高三数学随机事件的概率5

人教版高中数学必修系列：11.1随机事件的概率(备课资料)一、参考例题［例1］先后抛掷3枚均匀的一分，二分，五分硬币. (1)一共可能出现多少种不同的结果？(2)出现“2枚正面，1枚反面”的结果有多少种？ (3)出现“2枚正面，1枚反面”的概率是多少？分析：(1)由于对先后抛掷每枚硬币而言，都有出现正面和反面的两种情况，所以共可能出现的结果有2×2×2=8种.(2)出现“2枚正面，1枚反面”的情况可从(1)中8种情况列出.(3)因为每枚硬币是均匀的，所以(1)中的每种结果的出现都是等可能性的. 解：(1)∵抛掷一分硬币时，有出现正面和反面2种情况, 抛掷二分硬币时，有出现正面和反面2种情况, 抛掷五分硬币时，有出现正面和反面2种情况, ∴共可能出现的结果有2×2×2=8种.故一分、二分、五分的顺序可能出现的结果为： (正，正，正)，(正，正，反)， (正，反，正)，(正，反，反)， (反，正，正)，(反，正，反)， (反，反，正)，(反，反，反).(2)出现“2枚正面，1枚反面”的结果有3个，即(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正).(3)∵每种结果出现的可能性都相等，∴事件A “2枚正面，1枚反面”的概率为P (A )=83. ［例2］甲、乙、丙、丁四人中选3名代表，写出所有的基本事件，并求甲被选上的概率.分析：这里从甲、乙、丙、丁中选3名代表就是从4个不同元素中选3个元素的一个组合，也就是一个基本事件.解：所有的基本事件是：甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁，乙丙丁选为代表. ∵每种选为代表的结果都是等可能性的，甲被选上的事件个数m =3,∴甲被选上的概率为43. ［例3］袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球. (1)共有多少种不同结果？(2)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？ (3)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？ (4)计算第(2)、(3)小题表示的事件的概率.分析：(1)设从4个白球，5个黑球中，任取3个的所有结果组成的集合为I ，所求结果种数n 就是I 中元素的个数.(2)设事件A ：取出的3球,2个是白球，1个是黑球，所以事件A 中的结果组成的集合是I 的子集.(3)设事件B ：取出的3球至少有2个白球，所以B 的结果有两类：一类是2个白球，1个黑球；另一类是3个球全白.(4)由于球的大小相同，故任意3个球被取到的可能性都相等.故由P (A )=)(card )(card I A ,P (B )=)(card )(card I B ，可求事件A 、B 发生的概率.解：(1)设从4个白球，5个黑球中任取3个的所有结果组成的集合为I , ∴card(I )=39C =84.∴共有84个不同结果. (2)设事件A ：“取出3球中有2个白球，1个黑球”的所有结果组成的集合为A ,∴card(A )=24C ·15C =30.∴共有30种不同的结果. (3)设事件B ：“取出3球中至少有2个白球”的所有结果组成的集合为B , ∴card(B )=34C +24C ·15C =34.∴共有34种不同的结果.(4)∵从4个白球，5个黑球中，任取3个球的所有结果的出现可能性都相同, ∴事件A 发生的概率为1458430=,事件B 发生的概率为42178434=. 二、参考练习1.选择题(1)如果一次试验中所有可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率A.都是1B.都是C.都是D.不一定 答案：B(2)抛掷一个均匀的正方体玩具(它的每一面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，它落地时向上的数都是3的概率是A.31 B.1 C.21D.61 答案：D(3)把十张卡片分别写上0，1，2，3，4，5，6，7，8，9后，任意搅乱放入一纸箱内，从中任取一张，则所抽取的卡片上数字不小于3的概率是A.101B.103 C.105D.107答案：D(4)从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，其中甲被选中的概率为A.31 B.21 C.53D.32答案：D(5)甲袋内装有大小相等的8个红球和4个白球，乙袋内装有大小相等的9个红球和3个白球，从2个袋内各摸出一个球，那么125等于 A.2个球都是白球的概率B.2个球中恰好有一个是白球的概率C.2个球都不是白球的概率D.2个球都是白球的概率 答案：B(6)某小组有成员3人，每人在一个星期(7天)中参加一天劳动，如果劳动日可任意安排，则3人在不同的3天参加劳动的概率为A.73 B.353 C.4930D.701答案：C 2.填空题(1)随机事件A 的概率P (A )应满足________. 答案：0≤P (A )≤1(2)一个口袋内装有大小相同标号不同的2个白球，2个黑球，从中任取一个球，共有________种等可能的结果.答案：4(3)在50瓶饮料中，有3瓶已经过期，从中任取一瓶，取得已过期的饮料的概率是________.答案：503 (4)一年以365天计，甲、乙、丙三人中恰有两人在同天过生日的概率是________.解析：P (A )=22233651092365364C =⨯. 答案：23651092 (5)有6间客房准备安排3名旅游者居住，每人可以住进任一房间，且住进各房间的可能性相等，则事件A ：“指定的3个房间各住1人”的概率P (A )=________；事件B ：“6间房中恰有3间各住1人”的概率P (B )=________；事件C ：“6间房中指定的一间住2人”的概率P (C )=________.解析：P (A )=3616A 333=；P (B )=956A C 33336=⋅； P (C )=72565C 323=⋅. 答案：36195 725 3.有50张卡片(从1号到50号)，从中任取一张，计算： (1)所取卡片的号数是偶数的情况有多少种？ (2)所取卡片的号数是偶数的概率是多少？ 解：(1)所取卡片的号数是偶数的情况有25种. (2)所取卡片的号数是偶数的概率为P =5025=21. ●备课资料 一、参考例题［例1］一栋楼房有六个单元，李明和王强住在此楼内，试求他们住在此楼的同一单元的概率.分析：因为李明住在此楼的情况有6种，王强住在此楼的情况有6种，所以他们住在此楼的住法结果有6×6=36个，且每种结果的出现的可能性相等.而事件A ：“李明和王强住在同一单元”含有6个结果.解：∵李明住在这栋楼的情况有6种，王强住在这栋楼的情况有6种, ∴他们同住在这栋楼的情况共有6×6=36种. 由于每种情况的出现的可能性都相等, 设事件A ：“李明和王强住在此楼的同一单元内”，而事件A 所含的结果有6种,∴P (A )=61366=. ∴李明和王强住在此楼的同一单元的概率为61. 评述：也可用“捆绑法”，将李明和王强视为1人，则住在此楼的情况有6种.［例2］在一次口试中，要从10道题中随机选出3道题进行回答，答对了其中2道题就获得及格.某考生会回答10道题中的8道，那么这名考生获得及格的概率是多少？分析：因为从10道题中随机选出3道题，共有310C 种可能的结果，而每种结果出现的可能性都相等，故本题属于求等可能性事件的概率问题.解：∵从10题中随机选出3题，共有等可能性的结果310C 个.设事件A ：“这名考生获得及格”，则事件A 含的结果有两类，一类是选出的3道正是他能回答的3题，共有38C 种选法;另一类是选出的3题中有2题会答，一题不会回答，共有28C ·12C 种选法，所以事件A 包含的结果有38C +28C ·12C 个. ∴P (A )=1514C C C C 310122838=+.∴这名考生获得及格的概率为1514. ［例3］7名同学站成一排，计算： (1)甲不站正中间的概率；(2)甲、乙两人正好相邻的概率； (3)甲、乙两人不相邻的概率.分析：因为7人站成一排，共有77A 种不同的站法，这些结果出现的可能性都相等. 解：∵7人站成一排，共有77A 种等可能性的结果, 设事件A ：“甲不站在正中间”； 事件B ：“甲、乙两人正好相邻”； 事件C ：“甲、乙两人正好不相邻”； 事件A 包含的结果有666A 个； 事件B 包含的结果有66A 22A 个;事件C 包含的结果有55A ·26A 个.(1)甲不站在正中间的概率P (A )=76A 6A 7766=.(2)甲、乙两人相邻的概率P (B )=72A A A 772666=. (3)甲、乙两人不相邻的概率P (C )=75A A A 772655=. ［例4］从1，2，3，…，9这九个数字中不重复地随机取3个组成三位数，求此数大于456的概率.分析：因为从1，2，3，…，9这九个数字中组成无重复数字的三位数共有39A =504个，且每个结果的出现的可能性都相等，故本题属求等可能性事件的概率问题.由于比456大的三位数有三类：(1)百位数大于4，有15A ·28A =280个;(2)百位数为4，十位数大于5，有14A ·17A =28个;(3)百位数为4，十位数为5，个位数大于6有2个,因此，事件“无重复数字且比456大的三位数”包含的结果有280+28+3=311个.解：∵由数字1，2，3，…，9九个数字组成无重复数字的三位数共有39A =504个，而每种结果的出现的可能性都相等.其中，事件A ：“比456大的三位数”包含的结果有311个,∴事件A 的概率P (A )=504311.∴所求的概率为504311. ［例5］某班有学生36人，现从中选出2人去完成一项任务，设每人当选的可能性都相等，若选出的2人性别相同的概率是21，求该班男生、女生的人数. 分析：由于每人当选的可能性都相等，且从全班36人中选出2人去完成一项任务的选法有236C 种，故这些当选的所有结果出现的可能性都相等.解：设该班男生有n 人，则女生(36-n )人.(n ∈N *,n ≤36)∵从全班的36人中，选出2人，共有236C 种不同的结果，每个结果出现的可能性都相等.其中，事件A ：“选出的2人性别相同”含有的结果有(2C n +236C n -)个,∴P (A )=21C C C 2362362=+-nn . ∴n 2-36n +315=0.∴n =15或n =21.∴该班有男生15人，女生21人，或男生21人，女生15人.评述：深刻理解等可能性事件概率的定义，能够正确运用排列、组合的知识对等可能性事件进行分析、计算.二、参考练习 1.选择题(1)十个人站成一排，其中甲、乙、丙三人彼此不相邻的概率为A.151 B.457 C.158D.157答案：D(2)将一枚均匀硬币先后抛两次，恰好出现一次正面的概率是A.21 B.41 C.43D.31答案：A(3)从数字0，1，2，3，4，5这六个数字中任取三个组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是奇数的概率等于A.253 B.2512 C.2516D.2524答案：B(4)盒中有100个铁钉，其中有90个是合格的，10个是不合格的，从中任意抽取10个，其中没有一个不合格铁钉的概率为A.0.9B.91 C.0.1D.1010010090C C 答案：D(5)将一枚硬币先后抛两次，至少出现一次正面的概率是A.21 B.41 C.43D.1答案：C 2.填空题(1)从甲地到乙地有A 1，A 2，A 3，A 4共4条路线，从乙地到丙地有B 1，B 2，B 3共3条路线，其中A 1B 1是甲地到丙地的最短路线，某人任选了一条从甲地到丙地的路线，它正好是最短路线的概率为________.答案：121 (2)袋内装有大小相同的4个白球和3个黑球，从中任意摸出3个球，其中只有一个白球的概率为________.答案：3512 (3)有数学、物理、化学、语文、外语五本课本，从中任取一本，取到的课本是理科课本的概率为________.答案：53 (4)从1，2，3，…，10这10个数中任意取出4个数作为一组，那么这一组数的和为奇数的概率是________.答案：2110 (5)一对酷爱运动的年轻夫妇,让刚好十个月大的婴儿把“0,0,2,8,北,京”六张卡片排成一行,若婴儿能使得排成的顺序为“2008北京”或“北京2008”,则受到父母的夸奖,那么婴儿受到夸奖的概率为________.解:由题意，知婴儿受到夸奖的概率为P =1801A A 22266=. (6)在2004年8月18日雅典奥运会上,两名中国运动员和4名外国运动员进入双多向飞蝶射击决赛.若每名运动员夺得奖牌(金、银、铜牌)的概率相等,则中国队在此项比赛中夺得奖牌的概率为________.解:由题意可知中国队在此项比赛中不获得奖牌的概率为P 1=51)A A (C C 66343634=或.则中国队获得奖牌的概率为P =1-P 1=1-5451=. 3.解答题(1)在10枝铅笔中，有8枝正品和2枝次品，从中任取2枝，求： ①恰好都取到正品的概率；②取到1枝正品1枝次品的概率； ③取到2枝都是次品的概率.解：①4528C C 21028=.②4516C C C 2101218=⋅. ③451C C 21022=. (2)某球队有10人，分别穿着从1号到10号的球衣，从中任选3人记录球衣的号码，求：①最小的号码为5的概率； ②最大的号码为5的概率.解：①121C C 31025=.②201C C 31024=. (3)一车间某工段有男工9人，女工5人，现要从中选3个职工代表，求3个代表中至少有一名女工的概率.解：1310C C C C C C 3143519252915=+⋅+⋅. (4)从-3，-2，-1，0，5，6，7这七个数中任取两数相乘而得到积，求：①积为零的概率； ②积为负数的概率； ③积为正数的概率.解：①72C C 2716=； ②73C C C 271313=； ③72C C C 272323=+.(5)甲袋内有m 个白球，n 个黑球；乙袋内有n 个白球，m 个黑球，从两个袋子内各取一球.求：①取出的两个球都是黑球的概率； ②取出的两个球黑白各一个的概率； ③取出的两个球至少一个黑球的概率.解：①2)(m n mn +⋅; ②222)(n m n m ++; ③222)(n m n m n m +⋅++. ●备课资料 一、参考例题［例1］一个均匀的正方体玩具，各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6.求： (1)将这个玩具先后抛掷2次，朝上的一面数之和是6的概率. (2)将这个玩具先后抛掷2次，朝上的一面数之和小于5的概率.分析：以(x 1,x 2)表示先后抛掷两次玩具朝上的面的数，x 1是第一次朝上的面的数，x 2是第二次朝上的面的数，由于x 1取值有6种情况，x 2取值也有6种情况，因此先后两次抛掷玩具所得的朝上面数共有6×6=36种结果，且每一结果的出现都是等可能性的.解：设(x 1,x 2)表示先后两次抛掷玩具后所得的朝上的面的数，其中x 1是第一次抛掷玩具所得的朝上的面的数，x 2是第二次抛掷玩具所得的朝上的面的数.∵先后两次抛掷这个玩具所得的朝上的面的数共有6×6=36种结果，且每一结果的出现的可能性都相等.(1)设事件A 为“2次朝上的面的数之和为6”， ∵事件A 含有如下结果：(1，5)(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)共5个，∴P (A )=365. (2)设事件B 为“2次朝上的面上的数之和小于5”， ∵事件B 含有如下结果：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6个， ∴P (B )=61366=. ［例2］袋中有硬币10枚，其中2枚是伍分的，3枚是贰分的，5枚是壹分的.现从中任取5枚，求钱数不超过壹角的概率.分析：由于从10枚硬币中，任取5枚所得的钱数结果出现的可能性都相等. 记事件A ：“取出的5枚对应的钱数不超过壹角”， ∴事件A 含有结果有：①1枚伍分，1枚贰分，3枚壹分共12C ·13C ·35C 种取法. ②1枚伍分，4枚壹分，共12C ·45C 种取法.③3枚贰分，2枚壹分，共33C ·25C 种取法. ④2枚贰分，3枚壹分，共23C ·35C 种取法. ⑤1枚贰分，4枚壹分，共13C ·45C 种取法.⑥5枚壹分共C 55种取法.∴P (A )=510554513352325334512351312C C C C C C C C C C C C C +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅=21252126=. ［例3］把10个足球队平均分成两组进行比赛，求两支最强队被分在：(1)不同组的概率；(2)同一组的概率.分析：由于把10支球队平均分成两组，共有510C 21种不同的分法，而每种分法出现的结果的可能性都相等.(1)记事件A ：“最强两队被分在不同组”，这时事件A 含有2248A C 21⋅种结果. ∴P (A )=95C 21A C 215102248=⋅. (2)记事件B ：“最强的两队被分在同一组”，这时事件B 含有552238C C C ⋅⋅种. ∴P (B )=94C 21C 51038=. ［例4］已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8}在平面直角坐标系中，点(x ,y )的坐标x ∈A , y ∈A ,且x ≠y ,计算：(1)点(x ,y )不在x 轴上的概率； (2)点(x ,y )正好在第二象限的概率.分析：由于点(x ,y )中，x 、y ∈A,且x ≠y ,所以这样的点共有210A 个，且每一个结果出现的可能性都相等.解：∵x ∈A,y ∈A,x ≠y 时，点(x ,y )共有210A 个，且每一个结果出现的可能性都相等，(1)设事件A 为“点(x ,y )不在x 轴上”，∴事件A 含有的结果有19A ·19A 个.∴P (A )=10991099=⨯⨯.(2)设事件B 为“点(x ,y )正好在第二象限”， ∴x ＜0,y ＞0.∴事件B 含有15A ·14A 个结果. ∴P (B )=92A A A 2101415=⋅. ［例5］从一副扑克牌(共52张)里，任意取4张，求：(1)抽出的是J 、Q 、K 、A 的概率； (2)抽出的是4张同花牌的概率.解：∵从一副扑克牌(52张)里，任意抽取4张，共有452C 种抽法.每一种抽法抽出的结果出现的可能性都相等, (1)设事件A ：“抽出的4张是J ，Q ，K ，A ”,∵抽取的是J 的情况有14C 种, 抽取的是Q 的情况有14C 种, 抽取的是K 的情况有14C 种, 抽取的是A 的情况有14C 种, ∴事件A 含有的结果共有44个.∴P (A )=4522C 4=812175768.(2)设事件B ：“抽出的4张是同花牌”,∴事件B 中含14C ·413C 个结果.∴P (B )=41651054C C C 45241314=⋅. 二、参考练习1.选择题(1)某一部四册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册自左到右或自右到左的顺序恰好为第1，2，3，4册的概率等于A.81 B.161 C.121D.241答案：C(2)在100件产品中，合格品有96件，次品有4件，从这100件产品中任意抽取3件，则抽取的产品中至少有两件次品的概率为A.310019624C CC ⋅B.31003424C C C +C.31003419624C C C C +⋅D.310034C C答案：C(3)从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选3台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是A.53 B.107 C.54D.109答案：D(4)正三角形各顶点和各边中点共有6个点，从这6个点中任意取出3个点构成的三角形恰为正三角形的概率是A.41 B.51 C.174D.175答案：D(5)在由1，2，3组成的不多于三位的自然数(可以有重复数字)中任意抽取一个，正好抽出两位自然数的概率是A.133 B.31 C.152D.52答案：A 2.填空题(1)设三位数a 、b 、c ,若b ＜a ,c ＞a ,则称此三位数为凹数.现从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取三个数字，组成三位数，其中是凹数的概率是________.答案：52 (2)将一枚硬币连续抛掷5次，则有3次出现正面的概率是________.答案：5352C(3)正六边形的各顶点和中心共有7个点，从这7个点中任意取3个点构成三角形，则构成的三角形恰为直角三角形的概率是________.解：P =8332123C 2637==-⨯.答案：83 (4)商品A 、B 、C 、D 、E 在货架上排成一列，A 、B 要排在一起，C 、D 不能排在一起的概率是________.解：P =55232222A A A A ⋅⋅=12345622⨯⨯⨯⨯⨯⨯=51.答案：51 (5)在平面直角坐标系中，点(x ,y )的x 、y ∈{0,1,2,3,4,5}且x ≠y ,则点(x ,y )在直线y =x 的上方的概率是________.解：P =2612131415A 1C C C C ++++=5615⨯=21. 答案：213.解答题(1)已知集合A ={a ,b ,c ,d ,e },任意取集合A 的一个子集B ，计算： ①B 中仅有3个元素的概率; ②B 中一定含有a 、b 、c 的概率.解：①P =1652C 535=.②P =81211C 512=++. (2)某号码锁有六个拨盘，每个拨盘上有从0到9共十个数字，当6个拨盘上的数字组成某一个六位数号码(开锁号码)时，锁才能打开.如果不知道开锁号码，试开一次就能打开锁的概率是多少？如果未记准开锁号码的最后两位数字，在使用时随意拨下最后两位数字，正好把锁打开的概率是多少？解：①P =6101. ②P =10011012=.(3)9国乒乓球队内有3国是亚洲国家，抽签分成三组进行预赛(每组3队)，试求： ①三个组中各有一个亚洲国家球队的概率； ②三个亚洲国家集中在某一组的概率. 解：①P =［222426CC C ⋅⋅］÷［33333639A C C C ⋅⋅］=289. ②P =36C 21·33C ÷［33333639A C C C ⋅⋅］=281. (4)将m 个编号的球放入n 个编号的盒子中，每个盒子所放的球数k 满足0≤k ≤m ,在各种放法的可能性相等的条件，求：①第一个盒子无球的概率； ②第一个盒子恰有一球的概率.解：①P =(n n 1-)m. ②P =n m ·(nn 1-)n -1.。