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第三章 多元线性回归模型案例

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第三章 多元线性回归模型案例一、邹式检验（突变点检验、稳定性检验） 1.突变点检验1985—2002年中国家用汽车拥有量（t y ，万辆）与城镇居民家庭人均可支配收入（t x ，元），数据见表3.1。

表3.1 中国家用汽车拥有量（t y ）与城镇居民家庭人均可支配收入（t x ）数据年份 t y （万辆）t x （元）年份 t y （万辆）t x （元）1985 28.49 739.1 1994 205.42 3496.2 1986 34.71 899.6 1995 249.96 4283 1987 42.29 1002.2 1996 289.67 4838.9 1988 60.42 1181.4 1997 358.36 5160.3 1989 73.12 1375.7 1998 423.65 5425.1 1990 81.62 1510.2 1999 533.88 5854 1991 96.04 1700.6 2000 625.33 6280 1992 118.2 2026.6 2001 770.78 6859.6 1993155.772577.42002968.987702.8下图是关于t y 和t x 的散点图：从上图可以看出，1996年是一个突变点，当城镇居民家庭人均可支配收入突破4838.9元之后，城镇居民家庭购买家用汽车的能力大大提高。

现在用邹突变点检验法检验1996年是不是一个突变点。

H 0：两个子样本（1985—1995年，1996—2002年）相对应的模型回归参数相等 H 1：备择假设是两个子样本对应的回归参数不等。

在1985—2002年样本范围内做回归。

在回归结果中作如下步骤：输入突变点：得到如下验证结果：由相伴概率可以知道，拒绝原假设，即两个样本（1985—1995年，1996—2002年）的回归参数不相等。

所以，1996年是突变点。

2.稳定性检验以表3.1为例，在用1985—1999年数据建立的模型基础上，检验当把2000—2002年数据加入样本后，模型的回归参数时候出现显著性变化。

因为已经知道1996年为结构突变点，所以设定虚拟变量：0,1985199511,19962002D -⎧⎨-⎩对1985—2002年的数据进行回归分析：做邹模型稳定性检验：输入要检验的样本点：得到如下检验结果：由上述结果可以知道，F 值对应的概率为0.73，所以接受原假设，模型加入2000、2001和2002年的样本值后，回归参数没有发生显著性变化。

二、似然比（LR ）检验有中国国债发行总量（t DEBT ，亿元）模型如下：0123t t t t t DEBT GDP DEF REPAY u ββββ=++++其中t GDP 表示国内生产总值（百亿元），t DEF 表示年财政赤字额（亿元），t REPAY 表示年还本付息额（亿元）。

1980—2001年数据见表3.2。

表3.2 国债发行总量t DEBT 、t GDP 、财政赤字额t DEF 、年还本付息额（t REPAY ）数据年份 DEBT GDP DEF REPAY 年份 DEBT GDP DEF REPAY 1980 43.01 45.178 68.9 28.58 1991 461.4 216.178 237.14 246.8 1981 121.7448.624 -37.38 62.89 1992 669.68 266.381 258.83 438.57 1982 83.86 52.947 17.65 55.52 1993739.22346.344 293.35 336.22 1983 79.41 59.345 42.57 42.47 1994 1175.25 467.594 574.52 499.36 198477.3471.71 58.16 28.9 1995 1549.76 584.781 581.52 882.96 1985 89.8589.644-0.57 39.56 1996 1967.28 678.846 529.56 1355.03 1986 138.25 102.022 82.9 50.17 1997 2476.82 744.626 582.42 1918.37 1987 223.55 119.62562.8379.83 1998 3310.93 783.452 922.232352.921988 270.78 149.283 133.97 76.76 1999 3715.03 820.6746 1743.59 1910.531989 407.97 169.092 158.88 72.37 2000 4180.1 894.422 2491.27 1579.82 1990 375.45 185.479 146.49 190.0720014604959.3332516.54 2007.73得到如下输出结果：对应的回归表达式为：4.310.35 1.000.88t t t t DEBT GDP DEF REPAY =+++(0.2) (2.2) (31.5) (17.8)20.999, 2.1,5735.3R DW F ===现在用似然比（LR ）统计量检验约束t GDP 对应的回归系数1β等于零是否成立。

过程如下：输入要检验的变量名：得到如下输出结果：输出结果上部是关于约束GDP系数为零的F检验和LR检验。

由于两种检验的相应概率均不为零，模型中应该保留解释变量GDP。

小于0.05，即拒接原假设，GDP系数1输出结果下部是去掉了GDP变量的约束模型估计结果。

三、Wald检验（以表3.2为例进行Wald检验，对输出结果进行检验。

）检验过程如下：输入约束表达式：得到如下结果：从输出结果上部可以看出，相应概率非常大，远远大于0.05，表明原假设成立，即约束条件3*(2)(3)c c =成立，2β是1β的3倍。

输出结果的下部给出了约束条件3*(2)(3)0c c -=的样本值和样本标准差，分别为0.04和0.48。

四、表3.3中列出了中国2000年按行业分的全部制造业国有企业及规模以上制造业非国有企业的工业总产值Y ，资产合计K 及职工人数L 。

表3.3 中国2000年按行业分的全部制造业国有企业及规模以上制造业非国有企业的工业总产值Y ，资产合计K 及职工人数L序号 工业总产值Y/亿元 资产合计K/亿元 职工人数L/万人序号 工业总产值Y/亿元 资产合计K/亿元 职工人数L/万人 1 3722.700 3078.220 113.0000 17 812.7000 1118.810 43.00000 2 1442.520 1684.430 67.00000 18 1899.700 2052.160 61.00000 3 1752.370 2742.770 84.00000 19 3692.850 6113.110 240.0000 4 1451.290 1973.820 27.00000 20 4732.900 9228.250 222.0000 5 5149.300 5917.010 327.0000 21 2180.230 2866.650 80.00000 6 2291.160 1758.770 120.0000 22 2539.760 2545.630 96.00000 7 1345.170 939.1000 58.00000 23 3046.950 4787.900 222.0000 8 656.7700 694.9400 31.00000 24 2192.630 3255.290 163.0000 9 370.1800 363.4800 16.00000 25 5364.830 8129.680 244.0000 101590.3602511.99066.00000264834.6805260.200145.000011 616.7100 973.7300 58.00000 27 7549.580 7518.790 138.0000 12 617.9400 516.0100 28.00000 28 867.9100 984.5200 46.00000 13 4429.190 3785.910 61.00000 29 4611.390 18626.94 218.0000 14 5749.020 8688.030 254.0000 30 170.3000 610.9100 19.00000 15 1781.370 2798.900 83.00000 31325.53001523.19045.00000161243.0701808.44033.00000设定模型为：Y AK L e αβμ=（1） 利用上述资料，进行回归分析；（2） 回答：中国2000年的制造业总体呈现规模报酬不变状态吗？ 将模型进行双对数变换如下：ln ln ln ln Y A K L αβμ=+++1）进行回归分析：得到如下回归结果：于是，样本回归方程为：ˆln 1.1540.609ln 0.361ln YK L =++ (1.59) (3.45) (1.79)20.8099,0.7963,59.66R R F ===从回归结果可以看出，模型的拟合度较好，在显著性水平0.1的条件下，各项系数均通过了t 检验。

从F 检验可以看出，方程对Y 的解释程度较少。

0.7963R =表明，工业总产值对数值的79.6%的变化可以由资产合计对数与职工的对数值的变化来解释，但仍有20.4%的变化是由其他因素的变化影响的。

从上述回归结果看，ˆˆ0.971αβ+=≈，即资产与劳动的产出弹性之和近似为1，表明中国制造业在2000年基本呈现规模报酬不变的状态。

下面进行Wald 检验对约束关系进行检验。

过程如下：结果如下：由对应概率可以知道，不能拒绝原假设，即资产与劳动的产出弹性之和为1，表明中国制造业在2000年呈现规模报酬不变的状态。

五、已知数据如表：Y X1 X2 1 1 10 3 2 9 8 3 5 15 4 1 285-61、 0111i i i Y X u αα=++ 0222i i i Y X u λλ=++ 01122i i i i Y X X u βββ=+++（1） 回答下列问题：11αβ=吗？为什么？22λβ=吗？为什么？ 对上述3个方程进行回归分析，结果分别如下：即： 18.8 6.6Y X =-+即： 217.34 1.66Y X =-从上述回归结果可知：11ˆˆαβ≠，22ˆˆλβ≠。

二元回归与分别对1X 与2X 所作的一元回归，其对应的参数估计不相等，主要原因在于1X 与2X 有很强的相关性。

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计量经济学 第三章

计量经济学 第三章

习题答案
3-2．答：变量非线性、系数线性；变量、系数均线性；变量、系数均 线性；变量线性、系数非线性；变量、系数均为非线性；变量、系数均 为非线性；变量、系数均为线性。 3-3．答：多元线性回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几 方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同，多元线性 回归模型比一元线性回归模型多了“解释变量之间不存在线性相关关
方和较大，但相对来说其AIC值最低，所以我们选择该模型为最优的模
型。
（4）随着收入的增加，我们预期住房需要会随之增加。所以可以预
期β3>0，事实上其估计值确是大于零的。同样地，随着人口的增加，
住房需求也会随之增加，所以我们预期β4>0，事实其估计值也是如
此。随着房屋价格的上升，我们预期对住房的需求人数减少，即我们预
其中：——某天慢跑者的人数 ——该天降雨的英寸数 ——该天日照的小时数 ——该天的最高温度（按华氏温度） ——第二天需交学期论文的班级数Байду номын сангаас
请回答下列问题：（1）这两个方程你认为哪个更合理些，为什么？ （2）为什么用相同的数据去估计相同变量的系数得
到不同的符号？ 3-18．对下列模型： （1）
（2） 求出β的最小二乘估计值；并将结果与下面的三变量回归方程的最小二 乘估计值作比较：
（1） 检验模型A中的每一个回归系数在10%水平下是否为零（括 号中的值为双边备择p-值）。根据检验结果，你认为应该把 变量保留在模型中还是去掉？
（2） 在模型A中，在10%水平下检验联合假设H0：i =0(i=1,5,6,7)。说明被择假设，计算检验统计值，说明其 在零假设条件下的分布，拒绝或接受零假设的标准。说明你 的结论。
（3） ，你认为哪一个估计值更好？ 3-19．假定以校园内食堂每天卖出的盒饭数量作为被解释变量，盒饭 价格、气温、附近餐厅的盒饭价格、学校当日的学生数量（单位：千 人）作为解释变量，进行回归分析；假设不管是否有假期，食堂都营 业。不幸的是，食堂内的计算机被一次病毒侵犯，所有的存储丢失，无 法恢复，你不能说出独立变量分别代表着哪一项！下面是回归结果（括 号内为标准差）：
计量经济学(庞浩)第三章-多元线性回归模型(1)

计量经济学(庞浩)第三章-多元线性回归模型(1)


矩阵X的秩为K(注意X为n行K列)。
Ran(X)= k
Rak(X'X)=k
即 (X'X) 可逆 假定6:正态性假定
ui ~ N (0, 2 )
u ~ N (0, 2I)
12
第二节 多元线性回归模型的估计
一、普通最小二乘法（OLS）
原则：寻求剩余平方和最小的参数估计式 min : ei2 (Yi Yˆi )2
1
X 22
Xk
2
2
u2
Yn
1 X 2n
X
kn
k
un
Y
X
βu
n 1
nk
k 1 n1
9
9
矩阵表示方式
总体回归函数 E(Y) = Xβ 或 Y = Xβ + u
样本回归函数 Yˆ = Xβˆ 或 Y = Xβˆ + e
其中： Y,Yˆ,u,e 都是有n个元素的列向量
β, βˆ 是有k 个 元素的列向量
多重可决系数：在多元回归模型中，由各个解释
变量联合起来解释了的Y的变差，在Y的总变差中占
的比重，用 R2表示 与简单线性回归中可决系数 r的2 区别只是 不Yˆi 同
多元回归中
Yˆi ˆ1 ˆ2 X2i ˆ3 X3i ˆk Xki
多重可决系数可表示为
R2 ESS TSS
(Yˆi Y )2 (Yi Y )2
0
2
X 2i
Yi
(ˆ1
ˆ2
X 2i
ˆ3
X 3i
ˆki
X ki )
0
(i 1, 2, n)
( j 1, 2, n)
ei 0
X2iei 0
2
计量经济学庞皓课件(第三章 多元线性回归模型)

计量经济学庞皓课件(第三章 多元线性回归模型)

2
怎样分析多种因素的影响？
分析中国汽车行业未来的趋势,应具体分析这样一些问题： 中国汽车市场发展的状况如何？（用销售量观测） 影响中国汽车销量的主要因素是什么？
（如收入、价格、费用、道路状况、能源、政策环境等）
各种因素对汽车销量影响的性质怎样？（正、负） 各种因素影响汽车销量的具体数量关系是什么？ 所得到的数量结论是否可靠？ 中国汽车行业今后的发展前景怎样？应当如何制定汽车的 产业政策？ 很明显，只用一个解释变量已很难分析汽车产业的发展, 还需要寻求有更多个解释变量情况的回归分析方法。
ˆk
k
c jj
~
N (0,1)
21 21
2 未知时βˆ 的标准化变换
因 2 是未知的， 可用 ˆ 2 代替 2 去估计参数的
标准误差:
●
当为大样本时，用估计的参数标准误差对
^
β
作
标准化变换，所得 Z 统计量仍可视为服从正态分
布
●当为小样本时，用估计的参数标准误差对 βˆ 作标 准化变换，所得的 t 统计量服从 t 分布：
( X X )1 X 2 IX ( X X )1
2 ( X X )1
注意
βˆ 是向量
(i 1, 2,L ( j 1, 2,L
n) n)
(由无偏性)
(由OLS估计式)
(由同方差性)
其中：
ˆ ( X X )1 X Y ( X X )1 X ( Xβ + u) β ( X X )1 X u
0
两边左乘 X
X Y = X Xβˆ + X e
根据最小二乘原则 则正规方程为
Xe = 0
X Xβˆ = X Y
14
OLS估计式
第三章(1) 多元线性回归模型课件

第三章(1) 多元线性回归模型课件


分离差的大小
解释的那部分离差的大小。也
称剩余平方和。
第三章 多元线性回归模型
§ 3-3 多元线性回归模型的统计检验 一、 拟合优度检验 检验模型对样本观测值的拟合程度。用在总离差分解 基础上确定的可决系数R2 (调整的可决系数 ) 度量。 1、总离差平方和的分解
总离差平方和TSS 回归平方和ESS
3、随机误差项在不同 样本点之间是独立的，
Cov( i,
不存在序列相关
因为 i与 j相互独立，有：
j)=0 i≠j
无自相关假定表明：产生 误差(干扰)的因素是完 全随机的，此次干扰与彼 次干扰互不相关，互相独 立。由此应变量Yi的序列 值之间也互不相关。
第三章 多元线性回归模型
§ 3-1 多元线性回归模型及其基本假定
3、有效性(最小方差性)：
指在所有线性、无偏估计量中， OLS参数估计量的 方差最小。
4、 服从正态分布，即：
其中，
， G2是随机误差项的方差，
Cjj是矩阵(X’X)-1 中第j行第j列位置上的元素。
第三章 多元线性回归模型
§ 3-2 多元线性回归模型的参数估计
一、 参数的最小二乘估计
二、 OLS估计量的统计性质及其分布
三、随机误差项方差Q2的估 计
参数估计的另一项任务是： 求随机误差项 i 的分布参数
称作回归标准差 (standard error of regression)， 常作为对所估计回归线的拟
合优度的简单度量。
i~N(0, Q2)
随机误差项 i 的 方差的估计量为：
可以
证明：
说明 是QS 的无偏估计量。
t-Statistic 6.411848 22.00035 4.187969