匀变速直线运动位移差公式图象证明法阿基米道

一、适用于所有匀变速直线运动的公式及推导式：①末速度公式:at v v t +=0②位移与时间的公式:2021at t v x +=③位移与速度的公式：2022v v ax t -= ④连续相等的时间间隔内的位移差：x ∆=aT 2 ⑤某段时间内中间时刻的瞬时速度：2t v =v =20tv v + ⑥某段位移中点的瞬时速度: 2Xv =2220t v v + 且:2t v ＜2X v 二、初速度为零的匀加速直线运动规律：(匀减速直线运动可以看成反向的匀加速直线运动）。

设T 为时间单位，则有： （１）T 末、2T 末、3T 末、…… nT 末的瞬时速度之比为： ｖ1∶ｖ2∶ｖ3∶…… :ｖn =1∶2∶3∶…… ∶n（２）T 内、2T 内、3T 内…… ｎT 内位移之比为:x 1∶x 2∶x 3∶…… ：x n =12∶22∶32∶…… ∶n 2 =1∶4∶9……(３）第一个T 内，第二个T 内，第三个T 内，…… 第n 个T 内的位移之比为： x 1∶x 2∶x 3∶…… :x n =1∶3∶5∶…… ∶（2n －1）(４）通过连续相等位移的所用时间之比为：t 1∶t 2∶t 3∶…… ：t n =1∶（12-）∶(23-)∶……… ∶（1--n n ）逐差法求解纸带加速度（1）理解如下图所示，是相邻两计数点间的距离，△x是两个连续相等的时间里的位移之差，即,…T是两相邻计数点间的时间间隔,对两段进行分析,由匀变速直线的规律得则任意相邻计数点间位移差:对匀变速直线运动，a是恒量，T也是恒量,它是判断物体是否做匀变速直线运动的必要条件。

即若任意两连续相等的时间间隔里的位移之差为恒量，则与纸带相连物体的运动为匀变速运动。

(2)用逐差法求加速度由得又，可得同理可得：加速度的平均值为如果不用此法，而用相邻的各x值之差计算加速度再求平均值可得比较可知，逐差法将纸带上到各实验数据都利用了，而后一种方法只用上了和两个实验数据，实验结果只受、两个数据影响，算出a的偶然误差较大。

结果发现n 段分位移之和恰好是四边形OAPQ 的面积（即梯形面积）。

所以计算匀变速直线运动的位移时，也可以通过计算图线与两坐标轴所围成的面积。

以匀加速直线运动为例。

图线与横纵坐标轴所围成的为梯形。

上底为 v 0-0，下底为v t -0，高为t-0，梯形面积
高下底上底梯⨯+=2
s 即
t v v s t ⋅+=20面 则位移：
()t v v s t ⋅+=02
1 图线
方法二：“爬坡法”，根据图线走势的平缓和陡峭程度（平缓处加速度小，陡峭处加速度大）。

（3）追及相遇问题
①两物体在同一直线上一前一后运动，它们之间的距离发生变化时，可能出现最大距离、最小距离或者距离为零的情况，这类问题称为追及相遇问题，讨论追及相遇问题的实质是两物体能否在同一时刻到达同一位置。

②追及相遇问题的分析思路
③方法技巧（三种常用方法）
方法一：物理分析法：抓住“两物体能否同时到达同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的情境，并画出运动情况示意图，找出位移关系。

方法二：图像法：将两者的v－t图像画在同一坐标系中，然后利用图像分析求解。

第7讲匀变速直线运动：位移公式匀变速直线运动考点1位移时间公式2021at t v x +=公式推导方法1平均速度法方法2图像面积法当初速度为零时，公式变为221at x =应用【例1】一辆汽车以21m/s 的加速度加速行驶了s 12，驶过了m 180，汽车开始加速时的速度是多少？位移时间公式:2021at t v x +=位移速度公式：axv v t 2202=−【例2】一辆汽车沿上坡做匀减速直线运动，经s 10时间通过m 100位移时速度变为5m/s ，试计算汽车减速时的初速度和加速度．【例3】一物体以5m/s 的初速度沿斜面向上做加速度为22m/s 的匀变速直线运动．求：经s 6物体的位移．【例4】一辆汽车以km/h 54=v 的速度在平直的公路上匀速行驶，遇紧急情况刹车，刹车的加速度大小25m/s =a，则从开始刹车s 5的时间内汽车的位移为多少？考点2位移速度公式axv v t 2202=−公式推导应用【例5】发射枪弹时，枪弹在枪筒中的运动可以看做匀加速运动，如果枪弹的加速度大小是22m/s 105×，枪筒长m 64.0，枪弹射出枪口时的速度是多大?【例6】一光滑斜面坡长为m 10，有一小球以10m/s 的初速度从斜面底端向上运动，刚好能到达最高点，试求：小球运动的加速度．【例7】一物体由静止沿光滑斜面匀加速下滑距离为L 时，速度为v ，当它的下滑距离是2L 时，它的速度是A ．2vB ．22v C ．4v D ．43v 【例8】做匀加速直线运动的物体，速度从v 增加到v 2时通过的位移为x ，则它的速度从v 2增加到v 4时通过的位移是．【例9】已知物体做匀加速直线运动，通过A 点时的速度是0v ，通过B 点时的速度是t v ，求中点位置的速度．考点3公式汇总【例10】一个滑雪的人，从m 85长的山坡上匀变速滑下，初速度是m/s 8.1，末速度是.0m/s 5，他通过这段山坡需要多长时间？【例11】做匀变速直线运动的物体，在第一个s 4内的位移为m 24，在第二个s 4内的位移是m 60，求：(1)此物体的加速度．(2)物体在第四个s 4内的位移．【例12】一物体做匀变速直线运动，某时刻速度的大小为m/s 4，1s 后的速度的大小变为m/s 10，在这s 1内该物体的A ．位移的大小可能小于m 4B ．位移的大小可能大于m10C ．加速度的大小可能小于24m/s D ．加速度的大小可能大于210m/s 例题答案【例1】m/s 9【例2】5m/s 1,21m/s 【例3】m 6−【例4】m 5.22【例5】640m/s 【例6】25m/s 【例7】B 【例8】x 4【例9】2220t v v +【例10】s 25【例11】(1)22.25m/s (2)m 132【例12】BD1．一物体由静止沿光滑斜面匀加速下滑距离为L 时，速度为v ，当它的速度是v2时，它沿斜面下滑的距离是A ．L 2B ．2L 2C ．L 4D ．3L 42．以0m/s 2的速度做匀速运动的汽车，制动后能在m 2内停下来，如果该汽车以0m/s 4的速度行驶，则它的制动距离应该是A ．m2B ．m4C ．m8D ．m163．甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿一条直线运动，它们的t v −图象如图所示，由图可知A ．甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲B ．由于乙在s 10=t 时才开始运动，所以s 10=t 时，甲在乙前面，它们之间的距离为乙追上甲前最大C ．s 20=t 时，它们之间的距离为乙追上甲前最大D ．s 30=t 时，乙追上了甲4．物体沿一直线运动，在t 时间内通过路程为s ，它在中间位置2s处的速度为1v ，在中间时刻2t时的速度为2v ，则1v 和2v 的关系为A ．当物体做匀加速直线运动时，21v v >B ．当物体做匀减速直线运动时，21v v >C ．当物体做匀加速直线运动时，21v v =D ．当物体做匀减速直线运动时，21v v <5．“神舟”七号载人飞船的返回舱距地面km 10时开始启动降落伞装置，速度减至m/s 10，并以这个速度在大气中降落，在距地面m 2.1时，返回舱的4台缓冲发动机开始向下喷火，舱体再次减速，设最后减速过程中返回舱做匀减速运动，并且到达地面时恰好速度为0，则其最后阶段的加速度为________2m/s ．6．一辆大客车正在以0m/s 2的速度匀速行驶．突然，司机看见车的正前方m 500=x 处有一只小狗，如图所示．司机立即采取制动措施．司机从看见小狗到开始制动客车的反应时间为s 5.0=∆t ，设客车制动后做匀减速直线运动．试求：(1)客车在反应时间t ∆内前进的距离．(2)为了保证小狗的安全，客车制动的加速度至少为多大？(假设这个过程中小狗一直未动)7．长m 100的列车通过长m 1000的隧道，列车刚进隧道时的速度是0m/s 1，完全出隧道时的速度是2m/s 1，求：(1)列车过隧道时的加速度是多大？(2)通过隧道所用的时间是多少？8．驾驶手册规定具有良好刹车性能的汽车在以km/h 80的速率行驶时，可以在m 56的距离内刹住，在以8km/h 4的速率行驶时，可以在m 24的距离内刹住．假设对这两种速率，驾驶员的反应时间(在反应时间内驾驶员来不及使用刹车，车速不变)与刹车产生的加速度都相同，则驾驶员的反应时间为多少？9．列车长为l ，铁路桥长为l 2，列车匀加速行驶过桥，车头过桥头的速度为1v ，车头过桥尾时的速度为2v ，则车尾过桥尾时速度为A ．123v v −B ．123v v +C ．2)3(2122v v −D ．232122v v −10．一小车从A 点由静止开始做匀加速直线运动，若到达B 点时速度为v ，到达C 点时速度为v 2，则BC AB :等于A ．1:1B ．2:1C ．3:1D ．4:111．为了打击贩毒，我边防民警在各交通要道上布下天罗地网．某日，一辆运毒汽车高速驶近某检查站，警方示意停车，毒贩见势不妙，高速闯来．由于原来车速已很高，发动机早已工作在最大功率状态，此车闯卡后在平直公路上的运动可近似看作匀速直线运动，它的位移可用式子t x 401=来描述，运毒车过卡的同时，原来停在旁边的大功率警车立即启动追赶．警车从启动到追上毒贩的运动可看作匀加速直线运动，其位移可用式子224t x =来描述，请回答：(1)毒贩逃跑时的速度是________m/s ，警车追赶毒贩时的加速度是________2m/s ，警车在离检查站的________m 处追上毒贩．(2)在追赶过程中，在=t ________s 时刻警车与毒贩子的距离最远，最远距离为________m ．【答案】1．C 2．C 3．C 4．AB5．241.7m/s 6．(1)m10(2)25m/s 7．(1)20.02m/s (2)s1008．s72.09．C10．C 11．(1)m/s 4024m/s m800(2)s20m200。

【答案】 BD
2．位移公式 x=v0t＋12at2. (1)公式中 x、v0、a 均是 矢量 ，应用公式解题前应先根据正 方向明确它们的正、负值．一般规定初速度的方向为正方向． (2)当 v0＝0 时，x＝12at2，表示初速度为零的匀加速直线运动的 _位__移____与时间的关系．
一、由速度图象求匀变速直线运动的位移＝( 3－ 2)∶( 2－1)∶1，故 D 正确．
由 x＝12at2 知，子弹运动的逆过程由右向左穿过第 1 块、前 2 块、前 3 块的时间之比 t1∶t2∶t3＝1∶ 2∶ 3，再根据 v＝at 知，子弹由右向左依 次“穿出”3 个木块的速度之比为 1∶ 2∶ 3.则子弹实际运动依次穿入 每个木块时的速度之比 v1∶v2∶v3＝ 3∶ 2∶1，故 B 正确．
推导：设物体的初速度为 v0，做匀变速运动的加速度为 a，t 秒末的速度为 v.由 x ＝v0t＋12at2 得①
x
1
平均速度 v ＝t＝v0＋2at②
t 由速度公式 v＝v0＋at，当 t′＝2时
t
t
v2＝v0＋a2③
由②③得 v ＝vt2④
又 v＝vt2＋at2⑤ 由③④⑤解得 vt2＝v0＋2 v⑥
值
相同
若位移的计算结果为负 说明这段时间内位移的方向与规定的正方向
值
相反
2.公式 x＝v0t＋12at2 是匀变速直线运动位移的一般表达形式，它表明质点在 各个时刻相对初始时刻的位移 x 跟时间 t 的关系．当物体做匀减速直线运动时， 公式的表达形式不变，a 取负值；当初速度为零时，公式简化为 x＝12at2.
3．初速度为零的匀加速直线运动的几个比例 (1)1T 末、2T 末、3T 末、……、nT 末瞬时速度之比为 v1∶v2∶v3∶……∶vn＝ 1∶2∶3∶……∶n (2)1T 内、2T 内、3T 内、……、nT 内的位移之比 x1∶x2∶x3……∶xn＝1∶22∶32∶……∶n2 (3)第一个 T 内、第二个 T 内、第三个 T 内，……，第 n 个 T 内位移之比 xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……∶xn＝1∶3∶5∶……∶(2n－1) (4)通过前 x、前 2x、前 3x……时的速度比 v1∶v2∶v3∶……∶vn＝1∶ 2∶ 3∶……∶ n (5)通过前 x、前 2x、前 3x……的位移所用时间的比． t1∶t2∶t3∶……∶tn＝1∶ 2∶ 3∶……∶ n (6)通过连续相等的位移所用的时间之比 tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶……∶tn＝1∶( 2－1)∶( 3－ 2)∶……∶( n－ n－1)．