概率与测度学习

样本空间就是{死亡，存活}。
要写四个字，很罗嗦。会占掉每日写字份额的。
可以说这个情况相当严重了，那么怎么办？把“死亡”，"存活"给数值化。
比如说{0，1}。只占2个字节，好开森~
总之呢，引入随机变量，就是为了将试验结果数值化
数值化之后又能干嘛呢？函数啊~~~会用excel不？别人一个一个改可能要改一天。你函数一用，瞬间秒杀。不仅如此，老板还特别高兴，因为你做得又快又好。
这个现象成功引起了注意，于是人们就会进行试验。（就比如说重复扔硬币的试验）
具有这种特性的试验，我们称之为随机试验。在概率论中，我们要研究随机现象，是通过大量的随机试，都有两个结果：‘正面’‘反面’
预先知道了所有结果，而且结果数量有两个
对，没错，这个人扔了两万四千次
简单起见，把sigma(X)理解成随机变量X所包含的所有信息就好。
随机变量生成的 代数，指的是一组特殊事件组成的集合：这些事件是否发生，可以通过随机变量的取值明确判断出来。举个例子吧。比如今天可能下雨也可能不下，下雨时随机变量X=1，反之X=0。然而，下不下雨只是“今天”的一个属性，其它属性，比如我早饭吃的是火腿还是培根，也是全世界所包含的信息的一部分。假设整个概率空间由下面这些元素组成：
感觉上和什么松下，井上，差不多...想想还是中文名有讲究。
degenerate（退化）分布
那么开头举的那个鱼塘例子，里面鱼的存活情况满足什么分布呢？
二项分布很常用：比如说抛硬币
4的超几何分布是不是特别眼熟？就是概率论基础1中提到的“古典概型离不开排列组合”中提到的例子。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。（由二项式推导而来）
如果回忆起随机变量自身就是一个函数，以ω表示随机变量x(t)的定义域中的一点，并以x(t，ω)表示随机变量在ω的值，则随机过程就由刚才定义的点偶(t，ω)的函数以及概率的分配完全确定。
如何理解 由随机变量X生成的σ代数？
概率空间就是所有像素的集合，X就是每个像素点的颜色。
如果你能精确地定位每个点，那么你就能知道它的颜色。
[火腿，下雨]：概率0.25，X = 1
[火腿，不下雨]：概率0.25，X = 0
[培根，下雨]：概率0.25，X = 1
[培根，不下雨]：概率0.25，X = 0
这时，X生成的 代数包括下面三个非空集合：
{X = 1} = {[火腿，下雨]，[培根，下雨]}
{X = 0} = {[火腿，不下雨]，[培根，不下雨]}
概率与测度学习
要学习概率论，首先先得了解各个基础的概念才行。
其实概率论，尤其是古典概型，并不难。
难度提升是在引入微积分之后。需要会解定积分双重积分。如果明白积分的意义，可以更好地理解概率论的研究。
之后还会分成不同的研究方向，比如说数理统计，又或者说随机过程。这都是一些专业课程的基础。
进入正题
一般来讲，一个学科都是从现象入手的。
贝叶斯公式就是乘法公式/全概率公式
有点矩阵相乘的那种感觉。
重复独立试验:
研究“在同样条件下重复试验”的数学模型
例如: 投n个硬币或进行n次有放回摸球。
特别的，当每次试验只有两个可能结果时，称为n重伯努利试验
概率论-随机变量
当样本空间中，元素不是一个数的时候，研究起来很不方便。
就比如说想研究鱼塘里鱼存活的概率。
具体地说，概率的公理化定义指定了一个三元组（Ω，F，P），称为一个概率空间。其中Ω是样本空间，F是事件域，P是定义域为F、值域为[0,1]的一个集合函数，满足非负性、规范性、可列可加性三个条件。
直观理解，样本空间Ω是试验前已经预知的一切可能结果的取值范围，事件域F规定了哪些Ω的子集能够称作“事件”（从而避免产生不可测集导致的悖论，实际应用中经常采用的事件域是Borel点集），满足三条概率公理的集合函数P指定了每个事件对应的概率。
有试验就有试验结果。
我们把每种结果放在一个集合里面，称之为样本空间Ω【不是每个！是种！
每个结果放在一个集合里面，那个集合叫做统计总体】
样本空间中的每一个元素称为样本点ω（也就是每种结果）
Ω里的子集称为随机事件，简称事件，由ω组成
Ω全集称为必然事件
Ø空集称为不可能事件
设A为事件。
可测空间(Ω，F)的定义。
ξ念作阔c。至少知道人家叫什么才能更进一步了解人家嘛！（狂收好人卡的人装作很懂的样子）
正如概率论-基础概念1中所提到的，这是个映射的想法。把集合中的结果一一对应到实数集里面。
这个概念很重要，学算法的时候是躲不开的。而且也不难理解，一般都是自己设的。
比如说扔骰子。1点就设成ξ（1点）=1，以此类推。有些疯狂的同学可能觉得，这体现不出自己的水平，要设成ξ（1点）=4821812。emmmm.......
【σ代数F是Ω的所有子集的集合（也就是幂集）的一个子集。】
F里面其实就放着Ω里的各个ω的各种组合，这么讲应该好理解一些。数学嘛！要严谨一点！
这边注意一下：A1，A2...是互不相容，而不是互相独立（之后会碰到的）
因为F是个集合，定义在集合上的函数也叫做集函数。其实就是映射。
概率空间的定义（引自360百科）
离散变量的分布函数比较简单（可以自行列一张表格出来，比画图的可读性要高一些）
至于这些性质的证明，那是数学系的事情了。
下面是各种分布。
其中2,3,6之前在概率论基础2中提到过。
4在概率论基础1中提到过。
重点看新的Poisson分布（泊松）
Poisson在法语里面其实是鱼的意思。在巴黎的7号线就有一站叫做Poissonier（卖鱼的）
无法定义概率的事件（其本质是“不可测集”）。在定义概率时，我们很自然地希望概率满足“可加性”。也就是说，如果一些事件是互斥的，那么“它们之中有一个发生”的概率应该等于其中每个事件发生的概率的和。然而，对于不可数的样本空间，如果选全部的子集作为事件的话，我们总会遇到一些子集，无论怎样为他们定义概率，都不满足“可加性”
因此，“事件”也不能随意指定。对于不可数的样本空间来说，如果把它的一切子集都作为事件，我们会在定义概率时遇到很大的困难（主要由“不可测集”导致）。
但另一方面，我们又必须把实际问题中感兴趣的事件都包括进来。至少，我们应该保证能在这些事件中作基本的交、并、逆等运算。设F是样本空间Ω的一些子集构成的集族，如果它包含全集和空集，且对子集的可数交、可数并和取补运算都封闭，我们就称F为一个事件域。F中的元素称为事件，Ω称为必然事件，空集称为不可能事件。
{X = 0或1} = {[火腿，不下雨]，[培根，不下雨]，[火腿，下雨]，[培根，下雨]}
可见不管X=1还是0，我都既有可能吃火腿，也有可能吃培根；从X的取值里，你得不到任何关于我早饭吃了什么的信息。因此“早饭吃培根”这一事件，就被排除在X生成的 代数之外了。
早饭吃培根 = {{培根，下雨}，{培根，不下雨}}，不属于X生成的 代数。
然后再是事件概率关系运算的一些基础性质。
一共分成两个部分，关系和运算。
先说关系：
相等、相交、包含、互不相容、互斥
运算有：
和事件、差事件、积事件、对立事件
运算律有：
交换律、结合律、分配率、对偶律
全概率公式：其实就是和事件与乘法公式的结合。Bc就是B的互逆事件。
P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB6)
当试验的次数趋于无穷大，而乘积np固定时，二项分布收敛于泊松分布
不理解没关系，看浙大的那本概率论书。有个例子挺好。
次品率0.1%或者说X服从 =0.1%*1000的泊松分布，求1000产品至少2只次品的概率。
自己算一下就明白了
挡n>20,p<0.05时效果更好。
念作（埃塔）
用在xxx首次发生。
根据情况选用不同的模型。
这里可以构成多个随机变量，比如随机变量X（获得的两个骰子的点数和）或者随机变量Y（获得的两个骰子的点数差），随机变量X可以有11个整数值，而随机变量Y只有6个。
然而这些模型还不足以研究一个系统，于是就有了随机过程
随机过程是概率空间(Ω, F, P)上的一族随机变量{ X ( t) , t∈ T} ,其中t是参数,它属于某个指标集T , T称为参数集.
分布函数被定义为F(x)=P（X<x）
很多人会在这里感觉奇怪，明明说随机变量是一个函数为什么，这里写X<x，这不是不合逻辑吗，而且P(A)表示的是集合A发生的概率，可X<x分明不是集合
当初我也在这里懵逼了好久，看到知乎上一个大佬的回复才恍然大悟，原来P（X<x）是P({ω:X(ω)≤x})的一种简写，而{ω:X(ω)≤x}又是F中的一个元素（其中ω∈Ω），这下才把所有矛盾说通了
连续性随机变量
这里就要牵涉到定积分计算的问题了。
以上这几个式子很重要。尤其是P转成F形式的含义。以后要用到的。如果理解积分表示面积，画图更好理解。F(b)就是负无穷到b点的面积。
显然，在这里我们需要利用到定积分计算。
有一点要提醒一下 (不难理解吧？概率最大就是1嘛)
以下是常用分布：
描述只与子长度有关，而与位置无关的情况。比如电阻的分布
第一项Ω是一个非空集合，有时称作"样本空间"。Ω的集合元素称作"样本输出"，可写作ω。
第二项F是样本空间Ω的幂集的一个非空子集。F的集合元素称为事件Σ。事件Σ是样本空间Ω的子集。集合F必须是一个σ-代数:
(Ω,F)合起来称为可测空间。事件就是样本输出的集合，在此集合上可定义其概率。
第三项P称为概率，或者概率测度。这是一个从集合F到实数域R的函数，P : F → R。每个事件都被此函数赋予一个0和1之间的概率值。P必须是一个测度，且P(Ω)=1。
简而言之，概率空间（Ω, F, P）Ω是全体样本点的集合，样本点是一个随机事件E可能的结果，F是Ω的幂集的一个非空子集且是一个σ-代数，P是一个函数，定义域是F，值域是R(R是全体实数构成的集合)