以及角的谋略，熟记角中分线的定义是解题的要害．24. 先根据∠EOD =∠AOC =28∘，连合平角定义，求出∠EOA 的度数，再由角中分线的性质求出∠EOF 的度数即可．本题主要考察角中分线的概念，需要熟练掌握．25. 图中角的表示有多种，一个大写英文字母；三个大写英文字母；一个阿拉伯数字；一个希腊字母，择其适合者填表． 此题考察了角的表示要领，根据图形特点将每个角用合适的要领表示表现了一个别的数学基本功，必须重视这方面的训练．26. 先找到图中角的极点，再找到角的双方，从而找到角，以各极点为切入点，不要漏数也不要多数．此题考察了角的定义，也考察了角的表示，除用三个大写字母表示外，也可用数字或希腊字母来表示，但需在靠近极点处加上弧线．。

4321EDCBA1CDBA三角形的高、中线与角平分线11 如图，已知△ABC 中，AQ=PQ 、PR=PS 、PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，有以下三个结论：①AS=AR ；②QP ∥AR ； ③△BRP ≌△CSP ，其中( )．(A)全部正确 (B)仅①正确 (C)仅①、②正确 (D)仅①、③正确 2、 如图，点E 在BC 的延长线上，则下列条件中，不能判定AB ∥CD 的是( )A. ∠3=∠4B.∠B=∠DCEC.∠1=∠2.D.∠D+∠DAB=180° 3．如图，ΔACB 中，∠ACB=900，∠1=∠B.（1）试说明 CD 是ΔABC 的高；（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD 的长。

4如图，直线DE 交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E ， 交BC 延长线于F ，若∠B ＝67°，∠ACB ＝74°， ∠AED ＝48°，求∠BDF 的度数5、如图：∠1＝∠2＝∠3，完成说理过程并注明理由： 因为 ∠1＝∠2所以 ____∥____ ( ) 因为 ∠1＝∠3所以 ____∥____ ( )6．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A ．2cm ，3cm ，5cm B ．5cm ，6cm ，10cm C ．1cm ，1cm ，3cm D ．3cm ，4cm ，9cm7．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ） A ．17 B ．22 C ．17或22 D ．138．适合条件∠A=12∠B=13∠C的△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形9．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（）A．30°B．75°C．105°D．30°或75°10．一个多边形的角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．811．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定12．三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值围是________．13．如图，BD平分∠ABC，DA⊥AB，∠1=60°，∠BDC=80°，求∠C的度数．初一三角形的高、中线与角平分线21 如图，BC⊥CD，∠1=∠2=∠3，∠4=60°，∠5=∠6．（1）CO是△BCD的高吗？为什么？（2）∠5的度数是多少？（3）求四边形ABCD各角的度数．2．△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠A＋∠C=________．3 ．已知三角形的三个角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定4．△ABC中，∠A=∠B+∠C，则∠A=______度．5．如图∠1+∠2+∠3+∠4=______度．6．如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B=75°，•∠C=45°，求∠DAE与∠AEC的度数．7．以下说法错误的是（）6题A．三角形的三条高一定在三角形部交于一点B．三角形的三条中线一定在三角形部交于一点C．三角形的三条角平分线一定在三角形部交于一点D．三角形的三条高可能相交于外部一点8．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，•那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定9．如图，BD=1BC，则BC边上的中线为______，△ABD的面积=_____的面积．2(9)10．如图，△ABC中，高CD、BE、AF相交于点O，则△BOC•的三条高分别为线段________．（10）初一三角形的高、中线与角平分线31．下列图形中具有稳定性的是（）A．梯形B．菱形C．三角形D．正方形2．如图3，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，求△ABD•与△ACD的周长之差．3．如图，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，垂足为点D，且BD=CD．•可知哪些线段是哪个三角形的角平分线、中线或高？4．如图5，在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长．5．有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，•由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）．6．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=4cm2，求S△ABE．7．如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，•且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）8如图7-1-2-9，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O．请问：DO是△DEF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．初一三角形的高、中线与角平分线41．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．2．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．3．如图1，x=______．(1) (2) (3) 4．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________．5．如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC=______．8．一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是30°和20°，叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？9．（1）如图（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（2）如图（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．11．如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF•的平分线，试探索∠D与∠A之间的数量关系．12 如图，BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它们相交于点D，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．7．3 多边形及其角和基础过关作业1．四边形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B的度数是（）A．80°B．90°C．170°D．20°2．一个多边形的角和等于1080°，这个多边形的边数是（）A．9 B．8 C．7 D．63．角和等于外角和2倍的多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形4．六边形的角和等于_______度．5．正十边形的每一个角的度数等于______，每一个外角的度数等于_______．6．如图，你能数出多少个不同的四边形？7．四边形的四个角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？可以都是直角吗？•为什么？8．求下列图形中x的值：综合创新作业9．（综合题）已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，•DF平分∠ADC．BE与DF有怎样的位置关系？为什么？10．（应用题）有10个城市进行篮球比赛，每个城市均派3个代表队参加比赛，规定同一城市间代表队不进行比赛，其他代表队都要比赛一场，问按此规定，•所有代表队要打多少场比赛？11．（创新题）如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的面积．12．（1）（2005年，）已知一个多边形的角和为540°，则这个多边形为（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形（2）（2005年，）五边形的角和等于_______度．13．（易错题）一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角（• ）A．1个B．2个C．3个D．4个培优作业14．（探究题）（1）四边形有几条对角线？五边形有几条对角线？六边形有几条对角线？……猜想并探索：n边形有几条对角线？（2）一个n边形的边数增加1，对角线增加多少条？15．（开放题）如果一个多边形的边数增加1，•那么这个多边形的角和增加多少度？若将n边形的边数增加1倍，则它的角和增加多少度？数学世界攻其不备壁虎在一座油罐的下底边沿A处．它发现在自己的正上方──油罐上边缘的B•处有一只害虫．壁虎决定捕捉这只害虫．为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击如图7-3-5．结果，•壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问：壁虎沿着螺旋线爬行是最短的路程吗（线段AB除外）？答案:1．A 点拨：∠B=360°-（∠A+∠C+∠D）=360°-280°=80°．故选A．2．B 点拨：设这个多边形的边数为n，则（n-2）·180=1080．解得n=8．故选B．3．B 点拨：设这个多边形的边数为n，根据题意，得（n-2）·180=2×360．解得n=6．故选B．4．7205．144°；36°点拨：正十边形每一个角的度数为：(102)18010-⨯︒=144°，每一个外角的度数为：180°-144°=36°．6．有27个不同的四边形．7．解：四边形的四个角不可以都是锐角，不可以都是钝角，可以都是直角．因为四边形的角和为360°，如果四个角都是锐角或都是钝角，•则角和小于360°或大于360°，与四边形的角和为360°矛盾．•所以四个角不可以都是锐角或都是钝角．若四个角都是直角，则四个角的和等于360°，与角和定理相符，所以四个角可以都是直角．8．解：（1）90+70+150+x=360．解得x=50．（2）90+73+82+（180-x）=360．解得x=65．（3）x+（x+30）+60+x+（x-10）=（5-2）×180．解得x=115．9．解：BE∥DF．理由：∵∠A=∠C=90°，∴∠A+∠C=180°．∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°．∵∠ABE=12∠ABC，∠ADF=12∠ADC，∴∠ABE+∠ADF=12（∠ABC+∠ADC）=12×180°=90°．又∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠AEB=∠ADF，∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．10．解：12n （n-3）=12×10×（10-3）=12×10×7=35（场）．答：按此规定，所有代表队要打35场比赛．点拨：问题类似于求多边形对角线的个数．11．解：（5-2）×180°÷360°×12=1.5．点拨：不能直接求出扇形的度数，用整体法圆与五边形重合部分的角度和正好是五边形的角和．12．（1）C 点拨：设这个多边形的边数为n ，依题意，得（n-2）×180°=540°，解得n=5，故选C ．（2）540 点拨：（n-2）×180°=（5-3）×180°=540°．13．C14．解：（1）四边形有2条对角线；五边形有5条对角线；六边形有9条对角线；……n 边形有(3)2n n -条对角线． （2）当n 边形的边数增加1时，对角线增加（n-1）条．点拨：从n 边形的一个顶点出发，向其他顶点共可引（n-3）条对角线，n 个顶点共可引n （n-3）条，但这些对角线每一条都重复了一次，故n 边形的对角线条数为(3)2n n -． 15．180°，n ·180°．数学世界答案:是最短的路程．可用纸板做一个模型，沿AB 剪开便可看出结论．。

角一、以考查知识为主试题【容易题】1.如图，在∠AOB的内部引两条射线OC和OD，则图中共有角的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6 答案：D．2．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（）A． B． C． D．答案：D．3.如图，下列说法错误的是（）A．∠DAE也可以表示为∠A B．∠1也可以表示为∠ABCC．∠BCE也可以表示为∠C D．∠ABD是一个平角答案：D．4.如图，∠AOB是平角，则图中小于平角的角共有（）A．4个 B．7个 C．9个 D．10个答案：C．5.如图，平角AOB被分成的三个角∠AOC、∠COD、∠DOB的比为2：3：4，则其中最大的角是度．答案：设∠AOC=2x°，则∠COD=3x°，∠DOB=4x°根据题意得：2x+3x+4x=180解得：x=20则最大的角是4×20=80°．6.如图，O是直线AB上的一点，∠AOC=53°17′，求∠BOC的度数.答案：∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-53°17′=126°43′7．把一个周角7等分，每一份是多少度的角（精确到秒）？答案：360°÷7≈51°25′43″．8.如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（）A．50 B．60 C．65 D．70答案：D．9．如图所示，O为直线AB上一点，过O点作射线OC．已知OD平分∠AOC、OE平分∠BOC，请问图中哪些角互为余角？并说明理由．答案：∵OD平分∠AOC、OE平分∠BOC，∴∠DOC=12∠AOC，∠COE=12∠BOC，∴∠DOE=∠DOC+∠COE=12（∠AOC+∠BOC）=12×180°=90°∴∠COD和∠COE互为余角，同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角；10.将直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起．在图中标记的角中，写出所有与∠1互余的角．答案：∵直尺的两边平行，∴∠2=∠3；∵∠3=∠4，∠1+∠2=90°，∴∠1的余角有：∠2，∠3，∠4．11.如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．答案：设∠AOB=x°，因为∠AOC与∠AOB互补，则∠AOC=180-x°．由题意，得180-x x=40 22∴180-x-x=80，∴-2x=-100，解得x=50故∠AOB=50°，∠AOC=130°．12.一个角的补角比它的余角的4倍还多15°，求这个角的度数．答案：设这个角为x，则它的补角为（180°-x），余角为（90°-x），由题意得：180°-x=4（90°-x）+15°，解得：x=65°，即这个角的度数为65°．13.如图所示，两副直角顶点重合的直角三角板摆放在桌面上，求证：∠AOD与∠BOC互补．答案：∵∠AOB=90°，∠COD=90°，∴∠AOD+∠COB=∠AOB+∠BOD+∠COB=∠AOB+∠COD=180°．∴∠AOD与∠BOC互补．14.如图，∠AOB=35°，∠AOC=90°，点B、O、D在同一直线上．（1）用量角器画射线OE平分∠COD；（2）求∠BOC及∠COE的度数．答案：（1）如图；（2）∵∠AOB=35°，∠AOC=90°∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-35°=55°；∴∠COD=180°-55°=125°∴∠COE=125°÷2=62.5°．15.如图，∠AOB=∠COD=90°，那么∠AOC=∠BOD，这是根据（）A.直角都相等B.同角的余角相等C.同角的补角相等D.互为余角的两个角答案：B16.如图，直线AB、CD相交于O，因为∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°，所以∠1=∠2，其推理根据是（）A．同角的补角相等 B．等角的余角相等 C．同角的余角相等 D．等角的补角相等答案：C【中等题】17.下图中表示∠ABC的图是（）A． B． C． D．答案：C．18. 如图，以B为顶点的角有几个？把它们表示出来，以D为顶点的角有几个？把它们表示出来。

一、解答题1．已知90AOB ∠=︒，OC 为一条射线，OE ，OF 分别平分AOC ∠，BOC ∠，求EOF ∠的度数．解析：45︒【分析】本题需要分类讨论，当OC 在AOB ∠内部时，根据OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠，所以12COE AOC ∠=∠，12COF BOC ∠=∠，即可求出EOF ∠的度数；当OC 在AOB ∠外部时，OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠，所以12EOC AOC ∠=∠，12FOC BOC ∠=∠，所以1122EOF FOC EOC BOC AOC ∠=∠-∠=∠-∠，即可解决． 【详解】解：①如图，当OC 在AOB ∠内部时．因为OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠，所以12COE AOC ∠=∠，12COF BOC ∠=∠， 所以1122COE COF AOC BOC ∠+∠=∠+∠， 即12EOF AOB =∠∠．又因为90AOB ︒∠=，所以45EOF ︒∠=．②如图，当OC 在AOB ∠外部时．因为OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠， 所以12EOC AOC ∠=∠，12FOC BOC ∠=∠， 所以1111()452222EOF FOC EOC BOC AOC BOC AOC AOB ︒∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠=． 综上所述，45EOF ︒∠=．【点睛】本题主要考查了角度的计算和角平分线的定义，熟练分类讨论思想，并且画出图形是解决本题的关键．2．如图，点B 和点C 为线段AD 上两点，点B 、C 将AD 分成2︰3︰4三部分，M 是AD 的中点，若MC ＝2，求AD 的长．解析：AD=36.【分析】根据点B 、C 将AD 分成2︰3︰4三部分可得出CD 与AD 的关系，根据中点的定义可得MD=12AD ，利用MC=MD-CD 即可求出AD 的长度. 【详解】∵点B 、C 将AD 分成2︰3︰4三部分，∴CD=49AD ， ∵M 是AD 的中点， ∴MD=12AD ， ∵MC=MD-CD=2，∴12AD-49AD=2， ∴AD=36.【点睛】 本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键．3．已知直线l 上有三点A 、B 、C ，AB=3，AC=2，点M 是AC 的中点.(1)根据条件，画出图形；(2)求线段BM 的长.解析：（1）见解析；（2）2或4.【分析】（1）分C 点在线段AB 上和C 点在BA 的延长线上两种情况画出图形即可；（2）利用（1）中所画图形，根据中点的定义及线段的和差故选，分别求出MB 的长即可.【详解】（1）点C 的位置有两种：当点C 在线段AB 上时，如图①所示：当点C 在BA 的延长线上时，如图②所示：（2）∵点M 是AC 的中点，AC=2，∴AM=CM=12AC=1， 如图①所示，当点C 在线段AB 上时，∵AB=AM+MB ，AB=3，∴MB=AB-AM=2.如图②所示：当点C 在BA 的延长线上时，MB=AM+AB=4.综上所述：MB 的长为2或4.【点睛】本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用分类讨论的思想是解题关键. 4．古时候，传说捷克的公主柳布莎曾出过这样一道有趣的题：“一只篮子中有若干李子，取它的一半又一个给第一个人，再取余下的一半又两个给第二个人，又取最后所余的一半又三个给第三个人，那么篮内的李子就没有剩余，篮中原有李子多少个？”解析：34个【分析】在最后一次送了一半加三个，篮子的李子没有剩余，可以知道最后一次的一半就是三个，所以上一次剩余6个，6个加上送的2个合计8个，为第二次的一半，可以知道第一次送出后还有16个，16在加上第一次送的1个为17个，所以最初一共有34个.【详解】用逆推法：解： ()32221234⎡⎤⨯+⨯+⨯=⎣⎦（个）【点睛】送出一半又3个的时候，剩余为0，直接可以知道一半就是3个.5．（1）如图，AC =DB ，请你写出图中另外两条相等的线段．（2）在一直道边植树8棵，若相邻两树之间距离均为1.5m ，则首尾两颗大树之间的距离是_____．解析：(1)AB=CD ；(2)10.5m.【分析】（1）根据等式的性质即可得出结论；（2）8棵树之间共有7段距离，从而计算即可．【详解】（1）因为AC=BD，∴AC－BC=DB－BC，即AB=CD．（2）设首尾之间的距离为x，由8棵树之间共有7段间隔，可得x=7×1.5=10.5（m）．故答案为：10.5m．【点睛】本题考查了等式的性质及线段的计算，属于基础题，明白8棵树之间的间隔是关键．6．说出下列图形的名称．解析：依次是圆、三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、五边形、六边形．【分析】根据平面图形：一个图形的各部分都在同一个平面内可得答案．【详解】根据平面图形的定义可知：它们依次是圆、三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、五边形、六边形．【点睛】此题考查认识平面图形，解题关键在于掌握其定义对图形的识别.7．蜗牛爬树一棵树高九丈八，一只蜗牛往上爬．白天往上爬一丈，晚上下滑七尺八．试问需要多少天，爬到树顶不下滑？解析：蜗牛需41天才爬到树顶不下滑．【分析】根据题意可知蜗牛一个白天加一个晚上所爬行的路程，即蜗牛每天前进的路程，最后一天，也就是还剩下一丈的时候，他爬到树顶就不再往下滑了，在这之前都是白天爬一丈，晚上下滑七尺八；接下来设需要x天，爬到树顶不下滑,列出方程即可解答.【详解】设蜗牛需x天才爬到树顶不下滑，即爬到九丈八需x天，可列方程(10－7.8)(x－1)＋10＝98，解得x＝41.答：蜗牛需41天才爬到树顶不下滑．【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于理解题意找到等量关系列出方程.8．小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图，拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题.（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余图形，请将多余部分涂黑；若图形不全，则直接在原图中补全；（2）若图中的正方形边长为5cm ，长方形的长为8cm ，请计算修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积.解析：（1）多余一个正方形，图形见解析；（2）表面积为：210cm 2；体积为：200cm 3．【分析】（1）根据长方体的展开图判断出多余一个正方形；（2）根据表面积=四个长方形的面积+两个正方形的面积，体积=底面积×高分别列式计算即可得解．【详解】解：（1）多余一个正方形，如图所示：（2）表面积为：225285450160210()cm ⨯+⨯⨯=+=，体积为：2358200()cm ⨯=【点睛】本题考查了几何体的展开图以及长方体的表面积、体积的求法，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键．9．如图，两个直角三角形的直角顶点重合，∠AOC ＝40°，求∠BOD 的度数．结合图形，完成填空：解：因为∠AOC+∠COB ＝ °，∠COB+∠BOD ＝ ①所以∠AOC ＝ ．②因为∠AOC ＝40°，所以∠BOD ＝ °．在上面①到②的推导过程中，理由依据是： ．解析：90，90，∠BOD ，40，同角的余角相等【分析】根据同角的余角相等即可求解．【详解】解：因为∠AOC+∠COB＝90 °，∠COB+∠BOD＝90 ° -﹣﹣﹣①所以∠AOC＝∠BOD ．﹣﹣﹣﹣②-因为∠AOC＝40°，所以∠BOD＝40 °．在上面①到②的推导过程中，理由依据是：同角的余角相等．故答案为：90，90，∠BOD，40，同角的余角相等．【点睛】本题考查了余角的性质：同角（或等角）的余角相等，及角的和差关系．10．如图，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图．（1）画直线AB、CD交于E点；（2）画线段AC、BD交于点F；（3）连接E、F交BC于点G；（4）连接AD，并将其反向延长；（5）作射线BC．解析：见解析．【分析】（1）连接AB、CD并向两方无限延长即可得到直线AB、CD；交点处标点E；（2）连接AC、BD可得线段AC、BD，交点处标点F；（3）连接AD并从D向A方向延长即可；（4）连接BC，并且以B为端点向BC方向延长．【详解】解：所求如图所示：．【点睛】本题考查的是直线、射线、线段的定义及性质，解答此题的关键是熟知以下知识，即直线向两方无限延伸；射线向一方无限延伸；线段有两个端点画出图形即可．11．如图，已知点O 为直线AB 上一点，将一个直角三角板COD 的直角顶点放在点O 处，并使OC 边始终在直线AB 的上方，OE 平分BOC ∠．（1）若70DOE ∠=︒，则AOC ∠=________；（2）若DOE α∠=，求AOC ∠的度数．（用含α的式子表示）解析：（1）140︒；（2）2α【分析】（1）由70DOE ︒∠=，90COD ︒∠=，可以推出COE ∠的度数，又因为OE 平分BOC ∠，所以可知BOC ∠的度数，180BOC ︒-∠的度数即可解决；（2）由DOE α∠=，90COD ︒∠=，可以推出COE ∠=90α︒-，又因为OE 平分BOC ∠，以可知BOC ∠=2COE ∠=1802α︒-，180BOC ︒-∠即可解决．【详解】解：（1）∵70DOE ︒∠=，90COD ︒∠=，∴907020COE ︒︒︒∠=-=．∵OE 平分BOC ∠，∴20COE BOE ︒∠=∠=，∴1801802140AOC BOC COE ︒︒︒∠=-∠=-∠=．故答案为140︒．（2）∵DOE α∠=，90COD ︒∠=，∴90COE α︒∠=-．∵OE 平分BOC ∠，∴21802BOC COE α︒∠=∠=-，∴()180********AOC BOC αα︒︒︒∠=-∠=--=．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平角和直角，熟练各概念是解决本题的关键． 12．如图，O 在直线AC 上，OD 是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内．（1）若OE 是∠BOC 的平分线，则有∠DOE=90°，试说明理由；（2）若∠BOE=12∠EOC ，∠DOE=72°，求∠EOC 的度数． 解析：（1）见解析；（2）72° 【解析】【分析】 （1）根据角平分线的定义可以求得∠DOE=12∠AOC=90°；（2）设∠EOB=x 度，∠EOC=2x 度，把角用未知数表示出来，建立x 的方程，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．【详解】（1）如图，因为OD 是∠AOB 的平分线，OE 是∠BOC 的平分线， 所以∠BOD=12∠AOB ，∠BOE=12∠BOC ， 所以∠DOE=12（∠AOB+∠BOC ）=12∠AOC=90°；（2）设∠EOB=x ，则∠EOC=2x ，则∠BOD=12（180°–3x ）， 则∠BOE+∠BOD=∠DOE ， 即x+12（180°–3x ）=72°， 解得x=36°，故∠EOC=2x=72°．【点睛】本题考查了角平分线的定义．设未知数，把角用未知数表示出来，列方程组，求解．角平分线的运用，为解此题起了一个过渡的作用．13．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB＝90°，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？为什么？（2）如图2，当∠AOB＝70°，∠BOC＝60°时，∠MON＝度．（直接写出结果）（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON的度数是多少？为什么？解析：（1）45°，理由见解析；（2）35；（3）12α，理由见解析【分析】（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；（2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；（3）表示出∠AOC度数，表示出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC 求出即可．【详解】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+60°＝150°，∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC＝12∠AOC＝75°，∠NOC＝12∠BOC＝30°，∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝75°﹣30°＝45°；（2）如图2，∵∠AOB＝70°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝70°+60°＝130°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝12∠AOC＝65°，∠NOC＝12∠BOC＝30°，∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝65°﹣30°＝35°．故答案为：35．（3）如图3，∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+β，∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC＝12∠AOC＝12（α+β），∠NOC＝12∠BOC＝12β，∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝12（α+β）﹣12β＝12α．【点睛】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度数和得出∠MON=∠MOC-∠NOC.14．如图，C，D，E为直线AB上的三点.（1）图中有多少条线段，多少条射线？能用大写字母表示的线段、射线有哪些？请表示出来；（2）若一条直线上有n个点，则这条直线上共有多少条线段，多少条射线？解析：（1）有10条线段，10条射线.能用大写字母表示的线段：线段AC、线段AD、线段AE、线段AB、线段CD、线段CE、线段CB、线段DE、线段DB、线段EB.（2）(1)2n n条线段，2n条射线.【解析】【分析】对于（1），这条直线上共5个点，求直线上的线段条数，相当于求从5个点中任取两个点的不同取法有多少种，可从点A开始，用划曲线的方法从左向右依次连接其它各点，再从点C开始，用同样的划曲线方法，直到将线段EB画出为止，即可找到所有的线段，由于每个点对应两条射线，由直线上的5个点即可知有多少条射线；对于（2），和（1）类似，当一条直线上有n个点时，其中任意1个点与剩余的（n-1）个点都能组成（n-1）条线段，结合其中有一半重合的线段，则可计算出n个点所组成的线段条数；一个点对应延伸方向相反的两条射线，可表示出当一条直线上有n个点时的射线条数.【详解】解：（1）图中有10条线段，10条射线.如图所示.能用大写字母表示的线段：线段AC 、线段AD 、线段AE 、线段AB 、线段CD 、线段CE 、线段CB 、线段DE 、线段DB 、线段EB.能用大写字母表示的射线：射线AC 、射线CD 、射线DE 、射线EB 、射线CA 、射线DC 、射线ED 、射线BE.（2）因为n 个点，其中任意1个点与剩余的（n-1）个点都能组成（n-1）条线段， 所以n 个点就组成n(n-1)条线段.因为其中有一半重合的线段，如线段AC 与线段CA ， 所以这条直线上共有(1)2n n -条线段. 因为一个端点对应延伸方向相反的两条射线， 所以当一条直线上有n 个点时，共有2n 条射线. 【点睛】此题考查直线、射线、线段，解题关键在于掌握直线上射线、线段条数的求法. 15．如图，C 是线段AB 上一点，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点.(1)若1AM =,4BC =，求MN 的长度． (2)若6AB =,求MN 的长度． 解析：（1）3；（2）3. 【分析】（1）由中点可得CN 和MC 的长，再由 MN=MC+CN 可求得MN 的长； （2）由已知可得AB 的长是NM 的2倍，已知AB 的长，可求得MN 的长度． 【详解】解：(1)∵N 是BC 的中点，M 是AC 的中点，1AM =，4BC =， ∴2CN =，1AM CM ==， ∴3MN MC CN =+=.(2)∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，6AB =， ∴132NM MC CN AB =+==. 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性． 16．读下列语句，画出图形，并回答问题．（1）直线l 经过A ，B ，C 三点，且C 点在A ，B 之间，点P 是直线l 外一点，画直线BP ，射线PC ，连接AP ；（2）在（1）的图形中，能用已知字母表示的直线、射线、线段各有几条？写出这些直线、射线、线段．解析：（1）见解析；（2）直线有2条，分别是直线PB ，AB ；射线有7条，分别是射线PC ，PB ，BP ，AC ，CB ，BC ，CA ；线段有6条，分别是线段PA ，PB ，PC ，AB ，AC ，BC 【分析】（1）根据直线、射线、线段的定义作图； （2）根据直线、射线、线段的定义解答． 【详解】 (1)如图所示．(2) 直线有2条，分别是直线PB ，AB ；射线有7条，分别是射线PC ，PB ，BP ，AC ，CB ，BC ，CA ； 线段有6条，分别是线段PA ，PB ，PC ，AB ，AC ，BC ． 【点睛】此题考查作图，确定图形中的直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是解题的关键．17．一个锐角的补角比它的余角的4倍小30，求这个锐角的度数和这个角的余角和补角的度数．解析：这个锐角的度数为50︒，这个角的余角的度数为40︒，补角的度数为130︒． 【分析】设这个锐角为x 度，根据余角的和等于90°，补角的和等于180°表示出这个角的补角与余角，然后根据题意列出方程求解即可． 【详解】设这个锐角为x 度，由题意得：()18049030x x -=--，解得50x =．即这个锐角的度数为50︒．905040︒︒︒-=，18050130︒︒︒-=．答：这个锐角的度数为50︒，这个角的余角的度数为40︒，补角的度数为130︒． 【点睛】本题考查了余角与补角，熟记“余角的和等于90°，补角的和等于180°”是解题的关键． 18．在一条不完整的数轴上从左到右有点A ，B ，C ，其中2AB =，1BC =，如图所示，设点A ，B ，C 所对应数的和是p ．（1）若以B 为原点，写出点A ，C 所对应的数，并计算p 的值；若以C 为原点，p 又是多少？（2）若原点O 在图中数轴上点C 的右边，且28CO =，求p ． 解析：（1）-4；（2）-88 【分析】（1）根据以B 为原点，则C 表示1，A 表示-2，进而得到p 的值；根据以C 为原点，则A 表示-3，B 表示-1，进而得到p 的值；（2）根据原点O 在图中数轴上点C 的右边，且CO=28，可得C 表示-28，B 表示-29，A 表示-31，据此可得p 的值． 【详解】（1）若以B 为原点，则点C 对应1，点A 对应2-， 所以1021p =+-=-；若以C 为原点，则点A 对应3-，点B 对应1-， 所以3104p =--+=-．（2）若原点O 在题图中数轴上点C 的右边，且28CO =，则点C 对应28-，点B 对应29-，点A 对应31-，所以31292888p =---=-．【点睛】本题考查了两点间的距离以及数轴的运用，解题时注意：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．19．如图，是一个几何体的表面展开图．（1）该几何体是________；A ．正方体B ．长方体C ．三棱柱D ．四棱锥 （2）求该几何体的体积． 解析：（1）C ；（2）4 【分析】（1）本题根据展开图可直接得出答案． （2）本题根据体积等于底面积乘高求解即可． 【详解】（1）本题可根据展开图中两个全等的等腰直角三角形，以此判定该几何体为三棱柱，故选C ．（2）由图已知：该几何体底面积为等腰三角形面积12222=⨯⨯=；该几何体的高为2；故该几何体体积=底面积⨯高=22=4⨯． 【点睛】本题考查几何体展开图以及体积求法，根据展开图推测几何体时需要以展开图的特征位置作为推测依据，求解体积或者面积时按照公式求解即可． 20．射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE 有公共端点O ．（1）若OA 与OE 在同一直线上，如图（1），试写出图中小于平角的角．（2）如图（2），若108AOC ︒∠=，(072)COE n n ︒∠=<<，OB 平分AOE ∠，OD平分COE ∠，求BOD ∠的度数．解析：（1）AOD ∠，AOC ∠，AOB ∠，∠BOE ，BOD ∠，BOC ∠，COE ∠，COD ∠，DOE ∠；（2）54︒【分析】（1）根据角的定义即可解决；（2）利用角平分线的性质即可得出∠BOD=12∠AOC+12∠COE ，进而求出即可． 【详解】（1）题图（1）中小于平角的角有AOD ∠，AOC ∠，AOB ∠，∠BOE ，BOD ∠，BOC ∠，COE ∠，COD ∠，DOE ∠．（2）因为OB 平分AOE ∠，OD 平分COE ∠，108AOC ︒∠=，(072)COE n n ︒∠=<<，所以1111()2222BOD BOE DOE AOE COE AOE COE AOC ∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠． 因为108AOC ∠=︒， 所以54BOD ∠=︒ 【点睛】本题考查了角的平分线的定义和角的有关计算，本题中将所有锐角的和转化成与∠AOE 、∠BOD 和∠BOD 的关系是解题的关键，21．如图，点C 在线段AB 上，AC=6cm ，MB=10cm ，点M 、N 分别为AC 、BC 的中点．（1）求线段BC 的长； （2）求线段MN 的长；（3）若C 在线段AB 延长线上，且满足AC ﹣BC=b cm ，M ，N 分别是线段AC ，BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？请写出你的结论（不需要说明理由） 解析：（1）BC= 7cm ；（2）MN= 6.5cm ；（3）MN=2b 【分析】（1）根据线段中点的性质，可得MC 的长，根据线段的和差，可得BC 的长； （2）根据线段中点的性质，可得MC 、NC 的长，根据线段的和差，可得MN 的长； （3）根据（1）（2）的结论，即可解答． 【详解】解：（1）∵AC=6cm ，点M 是AC 的中点， ∴12MC AC ==3cm ， ∴BC=MB ﹣MC=10﹣3=7cm ． （2）∵N 是BC 的中点， ∴CN=12BC=3.5cm ， ∴MN=MC+CN=3+3.5=6.5cm ． （3）如图，MN=MC ﹣NC=1122AC BC -=12（AC ﹣BC ）=12b ．MN=2b． 【点睛】本题考查两点间的距离．22．已知：O 是直线AB 上的一点，COD ∠是直角，OE 平分BOC ∠． （1）如图1．若30AOC ∠=︒．求DOE ∠的度数；（2）在图1中，AOC a ∠=，直接写出DOE ∠的度数（用含a 的代数式表示）； （3）将图1中的DOC ∠绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置，探究AOC ∠和DOE ∠的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．解析：（1）15DOE ∠=︒；（2）12DOE a ∠=；（3）2AOC DOE ∠∠=，理由见解析. 【分析】（1）先根据补角的定义求出∠BOC 的度数，再由角平分线的性质得出∠COE 的度数，根据∠DOE =∠COD -∠COE 即可得出结论； （2）同（1）可得出结论；（3）先根据角平分线的定义得出∠COE =∠BOE =12∠BOC ，再由∠DOE =∠COD -∠COE 即可得出结论． 【详解】（1）∵COD ∠是直角，30AOC ∠=︒，180903060BOD ∴∠=︒-︒-︒=︒， 9060150COB ∴∠=︒+︒=︒， ∵OE 平分BOC ∠，1752BOE BOC ∴∠=∠=︒，756015DOE BOE BOD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒． （2）COD ∠是直角，AOC a ∠=， 1809090BOD a a ∴∠=︒-︒-=︒-， 9090180COB a a ∴∠=︒+︒-=︒-， ∵OE 平分BOC ∠，119022BOE BOC a ∴∠=∠=︒-，()11909022DOE BOE BOD a a a ∴∠=∠-∠=︒--︒-=．（3）2AOC DOE ∠=∠，理由是：180BOC AOC ∠=︒-∠，OE 平分BOC ∠，119022BOE BOC AOC ∴∠=∠=︒-∠，90COD ∠=︒，()909018090BOD BOC AOC AOC ∴∠=︒-∠=︒-︒-∠=∠-︒，()11909022DOE BOD BOE AOC AOC AOC ⎛⎫∴∠=∠+∠=∠-︒+︒-∠=∠ ⎪⎝⎭，即2AOC DOE ∠=∠． 【点睛】本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义、补角的定义是解答此题的关键． 23．已知，A 、B 是线段EF 上两点，已知EA ：AB ：BF=1：2：3，M 、N 分别为EA 、BF 的中点，且MN=8cm，求EF的长．解析：12cm【解析】【分析】由已知设设EA=x，AB=2x，BF=3x，根据线段中点性质得MN=MA+AB+BN=12x+2x+32x=4x=8，可得EF=EA+AB+BF=6x=12.【详解】解：∵EA：AB：BF=1：2：3，可以设EA=x，AB=2x，BF=3x，而M、N分别为EA、BF的中点，∴MA=12EA，NB=12BF，∴MN=MA+AB+BN=12x+2x+32x=4x，∵MN=8cm，∴4x=8，∴x=2，∴EF=EA+AB+BF=6x=12，∴EF的长为12cm．【点睛】本题考核知识点：线段的中点.解题关键点：根据线段中点性质和线段的和差关系列出方程.24．如图，点C是AB的中点，D，E分别是线段AC，CB上的点，且AD＝23AC，DE＝35AB，若AB＝24 cm，求线段CE的长．解析：CE＝10.4cm．【分析】根据中点的定义，可得AC、BC的长，然后根据题已知求解CD、DE的长，再代入CE=DE-CD即可.【详解】∵AC=BC=12AB=12cm，CD=13AC=4cm，DE=35AB=14.4cm，∴CE=DE﹣CD=10.4cm.25．如图，将一个长方形沿它的长或宽所在的直线旋转一周，回答下列问题：（1）得到什么几何体？（2）长方形的长和宽分别为6cm 和4cm ，分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到不同的几何体，它们的体积分别为多少？（结果保留π） 解析：（1）圆柱；（2）它们的体积分别为3144cm π，396cm π 【分析】(1)矩形旋转一周得到圆柱；(2)绕长旋转得到的圆柱的底面半径为4cm ，高为6cm ，绕宽旋转得到圆柱底面半径为6cm ，高为4cm ，从而可以计算出体积． 【详解】 解：(1)圆柱(2) 绕宽旋转得到圆柱底面半径为6cm ，高为4cm ，21V r h π=264π=⨯⨯144π=绕长旋转得到的圆柱的底面半径为4cm ，高为6cm ，2246V π=⨯⨯96π=∴它们的体积分别为3144cm π，396cm π 【点睛】本题主要考查的是圆柱的体积，熟记圆柱的体积公式是解题的关键． 26．如图，已知线段AB 和CD 的公共部分1134BD AB CD ==，线段AB 、CD 的中点E 、F 之间的间距是10cm ，求AB 、CD 的长．解析：AB=12cm ，CD=16cm 【分析】先设BD=xcm ，由题意得AB=3xcm ，CD=4xcm ，AC=6xcm ，再根据中点的定义，用含x 的式子表示出AE=1.5xcm 和CF=2xcm ，再根据EF=AC-AE-CF=2.5xcm ，且E 、F 之间距离是EF=10cm ，所以2.5x=10，解方程求得x 的值，即可求AB ，CD 的长． 【详解】设BD=xcm，则AB=3xcm，CD=4xcm，AC=6xcm．∵点E、点F分别为AB、CD的中点，∴AE=12AB=1.5xcm，CF=12CD=2xcm．∴EF=AC－AE－CF=2.5xcm．∵EF=10cm，∴2.5x=10，解得：x=4．∴AB=12cm，CD=16cm．【点睛】本题考查了线段中点的性质，设好未知数，用含x的式子表示出各线段的长度是解题关键．27．如图，已知OE是∠AOB的平分线，C是∠AOE内的一点，若∠BOC＝2∠AOC，∠AOB ＝114°，则求∠BOC，∠EOC的度数．解析：∠BOC＝76°，∠EOC＝19°．【分析】由∠BOC＝2∠AOC，则∠AOB=∠BOC+∠AOC=3∠AOC，即∠BOC=23∠AOB，然后求解即可;再根据OE是∠AOB的平分线求得∠BOE，最后根据角的和差即可求得∠EOC．【详解】解：∵∠BOC＝2∠AOC，∠AOB＝114°，∴∠BOC＝23∠AOB =23×114°＝76°，∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝114°，∴∠BOE＝12∠AOB ＝12×114°＝57°.∴∠EOC＝∠BOC－∠BOE＝19°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及角的和差运算，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．28．计算（1）34°41′25″×5；（2）72°35′÷2＋18°33′×4．解析：（1）173°27′5″；（2）110°29′30″．【分析】（1）根据角度与整数的乘法法则计算即可；（2）根据角度的四则混合运算法则计算即可．【详解】（1）34°41′25″×5＝（34°＋41′＋25″）×5＝34°×5＋41′×5＋25″×5＝170°＋205′＋125″＝173°27′5″；（2）72°35′÷2＋18°33′×4＝36°17′30″＋72°132′＝110°29′30″．【点睛】本题主要考查了角度的运算，正确理解角度的60进制是解答本题的关键．29．把如图图形沿虚线折叠，分别能折叠成什么几何体(图中的五边形均为正五边形)？观察折成的几何体，回答下列问题：（1）每个几何体有多少条棱？哪些棱的长度相等？（2）每个几何体有多少个面？它们分别是什么图形？哪些面的形状、大小完全相同？解析：（1）第一个图形能折成一个正五棱锥，有10条棱，侧棱相等，底面上的五条棱相等；第二个图形能折成一个正五棱柱，有15条棱，上下底面上的棱相等，侧棱相等；（2）第一个几何体有6个面，分别是5个等腰三角形，1个正五边形，等腰三角形的形状、大小相同；第二个几何体有7个面，分别是5个长方形，2个正五边形，长方形的形状、大小相同，正五边形的形状、大小相同【分析】（1）由五棱锥与五棱柱的折叠及五棱锥与五棱柱的展开图解题．（2）根据五棱锥与五棱柱的特征即可求解．【详解】解：（1）图形（1）有10条棱，底面棱的长度相等，侧面棱的长度相等；图形（2）有15条棱，两个底面棱的长度相等，侧面棱的长度相等；（2）图形（1）有6个面，底面是五边形，侧面是形状、大小完全相同的三角形；图形（2）有7个面，底面是形状、大小完全相同的五边形，侧面是形状、大小完全相同的长方形．【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体的知识，有一定难度，同时考查了学生的想象和动手能力．30．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE=90°.（1）如图1，若OC平分∠AOE,求∠AOD的度数；（2）如图2，若∠BOC=4∠FOB，且OE平分∠FOC，求∠EOF的度数.解析：（1）135°；（2）54°【分析】（1）利用OC平分∠AOE，可得∠AOC＝12∠AOE＝12×90°＝45°，再利用∠AOC+∠AOD=180°，即可得出．（2）由∠BOC=4∠FOB，设∠FOB=x°，∠BOC=4x°，可得∠COF=∠COB-∠BOF=3x°，根据OE平分∠COF，可得∠COE=∠EOF=12∠COF=32x°，即可得出．【详解】（1）∵∠AOE=90°，OC平分∠AOE，∴∠AOC＝12∠AOE＝12×90°＝45°，∵∠AOC+∠AOD=180°，∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-45°=135°，即∠AOD的度数为135°．（2）∵∠BOC=4∠FOB，∴设∠FOB=x°，∠BOC=4x°∴∠COF=∠COB-∠BOF=4x°-x°=3x°∵OE平分∠COF∴∠COE=∠EOF=12∠COF=32x°∵32x+x＝90°∴x=36，∴∠EOF=32x°=32×36°＝54°即∠EOF的度数为54°．【点睛】本题考查了角平分线的性质、方程思想方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力．。

初一数学试卷附答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.下列计算正确的是（ ）A ．3a+2a=5a 2B ．3a ﹣a=3C ．2a 3+3a 2=5a 5D ．﹣a 2b+2a 2b=a 2b 2.下列关于对顶角的语句中，正确的是( ) A ．对顶角不一定相等B ．两条直线相交所成的角是对顶角C ．有公共顶点并且相等的两个角是对顶角D ．两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点，无公共边的两个角是对顶角3.│a│= －a ，a 一定是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数 4.如图，是直线上一点，，，平分，则图中和为的两个角有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对5..已知是同类项，则（ ）A ．B ．C ．D ．6.下列解方程的步骤中正确的是（ ） A ．由13﹣x=﹣5，得13﹣5=xB ．由﹣7x+3=﹣13x ﹣2，得13x+7x=﹣3﹣2C ．由﹣7x=1，得x=﹣7D ．由=2，得x=67.已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作第三边的是（ ）A ．13cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm8.（2012•贵阳）如图，一次函数y=k 1x+b 1的图象l 1与y=k 2x+b 2的图象l 2相交于点P ，则方程组的解是（ ）A ．B ．C ．D ．9.9的算术平方根为（ ） A ．9 B ．9 C ．3 D ．3 10.如图是对顶角的有（ ）对．A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对二、判断题11.（1）若1表示的点与－1表示的点重合，则－2表示的点与数 表示的点重合；（2）若－1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数 表示的点重合；②若数轴上A 、B 两点之间的距离为12（A 在B 的左侧），且A 、B 两点经折叠后重合，求A 、B 两点表示的数是多少？12.P 为∠AOB 内一点，C 在OA 上，D 在OB 上，若PC=PD ，则OP 平分∠AOB. 13.计算（1）去括号，合并同类项：5a-2（a-b ）+3（a-4b ）；（2）先化简，再求值：5（3a 2b-ab 2）-（ab 2+3a 2b ）-4（3a 2b-ab 2）. 其中a=-2，b=.14.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题（1）数轴上表示和的两点之间的距离是________；表示和两点之间的距离是______，一般地，数轴上表示数和的两点之间的距离等于，如果表示数和的两点之间的距离是，那么________.（2）若数轴上表示数的点位于与之间，求的值. 15.如图，是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体.（1）图中有______块小正方体；（2）该几何体的从正面看如图所示，请在下面网格中分别画出从左面看和从上面看的图形.三、填空题16.如图，以四边形的每个顶点为圆心，以2为半径画园，则阴影部分的面积为_______________17.如图所示，DE∥BC，DE分别交AB、AC于D、E两点，CF是BC的延长线．若∠ADE＝50°，∠ACF＝110°，则∠A＝________．18.写出一个确定的事件是______________________________________________。

初一角平分线的定义初一角平分线的定义初一角平分线是一个通过初一角的内部射线，将该角分成两个相等的角的直线。

初一角平分线在数学中是一个非常重要的概念，它在解决很多几何问题时都有重要作用。

在本篇文章中，我们将探讨初一角平分线的定义和性质，以及一些相关的例子。

一、定义初一角平分线，是一个通过初一角的内部射线，将该角分成两个相等的角的直线。

换句话说，初一角平分线将一个角分成两个相等的角。

假设ABC是一个角，而AD是它的一条内部射线。

如果AB和AC这两条线段把角ABC分成了两个相等的角，则这条射线AD就是初一角平分线。

二、性质首先，在一个角中，初一角平分线将该角分成两个相等的角。

其次，如果在一个角的内部有一条线，它把这个角分成两个相等的角，那么这条线就是初一角平分线。

第三，初一角平分线在该角中是唯一的。

第四，如果一条直线同时是一个角的内部射线和初一角平分线，那么它将该角分成两个相等的角。

三、例子下面给出几个初一角平分线的例子，以帮助读者更好地理解这个概念。

例子1在正方形中，连续取四分之一周长的线段分别与连续的某一边相交，将四个小角分别标号为I，II，III，IV，如图所示。

那么，角I和角II的初一角平分线相交于下列哪一个点上？(1)正方形中心 (2)四边形IJKL对角线交点 (3)四边形KIMJ对角线交点 (4)切线O答案是(1)正方形中心。

解析: 在正方形中，我们知道所有角的度数都是90度。

因此，每个小角的度数为90度除以4，即22.5度。

又因为我们要找的是初一角平分线，所以我们只需要在小角的中心画一条射线，它会把角分成两个相等的角。

既然每个小角的度数都是一样的，那么每个小角中心的射线将会相交于正方形中心。

例子2在一个三角形ABC中，角A的初一角平分线交BC边于点D，使得BD=DC，如图所示。

问角A的度数是多少？解析: 我们只需要使用角平分线的性质就可以解决这个问题。

由于BD=DC，所以角DBC和角DCB的度数相等。

专题03 三角形知识网络重难突破知识点一三角形的有关概念及分类1、三角形的有关概念名称内容图形三角形由3条不在同一条直线上的线段，首尾依次相接组成的图形叫作三角形．边组成三角形的线段叫作三角形的边．组成三角形的三条线段叫做三角形的三条边．三角形的边可以用一个小写字母或两个大写字母表示，如：a，b，c或BC，CA，AB．顶点相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点．角相邻两条边所组成的角，叫作三角形的内角，简称三角形的角．三角形的记法三角形用符号“V”来表示，顶点是A，B，C的三角形记作ABCV，读作“三角形ABC”．2、三角形的分类（1）按角分类三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形．（2）按边分类注意：①任何一个三角形最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③顶点是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.典例1（2019春•东台市校级月考）若一个三角形三个内角度数的比为3:4:11，那么这个三角形是() A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形【解答】解：设这个三角形三个内角度数依次为3x︒，4x︒，11x︒，则3411180++=，x x x解得：10x=，∴这个三角形三个内角度数依次为30︒，40︒，110︒，则这个三角形是钝角三角形，故选：D ． 典例2（2019春•徐州期中）ABC ∆中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形【解答】解：Q 在ABC ∆中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，∴设A x ∠=，则2B x ∠=，3C x ∠=．180A B C ∠+∠+∠=︒Q ，即23180x x x ++=︒，解得30x =︒， 390C x ∴∠==︒， ABC ∴∆是直角三角形．故选：A ．知识点二 三角形的三边关系（1）对于任意的ABC V ，如果把其中任意两个顶点看成定点（假设B 、C 为定点），由“两点之间，线段最短”可得：b c a +>．同理可得：a b c +>，a c b +>．即：三角形任意两边之和大于第三边．推论：三角形任意两边之差小于第三边． 理论依据：两点之间，线段最短. （2）三角形三边关系的应用①已知三角形的两边长，求第三边的取值范围； ②判断三条线段能否组成三角形.注意：判断三条线段能否组成三角形时，首先找出三条边中的最长边，然后计算另外两边的长度和，若两条短边的长度之和大于最长边的长度，就能组成三角形.典例1（2019春•泰州市泰兴市期中）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是( ) A ．3cm ，4cm ，8cm B ．8cm ，7cm ，15cm C ．5cm ，5cm ，11cmD ．13cm ，12cm ，20cm【解答】解：A 、348+<，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；B 、8715+=，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；C 、5511+<，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；D 、121320+>，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．故选：D ．典例2（2019春•新吴区期中）有4根小木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，任意取3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：可搭出不同的三角形为：2cm 、3cm 、4cm ；2cm 、4cm 、5cm ；3cm 、4cm 、5cm 共3个．故选：C ．典例3（2019春•常熟市校级月考）已知三角形的三边长分别为4，5，x ，则x 不可能是( ) A ．3B ．5C ．7D ．9【解答】解：5454x -<<+，即19x <<，则x 的不可能的值是9，故选D ．知识点三三角形的高、中线与角平分线名称图形定义几何语言三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线．顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线．简称三角形的高因为AD是ABCV的高（已知），所以AD BC⊥于点D （或90ADC ADB∠∠︒==）三角形的角平分线在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线因为AD是ABCV的角平分线（已知），所以1122BAC∠∠∠==三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，交点叫作三角形的重心因为AD为ABCV的中线（已知），所以12BD DC BC==（或22BC BD DC==）注意：三角形的中线、角平分线、高都是一条线段；中线、角平分线都在三角形内部，三角形的高有两种特例：直角三角形中其中一条直角边的高就是另一条直角边；钝角三角形中锐角所对的边上的高在三角形的外部．（2019春•相城区期中）在ABC∆中，画出边AC上的高，下面4幅图中画法正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，BE为AC边上的高．故选：D．典例2（2019春•盐城市东台市期中）下列说法中错误的是()A．三角形的中线、角平分线、高线都是线段B．任意三角形的内角和都是180︒C．三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形D．三角形的一个外角大于任何一个内角【解答】解：A、正确，符合线段的定义；B、正确，符合三角形内角和定理；C、正确；D、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，错误．故选：D．（2019春•徐州期中）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，AE 平分BAC ∠． （1）若70C ∠=︒，30B ∠=︒求DAE ∠的度数； （2）若20C B ∠-∠=︒，则DAE ∠= ︒．【解答】解：（1）如图，Q 在ABC ∆中70C ∠=︒，30B ∠=︒，180180703080BAC C B ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，AE Q 平分BAC ∠，11804022CAE BAC ∴∠=∠=⨯︒=︒；AD BC ⊥Q ，70C ∠=︒，90907020CAD C ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，40CAE ∠=︒Q ，402020DAE CAE CAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；（2）如图，AE Q 平分BAC ∠，1(180)2CAE C B ∴∠=︒-∠-∠，AD BC ⊥Q ，90CAD C ∴∠=︒-∠，11(90)(180)()1022DAE CAD CAE C C B C B ∴∠=∠-∠=︒-∠-︒-∠-∠=∠-∠=︒．故答案为：10．巩固训练一、单选题（共8小题）1．（2019春•靖江市期中）下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是( ) A ．4cm 、7cm 、3cm B ．7cm 、3cm 、8cmC ．5cm 、6cm 、7cmD ．2cm 、4cm 、5cm【解答】解：A 、437+=，不能组成三角形，故本选项正确；B 、738+>，能组成三角形，故本选项错误；C 、567+>，能组成三角形，故本选项错误；D 、425+>，能组成三角形，故本选项错误．故选：A ．2．图中三角形的个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：图中是三角形的有：ABC ∆、ADE ∆、BDF ∆、DEF ∆、CEF ∆共5个． 故选：A ．3．（2019春•邗江区校级月考）已知三角形三边分别为2，1a -，4，那么a 的取值范围是( ) A ．15a <<B ．26a <<C ．37a <<D ．46a <<【解答】解：依题意得：42142a -<-<+， 即：216a <-<， 37a ∴<<．故选：C ． 4．下列说法：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形； ②等边三角形是特殊的等腰三角形； ③等腰三角形是特殊的等边三角形； ④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；其中，说法正确的个数是( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；错误． ②等边三角形是特殊的等腰三角形；正确． ③等腰三角形是特殊的等边三角形；错误． ④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；正确， 故选：B ．5．如图，若CD 是ABC ∆的中线，10AB =，则(AD = )A ．5B ．6C ．8D ．4【解答】解：Q 如图，若CD 是ABC ∆的中线，10AB =， 152AD BD AB ∴===． 故选：A ．6．如图所示，ABC ∆中AC 边上的高线是( )A ．线段DAB ．线段BAC ．线段BCD ．线段BD【解答】解：由图可得，ABC ∆中AC 边上的高线是BD ， 故选：D ．7．（2019春•东台市校级月考）如图，AD 是ABC ∆的角平分线，点O 在AD 上，且OE BC ⊥于点E ，60BAC ∠=︒，80C ∠=︒，则EOD ∠的度数为( )A ．20︒B ．30︒C ．10︒D ．15︒【解答】解：60BAC ∠=︒Q ，80C ∠=︒， 40B ∴∠=︒．又AD Q 是BAC ∠的角平分线， 1302BAD BAC ∴∠=∠=︒，70ADE ∴∠=︒，又OE BC ⊥Q ， 20EOD ∴∠=︒．故选：A ．8．如图，ABC ∆中，12∠=∠，G 为AD 中点，延长BG 交AC 于E ，F 为AB 上一点，且CF AD ⊥于H ，下列判断，其中正确的个数是( ) ①BG 是ABD ∆中边AD 上的中线；②AD 既是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，也是ABE ∆中BAE ∠的角平分线； ③CH 既是ACD ∆中AD 边上的高线，也是ACH ∆中AH 边上的高线．A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：①G 为AD 中点，所以BG 是ABD ∆边AD 上的中线，故正确；②因为12∠=∠，所以AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，AG 是ABE ∆中BAE ∠的角平分线，故错误； ③因为CF AD ⊥于H ，所以CH 既是ACD ∆中AD 边上的高线，也是ACH ∆中AH 边上的高线，故正确． 故选：C ．二、填空题（共3小题）9．（2019春•东台市校级月考）已知等腰三角形两边的长分别是15和7，则其周长为．【解答】解：①7cm是腰长时，三角形的三边分别为7、7、15，Q，771415+=<∴不能组成三角形，②7cm是底边时，三角形的三边分别为7、15、15，能组成三角形，周长7151537=++=，综上所述，它的周长是37．故答案为：37．10．已知三角形的三边长都是整数，其中两条边长分别是1cm和3cm，则第三条边长_____cm．【解答】解：Q两条边长分别是1cm和3cm，<，∴第三边的取值范围是2<第三边4Q三边均为整数，∴第三边的长为3cm，故答案为：3．11．已知三角形的三边长均为整数，其中两边长分别为1和3，则第三边长为．【解答】解：设第三边长为a，则3131-<<+，a即24<<，aQ是整数，a∴=．a3故答案为：3．三、解答题（共3小题）12．（2019春•大丰区期中）如图，在ABC∆中，点D在BC上，且BAD CAD∠=∠，E是AC的中点，BE 交AD于点F．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？【解答】解：AD是ABC∆的角平分线；∆的角平分线，AF是ABEBE是ABC∆的中线，DE是ADC∆的中线．13．（2018秋•丹阳市期中）如图，ABC∆中，90∆的高、中线、角ACB∠=︒，CD、CE、CF分别是ABC平分线．求证：12∠=∠．【解答】证明：CFQ是ACB∠的平分线，∴∠=∠．ACF BCF∠=︒，CD ABACBQ，90⊥∴∠=∠（同角的余角相等）．ACD BCEQ是AB边上的中线，∴=，BE CE∴∠=∠（等边对等角），BCE B1ACF ACD ACF B∴∠=∠-∠=∠-∠，∠=∠-∠=∠-∠，2BCF BCE ACF B∴∠=∠．1214．如图，ABC∆中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB AC BP CP+>+．【解答】证明：在ABD+>，∆中，AB AD BD 在PDC+>，∆中，CD PD PCAB AD CD PD BD PC∴+++>+∴+>+．AB AC BP CP。

初一数学第二学期名校优选小专题11 内外角平分线综合问题【例题讲解】如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．解：（1）∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣12（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣50°=130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝12（∠MBC+∠NCB）＝12（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝12（180°+∠A）＝90°+12∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°﹣12A∠；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝12A ∠；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝12∠ABC+12MBC∠＝12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q ＝2∠E ，则90°﹣12A ∠=A ∠，解得∠A ＝60°； ④∠E ＝2∠Q ，则12A ∠＝2（90°﹣12A ∠），解得∠A ＝120°． 综上所述，∠A 的度数是90°或60°或120°． 【综合演练】1．90MON ∠=︒，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动(不与点O 重合)．(1)如图①，AE 、BE 分别是BAO ∠和ABO ∠的平分线，随着点A 、点B 的运动，当AO=BO 时AEB ∠= ︒；(2)如图②，若BC 是ABN ∠的平分线，BC 的反向延长线与OAB ∠的平分线交于点D ，随着点A ，B 的运动D ∠的大小会变吗？如果不会，求D ∠的度数；如果会，请说明理由；(3)如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知BAO ∠，OAG ∠的平分线与BOQ ∠的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求ABO ∠的度数．2．已如在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒．（1）如图1，若70ABC ∠=︒，则NDC ∠=________．（2）如图2，若BF 、DE 分别平分CBM ∠、CDN ∠，判断DE 与BF 位置关系并证明理由．（3）如图3，若BP 、DP 分别五等分CBM ∠、CDN ∠（即15CBP CBM ∠=∠，15CDP CDN ∠=∠），则P ∠=_______．3．已知如图，∠COD=90°，直线AB 与OC 交于点B ，与OD 交于点A ，射线OE 与射线AF 交于点G.(1)若OE 平分∠BOA ，AF 平分∠BAD ，∠OBA=42°，则∠OGA= °(2)若∠GOA=13∠BOA ，∠GAD=13∠BAD ，∠OBA=42°，则∠OGA= °； (3)将(2)中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA=α”，其它条件不变，求∠OGA 的度数.(用含α的代数式表示)(4)若OE 将∠BOA 分成1︰2两部分，AF 平分∠BAD ，∠ABO=α(30°<<90°) ，求∠OGA 的度数.(用含α的代数式表示)4．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：(1)观察“规形图”，试探究BDC ∠与A ∠、B ∠、C ∠之间的关系，并说明理由；(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，若50A ∠=︒，则ABX ACX ∠+∠=_____°；②如图3，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠，若50DAE ∠=︒，130DBE ∠=︒，则DCE ∠=______°；③如图4，ABD ∠，ACD ∠的10等分线相交于点1G ，2G ，…，9G ，若140BDC ∠=︒，177BG C ∠=︒，求A∠的度数．5．已知△ABC 中，∠A ＝60°，∠ACB ＝36°，D 为BC 边延长线上一点，BM 平分∠ABC ，E 为射线BM 上一点．(1)如图，连接CE ．①若CE ∥AB ，求∠BEC 的度数；②若CE 平分∠ACD ，求∠BEC 的度数．(2)若直线CE 垂直于△ABC 的一边，请直接写出∠BEC 的度数．6．图1是苏教版七年级下册数学书封底上的一幅几何图形，本学期同学们已经对这幅图形有了一定认识，小明同学在复习的时候又进行了变式研究，请解决下列问题．【课本问题】（1）如图1，ABC 中，点D 在BC 边上，直线DG AB ∥交AC 于点G ，E 在AB 边上，F 在BC 边上，ADG ∠与AEF ∠互补，AD 与EF 平行吗？为什么？【变式探究】（2）在（1）的条件下，如图2，AD 是ABC 的角平分线，延长CA 与FE ，交于点H ，直线DG 与EF 的延长线交于点K ，K H ∠=∠相等吗？为什么？7．如图，分别过Rt △ABC (∠A =90°)的顶点B 、C 作射线BD 、CD ，两射线交于点D ．BF 、CG 分别是∠ABD 、∠ACD 的邻补角的角平分线，BF 与CG 的反向延长线交于点F ．(1)如图1，若∠D =90°，求证：∠ABD =∠ACD ：(2)如图2，请说出∠D 与∠F 的数量关系？并说明理由．8．操作：如图1，将ABC 沿射线BF 平移到DCE △，使原B 点与C 点重合，这时CD AB ∥，所以1A ∠=∠，2B ∠=∠，请回答：(1)A B ACB ∠+∠+∠的值为___________°；(2)若56A ∠=︒，40B ∠=︒，则ACF ∠=_____°；若A x ∠=︒，B y ∠=︒，则ACF ∠=____°；我们把A ∠、B ∠、ACB ∠称为ABC 的内角；把ACF ∠称为ABC 的外角，DEF ∠为DCE △的外角，每个三角形都有六个外角．(3)运用（1）（2）结论，解决问题：如图2，已知ABC 中，56A ∠=︒，BP 、CP 分别平分ABC ∠、BCA ∠，CQ 平分外角ACF ∠交BP 与点Q ，求BPC ∠，BQC ∠．9．如图1，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠．(1)若60A ∠=︒，则BDC ∠的度数为_________；(2)若A α∠=，直线MN 经过点D ．①如图2，若MN ∥AB ，求NDC MDB ∠-∠的度数（用含α的代数式表示）；②如图3，若MN 绕点D 旋转，分别交线段,BC AC 于点,M N ，试问旋转过程中NDC MDB ∠-∠的度数是否会发生改变？若不变，求出NDC MDB ∠-∠的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由； ③如图4，继续旋转直线MN ，与线段AC 交于点N ，与CB 的延长线交于点M ，请直接写出NDC ∠与MDB ∠的关系（用含α的代数式表示）．10．在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，点E 是射线AC 上的动点（不与点D 重合），过点E 作EF ∥BC 交直线BD 于点F ，∠CEF 的角平分线所在直线与射线BD 交于点G ．(1)如图1，点E在线段AD上运动．①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，则∠BGE＝______°；②若∠A＝70°，则∠BGE＝______；③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；(2)若点E在射线DC上运动时，∠BGE与∠A之间的数量关系与（1）③中的数量关系是否相同？若不同，请写出它们之间的数量关系并说明理由．11．如图1，已知∠MON=60°，A、B两点同时从点O出发，点A以每秒x个单位长度沿射线ON匀速运动，点B以每秒y个单位长度沿射线OM匀速运动．（1）若运动1s时，点A运动的路程比点B运动路程的2倍还多1个单位长度，运动3s时，点A、点B 的运动路程之和为12个单位长度，则x=____，y=____；（2）如图2，点C为△ABO三条内角平分线交点，连接BC、AC，在点A、B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC并延长，与∠ABM的角平分线交于点P，与AB交于点Q．①试说明∠PBQ=∠ACQ；②在△BCP中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠BAO的度数．12．现有一副直角三角板（角度分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°），如图(1)所示，其中一块三角板的直角边AC垂直于数轴，AC的中点过数轴原点O，AC＝8，斜边AB交数轴于点G，点G对应数轴上的数是4；另一块三角板的直角边AE交数轴于点F，斜边AD交数轴于点H．（1）如果△AGH的面积是10，△AHF的面积是8，则点F对应的数轴上的数是，点H对应的数轴上的数是；（2）如图(2)，设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，若∠HAO＝a，试用a来表示∠M的大小：（写出推理过程）（3）如图(2)，设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，设∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，求∠N＋∠M的值．13．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动,A、B不与点O 重合，如图1，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，（1）点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的大小.（2）如图2，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，则∠ABO＝________,如图3，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，则∠ABO＝________（3）如图4，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其反向延长线交于E、F，则∠EAF＝；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的32倍，求∠ABO的度数.14．已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC=2，过点C作直线l∥PQ，点D在点C的左边且CD=3．（1）直接写出△BCD的面积．（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，则∠CEF与∠CFE有何数量关系？请说明理由．（3）如图③，若∠ADC=∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中HABC∠∠的值是否变化？若不变，直接写出其值；若变化，直接写出变化范围．答案与解析【例题讲解】如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．解：（1）∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣12（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣50°=130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝12（∠MBC+∠NCB）＝12（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝12（180°+∠A）＝90°+12∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°﹣12A∠；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝12A ∠；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝12∠ABC+12MBC∠＝12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ ＝2∠Q ＝90°，则∠Q ＝45°，∠E ＝45°，∠A ＝2∠E ＝90°；③∠Q ＝2∠E ，则90°﹣12A ∠=A ∠，解得∠A ＝60°； ④∠E ＝2∠Q ，则12A ∠＝2（90°﹣12A ∠），解得∠A ＝120°． 综上所述，∠A 的度数是90°或60°或120°．【综合演练】1．90MON ∠=︒，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动(不与点O 重合)．(1)如图①，AE 、BE 分别是BAO ∠和ABO ∠的平分线，随着点A 、点B 的运动，当AO=BO 时AEB ∠= ︒；(2)如图②，若BC 是ABN ∠的平分线，BC 的反向延长线与OAB ∠的平分线交于点D ，随着点A ，B 的运动D ∠的大小会变吗？如果不会，求D ∠的度数；如果会，请说明理由；(3)如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知BAO ∠，OAG ∠的平分线与BOQ ∠的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求ABO ∠的度数．【答案】(1)135°(2)∠D 的度数不随A 、B 的移动而发生变化，值为45°(3)60°或45°【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；（2）利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；（3）根据三角形的内角和定理及角平分线的性质不难得出EAF ∠=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON =90°，所以求解出的∠ABO 一定要小于90°，注意解得取舍．（1）解：∵AE 、BE 分别是BAO ∠和ABO ∠的平分线，∴∠EBA =12∠OBA ，∠BAE =12∠BAO ，在△AEF 中，若有一个角是另一个角的3倍，则①当∠EAF =3∠E 时，得∠E =30°，此时∠ABO =60°； ②当∠EAF =3∠F 时，得∠E =60°， 此时∠ABO =120°＞90°，舍去；③当∠F =3∠E 时，得19022.54E ︒︒=⨯=∠，此时∠ABO =45°；．④当∠E =3∠F 时，得39067.54E ︒︒=⨯=∠，此时∠ABO =135°＞90°，舍去． 综上可知，∠ABO 的度数为60°或45°．【点评】前两问熟练运用三角形内角和定理、直角三角形的两锐角互余、对顶角相等、角平分线性质等角的关系即可求解；第三问需先证明EAF ∠=90°，再分情况进行讨论，熟练运用三角形的内角和定理及角平分线的性质是解题的关键．2．已如在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒．（1）如图1，若70ABC ∠=︒，则NDC ∠=________．（2）如图2，若BF 、DE 分别平分CBM ∠、CDN ∠，判断DE 与BF 位置关系并证明理由．（3）如图3，若BP 、DP 分别五等分CBM ∠、CDN ∠（即15CBP CBM ∠=∠，15CDP CDN ∠=∠），则P ∠=_______．【答案】（1）70°；（2）DE ∥BF ，证明见解析；（3）54° 【分析】（1）根据四边形内角和计算即可；（2）根据平角的定义和等量代换可得∠MBC +∠CDN =180°，再根据角平分线的定义得到∠CBF +∠CDE =90°，从而推出∠EDB +∠FBD =180°，可得结论；（3）根据五等分得到∠CDP +∠CBP =36°，连接PC 并延长，证明∠DCB =∠DPB +∠CBP +∠CDP ，即可计算．【解析】解：（1）∵∠A =∠C =90°，∠ABC =70°，∴∠ADC=360°-90°-90°-70°=110°，∴∠NDC=180°-110°=70°；（2）DE∥BF，如图，连接BD，∵∠ABC+∠ADC=180°，且∠MBC+∠ABC=180°，∠CDN+∠ADC=180°，∴∠MBC+∠CDN=180°，∵∠CBF=12∠MBC，∠CDE=12∠CDN，∴∠CBF+∠CDE=90°，∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°，∴∠EDB+∠FBD=∠CBF+∠CDE+∠CBD+∠CDB=180°，∴DE∥BF；（3）∵∠MBC+∠CDN=180°，∴∠CDP+∠CBP=15（∠MBC+∠CDN）=36°，连接PC并延长，∵∠DCE=∠CDP+∠CPD，∠BCE=∠CPB+∠CBP，∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=∠DPB+∠CBP+∠CDP，∴∠DPB=90°-36°=54°．【点评】本题考查多边形内角和与外角，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．3．已知如图，∠COD=90°，直线AB 与OC 交于点B ，与OD 交于点A ，射线OE 与射线AF 交于点G. (1)若OE 平分∠BOA ，AF 平分∠BAD ，∠OBA=42°，则∠OGA= ° (2)若∠GOA=13∠BOA ，∠GAD=13∠BAD ，∠OBA=42°，则∠OGA= °；(3)将(2)中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA=α”，其它条件不变，求∠OGA 的度数.(用含α的代数式表示) (4)若OE 将∠BOA 分成1︰2两部分，AF 平分∠BAD ，∠ABO=α(30°<<90°) ，求∠OGA 的度数.(用含α的代数式表示)【答案】（1）21°；（2）14°；（3）13α；（4）∠OGA 的度数为12α+15°或12α﹣15°【分析】（1）由于∠BAD =∠OBA +∠BOA =α+90°，由AF 平分∠BAD 得到∠F AD =12∠BAD ，而∠F AD =∠EOD +∠OGA ，145(90)2OGA α︒+∠=+︒，则∠OGA =12α，然后把∠OBA =α=42°代入计算即可；（2）由于∠GOA =13∠BOA =30°，∠GAD =13∠BAD ，∠OBA =α，根据∠GAD =∠EOD +∠OGA 得到130(90)3OGA α︒+∠=+︒，则∠OGA =13α，然后把∠OBA =α=42°代入计算即可；（3）由（2）得到∠OGA =13α；（4）讨论：当∠EOD ：∠COE =1：2时，则∠EOD =30°，利用∠BAD =∠ABO +∠BOA =α+90°，∠F AD =∠EOD +∠OGA 得到130(90)2OGA α︒+∠=+︒，则∠OGA =12α+15°；当∠EOD ：∠COE =2：1时，则∠EOD =60°，同理得∠OGA =12α﹣15°． 【解析】（1）21°； （2）14°； （3）13α；（4）当∠EOD ：∠COE =1：2时，则∠EOD =30°，∵∠BAD =∠ABO +∠BOA =α+90°， 而AF 平分∠BAD ， ∴∠F AD =12∠BAD ， ∵∠F AD =∠EOD +∠OGA ， ∴2×30°+2∠OGA =α+90°， ∴∠OGA =12α+15°；当∠EOD ：∠COE =2：1时，则∠EOD =60°， 同理得到∠OGA =12α﹣15°，即∠OGA 的度数为12α+15°或12α﹣15°．考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质． 4．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：(1)观察“规形图”，试探究BDC ∠与A ∠、B ∠、C ∠之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，若50A ∠=︒，则ABX ACX ∠+∠=_____°；②如图3，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠，若50DAE ∠=︒，130DBE ∠=︒，则DCE ∠=______°； ③如图4，ABD ∠，ACD ∠的10等分线相交于点1G ，2G ，…，9G ，若140BDC ∠=︒，177BG C ∠=︒，求A ∠的度数．【答案】(1)=++BDC BAC B C ∠∠∠∠ (2)①40，②90，③70°【分析】（1）根据题意观察图形连接AD 并延长至点F ，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可证明；（2）①由（1）的结论可得ABX ACX A BXC ∠+∠+∠=∠，然后把50A ∠=︒，90BXC ∠=︒代入上式即可得到ABX ACX ∠+∠的值；②结合图形可得DBE DAE ADB AEB ∠=∠+∠+∠，代入50DAE ∠=︒，130DBE ∠=︒即可得到ADB AEB ∠+∠的值，再利用上面得出的结论可知()12DCE ADB AEB A ∠=∠+∠+∠，易得答案．③由②方法，进而可得答案．【解析】（1）=++BDC BAC B C ∠∠∠∠，理由如下： 连接AD 并延长至点F ，由外角定理可得BDF BAD B ∠=∠+∠，CDF C CAD ∠=∠+∠， ∵BDC BDF CDF ∠=∠+∠，∴BDC BAD B C CAD ∠=∠+∠+∠+∠， ∵BAC BAD CAD ∠=∠+∠， ∴=++BDC BAC B C ∠∠∠∠；（2）①由（1）的结论易得：ABX ACX A BXC ∠+∠+∠=∠， ∵50A ∠=︒，90BXC ∠=︒， ∴905040ABX ACX ∠+∠=︒-︒=︒， 故答案是：40；②由（1）的结论易得=++DBE DAE ADB AEB ∠∠∠∠，DCE ADC AEC A ∠=∠∠∠＋＋， ∵50DAE ∠=︒，130DBE ∠=︒， ∴80ADB AEB ∠+∠=︒；∵DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠， ∴12ADC ADB ∠=∠，12AEC AEB ∠=∠，∴()14050902DCE ADB AEB A ∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒；③由②知，()1110BG C ABD ACD A ∠=∠+∠+∠， ∵177BG C ∠=︒， ∴设A ∠为x ︒，∵140ABD ACD x ∠+∠=︒-︒， ∴()11407710x x -=+， ∴70x =， ∴A ∠为70°． 故答案是：70°．【点评】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出BDC A B C ∠=∠+∠+∠是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 5．已知△ABC 中，∠A ＝60°，∠ACB ＝36°，D 为BC 边延长线上一点，BM 平分∠ABC ，E 为射线BM 上一点．(1)如图，连接CE ．①若CE ∥AB ，求∠BEC 的度数； ②若CE 平分∠ACD ，求∠BEC 的度数．(2)若直线CE 垂直于△ABC 的一边，请直接写出∠BEC 的度数． 【答案】(1)① 42°；② 30°；(2)∠BEC 的度数为48°或132°或12°．【分析】（1）①根据三角形的内角和得到∠ABC =84°，由角平分线的定义得到∠ABE =12∠ABC =42°，根据平行线的性质即可得到结论；②根据邻补角的定义得到∠ACD =180°-∠ACB =144°，根据角平分线的定义得到∠CBE =12∠ABC =42°，∠ECD =12∠ACD =72°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）①如图1，当CE ⊥BC 时，②如图2，当CE ⊥AB 于F 时，③如图3，当CE ⊥AC 时，根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论．（1））①∵∠A=60°，∠ACB=36°，∴∠ABC=84°，∵BM平分∠ABC，∴∠ABE=12∠ABC=42°，∵CE∥AB，∴∠BEC=∠ABE=42°；②∵∠A=60°，∠ACB=36°，∴∠ABC=84°，∠ACD=180°-∠ACB=144°，∵BM平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠CBE=12∠ABC=42°，∠ECD=12∠ACD=72°，∴∠BEC=∠ECD-∠CBE=30°；（2）①如图1，当CE⊥BC时，∵∠CBE=42°，∴∠BEC=48°；②如图2，当CE⊥AB于F时，∵∠ABE=42°，∴∠BEC=90°+42°=132°，③如图3，当CE⊥AC时，∵∠CBE=42°，∠ACB=36°，∴∠BEC=180°-42°-36°-90°=12°．综上可得：∠BEC 的度数为48°或132°或12°．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的画出图形辅助解决问题是解题的关键．6．图1是苏教版七年级下册数学书封底上的一幅几何图形，本学期同学们已经对这幅图形有了一定认识，小明同学在复习的时候又进行了变式研究，请解决下列问题．【课本问题】（1）如图1，ABC 中，点D 在BC 边上，直线DG AB ∥交AC 于点G ，E 在AB 边上，F 在BC 边上，ADG ∠与AEF ∠互补，AD 与EF 平行吗？为什么？【变式探究】（2）在（1）的条件下，如图2，AD 是ABC 的角平分线，延长CA 与FE ，交于点H ，直线DG 与EF 的延长线交于点K ，K H ∠=∠相等吗？为什么？【答案】（1）AD EF ∥，理由见解析；（2）K H ∠=∠，理由见解析【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADG =∠BAD ，结合ADG ∠与AEF ∠互补可得∠BAD +∠AEF =180°，然后根据平行线的判定即可得出AD EF ∥；（2）根据角平分线定义可得∠BAD =∠CAD ，根据AD EF ∥可得∠DAC =∠H ，∠BAD =∠ADG ，进而得出∠H =∠ADG ，再根据DG AB ∥得出∠K =∠ADG ，从而得出∠K =∠H ． 【解析】解：（1）AD EF ∥． 理由：∵DG AB ∥， ∴∠ADG =∠BAD ， ∵ADG ∠与AEF ∠互补， ∴∠ADG +∠AEF =180°， ∴∠BAD +∠AEF =180°， ∴AD EF ∥； （2）∠K =∠H ．理由：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD =∠CAD ，∥，∵AD EF∴∠DAC=∠H，∠BAD=∠ADG，∴∠H=∠ADG，∥，∵DG AB∴∠K=∠ADG，∴∠K=∠H．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．7．如图，分别过Rt△ABC(∠A=90°)的顶点B、C作射线BD、CD，两射线交于点D．BF、CG分别是∠ABD、∠ACD的邻补角的角平分线，BF与CG的反向延长线交于点F．(1)如图1，若∠D=90°，求证：∠ABD=∠ACD：(2)如图2，请说出∠D与∠F的数量关系？并说明理由．【答案】(1)见解析(2)∠D+2∠F=270°，理由见解析【分析】（1）如图所示，设AC与BD交于点O，根据∠A=∠D=90°，∠AOB=∠COD，∠A+∠ABD+∠AOB=∠D+∠ACD+∠DOC=180°，即可证明结论；（2）如图所示，延长DC到N，设AC与BD交于点O，∠FBD=x，∠ACF=y，分别求出∠D=90°-2x+2y，∠F=90°+x-y，即可得到答案．（1）解：如图所示，设AC与BD交于点O，∵∠A=∠D=90°，∠AOB=∠COD，∠A+∠ABD+∠AOB=∠D+∠ACD+∠DOC=180°，∴∠ABD=∠ACD；（2）解：∠D +2∠F =270°，理由如下：如图所示，延长DC 到N ，设AC 与BD 交于点O ，∠FBD =x ，∠ACF =y ，∵BF 平分∠DBE ，CG 平分∠DCH ，∴∠DBE =2∠FBD =2x ，∠DCH =2∠GCH =2∠ACF =2y ，∴∠ACN =∠DCH =2y ，∴∠ABD =180°-∠DBE =180°-2x ，∠ACD =180°-∠CAN =180°-2y ，∵∠A +∠ABD +∠AOB =∠D +∠ACD +∠DOC =180°，∠AOB =∠DOC ，∴∠A +∠ABD =∠D +∠ACD ，∴90°+180°-2x =∠D +180°-2y ，∴∠D =90°-2x +2y ，∵∠A +∠ABC +∠ACB =∠F +∠FBC +∠FCB =180°，∴∠A +∠ABF +∠F +∠ACF =360°，又∵∠ABF =∠ABD +∠DBF =180°-x ．∴∠F =360°-∠ABF -∠A -∠ACF =90°+x -y ，∴2∠F =180°+2x -2y ，∴∠D +2∠F =270°．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，邻补角的定义，熟知三角形内角和定理是解题的关键．8．操作：如图1，将ABC 沿射线BF 平移到DCE △，使原B 点与C 点重合，这时CD AB ∥，所以1A ∠=∠，2B ∠=∠，请回答：(1)A B ACB ∠+∠+∠的值为___________°；(2)若56A ∠=︒，40B ∠=︒，则ACF ∠=_____°；若A x ∠=︒，B y ∠=︒，则ACF ∠=____°；我们把A ∠、B ∠、ACB ∠称为ABC 的内角；把ACF ∠称为ABC 的外角，DEF ∠为DCE △的外角，每个三角形都有六个外角．(3)运用（1）（2）结论，解决问题：如图2，已知ABC 中，56A ∠=︒，BP 、CP 分别平分ABC ∠、BCA ∠，CQ 平分外角ACF ∠交BP 与点Q ，求BPC ∠，BQC ∠． 【答案】(1)180°(2)96°、x y ︒+︒(3)118°、28°【分析】（1）根据平角的定义，可得12180ACB ∠+∠+∠=︒，求解即可；（2）将已知条件代入求解即可；（3）根据三角形的内角和可知124ACB ABC ∠+∠=︒，根据角平分线的性质以及三角形的内角和即可求出BPC ∠；根据角平分线的性质以及外角的性质即可求出BQC ∠.（1）12180ACB ∠+∠+∠=︒，12A B ∠=∠∠=∠又，，180ACB A B ∴∠+∠+∠=︒，180︒故答案为；（2）5640,A B ∠=︒∠=︒，156240∴∠=︒∠=︒，，1296ACF ∴∠=∠+∠=︒，,,(),A x B y ACF x y ∠=︒∠=︒∠=+︒当96()x y ︒+︒故答案为，；（3）∵56A ∠=︒，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，∴124ABC ACB ∠+∠=︒，∵BP 、CP 分别平分 ABC ∠，BCA ∠，∴12PBC ABC ∠=∠，12PCB BCA ∠=∠， ∴()111246222PBC PCB ABC BCA ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∵180BPC PBC PCB ∠+∠+∠=︒，∴18062118BPC ∠=︒-︒=︒，∵ACF ∠是ABC 的外角，∴ACF ABC A ∠=∠+∠，∵CQ 平分ACF ∠，∴()1122QCF ACF ABC A ∠=∠=∠+∠， ∵QCF ∠是BCQ △外角，∴QCF PBC Q ∠=∠+∠，即()11128222Q QCF PBC ABC A ABC A ∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=︒, ︒︒故答案为118，28. 【点评】本题考查了三角形的内角和和外角的性质，涉及平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握三角形的内角和和外角的性质是解题的关键.9．如图1，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠．(1)若60A ∠=︒，则BDC ∠的度数为_________；(2)若A α∠=，直线MN 经过点D ．①如图2，若MN ∥AB ，求NDC MDB ∠-∠的度数（用含α的代数式表示）；②如图3，若MN 绕点D 旋转，分别交线段,BC AC 于点,M N ，试问旋转过程中NDC MDB ∠-∠的度数是否会发生改变？若不变，求出NDC MDB ∠-∠的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由； ③如图4，继续旋转直线MN ，与线段AC 交于点N ，与CB 的延长线交于点M ，请直接写出NDC ∠与MDB ∠的关系（用含α的代数式表示）．【答案】(1)120°(2)①90°-2α ②不变，90°-2α ③NDC ∠与MDB ∠的关系是NDC ∠+MDB ∠=902α-． 【分析】（1）利用角平分线的定义，三角形内角和定理，分步计算即可．（2）①利用平角的定义，变形代入计算，注意与第（1）的结合．②与 ①结合起来求解即可．③根据平角的定义，变形后结合前面的计算，求解即可．（1）∵ BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，∴∠CBD =12ABC ∠，∠BCD =12ACB ∠， ∴∠CBD +∠BCD =12ACB ∠+12ABC ∠=1()2ABC ACB ∠+∠， ∵∠CBD +∠BCD +∠BDC =180°，∠ABC +∠ACB +∠A =180°，∴180°-∠BDC =1(180)2A -∠， ∴∠BDC =902A ∠+， ∵∠A =60°， ∴∠BDC =9030+=120°，故答案为：120°．（2）①∵∠NDC =180°-∠MDC ，∴NDC MDB ∠-∠=180°-∠MDC -∠MDB =180°-（∠MDC +∠MDB ）=180°-∠BDC=180°-（902A ∠+） =902α-．②NDC MDB ∠-∠保持不变，恒等于90°-2α．理由如下： ∵∠NDC =180°-∠MDC ，∴NDC MDB ∠-∠=180°-∠MDC -∠MDB =180°-（∠MDC +∠MDB ）=180°-∠BDC=180°-（902A ∠+） =902α-．故保持不变，且为902α-．③NDC ∠与MDB ∠的关系是NDC ∠+MDB ∠=902α-．理由如下：∵∠NDC +∠MDB +∠BDC =180°，∴∠NDC +∠MDB =180°-∠BDC ，∵∠BDC =902α+，∴∠NDC +∠MDB =180°-（902α+）=902α-．【点评】本题考查了角的平分线的定义，三角形内角和定理，平角的定义，熟练掌握三角形内角和定理，平角的定义是解题的关键．10．在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，点E 是射线AC 上的动点（不与点D 重合），过点E 作EF ∥BC 交直线BD 于点F ，∠CEF 的角平分线所在直线与射线BD 交于点G ．(1)如图1，点E 在线段AD 上运动．①若∠ABC ＝40°，∠C ＝60°，则∠BGE ＝______°；②若∠A ＝70°，则∠BGE ＝______；③探究∠BGE 与∠A 之间的数量关系，并说明理由；(2)若点E在射线DC上运动时，∠BGE与∠A之间的数量关系与（1）③中的数量关系是否相同？若不同，请写出它们之间的数量关系并说明理由．∴∠BGE=∠2+∠3=12∠C+12∠ABC=12（∠C+∠ABC）=12（∠180°-∠A）=12（∠180°-70°）=55°．故答案为：55°；③∠BGE=90°-12∠A理由：∵BD、EG分别平分∠ABC和∠CEF，∴∠1＝12∠ABC，∠2=12∠CEF，∵EF//BC∴∠C＝∠CEF，∠3=∠1，∴∠2=12∠C，∠3=12∠ABC，∴∠BGE=∠2+∠3=12∠C+12∠ABC=12（∠C+∠ABC）=12（∠180°-∠A）=90°-12∠A ；（2）解：①当点E在线段CD上，如图，若GE交BC于点H，由（1）知：∠1＝12∠ABC，∠2=12∠CEF，∵EF//BC∴∠CEF=180°-∠C∴∠2=∠3=12（180°-∠C）∵∠1+∠A+∠BDA＝180°∠3+∠BGE+∠EDG＝180°且∠BDA＝∠EDG∴∠3+∠BGE=∠1+∠A∠BGE=∠1+∠A-∠3即∠BGE=12∠ABC+∠A-12（∠180°-∠C）=12∠ABC+∠A- 90°+12∠C=12（∠ABC+∠C）+∠A- 90°=12（180°-∠A）+∠A- 90°=90°-12∠A+∠A- 90°=12∠A；②当点E在DC的延长线上，如图，若GE交BC于点H，∵EF//BC∴∠3=∠2=12∠CEF =12∠ACB∵∠1+∠3+∠BGE ＝180°∴∠BGE=180°-(∠1+∠3)=180°-12（∠ABC+∠ACB ） =180°- 12（180°-∠A ） =180°-90°+12∠A =90°+12∠A ．【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的外角定理等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键，解第（2）步时要注意分类讨论．11．如图1，已知∠MON=60°，A 、B 两点同时从点O 出发，点A 以每秒x 个单位长度沿射线ON 匀速运动，点B 以每秒y 个单位长度沿射线OM 匀速运动．（1）若运动1s 时，点A 运动的路程比点B 运动路程的2倍还多1个单位长度，运动3s 时，点A 、点B 的运动路程之和为12个单位长度，则x=____，y=____；（2）如图2，点C 为△ABO 三条内角平分线交点，连接BC 、AC ，在点A 、B 的运动过程中，∠ACB 的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC 并延长，与∠ABM 的角平分线交于点P ，与AB 交于点Q ． ①试说明∠PBQ=∠ACQ ；②在△BCP 中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠BAO 的度数．【答案】（1）3，1；（2）ACB ∠的度数不发生变化，120ACB ∠=︒；（3）①说明见解析；②60BAO ∠=︒．点为ABO 三条内角平分线交点，即1,2OAB =∠CBA +∠=由三角形的内角和定理得点为ABO 三条内角平分线交点，即1,2OAB =∠AOC =∠+又BP 是ABM ∠的角平分线12PBQ ∴∠=PBQ ∴∠=∠②BP 是ABM ∠12PBA ∴∠=11221()902PBC PBA ABC ABM O A M A B BA OB ∠∴∠=∠+∠==∠∠+=∠+︒ 由三角形的外角性质得：3030PCB BOC OBC OBC ∠=∠+∠=︒+∠>︒则在BCP 中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么一定是2PCB P ∠=∠90PBC =︒∠30,60P PCB ∠=︒∠=∴︒1206060PCB ACQ ACB ∴∠=︒-=-︒=∠∠︒603030OAC ACQ AOC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒223060BAO OAC ∠=∠=⨯︒=∴︒．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握角平分线的定义、三角形的内角和定理是解题的关键．12．现有一副直角三角板（角度分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°），如图(1)所示，其中一块三角板的直角边AC 垂直于数轴，AC 的中点过数轴原点O ，AC ＝8，斜边AB 交数轴于点G ，点G 对应数轴上的数是4；另一块三角板的直角边AE 交数轴于点F ，斜边AD 交数轴于点H ．（1）如果△AGH 的面积是10，△AHF 的面积是8，则点F 对应的数轴上的数是 ，点H 对应的数轴上的数是 ；（2）如图(2)，设∠AHF 的平分线和∠AGH 的平分线交于点M ，若∠HAO ＝a ，试用a 来表示∠M 的大小：（写出推理过程）（3）如图(2)，设∠AHF 的平分线和∠AGH 的平分线交于点M ，设∠EFH 的平分线和∠FOC 的平分线交于点N ，求∠N ＋∠M 的值．【答案】（1）-5，-1（2）12ɑ+22.5°（3）∠M+∠N=97.5°．【解析】（1）-5，-1（2） ∵∠AHF 的平分线和∠AGH 的平分线交于点M ，∴∠FHM=12∠FHA，∠HGM=12∠HGA，∵∠FHM=∠M+∠HGM，∠FHA=∠HGA+∠HAG，∴2∠M+2∠HGM=∠HGA+∠HAG，∴∠M=12∠HAG=12（∠HAO+∠OAG）=12ɑ+22.5°（3）∵∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，∴∠N=90°-12∠FAO=90°-12∠FAH-12∠OAH（可以直接利用∠N=90°-12∠FAO）=90°-15°-12∠OAH=75°-12∠OAH，∵∠M=12∠OAH+22.5°，∴∠M+∠N=97.5°．13．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动,A、B不与点O 重合，如图1，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，（1）点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的大小.（2）如图2，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，则∠ABO＝________,如图3，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，则∠ABO＝________（3）如图4，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其反向延长线交于E、F，则∠EAF＝；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的32倍，求∠ABO的度数.【答案】（1）∠AEB的大小不会发生变化，∠ACB=45°；（2）30°，60°；（3）60°或72°．14．已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC=2，过点C作直线l∥PQ，点D在点C的左边且CD=3．（1）直接写出△BCD的面积．（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，则∠CEF与∠CFE有何数量关系？请说明理由．（3）如图③，若∠ADC=∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中HABC∠∠的值是否变化？若不变，直接写出其值；若变化，直接写出变化范围．【答案】（1）3；（2）∠CEF=∠CFE；（3）12【解析】试题分析：(1)、根据三角形的面积计算公式求出三角形的面积；(2)、根据垂直得出∠BCO=∠BAC，根据角平分线得出∠ABF=∠CBF，则∠ABF+∠BAC=∠CBF+∠BCO，根据△ABF和△BCE的内角和定理得出∠AFB=∠CEB，从而得出答案；(3)、根据题意求出HABC∠∠的大小.试题解析：(1)、S△BCD=3(2)、∠CEF=∠CFE理由：∵AC⊥BC，MN⊥AB∴∠BAC+∠ABC=90°，∠BCO+∠ABC=90°，∴∠BCO+∠ABC=∠BAC+∠ABC，∴∠BCO =∠BAC，∵BF平分∠CBA∴∠ABF=∠CBF∴∠ABF+∠BAC =∠CBF+∠BCO 在△ABF与△BCE中∠ABF+∠BAC +∠AFB =∠CBF+∠BCA+∠CEB=1800∴∠AFB=∠CEB∴∠CEF=∠CFE(3)、H ABC ∠∠考点：角度计算.。

七年级下册数学几何解析题以及练习题（附答案）宇文皓月9．(2011·扬州)如图，C 岛在A 岛的北偏东60°方向，在B 岛的北偏西45°方向，则从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB ＝________.答案 105°解析 如图，∵(60°＋∠CAB )＋(45°＋∠ABC )＝180°，∴∠CAB ＋∠ABC ＝75°，在△ABC 中，得∠C ＝105°.12．如图所示，在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝30°，CD 平分∠ACB ，DE ∥AC .(1)求∠DEB 的度数；(2)求∠EDC 的度数．解 (1)在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝30°，∴∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝70°.∵DE ∥AC ，∴∠DEB ＝∠ACB ＝70°.(2)∵CD 平分∠ACB ，∴∠DCE ＝12∠ACB ＝35°. ∵∠DEB ＝∠DCE ＋∠EDC ，∴∠EDC ＝70°－35°＝35°.13．已知，如图，∠1＝∠2，CF ⊥AB 于F ，DE ⊥AB 于E ，求证：FG ∥BC .(请将证明弥补完整)证明 ∵CF ⊥AB ，DE ⊥AB (已知)，∴ED∥FC( )．∴∠1＝∠BCF( )．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠2＝∠BCF(等量代换)，∴FG∥BC( )．解在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．14．如图，已知三角形ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.分析：通过画平行线，将∠A、∠B、∠C作等角代换，使各角之和恰为一平角，依辅助线分歧而得多种证法，如下：证法1：如图甲，延长BC到D，过C画CE∥BA.∵BA∥CE(作图所知)，∴∠B＝∠1，∠A＝∠2(两直线平行，同位角、内错角相等)．又∵∠BCD＝∠BCA＋∠2＋∠1＝180°(平角的定义)，∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代换)．如图乙，过BC上任一点F，画FH∥AC，FG∥AB，这种添加辅助线的方法能证明∠A＋∠B＋∠C＝180°吗？请你试一试．解∵FH∥AC，∴∠BHF＝∠A，∠1＝∠C.∵FG∥AB，∴∠BHF＝∠2，∠3＝∠B，∴∠2＝∠A.∵∠BFC＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°.15．(2010·玉溪)平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．(1)如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD.又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD＋∠D，得∠BPD＝∠B－∠D.将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；(2)在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？(不需证明)(3)根据(2)的结论求图d中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．解(1)不成立，结论是∠BPD＝∠B＋∠D.延长BP交CD于点E，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED.又∠BPD＝∠BED＋∠D，∴∠BPD＝∠B＋∠D.(2)结论：∠BPD＝∠BQD＋∠B＋∠D.(3)设AC与BF交于点G.由(2)的结论得：∠AGB＝∠A＋∠B＋∠E.又∵∠AGB ＝∠CGF ，∠CGF ＋∠C ＋∠D ＋∠F ＝360°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝360°. 14．把一副经常使用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ADE 是度． 2．如图，在△ABC 和△ABD 中，现给出如下三个论断：①AD ＝BC ；②∠C ＝∠D ；③∠1＝∠2。

初一数学角的比较试题1.（2014•滨州）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（）A．50B．60C．65D．70【答案】D【解析】先根据OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°求出∠BOC与∠COD的度数，再根据∠BOD=∠BOC+∠COD即可得出结论．解：∵OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°，∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=∠COE=×60°=30°，∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°．故选：D．点评：本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义是解答此题的关键．2.（2014•山西模拟）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，则∠BOD等于（）A．145°B．110°C．70°D．35°【答案】B【解析】首先根据角平分线定义可得∠AOD=2∠AOC=70°，再根据邻补角的性质可得∠BOD的度数．解：∵射线OC平分∠DOA．∴∠AOD=2∠AOC，∵∠COA=35°，∴∠DOA=70°，∴∠BOD=180°﹣70°=110°，故选：B．点评：此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．3.（2013•西陵区模拟）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD=150°，则∠BOC等于（）A．30°B．45°C．50°D．60°【答案】A【解析】从如图可以看出，∠BOC的度数正好是两直角相加减去∠AOD的度数，从而问题可解．解：∵∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=150°∴∠BOC=∠AOB+∠COD﹣∠AOD=90°+90°﹣150°=30°．故选A．点评：此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．4.（2013•松北区二模）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，C点落在C′，D点落在D′处．若∠EFC=119°，则∠BFC′为（）A．58°B．45°C．60°D．42°【答案】A【解析】根据折叠性质求出∠EFC′=∠EFC=119°，求出∠EFB=61°，即可求出答案．解：∵将矩形ABCD沿EF折叠，C点落在C′，D点落在D′处，∠EFC=119°，∴∠EFC′=∠EFC=119°，∠EFB=180°﹣∠EFC=61°，∴∠BFC′=∠EFC′﹣∠EFB=119°﹣61°=58°，故选A．点评：本题考查了矩形性质，折叠性质的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．5.（2012•滨州）借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角（）A．65°B．75°C．85°D．95°【答案】B【解析】先分清一副三角尺，各个角的度数分别为多少，然后将各个角相加或相减即可得出答案．解：利用一副三角板可以画出75°角，用45°和30°的组合即可，故选：B．点评：此题主要考查了用三角板直接画特殊角，关键掌握用三角板画出的角的规律：都是15°的倍数．6.（2011•邵阳）如图所示，已知O是直线AB上一点，∠1=40°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．70°【答案】D【解析】先根据平角的定义求出∠COB的度数，再由OD平分∠BOC即可求出∠2的度数．解：∵∠1=40°，∴∠COB=180°﹣40°=140°，∵OD平分∠BOC，∴∠2=∠BOC=×140°=70°．故选D．点评：本题考查的是平角的定义及角平分线的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．7.（2009•辽宁）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=110°，则∠BOD的度数是（）A.25°B.35°C.45°D.55°【答案】D【解析】根据角平分线的定义求出∠AOC的度数，再根据对顶角相等即可求解．解：∵OA平分∠EOC，∠EOC=110°，∴∠AOC=∠COE=55°，∴∠BOD=∠AOC=55°．故选D．点评：本题主要考查了角平分线的定义以及对顶角相等的性质，认准图形是解题的关键．8.（2008•贵港）已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB=80°，∠BOC=40°，则∠AOC等于（）A．40°B．60°或120°C．120°D．120°或40°【答案】D【解析】利用角的和差关系计算，注意此题要分两种情况．解：如果射线OC在∠AOB内部，∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=40°，如果射线OC在∠AOB外部，∠AOC=∠AOB+∠BOC=120度．故选D．点评：要根据射线OC的位置不同，分类讨论，分别求出∠AOC的度数．9.（2006•襄阳）如图，给你用一副三角板画角，不可能画出的角的度数是（）A．105°B．75°C．155°D．165°【答案】C【解析】本题需先根据两个三角板各个内角的度数分别组合出要求的角，即可得出正确答案．解：A、105°=60°+45°，故本选项正确；B、75°=45°+30°，故本选项正确；C、155°不能写成90°、60°、45°、30°的和或差，故本选项错误；D、165°=90°+45°+30°，故本选项正确．故选C．点评：本题主要考查了角的计算，在解题时要根据三角形各角的度数得出要求的角是本题的关键．10.（2005•三明）一副三角板不能拼出的角的度数是（拼接要求：既不重叠又不留空隙）（）A．75°B．105°C．120°D．125°【答案】D【解析】利用三角板三角的度数组拼即可．解：一副三角板的度数分别为：30°、60°、45°、45°、90°，因此可以拼出75°、105°和120°，不能拼出125°的角．故选D．点评：要明确三角板各角的度数分别是多少．。

初一数学第二学期名校优选小专题10 平行线中的角平分线综合问题【例题讲解】如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．（1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系：________；（2）若∠BEF＝12∠BAK，求∠AHE；（3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE 边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值．解：（1）∵AB∥CD∴∠KEH=∠AFH∵∠AHE=∠AFH+∠FAH∴∠AHE=∠KEH+∠FAH故答案为：∠AHE=∠KEH+∠FAH（2）设∠BEF=x∵∠BEF= 12∠BAK，∠BEC=2∠BEF∴∠BAK=∠BEC=2x∵AK平分∠BAG∴∠BAK=∠KAG=2x由（1）的结论可得：∠AME=2x+2x=4x，∠AHE=2x+3x=5x∵AG⊥BE∴∠G=90°∴∠AME+∠KAG=2x+4x=90°∴x=15°∴∠AHE=5x=75°；（3）由（2）可得，∠KHE=105°，∠BEF=15°，∠HEK=45°，∠NEG=30°，∠ENG=60°①当KH∥NG时5°×t=60°-30°=30°∴t=6②当KE∥GN时5°×t=60°∴t=12③当HE∥GN时5°×t=45°+60°=105°∴t=21④当HK∥EG时，5°×t=180°-30°-30°=120°∴t=24⑤当HK∥EN时，5t=150°∴t=30综上所述，t的值为：6或12或21或24或30．【综合演练】1．如图，直线PQ∥MN，一副直角三角板ABC、DEF中∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE ＝30°，∠DEF ＝60°．(1)若△ABC ，△DEF 如图1摆放时，则∠PDE ＝ ．(2)若图1中△ABC 固定，将△DEF 沿着AC 方向平移，边DF 与直线PQ 相交于点G ，作∠FGQ 和∠GF A 的角平分线GH 、FH 相交于点H （如图2），求∠GHF 的度数．(3)若图1中△DEF 固定，（如图3）将ABC 绕点A 顺时针旋转，30秒转半圈，旋转至AC 与直线AN 首次重合的过程中，当线段BC 与DEF 的一条边平行时，求旋转的时间．2．已知，直线AB ∥CD ，AD 与BC 交于点E ．(1)如图1，100AEC ∠=︒，则ABC ADC ∠+∠=_________°；(2)如图2，ABC ADC ∠∠，的平分线交于点F ，则F ∠与AEC ∠有怎样的数量关系，请说明理由；(3)如图3，(),3AEC ABC αβαβ∠=∠=>，在ADC ∠的平分线上任取一点P ，连接PB ，当12ABP PBC ∠=∠时，请直接写出BPD ∠的度数（用含有αβ、的式子表示）．3．已知AB ∥CD ，∠ABE 的角分线与∠CDE 的角分线相交于点F ．（1）如图1，若BM 、DM 分别是∠ABF 和∠CDF 的角平分线，且∠BED ＝100°，求∠M 的度数；（2）如图2，若∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，∠BED ＝α°，求∠M 的度数； （3）若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1n∠CDF ，请直接写出∠M 与∠BED 之间的数量关系．4．阅读下面材料：小亮遇到这样问题：如图1，已知AB CD ∥，EOF 是直线AB 、CD 间的一条折线．判断CFO ∠、BEO ∠、DFO ∠三个角之间的数量关系．小亮通过思考发现：过点O 作OP AB ∥，通过构造内错角，可使问题得到解决．(1)请回答：EOF ∠、BEO ∠、DFO ∠三个角之间的数量关系是__________．(2)如图2，将ABC 沿BA 方向平移到DEF （B 、D 、E 共线），50B ∠=︒，AC 与DF 相交于点G ，GP 、EP 分别平分CGF ∠、FEA ∠相交于点P ，求P ∠的度数；(3)如图3，直线m n ∥，点B 、F 在直线m 上，点E 、C 在直线n 上，连接FE 并延长至点A ，连接BA 、BC 和CA ，做CBF ∠和CED ∠的平分线交于点M ，若ADC α∠=，则M ∠=__________（直接用含α的式子表示）．5．如图1，已知两条直线AB ，CD 被直线EF 所截，分别交于点E ，点F ，EM 平分∠AEF 交CD 于点M ，且∠FEM ＝∠FME ．(1)判断直线AB 与直线CD 是否平行，并说明理由；(2)如图2，点G 是射线MD 上一动点（不与点M ，F 重合），EH 平分∠FEG 交CD 于点H ，过点H 作HN ⊥EM 于点N ，设∠EHN ＝α，∠EGF ＝β．①当点G 在点F 的右侧时，若β＝56°，求α的度数；②当点G 在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．6．已知AB CD ∥，连接A ，C 两点．(1)如图1，CAB ∠与ACD ∠的平分线交于点E ，则AEC ∠等于__________度；(2)如图2，点M 在射线AB 反向延长线上，点N 在射线CD 上．AMN ∠与ACN ∠的平分线交于点E ．若45AMN ∠=︒，70ACN ∠=︒，求MEC ∠的度数；(3)如图3，图4，M ，N 分别为射线AB ，射线CD 上的点，AMN ∠与ACN ∠的平分线交于点E ．设AMN α∠=，()ACN βαβ∠=≠，请直接写出图中MEC ∠的度数（用含α，β的式子表示）．7．（1）【问题情境】小明翻阅自己数学学习笔记时发现，数学老师在讲评七下《伴你学》第6页“迁移应用”第1题时，曾做过如下追问：如图1，已知AB CD ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，点G 为平面内一点，当点G 在AB 、CD 之间，且在线段EF 左侧时，连接EG 、FG ，则一定有AEG CFG G ∠+∠=∠，为什么？请帮助小明再次说明理由；（2）【变式思考】如图2，当点G 在AB 上方时，且90EGF ∠=︒，请直接写出BEG ∠与DFG ∠之间的数量关系______；（3）【迁移拓展】①如图3，在（2）的条件下，过点E 作直线HK 交直线CD 于K ，使HEG ∠与GEB ∠互补，作EKD ∠的平分线与直线GE 交于点L ，请你判断FG 与KL 的位置关系，并说明理由；②在①的条件下，第一次操作；分别作∠BEL 和∠DKL 的平分线，交点为L 1；第二次操作，分别作∠BEL 1和∠DKL 1的平分线，交点为L 2；……第n 次操作，分别作∠BEL n-1和∠DKL n-1的平分线，交点为L 、则∠L n =______．8．已知：直线AB ∥CD ，一块三角板EFH ，其中∠EFH =90°，∠EHF =60°．(1)如图1，三角板EFH 的顶点H 落在直线CD 上，并使EH 与直线AB 相交于点G ，若∠2=2∠1，求∠1的度数；(2)如图2，当三角板EFH 的顶点F 落在直线AB 上，且顶点H 仍在直线CD 上时，EF 与直线CD 相交于点M ，试确定∠E 、∠AFE 、∠MHE 的数量关系；(3)如图3，当三角板EFH 的顶点F 落在直线AB 上，顶点H 在AB 、CD 之间，而顶点E 恰好落在直线CD 上时得△EFH ，在线段EH 上取点P ，连接FP 并延长交直线CD 于点T ，在线段EF 上取点K ，连接PK 并延长交∠CEH 的角平分线于点Q ，若∠Q -∠HFT =15°，且∠EFT =∠ETF ，求证：PQ ∥FH ． 9．对于平面内的M ∠和N ∠，若存在一个常数0k >，使得360M k N ∠+∠=︒，则称N ∠为M ∠的k 系补周角，若90,45M N ∠=∠=︒︒，则N ∠为M ∠的6系补周角．(1)若80H ∠=︒，则H ∠的4系补周角的度数为__________︒．(2)在平面内AB CD ，点E 是平面内一点，连接BE DE 、．①如图1，60D ∠=︒，若B ∠是E ∠的3系补周角，求B ∠的度数．②如图2，ABE ∠和CDE ∠均为钝角，点F 在点E 的右侧，且满足ABF n ABE ∠=∠，CDF n CDE ∠=∠（其中n 为常数且1n >），点P 是ABE ∠角平分线BG 上的一个动点，在P 点运动过程中，请你确定一个点P 的位置，使得BPD ∠是F ∠的k 系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k 值（用含n 的式子表示）． 10．如图，直线,AB CD EF CD ⊥∥分别交AB 、CD 于点E 、F ，射线EP 、EQ 分别从EC 、EF 同时开始绕点E 顺时针旋转，分别与直线AB 交于点M 、N ，射线EP 每秒转10︒，射线EQ 每秒转5︒，点O 是PMN ∠、MNQ ∠角平分线的交点．设旋转时间为t 秒（08t <<）．(1)①用含t 的代数式表示：AMP ∠=___________︒，QNB ∠=__________︒；②当4t =时，OMN ∠=____________︒；(2)试探索MON ∠与ONM ∠的数量关系，并说明理由；(3)MEF ∠的角平分线与直线MO 交于点K ，直接写出MKE ∠的度数为___________．11．已知点C 在线段AE 上，AB CD ∥，EAB ∠的角平分线交CD 于点F ，M 为线段CF 上一动点，连接EM ．(1)如图①，当40FAB ∠=︒，25E ∠=︒时，求EMF ∠的度数．(2)如图②，N 为射线AB 上一动点，连接FN ，使得FN EM ∥，作CFN ∠的角平分线交AB 于点G ，猜想E ∠与AFG ∠的数量关系，并说明理由．(3)如图③，在（2）的条件下，作GH GF ⊥，并延长FN 交GH 于点H ，已知3426E AFG ∠-∠=︒，求EAF GHF ∠+∠的度数．12．已知：AB //CD ，点E 在直线AB 上，点F 在直线CD 上．（1）如图①，EM 平分∠BEF ， FN 平分∠CFE ，试判断EM 与FN 的位置关系，并说明理由；（2）如图②，EG平分∠MEF，EH平分∠AEM，试判断∠GEH与∠EFD的数量关系，并说明理由；答案与解析【例题讲解】如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．（1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系：________；（2）若∠BEF＝12∠BAK，求∠AHE；（3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE 边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值．解：（1）∵AB∥CD∴∠KEH=∠AFH∵∠AHE=∠AFH+∠FAH∴∠AHE=∠KEH+∠FAH故答案为：∠AHE=∠KEH+∠FAH（2）设∠BEF=x∵∠BEF= 12∠BAK，∠BEC=2∠BEF∴∠BAK=∠BEC=2x∵AK平分∠BAG∴∠BAK=∠KAG=2x由（1）的结论可得：∠AME=2x+2x=4x，∠AHE=2x+3x=5x∵AG⊥BE∴∠G=90°∴∠AME+∠KAG=2x+4x=90°∴x=15°∴∠AHE=5x=75°；（3）由（2）可得，∠KHE=105°，∠BEF=15°，∠HEK=45°，∠NEG=30°，∠ENG=60°①当KH∥NG时5°×t=60°-30°=30°∴t=6②当KE∥GN时5°×t=60°∴t=12③当HE∥GN时5°×t=45°+60°=105°∴t=21④当HK∥EG时，5°×t=180°-30°-30°=120°∴t=24⑤当HK∥EN时，5t=150°∴t=30综上所述，t的值为：6或12或21或24或30．【综合演练】1．如图，直线PQ∥MN，一副直角三角板ABC、DEF中∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE ＝30°，∠DEF ＝60°．(1)若△ABC ，△DEF 如图1摆放时，则∠PDE ＝ ．(2)若图1中△ABC 固定，将△DEF 沿着AC 方向平移，边DF 与直线PQ 相交于点G ，作∠FGQ 和∠GF A 的角平分线GH 、FH 相交于点H （如图2），求∠GHF 的度数．(3)若图1中△DEF 固定，（如图3）将ABC 绕点A 顺时针旋转，30秒转半圈，旋转至AC 与直线AN 首次重合的过程中，当线段BC 与DEF 的一条边平行时，求旋转的时间． 【答案】(1)15°(2)67.5°(3)5秒或15秒或20秒【分析】（1）如图2，过点E 作EK MN ⊥，利用平行线性质即可求得答案；（2）如图3，分别过点F 、H 作//FL MN ，//HR PQ ，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （3）设旋转时间为t 秒，由题意旋转速度为30s 转半圈，即每秒转6︒，分三种情况：①当//BC DE 时，②当//BC EF 时，③当//BC DF 时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．（1）如图2，过点E 作//EK MN ，45BAC ∠=︒，45KEA BAC ∴∠=∠=︒，//PQ MN ，//EK MN ，//PQ EK ∴，PDE DEK DEF KEA ∴∠=∠=∠-∠，又60DEF ∠=︒．604515PDF ∴∠=︒-︒=︒；故答案为：15︒；（2）解：如图3，分别过点F 、H 作//FL MN ，//HR PQ ，45LFA BAC ∴=∠=︒，RHG QGH ∠=∠，//FL MN ，//HR PQ ，//PQ MN ，////∴FL PQ HR ，180QGF GFL ∴∠+∠=︒，RHF HFL HFA LFA ∠=∠=∠-∠，FGQ ∠和GFA ∠的角平分线GH 、FH 相交于点H ，12QGH FGQ ∴∠=∠，12HFA GFA ∠=∠，30DFE ∠=︒，180150GFA DFE ∴∠=-∠=︒，1752HFA GFA ∴∠=∠=︒，754530RHF HFL HFA LFA ∴∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒，15045105GFL GFA LFA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，()1118010537.522RHG QGH FGQ ∴∠=∠=∠=︒-︒=︒，37.53067.5GHF RHG RHF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒； （3）解：设旋转时间为t 秒，由题意旋转速度为30秒转半圈，即每秒转6︒，分三种情况：当//BC DE 时，如图5，此时//AC DF ，30CAE DFE ∴∠=∠=︒，630t =，解得：5t =；②当//BC EF 时，如图6，//BC EF ，45BAE B ∴∠=∠=︒，454590BAM BAE EAM ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，690t =，解得：15t =；③当//BC DF 时，如图7，延长BC 交MN 于K ，延长DF 交MN 于R ，453075DRM EAM DFE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，75BKA DRM ∴∠=∠=︒，18090ACK ACB ∠=︒-∠=︒，9015CAK BKA ∴∠=︒-∠=︒，1801804515120CAE EAM CAK ∴∠=-∠-∠=︒-︒-︒=︒，6120t ∴=，解得：20t =，综上所述，ABC 绕点A 顺时针旋转的时间为5s 或15s 或20s 时，线段BC 与DEF 的一条边平行．【点评】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键．2．已知，直线AB ∥CD ，AD 与BC 交于点E ．(1)如图1，100AEC ∠=︒，则ABC ADC ∠+∠=_________°；(2)如图2，ABC ADC ∠∠，的平分线交于点F ，则F ∠与AEC ∠有怎样的数量关系，请说明理由；(3)如图3，(),3AEC ABC αβαβ∠=∠=>，在ADC ∠的平分线上任取一点P ，连接PB ，当12ABP PBC ∠=∠时，请直接写出BPD ∠的度数（用含有αβ、的式子表示）．【答案】(1)100；(2)∠F =12AEC ∠，理由见解析； (3)∠BPD =1126αβ-，证明见解析． 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠BAD =∠ADC ，结合图象及三角形外角的性质即可得出结果；（2）设AD 与BF 的交点为G ，BC 与DF 的交点为H ，根据三角形内角和定理及对顶角相等得出∠BAD +∠ABF =∠F +∠ADF ①，∠BCD +∠CDF =∠F +∠CBF ②，结合角平分线可得∠BAD +∠BCD =2∠F ，找准图中各角之间的数量关系即可得出结果；（3）利用三角形外角的性质得出∠ADC=α-∠BCD，由平行线的性质可得∠ABC=∠BCD=β，结合角平分线及各角之间的数量关系进行等量代换求解即可得出结果．(1)解：∵AB∥CD，∴∠BAD=∠ADC，∵∠AEC是∆ABE的一个外角，∴∠AEC=∠ABC+∠BAD，∴∠AEC=∠ABC+∠ADC，∵∠AEC=100°，∴∠ABC+∠ADC=100°，故答案为：100；(2)解：∠F=12AEC，理由如下：设AD与BF的交点为G，BC与DF的交点为H，∵∠BAD+∠ABF+∠AGB=180°，∠AGB=∠DGF，∠F+∠ADF+∠DGF=180°，∴∠BAD+∠ABF=∠F+∠ADF①，∵∠BCD+∠CDF+∠CHD=180°，∠F+∠CBF+∠BHF=180°，∠BHF=∠CHD，∴∠BCD+∠CDF=∠F+∠CBF②，①+②得：∠BAD+∠ABF+∠BCD+∠CDF=2∠F+∠CBF+∠ADF，∵BF平分∠ABC，DF平分∠ACD，∴∠ABF=∠CBF，∠CDF=∠ADF，∴∠BAD+∠BCD=2∠F，∵∠BAD=∠AEC-∠ABC，∠BCD=∠AEC-∠ADC，∴∠BAD+∠BCD=2∠AEC-∠AEC=∠AEC，∴2∠F=∠AEC，∴∠F =12∠AEC ； (3)解：∠BPD =1126αβ-，理由如下： 如图所示，DF 平分ADC ∠，且12ABP PBC ∠=∠，连接AP ，∵∠AEC 是∆ECD 的一个外角，∠AEC =α，∴∠AEC =∠BCD +∠ADC =α，∴∠ADC =α-∠BCD ，∵AB ∥CD ，∠ABC =β，∴∠ABC =∠BCD =β，∴∠ADC =∠DAB =α-β，∵DP 是∠ADC 的角平分线，∴∠ADP =12∠ADC =()12αβ-， ∵∠ABP =12∠PBC ， ∴∠PBC =2∠ABP ，∵∠ABP +∠PBC =∠ABC =β，∴∠ABP +2∠ABP =β，即3∠ABP =β，在∆ADP 中，∠APD +∠DAP +∠ADP =180°，即∠BPD +∠APB +∠DAP +∠ADP =180°，在∆ABP 中，∠BAP +∠APB +∠ABP =180°，即∠DAP +∠DAB +∠APB +∠ABP =180°，∴∠BPD +∠APB +∠DAP +∠ADP =∠DAP +∠DAB +∠APB +∠ABP ，∴∠BPD +∠ADP =∠DAB +∠ABP ，∴∠BPD +()1123αβαββ-=-+， ∴∠BPD =1126αβ-． 【点评】题目主要考查平行线的性质，三角形内角和与外角的性质，角平分线的定义等，理解题意，找准图中各角之间的数量关系是解题关键．3．已知AB ∥CD ，∠ABE 的角分线与∠CDE 的角分线相交于点F ．（1）如图1，若BM 、DM 分别是∠ABF 和∠CDF 的角平分线，且∠BED ＝100°，求∠M 的度数；（2）如图2，若∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，∠BED ＝α°，求∠M 的度数； （3）若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1n∠CDF ，请直接写出∠M 与∠BED 之间的数量关系．【答案】（1）65°（2）3606α︒-︒（3）2n ∠M +∠BED =360° 【分析】（1）首先作EG ∥AB ，FH ∥AB ，利用平行线的性质可得∠ABE +∠CDE =260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF +∠CDF =130°，从而得到∠BFD 的度数，再根据角平分线的定义可求∠M 的度数；（2）先由已知得到∠ABE =6∠ABM ，∠CDE =6∠CDM ，由（1）得∠ABE +∠CDE =360°-∠BED ，∠M =∠ABM +∠CDM ，等量代换即可求解；（3）先由已知得到ABF n ABM ∠=∠，CDF n CDM ∠=∠，由（2）的方法可得到2n ∠M +∠BED =360°．【解析】解：（1）如图1，作//EG AB ，//FH AB ，∵AB CD ∥，∴EG AB FH CD ∥∥∥，∴ABF BFH ∠=∠，CDF DFH ∠=∠，180ABE BEG ∠+∠=︒，180GED CDE ∠+∠=︒，4．阅读下面材料：小亮遇到这样问题：如图1，已知AB CD ∥，EOF 是直线AB 、CD 间的一条折线．判断CFO ∠、BEO ∠、DFO ∠三个角之间的数量关系．小亮通过思考发现：过点O 作OP AB ∥，通过构造内错角，可使问题得到解决．(1)请回答：EOF ∠、BEO ∠、DFO ∠三个角之间的数量关系是__________．(2)如图2，将ABC 沿BA 方向平移到DEF （B 、D 、E 共线），50B ∠=︒，AC 与DF 相交于点G ，GP 、EP 分别平分CGF ∠、FEA ∠相交于点P ，求P ∠的度数；(3)如图3，直线m n ∥，点B 、F 在直线m 上，点E 、C 在直线n 上，连接FE 并延长至点A ，连接BA 、BC 和CA ，做CBF ∠和CED ∠的平分线交于点M ，若ADC α∠=，则M ∠=__________（直接用含α的式子表示）． 【答案】(1)EOF BEO DFO ∠=∠+∠(2)65︒(3)1902α︒- 【分析】（1）根据平行线的性质求出∠EOM=∠BEO ，∠FOM=∠DFO ，即可求出答案；（2）由DF ∥BC ，AC ∥EF ，推出∠EDF =∠B =50°，∠F=∠CGF ,推出∠DEF +∠F =180°-50°=130°，再由三角形内角和定理可得∠P +∠FGP =∠F +∠FEP ,由此即可解决问题；（3）由()1111180902222M FBM CEM FBC CEM αα∠=∠+∠=∠+∠=︒-=︒-即可解决问题． (1)如图1中，∵AB ∥OP ，∴∠EOP =∠BEO ，∵AB ∥CD ，∴OP ∥CD ，∴∠FOP =∠DFO ，∴∠EOP +∠FOP =∠BEO +∠DFO ，即∠EOF =∠BEO +∠DFO ．故答案为：∠EOF =∠BEO +∠DFO ．(2)如图2中，∵DF ∥BC ，AC ∥EF ，∴∠EDF =∠B =50°，∠F =∠CGF ，∴∠DEF +∠F =180°-50°=130°∵GP 、EP 分别平分CGF ∠、FEA ∠∴12FEP DEF ∠=∠,12FGP FGC ∠=∠ ∴∠P =∠F +∠FEP -∠FGP =11112222F DEF FGC F DEF F ∠+∠-∠=∠+∠-∠, ∴()11165222P F DEF DEF P ∠=∠+∠=∠+∠=︒． (3)如图3中，由（1）易知∠M =∠FBM +∠CEM ,∵BF ∥EC ，∴∠DCE=∠DBF ，∵∠DEC +∠DCE =180°-α，BM 和EM 平分CBF ∠和CED ∠,∴12FBM FBC ∠=∠,12CEM CED ∠=∠, ∴()1111122222FBM CEM FBC CED DCE CED DCE CED ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠ ∴()111809022FBM CEM αα∠+∠=︒-=︒-. ∴1902M α∠=︒-. 故答案为：1902α︒-． 【点评】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．如图1，已知两条直线AB ，CD 被直线EF 所截，分别交于点E ，点F ，EM 平分∠AEF 交CD 于点M ，且∠FEM ＝∠FME ．(1)判断直线AB 与直线CD 是否平行，并说明理由；(2)如图2，点G 是射线MD 上一动点（不与点M ，F 重合），EH 平分∠FEG 交CD 于点H ，过点H 作HN ⊥EM 于点N ，设∠EHN ＝α，∠EGF ＝β．①当点G 在点F 的右侧时，若β＝56°，求α的度数；②当点G 在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】(1)AB ∥CD ，理由见解析；(2)①28α=︒；②当点G 在点F 的右侧时，12αβ=；当点G 在点F 的左侧时， 1902βα︒=-；理由见解析【分析】（1）依据角平分线，可得∠AEF =∠FME ，根据∠FEM =∠FME ，可得∠AEF =∠FEM ，进而得出AB ∥CD ；（2）①依据平行线的性质可得∠AEG =124°，再根据EH 平分∠FEG ，EM 平分∠AEF ，即可得到∠MEH =12∠AEG =62°，再根据HN ⊥ME ，即可得到Rt △EHN 中，∠EHN =90°-62°=28°；②分两种情况进行讨论：当点G 在点F 的右侧时，12αβ=．当点G 在点F 的左侧时， 1902βα︒=-． （1）解：∵EM 平分∠AEF ，∴∠AEM =∠MEF ，又∵∠FEM =∠FME ，∴∠AEM =∠EMF ，∴AB ∥CD ；（2）解：①如图2，∵AB∥CD，β=56°，∴∠AEG=124°，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF=12∠FEG，∠MEF=12∠AEF，∴∠MEH=12∠AEG=62°，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-62°=28°，即α=28°；②分两种情况讨论：如图2，当点G在点F的右侧时，α=12β．证明：∵AB∥CD，∴∠AEG=180°-β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF=12∠FEG，∠MEF=12∠AEF，∴∠MEH=12∠AEG=12（180°-β），又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-∠MEH=90°1 2（180°-β）=12β，即α=12β；如图3，当点G在点F的左侧时，α=90°-12β．证明：∵AB ∥CD ，∴∠AEG =∠EGF =β，又∵EH 平分∠FEG ，EM 平分∠AEF ，∴∠HEF =12∠FEG ，∠MEF =12∠AEF ，∴∠MEH =∠MEF -∠HEF=12（∠AEF -∠FEG ） =12∠AEG =12β，又∵HN ⊥ME ，∴Rt △EHN 中，∠EHN =90°-∠MEH ，即α=90°12-β． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；利用角的和差关系进行推算．6．已知AB CD ∥，连接A ，C 两点．(1)如图1，CAB ∠与ACD ∠的平分线交于点E ，则AEC ∠等于__________度；(2)如图2，点M 在射线AB 反向延长线上，点N 在射线CD 上．AMN ∠与ACN ∠的平分线交于点E ．若45AMN ∠=︒，70ACN ∠=︒，求MEC ∠的度数；(3)如图3，图4，M ，N 分别为射线AB ，射线CD 上的点，AMN ∠与ACN ∠的平分线交于点E ．设AMN α∠=，()ACN βαβ∠=≠，请直接写出图中MEC ∠的度数（用含α，β的式子表示）． 【答案】(1)90；(2)57.5MEC ∠=︒；(3)18022αβ︒-+或18022αβ︒+-【分析】（1）根据平行线的性质可得180CAB ACD ︒∠+∠=，根据角平分线的定义可得90CAE ACE ︒∠+∠=，从而可求出AEC ∠；（2）过E 作EF ∥AB ，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可．（3）分两种情况，过E 作EF ∥AB ，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可．（1）,AB CD ∥180,CAB ACD ︒∴∠+∠=∵CAB ∠与ACD ∠的平分线交于点E ，11,,22CAE CAB ACE ACD ∴∠=∠∠=∠ 1()902CAE ACE CAB ACD ︒∴∠+∠=∠+∠= 180()90AEC CAE ACE ︒︒∴∠=-∠+∠=即90AEC ︒∠=故答案为：90︒（2）如图，过点E 作EF AB ∥，∴FEM AME ∠=∠．∵AB CD ∥，∴EF CD ∥．∴FEC ECN ∠=∠．∴MEC FEM FEC AME ECN ∠=∠+∠=∠+∠．∵ME 平分AMN ∠，CE 平分ACN ∠，∴114522.522AME AMN ︒∠=∠=⨯=︒， 11703522ECN ACN ∠=∠==︒⨯︒． ∴22.53557.5MEC ∠=︒+︒=︒；（3）过点E 作,EF AB ∥如图3，∵∠AMN 与∠ACN 的平分线交于点E ，∠,(),AMN ACN αβαβ=∠=≠∴11,22AME AMN α∠=∠=∠1122DCE ACN β=∠= ,B EF A ∥180,MEF AME ︒∴∠+∠=11801802MEF AME α︒︒∴∠=-∠=- ,AB CD ∥,EF CD ∴∥1,2CEF DCE β∴∠=∠= 1118022MEC MEF CEF αβ︒∴∠=∠+∠=-+ 如图4，∵AB //CD,EF CD ∴∥1,2MEF AME α∴∠=∠= ∵AB //CD,EF CD ∴∥180,CEF DCE ︒∴∠+∠=11801802CEF DCE β︒︒∴∠=-∠=- 1118022MEC MEF CEF αβ︒∴∠=∠+∠=+- 综上，MEC ∠的度数为18022αβ︒-+或18022αβ︒+-【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，作出适当的辅助线，结合图形等量代换是解答此题的关键．7．（1）【问题情境】小明翻阅自己数学学习笔记时发现，数学老师在讲评七下《伴你学》第6页“迁移应用”第1题时，曾做过如下追问：如图1，已知AB CD ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，点G 为平面内一点，当点G 在AB 、CD 之间，且在线段EF 左侧时，连接EG 、FG ，则一定有AEG CFG G ∠+∠=∠，为什么？请帮助小明再次说明理由；（2）【变式思考】如图2，当点G 在AB 上方时，且90EGF ∠=︒，请直接写出BEG ∠与DFG ∠之间的数量关系______；（3）【迁移拓展】①如图3，在（2）的条件下，过点E 作直线HK 交直线CD 于K ，使HEG ∠与GEB ∠互补，作EKD ∠的平分线与直线GE 交于点L ，请你判断FG 与KL 的位置关系，并说明理由；②在①的条件下，第一次操作；分别作∠BEL 和∠DKL 的平分线，交点为L 1；第二次操作，分别作∠BEL 1和∠DKL 1的平分线，交点为L 2；……第n 次操作，分别作∠BEL n-1和∠DKL n-1的平分线，交点为L 、则∠L n =______．【答案】（1）理由见解析；（2）90BEG DFG ∠-∠=︒；（3）①FG ∥KL ，理由见解析，②902n︒ 【分析】（1）过点G 作GH AB ∥，则AB CD GH ∥∥，根据平行线的性质即可求解；（2）过点G 作GH AB ∥，则AB CD GH ∥∥，根据平行线的性质即可求解；（3）①根据HEG ∠与GEB ∠互补，可得AEG HEG ∠=∠，即GL 平分BEK ∠，根据角平分线的定义，进而可得90BEL LKD ELK ∠+∠=∠=︒，即可得出FG KL ⊥；②根据①的结论，求得12,L L 发现规律，即可求解．【解析】（1）如图，过点G 作GH AB ∥，则AB CD GH ∥∥，,AEG EGH HGF CFG ∠=∠∠=∠，AEG CFG EGH FGH EGF ∴∠+∠=∠+∠=∠；（2）如图，过点G 作GH AB ∥，则AB CD GH ∥∥，180,180BEG EGH HGF DFG ∠+∠=︒∠+∠=︒，180,180BEG EGH DFG FGH ∴∠=︒-∠∠=︒-∠，FGH FGE HGE ∠=∠+∠，()()180180BEG DFG EGH FGH ∴∠-∠=︒-∠-︒-∠180180EGH FGE HGE =︒-∠-︒+∠+∠FGE =∠，90EGF ∠=︒，∴90BEG DFG ∠-∠=︒；（3）①HEG ∠+GEB ∠=180°，180GEB AEG ∠+∠=︒，AEG HEG ∴∠=∠，GE ∴是AEH ∠的角平分线，BEK AEH ∠=∠，EL ∴平分BEK ∠，BEL KEL ∴∠=∠，又KL 平分EKD ∠，EKL DKL ∴∠=∠，AB CD ∥，180BEK EKD ∴∠+∠=︒，同（1）可得ELK BEL DKL ∠=∠+∠1122BEK EKD =∠+∠ 11802=⨯︒ 90=︒，又∵∠EGF =90°，∴∠EGF =∠ELK ,∴FG ∥KL ；②根据题意可得11111902222L BEL DKL ELK ∠=∠+∠=∠=⨯︒ 同理可得21112111119090222222L BEL DKL L ︒∠=∠+∠=∠=⨯⨯︒= ……902n nL ︒∴∠=．故答案为：902n︒ 【点评】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的性质，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．8．已知：直线AB ∥CD ，一块三角板EFH ，其中∠EFH =90°，∠EHF =60°．(1)如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2=2∠1，求∠1的度数；(2)如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；(3)如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD 上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK 并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q-∠HFT=15°，且∠EFT=∠ETF，求证：PQ∥FH．【答案】(1)∠1=40°(2)∠AFE=∠E+∠MHE，理由见解析(3)见解析【分析】（1）利用两直线平行，同位角相等和平角的意义解答即可；（2）利用平行线的性质和三角形内角和定理的推论解答即可；（3）设∠AFE=x，利用平行线的性质和角平分线的定义在△QEP中，通过计算∠QPE=60°，利用同位角相等，两直线平行判定即可得出结论．（1）解：∵AB∥CD，∴∠1=∠CHG．∵∠2=2∠1，∴∠2=2∠CHG．∵∠CHG+∠EHF+∠2=180°，∴3∠CHG+60°=180°．∴∠CHG=40°．∴∠1=40°；（2）9．对于平面内的M ∠和N ∠，若存在一个常数0k >，使得360M k N ∠+∠=︒，则称N ∠为M ∠的k 系补周角，若90,45M N ∠=∠=︒︒，则N ∠为M ∠的6系补周角．(1)若80H ∠=︒，则H ∠的4系补周角的度数为__________︒．(2)在平面内AB CD ，点E 是平面内一点，连接BE DE 、．①如图1，60D ∠=︒，若B ∠是E ∠的3系补周角，求B ∠的度数．②如图2，ABE ∠和CDE ∠均为钝角，点F 在点E 的右侧，且满足ABF n ABE ∠=∠，CDF n CDE ∠=∠（其中n 为常数且1n >），点P 是ABE ∠角平分线BG 上的一个动点，在P 点运动过程中，请你确定一个点P 的位置，使得BPD ∠是F ∠的k 系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k 值（用含n 的式子表示）． 【答案】(1)70︒(2)①75°；②当BG 上的动点P 为CDE ∠的角平分线与BG 的交点时，满足BPD ∠是F ∠的k 系补周角，此时2k n =【分析】（1）根据题中新定义列出方程求解，即可得出答案．（2）①过点E 作EF ∥AB ，得B D BED ∠+∠=∠，由60D ∠=︒，B ∠是E ∠的3系补周角，列出B ∠的方程，即可求出B ∠的度数．②根据k 系补周角的定义先确定点P 的位置，再结合ABF n ABE ∠=∠，CDF n CDE ∠=∠求解与n 的关系即可求解．（1）解：设H ∠的4系补周角为x ，根据题意，有80＋4x ＝360解得x ＝70°．故答案为：70°．（2）①解：如图，过点E 作EF AB ∥，∴B BEF ∠=∠，∵,AB CD EF AB ∥∥∴EF CD ，∵60D ∠=︒，∴60D DEF ∠=∠=︒，∵60B BEF DEF ∠+︒=∠+∠，即60B BED ∠+︒=∠∵B ∠是BED ∠的3系补周角，∴3360BED B ∠+∠=︒，∴603360B B ∠+︒+∠=︒，∴75B ∠=︒．②解：当BG 上的动点P 为CDE ∠的角平分线与BG 的交点时，满足BPD ∠是F ∠的k 系补周角，此时2k n =．若BPD ∠是F ∠的k 系补周角，则F ∠＋k BPD ∠=360°，∴k BPD ∠=360°－F ∠，由图可知360ABF CDF F ∠+∠+∠=︒，即360ABF CDF F ∠+∠=︒-∠，∴k BPD ∠＝ABF CDF ∠+∠，又∵ABF n ABE ∠=∠，CDF n CDE ∠=∠，∴k BPD ∠＝n ABE ∠＋n CDE ∠，∵BPD ∠＝PHD ∠＋PDH ∠，ABCD ，PG 平分ABE ∠，PD 平分CDE ∠， ∴PHD ∠＝ABH ∠＝12ABE ∠，PDH ∠＝12CDE ∠，∴2k ＝()ABE CDE ∠+∠＝n ()ABE CDE ∠+∠ ∴2k n =．【点评】本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义，理解题意是解题的关键． 10．如图，直线,AB CD EF CD ⊥∥分别交AB 、CD 于点E 、F ，射线EP 、EQ 分别从EC 、EF 同时开始绕点E 顺时针旋转，分别与直线AB 交于点M 、N ，射线EP 每秒转10︒，射线EQ 每秒转5︒，点O 是PMN ∠、MNQ ∠角平分线的交点．设旋转时间为t 秒（08t <<）．(1)①用含t 的代数式表示：AMP ∠=___________︒，QNB ∠=__________︒；②当4t =时，OMN ∠=____________︒；(2)试探索MON ∠与ONM ∠的数量关系，并说明理由；(3)MEF ∠的角平分线与直线MO 交于点K ，直接写出MKE ∠的度数为___________． 【答案】(1)①10t ，(90−5t )；70(2)MON ∠=ONM ∠，理由见解析(3)45°【分析】（1）①由平行线的性质及垂直关系、旋转关系即可求得结果；②由①得∠AMP 的度数，再由互补关系、角平分线的意义即可求得；（2）两者相等，由（1）中①可得∠PMN 及∠QNM ，再由角平分线的性质可得∠OMN 、∠ONM ，由三角形内角和得∠MON ，即可判断∠MON 与∠ONM 的数量关系；（3）由题意可求得∠MEK 与∠KME 的度数，由三角形内角和即可求得∠MKE 的度数．(1)①由题意得：∠CEP =10°t =(10t )°，∠FEQ =5°t ．∵AB ∥CD ，∴∠AMP =∠CEP = (10t )°，∠QNB =∠DEQ ．∵EF ⊥CD ，∴∠DEQ =90°−∠FEQ =90°−5°t =(90−5t )°．∴∠QNB =(90−5t )°．故答案为：10t ，（90-5t ）；②当t =4时，由①得：∠AMP =10°×4=40°，∴∠PMN =180°−∠AMP =140°．∵MO 平分∠PMN ，∴111407022OMN PMN ∠=∠=⨯︒=︒． 故答案为：70；(2)MON ∠=ONM ∠，理由如下：由（1）中①知：∠AMP = (10t )°，∠QNB =(90−5t )°，∴∠PMN =180°−∠AMP =(180−10t )°，∠QNM =180°−∠QNB =(90+5t )°．∵MO 平分∠PMN ， NO 平分∠MNQ ，∴1(905)2OMN PMN t ∠=∠=-︒，11(905)22ONM QNM t ∠=∠=+︒． ∴1180(905)2MON OMN ONM t ∠=︒-∠-∠=+︒． ∴∠MON =∠ONM ．(3)∵EF ⊥CD ，∠CEP = (10t )°，∴∠MEF =90°−∠CEP =(90-10t )°．∵EK 平分∠MEF ，∴11(9010)45(5)22MEK MEF t t ∠=∠=-︒=︒-︒． ∵()(905)1090(5)KME OMN EMF OMN AMP t t t ∠=∠+∠=∠+∠=-︒+︒=︒+︒，∴在△EMK 中，18045MKE KME MEK ∠=︒-∠-∠=︒．故答案为：45°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的意义，垂直的意义，三角形内角和定理，关键是熟练掌握它们并灵活运用．11．已知点C 在线段AE 上，AB CD ∥，EAB ∠的角平分线交CD 于点F ，M 为线段CF 上一动点，连接EM ．(1)如图①，当40FAB ∠=︒，25E ∠=︒时，求EMF ∠的度数．(2)如图②，N 为射线AB 上一动点，连接FN ，使得FN EM ∥，作CFN ∠的角平分线交AB 于点G ，猜想E ∠与AFG ∠的数量关系，并说明理由．(3)如图③，在（2）的条件下，作GH GF ⊥，并延长FN 交GH 于点H ，已知3426E AFG ∠-∠=︒，求EAF GHF ∠+∠的度数． 【答案】(1)105︒(2)2E AFG ∠=∠，理由见解析(3)77︒【分析】（1）先由AF 平分EAB ∠得出80EAB ∠=︒，再根据平行线的性质得出80ECD EAB ∠=∠=︒，进而根据EMF E ECM ∠=∠+∠得出答案．（2）首先设CAF FAG x ∠=∠=，得2ECF x ∠=，再设CFG GFN y ∠=∠=，得2EMF CFN y ∠=∠=，最后根据三角形外角定理用x ，y 的代数式表示出E ∠和AFG ∠即可得出答案．（3）设AFG α∠=，则E ∠为2α，根据题目所给条件得出13AFG ∠=︒，进而由（2）中条件得出答案．（1）∵AF 平分EAB ∠，∴224080EAB FAB ∠=∠=⨯︒=︒，∵AB CD ∥，∴80ECD EAB ∠=∠=︒，∵在ECM ∆中，EMF E ECM ∠=∠+∠，∴8025105EMF ∠=︒+︒=︒．（2）猜想：2E AFG ∠=∠理由：设CAF FAG x ∠=∠=，∴2ECF x ∠=，∵GF 平分CFN ∠，∴设CFG GFN y ∠=∠=，∵AB CD ∥，∴FGN CFG y ∠=∠=，∵EM FN ∥，∴2EMF CFN y ∠=∠=，在ECM ∆中，()222E EMF ECF y x y x ∠=∠-∠=-=-，在AGF ∆中，AFG FGN FAG y x ∠=∠-∠=-，∴2E AFG ∠=∠．（3）设AFG α∠=，则E ∠为2α，∵3426E AFG ∠-∠=︒，∴6426αα-=︒，∴13α=︒，∴13AFG ∠=︒，由（2）得()90909077EAF GHF x y y x AFG ∠+∠=+-=--=-∠=︒．【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质以及三角形外角定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外角定理并能灵活运用．12．已知：AB //CD ，点E 在直线AB 上，点F 在直线CD 上．（1）如图①，EM 平分∠BEF ， FN 平分∠CFE ，试判断EM 与FN 的位置关系，并说明理由；（2）如图②，EG 平分∠MEF ，EH 平分∠AEM ，试判断∠GEH 与∠EFD 的数量关系，并说明理由；【答案】（1）//EM FN ，见解析；（2）2EFD GEH ∠=∠，见解析【分析】（1）由平行线的性质可得∠BEF =∠CFE ，再根据角平分线的定义得到∠MEF =∠EFN ，则EM //FN ；。