2011年全国高考文科数学试题及答案-天津

2011年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（M N ）I ð （A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算.【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法. 【解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥. (3)设向量,a b 满足||||1a b ==,12a b ⋅=-r r ,则2a b += （A（B（C（D【答案】B 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =. 解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ===，则CD =（A ） 2 （B（C （D ）1 【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为l αβ--是直二面角, AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,AC BC ∴⊥BC ∴=又BD l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值. 【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =(A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离OM =,在Rt OMN ∆中,30OMN ︒∠=, ∴12ON OM ==故圆N 的半径r ==,∴圆N 的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题．．．卷上作答无效．．．．．．. 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U=（M N ）I ð （A ）{}12，（B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4 【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4xy x R =∈ （B ）2(0)4xy x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥ 【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24yx =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4xy x =≥.(3)设向量,a b 满足||||1a b == ,12a b ⋅=-r r ,则2a b +=（A （B （C （D【答案】B【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3 【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞ 【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =.解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，A C l ⊥,C 为垂足,B β∈，B D l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ===，则C D = （A ） 2 （B（C （D ）1 【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为l αβ--是直二面角, A C l ⊥,∴AC ⊥平面β,A C B C ∴⊥BC ∴=又B D l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -=(A) -12(B)1 4- (C)14(D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值.【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111((2)()()2(12222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C = (A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π 【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离O M =,在R t O M N ∆中,30OMN ︒∠=, ∴12O N O M ==故圆N 的半径r ==,∴圆N的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。

2011年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．（5分）i 是虚数单位，复数1−3i 1−i=（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣1﹣2iD ．﹣1+2i2．（5分）设变量x ，y 满足约束条件{x ≥1x +y −4≤0x −3y +4≤0则目标函数z=3x ﹣y 的最大值为（ ） A ．﹣4 B ．0C ．43D ．43．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为﹣4，则输出y 的值为（ ）A ．0.5B ．1C ．2D ．44．（5分）设集合A={x ∈R |x ﹣2＞0}，B={x ∈R |x ＜0}，C={x ∈R |x （x ﹣2）＞0}，则“x ∈A ∪B”是“x ∈C”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件5．（5分）已知a=log 23.6，b=log 43.2，c=log 43.6则（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．c ＞a ＞b6．（5分）已知双曲线x 2a ﹣y 2b=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点与抛物线y 2=2px 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（ ） A ．2√3 B ．2√5 C ．4√3 D ．4√57．（5分）已知函数f （x ）=2sin （ωx +φ），x ∈R ，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f （x ）的最小正周期为6π，且当x=π2时，f （x ）取得最大值，则（ ）A ．f （x ）在区间[﹣2π，0]上是增函数B ．f （x ）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数C ．f （x ）在区间[3π，5π]上是减函数D ．f （x ）在区间[4π，6π]上是减函数 8．（5分）对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：a ⊗b={a ，a −b ≤1b ，a −b ＞1．设函数f （x ）=（x 2﹣2）⊗（x ﹣1），x ∈R ．若函数y=f （x ）﹣c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，1]∪（2，+∞）B ．（﹣2，﹣1]∪（1，2]C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，2]D ．[﹣2，﹣1]二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知集合A={x ∈R ||x ﹣1|＜2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于 ．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则这个几何体的体积为 m 3．11．（5分）已知{a n }为等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，若a 3=16，S 20=20，则S 10值为 ．12．（5分）已知log 2a +log 2b ≥1，则3a +9b 的最小值为 ．13．（5分）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且 DF=CF=√2，AF ：FB ：BE=4：2：1．若CE 与圆相切，则CE 的长为 ．14．（5分）已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →+3PB →|的最小值为 ．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）编号为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号 A 1 A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8得分 15 35 21 2825 361834运A A AA 12A AA 15A动员编号9 10 1113 1416得分17 26 25 33 22 1231 38（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间[10，20） [20，30） [30，40]人数（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人， （i ）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果； （ii ）求这2人得分之和大于50分的概率．16．（13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B=C ，2b=√3a ． （Ⅰ）求cosA 的值； （Ⅱ）cos （2A +π4）的值．17．（13分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ，PO=2，M 为PD 中点． （Ⅰ）证明：PB ∥平面ACM ； （Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．18．（13分）设椭圆x 2a +y 2b=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．点P （a ，b ）满足|PF 2|=|F 1F 2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆（x +1）2+(y −√3)2=16相交于M ，N 两点，且|MN |=58|AB |，求椭圆的方程．19．（14分）已知函数f （x ）=4x 3+3tx 2﹣6t 2x +t ﹣1，x ∈R ，其中t ∈R ．（Ⅰ）当t=1时，求曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）当t ≠0时，求f （x ）的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的t ∈（0，+∞），f （x ）在区间（0，1）内均存在零点． 20．（14分）已知数列{a n }与{b n }满足b n +1a n +b n a n +1=（﹣2）n +1，bn =3+(−1)n−12，n ∈N *，且a 1=2． （Ⅰ）求a 2，a 3的值（Ⅱ）设c n =a 2n +1﹣a 2n ﹣1，n ∈N *，证明{c n }是等比数列（Ⅲ）设S n 为{a n }的前n 项和，证明S 1a 1+S 2a 2+…+S 2n−1a 2n−1+S 2n a 2n ≤n ﹣13（n ∈N *）2011年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．（5分）i 是虚数单位，复数1−3i 1−i=（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣1﹣2iD ．﹣1+2i【解答】解：复数1−3i 1−i =(1−3i)(1+i)(1−i)(1+i)=4−2i2=2−i故选A2．（5分）设变量x ，y 满足约束条件{x ≥1x +y −4≤0x −3y +4≤0则目标函数z=3x ﹣y 的最大值为（ ） A ．﹣4 B ．0C ．43D ．4【解答】解：画出不等式表示的平面区域将目标函数变形为y=3x ﹣z ，作出目标函数对应的直线，当直线过（2，2）时，直线的纵截距最小，z 最大 最大值为6﹣2=4 故选D3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为﹣4，则输出y的值为（）A．0.5 B．1 C．2 D．4【解答】解：当输入x=﹣4时，|x|＞3，执行循环，x=|﹣4﹣3|=7|x|=7＞3，执行循环，x=|7﹣3|=4，|x|=4＞3，执行循环，x=|4﹣3|=1，退出循环，输出的结果为y=21=2．故选C．4．（5分）设集合A={x∈R|x﹣2＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【解答】解：A={x∈R|x﹣2＞0}={x|x＞2}A∪B={x|x＞2或x＜0}C={x∈R|x（x﹣2）＞0}={x|x＞2或x＜0}∴A∪B=C∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件故选C5．（5分）已知a=log23.6，b=log43.2，c=log43.6则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b【解答】解：∵a=log23.6=log43.62∵y=log4x在（0，+∞）单调递增，又∵3.62＞3.6＞3.2∴log43.62＞log43.6＞log43.2即a＞c＞b故选：B6．（5分）已知双曲线x2a2﹣y2b2=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2√3 B．2√5 C．4√3 D．4√5【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣p 2，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±12 x，由双曲线的性质，可得b=1；则c=√5，则焦距为2c=2√5；故选B．7．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=π2时，f（x）取得最大值，则（）A．f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数B．f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函C ．f （x ）在区间[3π，5π]上是减函数D ．f （x ）在区间[4π，6π]上是减函数【解答】解：∵函数f （x ）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω=2π6π=13，∴f （x ）=2sin （13x +φ），∵当x=π2时，f （x ）取得最大值，∴2sin （π6+φ）=2，φ=π3+2kπ，∵﹣π＜φ≤π，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(13x +π3)，由−π2+2kπ≤13x +π3≤π2+2kπ 可得函数的单调增区间：[6kπ−5π2，6kπ+π2]， 由π2+2kπ≤x 3+π3≤3π2+2kπ可得函数的单调减区间：[6kπ+π2，6kπ+7π2]， 结合选项可知A 正确， 故选A ．8．（5分）对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：a ⊗b={a ，a −b ≤1b ，a −b ＞1．设函数f （x ）=（x 2﹣2）⊗（x ﹣1），x ∈R ．若函数y=f （x ）﹣c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，1]∪（2，+∞）B ．（﹣2，﹣1]∪（1，2]C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，2]D ．[﹣2，﹣1] 【解答】解：∵a ⊗b ={a ，a −b ≤1b ，a −b ＞1.，∴函数f （x ）=（x 2﹣2）⊗（x ﹣1） ={x 2−2，−1≤x ≤2x −1，x ＜−1或x ＞2， 由图可知，当c ∈（﹣2，﹣1]∪（1，2] 函数f （x ） 与y=c 的图象有两个公共点， ∴c 的取值范围是 （﹣2，﹣1]∪（1，2]， 故选B ．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知集合A={x∈R||x﹣1|＜2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于3．【解答】解：A={x∈R||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，而Z为整数集，集合A∩Z={0，1，2}，故集合A∩Z中所有元素的和等于0+1+2=3，故答案为3．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为4m3．【解答】解：由三视图可知，这是一个简单的组合体，上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，体积是1×1×2下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，体积是1×1×2∴几何体的体积是1×1×2+2×1×1=4m3，故答案为：411．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，若a3=16，S20=20，则S10值为110．【解答】解：由题意a3=16，故S5=5×a3=80，由数列的性质S10﹣S5=80+25d，S15﹣S10=80+50d，S20﹣S15=80+75d，故S20=20=320+150d，解之得d=﹣2又S10=S5+S10﹣S5=80+80+25d=160﹣50=110故答案为：11012．（5分）已知log2a+log2b≥1，则3a+9b的最小值为18．【解答】解：由log2a+log2b≥1得ab≥2，且a＞0，b＞0．又3a+9b=3a+32b≥2√3a⋅32b=2√3a+2b，因为a+2b≥2√a⋅2b=2√2ab≥2√2×2=4，所以3a+9b≥2√34=18．即3a+9b的最小值为18．故答案为18．13．（5分）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=√2，AF：FB：BE=4：2：1．若CE与圆相切，则CE的长为√72．【解答】解：设AF=4k ，BF=2k ，BE=k ，由DF•FC=AF•BF ，得2=8k 2，即k=12，∴AF=2，BF=1，BE=12，AE=72，由切割定理得CE 2=BE•EA=12×72=74， ∴CE=√72．14．（5分）已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →+3PB →|的最小值为 5 ．【解答】解：如图，以直线DA ，DC 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系， 则A （2，0），B （1，a ），C （0，a ），D （0，0） 设P （0，b ）（0≤b ≤a ）则PA →=（2，﹣b ），PB →=（1，a ﹣b ）， ∴PA →+3PB →=（5，3a ﹣4b ）∴|PA →+3PB →|=√25+(3a −4b)2≥5． 故答案为5．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）编号为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8得15 35 212825 361834分 运动员编号 A 9 A 10 A 11A 12 A 13 A14A 15 A16得分17 26 25 33 22 1231 38（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间[10，20） [20，30） [30，40]人数（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人， （i ）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果； （ii ）求这2人得分之和大于50分的概率．【解答】解：（I ）由已知中编号为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表易得：得分在区间[10，20）上的共4人，在区间[20，30）上的共6人，在区间[30，40]上的共6人， 故答案为4，6，6（II ）（i ）得分在区间[20，30）上的共6人，编号为A 3，A 4，A 5，A 10，A 11，A 13， 从中随机抽取2人，计为（X ，Y ），则所有可能的抽取结果有： （A 3，A 4），（A 3，A 5），（A 3，A 10），（A 3，A 11），（A 3，A 13）， （A 4，A 5），（A 4，A 10），（A 4，A 11），（A 4，A 13），（A 5，A 10），（A 5，A 11），（A 5，A 13），（A 10，A 11），（A 10，A 13），（A 11，A 13）共15种． （ii ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，这2人的得分之和大于50分的基本事件有：（A 4，A 5），（A 4，A 10），（A 4，A 11），（A 5，A 10），（A 10，A 11）共5种故这2人得分之和大于50分的概率P=515=1316．（13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B=C ，2b=√3a ． （Ⅰ）求cosA 的值；（Ⅱ）cos （2A +π4）的值．【解答】解：（I ）由B=C ，2b =√3a 可得c =b =√32a 所以cosA=b 2+c 2−a 22bc=34a 2+34a 2−a 22×√3a 2×√3a 2=13（II ）因为cosA =13，A ∈(0，π)所以sinA =√1−cos 2A =2√23故sin2A =2sinAcosA =4√29所以cos(2A +π4)=cos2Acos π4−sin2Asin π4 =−79×√22−4√29×√22=−8+7√21817．（13分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ，PO=2，M 为PD 中点． （Ⅰ）证明：PB ∥平面ACM ； （Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．【解答】解：（I ）证明：连接BD ，MO在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO 因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM 所以PB ∥平面ACM（II ）证明：因为∠ADC=45°，且AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD ⊥AC 又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AD ，AC ∩PO=O ，AD ⊥平面PAC （III ）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN=12PO=1，由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD =1，AO =12，所以DO =√52， ∴AN =12DO =√54，MN =12PO =1在Rt △ANM 中，tan∠MAN =MN AN =√54=4√55即直线AM 与平面ABCD 所成的正切值为4√5518．（13分）设椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．点P （a ，b ）满足|PF 2|=|F 1F 2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆（x +1）2+(y −√3)2=16相交于M ，N 两点，且|MN |=58|AB |，求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）（c ＞0）．由题得|PF 2|=|F 1F 2|，即√(a −c)2+b 2=2c ，整理得2(c a )2+c a﹣1=0，得ca=﹣1（舍），或c a =12， 所以e=12．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c ，b=√3c ，可得椭圆方程为3x 2+4y 2=12c 2，直线方程PF 2为y=√3（x ﹣c ）．A ，B 的坐标满足方程组{3x 2+4y 2=12c 2y =√3(x −c)，消y 并整理得5x 2﹣8xc=0，解得x=0，x=85c ，得方程组的解为{x =0y =−√3c ，{x =85c y =3√35c，不妨设A （85c ，3√35c ），B （0，﹣√3c ）．所以|AB |=√(85)2+(3√3c 5+√3c)2=165c ，于是|MN |=58|AB |=2c ． 圆心（﹣1，√3）到直线PF 2的距离d=|−√3−√3−√3c|2，因为d 2+(|MN|2)2=42，所以34（2+c ）2+c 2=16，整理得c=﹣267（舍）或c=2． 所以椭圆方程为x 216+y 212=1．19．（14分）已知函数f （x ）=4x 3+3tx 2﹣6t 2x +t ﹣1，x ∈R ，其中t ∈R ． （Ⅰ）当t=1时，求曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）当t ≠0时，求f （x ）的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的t ∈（0，+∞），f （x ）在区间（0，1）内均存在零点． 【解答】解：（I ）当t=1时，f （x ）=4x 3+3x 2﹣6x ，f （0）=0f'（x ）=12x 2+6x ﹣6，f'（0）=﹣6，所以曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y=﹣6x ．（II ）解：f'（x ）=12x 2+6tx ﹣6t 2，f'（0）=0，解得x=﹣t 或x=t2∵t ≠0，以下分两种情况讨论：（1）若t ＜0，则t2＜﹣t ，∴f （x ）的单调增区间是（﹣∞，t2），（﹣t ，+∞）；f（x ）的单调减区间是（t2，﹣t ）（2）若t ＞0，则t 2＞﹣t ，∴f （x ）的单调增区间是（﹣∞，﹣t ），（t2，+∞）；f（x ）的单调减区间是（﹣t ，t2）（III ）证明：由（II ）可知，当t ＞0时，f （x ）在（0，t 2）内单调递减，在（t2，+∞）内单调递增，以下分两种情况讨论：（1）当t2≥1，即t ≥2时，f （x ）在（0，1）内单调递减．f （0）=t ﹣1＞0，f （1）=﹣6t 2+4t +3≤﹣13＜0所以对于任意t ∈[2，+∞），f （x ）在区间（0，1）内均存在零点．（2）当0＜t 2＜1，即0＜t ＜2时，f （x ）在（0，t 2）内单调递减，在（t2，1）内单调递增若t ∈（0，1]，f （t2）=−74t 3+t ﹣1≤−74t 3＜0，f （1）=﹣6t 2+4t +3≥﹣2t +3＞0所以f （x ）在（t2，1）内存在零点．若t ∈（1，2），f （t 2）=−74t 3+t ﹣1＜−74t 3+1＜0，f （0）=t ﹣1＞0∴f （x ）在（0，t2）内存在零点．所以，对任意t ∈（0，2），f （x ）在区间（0，1）内均存在零点． 综上，对于任意t ∈（0，+∞），f （x ）在区间（0，1）内均存在零点．20．（14分）已知数列{a n }与{b n }满足b n +1a n +b n a n +1=（﹣2）n +1，b n =3+(−1)n−12，n ∈N *，且a 1=2．（Ⅰ）求a 2，a 3的值（Ⅱ）设c n =a 2n +1﹣a 2n ﹣1，n ∈N *，证明{c n }是等比数列（Ⅲ）设S n 为{a n }的前n 项和，证明S 1a 1+S 2a 2+…+S 2n−1a 2n−1+S 2n a 2n ≤n ﹣13（n ∈N *）【解答】（Ⅰ）解：由b n =3+(−1)n−12，（n ∈N *）可得b n ={2n 为奇数1n 为偶数又b n +1a n +b n a n +1=（﹣2）n +1，当n=1时，a 1+2a 2=﹣1，可得由a 1=2，a 2=﹣32；当n=2时，2a 2+a 3=5可得a 3=8；（Ⅱ）证明：对任意n ∈N *，a 2n ﹣1+2a 2n =﹣22n ﹣1+1…① 2a 2n +a 2n +1=22n +1…② ②﹣①，得a 2n +1﹣a 2n ﹣1=3×22n ﹣1，即：c n =3×22n ﹣1，于是C n+1C n=4所以{c n }是等比数列． （Ⅲ）证明：a1=2，由（Ⅱ）知，当k ∈N *且k ≥2时，a 2k ﹣1=a 1+（a 3﹣a 1）+（a 5﹣a 3）+（a 7﹣a 5）+…+（a 2k ﹣1﹣a 2k ﹣3） =2+3（2+23+25+…+22k ﹣3）=2+3×2(1−4k−1)1−4=22k ﹣1，故对任意的k ∈N *，a 2k ﹣1=22k ﹣1．由①得22k ﹣1+2a 2k =﹣22k ﹣1+1，所以a 2k =12−22k−1k ∈N *， 因此，S 2k =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+⋯+(a 2k−1+a 2k )=k2 于是，S 2k−1=S 2k −a 2k =k−12+22k−1． 故S 2k−1a 2k−1+S 2k a 2k=k−12+22k−122k−1+k212−22k−1=k−1+22k 22k +k 1−22k=1−14k −k4k (4k −1)所以，对任意的n ∈N *，S 1a 1+S 2a 2+…+S 2n−1a 2n−1+S 2n a 2n =（S 1a 1+S 2a 2）+…+（S 2n−1a 2n−1+S 2na 2n） =(1−14−112)+(1−142−242(42−1))+⋯+(1−1n −n n n )=n −(14+112)−(142+242(42−1))−⋯−(1n +n n n )=n﹣(14+112+142+242(42−1)+⋯+14n+n4n(4n−1))≤n﹣14﹣112=n﹣13（n∈N*）。

参考答案 1.A提示：i 22i24)i 1)(i 1()i 1)(i 31(i 1i 31-=-=+-+-=--.2.D提示：如下图，画可行域（阴影部分），通过平移与03=-y x 平行的直线可知，y x z -=3在(2,2)A 点有最大值，故4max =z .也可将三角形区域的其它顶点坐标代入目标函数3z x y=-中去求值查对，看看自己求得的值是否三个值中最大的，如果不是最大的，那么求解必有错.3.C提示：根据条件执行3次，过程如下：第一次：7=x ；第二次：4=x ；第三次：1=x ；不满足条件输出2=y ，故选(C).4.C提示：经化简：}2|{>∈=x x A R ，则}02|{<>=⋃x x x B A 或，又{}0,2,C x x x =∈<>R或故C B A =⋃,故选（C ）.5.B提示：首先确定：1,1,1<<>c b a ，又显然6.3log 2.3log 44<，故选(B).6.B提示：双曲线的左顶点为A )0,(a -，抛物线的焦点为)0,2(p B ，则42=+pa ；双曲线的一条渐近线为x ab y =，把)1,2(--代入后得b a 2=，而抛物线的准线为22-=-=px ，由此解得1,2==b a ，则5=c ，故双曲线的焦距为52.7.A提示：由6πT =,得31=ω,当π2x =时，1ππ2π,322k k ϕ⨯+=+∈Z ,解得π2π,3k k ϕ=+∈Z ，又πϕ-<≤ππ=3ϕ，所以，即1π()2sin()33f x x =+，π1ππ2π2π,2332k x k k -≤+≤+∈Z ,)(x f 单调递增，解得5π6π2k -≤x ≤π6π,2k k +∈Z ，令0=k ，则)(x f 在区间5ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，那么)(x f 在区间[2π,0]-上是增函数.此题也可验证选项的正确性，如对于选项（A ）,若2π0x -≤≤，则π1ππ3333x -≤+≤，)(x f 为增函数，故选(A). 8.B提示：解1)1()2(2≤---x x ，得21≤≤-x ，则⎩⎨⎧>-<-≤≤--=，或，，，211212)(2x x x x x x f 如下图，由图像可看出函数c y =与函数()f x 有两个交点时，c 的取值范围为]2,1(]1,2(⋃--.故应选（B ）.9.3提示：{}1<3A x x <=∈R |-，则{}0,1,2A ⋂=Z ，那么A ⋂Z 中所有元素的和等于3.10.4提示：根据所给的几何体的三视图，可以想到这个几何体是一个如下图所示的复合体.底座是一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体，上面是一个长、宽、高分别1,1,2的长方体，可得422=+=V .11.110提示：⎪⎩⎪⎨⎧=⨯⨯+=+，，20219202016211d a d a 解得⎩⎨⎧-==.2201d a ，则110291010110=⨯⨯+=d a S .12.18提示：因为()222log log log a b ab +=≥1，所以ab ≥2.而ba 93+≥b a b a 232932+=⋅≥ab2232当且仅当⎩⎨⎧==,2,93b a b a 即b a 2=时，取等号.又ab2232≥1832222=⨯，故最小值为18.也可由ab ≥2，得到a ≥2b，那么b a 93+≥b b 2233+≥bb 22332⋅≥18，当且仅当1=b 时，取等号.13.27 提示：设,x BE =则,2,4x FB x AF ==由圆的相交弦定理得FC DF FB AF ⋅=⋅,解得.21=x 由切割线定理知，2,CE EB EA =⋅解得27=CE . 14.5提示：建立如下图所示的坐标系，则),0,2(A 设),0(),,0(a C y P ，则),1(a B ，那么),1(),,2(y a PB y PA -=-=，)43,5(3y a -=+，从而22)43(25|3|y a PB PA -+=+≥25，当且仅当a y 43=时，取等号.15.解：（Ⅰ）4，6，6.（Ⅱ）（i ）得分在区间[20,30)内的运动员编号为345101113,,,,,.A A A A A A 从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：343531*********{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A 410{,}A A ，411413510511513101110131113{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A A A ，共15种.（ii ）“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B ）的所有可能结果有454104115101011{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，共5种.所以51().153P B ==16.解：（Ⅰ）由,2,B C b ==可得2c b a ==.所以222222331cos .23a a a b c a A bc +-+-===（Ⅱ）因为1cos ,(0,π)3A A =∈，所以sin 3A ==. 27cos 22cos 1.9A A =--=-故sin 22sin cos 9A A A ==所以πππ7c 44A A⎛⎫+= ⎪⎝⎭17.（Ⅰ）证明：连接,BD OM ,如下图，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以PB //MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB //平面ACM .（Ⅱ）证明：因为45ADC ∠=︒，且1A D A C ==，所以90DAC ∠=︒，即AD AC ⊥，又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,PO AD AC PO O ⊥⋂=而，所以AD ⊥平面PAC .（Ⅲ）解：取DO 中点N ，连接MN ，AN ，因M 为PD 的中点，所以MN //PO ，且11,2MN PO PO ==⊥由平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以MAN ∠是直线AM 与平面A B C D 所成的角，在Rt DAO ∆中，11,2AD AO ==，所以DO =，从而12AN DO ==，在Rt ,tan MN APF MAN AN ∆∠===中，即直线AM 与平面ABCD所成角的正切值为18.解：（Ⅰ）设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =，2c =，整理得2210,1c cc a aa ⎛⎫+-==- ⎪⎝⎭得（舍）或11,.22c e a ==所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2,a c b c==，可得椭圆方程为2223412x y c +=.又P (a b ，),2F (,0)c ,所以直线2PF的方程为).y x c =-,A B两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 消去y 并整理，得2580x cx -=. 解得1280,5x x c ==，得方程组的解21128,0,5,.x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设85A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(0,)B ，所以16||.5AB c ==于是5||||2.8MN AB c ==圆心(-到直线2PF的距离||2|.22c d+==因为222||42MN d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以223(2)16.4c c ++=整理得2712520c c +-=，得267c =-（舍），或 2.c =所以椭圆方程为221.1612x y +=19.（Ⅰ）解：当1t =时，322()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-,(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-（Ⅱ）解：22()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2tx t x =-=或因为0t ≠，所以下分两种情况讨论： （1） 若0,,2tt t x <<-则当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是,2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）若0,2tt t >-<则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭的单调递减区间是,.2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的单调递减，在,2t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，以下分两种情况讨论： (1)当2t≥1t ，即≥2时，()f x 在（0，1）内单调递减. 2(0)10,(1)643f t f t t =->=-++≤644230.-⨯+⨯+<所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.(2)当01,022t t <<<<即时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,12t ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增.若317(0,1],124t f t t ⎛⎫∈=-+- ⎪⎝⎭≤370.4t -<2(1)643f t t =-++≥643230.t t t -++=-+>所以(),12t f x ⎛⎫⎪⎝⎭在内存在零点.若()3377(1,2),110,244t t f t t t ⎛⎫∈=-+-<-+< ⎪⎝⎭(0)10f t =->.所以()0,2t f x ⎛⎫⎪⎝⎭在内存在零点.所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点.综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点.20.（Ⅰ）解：由13(1),2n n b n -+-=∈*N ，可得2,,1,n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数.又()1121nn n n n b a b a +++=-+， 当1n =时12,21,a a +=-由12,a =可得23;2a =-当2n =时，2325a a +=，可得38a =. （Ⅱ）证明：对任意n ∈*N , 21212221n n n a a --+=-+, ①2221221n n n a a ++=+. ②②-①，得21212132,n n n a a -+--=⨯即2132,n n c -=⨯于是14n nc c +=. 又16c =≠0，所以{}n c 是等比数列.（Ⅲ）证明：12a =，由（Ⅱ）知，当k k ∈*N 且≥2时，2113153752123()()()()k k k a a a a a a a a a a ---=+-+-+-++-13523212(14)23(2222)23214k k k ----=+++++=+⨯=-.故对任意2121,2.k k k a --∈=*N由①得212122221,k k k a --+=-+所以21212,2k k a k -=-∈*N . 因此，21234212()()().2k k k kS a a a a a a -=++++++=于是，212-12212.2k k k k k S S a --=-=+故21221221222121212121221.1222144(41)22k k k kk k k k k kk k kk kS S k k k a a ------+-++=+=-=----- 所以对任意,n ∈*N()()2121212212321212412342122221112111141244441441n nn nn n n n n n n S S S S a a a a S S S S S S a a a a a a n ----++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2221112141244441441111.4123n n nnn n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+-+--+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫≤-+=- ⎪⎝⎭。

选择题1.i 是虚数单位，复数13i1i--=（ ）. (A)2i -(B)2+i (C)12i -- (D)1+2i -2.设变量,x y 满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为( ).(A)-4 (B)0 (C)43(D)43.阅读如下程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为-4，则输出y 的值为( ).(A)0.5 (B)1 (C)2 (D)44.设集合{}{}|20,|0A x x B x x =∈->=∈<R R ，{}|(2)0C x x x =∈->R ，则“x A B ∈⋃”是“x C ∈”的( ).(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件5.已知244log 3.6,log 3.2,log 3.6a b c ===，则( ).(A)a b c >> (B)a c b >> (C)b a c >> (D)c a b >>6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（ ）.(A)(B)(C)(D)7.已知函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,ππ.()f x ωϕ>-<≤若的最小正周期为6π，且当π2x =时，()f x 取得最大值，则（ ）. (A)()f x 在区间[2π,0]-上是增函数 (B)()f x 在区间[3π,π]--上是增函数 (C)()f x 在区间[3π,5π]上是减函数(D)()f x 在区间[4π,6π]上是减函数8.对实数a b 和，定义运算“⊗”：,1, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩，设函数2()(2)(1),f x x x x =-⊗-∈R .若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）. (A)(1,1](2,)-⋃+∞ (B)(2,1](1,2]--⋃(C)(,2)(1,2]-∞-⋃(D) [-2，-1]填空题9.已知集合{}||-1|2,A x x =∈<R Z 为整数集，则集合A ⋂Z 中所有元素的和等于________.10.一个几何体的三视图如下图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m .11.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，n ∈*N ，若32016,20,a S ==则10S 的值为_______.12.已知22log log a b +≥1，则39ab+的最小值为__________.13.如下图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，::4:2:1.D F C F A F F B BE ==若CE 与圆相切，则线段CE 的长为__________.14.已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,90ADC ∠=︒,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为____________.解答题15.编号为1216,,,A A A ⋅⋅⋅的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：（Ⅱ）从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人，（i ）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果； （ii ）求这2人得分之和大于50的概率.16.在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,2.B C b ==（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）cos(2)4A π+的值.17.如下图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，45ADC ∠=︒，1AD AC ==，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ，2PO =，M 为PD 中点. （Ⅰ）证明：PB //平面ACM ； （Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.18.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点(),Pab 满足212PF F F =.（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点.若直线2PF 与圆()(22116x y ++=相交于,M N 两点，且58MN AB =,求椭圆的方程. 19.已知函数322()4361,f x x tx t x t x =+-+-∈R ，其中t ∈R .（Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．20.已知数列{}{}n n a b 与满足1*1113(1)(2)1,,, 2.2n nn n n n n b a b a b n a -+++-+=-+=∈=N 且 （Ⅰ）求23,a a 的值； （Ⅱ）设2121,nn n c a a n +-=-∈*N ，证明{}n c 是等比数列；（Ⅲ）设n S 为{}n a 的前n 项和，证明2121212212n n n nS S S S a a a a --++++≤1().3n n -∈*N。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（天津卷，解析版）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。

2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

咎在试题卷、草稿纸上无效。

3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 是虚数单位，复数131ii--= A.2i - B. 2i + C.12i -- D. 12i -+【答案】A 【解析】因为13(13)(1)212i i i i i --+==--，故选A. 2.设变量,x y 满足约束条件140340x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩,则目标函数3z x y =-的最大值为A.-4B.0C.43D.4【答案】D【解析】画出不等式表示的平面区域,容易求出最大值为4,选D.3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为-4,则输出y的值为A.0.5B.1C.2D.46.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为A. B.【答案】B【解析】由题意知,抛物线的准线方程为2x =-,所以4p =,又42pa +=,所以2a =,又因为双曲线的一条渐近线过点(-2,-1),所以双曲线的渐近线方程为12y x =±,即12b a =,所以1b =,即25c =,2c =,选B.7.已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时, ()f x 取得最大值,则A. ()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B. ()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C. ()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D. ()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知集合{}||1|2,A x R x Z =∈-<为整数集,则集合A Z ⋂中所有元素的和等于 . 【答案】3【解析】因为{}|13A x x =-<<,所以{}0,1,2A Z ⋂=,故其和为3.10. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为3m .【答案】4【解析】由三视图知,该几何体是由上、下两个长方体组合而成的,容易求得体积为4.11. 已知{}n a 是等差数列,n S 为其前n 项和,n N *∈.若316a =,2020S =,则10S 的值为 .【答案】110三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15.（本小题满分13分） 编号分别为1216,,,A A A 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:(Ⅰ)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:(Ⅱ)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人, (i) 用运动员编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这2人得分之和大于50的概率.16.（本小题满分13分）在ABC ∆中,内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知B=C, 2b =. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)求cos(2)4Aπ+的值.【解析】(Ⅰ)由B=C,2b =,可得c b ==,所以 222222331cos 23a a a b c a A bc +-+-===.(Ⅱ)因为1cos 3A =,(0,)A π∈,所以sin A =, 27cos 22cos 19A A =-=-,故sin 22sin cos 9A A A ==,所以cos(2)cos 2cos sin 2sin 444A A A πππ+=-=818+-. 【命题意图】本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力. 17.（本小题满分13分）如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,45ADC ∠=,AD=AC=1,O 为AC 的中点,PO ⊥平面ABCD,PO=2,M 为PD 的中点.(Ⅰ)证明PB ∥平面ACM ; (Ⅱ)证明AD ⊥平面PAC;(Ⅲ)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.【解析】(Ⅰ)证明:连接BD,MO.在平行四边形ABCD 中,因为O 为AC 的中点,所以O 为BD 的中点,又M 为PD 的中点,所以PB∥MO,因为PB ⊄平面ACM ,MO ⊂平面ACM ,所以PB∥平面ACM .(Ⅱ)证明:因为45ADC ∠=,AD=AC=1,所以AD⊥AC,又PO⊥平面ABCD,AD ⊂平面ABCD,所以PO⊥AD,而 AC PO O ⋂=,所以AD⊥平面PAC.(Ⅲ)取DO 点N,连接MN,AN,因为M 为PD 的中点,所以MN∥PO,且MN=12PO=1,由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,所以MAN ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角.在Rt DAO ∆中,AD=1,AO=12,所以4DO =,从而124AN DO ==.在Rt ANM ∆中,tan MN MAN AN ∠===5,即直线AM与平面ABCD . 【命题意图】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =.（Ⅰ）求椭圆的离心率e ;(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF 与圆22(1)(16x y ++=相交于M,N 两点,且|MN|=58|AB|,求椭圆的方程.19.（本小题满分14分）已知函数322()4361,,f x x tx t x t x R =+-+-∈其中t R ∈. （Ⅰ）当1t =时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)当0t ≠时,求()f x 的单调区间;(Ⅲ)证明:对任意(0,)t ∈+∞,()f x 在区间(0,1)内均在零点.【解析】（Ⅰ）当1t =时,32()436,(0)0,f x x x x f =+-= 2'()1266,'(0)6f x x x f =+-=-, 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6y x =-. (Ⅱ) 22'()1266,f x x tx t =+-令'()0f x =,解得x t =-或2t,因为0t ≠,以下分两种情况讨论: (1)若0t <,则tt <-.当x 变化时, '()f x ,()f x 的变化情况如下表: 所以()f x 的单调递增区间是(,)2-∞,(,)t -+∞;()f x 的单调递减区间是(,)2t -. (2)若0t >,则2tt >-.当x 变化时, '()f x ,()f x 的变化情况如下表: 所以()f x 的单调递增区间是(,)t -∞-,(,)2+∞;()f x 的单调递减区间是(,)2t -.所以()f x 在(,1)2t 内存在零点. 若(1,2)t ∈,37()(1)24t f t t =-+-<37104t -+<, (0)10,f t =->所以()f x 在(0,)2t内存在零点,所以,对任意(0,2)t ∈,()f x 在区间(0,1)内均在零点.综上, 对任意(0,)t ∈+∞,()f x 在区间(0,1)内均在零点.【命题意图】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法. 20.（本小题满分14分）已知数列{}n a 与{}n b 满足11(2)1nn n n n b a b a +++=-+,13(1),2n n b n N -+-=∈*,且12a =. （Ⅰ）求23,a a 的值;(Ⅱ)设2121n n n c a a +-=-,n N ∈*,证明{}n c 是等比数列; (Ⅲ)设n S 为{}n a 的前n 项和,证明21212122121()3n n n n S S S S n n N a a a a *--++++≤-∈.。

2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题1．设集合U= U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则=⋂（M N ）ð , 则A ．{}12，B ．{}23，C ．{}2，4D ．{}1，42．函数0)y x =≥的反函数为的反函数为A ．2()4x y x R =∈B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈ D ．24(0)y x x =≥3．权向量a,b 满足 ,则1||||1,2a b a b ==⋅=-,则2a b +=ABCD4．若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y -+的最小值为A ．17B ．14C ．5D ．3 5．下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b >+ B ．1a b >-C ．22a b >D ．33a b >6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差为22,24k k d S S +=-=，则k=A ．8B ．7C ．6D ．57．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．98．已知二面角l αβ--，点,,A AC l α∈⊥C 为垂足，点,B BD l β∈⊥，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=A ．2 BCD ．19．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 A ．12种 B ．24种C ．30种D ．36种 10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．14-C ．14D ．1211．11．设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =A ．4 B．C ．8D．12．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060，二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上（注意：在试卷上作答无效）13．（10的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ．14．已知a ∈（3,2ππ），t a n 2,c o s αα=则=15．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE与BC 所成角的余弦值为 。

2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修II ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题1．设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则=⋂（M N ）ðA ．{}12，B ．{}23，C ．{}2，4D ．{}1，42．函数2(0)y x x =≥的反函数为A ．2()4x y x R =∈ B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈D ．24(0)y x x =≥3．权向量a,b 满足1||||1,2a b a b ==⋅=-,则2a b +=A ．2B ．3C ．5D ．74．若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y -+的最小值为A ．17B ．14C ．5D ．3 5．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b >+ B ．1a b >-C ．22a b >D ．33a b >6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差为22,24k k d S S +=-=，则k=A ．8B ．7C ．6D ．57．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．98．已知二面角l αβ--，点,,A AC l α∈⊥C 为垂足，点,B BD l β∈⊥，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=A ．2B ．3C ．2D ．19．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 A ．12种 B ．24种 C ．30种 D ．36种 10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．1211．设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =A ．4B ．42C ．8D ．8212．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060，二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 A ．7π B ．9π C ．11π D ．13π第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。

2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•新课标）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】利用集合的交集的定义求出集合P；利用集合的子集的个数公式求出P的子集个数．【解答】解：∵M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，∴P=M∩N={1，3}∴P的子集共有22=4故选：B【点评】本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含n个元素，则其子集的个数是2n．2．（5分）（2011•新课标）复数=（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】将分子、分母同时乘以1+2i，再利用多项式的乘法展开，将i2用﹣1 代替即可．【解答】解：=﹣2+i故选C【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．3．（5分）（2011•新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y=x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2﹣|x|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】常规题型．【分析】首先由函数的奇偶性排除选项A，然后根据区间（0，+∞）上y=|x|+1=x+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=的单调性易于选出正确答案．【解答】解：因为y=x3是奇函数，y=|x|+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|均为偶函数，所以选项A错误；又因为y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=在（0，+∞）上均为减函数，只有y=|x|+1在（0，+∞）上为增函数，所以选项C、D错误，只有选项B正确．故选：B．【点评】本题考查基本函数的奇偶性及单调性．4．（5分）（2011•新课标）椭圆=1的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据椭圆的方程，可得a、b的值，结合椭圆的性质，可得c的值，有椭圆的离心率公式，计算可得答案．【解答】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2，则c==2；则椭圆的离心率为e==，故选D．【点评】本题考查椭圆的基本性质：a2=b2+c2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．5．（5分）（2011•新课标）执行程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120 B．720 C．1440 D．5040【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．【解答】解：经过第一次循环得到经过第二次循环得到经过第三次循环得到；经过第四次循环得经过第五次循环得；输出结果此时执行输出720，故选B【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律．6．（5分）（2011•新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选A．【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．7．（5分）（2011•新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】二倍角的余弦；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．【解答】解：根据题意可知：tanθ=2，所以cos2θ===，则cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣．故选：B．【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．8．（5分）（2011•新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】作图题．【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选D．【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．9．（5分）（2011•新课标）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．48【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】数形结合法．【分析】首先设抛物线的解析式y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半．【解答】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=﹣∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又∵AB⊥x轴∴|AB|=2p=12∴p=6又∵点P在准线上∴DP=（+||）=p=6∴S△ABP=（DP•AB）=×6×12=36故选C．【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．10．（5分）（2011•新课标）在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】分别计算出f（0）、f（1）、f（）、f（）的值，判断它们的正负，再结合函数零点存在性定理，可以得出答案．【解答】解：∵f（0）=e0﹣3=﹣2＜0 f（1）=e1+4﹣3＞0∴根所在的区间x0∈（0，1）排除A选项又∵∴根所在的区间x0∈（0，），排除D选项最后计算出，，得出选项C符合；故选C．【点评】e=2.71828…是一个无理数，本题计算中要用到等的值，对计算有一定的要求．11．（5分）（2011•新课标）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在（0，）单调性，即可得到答案．【解答】解：因为f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x+）=cos2x．由于y=cos2x的对称轴为x=kπ（k∈Z），所以y=cos2x的对称轴方程是：x=（k∈Z），所以A，C错误；y=cos2x的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），即（k∈Z），函数y=f（x）在（0，）单调递减，所以B错误，D正确．故选D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型．12．（5分）（2011•新课标）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）A．10个B．9个C．8个D．1个【考点】对数函数的图像与性质；函数的周期性．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据对数函数的性质与绝对值的非负性质，作出两个函数图象，再通过计算函数值估算即可．【解答】解：作出两个函数的图象如上∵函数y=f（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数∴函数y=f（x）在区间[0，10]上有5次周期性变化，在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，再看函数y=|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，且当x=1时y=0；x=10时y=1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选：A．【点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，属于基本题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2011•新课标）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k﹣垂直，则k=1．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程，求出k值．【解答】解：∵∴∵垂直∴即∴k=1故答案为：1【点评】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方．14．（5分）（2011•新课标）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为﹣6．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z=x+2y变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A（4，﹣5）∴z=4+2（﹣5）=﹣6故答案为：﹣6．【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．15．（5分）（2011•新课标）△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为．【考点】正弦定理的应用；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】先利用余弦定理和已知条件求得BC，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：由余弦定理可知cosB==﹣，求得BC=﹣8或3（舍负）∴△ABC的面积为•AB•BC•sinB=×5×3×=故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在求三角形面积过程中，利用两边和夹角来求解是常用的方法．16．（5分）（2011•新课标）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积．【专题】计算题；压轴题．【分析】所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值．【解答】解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64π，圆锥的底面积为：12π，圆锥的底面半径为：2；由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形由此可以求得球心到圆锥底面的距离是，所以圆锥体积较小者的高为：4﹣2=2，同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6；所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：．故答案为：【点评】本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2011•新课标）已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．【考点】等比数列的前n项和．【专题】综合题．【分析】（I）根据数列{a n}是等比数列，a1=，公比q=，求出通项公式a n和前n项和S n，然后经过运算即可证明．（II）根据数列{a n}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{b n}的通项公式．【解答】证明：（I）∵数列{a n}为等比数列，a1=，q=∴a n=×=，S n=又∵==S n∴S n=（II）∵a n=∴b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33）=﹣（1+2+…+n）=﹣∴数列{b n}的通项公式为：b n=﹣【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．18．（12分）（2011•新课标）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；证明题；综合题．【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；（II）要求棱锥D﹣PBC的高．只需证BC⊥平面PBD，然后得平面PBC⊥平面PBD，作DE⊥PB于E，则DE⊥平面PBC，利用勾股定理可求得DE的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．（II）解：作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD．故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，则DE⊥平面PBC．由题设知PD=1，则BD=，PB=2．根据DE•PB=PD•BD，得DE=，即棱锥D﹣PBC的高为．【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及点到面的距离，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．19．（12分）（2011•新课标）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；众数、中位数、平均数；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；综合题．【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题20．（12分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣y+a=0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2=（2）2+t2，解得t=1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0x=0，y=1有1+E+F=0y=0，x2 ﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2，即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由已知可得判别式△=56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2=4﹣a，x1x2=①，由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②由①②可得a=﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a2＞0．故a=﹣1．【点评】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．21．（12分）（2011•新课标）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值．（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式．【解答】解：（I）．由于直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，且过点（1，1）所以解得a=1，b=1（II）由（I）知f（x）=所以考虑函数，则所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0，当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得；当从而当x＞0且x≠1时，【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立．22．（10分）（2011•新课标）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．【考点】圆周角定理；与圆有关的比例线段．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，即又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2﹣14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12．故AD=2，AB=12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=（12﹣2）=5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为5【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题．23．（2011•新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1，以及射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求．【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．24．（2011•新课标）设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得﹣=﹣1，故a=2【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．。

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试．．题卷上作答无效．．．．．．．. 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U=（M N ）I ð （A ）{}12，（B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4 【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4xy x R =∈ （B ）2(0)4xy x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24yx =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4xy x =≥.(3)设向量,a b 满足||||1a b == ,12a b ⋅=-r r ,则2a b +=（A（B（C（D【答案】B【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A. (6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =.解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =. (7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，A C l ⊥,C 为垂足,B β∈，B D l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ===，则C D =（A ） 2 （B（C （D ）1【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为l αβ--是直二面角, A C l ⊥,∴A C⊥平面βA C B C ∴⊥BC ∴=又B D l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力. 【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -=(A) -12(B)1 4- (C)14(D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值.【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111((2)()()2(12222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12CC = (A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离O M =,在R t O M N∆中,30OMN ︒∠=, ∴12O N O M ==故圆N的半径r ==,∴圆N的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。

2011天津高考数学文科一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．i 是虚数单位,复数13i1i-=- ( )． A ．2i - B ．2i + C ．12i -- D ．12i -+【测量目标】复数的代数形式四则运算.【考查方式】给出复数的代数形式，对其进行化简. 【参考答案】A 【试题解析】()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2-+--===---+．故选A ． 2．设变量,x y ，满足约束条件1,40,340,x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-+⎩………则目标函数3z x y =-的最大值为 ( ).A ．4-B ．0C ．43D ．4【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】考查了二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 【参考答案】D【试题解析】画出可行域为图中的ABC △的区域，直线3y x z =-经过()2,2A 时，4z =最大．故选D ．3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为4-，则输出y 的值 为 ( )．A ．0.5B ．1C ．2 D.4 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图输入值，求输出值. 【参考答案】C【试题解析】运算过程依次为：输入4x =-43⇒->437x ⇒=--=73⇒>734x =-=43⇒> 431x ⇒=-=13⇒<122y ⇒==⇒输出2．故选Ｃ．4．设集合{}20A x x =∈->R ，{}0B x x =∈<R ，(){}20C x x x =∈->R ，则“x A B ∈ ”是“x C ∈”的 ( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【测量目标】充分必要条件.【考查方式】考查了必要条件，充分条件的关系及集合的概念 【参考答案】C【试题解析】{0A B x x =∈<R 或}2x >，(){}{20=0C x x x x x =∈->∈<R R 或}2x >所以A B C = ．所以“x A B ∈ ”是“x C ∈”的充分必要条件．故选Ｃ．5．已知2log 3.6a =，4log 3.2b =，4log 3.6c =，则 ( )． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >> 【测量目标】对数函数化简与求值.【考查方式】考查了对数函数的运算性质与单调性，利用中间值判断对数的大小. 【参考答案】B【试题解析】因为224log 3.6log 3.6a ==，而23.6 3.6 3.2>>，又函数4log y x =是()0,+∞上的增函数，则2444log 3.6log 3.6log 3.2>>． 所以a c b >>．故选B ．6．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为 ( )．A ．B ．C ．D ．【测量目标】圆锥曲线之间的位置关系.【考查方式】考查了双曲线与抛物线的定义、标准方程，知道其简单的几何性质. 【参考答案】B【试题解析】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则22p-=-， 所以4p =．(步骤1)又因为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，则42pa +=，所以2a =．(步骤2) 因为点()2,1--在双曲线的一条渐近线上，则()12ba-=-，即2a b =，所以1,b c ==2c =(步骤3)7．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，π<πϕ-…．若()f x 的最小正周期为6π，且当π2x =时，()f x 取得最大值，则 ( )． A ．()f x 在区间[]2π,0-上是增函数 B ．()f x 在区间[]3π,π--上是增函数 C ．()f x 在区间[]3π,5π上是减函数 D ．()f x 在区间[]4π,6π上是减函数 【测量目标】三角函数的最值.【考查方式】考查了正弦函数的性质（如单调性，最值，周期等） 【参考答案】A【试题解析】由题设得ππ,222π6π,ωϕω⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得13ω=，π3ϕ=．所以已知函数为()π2sin 33x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(步骤1) 其增区间满足πππ2π2π2332x k k -+++剟，k ∈Z ．(步骤2) 解得5π6ππ6π2k x k -++剟，k ∈Z ．(步骤3)取0k =得5ππ2x -剟，所以5π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为一个增区间，因为[]5π2π,0,π2⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间[]2π,0-上是增函数．故选Ａ．(步骤4) 8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,,1,a ab a b b a b -⎧⊗=⎨->⎩…设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ( )．A ．(]()1,12,-+∞B ．(](]2,11,2--C ．()(],21,2-∞-D ．[]2,1--【测量目标】函数图像的应用.【考查方式】考查了给一个新公式结合二次函数图像，了解函数的零点与方程根的联系. 【参考答案】B【试题解析】由题设()22,12,1,12x x f x x x x ⎧--=⎨-<->⎩或剟(步骤1)画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为()2,1A ，，()2,2B ，()1,1C --，()1,2D --．(步骤2)从图象中可以看出，直线y c =穿过点B ，点A 之间时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，同时，直线y c =穿过点C ，点D 时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，所以实数c 的取值范围是(](]2,11,2-- ．故选Ｂ．(步骤3)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分,共30分．9．已知集合{}12A x x =∈-<R ，Z 为整数集，则集合A Z 中所有元素的和等于 ．【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了集合的概念及交集运算. 【参考答案】3【试题解析】解集合A 得13x -<<，则{}0,1,2A =Z ，所有元素的和等于0123++=．10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ．【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】考查了学会掌握三视图的画法及几何体的体积计算公式. 【参考答案】4【试题解析】几何体是由两个长方体组合的．体积为1211124V =⨯⨯+⨯⨯=．11．已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，n ∈N +．若316a =，2020S =，则10S 的值为 ．【测量目标】等差数列的通项公式及前n 项和公式. 【考查方式】考查了已知等差数列求前n 项和. 【参考答案】110【试题解析】设公差为d ，由题设31201216,2019020.a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得2d =-，120a =．()10110451020452110S a d =+=⨯+⨯-=．12．已知22log log 1a b +…，则39ab+的最小值为 ． 【测量目标】基本不等式求最值.【考查方式】考查了用基本不等式解决最值问题及对数函数运算性质. 【参考答案】18【试题解析】因为22log log 1a b +…，则2log 1ab …，2ab …，24a b …3918a b +=厖，当且仅当39,2,a b a b ⎧=⎨=⎩即2a b =时，等号成立，所以39a b+的最小值为18．13．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB延长线上一点，且DF CF ==::4:2:1AF FB BE =，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为 ．【测量目标】圆的性质的应用.【考查方式】考查了直线与圆的位置关系及运用代数方法解决几何问题的思想.【参考答案】2【运算性质】因为::4:2:1AF FB BE =，所以设BE a =，2FB a =，4AF a =．由相交弦定理，242DF CF AF FB a a ===， 所以12a =，12BE =，772AE a ==．因为CE 与圆相切，由切割线定理，2177224CE AE BE === ．所以2CE =． 14． 已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为 ．【测量目标】平面向量在平面几何的应用.【考查方式】考查了几何与代数相结合求解最值问题 【参考答案】5【试题解析】解法1 ．以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立如图的直角坐标系．由题设，()2,0A ，设()0,C c ，()0,P y ，则()1,B c ．()2,PA y =- ，()1,PB c y =-． ()35,34PA PB c y +=-．(步骤1)35PA PB += ，(步骤2)当且仅当34cy =时，等号成立，于是， 当34cy =时，3PA PB + 有最小值5．(步骤3)解法2 ． 以相互垂直的向量，为基底表示3PA PB +，得()533332P A P B D A D P P C C B D A P C D P +=-++=+- ．(步骤1) 又P 是腰DC 上的动点，即PC 与共线，于是可设PC DP λ=，有53(31)2PA PB DA DP λ+=+- ．所以2222553(31)(31)42PA PB DA DP DA DP λλ⎡⎤+=+-+⨯-⎣⎦(步骤2) 即 ()()22222533125314PA PB DA DP DP λλ⎡⎤+=+-=+-⎣⎦ ． 由于P 是腰DC 上的动点，显然当31=λ，即13PC DP = 时，所以3PA PB +有最小值5．(步骤3)解法3 ．如图，3PB PF =，设E 为AF 的中点，Q 为AB 的中点，则12QE BF PB ==，32PA PB PA PF PE +=+=， ①(步骤1)因为PB PQ PE += ，PB PQ QB -= ．则22222222PB PQ PB PQ PB PQ PE QB ++-=+=+ ． ②(步骤2)（实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”） 设T 为DC 的中点，则TQ 为梯形的中位线，()1322TQ AD BC =+=． 设P 为CT 的中点，且设,CP a PT b ==，则221PB a =+ ，2294PQ b =+ ，()2214QB a b =++ ，代入式②得()()222222912221244PB PQ a b PE a b ⎛⎫+=+++=+++ ⎪⎝⎭ ，(步骤3)于是()22252544PE a b =+- …，于是25PE …，当且仅当a b =时，等号成立． 由式①，325PA PB PE +=…，所以3PA PB +有最小值5．(步骤4)三、解答题：本大题共6小题，共80分。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文）试题解析本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式： 如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式V Sh =()()()P A B P A P B ⋃=+ 其中S 表示棱柱的底面面积。

h 表示棱柱的高。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，复数131ii--= ( )A ．2i -B ．2i +C ．12i --D ．12i -+【答案】A 【解析】 13(13)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i --+-===---+2．设变量x ，y 满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为( )A ．-4B ．0C ．43D ．4 【答案】D【解析】可行域如图：联立40340x y x y ++=⎧⎨-+=⎩解得⎩⎨⎧==22y x 当目标直线3z x y =-移至（2.2）时，3z x y =-有最大值4.3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为-4，则输出y 的值为( ) A ．,0．5 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】C【解析】当4x =-时，37x x =-=； 当7x =时，34x x =-= 当4x =时，31|3|<=-=x x ，∴22y '==.4．设集合{}{}|20,|0A x R x B x R x =∈->=∈<，{}|(2)0C x R x x =∈->， 则“x A B ∈⋃”是“x C ∈”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵{}20A x kx =∈->，{}0B x kx =∈<，∴{0A B x x ⋃=<，或}2x >，又∵}{{(2)00C x k x x x k x =∈->=∈<或}2x >， ∴A B C ⋃=，即“x A B ∈⋃”是“x C ∈”的充分必要条件.5．已知244log 3.6,log 3.2,log 3.6a b c ===则( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >> 【答案】B【解析】∵ 3.6222log log 1a =>=，又∵4log xy =为单调递增函数， ∴ 3.2 3.64444log log log 1<<=， ∴b c a <<.6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】双曲线22215x y a -=的渐近线为b y x a =±，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1）得22p-==，即4p =，又∵42=+a p ，∴2a =，将（－2，－1）代入by x a=得1b =，∴c =2c =.7．已知函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,,()f x ωπϕπ>-<≤若的最小正周期为6π，且当2x π=时，()f x 取得最大值，则 （ ）A ．()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B ．()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C ．()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D ．()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数【答案】A 【解析】∵πωπ62=，∴31=ω.又∵12,322k k z πππ⨯+=+∈且4ππ-<<，∴当0k =时，1,()2sin()333f x x ππϕ==+，要使()f x 递增，须有122,2332k x k k z πππππ-≤+≤+∈，解之得566,22k x k k z ππππ-≤≤+∈，当0k =时，522x ππ-≤≤，∴()f x 在5[,]22ππ-上递增.8．对实数a b 和，定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数2()(2)(1),f x x x x R =-⊗-∈。

2011年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题(1）设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（M N ）（A){}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 (D ）{}1，4【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算.【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=(2）函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ (B ）2(0)4x y x =≥ （C)24y x =()x R ∈ (D)24(0)y x x =≥【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法。

【解析】由原函数反解得24y x =，又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥。

（3)设向量,a b 满足||||1a b ==，12a b ⋅=-，则2a b += （A ） （B ） (C) （D ） 【答案】B 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法。

【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=，所以23a b += (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 (C ）5 （D ）3【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值，所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是(A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质。

【解析】即寻找命题，使P a b ⇒>，且a b >推不出,逐项验证知可选A 。

2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩ N）=（）A．{1，2} B．{2，3} C．{2，4} D．{1，4} 2．（5 分）函数y= （x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）3．（5分）设向量、满足| |=| |=1，•=﹣，| +2 |=（）A．.B．C．、D．.4．（5 分）若变量x、y 满足约束条件，则z=2x+3y 的最小值为（）A．17 B．14 C．5 D．35．（5 分）下面四个条件中，使a＞b 成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a3＞b36．（5 分）设S n 为等差数列{a n}的前n 项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8 B．7 C．6 D．57．（5 分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω 的最小值等于（）A．B．3 C．6 D．98．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C 为垂足，点B∈β，BD⊥l，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）A．2 B．C．D．19．（5分）4 位同学每人从甲、乙、丙3 门课程中选修1 门，则恰有2 人选修课程甲的不同选法共有（）A．12 种B．24 种C．30 种D．36 种10．（5 分）设f（x）是周期为2 的奇函数，当0≤x≤1 时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．11．（5 分）设两圆C1、C2 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A．4 B．C．8 D．12．（5 分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）（1﹣x）10的二项展开式中，x 的系数与x9的系数之差为：．14．（5 分）已知a∈（π，），tanα=2，则cosα=．15．（5 分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为C1D1 的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为．16．（5 分）已知F1、F2 分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F1AF2 的平分线，则|AF2|= ．三、解答题（共6 小题，满分70 分）17．（10 分）设等比数列{a n}的前n 项和为S n，已知a2=6，6a1+a3=30，求a n 和S n．18．（12 分）△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．19．（12 分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（I）求该地1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率；（II）求该地的3 位车主中恰有1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．20．（12 分）如图，四棱锥S﹣ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（I）证明：SD⊥平面SAB；（II）求AB 与平面SBC 所成的角的大小．： 21．（12 分）已知函数f （x ）=x 3+3ax 2+（3﹣6a ）x +12a ﹣4（a ∈R ）（I ） 证明：曲线 y=f （x ）在 x=0 处的切线过点（2，2）；（II ）若 f （x ）在 x=x 0 处取得极小值，x 0∈（1，3），求 a 的取值范围．22．（12 分）已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 C 在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为﹣的直线 l 与 C 交于 A 、B 两点，点 P 满足．（I ） 证明：点 P 在 C 上；（II ） 设点 P 关于点 O 的对称点为 Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩ N）=（）A．{1，2} B．{2，3} C．{2，4} D．{1，4}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题．【分析】先根据交集的定义求出M∩N，再依据补集的定义求出∁U（M∩N）．【解答】解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，则∁U（M∩N）={1，4}，故选：D．【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义，以及求两个集合的交集、补集的方法．2．（5 分）函数y= （x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由原函数的解析式解出自变量x 的解析式，再把x 和y 交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．【解答】解：∵y= （x≥0），∴x= ，y≥0，故反函数为y= （x≥0）．故选：B．【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．3．（5分）设向量、满足| |=| |=1，•=﹣，| +2|=（）A．.B．C．、D．.【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由| +2|==，代入已知可求【解答】解：∵| |=| |=1，•=﹣，| +2|===故选：B．【点评】本题主要考查了向量的数量积性质的基本应用，属于基础试题4．（5 分）若变量x、y 满足约束条件，则z=2x+3y 的最小值为（）A．17 B．14 C．5 D．3【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】我们先画出满足约束条件的平面区域，然后求出平面区域内各个顶点的坐标，再将各个顶点的坐标代入目标函数，比较后即可得到目标函数的最值．【解答】解：约束条件的平面区域如图所示：由图可知，当x=1，y=1 时，目标函数z=2x+3y 有最小值为5故选：C．【点评】本题考查的知识点是线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域是解答本题的关键．5．（5 分）下面四个条件中，使a＞b 成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b 推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1 满足a＞b，但a=b+1 即a＞b 推不出a＞b+1，故a＞b+1 是a＞b 成立的充分而不必要的条件．故选：A．【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．6．（5 分）设S n 为等差数列{a n}的前n 项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】85：等差数列的前n 项和．【专题】11：计算题．，S k，将S k+2﹣S k=24 转化为关于k 【分析】先由等差数列前n 项和公式求得S k+2的方程求解．【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2∴S k﹣S k=24 转化为：+2（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．7．（5 分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω 的最小值等于（）A．B．3 C．6 D．9【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】56：三角函数的求值．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选：C．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．8．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C 为垂足，点B∈β，BD⊥l，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）A．2 B．C．D．1【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题．【分析】根据线面垂直的判定与性质，可得AC⊥CB，△ACB 为直角三角形，利用勾股定理可得BC 的值；进而在Rt△BCD 中，由勾股定理可得CD 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，可得AC⊥面β，则AC⊥CB，△ACB 为Rt△，且AB=2，AC=1，由勾股定理可得，BC=；在Rt△BCD 中，BC=，BD=1，由勾股定理可得，CD=；故选：C．【点评】本题考查两点间距离的计算，计算时，一般要把空间图形转化为平面图形，进而构造直角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理计算求解．9．（5分）4 位同学每人从甲、乙、丙3 门课程中选修1 门，则恰有2 人选修课程甲的不同选法共有（）A．12 种B．24 种C．30 种D．36 种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分步计数问题，恰有2 人选修课程甲，共有C42 种结果，余下的两个人各有两种选法，共有2×2 种结果，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，∵恰有2 人选修课程甲，共有C42=6 种结果，∴余下的两个人各有两种选法，共有2×2=4 种结果，根据分步计数原理知共有6×4=24 种结果故选：B．【点评】本题考查分步计数问题，解题时注意本题需要分步来解，观察做完这件事一共有几步，每一步包括几种方法，这样看清楚把结果数相乘得到结果．10．（5 分）设f（x）是周期为2 的奇函数，当0≤x≤1 时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2 的奇函数，当0≤x≤1 时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．11．（5 分）设两圆C1、C2 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A．4 B．C．8 D．【考点】J1：圆的标准方程．【专题】5B：直线与圆．【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），（b，b），利用条件可得a 和b 分别为x2﹣10x+17=0 的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离|C1C2|=•的值．【解答】解：∵两圆C1、C2 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内，设两个圆的圆心的坐标分别为（a，a），（b，b），由于两圆都过点（4，1），则有=|a|，|=|b|，故a 和b 分别为（x﹣4）2+（x﹣1）2=x2的两个实数根，即a 和b 分别为x2﹣10x+17=0 的两个实数根，∴a+b=10，ab=17，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=32，∴两圆心的距离|C1C2|=•=8，故选：C．【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用，属于基础题．12．（5 分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先求出圆M 的半径，然后根据勾股定理求出求出OM 的长，找出二面角的平面角，从而求出ON 的长，最后利用垂径定理即可求出圆N 的半径，从而求出面积．10 【解答】解：∵圆 M 的面积为 4π∴圆 M 的半径为 2根据勾股定理可知 OM=∵过圆心 M 且与 α 成 60°二面角的平面 β 截该球面得圆 N∴∠OMN=30°，在直角三角形 OMN 中，ON=∴圆 N 的半径为则圆的面积为 13π故选：D ．【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13．（5 分）（1﹣x ）10 的二项展开式中，x 的系数与 x 9 的系数之差为： 0 ．【考点】DA ：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 的指数分别取 1； 9 求出展开式的 x 的系数与 x 9 的系数；求出两个系数的差．【解答】解：展开式的通项为 T r +1=（﹣1）r C r x r所以展开式的 x 的系数﹣10x 9 的系数﹣10x 的系数与 x 9 的系数之差为（﹣10）﹣（﹣10）=0故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14．（5 分）已知 a ∈（π， ），tan α=2，则 cosα= ﹣ ．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】先利用α的范围确定cosα的范围，进而利用同脚三角函数的基本关系，求得cosα 的值．【解答】解：∵a∈（π，），∴cosα＜0∴cosα=﹣=﹣故答案为：﹣【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．解题的关键是利用那个角的范围确定三角函数符号．15．（5 分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为C1D1 的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合；35：转化思想．【分析】根据题意知AD∥BC，∴∠DAE 就是异面直线AE 与BC 所成角，解三角形即可求得结果．【解答】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE 就是异面直线AE 与BC 所成角，在△RtADE 中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．16．（5 分）已知F1、F2 分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F1AF2 的平分线，则|AF2|= 6 ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】16：压轴题．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．【解答】解：不妨设A 在双曲线的右支上∵AM 为∠F1AF2 的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．三、解答题（共6 小题，满分70 分）17．（10 分）设等比数列{a n}的前n 项和为S n，已知a2=6，6a1+a3=30，求a n 和1 n n1 n n S n ．【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前 n 项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】设出等比数列的公比为 q ，然后根据等比数列的通项公式化简已知得两等式，得到关于首项与公比的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到首项和公比的值，根据首项和公比写出相应的通项公式及前 n 项和的公式即可．【解答】解：设{a n }的公比为 q ，由题意得：，解得： 或 ，当 a =3，q=2 时：a =3×2n ﹣1，S =3×（2n ﹣1）；当 a =2，q=3 时：a =2×3n ﹣1，S =3n ﹣1．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求值，是一道基础题．18．（12 分）△ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ．已知 asinA +csinC ﹣asinC=bsinB ，（Ⅰ）求 B ；（Ⅱ）若 A=75°，b=2，求 a ，c ．【考点】HU ：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得 cosB 的值，进而求得 B ．（Ⅱ）利用两角和公式先求得 sinA 的值，进而利用正弦定理分别求得 a 和 c ．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得 a 2+c 2﹣ac=b 2，由余弦定理可得 b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，故cosB= ，B=45°（Ⅱ）sinA=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=故a=b×==1+∴c=b×=2×=【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用．19．（12 分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（I）求该地1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率；（II）求该地的3 位车主中恰有1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CN：二项分布与n 次独立重复试验的模型．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）设该车主购买乙种保险的概率为P，由相互独立事件概率公式可得P（1﹣0.5）=0.3，解可得p，先求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案．（II）该地的3 位车主中恰有1 位车主甲、乙两种保险都不购买，是一个n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率，根据上一问的结果得到该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率，代入公式得到结果．【解答】解：（I）设该车主购买乙种保险的概率为p，根据题意可得p×（1﹣0.5）=0.3，解可得p=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率1﹣0.2=0.8 （II）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，则该地的3 位车主中恰有1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率P=C31×0.2×0.82=0.384．【点评】本题考查互斥事件的概率公式加法公式，考查n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率，考查对立事件的概率公式，是一个综合题目．20．（12 分）如图，四棱锥S﹣ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（I）证明：SD⊥平面SAB；（II）求AB 与平面SBC 所成的角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD 垂直于面SAB 中两条相交的直线SA，SB；在证明SD 与SA，SB 的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB与平面SBC 所成的角的大小即利用平面SBC 的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD 中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB 为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S 在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形知，M 点一定在x 轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC 的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC 的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB 与平面SBC 所成的角的大小为arcsin【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．21．（12 分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）（I）证明：曲线y=f（x）在x=0 处的切线过点（2，2）；（II）若f（x）在x=x0 处取得极小值，x0∈（1，3），求a 的取值范围．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）在x=0 处的导数和f（0）的值，结合直线方程的点斜式方程，可求切线方程；（Ⅱ）f（x）在x=x0 处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零点存在性，得出函数有极小值的a 的大致取值范围，然后通过极小值对应的x0∈（1，3），解关于a 的不等式，从而得出取值范围【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+6ax+3﹣6a由f（0）=12a﹣4，f′（0）=3﹣6a，可得曲线y=f（x）在x=0 处的切线方程为y=（3﹣6a）x+12a﹣4，当x=2 时，y=2（3﹣6a）+12a﹣4=2，可得点（2，2）在切线上∴曲线y=f（x）在x=0 的切线过点（2，2）（Ⅱ）由f′（x）=0 得x2+2ax+1﹣2a=0 (1)方程（1）的根的判别式①当时，函数f（x）没有极小值②当或时，由f′（x）=0 得故x0=x2，由题设可知：（i ） 当时，不等式没有实数解； （ii ） 当时，不等式化为 a +1＜＜a +3，解得综合①②，得 a 的取值范围是【点评】将字母 a 看成常数，讨论关于 x 的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处理关于 a 的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高．22．（12 分）已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 C 在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为﹣的直线 l 与 C 交于 A 、B 两点，点 P 满足． （I ） 证明：点 P 在 C 上；（II ） 设点 P 关于点 O 的对称点为 Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角；KH ：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】（1）要证明点 P 在 C 上，即证明 P 点的坐标满足椭圆 C 的方程， 根据已知中过 F 且斜率为﹣的直线 l 与 C 交于 A 、B 两点，点 P 满足，我们求出点 P 的坐标，代入验证即可．（2）若 A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：①，则直线AB 的方程为：y=﹣x+1 ②联立方程可得4x2﹣2x﹣1=0，则x1+x2=，x1×x2=﹣则y1+y2=﹣（x1+x2）+2=1设P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=﹣（+）=（﹣，﹣1）∴p 的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P 在C 上．（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上．设线段AB 的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB 的中点且垂直于AB 的直线方程为：y﹣= （x﹣），即y=x+；③∵P 关于点O 的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ 的中点，则过线段PQ 的中点且垂直于PQ 的直线方程为：y=﹣x④；③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=③④的交点就是圆心O1（﹣，），r2=|O1P|2=（﹣﹣（﹣））2+（﹣1﹣）2=故过P Q 两点圆的方程为：（x+）2+（y﹣）2=…⑤，把y=﹣x+1 …②代入⑤，有x1+x2= ，y1+y2=1∴A，B 也是在圆⑤上的．∴A、P、B、Q 四点在同一圆上．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．。

2011年普通高等学校招生全国统一考试天津卷（文科）第Ⅰ卷本卷共8小题，每小题5分，共40分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（同理１）i 是虚数单位,复数13i1i-=-( )． 啊．2i - 不．2i + 才．12i -- D ．12i -+【解】()()()()13i 1i 13i 42i 2i 1i 1i 1i 2-+--===---+．故选A ．2．设变量,x y ，满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为( )．A ．4-B ．0C ．43的．4 【解】画出可行域为图中的ABC ∆的区域，直线3y x z =-经过()2,2A 时，4z =最大．故选D ．3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为( )．A ．0.5B ．1C ．2D ．4【解】运算过程依次为：输入4x =-43⇒->437x ⇒=--= 73⇒>734x =-=43⇒> 431x ⇒=-=13⇒<122y ⇒==⇒输出2．故选Ｃ．4．设集合{}20A x x =∈->R ，{}0B x x =∈<R ，(){}20C x x x =∈->R ，则“x A B ∈ ”是“x C ∈”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解】{}02A B x x x =∈<>R 或，(){}{}2002C x x x x x x =∈->∈<>R R 或所以A B C = ．所以“x A B ∈ ”是“x C ∈”的充分必要条件．故选Ｃ． 5．已知2log 3.6a =，4log 3.2b =，4log 3.6c =，则 ( )． A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >>【解】因为224log 3.6log 3.6a ==，而23.6 3.6 3.2>>，又函数4log y x =是()0,+∞上的增函数，则2444log 3.6log 3.6log 3.2>>． 所以a c b >>．故选Ｂ．6．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为 ( )．A ．B ．C ．D ．【解】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则22p-=-， 所以4p =．又因为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，则42pa +=，所以2a =． 因为点()2,1--在双曲线的一条渐近线上，则()12ba-=-，即2a b =，所以1,b c ==2c =7．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，ππϕ-<≤．若()f x 的最小正周期为6π，且当π2x =时，()f x 取得最大值，则( )． A ．()f x 在区间[]2π,0-上是增函数 B ．()f x 在区间[]3π,π--上是增函数C ．()f x 在区间[]3π,5π上是减函数D ．()f x 在区间[]4π,6π上是减函数【解】由题设得ππ,222π6π,ωϕω⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得13ω=，π3ϕ=．所以已知函数为()π2sin 33x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 其增区间满足π222332x k k ππππ-+≤+≤+，k ∈Z ． 解得5π6ππ6π2k x k -+≤≤+，k ∈Z ． 取0k =得5ππ2x -≤≤，所以5π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为一个增区间，因为[]5π2π,0,π2⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 在区间[]2π,0-上是增函数．故选Ａ．8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )．A ．(]()1,12,-+∞B ．(](]2,11,2--C ．()(],21,2-∞-D ．[]2,1--【解】由题设()22,12,1,12x x f x x x x ⎧--≤≤=⎨-<->⎩或画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为()2,1A ，，(),2B ，()1,1C --，()1,2D --．从图象中可以看出，直线y c =穿过点B ，点A 之间时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，同时，直线y c =穿过点C ，点D 时，直线y c =与图象有且只有两个公共点，所以实数c 的取值范围是(](]2,11,2-- ．故选Ｂ．第Ⅱ卷二、填空题：本答题共6小题，每小题5分,共30分．9．已知集合{}12A x x =∈-<R ，Z 为整数集，则集合A Z 中所有元素的和等于 ．【解】3．解集合A 得13x -<<，则{}0,1,2A =Z ，所有元素的和等于0123++=． 10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为3m ．【解】4．几何体是由两个长方体组合的．体积为 1211124V =⨯⨯+⨯⨯=．11．已知{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，n +∈N ．若316a =，2020S =，则10S 的值为 ．【解】110．设公差为d ，由题设31201216,2019020.a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得2d =-，120a =．()10110451020452110S a d =+=⨯+⨯-=．12．已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为 ． 【解】18．因为22log log 1a b +≥，则2log 1ab ≥，2ab ≥，24a b ⋅≥3918a b +≥=≥，当且仅当39,2,a b a b ⎧=⎨=⎩即2a b =时，等号成立，所以39a b+的最小值为18．13．（同理12）如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF CF ==::4:2:1AF FB BE =，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为 ．【解】2． 因为::4:2:1AF FB BE =，所以设BE a =，2FB a =，4AF a =． 由相交弦定理，242DF CF AF FB a a ⋅=⋅==⋅， 所以12a =，12BE =，772AE a ==．因为CE 与圆相切，由切割线定理，2177224CE AE BE =⋅=⋅=．所以CE =． 14．(同理14) 已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为 ．【解】5．解法1 ．以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立如图的直角坐标系．由题设，()2,0A ，设()0,C c ，()0,P y ，则()1,B c ．()2,PA y =- ，()1,PB c y =-． ()35,34PA PB c y +=-．35PA PB += ，当且仅当34c y =时，等号成立，于是，当34cy =时，3PA PB + 有最小值5．解法2 ． 以相互垂直的向量DP ，DA 为基底表示PB PA 3+，得()533332P A P BD A D P P C C B D A P C D P+=-++=+-． 又P 是腰DC 上的动点，即与共线，于是可设λ=，有)13(253-+=+λ． 所以2222553(31)(31)42PA PB DA DP DA DP λλ⎡⎤+=+-+⨯-⋅⎣⎦即 []213(25)13(-+=-+=+λλ． 由于P 是腰DC 上的动点，显然当31=λ，即DP PC 31=时，所以3PA PB +有最小值5．解法3 ．如图，3PB PF =，设E 为AF 的中点，Q 为AB 的中点，则12QE BF PB ==，32PA PB PA PF PE +=+=， ①因为PB PQ PE += ，PB PQ QB -=．则22222222PB PQ PB PQ PB PQ PE QB ++-=+=+ ． ②（实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”） 设T 为DC 的中点，则TQ 为梯形的中位线，()1322TQ AD BC =+=． 设P 为CT 的中点，且设,CP a PT b ==，则221PB a =+ ，2294PQ b =+ ，()2214QB a b =++ ，代入式②得()()222222912221244PB PQ a b PE a b ⎛⎫+=+++=+++ ⎪⎝⎭ ，于是()22252544PE a b =+-≥ ，于是25PE ≥ ，当且仅当a b =时，等号成立． 由式①，325PA PB PE +=≥，所以3PA PB +有最小值5．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学本试卷共20题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式： 如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式V Sh =()()()P A B P A P B ⋃=+其中S 表示棱柱的底面面积。

h 表示棱柱的高。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，复数131ii−−= A ．2i − B ．2i + C ．12i −− D ．12i −+2．设变量x ，y 满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+−≤⎨⎪−+≤⎩则目标函数3z x y =−的最大值为A ．-4B ．0C ．43D ．43．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为-4，则输出y 的值为 A ．,0．5 B ．1 C ．2 D ．44．设集合{}{}|20,|0A x R x B x R x =∈−>=∈<，{}|(2)0C x R x x =∈−>， 则“x A B ∈⋃”是“x C ∈”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件5．已知244log 3.6,log 3.2,log 3.6a b c ===则A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（ ）A．B．C．D．7．已知函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,,()f x ωπϕπ>−<≤若的最小正周期为6π，且当2x π=时，()f x 取得最大值，则（ ）A ．()f x 在区间[2,0]π−上是增函数B ．()f x 在区间[3,]ππ−−上是增函数C ．()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D ．()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数8．对实数a b 和，定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b −≤⎧⊗=⎨−>⎩设函数2()(2)(1),f x x x x R =−⊗−∈。