z z g g 2 z z z z 2 z 2 z z z z z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 机械优化设计案例 1
1. 题目
对一对单级圆柱齿轮减速器，以体积最小为目标进行优化设 计。
2.已知条件
已知数输入功 p=58kw ，输入转速 n 1=1000r/min ，齿数比
u=5，齿轮的许用应力[ δ ]H =550Mpa ，许用弯曲应力[ δ ]
F =400Mpa 。
3.建立优化模型
3.1 问题分析及设计变量的确定
由已知条件得求在满足零件刚度和强度条件下，使减速器体 积最小的各项设计参数。由于齿轮和轴的尺寸（即壳体内的零件） 是决定减速器体积的依据，故可按它们的体积之和最小的原则建 立目标函数。
单机圆柱齿轮减速器的齿轮和轴的体积可近似的表示为：
v = 0.25πb (d 12 - d 21) + 0.25πb (d 2 - d 22 ) - 0.25(b - c )(D 22 - d 22 ) -
πd 0 c + 0.25πl (d 21 + d 22 ) + 7πd 21 + 8πd 22 = 0.25π [m 2 z 1 b - d 21b + m 2 z 1 u 2b - d 22b - 0.8b (mz 1u -10m )2
+ 2.05bd 22 - 0.05b (mz 1u -10m -1.6d z 2 ) + d 22l + 28d 21 + 32d 22 ]
式中符号意义由结构图给出，其计算公式为
d 1 = mz 1, d 2 = mz 2
D g 2 = umz 1 -10m
d g 2 = 1.6d z 2 , d 0 = 0.25(umz 1 -10m -1.6d z 2 )
c = 0.2b
由上式知，齿数比给定之后，体积取决于 b 、z 1 、m 、l 、d z1 和 d z2 六个参数，则设计变量可取为
x = [x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 ]T = [b z 1 m l d z 1 d z 2 ]T
3.2 目标函数为
f (x ) = 0.785398(4.75x 1x 2 x 3 + 85x 1x 2 x 3 - 85x 1x 3 + 0.92x 1x 6 - x 1x 5 + 0.8x 1x 2 x 3x 6 -1.6x 1x 3x 6 + x 4 x 5 + x 4 x 6 + 28x 5 + 32x 6 ) → min
3.3 约束条件的建立
1
1）为避免发生根切，应有z≥z min=17，得g1(x)=17-x2≤0
2)齿宽应满足?min≤b
d
≤?max
，?min和?max为齿宽系数?d的最大值
和最小值，一般取?min=0.9，?max=1.4，得
g2(x)=0.9-x1(x2x3)≤0
g3(x)=x1(x2x3)-1.4≤0
3）动力传递的齿轮模数应大于2mm，得
g4(x)=2-x3≤0
4）为了限制大齿轮的直径不至过大，小齿轮的直径不能大于d1max，得
g5(x)=x2x3-300≤0
5）齿轮轴直径的范围：d z min≤d z≤d z max得
g6(x)=100-x5≤0
g7(x)=x5-150≤0
g8(x)=130-x6≤0
g9(x)=x6-200≤0
6）轴的支撑距离l按结构关系，应满足条件：l
≥b+2?min+0.5d z2（可取?min=20），得
g10(x)=x1+0.5x6-x4-40≤0
7）齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值，得
2
2 2 4 2.85?106 x 4 2 2.85?106 x 4 2
3 3 2 2 2 2 2 2
2 2 2
g 11(x ) = 1468250 (x 2 x 3 x 1 ) - 550 ≤ 0
g 12 (x ) = 7098 x 1x 2 x 3 (0.169 + 0.6666 ?10-2 x 2 - 0.854 ?10-4 x 2 ) - 400 ≤ 0
g 13 (x ) = 7098 x 1x 2 x 3 (0.2824 + 0.177 ?102 x 2 - 0.394 ?10-4 x 2 ) - 400 ≤ 0
8）齿轮轴的最大挠度 δ max 不大于许用值[δ ] ，得
g 14 (x ) = 117.04 x 4 (x 2 x 3x 5 ) - 0.003x 4 ≤ 0
9）齿轮轴的弯曲应力 δ w 不大于许用值[δ ]w ，得
g 15 (x ) = g 16 (x ) = 1
x 5 1 x 6 ( ( x 2 x 3 x 2 x 3
) + 2.4 ?1012 - 5.5 ≤ 0 ) + 6 ?1012 - 5.5 ≤ 0 4.优化方法的选择
由于该问题有 6 个设计变量，16 个约束条件的优化设计问题， 采用传统的优化设计方法比较繁琐，比较复杂，所以选用 Matlab 优化工具箱中的 fmincon 函数来求解此非线性优化问题，避免了 较为繁重的计算过程。
5.数学模型的求解
5.1.1 将已知及数据代入上式，该优化设计的数学优化模型表示为：
min f (x ) = 0.785398(4.75x 1x 2 x 3 + 85x 1x 2 x 3 -
85x 1x 3 + 0.92x 1x 6 - x 1x 5 + 0.8x 1x 2 x 3x 6 -1.6x 1x 3x 6+ x 4 x 5 + x 4 x 6 + 28x 5 + 32x 6 )
Subject to:
3
2
2
4
x5
2.85?106x42
x62.85?106x42
g1(x)=17-x2≤0
g2(x)=0.9-x1(x2x3)≤0
g3(x)=x1(x2x3)-1.4≤0
g4(x)=2-x3≤0
g5(x)=x2x3-300≤0
g6(x)=100-x5≤0
g7(x)=x5-150≤0
g8(x)=130-x6≤0
g9(x)=x6-200≤0
g10(x)=x1+0.5x6-x4-40≤0
g11(x)=1468250(x2x3x1)-550≤0
g12(x)=7098
x1x2x3(0.169+0.6666?10-2x2-0.854?10-4x2)
-400≤0
g13(x)=7098
x1x2x3(0.2824+0.177?102x2-0.394?10-4x2)
-400≤0 g14(x)=117.04x4(x2x3x5)-0.003x4≤0
g15(x)= g16(x)=1
3
1
3
(
(
x2x3
x2x3
)+2.4?1012-5.5≤0
)+6?1012-5.5≤0
5.1.2运用Matlab优化工具箱对数学模型进行程序求解
首先在Matlab优化工具箱中编写目标函数的M文件myfun.m,返回x处的函数值f：
function f=myfun(x)
f=0.785398*(4.75*x(1)*x(2)^2*x(3)^2+85*x(1)*x(2)*x(3)^2-
85*x(1)*x(3)^2+0.92*x(1)*x(6)^2-
x(1)*x(5)^2+0.8*x(1)*x(2)*x(3)*x(6)-
1.6*x(1)*x(3)*x(6)+x(4)*x(5)^2+x(4)*x(6)^2+28*x(5)^2+32*x(6)^2)
由于约束条件中有非线性约束，故需要编写一个描述非线性约束条件的M文件mycon.m：
function[c,ceq]=myobj(x)
c=[17-x(2);0.9-x(1)/(x(2)*x(3));x(1)/(x(2)*x(3))-1.4;2-
x(3);x(2)*x(3)-300;100-x(5);x(5)-150;130-x(6);x(6)-200;x(1)+0.5*x(6)-
4
x(4)-40;1486250/(x(2)*x(3)*sqrt(x(1)))-550;
7098/(x(1)*x(2)*x(3)^2*(0.169+0.006666*x(2)-0.0000854*x(2)^2))-400;7098/(x(1)*x(2)*x(3)^2*(0.2824+0.00177*x(2)-
0.0000394*x(2)^2))-400;117.04*x(4)^4/(x(2)*x(3)*x(5)^4)-
0.003*x(4);(1/(x(5)^3))*sqrt((2850000*x(4)/(x(2)*x(3)))^2+2.4*10^1 2)-5.5;(1/(x(6)^3))*sqrt((2850000*x(4)/(x(2)*x(3)))^2+6*10^13)-5.5];
ceq=[];
最后在command window里输入：
x0=[230;21;8;420;120;160];%给定初始值
[x,fval,exitflag,output]=fmincon(@myfun,x0,[],[],[],[],[],[],@my obj,output)%调用优化过程
5.1.3最优解以及结果分析
运行结果如下图所示：
5