典型例题复习

中考历史复习题：中华人民共和国成立---典型例题_学习指导中考历史复习题：中华人民共和国成立---典型例题1、中国民主革命胜利的基本经验中，最重要的一条是A．中国共产党的领导B．开展武装斗争C．走社会主义道路D．建立统一战线答案：A分析：四条经验均为中国民主革命胜利的基本经验，但最重要的是能对其它三条起决定作用的一条。

只有在中国共产党的领导下，再开展武装斗争、建立统一战线、团结一切可以团结的人、走社会主义道路，才能赢得中国民主革命的胜利。

2、请思考：中国人民政治协商会议第一次会议是在什么条件下召开的？这次会议为新中国的成立做了哪些准备？新中国成立有什么历史意义？解题思路：本题是分析、说明题。

此题共三问：第一、二问，通过中国人民政协第一次会议召开的历史条件和会议主要内容的分析，认识新中国成立的必然性和可能性；第三问是要通过对新中国成立这一历史性大事的分析，认识其重大历史意义。

有的学生对新政治协商会议召开的条件，容易出现只答一个条件，而不答中国共产党为召开新政治协商会议所做的努力，为会议的召开创造了有利条件。

错误原因：审题不准，把召开新政治协商会议的条件误认为只是问客观上的条件，而没有全面地考虑还包括召开会议的具体条件，这样，就造成答案不全的错误。

在新政协为新中国成立作了哪些准备一问中，学生会出现漏答知识点的错误。

此问实际就是要求答出中国人民政治协商会议的内容。

这次会议内容实质上是两部分。

一部分是制定了起临时宪法作用的（共同纲领），它规定了中华人民共和国的国家性质、领导阶级及建设新中国的总政策、总原则等。

另一部分内容就是为建立新中国做了全面的准备：成立政府、选出主席、确定国旗和国歌、确定首都和纪年方法等。

如果用这种分类的方法，掌握了重点，在答题过程中就不会出现漏答知识点的错误。

中华人民共和国的建立，标志着新民主主义革命的胜利。

所以，此题要求答出新中国成立的伟大历史意义，也就是中国新民主主义革命胜利的伟大历史意义，其内容基本上是相同的。

数与代数（整理与复习）【典型例题】例1.小华上午8时30分出发去姥姥家，下午2时到达姥姥家，她一共用了多长时间？例2.甲船每时行24千米，乙船第时行16千米，两船同时同地北向出发，2时后，甲船因有事转头追赶乙船，几时才能追上乙船？例3.煤气公司铺设一条煤气管道，第一周铺了全长得30%，第二周铺了全长的40%，两周共铺了2800米，这条煤气管道全长多少米？4，四月份生产了2300个零件，二月份生产了例4.某工厂三月份生产的零件比二月份多15%，比四月份少25多少个零件？例5.商店一、二楼柜台数量的比是6:5，如果从一楼调9个柜台给二楼，这时一二楼柜台数量的比是3:4，商店一共有多少个柜台？例6.正方形操场边长增加它的四分之一后，得到新操场的周长是５００米原操场的边长是？（用方程解）【课堂练习】1.填空：（1）0.4＝（ ）（ ） ＝10（ ） ＝（ ）35＝( )% （2）一个数个位上是最小的合数，十位上是最小的奇数，百位上是最小的偶数，千位上是最小的质数，万位上是最小的1位数，十万位上是最小的自然数，百万位上是5的倍数，这个数是（ ）。

（3）最小的五位数是（ ），减少1是（ ）；最大的三位数加上1是（ ）。

（4）10以内的质数有（ ）；合数有（ ）；既是奇数又是合数的最小两位数是（ ）。

（5）18和36的最大公因数是（ ）；12和42的最小公倍数是（ ）。

（6）能被2、3、5整除的最大两位数是（ ）；比最大的三位数多1的数是（ ）。

（7）13628中的“6”表示（ ）；70.6中的“6”表示（ ）；611中的“6”表示（ ）。

（8）280004320读作（ ），四舍五入改写成用“万”作单位的数是（ ），省略亿位后的尾数得到的近似数是（ ）（9）一个数由3个一，5个百分之一和7个千分之一组成，这个数写作（ ），读作（ ），把这个数精确到十分位是（ ）。

（10）把0.85吨:170克化简成最简整数比是（ ）（11）如果男生人数是女生人数的2/3，那么女生人数占全班人数的（ ）%。

高考数学复习----《极点极线问题》典型例题讲解【典型例题】例1、（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，短轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，若过点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 与BN 相交于点Q ．证明：点Q在定直线上．【解析】（1）因为椭圆的离心率，，，又因为，所以，，所以椭圆C 的方程为． （2）解法一：设直线，，， ，可得， 所以．直线AM 的方程：① 直线BN 的方程：② 由对称性可知：点Q 在垂直于x 轴的直线上， 联立①②可得．因为， ()2222:10x y C a b a b+=>>12()4,0P 1212c a ∴=2a c ∴=2b =b ∴=222233b a c c =−==1c =2a =22143x y +=:4MN x ty =+()11,M x y ()22,N x y 224143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()223424360t y ty +++=12212224343634t y y t y y t −⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩()1122y y x x =++()2222y y x x =−−1221212623ty y y y x y y ++=−121223y y t y y +=−所以所以点Q 在直线上．解法二：设，，，两两不等， 因为P ，M ，N 三点共线，所以， 整理得：．又A ，M ，Q 三点共线，有：① 又B ，N ，Q 三点共线，有②将①与②两式相除得：即， 将即 代入得：解得（舍去）或，（因为直线与椭圆相交故） 所以Q 在定直线上．【点晴】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题.例2、（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线()122112212121362262133y y y y ty y y y x y y y y −+++++===−−1x =()11,M x y ()22,N x y ()33,Q x y 123,,x x x ()()()()22122212122222121212313144444444x x y y y y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⇒=⇒=−−−−−−()12122580x x x x −++=313122y y x x =++323222y y x x =−−()()()()2222121332231231222222222y x y x x x x y x x y x ++⎛⎫++=⇒= ⎪−−−−⎝⎭()()()()()()222121221212312224223124x x x x x x x x ⎛⎫−+ ⎪++⎝⎭==−−⎛⎫−− ⎪⎝⎭()()()()()()2211212331212122224222224x x x x x x x x x x x x x x +++++⎛⎫+== ⎪−−−−++⎝⎭()12122580x x x x −++=()12125402x x x x =+−=233292x x ⎛⎫+= ⎪−⎝⎭34x =31x =BQ 34x ≠1x =A B 22:14y E x −=l（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点. （1）若，求直线的方程；（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.【解析】设直线的方程为，设，，把直线与双曲线 联立方程组，，可得，则， （1），，由，可得， 即①，②， 把①式代入②式，可得，解得，， 即直线的方程为或． （2）直线的方程为，直线的方程为， 直线与的交点为，故，即，进而得到，又， 故，解得 故点在定直线上． 【点晴】方法点晴：直线与圆锥曲线综合问题，通常采用设而不求，结合韦达定理求解.例3、（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆与轴的交点（点A 位于点的上方），为左焦点，原点到直线. ()2,0N E C D 3CN ND =l AC BD P P l 2x my =+()11,C x y ()22,D x y l E 22214x my y x =+⎧⎪⎨−=⎪⎩()224116120m y my −++=1212221612,4141m y y y y m m +=−=−−()112,CN x y =−−()222,ND x y =−3CN ND =123y y =−22841m y m =−22212341y m −=−22281234141m m m ⎛⎫−= ⎪−−⎝⎭2120m =m =l 0y −−=0y +−=AC ()1111y y x x =++BD ()2211yy x x =−−AC BD P ()1111y x x ++()2211yx x =−−()1113y x my ++()2211y x my =−+122121311my y y x x my y y ++=−+()121234m y y y y =−+()()122121212133391433134y y y y y x x y y y y y −++−++===−−−−++12x =P 12x =()2222:10,0x y C a b a b+=>>y ,A B B F O FA（1）求椭圆的离心率；（2）设，直线与椭圆交于不同的两点，求证：直线与直线的交点在定直线上.【解析】（1）设的坐标为，由面积法有，椭圆的离心率. （2）若，由(1) 得椭圆方程为，联立方程组化简得：，由，解得：.由韦达定理得：,, 设，的方程是，的方程是， 联立化简得，即， 所以直线与直线的交点在定直线上.C 2b =4y kx =+C ,M N BM AN G F (),0c −bc =∴C c e a ==2b =a =∴22184x y +=22284x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()222116240k x kx +++=()232230k ∆=−>232k >M x +N x 21621k k −=+Mx N x 22421k =+()()44M M N N M x ,kx ,N x ,kx ++MB 62M M kx y x x +=−NA 22N Nkx y x x +=+()2282223211163421N M N M N N MN k x kx x x x k y k x x x k ⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭===−++1Gy =BM AN G。

高考数学复习----《利用周期性和对称性解决函数问题》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，()22f x +为偶函数，()1f x +为奇函数，且当[]0,1x ∈时，()f x ax b =+．若()41f =，则3112i f i =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑（ ）A ．12B ．0C ．12−D ．1−【答案】C【解析】因为()22f x +为偶函数，所以()()2222f x f x −+=+， 用1122x +代替x 得：()()13f x f x −+=+， 因为()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x −+=−+， 故()()31f x f x +=−+①，用2x +代替x 得：()()53f x f x +=−+②， 由①② 得：()()51f x f x +=+， 所以函数()f x 的周期4T =， 所以()()401f f ==，即1b =，因为()()11f x f x −+=−+，令0x =得：()()11f f =−，故()10f =，()10f a b =+=，解得：1a =−，所以[]0,1x ∈时，()1f x x =−+， 因为()()11f x f x −+=−+， 令12x =，得2123f f ⎛⎫⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 其中1111222f ⎛⎫=−+= ⎪⎝⎭，所以3122f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，因为()()2222f x f x −+=+，令14x =得：12214422f f ⎛⎫⎛⎫−⨯+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即235212f f ⎛⎫⎛⎫==− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为4T =，所以7714222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为()()11f x f x −+=−+， 令32x =得：151222f f ⎛⎫⎛⎫−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故2721f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，311111122235722222i f i f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=−−+=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．故选：C例2、（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x −为偶函数，()()20f x f x −+−=，当[]2,1x ∈−−时，()14xf x ax a =−−（0a >且1a ≠），且()24f −=．则()131k f k ==∑（ ）A ．16B ．20C ．24D ．28【答案】C【解析】因为()2f x −是偶函数，所以()2(2)f x f x −−=−，所以()(4)f x f x =−−， 所以函数()f x 关于直线2x =−对称，又因为()()20f x f x −+−=，所以()()2f x f x −−=−， 所以()(2)f x f x =−−−，所以()f x 关于点(1,0)−中心对称， 由()(4)f x f x =−−及()(2)f x f x =−−−得(4)(2)f x f x −−=−−− 所以(4)(2)()f x f x f x −−=−−−=− 所以函数()f x 的周期为4， 因为当[]2,1x ∈−−时，()14xf x ax a =−−（0a >且1a ≠），且()24f −=，所以21424a a −=+−，解得：2a =或4a =−，因为0a >且1a ≠，所以2a =． 所以当[]2,1x ∈−−时，()1()242xf x x =−−，所以(2)4,(1)0f f −=−=，(3)(1)0f f −=−=，(0)(2)4f f =−−=−， (1)(14)(3)0f f f =−=−=，(2)(2)4f f =−=，(3)(1)0f f =−=， (4)(0)4f f ==−，所以(1)(2)(3)(4)8f f f f +++=，所以()131(1)+3824k f k f ==⨯=∑，故选：C ．例3、（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =−．若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（ ）A ．51,4k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）B ．521,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）C ．52,214k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）D ．5,14k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）【答案】B【解析】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+， 所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x −≤≤时，()21f x x =−，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）有两个公共点； ②当y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）相切时，满足21x a x +=−，即210x x a ++−=，令()1410a ∆=−−=，解得54a =． 当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x R ∈）有两个公共点； 由图像可知， 51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x R ∈）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）． 故选：B ．例4、（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,6【答案】D【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数， 又函数()log 1a g x x =+的图像可由函数log a y x =的图像向左平移一个单位可得，所以函数()log 1a g x x =+的图像的对称轴为=1x −，当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，所以函数()f x 的图像也关于=1x −对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在=1x −右侧的图像，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点， 则由函数图像的对称性可得两图像在=1x −右侧有5个交点， 则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈． 故选：D ．例5、（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x ∀∈R ，恒有(4)()f x f x +=−，且当[2,0)x ∈−时，()f x x =−−1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++=（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f x f x f x f x f x +=−+=−+=，所以()f x 的最小正周期是8， 因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0f f f f f ==−−=−=−−=，(4)(0)0,(1)(3)f f f f =−==−−=(3)0f =，(5)(1)0f f =−=，(6)(2)1f f =−=， (7)(3)0,(8)(4)0f f f f =−==−=，又()f x 是周期为8的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++++++==(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0f f f f f f f f +++++++=，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f f +++++=+++++00(1)0001=++−+++=−，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1f f f f f +++++=−．故选：B例6、（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =−．若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（ ）A ．51,4k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）B ．521,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）C ．52,214k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）D ．5,14k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）【答案】B【解析】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+， 所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x −≤≤时，()21f x x =−，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）有两个公共点；②当y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）相切时，满足21x a x +=−，即210x x a ++−=，令()1410a ∆=−−=，解得54a =． 当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x R ∈）有两个公共点； 由图像可知， 51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x R ∈）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）． 故选：B ．例7、（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,6【答案】D【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数， 又函数()log 1a g x x =+的图像可由函数log a y x =的图像向左平移一个单位可得， 所以函数()log 1a g x x =+的图像的对称轴为=1x −，当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，所以函数()f x 的图像也关于=1x −对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在=1x −右侧的图像，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点， 则由函数图像的对称性可得两图像在=1x −右侧有5个交点， 则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈． 故选：D ．例8、（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x ∀∈R ，恒有(4)()f x f x +=−，且当[2,0)x ∈−时，()f x x =−−1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++=（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f x f x f x f x f x +=−+=−+=，所以()f x 的最小正周期是8， 因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0f f f f f ==−−=−=−−=，(4)(0)0,(1)(3)f f f f =−==−−=(3)0f =，(5)(1)0f f =−=，(6)(2)1f f =−=， (7)(3)0,(8)(4)0f f f f =−==−=，又()f x 是周期为8的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++++++==(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0f f f f f f f f +++++++=，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f f +++++=+++++00(1)0001=++−+++=−，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1f f f f f +++++=−．故选：B。

典型例题在复习课教学中的作用复习课是针对性相当强的课，是提高数学教学质量的一个重要环节。

既要针对学生的实际和教材的重点，复习基础知识，又要培养和提高学生解决问题的基本技能和技巧，发展学生的逻辑思维和创新能力。

复习课，不是把所学知识机械的重复，而是将知识加以归纳总结使之系统化，通过复习促进知识的前后联系，及时解决学生的疑难问题，提高学生的解题技巧和能力，使学生在原有的基础上得到更大的提高。

配备典型例题是提高解题能力的最佳方法，下面就典型例题的教学功能谈谈自己的一点看法。

一、典型例题的选配要做到以下七点1.要重视基础性试题的选择仔细分析各省市的中考试题，不难发现，基础题的比例占70℅。

因此各复习的选题一定要符合学生实际，狠抓基础知识的复习和基本技能的训练，抓住重点，突破难点。

例1（河北廊坊）在平面直角坐标系中，点（-1，m2+1）一定在（）A.第一象限B . 第二象限C.第三象限D.第四象限例2（江西）过点A（2，-3）且垂直于y轴的直线交y轴于点B，那么B 的坐标为（）A . （0，-2）B. （2，0）C.（0，-3）D.（-3，0）选题说明：这两个例题主要考查学生是否掌握点的坐标的概念。

记住坐标平面内的点的坐标特征是解这类问题的关键。

2.要重视针对性试题的选择围绕某些典型问题对学生进行专题复习是要以每一专题的教学目标为核心，所选的例题具有代表性、联系性、深刻性和综合性。

例3 (1）（上海）如果一次函数y=kx+b的图像经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么（）A .k＞0,b＞0 B.k ＞0,b＜0C.k＜0,b＞0D.k＜0,b＜0（2）(福建福州）已知一次函数y=(a-1)x+b的图像经过第一、二、三象限，那么a的取值范围为（）A .a＜1B.a＞1C.a＞0D.a＜0(3）（山东）函数y=ax+b ①和y=bx+a②（ab≠0）在同一坐标系中的图像可能是（）（4）（湖北武汉）如图所示，已知函数y=3x+b和y=ax-3的图像交于点P(-2,-5)，则根据图像可得不等式3x+b＞ax-3的解集是___________。

2023年高考数学复习---排列组合构造法模型和递推模型、环排问题典型例题讲解构造法模型和递推模型【典型例题】例1、贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球，每次传球，传球者将球随机将传给另外两位同学之一，足球最开始在文同学脚下，则：①n 次传球之后，共有___________种可能的传球方法；②n 次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法有___________种．【答案】2n 122(1)33n n ⨯+⨯− 【解析】每次传球有两种方法，所以n 次传球之后，共有2n 种可能的传球方法； 设n 次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法为n a 种．则2122(2)n n n a a n −+=≥，即 1111111111()(2)()()(2)2322323232n n n n n n n a a a a n n −−−−=−−≥∴−=−−≥ 因为1220(1).33n n n a a =∴=+− 例2、一只蚂蚁从一个正四面体ABCD 的顶点A 出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点，则蚂蚁爬行五次还在点A 的爬行方法种数是__________．【答案】60【解析】解法一：第一次爬行可以到B C D 、、的任何一点，第二次爬行分到A 与不到A ，对于第二次不到A 的第三次爬行再分到A 与不到A ．爬行方法总数为313[22⨯⨯⨯+⨯1326]20⨯+⨯=（）（种）．解法二：设从点A 出发爬行n 次仍在点A 的爬行方法种数为(2)n a n ≥，则23a =，113(3)n n n a a n −−−=≥，11113(3)(1)(1)(1)n n n n n n n a a −−−−−==−−−−−，11[](1)(1)(1)n n n n n n a a a −−=−−−−1212[](1)(1)n n n n a a −−−−+−+−−322322[](1)(1)(1)a a a +−+−−−12(3)(3)n n −−=−−−−−−123[(3)1](3)331n −−−−−+=−−−13[(3)1]4n −=−−−， 553(1)4a ∴=−−4[(3)1]60−−=−，560a =．（亦可由递推式从第二项递推出第五项的值） 故答案为：60．环排问题【典型例题】例1、21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为A ．19B ．38C ．51D ．57【答案】D 【解析】根据题意 21人报数21人次，其中有7人次报数为3，则此7人出列，剩下13人；13人报数15人次，其中有5人报数为3，则此5人出列，剩下8人；8人报数9人次，其中有3人报数为3，则此3人出列，剩下5人；5人报数6人次，其中有2人报数为3，则此2人出列，剩下3人；3人报数3人次，其中有1人次报数为3，则此1人出列，剩下2人；2人报数3人次，其中1人次报数为3，则此人出列，剩下1人．在这个过程中一共报数： 21+15+9+6+3+3=57人次．应选答案D ．例2、现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（ ）．A ．6种B ．8种C ．12种D ．16种【答案】B 【解析】先安排甲，其选座方法有14C 种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有22A 种，所以共有坐法种数为1242C A 428⋅=⨯=种．。

高考数学复习----《数形结合》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2x f x x =+，2()log g x x x =+，()2sin h x x x =+的零点分别为a ，b ，c 则a ，b ，c 的大小顺序为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】D【解析】由()2sin 0h x x x =+=得0x =，0c ∴=，由()0f x =得2x x =−，由()0g x =得2log x x =−.在同一平面直角坐标系中画出2x y =、2log y x =、y x =−的图像， 由图像知a<0，0b >，a c b ∴<<.故选：D例2、（2023·江苏·高三专题练习）已知正实数a ，b ，c 满足2e e e e c a a c −−+=+，28log 3log 6b =+，2log 2c c +=，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】22e e e e e e e e c a a c c c a a −−−−⇒+=+−=−，故令()e e x x f x −=−，则()e e c c f c −=−，()e e a a f a −=−．易知1e ex x y −=−=−和e x y =均为()0,+∞上的增函数，故()f x 在()0,+∞为增函数． ∵2e e a a −−<，故由题可知，2e e e e e e c c a a a a −−−−=−>−，即()()f c f a >，则0c a >>．易知222log 3log log 2b =+>，2log 2c c =−，作出函数2log y x =与函数2y x =−的图像，如图所示，则两图像交点横坐标在()1,2内，即12c <<，c b ∴<，a cb ∴<<．故选：B ．例3、（2023·全国·高三专题练习）已知e ππe e ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】A【解析】令()()ln ,0x f x x x =>，则()()21ln ,0x f x x x −'=>， 由()0f x ¢>，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0x f x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减； 因为πe >，所以()()πe f f <，即ln πln e πe<， 所以eln ππln e <，所以e πln πln e <，又ln y x =递增，所以e ππe <，即b a <；ee ππ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 在同一坐标系中作出xy =与y x =的图像，如图：由图像可知在()2,4中恒有x x >， 又2π4<<，所以ππ>， 又e y x =在()0,∞+上单调递增，且ππ>所以e πe πe π=⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<，故选：A例3、（2022春·四川内江·高三校考阶段练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“yyds ”、“内卷”、“躺平”等．定义方程()()f x f x '=的实数根x 叫做函数()f x 的“躺平点”．若函数()lng x x =，()31h x x =−的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为（ ）A ．αβ≥B ．αβ>C ．αβ≤D ．αβ<【答案】D【解析】∵()ln g x x =，则()1g x x'=， 由题意可得：1ln a α=， 令()1ln G x x x=−，则α为()G x 的零点， 可知()G x 在定义域()0,∞+内单调递增，且()()1110,e 10eG G =-<=->， ∴()1,e α∈；又∵()31h x x =−，则()23h x x '=， 由题意可得：3213ββ−=，令()3231H x x x =−−，则β为()H x 的零点，()()23632H x x x x x '=−=−，令()0H x '>，则0x <或2x >，∴()H x 在(),0∞−，()2,+∞内单调递增，在()0,2内单调递减，当(),2x ∈−∞时，()()010H x H ≤=−<，则()H x 在(),2−∞内无零点， 当[)2,x ∞∈+时，()()310,4150H H =−<=>，则()3,4β∈， 综上所述：()3,4β∈；故αβ<.故选：D.。

高考数学复习----《函数的奇偶性的综合应用》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 在(],3−∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（ ）A ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()5,1,3⎛⎫−∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(),1−∞D ．()1,+∞【答案】B【解析】∵()3f x +为偶函数， ∴()()33f x f x −+=+，即函数()f x 关于3x =对称，又函数()f x 在(],3−∞上单调递增，∴函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，由()()12f x f x +>，可得1323x x +−<−，整理得，23850x x −+>，解得1x <或53x >． 故选：B ．例2、（2023·全国·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，不等式()()24f x f x ≥的解集为（ ）A ．(][),04,−∞+∞UB ．[]0,4C ．(][),02,−∞⋃+∞D ．[]0,2【答案】C 【解析】根据题意，当0x ≥时，()2f x x =，所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上为增函数，因为20x ≥，所以24()f x x =，24124x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以221()42x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以不等式()()24f x f x ≥可化为2()2x f f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以22x x ≥，解得0x ≤或2x ≥， 所以不等式()()24f x f x ≥的解集为(][),02,−∞⋃+∞，故选：C例3、（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数()f x 的定义域为R ，且当0x ≥时，()11x f x x −=+，则使不等式()2122f a a −<成立的实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3−B ．()3,3−C ．()1,1−D ．(),3−∞【答案】A 【解析】当0x ≥时，()()12121111x x f x x x x +−−===−+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增， 且()132f =，不等式()2122f a a −<即为()()223f a a f −<． 又因为()f x 是偶函数，所以不等式()()223f a a f −<等价于()()223f a a f −<， 则223a a −<，所以，222323a a a a ⎧−<⎨−>−⎩，解得13a −<<． 综上可知，实数a 的取值范围为()1,3−，故选：A ．例4、（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]−∞上单调递增，且(2)2f −=−，则不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫−> ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．10,100⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0,100)D ．(100,)+∞【答案】D【解析】因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x −=−，又(2)2f −=−，(2)2f =， 所以不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫−> ⎪⎝⎭，可化为()2(lg )422f x f >=， 即()(lg )2f x f >，又因为()f x 在(,0]−∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，所以lg 2x >，解得100x >．故选：D ．例5、（2023春·广西·高三期末）()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则()()20232022f f +−=（ ）A ．－1B ．12−C ．12D ．1【答案】A 【解析】()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则 1111111222222f x f x f x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−++=−++⇒−+++=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ∴()()40451404512023202212222f f f f ⎛⎫⎛⎫+−=++−+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：A 例6、（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）若函数f （x ）=e e sin x x x x −−+−，则满足()()22ln 102x f a x f ⎛⎫−++≥ ⎪⎝⎭恒成立的实数a 的取值范围为（ ）A ．12ln 2,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭B ．1(ln 2,)4−+∞C ．[7,)4+∞D ．[3,)2+∞ 【答案】A 【解析】因为()e e sin ()x x f x x x f x −−−=−+=−，所以()f x 是R 上的奇函数，由()e +e cos 1x x f x x −'=+−cos 11cos 0x x ≥−=+≥ ，所以()f x 是R 上的增函数， 所以2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫−++≥ ⎪⎝⎭等价于： 22(2ln(1))22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫−+≥−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22ln(1)2x a x −+≥−， 所以22ln(1)2x a x ≥−++， 令2()2ln(1)2x g x x =−++， 则问题转化为：max ()a g x ≥，因为()()g x g x −=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2x x −++是R 上的偶函数， 所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可．当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =−++， ()()22122()111x x x x g x x x x x +−−−+'=−+==−+++， 则当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<； 所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==−， 即12ln 22a ≥−， 故选：A ． 本课结束。

_描摹意境画面01 典型例题戏题盘石【唐】王维可怜盘石临泉水，复有垂杨拂酒杯。

若道春风不解意，何因吹送落花来。

知识讲解 -典型例题展开想象，描绘诗歌前两句所展现的画面。

______________________________________________________________________________________________________________________________________答：在清澈的泉水旁边，一块如席子般大小的巨石矗立，春风习习，垂杨飞舞在岸边，不时拂过高高举起的酒杯。

丞集》《画学秘诀》，存诗约400首。

北宋苏轼评云：“味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗。

”味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗 - 王维王维（701年—761年），字摩诘，号摩诘居士。

河东蒲州（今山西永济）人，祖籍山西祁县。

唐朝诗人、画家。

王维出身河东王氏，于唐玄宗开元九年（721年）中进士第，为太乐丞。

历官右拾遗、监察御史、河西节度使判官。

天宝年间，拜吏部郎中、给事中。

安禄山攻陷长安时，被迫受伪职。

长安收复后，被责授太子中允。

唐肃宗乾元年间任尚书右丞，世称“王右丞”。

王维参禅悟理，精通诗书音画，以诗名盛于开元、天宝间，尤长五言，多咏山水田园，与孟浩然合称“王孟”，因笃诚奉佛，有“诗佛”之称。

书画特臻其妙，后人推其为南宗山水画之祖。

著有《王右知识讲解 -王维知识讲解 - 典型例题【解题思路】解答本题，要在理解诗歌内容的基础上，紧扣诗句所描写的景物的特点，用生动流畅的语言描绘画面，注意不能偏离诗歌的意境、主题和诗人的情感。

【实战演示】首先要找出诗歌前两句中描写的景物，如盘石、泉水、垂杨、酒杯等；然后抓住这些景物的特点，结合诗歌内容，发挥想象，用生动的语言把画面描绘出来。

02 考点解读这种题型主要考查对诗歌内容的理解和对诗歌画面的描绘。

解答此类题，要在读懂诗歌、理解内容的基础上，发挥联想和想象，抓住诗歌中描写的主要形象，用生动、流畅的语言加以描绘，注意不能偏离诗歌的意境、主题和作者的情感。

2023年高考数学复习----渐近线平行线与面积问题典型例题讲解【典型例题】例1、（2022春·江苏南京·高二南京市第二十九中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过双曲线C 上任意一点P 分别作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为,,A B 8||||9PA PB ⋅=，12F F 等于3212x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的常数项，则双曲线C 的离心率为A ．3B ．3C D ．【答案】B【解析】由已知可得，3212x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的常数项为2223126C x x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，设双曲线半焦距为c ，26,3c c ∴==.设()00,P x y ，得2200221x y a b−=，22222200b x a y a b ∴−=.P 到两条渐近线0bx ay ±=的距离分别为||PA =，||PB =，∴2222220028||||99b x a y a b PA PBc −⋅====.228a b ∴=①.又2229a b c +==②，由①②可得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩3ce a ∴==故选：B例2、（2022春·贵州六盘水·高三校考期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>，过双曲线的右焦点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为M 、N ，若四边形FMON 为正方形，则双曲线C 的离心率为__________.【解析】如下图所示：易知x 轴为MON ∠的角平分线，由于四边形FMON 为正方形，2MON π∴∠=，则4FOM π∠=，tan 14b a π∴==， 因此，双曲线C的离心率为c e a ====例3、（2022秋·湖北·高三统考阶段练习）已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b−=>>的左顶点为A ，过A 作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，且4||||5MN OA =（O 为坐标原点），则此双曲线的离心率是___.【解析】由题意，(),0A a −，双曲线2222:1(0)x y C a b a b−=>>的渐近线方程为：b y x a =±，不妨令AM 与直线b y x a =垂直，AN 与直线by x a=−垂直，则AM a k b =−，AN ak b=，所以直线AM 的方程为：()ay x a b =-+；直线AN 的方程为：()a y x a b=+； 由()a y x a b b y x a ⎧=−+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：3222a x c ba y c ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩（其中222c a b =+），则3222,a ba M c c ⎛⎫−− ⎪⎝⎭；由()a y x a b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩解得：3222a x cba y c ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3222,a ba N c c ⎛⎫− ⎪⎝⎭， 所以222ba MN c=，又4||||5MN OA =，所以22245ba a c =，即225c ab =，即222520a ab b −+=，解得：2a b =或2ba =（不满足ab >），所以此双曲线的离心率是c e a ==.. 例4、（2022·河南郑州·郑州一中校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且1PF x ⊥轴，过点P 作双曲线C 的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于A ，B 两点，若四边形PAOB的面积为2，则12PF F ∆的面积为______.【答案】【解析】由已知得c a =a b =，且21b PF b a==， 所以双曲线C 的两条渐近线是y x =±，所以四边形PAOB 是矩形，且)),22b c c b AO BO +−== 所以四边形PAOB的面积))222b c c b S +−=⨯=， 所以2224c b a −==，所以2,a b c === 所以12PF F ∆的面积为122c b bc ⨯⨯==故得解.例5、（2022春·全国·高二期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>上一点P 坐标为)(0),m m F >为双曲线C 的右焦点，且PF 垂直于x 轴.过点P 分别作双曲线C 的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于1，则该双曲线的离心率是________.【解析】由题意知，2225a b c +==， 双曲线C 的渐近线方程为by x a=±，设过点P 且与渐近线b y x a =平行的直线与渐近线by x a=−相交于点A ，如图所示，∴直线AP的方程为(by m x a−=，将其与b y x a=−联立，解得xyA，||cOA ab∴=，点P )m 到直线by x a=−的距离为||m d =所围图形面积等于1，||1OA d ∴⋅=1c ab ，化简得222|5|2b a m ab −=，点P )m 在双曲线上，∴22251m a b−=，即222225b a m a b −=，2ab ∴=，又225a b +=，1a ∴=，2b =或2a =，1b =，∴离心率ce a==．． 例6、（2022·浙江·校联考模拟预测）过双曲线2221(0)x y a a −=>上一点M 作直线l ，与双曲线的两条渐近线分别交于,P Q ，且M 为线段PQ 的中点，若POQ △（O 为坐标原点）的面积为2，则双曲线的离心率为______.【解析】由题意知，双曲线2221(0)x y a a−=>的两条渐近线方程为1y x a =±，设112211,,,P x x Q x x a a ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()12121,22x x M x x a +⎛⎫−⎪⎝⎭， 根据点M 在双曲线2221x y a −=上，得()()22121222144x x x x a a +−−=，得212x x a =，由双曲线的两条渐近线方程得1tan2POQ a∠=222sincos 22sin =2sin cos 22sin cos 22POQ POQ POQ POQ POQ POQ POQ ∠∠∠∠∠=∠∠+ 22212tan2tan 211POQPOQ a a∠==∠++ ，所以21222211121POQ a aS POQ x x a a a∆+=∠=⨯⨯⨯=+，而2POQS=，所以2a =，又1b =，所以c =e =例7、（2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）过双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>上的任意一点P ，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点,M N ，若214OM ON b ⋅≥，则双曲线离心率的取值范围是___________.【答案】 【解析】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的渐近线方程为：0bx ay ±=，即b y x a =±，设点00(,)P x y ，可得：00()by y x x a−=±−， 联立方程组00()b y y x x ab y x a ⎧−=−−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：0000(,)22bx ay bx ay M b a ++， 同理可得：0000(,)22bx ay bx ay N b a−−−， 所以2222222200002244b x a y b x a y OM ON b a −−=−，因为2200221x y a b −=，所以22222200b x a y a b −=，所以224a b OM ON −=，由题意可得：22244a b b −≥， 所以2212b a ≤，故离心率c e a ==，又因为双曲线的离心率1e >，所以双曲线离心率的取值范围为， 故答案为：.。