下载文档原格式
第六章 概率§1 随机事件的条件概率 1．1 条件概率的概念必备知识基础练知识点一 条件概率的概念与计算1.设A ，B 为两个事件，已知P(A)＝23 ，P(AB)＝13，则P(B|A)＝( )A ．12B ．13C ．29D ．232．某气象台统计，该地区下雨的概率为415 ，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110.设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则P(B|A)＝________，P(A|B)＝________．3．根据以往数据统计，某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为45，连续2天有客人入住的概率为35，在该房间第一天有客人入住的条件下，第二天也有客人入住的概率是多少？知识点二 条件概率的应用4.端午节那天，小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅，小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为( )A ．14B ．34C ．110D ．3105．已知袋子内有7个球，其中4个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是________．6．一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么，(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？知识点三 较复杂事件的概率求解7.在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中的5道题就能获得优秀．已知某考生能答对其中的10道题，并且已知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．关键能力综合练一、选择题1．由1，2组成的三位数中，设事件A 为“十位上的数字为1”，事件B 为“百位上的数字为1”，则P(A|B)＝( )A ．25B ．34C ．12D ．182．已知某个家庭有两个孩子，假设生男生女是等可能的，则在其中一个是女孩的条件下，另一个也是女孩的概率是( )A ．14B ．23C ．12D ．133．[多选题]设P(A|B)＝P(B|A)＝12 ，P(A)＝13，则( )A ．P(AB)＝16B ．P(AB)＝56C ．P(B)＝13D ．P(B)＝1124．袋中装有10个形状、大小均相同的小球，其中有6个红球和4个白球．从中不放回地依次摸出2个球，记事件A 为“第一次摸出的是红球”，事件B 为“第二次摸出的是白球”，则P(B|A)＝( )A ．25B ．415C ．49D ．595．在5道题中有3道理科题和2道文科题，若不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为( )A ．14B ．13C ．12D ．23 二、填空题6．[双空题]甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道甲市一年中下雨天的比例占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________．7．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上随机买一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率是________．8．[探究题]从编号为1，2，…，10的10个大小、颜色、材质均相同的球中任取4个，在选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．三、解答题9．从4个舞蹈节目和2个语言类节目中不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次也抽到舞蹈节目的概率．学科素养升级练1.[多选题]某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记A ：学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场．B ：学生丙第一个出场，则下列结论中正确的是( )A ．事件A 中包括80种情况B ．P(A)＝1320C ．P(A∩B)＝320D ．P(B|A)＝3262．[学科素养——逻辑推理]5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，求：(1)第一次取到新球的概率； (2)第二次取到新球的概率；(3)在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率．1．1 条件概率的概念必备知识基础练1．解析：由条件概率的计算公式，可得P (B |A )＝P （AB ）P （A ） ＝12，故选A.答案：A2．解析：由已知P (A )＝415 ，P (B )＝215 ，P (AB )＝110 ，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ） ＝110415 ＝38 ，P (A |B )＝P （AB ）P （B ） ＝110215 ＝34.答案：38 343．解析：设第二天也有客人入住的概率为P ，根据题意有45 ·P ＝35 ，解得P ＝34 .4．解析：设事件A 为“取到的两个粽子为同一种馅”，事件B 为“取到的两个粽子都是腊肉馅”，由题意可知P (A )＝C 22 ＋C 23 C 25 ＝410 ，P (AB )＝C 22 10 ＝110 ，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ） ＝14，故选A. 答案：A5．解析：记“第一次抽到红球”为事件A ，记“第二次抽到红球”为事件B ， ∵P (A )＝C 14 C 17 ＝47 ，P (AB )＝C 14 C 13 C 17 C 16 ＝27 ，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ） ＝2747 ＝12.答案：126．解析：(1)设“先摸出1个白球”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，则“先后两次摸出白球”为事件AB ，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果，所以P (A )＝12 ，P (AB )＝2×14×3 ＝16 ，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ） ＝1612＝13，所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13.(2)设“先摸出1个白球”为事件A 1，“再摸出1个白球”为事件B 1，“两次都摸出白球”为事件A 1B 1，则P (A 1)＝12 ，P (A 1B 1)＝2×24×4 ＝14 ，所以P (B 1|A 1)＝P （A 1B 1）P （A 1） ＝1412 ＝12.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12.7．解析：设“该考生6道题全答对”为事件A ，“该考生恰好答对了5道题”为事件B ，“该考生恰好答对了4道题”为事件C ，“该考生在这次考试中通过”为事件D ，“该考生在这次考试中获得优秀”为事件E ，则D ＝A ∪B ∪C ，E ＝A ∪B ，且A ，B ，C 两两互斥，由古典概型的概率公式知P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝C 610 C 620 ＋C 510 C 110 C 620 ＋C 410 C 210C 620 ＝12 180C 620 .又AD ＝A ，BD ＝B ，所以P (E |D )＝P (A ∪B |D )＝P (A |D )＋P (B |D )＝P （AD ）P （D ） ＋P （BD ）P （D ） ＝P （A ）P （D ） ＋P （B ）P （D ） ＝C 610 C 620 12 180C 620 ＋C 510 C 110C 620 12 180C 620＝1358 ，故他获得优秀成绩的概率为1358.关键能力综合练1．解析：由1，2组成的三位数共有2×2×2＝8(个)，百位上的数字为1的三位数有2×2＝4(个)，则P (B )＝48 ＝12 ，十位和百位上的数字均为1的三位数有2个，则P (AB )＝28 ＝14 ，所以P (A |B )＝P （AB ）P （B ） ＝12.答案：C2．解析：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女).记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个是女孩”，则A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB ＝{(女，女)}，于是可知P (A )＝34 ，P (AB )＝14 .问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求P (B |A )，由条件概率公式，得P (B |A )＝1434＝13 .答案：D3．解析：P (AB )＝P (A )P (B |A )＝13 ×12 ＝16 ，由P (A |B )＝P （AB ）P （B ） ，得P (B )＝P （AB ）P （A |B ）＝16 ×2＝13. 答案：AC4．解析：由题意得，P (A )＝610 ＝35 ，P (AB )＝610 ×49 ＝415 ，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ） ＝49，故选C.答案：C5．解析：因为5道题中有3道理科题和2道文科题，所以第一次抽到理科题时，剩余4道题中，有2道理科题，所以第2次抽到理科题的概率P ＝24 ＝12.故选C.答案：C6．解析：由条件概率的计算公式知P (A |B )＝P （AB ）P （B ） ＝23 ，P (B |A )＝P （AB ）P （A ） ＝35.答案：23 357．解析：记事件A 为“买到的灯泡出自甲厂”，事件B 为“买到的灯泡为合格产品”，则P (A )＝0.7，P (B |A )＝0.95.所以P (AB )＝P (A )P (B |A )＝0.7×0.95＝0.665. 答案：0.665 8．解析：令事件A ＝{选出的4个球中含4号球}，B ＝{选出的4个球中最大号码为6}．依题意，知P (A )＝C 39 C 410 ，P (AB )＝C 24 C 410 ，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ） ＝C 24 C 39 ＝114.答案：1149．解析：(1)设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A ，从6个节目中不放回地依次抽取2个节目的事件数记为n (Ω)，则n (Ω)＝6×5＝30，n (A )＝4×5＝20，于是P (A )＝n （A ）n （Ω） ＝2030 ＝23.(2)设“第2次抽到舞蹈节目”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB ，因为n (AB )＝4×3＝12，所以P (AB )＝n （AB ）n （Ω） ＝1230 ＝25.(3)方法一：由(1)(2)，可得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次也抽到舞蹈节目的概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ） ＝2523＝35.方法二：因为n (AB )＝12，n (A )＝20，所以P (B |A )＝n （AB ）n （A ） ＝1220 ＝35.学科素养升级练1．解析：事件A 中共包括A 44＋C 13C 13A 33＝78(种)情况，故A 错误；P (A )＝A 44 ＋C 13 C 13 A 33A 55＝78A 55 ＝1320 ，故B 正确；P (A ∩B )＝C 13 A 33 A 55 ＝18120 ＝320 ，故C 正确；又P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ） ＝313，故D 错误． 答案：BC2．解析：设“第一次取到新球”为事件A ，“第二次取到新球”为事件B . (1)P (A )＝35.(2)P (B )＝3×2＋2×35×4 ＝1220 ＝35.(3)方法一：P (AB )＝3×25×4 ＝310 ，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ） ＝31035＝12.方法二：n (A )＝3×4＝12，n (AB )＝3×2＝6. ∴P (B |A )＝n （AB ）n （A ） ＝612 ＝12.。
（6）概率—高二数学北师大版(2019)选择性必修一单元检测卷（A 卷）【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知随机变量X 服从二项分布，即，且，，则二项分布的参数n ，p 的值为( )A.，，，，2.某学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到.若X 表示选到高二（1）班的候选人的人数，则( )4.若，则取得最大值时，( )A.4或5B.5或6C.10D.55.一车间有3台车床加工同一型号的零件，且3台车床每天加工的零件数X （单位：件）均服从正态分布.假设3台车床均能正常工作，若，则这3台车床中至少有一台每天加工的零件数超过35的概率为( )6.一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选.已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为.经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为( )7.已知袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（）.现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号.若，，，则的值是9:15%~(,)X B n p 2EX = 1.6DX =4n =p =6=p =8=p =10=15p =()E X =~(10,0.5)X B ()P X k =k =2(30,)N σ(2535)0.5P X <≤=2%1,2,3,4n =aX b η=+()1E η=()11D η=a b +( )A.1或2B.0或2C.2或3D.0或38.1654年，法国贵族德梅雷骑士偶遇数学家布莱兹・帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时，他们发现桌子上还剩最后一杯酒.此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费，梅雷由于接到命令需要觐见国王，没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆.请利用数学知识做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是( )A.肖恩B.尤瑟纳尔C.酒吧伙计D.酒吧老板二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某校体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次机会用完为止.设学生1次发球成功的概率为，发球次数为X .若X 的数学期望，则p 的取值可能是( )10.李明每天从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4.假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，则( )A.B.C.李明计划前到校，应选择坐公交车D.李明计划前到校，应选择骑自行车11.骰子通常作为桌上游戏的小道具.最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6.现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n 关要抛掷六面骰n 次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第n 关，.假定每次闯关互不影响，则( )(32)(32)P X P Y >>>7:34⋅(01)p p <<1.75EX >7:00(36)(36)P X P Y ≤=≤7:402n n +1,2,3,4n =“至少出现一个5点”，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X （单位：克），如果，，那么_________.13.甲、乙、丙、丁4人分别到A ，B ，C ，D 四所学校实习，每所学校一人，每人去一所学校，在甲不去A 校的条件下，乙不去B 校的概率是__________.14.已知随机变量X ,Y ,其中,,,,则_______________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列.（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.16.（15分）为庆祝第113个国际劳动妇女节，某学校组织该校女教职工进行篮球投篮比赛，每名教师连续投篮3次，根据教师甲练习时的统计数据，该教师第一次投篮命中的概率为0.6，从第二次投篮开始，若前一次投篮命中，则该次命中的概率为0.8，否则，命中概率为0.6.（1）求教师甲第二次投篮命中的概率；（2）求教师甲在3次投篮中，命中的次数X 的分布列和数学期望.(10)0.3P X <=(1030)0.4P X ≤≤=(30)P X >=B =1()13P AB =∣16,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()2,Y N μσ~()()E X E Y =(2)0.3P Y <=(6)P Y >=17.（15分）如图，有3个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同.小明先从3个箱子中任取1箱，再从取出的箱中任意摸出1个球，记事件表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”.（1）分别求，，和的值.（2）若小明取出的是黑球，则该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由.18.（17分）为树立和践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某公司将开展植树活动，为提高职工的积极性，活动期间将设置抽奖环节，具体方案为：根据植树的棵数可以选择在甲箱或乙箱中摸奖，每箱内各有除颜色外完全相同的10个球，甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a 个红球、b 个黄球、5个黑球，乙箱内有6个红球、4个黄球.若在甲箱内摸球，则每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，摸得黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金；若在乙箱内摸球，则每次摸出两球后放回原箱，摸得两球均为红球奖150元，否则没有奖金.（1）据统计，每人的植树棵数X 服从正态分布，现有1000位植树者，请估计植树的棵数X 在区间内的人数（结果四舍五入取整数）.（2）根据植树的棵数，某职工可选择以下两种方案摸奖，方案一：三次甲箱内摸奖机会；方案二：两次乙箱内摸奖机会.请根据奖金的数学期望分析该职工如何选择摸奖方案.参考数据：若，则，.19.（17分）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生.为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.（1）若数学组的7名学员中恰有3人来自A 中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自A 中学的人数，求的分布列和数学期望.（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，(1,2,3)i A i =()1P BA ()2P BA ()3P BA ()P B (),a b +∈N (15,25)N (10,25)()2~,X N μσ()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈ξξ每一轮竞答中，每人分别答2道题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当1p2p 12p p+=答案以及解析1.答案：D解析：因为随机变量X 服从二项分布，即，且，，所以，，解得，.故选D.2.答案：D解析：方法一：由题意得随机变量，则方法二：，则X 的分布列为3.答案：D故选D.4.答案：D解析：因为，所以，当时，取得最大值，即取得最大值，所以.故选D.5.答案：C解析：设车床每天加工的零件数超过35的台数为，由题意知每台加工的零件数超过35的()P X k =5k =~(,)X B n p 2EX = 1.6DX =2np =(1) 1.6np p -=0.2p =10n =~(10,2,4)X H 4()210nM E X N ==⨯=~(10,2,4)X H 2064210C C (0)C P X ===1164210C C (1)C P X ===0264210C C (2)C P X ===()A =()P B =~(10,0.5)X B 10101010()C (0.5)(0.5)C (0.5)k k k k P X k -===⋅5k =10C kξ概率所以，则这3台车床中至少有一台每天加工的零件数超过35的概率6.答案：A解析：记事件：放入水果分选机的苹果为大果，事件：放入水果分选机的苹果为小果，因此，.故选A.7.答案：B解析：由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，由又，得，此时；当时，由.故选B.8.答案：B先胜四局比赛结束，设决出胜负的局数为X ，则==44444412(4)C C 33P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10.52P -==1~3,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭311(0)114P P ξ⎛⎫=-==--=⎪⎝⎭1A 2A ()1A =()2A =()1B A =∣()2B A ∣9191110201050=⨯+⨯=()()111711000855()200857857P A B P A B P B ==⨯=∣11131()0123422010205E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=222221313133313()012342220210220252D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2()(D a D X η=()()E aE X η=32b +2b =-0a b +=2a =-12b +=，即，所以最后付酒资的最有可能是尤瑟纳尔.9.答案：AC解析：由题意可知，，，则，解得由，得.故选AC.10.答案：BCD解析：由题意可得，，故，故A 错误；，，所以，故B 正确；，所以，故C 正确；，，所以，故D 正确.故选BCD.11.答案：ACD解析：对于A 选项，，所以两次点数之和应大于6，即直接挑战第2关并过关的概率对于C 选项，由题意可知，抛掷3次的基本事件有（个），抛掷3次至少出现一个5点的共有（种），故4433441221(5)C C 3333P X ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭424233551221(6)C C 3333X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭434333661221160(7)C C 3333729P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭160200729729<<<(4)(7)(6)(5)P X P X P X P X =<=<=<=232(3)(1)(1)(1)P X p p p p ==-+-=-(1)P X p ==(2)(1)P X p p ==-2(1)2(2)3(3)2(1)3(1) 1.75EX P X P X P X p p p p ==+=+==+-+->p >p <(0,1)p ∈10,2p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2~30,6X N ()2~34,2Y N (32)0.5(32)P Y P X >>>>(36)()P X P X μσ≤=≤+(36)()P Y P Y μσ≤=≤+(36)(36)P X P Y ≤=≤(34)0.5(34)P X P Y ≤>=≤(34)(34)P X P Y ≤>≤(40)(42)(2)P X P X P X μσ≤<<=<+(40)(3)P Y P Y μσ≤=≤+(40)(40)P X P Y ≤<≤2226+=2=36216=336521612591-=-=()P B =含4，5，6的有6种，共7种，故正确；对于D 选项，当时，，基本事件有个，而“4次点数之和大于20”包含以下35种情况：含5，5，5，6的有4种，含5，5，6，6的有6种，含6，6，6，6的有1种，含4，6，6，6的有4种，含5，6，6，6的有4种，含4，5，6，6的有12种，含3，6，6，6的有4种，所以12.答案：0.3解析：根据随机变量的概率分布的性质，可知，故.解析：由题意，甲不去A 校的概率14.答案：0.2解析：因为,所以,因为,所以,又因为,所以,因为,所以,且,又因为,所以,所以.15.答案：（1）X 的分布列见解析（2）小明应选择先回答B 类问题(30)10.30.40.3P X >=--=()P AB =()7216()()21691P AB A B P B ==⨯=∣4n =422420n n +=+=464356666P ==⨯⨯⨯(10)(1030)(30)1P X P X P X <+≤≤+>=331443A A P ==31123222244A C C A A P +==2171234P P P ===16,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭:()1623E X =⨯=()2,Y N μσ:()E Y μ=()()E X E Y =2μ=()2,Y N μσ:(2)0.5P Y <=(6)(2)P Y P Y >=<-(2)0.3P Y <=(2)0.2P Y <-=(6)0.2P Y >=解析：（1）由题知，X 的所有可能取值为0，20，100，则，，，所以X 的分布列为（2）小明应选择先回答B 类问题，理由如下：由（1）知，.若小明先回答B 类问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100，则，，，所以，所以小明应选择先回答B 类问题.16.答案：（1）0.72（2）X 的分布列见解析，数学期望为2.064解析：（1）依题意，教师甲第2次投篮命中的情况包括：第一次命中且第二次命中，其概率为；第一次未中且第二次命中，其概率为.所以教师甲第二次投篮命中的概率为.（2）依题意，教师甲命中的次数X 的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，则，所以X 的分布列为数学期望.(0)0.2P X ==(20)0.80.40.32P X ==⨯=(100)0.80.60.48P X ==⨯=()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=(0)0.4P Y ==(80)0.60.20.12P Y ==⨯=(100)0.60.80.48P Y ==⨯=()00.4800.121000.4857.654.4E Y =⨯+⨯+⨯=>0.60.80.48⨯=(10.6)0.60.24-⨯=0.480.240.72+=3(0)(10.6)0.064P X ==-=(1)0.6(10.8)(10.6)(10.6)0.6(10.8)(10.6)(10.6)0.60.192P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=2(3)0.60.80.384P X ==⨯=(2)1(0)(1)(3)0.36P X P X P X P X ==-=-=-==()10.19220.3630.384 2.064E X =⨯+⨯+⨯=17.答案：（1）（2）该黑球来自3号箱的概率最大，.（2）由（1）得，则的值最大，即若小明取出的是黑球，则该黑球来自3号箱的概率最大.18.答案：（1）819（2）见解析解析：（1）由题知，，，所以，所以1000位植树者中植树的棵数在内的人数估计为.（2）甲箱内一次摸奖，奖金的所有可能值为0，50，100，且，，则，15μ=5σ=(1025)(2)P X P X μσμσ≤≤=-≤≤+11()(22)22P X P X μσμσμσμσ=-≤≤++-≤≤+11(0.68270.9545) 1.63720.818622≈⨯+=⨯=()1P BA =()2P BA =()3BA =7()12B =()()()12313P A P A P A ====()3B A =∣()()()1111134P BA P A P B A ∴==⨯∣()()()2221234P BA P A P B A =⋅=⨯∣()()()3331333P BA P A P B A ==⨯=∣()()()1231117()126312P B P BA P BA P BA ∴=++=++=()()111127()12P A B P A B P B ===∣()()22167()12P A B P A B P B ===∣()()33137()12P A B A B P B ===∣()3P A B ∣(10,25)10000.8186819⨯≈1Y 5a b +=()10P Y ==()150Y ==()110010a P Y ==()110501005105()552521010b a E Y b a a b a a =⨯+⨯+⨯=+=++=+所以甲箱中三次摸奖所得奖金的期望为，.乙箱内一次摸奖，奖金的所有可能值为0，150，，则，所以乙箱中两次摸奖所得奖金的期望为.所以，当，时，，建议该职工选择方案二；当，时，，建议该职工选择方案一；当，时，，建议该职工选择方案一；当，时，，建议该职工选择方案一.解析：（1）由题意知，的可能取值为0，1，2，3，所以的分布列为（2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，设乙答对题数为，则.设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”，()131575E Y a =+{1,2,3,4}a ∈2Y ()262210C 151150C 453P Y ====()21013P Y ==-=()21215005033E Y =⨯+⨯=()22100E Y =1a =4b =()()123902100E Y E Y =<=2a =3b =()()1231052100E Y E Y =>=3a =2b =()()1231202100E Y E Y =>=4a =1b =()()1231352100E Y E Y =>=ξ3437C (0)C P ξ===214337C C (1)C ξ===124337C C (2)C P ξ===3337C (3)C ξ===ξχ()1~2,B p χη()2~2,B p ηA =则.由，及，则.，所以.设，则，..()(1)(2)(2)(1)(2)(2)P A P P P P P X P χηχηη===+==+==()()122221222221122212222122C 1C C C 1C C p p p p p p p p =-+-+()()2222112221122121p p p p p p p p =-+-+221212833p p p p =-+101p ≤≤201p ≤≤12p p +=11p ≤≤21211114433p p p p p p ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭11p ≤≤1214,39p p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12t p p =28()33P A t t =-+14,39t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。
第六章概率课时练习题1、 条件概率的概念 .................................................................................................... - 1 -2、 乘法公式与事件的独立性 全概率公式 ............................................................ - 6 -3、 随机变量.............................................................................................................. - 13 -4、 离散型随机变量的分布列 .................................................................................. - 16 -5、 离散型随机变量的均值 ...................................................................................... - 21 -6、 离散型随机变量的方差 ...................................................................................... - 27 -7、 二项分布.............................................................................................................. - 34 -8、 超几何分布.......................................................................................................... - 39 -9、正态分布.............................................................................................................. - 44 -1、 条件概率的概念一、选择题1．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( ) A ．56 B ．910 C ．215 D ．115C [由P (B |A )＝P (AB )P (A )得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215．] 2．将三颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率P (A |B )等于( )A ．91216B ．518C ．6091D ．12C [事件B 发生的基本事件个数是n (B )＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A ，B 同时发生的基本事件个数为n (AB )＝3×5×4＝60．∴P (A |B )＝n (AB )n (B )＝6091．] 3．甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( )A ．29B ．49C ．23D ．79D [甲不跑第一棒共有A 13·A 33＝18(种)情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：(1)乙跑第一棒，共有A 33＝6(种)情况；(2)乙不跑第一棒，共有A 12·A 12·A 22＝8(种)情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为6＋818＝79．]4．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )A ．35B ．110C ．59D ．25C [把问题看成用10个不同的球排前两位，第一次为新球的基本事件数为6×9＝54，两次均为新球的基本事件数为A 26＝30，所以在第一次摸到新球条件下，第二次也摸到新球的概率为3054＝59．]5．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是( )A ．14B ．23C ．12D ．13D [一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．记事件A 为“其中一个是女孩”，事件B 为“另一个是女孩”，则A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB ＝{(女，女)}．于是可知P (A )＝34，P (AB )＝14．问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求P (B |A )，由条件概率公式，得P (B |A )＝1434＝13．]二、填空题6．抛掷骰子2次，每次结果用(x 1，x 2)表示，其中x 1，x 2分别表示第一次、第二次骰子的点数．若设A ＝{(x 1，x 2)|x 1＋x 2＝10}，B ＝{(x 1，x 2)|x 1>x 2}．则P (B |A )＝________．13 [∵P (A )＝336＝112，P (AB )＝136，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝136112＝13．] 7．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．0．72 [设“种子发芽”为事件A ，“种子成长为幼苗”为事件AB (发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9．根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72．]8．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．当蓝色骰子的点数为3或6时，两枚骰子的点数之和大于8的概率是________．512 [设x 为掷红骰子得的点数，y 为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件与(x ，y )建立对应关系，由题意作图(如图所示)．依题意P (A )＝1236＝13，P (AB )＝536． 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝53613＝512．]三、解答题9．甲、乙两个袋子中，各放有大小、形状和个数相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n 个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是110．(1)求n 的值；(2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率．[解] (1)由题意得：C 2nC 2n ＋3＝n (n －1)(n ＋3)(n ＋2)＝110，解得n ＝2．(2)记“其中一个标号是1”为事件A ，“另一个标号是1”为事件B ，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝C 22C 25－C 23＝17． 10．任意向x 轴上(0，1)这一区间内掷一个点，问： (1)该点落在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13内的概率是多少？(2)在(1)的条件下，求该点落在⎝ ⎛⎭⎪⎫15，1内的概率．[解] 由题意知，任意向(0，1)这一区间内掷一点，该点落在(0，1)内哪个位置是等可能的，令A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜13，由几何概率的计算公式可知 (1)P (A )＝131＝13．(2)令B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 15＜x ＜1，则AB ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪15＜x ＜13，P (AB )＝13－151＝215．故在A 的条件下B 发生的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝21513＝25．11．已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为( )A ．0.75B ．0.6C ．0.52D ．0.48A [设“一个这种元件使用超过1年”为事件A ，“使用超过2年”为事件B ，则P (A )＝0.8，P (AB )＝0.6，则这个元件在使用到1年时还未失效的前提下，这种元件使用寿命超过2年的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.60.8＝0.75．故选A ．] 12．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为( )A．310B．29C．78D．79D[法一：设事件A为“第1次取到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次取到的是卡口灯泡”，则P(A)＝310，P(AB)＝310×79＝730，则所求概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝730310＝79．法二：第1次取到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次取到卡口灯泡的概率为C17C19＝79．]13．(多选题)下列说法正确的是() A．P(B|A)＜P(AB)B．P(B|A)＝P(B)P(A)是可能的C．0≤P(B|A)≤1 D．P(A|A)＝1BCD[由条件概率公式P(B|A)＝P(AB)P(A)及0＜P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB)，故A选项错误；当事件A包含事件B时，有P(AB)＝P(B)，此时P(B|A)＝P(B)P(A)，故B选项正确；C，D选项正确．]14．(一题两空)从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个．(1)选出球的最大号码为6的概率为________．(2)已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．1 21114[(1)令事件A＝{选出的4个球中含4号球}，B＝{选出的4个球中最大号码为6}．则P(B)＝C35C410＝121．(2)法一：依题意知P(A)＝C39C410，P(AB)＝C24C410，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝C24C410C39C410＝114．法二：依题意知n(A)＝C39＝84，n(AB)＝C24＝6，∴P(B|A)＝n(AB)n(A)＝684＝114．]15．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是()A．1127B．1124C．827D．924C[设“从1号箱取到红球”为事件A，“从2号箱取到红球”为事件B．由题意，P(A)＝42＋4＝23，P(B|A)＝3＋18＋1＝49，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝49×23＝827，所以两次都取到红球的概率为8 27．]2、乘法公式与事件的独立性全概率公式一、选择题1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C 间的关系是()A．A与B，A与C均相互独立B．A与B相互独立，A与C互斥C ．A 与B ，A 与C 均互斥D ．A 与B 互斥，A 与C 相互独立A [由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故A 与B ，A 与C 均相互独立．而A 与B ，A 与C 均能同时发生，从而不互斥．]2．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A ．29B ．118C ．13D ．23D [由题意，P (A B )＝P (B A －)，即P (A )P (B )＝P (B )P (A )， 则P (A )＝P (B )．又P (AB )＝[P (A )]2＝19，所以P (A )＝13， 故P (A )＝1－P (A )＝23．]3．甲、乙两名射击运动员射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是( )A ．0.56B ．0.92C ．0.94D ．0.96C [设“甲击中目标”为事件A ，“乙击中目标”为事件B ，目标被击中即为事件A 发生或事件B 发生，则P ＝P (A B －)＋P (A －B )＋P (AB )＝0.8×0.3＋0.2×0.7＋0.8×0.7＝0.94．]4．如图，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么系统的可靠性是( )A ．0.504B ．0.994C ．0.496D ．0.06B [系统可靠即A ，B ，C 3种开关至少有一个能正常工作，则P ＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994．]5．已知甲袋中有6个红球，4个白球；乙袋中有8个红球，6个白球，随机取一只袋子，再从该袋中随机取一个球，则该球是红球的概率是( )A ．4170B ．712C ．47D ．12A [设B ＝{该球是红球}，A 1＝{球取自甲袋}，A 2＝{球取自乙袋}，根据题意， P (B |A 1)＝35，P (B |A 2)＝47， 则有B ＝A 1B ∪A 2B ，由全概率公式得，P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＝12×35＋12×47＝4170．] 二、填空题6．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出1个红球的概率是12，从两袋内各摸出1个球，则(1)2个球不都是红球的概率________． (2)2个球都是红球的概率________． (3)至少有1个红球的概率________． (4)2个球中恰好有1个红球的概率________．56 16 23 12[(1)、(2)、(3)、(4)中的事件依次记为A 、B 、C 、D ， 则P (A )＝1－12×13＝56；P (B )＝13×12＝16；P (C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝23；P (D )＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12 ＝12．]7．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．0.128 [记“该选手回答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1，2，3，4，5)，且P (A i )＝0.8．选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，则该选手第二个问题必回答错，第三、第四个问题必回答对，∴所求事件概率P ＝P (A 2·A 3·A 4)＝P (A 2)·P (A 3)·P (A 4)＝(1－0.8)×0.8×0.8＝0.128．]8．设甲、乙两人独立地解出某一道数学题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率为0.36，则甲独立解出此题的概率为________．0.2 [设甲、乙独立解出的概率为x ，法一：只有甲解出的概率为x (1－x )，只有乙解出的概率为x (1－x )，甲和乙都解出的概率为x 2．由题意得，x (1－x )＋x (1－x )＋x 2＝0.36．解方程得，x ＝0.2或x ＝1.8(舍去)，即甲独立解出的概率为0.2．法二：甲没有解出此题的概率为1－x ，乙没有解出此题的概率为1－x ，此题没有被解出的概率为(1－x )2，由题意得，1－(1－x )2＝0.36，解方程得x ＝0.2，或x ＝1.8(舍去)．]三、解答题9．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．求该射手恰好命中一次的概率．[解] 记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ．由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23， 由于A ＝B C －D －＋B －C D －＋B －C －D ， 根据事件的独立性和互斥性得 P (A )＝P (B C －D －＋B －C D －＋B －C －D ) ＝P (B C －D －)＋P (B －C D －)＋P (B －C －D )＝P (B )P (C －)P (D －)＋P (B －)P (C )P (D －)＋P (B －)P (C －)P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736．10．甲，乙，丙三位大学毕业生同时应聘一个用人单位，其能被选中的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中相互之间没有影响．(1)求三人能被选中的概率； (2)求只有两人被选中的概率．[解] 设甲，乙，丙被选中的事件分别为A ，B ，C ，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13．(1)∵A ，B ，C 是相互独立事件，∴三人都被选中的概率为P 1＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110．(2)三种情形①甲未被选中，乙、丙被选中，概率为P (A －BC )＝P (A )P (B )P (C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×34×13＝320．②乙未被选中，甲、丙被选中，概率为P (A B －C )＝P (A )P (B )P (C )＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×13＝130．③丙未被选中，甲、乙被选中，概率为P (AB C －)＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝15．以上三种情况是互斥的．因此，只有两人被选中的概率为P 2＝320＋130＋15＝2360．11．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A ．17B ．1235C ．1735 D ．1C [设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735．故选C ．]12．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A ．512B ．12C ．712D ．34 C [∵P (A )＝12，P (B )＝16，∴P (A )＝12，P (B )＝56． 又A ，B 为相互独立事件， ∴P (A B )＝P (A )P (B )＝12×56＝512．∴A ，B 中至少有一件发生的概率为1－P (A B )＝1－512＝712．] 13．(多选题)下列说法正确的是( )A ．若事件A 和B 互斥，则事件A 与B 一定不相互独立 B ．如果事件A 与事件B 相互独立，则事件A 与B 一定不互斥C ．若事件A 与B 相互独立，则A 与B 相互独立D ．若事件A ，B 相互独立，则A 与B 相互独立CD [当事件A 是不可能事件与事件B 是必然事件时，事件A 与事件B 既相互独立，又互斥．]14．(一题两空)从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响，从中任选一名儿童．(1)这两项均合格的概率是________；(2)这两项至少有一项合格的概率是________．120 25[设“儿童体型合格”为事件A ，“身体关节构造合格”为事件B ， 则P (A )＝15，P (B )＝14．因为A ，B 相互独立，所以A ，B 也相互独立，则P (AB )＝15×14＝120，P (A B )＝P (A )P (B )＝45×34＝35， 故至少有一项合格的概率为P ＝1－P (A B )＝25．]15．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？(lg 2＝0.301 0)[解] (1)设敌机被第k 门高炮击中的事件为A k (k ＝1，2，3，4，5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A 1∩A 2∩A 3∩A 4∩A 5．∵事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立， ∴敌机未被击中的概率为P (A 1∩A 2∩A 3∩A 4∩A 5)＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)·P (A 4)·P (A 5)＝(1－0.2)5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫455．∴敌机未被击中的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫455．(2)设至少需要布置n 门高炮才能使敌机有0.9以上的概率被击中，由(1)可得敌机被击中的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n，∴令1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n≥0.9．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ≤110．两边取常用对数，得n ≥11－3lg 2≈10.3．∵n ∈N ＋，∴n ＝11．∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机．3、随机变量一、选择题1．下列不是随机变量的是()A．从编号为1～10号的小球中随意取一个小球的编号B．从早晨7：00到中午12：00某人上班的时间C．A、B两地相距a km，以v km/h的速度从A到达B的时间D．某十字路口一天中经过的轿车辆数C[选项C中“时间”为确定的值，故不是随机变量．]2．抛掷质地均匀的硬币一次，下列能称为随机变量的是()A．出现正面向上的次数B．掷硬币的次数C．出现正面向上的概率D．出现反面向上的概率A[正面向上的次数是随机变量X，其取值是0，1，故选A．]3．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，不放回地从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为()A．1，2，3，…，6B．1，2，3，…，7C．0，1，2，…，5 D．1，2，…，5B[由于取到白球游戏结束，那么取球次数可以是1，2，3，…，7，故选B．] 4．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为()A．24B．20C．18D．12A[由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6，7，8，9四位数字的不同排列，故有A44＝24种．]5．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是()A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标C[“ξ＝5”表示前4次均未击中目标．]二、填空题6．抛掷两颗骰子，所得点数之积记为X，则X＝6表示的随机试验的结果是________．[答案]一颗骰子是1点，另一颗是6点，或一颗骰子是2点，另一颗是3 7．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则X的值可以是________．0，1[X可能取值有两种，即0，1．]8．10件产品中有2件次品，从中任取2件，其中次品数ξ的所有可能取值是________．[答案]0，1，2三、解答题9．连续向一目标射击，直到命中目标为止，所需要的射击次数为X，写出X ＝6所表示的试验结果．[解]X＝6表示的试验结果是“射击了6次，前5次都未击中目标，第6次击中目标”．10．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ．(1)写出ξ的所有可能取值；(2)写出{ξ＝1}所表示的事件．[解](1)ξ可能取的值为0，1，2，3．(2){ξ＝1}表示的事件为：第一次取得次品，第二次取得正品．11．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是()A．ξ＝4B．ξ＝5C．ξ＝6D．ξ≤5C[“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6．] 12．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能取值的个数是()A．6B．7C．10D．25C[X的所有可能取值有1×2，1×3，1×4，1×5，2×3，2×4，2×5，3×4，3×5，4×5，共10个．]13．下列随机变量中，是离散型随机变量的是()A．某宾馆每天入住的旅客数量XB．广州某水文站观测到一天中珠江的水位XC．深圳欢乐谷一日接待游客的数量XD．虎门大桥一天经过的车辆数XACD[ACD中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；B中随机变量X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．]14．(一题两空)在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲正确回答这三个问题的题数X的所有可能取值是________．选手甲回答这三个问题的总得分Y的所有可能取值是________．3，2，1，0；300分，100分，－100分，－300分[可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．]15．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．[解]ξ可能取值为0，1，2，3，4，5．“ξ＝0”表示在第一盏信号灯前停下；“ξ＝1”表示通过了一盏信号灯，在第2盏信号灯前停下；“ξ＝2”表示通过了两盏信号灯，在第3盏信号灯前停下； “ξ＝3”表示通过了三盏信号灯，在第4盏信号灯前停下； “ξ＝4”表示通过了四盏信号灯，在第5盏信号灯前停下； “ξ＝5”表示在途中没有停下，直达目的地．4、 离散型随机变量的分布列一、选择题1．若随机变量X 的分布列为X －2 －1 0123P0.10.20.2 0.3 0.1 0.1则当P (X ＜a )A ．(－∞，2] B ．[1，2] C ．(1，2] D ．(1，2)C [由随机变量X 的分布列知：P (X ＜－1)＝0.1，P (X ＜0)＝0.3，P (X ＜1)＝0.5，P (X ＜2)＝0.8，则当P (X ＜a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1，2]．]2．袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3，现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X ，则P (X ＝3)等于( )A ．528B ．17C ．1556D ．27D [X ＝3第一种情况表示1个3，P 1＝C 12·C 24C 38＝314，第二种情况表示2个3，P 2＝C 22·C 14C 38＝114，所以P (X ＝3)＝P 1＋P 2＝314＋114＝27．故选D ．]3．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝12k ，k ＝1，2，…，则P (2<ξ≤4)等于( )A ．316B ．14C ．116D ．15A[2<ξ≤4时，ξ＝3，4．∴P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝123＋124＝316．]4．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1<x2，则P(x1≤ξ≤x2)等于() A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)B[由分布列的性质得P(x1≤ξ≤x2)＝P(ξ≤x2)＋P(ξ≥x1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．]5．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于C18C16＋C14C16C112C112的是()A．P(X＝0)B．P(X≤2)C．P(X＝1)D．P(X＝2)C[C18C16表示从甲袋中取出的是白球，从乙袋中取出的是红球的方法数，C14C16表示从甲袋中取出的是红球，从乙袋中取出的是白球的方法数，恰好对应X＝1．]二、填空题6．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X(单位：克)，如果P(X＜10)＝0.3，P(10≤X≤30)＝0.4，那么P(X＞30)等于________．0．3[根据随机变量分布列的性质，可知P(X＜10)＋P(10≤X≤30)＋P(X＞30)＝1，故P(X＞30)＝1－0.3－0.4＝0.3．]7．设X是一个离散型随机变量，其分布列为则q等于________．1－22[由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧1－2q≥0，q2≥0，12＋1－2q＋q2＝1，∴q＝1－22．]8．由于电脑故障，随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：0.6[由概率和为1知，最后一位数字和必为零，∴P(X＝5)＝0.15，从而P(X＝3)＝0.25．∴P(X为奇数)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6．]三、解答题9．某电视台举行选拔大奖赛，在选手综合素质测试中，有一道把我国四大文学名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与他们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，记一位选手该题得分为X．(1)求该选手得分不少于6分的概率；(2)求X的分布列．[解](1)P(X＝6)＝C24A44＝14，P(X＝12)＝1A44＝124，该选手得分不少于6分的概率为P＝P(X＝6)＋P(X＝12)＝7 24．(2)X的可能取值是0，3，6，12．P(X＝3)＝C14×2A44＝13，P(X＝0)＝1－724－13＝924＝38．X的分布列为10X的分布列为其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y表示经销一件该商品的利润．求Y的分布列．[解]Y的可能取值为200元，250元，300元．P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4，P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P(Y＝300)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝0.1＋0.1＝0.2．故Y的分布列为Y＝i 200250300P(Y＝i)0.40.40.211．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为()A．1220B．2755C．27220D．2125C[X＝4表示取出的3个球为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220．]12．设随机变量X的分布列为X 1234P 13m1416则P(|X－3|＝1)＝()A．712B．512C．14D．16B[根据分布列的性质得出：13＋m＋14＋16＝1，所以m＝14，随机变量X的分布列为X 1234P 13141416所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝512．故选B．]13．(多选题)如果ξ是一个离散型随机变量，则真命题是()A．ξ取每一个可能值的概率都是非负实数B．ξ取所有可能值的概率之和为1C．ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D．ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和ABC[根据离散型随机变量的特点易知D是假命题．]14．(一题两空)随机变量η的分布列如下η123456P 0.2x 0.350.10.150.2则x＝________，P(η≤3)＝________．00.55[由分布列的性质得0.2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0．故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55．]15．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505 g的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为质量超过505 g的产品数量，求Y的分布列．[解](1)根据频率分布直方图可知，质量超过505 g的产品数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12(件)．(2)随机变量Y的可能取值为0，1，2，且P(Y＝0)＝C012C228C240＝63130，P(Y＝1)＝C112C128C240＝2865，P(Y＝2)＝C212C028C240＝11130．所以随机变量Y的分布列为Y 012P631302865111305、离散型随机变量的均值一、选择题1．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝14(k＝1，2，3，4)，则EX＝()A．2.5B．3.5C．0.25D．2A[EX＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝52．]2．随机变量X的分布列如下表，则EX等于()X 012P 0.10.30.6A．1.5B．1.6CA[由已知得EX＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.6＝1.5．故选A．]3．甲、乙两工人在同样的条件下生产某种产品，日产量相等，每天出废品的情况如下，则有结论()工人甲乙废品数01230123概率0.40.30.20.10.30.50.20B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些C．两人的产品质量一样好D．无法判断谁的质量好一些B[∵甲的废品数的均值为0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，乙的废品数的均值为0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9．甲的废品数的均值>乙的废品数的均值，∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些．]4．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于()X 024P 0.30.20.5A．16B．11C．A [由已知得EX ＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E (5X ＋4)＝5EX ＋4＝5×2.4＋4＝16．故选A ．]5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X 的期望EX 为( )A ．24181B ．26681C ．27481D ．670243B [依题意，知X 的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P (X ＝2)＝59，P (X ＝4)＝49×59＝2081，P (X ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫492＝1681，故EX ＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681．] 二、填空题6．从1，2，3，4，5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数之积的均值为________．8.5 [从1，2，3，4，5中任取不同的两个数，其乘积X 的值为：2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，取每个值的概率都是110．∴EX ＝(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)×110＝8.5．] 7．李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如表：模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，该同学给出了正确答案Eξ＝________．2 [设P (ξ＝1)＝P (ξ＝3)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则2a ＋b ＝1． 于是，Eξ＝a ＋2b ＋3a ＝2(2a ＋b )＝2．]8．某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了某种流感病毒，其中只有A 到过疫区．B 肯定是受A 感染的．对于C ，因为难以断定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12，同样也假定D 受A 、B 和C 感染的概率都是13．在这种假定下，B 、C 、D 直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量，X 的均值为________．116[X 可能取值为1，2，3，则P (X ＝1)＝12×23＝13，P (X ＝2)＝12×23＋12×13＝12，P (X ＝3)＝12×13＝16．则EX ＝1×13＋2×12＋3×16＝116．] 三、解答题9．某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门，首次到达北门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号通道、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需时间．(1)求ξ的分布列； (2)求ξ的数学期望(均值)．[解] (1)ξ的所有可能取值为1，3，4，6．P (ξ＝1)＝13，P (ξ＝3)＝16，P (ξ＝4)＝16，P (ξ＝6)＝13，所以ξ的分布列为(2)Eξ＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72(小时)．10．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0<x≤11<x≤2x>20<x≤2x>2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)123 1.8 2.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率．(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．[解](1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝2＋350＝110．(2)依题意得，X1的分布列为X1123P125350910X2的分布列为X2 1.8 2.9P110910(3)由(2)得EX1＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，EX2＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为EX1>EX2，所以应生产甲品牌轿车．11．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且EY＝34，若X的分布列如表，则m的值为()A ．13B ．14C ．16D ．18A [由Y ＝12X ＋7得EY ＝12EX ＋7＝34，从而EX ＝94，所以EX ＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112＝94，又m ＋n ＋112＋14＝1，联立解得m ＝13．故选A ．]12．设l 为平面上过点(0，1)的直线，l 的斜率k 等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l 的距离d ，则随机变量ξ的数学期望Eξ为( )A ．37B ．47C ．27D ．17B [当k ＝±22时，直线l 的方程为±22x －y ＋1＝0，此时d ＝13；当k ＝±3时，d ＝12；当k ＝±52时，d ＝23；当k 为0时，d ＝1．由等可能事件的概率公式可得ξ的分布列为所以Eξ＝13×27＋12×27＋23×27＋1×17＝47．]13．(多选题)设随机变量ξ的分布列如下表，且Eξ＝1.6，则( )C ．P (X ≤1)＝0.4D ．P (X ＞1)＝0.6ABCD [根据题意，⎩⎨⎧ 0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，0×0.1＋a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，解得⎩⎨⎧a ＝0.3，b ＝0.5.由此易知，ABCD 均正确．]14．(一题两空)一次单元测验由4个选择题组成，每个选择题有4个选项，其中仅有1个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分．一学生选对任意一题的概率为0.9，则该学生在这次测验中选对的题数的均值是________，成绩的均值是________．3.618[设该学生在这次测验中选对的题数为X，该学生在这次测试中成绩为Y，则Y＝5X．EX＝0×0.14＋1×C14×0.9×0.13＋2×C24×0.92×0.12＋3×C34×0.93×0.1＋4×0.94＝3.6．由随机变量均值的性质得EY＝E(5X)＝5×3.6＝18．]15．某商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品作销毁处理，且两天内的销售情况互不影响，为了解市场的需求情况，现统计该食品在本地区100天的销售量如下表：销售量/份15161718天数20304010(1)根据该食品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为X，求X的分布列与数学期望；(2)以两天内该食品所获得的利润期望为决策依据，该商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？[解](1)根据题意可得，X的所有可能取值为30，31，32，33，34，35，36．则P(X＝30)＝15×15＝125，P(X＝31)＝15×310×2＝325，P(X＝32)＝15×25×2＋310×310＝14，P(X＝33)＝15×110×2＋310×25×2＝725，P(X＝34)＝310×110×2＋25×25＝1150，。
北师大高中数学选择性必修第一册第六章概率单元测试卷(原卷版)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知X~B，则P＝()A. B.C. D.2.小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A＝“取到的两个为同一种馅”，事件B＝“取到的两个都是豆沙馅”，则P＝()A. B.C. D.3.设X为随机变量，X~B，若随机变量X的数学期望EX＝2，则P(X＝2)等于()A. B.C. D.4.若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于()A.10B.100C. D.5.某人射击一次命中目标的概率为，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为()A. B.C. D.6.某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X分，B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其他三个选项都没有把握，选择题的得分为Y分，则DY－DX的值为()A. B.C. D.7.某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X期望是()A.3B.C.2D.8.设随机变量X，Y满足Y＝2X＋b(b为非零常数)，若EY＝4＋b，DY＝32，则EX和DX分别等于()A.4，8B.2，8C.2，16D.2＋b，16二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知随机变量ξ的分布列如下，则Eξ的值可能是()ξ－10aP＋a－bA.－B.－C.－D.－10.已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p 的取值可能是()A. B.C. D.11.下列说法中正确的是()A.设随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝B.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.9，则P(0＜X＜2)＝0.4C.设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ＞c)＝P(ξ＜c－2)，则常数c的值是3D.E(2X＋3)＝2EX＋3；D(2X＋3)＝2DX＋312.为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程.则()A.甲乙丙三人选择课程方案有120种方法B.恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为C.已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为D.设三名同学选择课程“礼”的人数为ξ，则Eξ＝三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知ξ的分布列如下表，若η＝3ξ＋2，则Eη＝乙.ξ123P t14.在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名战士获胜希望较大的是.15.已知袋子中有大小相同的红球1个，黑球2个，从中任取2个.设ξ表示取到红球的个数，则Eξ＝，Dξ＝. 16.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件，求：(1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.18.(12分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70，100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人.(1)试问此次参赛学生的总人数约为多少?(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人?19.(12分)一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1，2，2，3，3，3六个数字).(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列；(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求Eξ，Dξ.20.(12分)在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列及期望；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.21.(12分)甲、乙两选手比赛，每局比赛甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为1－p，采用了“3局2胜制”(这里指最多比赛3局，先胜2局者为胜，比赛结束).若仅比赛2局就结束的概率为.(1)求p的值；(2)若采用“5局3胜制”(这里指最多比赛5局，先胜3局者为胜，比赛结束)，求比赛局数X的分布列和数学期望.22.(12分)已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者.血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康.(1)若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；(2)血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②平均分组混合化验：先将血液样本平均分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者.①采取逐一化验，求所需化验次数ξ的分布列及数学期望；②采取平均分组混合化验(每组血液份数相同)，求不同分组方法所需化验次数的数学期望.你认为选择哪种化验方案更合理?请说明理由.北师大高中数学选择性必修第一册第六章概率单元测试卷(解析版)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知X~B，则P＝(C)A. B.C. D.解析：P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝.故选C.2.小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A＝“取到的两个为同一种馅”，事件B＝“取到的两个都是豆沙馅”，则P＝(B)A. B.C. D.解析：由题意，P(A)＝，P(AB)＝，∴P(B｜A)＝，故选B.3.设X为随机变量，X~B，若随机变量X的数学期望EX＝2，则P(X＝2)等于(A)A. B.C. D.解析：因为EX＝n＝2，得n＝6，即X~B.所以P(X＝2)＝.故选A.4.若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于(C)A.10B.100C. D.解析：由正态分布密度曲线上的最高点知，即σ＝，∴DX＝σ2＝.故选C.5.某人射击一次命中目标的概率为，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为(B)A. B.C. D.解析：根据射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，故此人射击6次，3次命中的概率为，恰有两次连续击中目标的概率为，故此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为.故选B.6.某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X分，B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其他三个选项都没有把握，选择题的得分为Y分，则DY－DX的值为(A)A. B.C. D.解析：设A学生答对题的个数为m，则得分X＝5m，m~B，Dm＝12×，所以DX＝25×，同理设B学生答对题的个数为n，可知n~B，Dn＝12×，所以DY＝×25＝，所以DY－DX＝.故选A.7.某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X期望是(B)A.3B.C.2D.解析：在一轮投篮中，甲通过的概率为P＝，通不过的概率为.由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的取值分别为0，1，2，3，则P(X＝0)＝；P(X＝1)＝；P(X＝2)＝；P(X＝3)＝.所以随机变量X的分布列为X0123P数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×，或由二项分布的期望公式可得EX＝3×.故选B.8.设随机变量X，Y满足Y＝2X＋b(b为非零常数)，若EY＝4＋b，DY＝32，则EX和DX分别等于(B)A.4，8B.2，8C.2，16D.2＋b，16解析：因为随机变量X，Y满足Y＝2X＋b，所以EY＝2EX＋b＝4＋b，∴EX＝2；∵DY＝4DX＝32，∴DX＝8.故选B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知随机变量ξ的分布列如下，则Eξ的值可能是(BC)ξ－10aP＋a－bA.－B.－C.－D.－解析：根据分布列的性质可知，所有的概率和为1，且每个概率都介于0和1之间，所以b－a＝0，b∈.根据期望公式得到Eξ＝－1×＋b，化简得Eξ＝－b2＋，由二次函数的性质可知，Eξ∈，所以Eξ的值可能是－或－.故选BC.10.已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p 的取值可能是(AB)A. B.C. D.解析：由题可知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则EX＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＞1.75，解得p＞或p＜，由p∈(0，1)可得p∈(0，)，所以p的取值可能是或.故选AB.11.下列说法中正确的是(ABC)A.设随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝B.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.9，则P(0＜X＜2)＝0.4C.设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ＞c)＝P(ξ＜c－2)，则常数c的值是3D.E(2X＋3)＝2EX＋3；D(2X＋3)＝2DX＋3解析：设随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝，故A正确；∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，∴正态曲线的对称轴是直线x＝2，∵P(X＜4)＝0.9，∴P(2＜X＜4)＝0.9－0.5＝0.4，∴P(0＜X＜2)＝P(2＜X＜4)＝0.4，故B正确；设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ＞c)＝P(ξ＜c－2)，则c－2＝2－(c－2)，解得c＝3，则常数c的值是3，故C正确；∵E(2X＋3)＝2EX＋3，D(2X＋3)＝4DX，故D错误.故选ABC. 12.为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程.则(BCD)A.甲乙丙三人选择课程方案有120种方法B.恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为C.已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为D.设三名同学选择课程“礼”的人数为ξ，则Eξ＝解析：对于A，甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程，则选择方法有63＝216种，故A错误；对于B，恰有三门课程没有被三名同学选中，表示三位同学每个人选择了不重复的一门课程，所以概率为，故B正确；对于C，已知甲不选择课程“御”的概率为，甲乙丙都不选择“御”的概率为，所以条件概率为，故C正确；对于D，三名同学选择课程“礼”的人数为ξ，则ξ服从二项分布ξ~B，则Eξ＝3×，故D正确.故选BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知ξ的分布列如下表，若η＝3ξ＋2，则Eη＝.ξ123P t解析：由分布列的性质有＝1，解得t＝，从而Eξ＝1×＋2×＋3×，所以Eη＝E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×＋2＝.14.在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名战士获胜希望较大的是乙.解析：设这次射击比赛战士甲得X1分，战士乙得X2分，则分布列分别如下：X1123P0.40.10.5X2123P0.10.60.3根据均值公式得EX1＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1；EX2＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2；因为EX2＞EX1，故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，所以战士乙获胜的希望较大.15.已知袋子中有大小相同的红球1个，黑球2个，从中任取2个.设ξ表示取到红球的个数，则Eξ＝，Dξ＝.解析：从袋中3个球中任取2个球，共有种取法，则其中ξ的可能取值为0，1，且ξ服从超几何分布，所以P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，由此可得，Eξ＝0×＋1×，Dξ＝.16.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是.解析：解法一(直接法)：由题意可知每次试验不成功的概率为，成功的概率为，在2次试验中成功次数X的可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝.所以在2次试验中成功次数X的分布列为X012P则在2次试验中成功次数X的均值为EX＝0×＋1×＋2×.解法二(公式法)：此试验满足二项分布，其中p＝，所以在2次试验中成功次数X的均值为EX＝np＝2×.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件，求：(1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.解：记“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到次品”为事件B.(1)第一次抽到次品的概率为P(A)＝.(2)第一次和第二次都抽到次品的概率为P(AB)＝.(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(B｜A)＝.18.(12分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70，100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人.(1)试问此次参赛学生的总人数约为多少?(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人?解：(1)设参赛学生的成绩为X.因为X~N(70，100)，所以μ＝70，σ＝10.则P(X≥90)＝P(X≤50)＝[1－P(50＜X＜90)]＝[1－P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)]≈×(1－0.9544)＝0.0228，则此次参赛学生的总人数约为12÷0.0228≈526.(2)易得P (X ≥80)＝P (X ≤60)＝[1－P (60＜X ＜80)]＝[1－P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)]≈×(1－0.6826)＝0.1587，得526×0.1587≈83，即此次竞赛成绩为优的学生约为83人.19.(12分)一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1，2，2，3，3，3六个数字).(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列；(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E ξ，D ξ.解：(1)由已知，随机变量η的取值为2，3，4，5，6.设掷一次正方体骰子所得点数为η0，则P (η0＝1)＝，P (η0＝2)＝，P (η0＝3)＝，即P (η＝2)＝，P (η＝3)＝2×，P (η＝4)＝2×，P (η＝5)＝2×.P (η＝6)＝.所以η的分布列为η23456P(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设其发生的概率为p，由(1)知，p＝，因为随机变量ξ~B所以Eξ＝np＝10×，Dξ＝np(1－p)＝10×.20.(12分)在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列及期望；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.解：(1)由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3，所以随机变量X的分布列是X0123PX的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×.(2)设“取出的3件产品中一等品的件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3，由于事件A1，A2，A3，彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而P(A1)＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，P(A3)＝P(X＝3)＝，所以取出的3件产品中一等品的件数多于二等品件数的概率为. 21.(12分)甲、乙两选手比赛，每局比赛甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为1－p，采用了“3局2胜制”(这里指最多比赛3局，先胜2局者为胜，比赛结束).若仅比赛2局就结束的概率为.(1)求p的值；(2)若采用“5局3胜制”(这里指最多比赛5局，先胜3局者为胜，比赛结束)，求比赛局数X的分布列和数学期望.解：(1)仅比赛2局就结束，即为甲连胜2局或乙连胜2局，所以p·p＋(1－p)(1－p)＝，即25p2－25p＋6＝0，解得p＝或p＝.(2)当p＝时，即甲胜的概率为，乙胜的概率为1－.X的可能取值为3，4，5.P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，所以X的分布列为X345P所以EX＝3×＋4×＋5×.当p＝时，结论与p＝相同.22.(12分)已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者.血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康.(1)若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；(2)血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②平均分组混合化验：先将血液样本平均分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者.①采取逐一化验，求所需化验次数ξ的分布列及数学期望；②采取平均分组混合化验(每组血液份数相同)，求不同分组方法所需化验次数的数学期望.你认为选择哪种化验方案更合理?请说明理由.解：(1)6名密切接触者中随机抽取3名共有＝20种方法，抽取3名中有感染者的抽法共有＝10种方法，所以抽到感染者的概率P＝.(2)①按逐一化验法，ξ的可能取值是1，2，3，4，5，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝，ξ＝5表示第5次化验呈阳性或前5次化验都呈阴性(即不检验可确定第6个样本为阳性)，分布列如下：ξ12345P所以Eξ＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×；②平均分组混合化验，6个样本可按(3，3)平均分成2组，或者按(2，2，2)分成3组.如果按(3，3)分2组，所需化验次数为η，η的可能取值是2，3，P(η＝2)＝，P(η＝3)＝×2＝，分布列如下：η23PEη＝2×＋3×.如果按(2，2，2)分3组，所需化验次数为δ，δ的可能取值是2，3，P(δ＝2)＝，P(δ＝3)＝×1＋×1＝，分布列如下：δ23PEδ＝2×＋3×.因为Eξ＞Eη＝Eδ，所以我认为平均分组混合化验法较好，按(2，2，2)或(3，3)分组进行化验均可.。
第六章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.将一颗质地均匀的骰子掷两次,不能作为随机变量的是()A.第一次出现的点数B.第二次出现的点数C.两次出现点数之和D.两次出现相同点的种数6,故不是随机变量.2.已知离散型随机变量ξ的概率分布列如下:则数学期望Eξ等于()A.1B.0.6C.2+3mD.2.4m=1-0.5-0.2=0.3,所以Eξ=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4,故选D.3.某同学通过计算机测试的概率为13,他连续测试3次,其中恰有1次通过的概率为( ) A .49 B .29 C .427 D .227解析连续测试3次,其中恰有1次通过的概率为P=C 31131-132=49. 4.已知随机变量X 的分布列为P (X=k )=13,k=1,2,3,则D (3X+5)等于( ) A.6 B.9 C.3 D.41×13+2×13+3×13=2,所以DX=13×[(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2]=23,所以D (3X+5)=9DX=9×23=6. 5.已知随机变量ξ服从正态分布N (2,σ2),P (ξ≤4)=0.84,则P (ξ<0)=( ) A.0.16 B.0.32C.0.68D.0.84P (ξ≤4)=0.84,μ=2,所以P (ξ<0)=P (ξ>4)=1-0.84=0.16.故选A. 6.若随机变量ξ的分布列如下表所示,则p 1=( )A.0 B .215C .115D.11,所以,15+23+p1=1,解得p1=215,故选B.7.一批型号相同的产品,有2件次品,5件正品,每次抽一件测试,将2件次品全部区分出后停止,假定抽后不放回,则第5次测试后停止的概率是()A.121B.521C.1021D.2021P=27×56×45×34×13+57×26×45×34×13+57×46×25×34×13+57×46×35×24×13+57×46×35×24×13=521.8.设0<a<1.随机变量X的分布列是则当a在(0,1)内增大时,()A.DX增大B.DX减小C.DX先增大后减小D.DX先减小后增大解析由分布列得EX=1+a3,则DX=1+a3-02×13+1+a3-a2×13+1+a3-12×13=29a-122+16,所以当a在(0,1)内增大时,DX先减小后增大.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.下列说法正确的是()A.若X~N (0,9),则其正态曲线的对称轴是y 轴B.正态分布N (μ,σ2)的图象位于x 轴上方C.所有的随机现象都服从或近似服从正态分布D.函数f (x )=√2π-x 22(x ∈R )的图象是一条两头低、中间高,关于y 轴对称的曲线,还有其他分布.10.口袋中有n 个白球,3个红球,依次从口袋中任取一球,若取到红球,则继续取球,且取出的红球不放回;若取到白球,则停止取球.记取球的次数为X ,若P (X=2)=730,则下列结论正确的是( ) A.n=7 B.P (X=3)=7120C.EX=118D.DX=12解析由P (X=2)=730,得C 31C n1C n+31C n+21=730,即3n (n+3)(n+2)=730,整理得90n=7(n+2)(n+3),解得n=7n=67舍去.所以X 的所有可能取值为1,2,3,4,P (X=1)=C 71C 101=710,P (X=3)=C 31C 21C 71C 101C 91C 81=7120,P (X=4)=C 31C 21C 11C 71C 101C 91C 81C 71=1120,所以EX=1×710+2×730+3×7120+4×1120=118,DX=1-1182×710+2-1182×730+3-1182×7120+4-1182×1120=77192.11.设随机变量ξ服从正态分布N (0,1),则下列结论正确的是( ) A.P (|ξ|<a )=P (ξ<a )+P (ξ>-a )(a>0) B.P (|ξ|<a )=2P (ξ<a )-1(a>0) C.P (|ξ|<a )=1-2P (ξ<a )(a>0)D.P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|>a)(a>0)P(|ξ|<a)=P(-a<ξ<a),所以A不正确;因为P(|ξ|<a)=P(-a<ξ<a)=P(ξ<a)-P(ξ<-a)=P(ξ<a)-P(ξ>a)=P(ξ<a)-(1-P(ξ<a))=2P(ξ<a)-1,所以B正确,C不正确;因为P(|ξ|<a)+P(|ξ|>a)=1,所以P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|>a)(a>0),所以D正确.12.甲、乙两人练习射击,命中目标的概率分别为12和13,甲、乙两人各射击一次,下列说法正确的是()A.目标恰好被命中一次的概率为12+13B.目标恰好被命中两次的概率为12×13C.目标被命中的概率为12×23+12×13D.目标被命中的概率为1-12×23A,“乙射击一次命中目标”为事件B,显然,A,B相互独立,则目标恰好被命中一次的概率为P(A B∪A B)=P(A B)+P(A B)=12×23+1 2×13=12,故A不正确;目标恰好被命中两次的概率为P(AB)=P(A)P(B)=12×13,故B正确;目标被命中的概率为P(A B∪A B∪AB)=P(A B)+P(A B)+P(AB)=12×23+12×13+12×13或1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-12×23,故C不正确,D正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A表示“两个点数互不相同”,B表示“出现一个5点”,则P(B|A)= .n(A)=6×5=30种,出现一个5点共有n(AB)=5×2=10种,所以P(B|A)=n(AB)n(A)=13.14.已知有一匀速转动的圆盘,其中心有一个固定的小目标M,甲、乙两人站在距离圆盘边缘2 m处的地方向圆盘中心抛掷小圆环,他们抛掷的小圆环能套上小目标M的概率分别为14与15,现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次,则小目标M被套上的概率为.解析小目标M被套上包括甲抛掷的小圆环套上、乙抛掷的小圆环没有套上;乙抛掷的小圆环套上、甲抛掷的小圆环没有套上;甲、乙抛掷的小圆环都套上,所以小目标M被套上的概率为14×1-15+1-14×15+14×15=25.15.(2019课标全国Ⅰ,理15)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是..18,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;前五场中有一场主场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是0.108+0.072=0.18.16.5张彩票中仅有1张中奖彩票,5个人依次摸奖,则第二个人摸到中奖彩票的概率为,第三个人摸到中奖彩票的概率为.15i个人抽中中奖彩票”为事件A i,显然P(A1)=15,而P(A2)=P[A2(A1∪A1)]=P(A2A1)+P(A2A1)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=15×0+45×14=15,P(A3)=P[A3(A1A2∪A1A2∪A1A2∪A1A2)]=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=0+0+0+P(A3A1A2)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=45×34×13=15.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=C21C31C51C103=14.(2)X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=C83C103=715,P(X=1)=C21C82C103=715,P(X=2)=C22C81C103=115.综上,X的分布列为故EX=0×715+1×715+2×115=35.18.(12分)某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为12,第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为710,若前两次均未打破,第三次落下时打破的概率为910,求透镜落下三次未打破的概率.A i ,i=1,2,3表示事件“透镜落下第i 次时打破”,以B 表示事件“透镜落下三次未打破”,因为B=A 1A 2A 3,所以P (B )=P (A 1A 2A 3)=P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)=1-12×1-710×1-910=3200. 19.(12分)某企业准备招聘一批大学生到本单位就业,但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试.在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数),如果从中随机选2人参加测试,其中恰为一男一女的概率为815;(1)求该小组中女生的人数;(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言,每个女生通过的概率均为34,每个男生通过的概率均为23;现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试,记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.设该小组中有n 个女生,根据题意,得C n 1C 10-n 1C 102=815, 解得n=6或n=4(舍去),∴该小组中有6个女生.(2)由题意,ξ的取值为0,1,2,3,P (ξ=0)=13×13×14=136, P (ξ=1)=C 21×23×13×14+132×34=736, P (ξ=2)=C 21×23×13×34+232×14=1636=49,P (ξ=3)=232×34=13,∴ξ的分布列为Eξ=0×136+1×736+2×49+3×13=2512.20.(12分)(2019天津,理16)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X 的分布列和数学期望;(2)设M 为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M 发生的概率.解(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故X~B 3,23,从而P (X=k )=C 3k 23k 133-k ,k=0,1,2,3.所以,随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望EX=3×23=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B3,23,且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立,从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P({X=3,Y=1})+P({X=2,Y=0})=P({X=3})P({Y=1})+P({X=2})P({Y=0})=827×2 9+49×127=20243.21.(12分)某市对高三期末考试中的数学成绩进行统计,统计结果显示,全市10 000名学生的数学成绩X服从正态分布N(120,25).在某校随机抽取了50名学生的数学成绩进行分析,这50名学生的成绩全部介于85分到145分之间,将结果按如下方式分为6组,第一组[85,95),第二组[95,105),……,第六组[135,145],得到如图所示的频率分布直方图.(1)试估计此次考试该校数学的平均成绩;(2)从这50名学生中成绩在125分及以上的学生中任意抽取3人,把这3人中在全市数学成绩排名前13的人数记为Y,求Y的分布列和期望.附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 4.由题中频率分布直方图,可知成绩在[125,135)内的频率为1-(0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10)=0.12,所以a=0.012.所以估计此次考试该校数学的平均成绩为90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112(分).(2)由题意,得P (120-3×5<X ≤120+3×5)≈0.997 4,故P (X ≥135)≈1-0.997 42=0.001 3,则0.001 3×10 000=13,所以排名在前13的成绩全部在135分及以上.根据题中频率分布直方图,可知这50人中成绩在135分及以上的有50×0.08=4(人),而成绩在[125,145]内的学生有50×(0.12+0.08)=10(人),所以Y 的所有可能取值为0,1,2,3.所以P (Y=0)=C 63C 103=16, P (Y=1)=C62C 41C 103=12, P (Y=2)=C61C 42C 103=310, P (Y=3)=C 43C 103=130. 所以Y 的分布列为期望EY=0×16+1×12+2×310+3×130=65. 22.(12分)在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中,大赛分预赛与复赛两个环节,预赛有4 000人参赛.先从预赛学生中随机抽取100人的成绩得到如下频率分布直方图.(1)若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人,求至少1人成绩不低于80分的概率;(2)由频率分布直方图可以认为该市全体参加预赛的学生成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可以近似为100名学生的预赛平均成绩,σ2=362,试估计全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数;(3)预赛成绩不低于91分的学生可以参加复赛,复赛规则如下:①每人复赛初始分均为100分;②参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量n(n>1),每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格,规定回答第k(k=1,2,…,n)题时扣掉0.2k分;③每答对一题加2分,答错既不加分也不扣分;④答完n题后参赛学生最后分数即为复赛分数.已知学生甲答对每题的概率为0.75,且各题答对与否相互独立,若甲期望得到最佳复赛成绩,则他的答题数量n应为多少?参考数据:√362≈19,若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<Z≤μ+3σ)≈0.997 4,1+2+3+…+n=n(n+1)2样本中成绩不低于60分的学生有(0.012 5+0.007 5)×20×100=40(人),其中成绩不低于80分的有0.007 5×20×100=15(人),则至少有1人成绩不低于80分的概率为1-C252C402=813.(2)由题意知样本中100名学生成绩的平均分为10×0.1+30×0.2+50×0.3+70×0.25+90×0.15=53,所以μ=53,σ2=362,所以σ≈19,所以Z~N(53,362),则P(Z≥91)=P(Z≥μ+2σ)≈1(1-0.954 4)=0.022 8,2故全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数为0.022 8×4 000≈91(人).(3)以随机变量ξ表示甲答对的题数,则ξ~B(n,0.75),且Eξ=0.75n,记甲答完n题所加的分数为随机变量X,则X=2ξ,所以EX=2Eξ=1.5n.依题意为了获取答n题的资格,甲需要扣掉的分数为0.2×(1+2+3+…+n)=0.1(n2+n),设甲答完n题的分数为M(n),则M(n)=100-0.1(n2+n)+1.5n=-0.1(n-7)2+104.9,由于n ∈N+,∴当n=7时,M(n)取最大值104.9,即复赛成绩的最大值为104.9.所以若学生甲期望获得最佳复赛成绩,则他的答题量n应该是7.。
（6）概率—高二数学北师大版(2019)选择性必修一单元检测卷（B 卷）【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一个袋子中100个大小相同的球,其中有40个黄球,60个白球,从中不放回地随机摸出20个球作为样本,用随机变量X 表示样本中黄球的个数,则X 服从( )A.二项分布,且 B.两点分布,且C.超几何分布,且 D.超几何分布,且2.已知在10件产品中可能存在次品，从中随机抽取2件检查，其次品数为.已知且该产品的次品率不超过，则这10件产品的次品率为( )A. B.C. D.3.“锦里开芳宴，兰缸艳早年”，元宵节是中国非常重要的传统节日.某班级准备进行“元宵福气到”抽奖活动，福袋中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖.若有5名同学参与此次活动，则恰好3人获奖的概率是( )4.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为( )()8E X =()12E X =()8E X =()12E X =ξ(1)P ξ==40%10%20%30%40%5.设随机变量，其正态分布密度曲线如图，若向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )〔注：若，则，〕A.7539B.7028C.6587D.60386.设某医院仓库中有10盒同样规格的X 光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、中任取一盒，再从这盒中任取一张X 光片，则取得的X 光片是次品的概率是()A.0.08B.0.1C.0.15D.0.27.甲、乙两人玩闯关游戏，该游戏一共要闯三关，每个人每一关能否闯关成功是相互独立的，的得分，用表示乙在闯关游戏中的得分，则在“”的条件下，“”的概率为( )8.甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知事件A ，B 满足，且，则一定有( )A. B. C. D.~(1,1)X N ()2~,X N μσ()0.6826P X μσμσ-<≤+≈(22)0.9544P X μσμσ-<≤+≈η4ξη+=ξη>p <<A B ⊆()0.5P B =()0.5P AB >()0.5P B A <()0.25P AB <()0.5P A B >10.将5个质地和大小均相同的小球分装在甲、乙两个口袋中，甲袋中装有1个黑球和1个白球，乙袋中装有2个黑球和1个白球.采用不放回抽取的方式，先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋中的1个黑球被取出后再用同一方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋中的2个黑球全部取出后停止.记总抽取次数为X ，下列说法正确的是( )D.若把这5个球放进一个袋子里去，每次随机抽取一个球，取后不放回，直到黑球全部取出，记总抽取次数为Y，则11.某中学积极响应国家“双减”政策，大力创新体育课堂，其中在课外活动课上有一项“投实心球”游戏，其规则是：将某空地划分成①②③④四块不重叠的区域，学生将实心球投进区域①或②一次，或者投进区域③两次，或者投进区域④三次，即认为游戏胜利，否则游戏失败.已知小张同学每次都能将实心球投进这块空地，他投进区域①与②的概率均为，投进区域③的概率是投进区域①的概率的四倍，每次投实心球的结果相互独立.记小张同学第二次投完实心球后恰好胜利的概率为，第四次投完实心球后恰好胜利的概率为，则( )A.C. D.若，则p 的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.六一临近，某火车站有三个安检入口，每个安检入口每天通过的旅客人数（单位：人）超过1100人的概率不低于0.2，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率最小为__________.13.已知离散型随机变量X 服从两点分布，且，则随机变量X 的标准差为__________.14.春节前夕，某火车站三个安检入口每天通过的旅客人数均服从正态分布，若，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天至少有两个()322123612p p p p =-+12p p <10,8⎛⎫⎪⎝⎭X =()()E Y E X <(01)p p <<1p 2p 0p <<2116p p =(0)34(1)P X P X ==-=()21000,N σ(9001100)0.6P X ≤≤=超过1100人的概率为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）小明每天去学校有A，B两条路线可供选择，小明上学时随机地选择一条路线.如果小明上学时选择A路线，那么放学时选择A路线的概率为0.6；如果小明上学时选择B路线，那么放学时选择A路线的概率为0.8.（1）求小明放学时选择A路线的概率；（2）已知小明放学时选择A路线，求小明上学时选择B路线的概率.16.（15分）在“十一”黄金周，某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在10时、12时、14时、16时公布实时在园人数.下表记录了10月1日至7日的实时在园人数：通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度，以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是8万人.（1）甲同学从10月1日至7日中随机选1天的下午14时去该公园游览，求他游园“舒适”的概率；（2）从10月1日至7日中任选2天，记这2天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X，求X的分布列和数学期望；（3）根据10月1日至7日每天12时的在园人数，判断从哪天开始连续3天12时的在园人数的方差最大.（只需写出结论）17.（15分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲、乙对阵时，若甲发球，.该局比赛甲、乙依次轮换发球权（甲40%先发球），每人发两球后轮到对方进行发球.（1）求在前4球中，甲领先的概率；（2）12球过后，双方战平（），已知继续对战奇数球后，甲率先取得11分获得胜利（获胜要求净胜2分及以上），设净胜分为X （甲、乙的得分之差），求X 的分布列.18.（17分）某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：（1）从该地区患者中随机选取1人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率.（2）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X 表示检测结果为阳性的患者人数，利用（1）中所得概率，求X 的分布列和数学期望.（3）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取1人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，此人患该疾病的概率是否超过0.5？请说明理由.19.（17分）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测120个零件的长度（单位：分米），将数据分成，，，，，这6组，得到如图的频率分布直方图，其中长度大于或等于1.59分米的零件有20个，其长度分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74.以这120个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率.6:6[1.2,1.3](1.3,1.4](1.4,1.5](1.5,1.6](1.6,1.7](1.7,1.8]（1）求这批零件的长度大于1.60分米的频率，并求频率分布直方图中m ，n ，t 的值.（2）若从这批零件中随机选取3个，记X 为抽取的零件长度在的个数，求X 的分布列和数学期望.（3）若变量S满足且，则称变量S 满足近似于正态分布的概率分布.如果这批零件的长度Y 满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收.试问：该批零件能否被签收？(1.4,1.6]|()0.6826|0.05P S μσμσ-<≤+-≤|(22)0.9544|0.05P S μσμσ-<≤+-≤()2,N μσ(1.5,0.01)N答案以及解析1.答案：C解析：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本,所以由超几何分布得定义得X 服从超几何分布,所以.2.答案：B解析：设这10件产品中有n 件次品.由，解得或.又该产品的次品率不超过，，应取，.故选B.3.答案：C解析：每次抽奖中，总情况数为种，获奖的共有，，，这4种，所以抽奖一次获奖的概率设5人中获奖人数为X ，则，所以4.答案：C解析：小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中向左边跳动5次，向右边跳动2次，向，则向右的次数服从二项分布，所求概率5.答案：C解析：由题意知，正方形ABCD 的边长为1，所以正方形的面积.因为随机变量，所以其正态分布密度曲线关于直线对称，且.又，即，所以阴影部分的面积()E X =40208100⨯=(1)P ξ===210160n n -+=2n =8n =40%4n ∴≤2n =∴20%=35C 10=(1,2,3)(1,3,5)(2,3,4)(3,4,5)p =2~5,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭323523(3)C 55P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17,2B ⎛⎫⎪⎝⎭252711C 22P ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1S =~(1,1)X N 1x =1σ=()0.6826P X μσμσ-<≤+≈(02)0.6826P X <<≈.由几何概型的概率公式可得投掷1个点，落入阴影部分的概率，所以投掷10000个点，落入阴影部分的点的个数的估计值是.故选C.6.答案：A解析：设，，分别表示取得的这盒X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B 表示取得由全概率公式知所求概率为.故选A.7.答案：D解析：设事件A为“”，事件B为“”，所以.又所以所以8.答案：D解析：随机变量X 可能的取值为2，3.10.682610.65872S ≈-=10.6587S p S==100000.65876587⨯=1A 2A 3A ()1P A =()2A =()3A =()1BA =∣()2B A =∣()()()()()()112233()P B P A P BA P A PB A P A P B A =+⋅+∣∣∣5131210.08101010151020=⨯+⨯+⨯=4ξη+=ξη>()(1)(3)(2)(2)(3)(1)P A P P P P P P ξηξηξη===+==+==531531531(1)111111653653653P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭531531531(2)111653653653P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭531(3)653P ξ==⨯⨯=21333(1)C 155P η⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭22333(2)C 155P η⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3333(3)C 5η⎛⎫=== ⎪⎝⎭14274354136()45125901256125P A =⨯+⨯+⨯=1366()(3)(1),6125125P AB P P ξη====⨯=()()()P AB P B A P A ==∣.，故X 的分布列为：故因为而，令故，必成立，故C 错误，D 正确.故选：D.9.答案：BC，所以，故A 错误，对于B ，因为，所以，所以，故B 正确，对于C ，因为，所以，所以，故C 正确，()()20222222C C 1221P X p p p p ==+-=-+()()()()112223C 1C 1122P X p p p p p p p p ==-+--=-()()()22221222132222222E X p p p p p p p ⎛⎫=⨯-++⨯-=-++=--+ ⎪⎝⎭0p <<()E X <<<<()()()()22224221922222D X p p p p p p =⨯-++⨯---++2212222t p p p ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭13p <<<0t <<()()()222041920,81X t t t t t ⎛⎫=⨯-+-+=-+∈ ⎪⎝⎭()14D X <B ⊆()()0.5P AB P B ≤=A B ⊆A B =∅ ()()()|0P BAP B A P A ==A B ⊆A B =∅ ()0P AB =对于D ，因为，所以，所以，若，则，故D 错误，故选：BC.10.答案：ACAC.11.答案：AC解析：对于A ，小张同学投进区域③的概率为4p ，投进区域④的概率为，所以未投中区域①或②，第二次投中区域①或②”和“第一次与第二次均投中区域③”两个事件，则，则B 错误.对于C ，第四次投完实心球后，恰好游戏胜利，则需前三次投完后有一次投进区域③且有两次投进区域④，所以，则C 正确.对于D ，.令，得16p -A B ⊆A B A = ()()P A B P A = A =∅()()()|0P AB P A B P B ==0p <<221(12)2(4)212p p p p p p =-⨯+=+()123223C 4(16)123612p p p p p p =⨯-=-+()()322322112361221243215610p p p p p p p p p p-=-+-+=-+()222167852(121)(185)p p p p p p =-+=--2(121)(185)0p p p -⋅->0p <<解析：由题意可知旅客人数X超过1100人的概率不低于0.2，即，所以这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率最小为解析：设，因为离散型随机变量X服从两点分布，所以，又，所以，解得所以解析：根据正态曲线的对称性，每个安检入口超过1100人的概率两个超过1100人的概率15.答案：（1）0.7解析：（1）设“上学时选择A路线”，“上学时选择B路线”，“放学时选择A路线”，则，且与互斥，1(0)P X p==p<<p<<(1100)0.2P X>≥223303313C0.2(10.2)C0.2(10.2)0.104125P=⨯⨯-+⨯⨯-==1(1)1P X p==-(0)34(1)P X P X==-=()11341p p=--1p=1(1)1P X p==-=12()33D X=⨯==11(1100)[1(9001100)](10.6)0.222P X P X>=-≤≤=⨯-==232333141C C555P⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1A=1B=2A=11A BΩ=1A1B根据题意得，，，由全概率公式，得，所以小明放学时选择A 路线的概率为0.7.（2）（3）10月2日解析：以下称为“舒适”，该公园的最大承载量是8万人，在园人数是（万人）以下为“舒适”.（1）10月1日至7日的下午14时去该公园游览，“舒适”的天数为3天，甲同学游园“舒适”的概率（2）10月1日至7日中，这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、7日，的可能取值为0，1，2，且服从超几何分布，，的分布列为()()()()()()1212112220.50.80.7P B P A B P A B P B A P A P A ⨯====∣∣40% ∴840% 3.2⨯=∴p =X ∴204327C C 62(0)C 217P X ∴====114327C C 12(1)C 21P X ====024327C C 3(2)C 21P X ====X ∴()()110.5P A P B ==()210.6P A A =∣()210.8P A B =∣()()()()()2121121P A P A P A A P B P A B =+∣∣0.50.60.50.80.7=⨯+⨯=X 的数学期望（3）从10月2日开始连续3天12时的在园人数的方差最大.（2）X 的分布列见解析（2）依题意，接下来由甲先发球.继续对战奇数球后，甲获得11分胜利，即甲或获胜，即在接下来的比赛中，甲、乙的比分为或，且最后一球均为甲获胜.记比分为为事件A ，则记比分为为事件B ，即前6场比赛中，乙获胜两场，期间甲发球4次，乙发球两次，（3）此人患该疾病的概率未超过0.5.理由见解析解析：（1）由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测所得结果为阳性.所以从该地区患者中随机选取1人，用该试剂盒检测一次，241012777EX =⨯+⨯+⨯=:3153⨯1133212335533⨯+⨯⨯⨯⨯1162575=+=11:611:85:05:25:022313()535P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5:2222243221142423212323211()C C C C 5533555333P B ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=（2）由题意可知，其中，X 的可能取值为0，1，2，3.所以X 的分布列为（3）此人患该疾病的概率未超过0.5.理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为，其中患者人数为950.若某人检测结果为阳性，.所以此人患该疾病的概率未超过0.5.19.答案：（1）这批零件的长度大于1.60分米的频率为0.15；，，（2）X 的分布列见解析；数学期望为2.1（3）这批零件是合格的，将顺利被该公司签收解析：（1）由题意可知120个样本零件中长度大于1.60分米的共有18个，.记Y 为零件的长度，~(,)X B n p 3n =p =0303191(0)C 2020P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1213191(1)C 2020P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2123191(2)C 2020P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333191(3)C 2020P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭119990001000990950194010020⨯+⨯=+=9700.51940<=0.25m = 1.25n = 3.5t =0.15=则，，，故，，.（2）由（1）可知从这批零件中随机选取1个，长度在的概率.又随机变量X 服从二项分布，则，，，，故随机变量X 的分布列为（或）.（3）由题意可知，，则，.因为，，所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布.因此应认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收.3(1.2 1.3)(1.7 1.8)0.025120P Y P Y ≤≤=<≤==15(1.3 1.4)(1.6 1.7)0.125120P Y P Y <≤=<≤==1(1.4 1.5)(1.5 1.6)(120.02520.125)0.352P Y P Y <≤=<≤=⨯-⨯-⨯=0.0250.250.1m ==0.125 1.250.1n ==0.35 3.50.1t ==(1.4,1.6]20.350.7p =⨯=~(3,0.7)X B 033(0)C (10.7)0.027P X ==⨯-=123(1)C (10.7)0.70.189P X ==⨯-⨯=223(2)C (10.7)0.70.441P X ==⨯-⨯=333(3)C 0.70.343P X ==⨯=00.02710.18920.44130.343 2.1EX =⨯+⨯+⨯+⨯=30.7 2.1EX =⨯=1.5μ=0.1σ=()(1.4 1.6)0.7P Y P Y μσμσ-<≤+=<≤=(22)(1.3 1.7)0.1250.350.350.1250.95P Y P Y μσμσ-<≤+=<≤=+++=|0.70.6826|0.01740.05-=≤|0.950.9544|0.00440.05-=≤(1.5,0.01)N。
北师版高中数学选择性必修第一册章末质量检测(五)概率测试卷一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设随机变量ξ等可能取值1,2,3，…，n.如果P(ξ<4)＝0.3，那么()A．n＝3B．n＝4C．n＝10D．n不能确定2．已知离散型随机变量ξ的分布列为X135P0.5m0.2则均值Eξ＝()A．1B2＋3m D．2.43．若ξ～P(ξ≥2)等于()A.11 1024B.501512C.10131024D.5075124．已知ξ～N(0，σ2)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)＝()A．0.1B．0.2C．0.6D．0.85．同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的方差是()A.1 2B.34C．1 D.326．由1,2组成的有重复数字的三位数中，若用A表示事件“十位数字为1”，用B表示事件“百位数字为1”，则P(A|B)＝()A.2 5B.34C.12D.187．甲、乙两人参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则X＝2的概率为()A.1 30B.110C.16D.128．甲、乙两名同学做游戏，他们分别从两个装有编号为1～5的球的箱子中抽取一个球，若两个球的编号之和小于6，则甲赢，若大于6，则乙赢，若等于6，则和局，若他们共玩三次，则甲赢两次的概率为()A.8 125B.12125C.36125D.54125二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9．下列说法不正确的是()A．P(B|A)<P(AB)B．P(B|A)＝P(B)P(A)是可能的C．0<P(B|A)<1D．P(A|A)＝010．若随机变量η的分布列如下：η－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(η<x)＝0.8时，实数x的值可以为()A．1B．1.5C．2D．2.511．设随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，且X 落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等．若P (X >2)＝p ，则下列结论正确的有()A ．μ＝0B ．σ＝2C ．P (0<X <2)＝12－p D ．P (X <－2)＝1－p12．某班级的全体学生平均分成6个小组，且每个小组均有4名男生和多名女生．现从各个小组中随机抽取一名同学参加社区服务活动，若抽取的6名学生中至少有一名男生的概率为728729，则()A ．该班级共有36名学生B ．第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为23C ．抽取的6名学生中男女生数量相同的概率是160729D ．设抽取的6名学生中女生数量为X ，则D (X )＝43三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝m ，k ＝1,2,3，则m 的值为________．14三人能达标的概率分别为34、23、35，则三人中有人达标但没有全部达标的概率为________．15．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX ＝________.16．设随机变量X 的分布列如下：X 012P2p ＋1313－p 13－p 若p ≥15，则EX 的最大值是________，DX 的最大值是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某班包括男生甲和女生乙在内共有6名班干部，其中男生4人，女生2人，从中任选3人参加义务劳动．(1)求男生甲或女生乙被选中的概率；(2)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (A )和P (A |B )．18．(本小题满分12分)在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射击10次，每次一发．记分的规则为：击中目标一次得3分；未击中目标得0分；并且凡参赛的射手一律另加2分．已知射手小李击中目标的概率为0.8，求小李在比赛中得分的数学期望与方差．19．(本小题满分12分)袋中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从袋中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用X表示取出的3张卡片上的最大数字，求：(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的分布列．20．(本小题满分12分)某市教育部门规定，高中学生三年在校期间必须参加不少于80小时的社区服务，该市教育部门随机抽取了全市200位高中学生参加社区服务时间的数据，按时间段[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100](单位：小时)进行统计，其频率分布直方图如图所示．(1)求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；(2)从全市高中学生(人数很多)中任意选取3位学生，记X为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数，试求随机变量X的分布列与期望．21．(本小题满分12分)为了评估某大米包装生产设备的性能，从该设备包装的大米中随机抽取100袋作为样本，称其重量为重量kg 9.59.69.79.89.910.010.110.210.310.410.510.610.710.8合计包数11356193418342121100经计算：样本的平均值μ＝10.10，标准差σ＝0.21.(1)为评判该生产线的性能，从该生产线中任抽取一袋，设其重量为X(kg)，并根据以下不等式进行评判，①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≥0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≥0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≥0.9974；若同时满足三个不等式，则生产设备为甲级；满足其中两个，则为乙级；仅满足其中一个，则为丙级；若全不满足，则为丁级．请判断该设备的等级．(2)将重量小于或等于μ－2σ与重量大于μ＋2σ的包装认为是不合格的包装，从设备的生产线上随机抽取5袋大米，求其中不合格包装袋数Y的均值E(Y)．22．(本小题满分12分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有金额的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的金额之和为该顾客所获得的奖励金额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的金额为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获得的奖励金额为60元的概率；②顾客所获得的奖励金额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总金额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有金额10元和50元的两种球，或标有金额20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总金额尽可能符合商场的预算，且每位顾客所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个球的金额给出一个合适的设计，并说明理由．参考答案与解析1．解析：∵ξ是等可能取值，∴P (ξ＝k )＝1n (k ＝1，2，…，n )，∴P (ξ<4)＝3n＝0.3，∴n ＝10.故选C.答案：C2．解析：m ＝1－0.5－0.2＝0.3，所以Eξ＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.故选D.答案：D3．解析：P (ξ≥2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)＝1－C 01010－C11019＝1－11024－101024＝10131024.故选C.答案：C4．解析：因为ξ～N (0，σ2)，且P (－2≤ξ≤0)＝0.4，所以P (ξ<－2)＝0.5－0.4＝0.1，所以P (ξ>2)＝P (ξ<－2)＝0.1.故选A.答案：A5．解析：同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现两枚正面向上的概率P ＝12×12＝14所以2枚硬币均正面向上的次数X ～所以DX ＝4×14×34＝34.答案：B6．解析：P (B )＝1×2×22×2×2＝12，P (AB )＝1×1×22×2×2＝14，∴P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝12.故选C.答案：C7．解析：随机变量X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝6，n ＝3，则P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12.故选D.答案：D8．解析：由题意知，玩一次游戏甲赢的概率为P ＝1025＝25，那么，玩三次游戏，甲赢两次的概率为C232＝36125.故选C.答案：C9．解析：由条件概率公式P (B |A )＝P （AB ）P （A ）及0<P (A )≤1知P (B |A )≥P (AB )，故A 错误；当事件A 包含事件B 时，有P (AB )＝P (B )，此时P (B |A )＝P （B ）P （A ），故B 正确；由于0≤P (B |A )≤1，P (A |A )＝1，故C，D 错误．答案：ACD10．解析：由分布列知，P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8，P (η<2)＝0.8，故1<x ≤2.故选BC.答案：BC11．解析：因为正态分布N (μ，σ2)关于x ＝μ对称，又X 落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(1，3)内的概率相等，所以μ＝0，A 正确；因为正态分布N (μ，σ2)关于x ＝μ对称，所以P (X >0)＝12，∴P (0<X <2)＝P (X >0)－P (X ≥2)＝12－p ，C 正确；P (X <－2)＝P (X >2)＝p ，σ不确定，所以B，D 错误；故选AC.答案：AC12．解析：设该班级每个小组共有n 名女生，∵抽取的6名学生中至少有一名男生的概率为728729，∴抽取的6名学生中没有男生(即6名学生全为女生)的概率为1－728729＝1729，6＝17296，解得n ＝2，∴每个小组有4名男生、2名女生，共6名学生，∴该班级共有36名学生，则A 对；∴第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为16，则B 错；抽取的6名学生中男女生数量相同的概率是C 3633＝160729，则C 对；设抽取的6名学生中女生数量为X ，则X ～，则DX＝6×13＝43，则D 对；故选ACD.答案：ACD13．解析：因为P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝1，即3＝1，所以m ＝2738.答案：273814．解析：因三人中有一人或两人达标，其概率为1－34×23×35－14×13×25＝23.答案：2315．解析：X ～B (100，0.02)，所以DX ＝np (1－p )＝100×0.02×0.98＝1.96.答案：1.960≤13－p ≤13，p ≤13，≥15，解得15≤p ≤13.因为EXp＝1－3p ≤25，所以EX 的最大值是25，②因为DX＝[0－(1－3p )]2p ＋[1－(1－3p)]2＋[2－(1－3p)]2＝－9p 2＋p ＋23，因为15≤p ≤13，所以DX ≤3875，所以DX 的最大值是3875.答案：25387517．解析：(1)从6人中任选3人，选法共有C 36＝20(种)，其中男生甲和女生乙都不被选中的概率为C 3420＝15.故男生甲或女生乙被选中的概率为1－15＝45.(2)由题知，P (A )＝C 2520＝12.又P (B )＝P (A )＝12，P (AB )＝C 1420＝15，所以P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝25.18．解析：用ξ表示小李击中目标的次数，η表示他的得分，则由题意知ξ～B (10，0.8)，η＝3ξ＋2.因为Eξ＝10×0.8＝8，Dξ＝10×0.8×(1－0.8)＝1.6，所以Eη＝E (3ξ＋2)＝3Eξ＋2＝3×8＋2＝26(分)，Dη＝D (3ξ＋2)＝32×Dξ＝9×1.6＝14.4.所以小李在比赛中得分的数学期望为26分，方差为14.4.19．解析：(1)记“取出的3张卡片上的数字互不相同”为事件A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23.(2)随机变量X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝C 34C 310＝130，P (X ＝3)＝C 12C 24＋C 22C 14C 310＝215，P (X ＝4)＝C 12C 26＋C 22C 16C 310＝310，P (X ＝5)＝C 12C 28＋C 22C 18C 310＝815，所以随机变量X 的分布列为X 2345P13021531081520.解析：(1)根据题意及题图得，参加社区服务时间在[90，95)内的学生人数为200×0.06×5＝60，参加社区服务时间在[95，100]内的学生人数为200×0.02×5＝20，∴抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80.∴从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率P ＝80200＝25.(2)由(1)可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为25.由题意得，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，则P (X ＝0)＝C33＝27125；P (X ＝1)＝C 1312＝54125；P (X ＝2)＝C 2321＝36125；P (X ＝3)＝C 333＝8125.∴随机变量X 的分布列为X 0123P2712554125361258125∵X ～，∴EX ＝3×25＝65.21．解析：(1)由题意得P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝P (9.89<X ≤10.31)＝80100＝0.8>0.6826，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝P (9.68<X ≤10.52)＝94100＝0.94<0.9544，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝P (9.47<X ≤10.73)＝99100＝0.99<0.9974，所以该生产设备为丙级．(2)由表知，不合格的包装共有6袋，则从设备的生产线上随机抽一袋不合格的概率P ＝6100＝350，由题意知Y 服从二项分布，即Y ～，所以EY ＝5×350＝0.3.22．解析：(1)①设顾客所获得的奖励金额为X .依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获得的奖励金额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20，60.P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，P (X ＝60)＝12，即X 的分布列为X 2060P1212所以EX ＝20×12＋60×12＝40.(2)根据商场的预算，每位顾客的平均奖励金额为60元，所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于金额由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是金额之和的最大值，所以数学期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是金额之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于金额由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获得的奖励金额为X 1，则X 1的分布列为X 12060100P162316X 1的数学期望EX 1＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差DX 1＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝16003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获得的奖励金额为X 2，则X 2的分布列为X 2406080P162316X 2的数学期望EX 2＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差DX 2＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励金额的期望都符合要求，但方案2的奖励金额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2，即袋中的4个球，其中2个标金额20元，2个标金额40元．。
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年海南省三沙市高中数学北师大 选修一第六章-概率章节测试(1)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）甲与乙相互独立甲与丙相互独立甲与丁相互独立乙与丙相互独立1. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录每次得到的点数，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第一次点数为偶数”，丙表示事件“两次点数之和为6”，丁表示事件“两次点数之和为7”，则（ ）A. B. C. D. 0.6480.6250.375 0.52. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.5，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A. B. C. D. 3. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于（ ）A.B.C.D.4. 小明和小东两人比赛下象棋，小明不输的概率是 ，小东输的概率是 ，则两人和棋的概率为（ ）A. B. C. D.0.6k ﹣1×0.40.24k ﹣1×0.760.4k ﹣1×0.60.6k ﹣1×0.245. 甲、乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，计每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响．设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则P （ξ=k ）等于（ ）A. B. C. D.6. 2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为 ， ， ，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（ ）A. B. C. D.， ，， ，7. 已知随机变量 满足 ， ，若 ，则（ ）A. B. C. D. 互斥事件 对立事件相互独立事件不相互独立事件8. 抛掷3枚质地均匀的硬币，A={既有正面向上又有反面向上}，B={至多有一个反面向上}，则A 与B 关系是（ ）A. B. C. D. 9. 如图，某系统由A ，B ，C ，D 四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A ，B ，C ，D 正常工作的概率都为， 则该系统正常工作的概率为（ ）A. B. C. D.10. 设X 随机变量服从 ， 若随机变量X 的数学期望为4，则（ ）A. B. C. D.11. 离散型随机变量的分布列为：ξ0123Px则x 的值为（ ）A.B.C.D.0.60.70.80.6612. 甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%．则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为（ ）A.B. C. D.A. B. C. D.13. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序出废品的概率为0.4，两道工序都出废品的概率为0.2，则在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率为 .14. 袋中装有4个黑球，3个白球，不放回地摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是 .15. 袋中装有质地，大小相同的5个红球，个白球，现从中任取2个球，若取出的两球都是红球的概率为，则；记取出的红球个数为，则．16. 已知随机变量ξ的概率分布列为：ξ012P则Eξ= ，Dξ= ．17. 某中学人力资源部计划2016年招聘2名数学教师，共5名应聘者进入最后课堂实录环节.5名数学组评审专家给出评分如表：评审专家/应聘老师12345评审专家A93.090.088.589.582.5评审专家B94.083.089.093.081.0评审专家C91.085.081.588.081.0评审专家D92.091.581.094.587.0评审专家E95.591.090.095.588.5（Ⅰ）若依据去掉一个最高分和一个最低分规则计算应聘老师成绩，试确定最终应聘成功的2名数学老师的序号；（Ⅱ）在课堂实录环节，每名应聘老师都需要从5名评审专家中随机选取2名进行点评，且每名应聘老师的选择互不影响，设X 表示评审专家A进行点评的次数，求X的分布列以及数学期望；（Ⅲ）记评审专家A与评审专家B给出的评分的方差分别为，试比较与的大小．（只需写出结论）18. 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）.19. 甲、乙、丙三人准备报考某大学，假设甲考上的概率为，甲，丙两都考不上的概率为，乙，丙两都考上的概率为，且三人能否考上相互独立．(1) 求乙、丙两人各自考上的概率；(2) 设X表示甲、乙、丙三人中考上的人数与没考上的人数之差的绝对值，求X的分布列与数学期望．20. 据统计，截至2016年底全国微信注册用户数量已经突破9.27亿，为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从某市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：微信群数量（个）频数频率0～40.155～8400.49～122513～16a c16以上5b合计1001（Ⅰ）求a，b，c的值及样本中微信群个数超过12的概率；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过12的概率；（Ⅲ）以（1）中的频率作为概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过12的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．21. 在10件产品中，有3件一等品.4件二等品.3件三等品．从这10件产品中任取3件．求：(1) 取出的3件产品中一等品件数X的分布列；(2) 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.(1)(2)20.21.(1)(2)。
