高考数学排列组合及组合数性质人jiao版).

高中数学中的排列与组合应用相关性质解析在高中数学中，排列与组合是一种重要的数学概念，它们在实际生活中的应用非常广泛。

本文将分析排列与组合的相关性质以及它们在各个领域的具体应用。

一、排列与组合的概念排列与组合是数学中的两个重要概念，它们都是用来描述从给定的一组元素中选择若干个元素的方法。

1. 排列：指的是从给定的元素中选择出若干个进行有序排列的方法。

排列的顺序非常重要，因此不同的排列方式会得到不同的结果。

排列的个数可以通过阶乘来计算，即n个元素的全排列为n!2. 组合：指的是从给定的元素中选择出若干个进行无序组合的方法。

组合的顺序不重要，因此不同的组合方式会得到相同的结果。

组合的个数可以通过排列的方式来计算，即C(n,m)=P(n,m)/m!二、排列与组合的相关性质排列与组合有许多相关性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和应用排列与组合。

1. 互补性：对于任意给定的n和m，有P(n,m) = C(n,m) * m!。

这个性质表明，排列的个数等于组合的个数乘以m!，也就是说，从n个元素中选择m个进行排列的方式等于从n个元素中选择m个进行组合的方式再进行m个元素的排列。

2. 乘法原理：如果一件事情可以分解为两个步骤完成，第一步有k种选择方式，第二步有m种选择方式，那么整个过程有k*m种选择方式。

这个原理在排列与组合中经常被使用，可以帮助我们计算复杂问题的排列与组合个数。

3. 加法原理：如果一件事情可以分解为若干个互不相交的子事件，那么整个事件发生的次数等于所有子事件发生次数之和。

这个原理在计算排列与组合的总数时经常被使用，可以将问题拆分为若干个简单的子问题，然后将它们的结果相加。

三、排列与组合的应用排列与组合广泛应用于各个领域，下面将介绍一些常见的应用场景。

1. 概率统计：在概率统计中，排列与组合被用来计算事件发生的概率。

例如，从一副扑克牌中抽取若干张牌，我们可以使用组合的方式来计算不同点数的牌的组合数，从而计算出抽到某种特定点数的概率。

高考数学中的排列组合相关知识点详解高中数学的重头戏之一，主要指排列与组合两个内容，对于考生而言，涉及到排列组合的内容往往是高考数学中难以挑战的一道坎。

因此，本文将从基础概念、题型分析与解题技巧等方面进行详解，希望读者能够一边阅读，一边理解，增加对该内容的熟悉和掌握程度。

一、基础概念排列和组合，其实是两个包含关系的概念。

排列是指在不同的元素中任取若干个进行排列，所得到的结果的总数，称为排列数。

组合是指在不同的元素中任取若干个，不区分顺序地取出来的方案总数，称为组合数。

常用的符号表示如下：排列：A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!组合：C(n,m)=A(n,m)/A(m,m)=n!/(m!(n-m)!)=C(n,n-m)其中n表示元素数量，m表示需要取出的元素数量。

二、题型分析1. 线性排列线性排列即将元素排列成一行的形式，需要注意的是，取出后的元素不能重复出现。

此类题型比较基础，通常分为基本排列和复杂排列两种情况。

基本排列即只对不重复排列的个数统计，比较简单。

而复杂排列则需要考虑元素可重复使用的情况，比如m件相同的物品取n件，此时就需要采用较为复杂的方法进行推导。

2. 圆排列圆排列即将元素排列成一个环形，此时考虑到环的形状，即将循环同构情况进行折叠，最终推导出不重复的组合个数。

3. 组合组合题目有多种形式，比如问N个人选3个名字的组合个数，或者是将n个不同的物品分配给m个人怎样分配，这些均属于组合范畴。

对于组合，我们需要考虑两个方面：是否需要考虑元素顺序，和元素是否能够重复使用。

对于不考虑元素顺序的组合，我们采用简单的组合公式，即C(n,m)即可。

而对于考虑元素顺序的组合，可以通过将元素排列成一行的形式，再根据排列的公式进行推导。

四、解题技巧1. 借助等式变形在排列组合问题中，常常可以使用等式变形来简化问题，同时减少漏解之类的情况。

比如在组合问题中，我们常常可以将分子分母进行同除同乘等处理，从而简化计算。

高三数学排列、组合知识精讲一. 本周教学内容：排列、组合［基本知识点］1° 两个基本原理加法原理：做完一件事，完成它可以有n 类办法，第一类办法中有m 1种方法，第二类办法中有m 2种方法，……，在第n 类办法中有m n 种方法，那么完成这件事共有： N m m m m n =++++123 种不同方法。

乘法原理：做完一件事，完成它分n 个步骤，做第一步有m 1种方法，做第二步有m 2种方法，……，做第n 步有m n 种方法，那么完成这件事共有：N m m m m n =⨯⨯⨯⨯123 种不同方法。

加法原理与乘法原理的共同点与区别：共同点：都是完成一件事（注意对完成的理解）。

区别：加：重在“分类”、“类别”之间可以彼此独立存在，如并联关系，每一类方法都可以独立完成这件事，互不影响。

乘法原理：重在“步”，步骤之间则彼此依附，缺一不可，如“串联”关系，互相制约。

2°排列、组合的概念和性质排列：从n 个不同元素里，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素里取出m 个元素的一个排列。

排列数：从n 个不同元素里取出m 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记为P n m()()()()!()!1121P n n n n m n n m n m =---+=- （若，则称为全排列）n m P P n n m n n ===!()!2123P n n n n ==⨯⨯⨯⨯()!301=组合：从n 个不同元素里，任取m （m ≤n ）个元素组成一组，叫做从n 个不同元素里取出m 个元素的一个组合。

组合数：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，不管怎样的顺序并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合数。

()!!!()!1C P m n m n m nm n m ==-()210C n =()3C C n m n n m =-()411C C C n m n m n m +=-+*()512221P P P P P m m m m m m m m m m ++++=+++ *()61211C C C C C m m m m m m m n m m n m ++++=++++++ 排列与组合的区别：是否有序。

排列组合知识点归纳总结高考真题在高考数学中，排列组合是一个重要而常见的考点。

它是数学中的一种计数方法，用于求解不同元素的排列和组合。

通过对高考真题的总结和归纳，我们可以更好地理解排列组合知识点，提高解题能力。

一、排列的概念与性质排列是指从n个不同元素中，按照一定的顺序取出m(m≤n)个元素的方式数。

排列的顺序很重要，即不同的顺序被视为不同的排列。

高考常见的排列问题有：1. 从n个元素中取出m个元素的排列数：记作A(n, m)或P(n, m)，其计算公式为A(n, m) = n!/(n-m)!2. 从n个元素中取出全部元素的全排列数：记作n!，即A(n, n)。

3. 若排列中的n个元素都不重复，则称为无重排列；若排列中的n 个元素中有重复的元素，则称为有重排列。

二、组合的概念与性质组合是指从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的方式数。

组合不考虑元素的顺序，即不同顺序被视为相同的组合。

高考常见的组合问题有：1. 从n个元素中取出m个元素的组合数：记作C(n, m)，其计算公式为C(n, m) = n!/(m!(n-m)!)2. 从n个不同元素中取出全部元素的组合数：记作C(n, n)或C(n, 0)，即1。

3. 若组合中的n个元素都不重复，则称为无重组合；若组合中的n个元素中有重复的元素，则称为有重组合。

三、排列组合在高考中的应用1. 求解问题的可能性当需要从给定的元素中选择一定数量的元素进行排列或组合时，可以通过排列组合的知识来计算可能的情况数。

这对于求解各类可能性问题非常有效。

2. 求解概率问题排列组合的知识在概率问题中也有广泛的应用。

例如，求解事件发生的概率、不同事件组合的概率等。

在解决这类问题时，可以利用组合数来计算事件发生的可能性。

3. 分配问题的计数排列组合的知识在分配问题中也有常见的应用。

例如，班级中选举学生干部，要求每个职位只能由一个学生担任，可以利用排列数进行计算；若要求每个职位可以有多个学生担任，可以利用组合数进行计算。

第二节排列与组合1.排列、组合的定义2.排列数、组合数的定义、公式、性质正确理解组合数的性质(1)C m n＝C n－m：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方n法数.＝C m n＋1：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特(2)C m n＋C m－1n种方法.殊元素A有C m n种方法；②含特殊元素A有C m－1n[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()(3)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立.()(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况.也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√二、选填题1.从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()A.6B.8C.12D.16解析：选C由于lg a－lg b＝lg ab，从3,5,7,11中取出两个不同的数分别赋值给a和b共有A24＝12种，所以得到不同的值有12个.2.某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A.3种B.6种C.9种D.18种解析：选C C12C23＋C22C13＝2×3＋1×3＝9.3.用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()A.8B.24C.48D.120解析：选C因为末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.4.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言.(用数字作答)解析：由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1 560(条)毕业留言.答案：1 5605.已知1C m5－1C m6＝710C m7，则m＝________.解析：由已知得，m的取值范围为{}m|0≤m≤5，m∈Z，原等式可化为m！(5－m)！5！－m！(6－m)！6！＝7×(7－m)！m！10×7！，整理可得m2－23m＋42＝0，解得m＝21(舍去)或m＝2.答案：2考点一排列问题[师生共研过关][典例精析]有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻.[解](1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种).(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37A44＝5 040(种).(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种).法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种).(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种).(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种).[解题技法]求解排列应用问题的6种主要方法[过关训练]1.(2019·太原联考)高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A.1 800B.3 600C.4 320D.5 040解析：选B先排除舞蹈节目以外的5个节目，共A55种，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A26种，所以共有A55A26＝3 600(种).2.(2019·石家庄模拟)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有()A.250个B.249个C.48个D.24个解析：选C①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A34＝24(个).由分类加法计数原理得满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.3.将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有()A.1 108种B.1 008种C.960种D.504种解析：选B将丙、丁两人进行捆绑，看成一人.将6人全排列有A22A66种排法；将甲排在排头，有A22A55种排法；乙排在排尾，有A22A55种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有A22A44种排法.则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有A22A66－A22A55－A22A55＋A22A44＝1 008(种).考点二组合问题[师生共研过关][典例精析]某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同取法有多少种？[解](1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)取法，所以某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984(种)取法.所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C215＝2 100(种)取法.所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种).所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)法一：(间接法)选取3种商品的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090(种).所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.法二：(直接法)共有选取方式C320＋C220C115＋C120C215＝6 090(种).所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.[解题技法]组合问题的2类题型及求解方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.[过关训练]1.(2018·南宁二中、柳州高中第二次联考)从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是()A.72B.70C.66D.64解析：选D从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C12·C17＋C17·C16＝56种选法，三个数相邻共有C18＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法.2.(2019·辽宁五校协作体联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处.那么不同的搜寻方案有()A.10种B.40种C.70种D.80种解析：选B若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C15种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C24种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有C 15C 24＝30种搜寻方案；若Grace 参与任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C 25种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C 25＝10种搜寻方案.综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案.3.(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)解析：从2位女生，4位男生中选3人，共有C 36种情况，没有女生参加的情况有C 34种，故共有C 36－C 34＝20－4＝16(种).答案：16考点三 分组、分配问题[全析考法过关][考法全析]考法(一) 整体均分问题[例1] 国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.[解析] 先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33＝15(种)方法.再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90(种)分派方法. [答案] 90考法(二) 部分均分问题[例2] 有4名优秀学生A ，B ，C ，D 全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种.[解析] 先把4名学生分为2,1,1共3组，有C 24C 12C 11A 22＝6(种)分法，再将3组对应3个学校，有A 33＝6(种)情况，则共有6×6＝36(种)不同的保送方案.[答案] 36考法(三) 不等分问题[例3] 若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法.[解析] 将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C 16种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C 25种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C 33种取法.根据分步乘法计数原理，共有C 16C 25C 33＝60种取法.再将这3组教师分配到3所中学，有A 33＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法.[答案] 360[规律探求][过关训练]1.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种解析：选D 因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作.先把4项工作分成3组，即2,1,1，有C 24C 12C 11A 22＝6种，再分配给3个人，有A 33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种).2.冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有______种.解析：5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2，则分配的方案共有⎝⎛⎭⎫C 35C 122＋C 15C 242·A 33＝150(种). 答案：150考点四 排列、组合的综合问题[师生共研过关][典例精析](1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A.300B.216C.180D.162(2)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个.(用数字作答)[解析](1)分两类：第一类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C23·C22·A44＝72(个)符合要求的四位数；第二类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C12·C23·(A44－A33)＝108(个)符合要求的四位数.根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72＋108＝180(个).(2)当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时，若选出的三个偶数含有0，则千位上把剩余数字中任意一个放上即可，方法数是C23A33C14＝72；若选出的三个偶数不含0，则千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是A33C13＝18，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋18＝90(个).当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时，若选出的偶数是0，则再选出两个奇数，千位上只要在剩余数字中选一个放上即可，方法数为C23A33C14＝72；若选出的偶数不是0，则再选出两个奇数后，千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是C13C23A33C13＝162，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋162＝234(个).根据分类加法计数原理，可得符合要求的四位数共有90＋234＝324(个).[答案](1)C(2)324[解题技法]解决排列、组合综合问题的方法(1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步.(2)以元素为主时，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主时，先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)对于有附加条件的比较复杂的排列、组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，一般先把复杂问题分解成若干个简单的基本问题，然后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决，一般遵循先选后排的原则.[过关训练]1.(2019·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有()A.36种B.24种C.22种D.20种解析：选B根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有A33A22＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有C23A22A22＝12种推荐方法.故共有24种推荐方法.2.(2019·成都诊断)从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为________.(用数字作答) 解析：根据题意，分2种情况讨论，若甲、乙之中只有一人参加，有C12·C46·A55＝3 600(种)；若甲、乙两人都参加，有C22·A36·A＝241 440(种).则不同的安排种数为3 600＋1 440＝5 040.答案：5 040。

人教版数学教材排列组合
人教版数学教材中的排列组合是组合数学的重要内容之一。

排列组合主要研究在给定条件下，如何从n个不同元素中取出m个元素进行排列或组合的问题。

在人教版数学教材中，排列组合的编排通常遵循以下顺序：
排列：首先介绍排列的概念和性质，然后通过实例说明排列的计数方法。

例如，通过分析给定条件下不同元素的排列方式，计算出总的排列数。

组合：在介绍了排列之后，再介绍组合的概念和性质。

组合主要研究如何从n 个不同元素中取出m个元素进行组合的问题，不考虑元素的顺序。

同样，通过实例说明组合的计数方法。

在教材中，还会通过一些具体的例子和练习题来加深学生对排列组合的理解和应用。

例如，可能会给出一些实际问题，让学生运用排列组合的知识来解决。

需要注意的是，排列组合是相对抽象的概念，对于初学者来说可能有一定的难度。

因此，在教学过程中，教师需要耐心讲解，并通过实例和练习来帮助学生理解和掌握相关知识。

1。

高考数学中的常见排列组合在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和方法，也是高考中常见的题型之一。

掌握排列组合的基本原理和解题方法，对于学生们提高数学成绩，顺利应对高考至关重要。

本文将介绍高考数学中常见的排列组合知识点及其解题技巧。

一、排列排列是指从给定的一组数或对象中按照一定的顺序取出一部分或全部进行排列。

常见的排列问题有以下几种情况：1. 直线排列：假设有n个对象，从这n个对象中按一定顺序排列取出k个，就构成了从n个对象中取出k个对象的直线排列。

直线排列的公式为：A(n, k) = n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-k+1)，其中n ≥ k。

2. 圆排列：假设有n个对象，从这n个对象中按一定顺序排列取出k个，构成了从n个对象中取出k个对象的圆排列。

圆排列的公式为：P(n, k) = (n-k+1) * (n-k+2) * ... * n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1，其中n ≥ k。

3. 重复排列：重复排列是指从给定的一组数或对象中，按照一定的顺序取出一部分或全部进行排列，允许重复。

重复排列的公式为：A'(n, k) = n^k，其中n ≥ k。

排列问题在高考中常常涉及选排队、座位、字母、数字等情况，解题时需要根据具体题目中的条件和要求来确定应用哪种排列公式，并注意计算时的条件约束。

二、组合组合是指从给定的一组数或对象中，按照一定的顺序取出一部分或全部进行组合。

与排列不同，组合中的元素的排列顺序不重要。

常见的组合问题有以下几种情况：1. C(n, k)表示从n个对象中选择k个不同的对象组成一个集合，其中n ≥ k。

定义组合公式为：C(n, k) = A(n, k) / k! = n! / [(n-k)! * k!]。

2. n个相异对象的m个同类分成若干组，每组可以有0个或者多个，此种情况下共有C(m-1, n)种不同的组合。

组合问题在高考中常常涉及选人、选课、摆放等情况，解题时需要根据具体题目中的条件和要求来确定应用哪种组合公式，并注意计算时的条件约束。

第二节排列与组合1．排列与排列数(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A m n.2．组合与组合数(1)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C m n.3．排列数、组合数的公式及性质1．辨明两个易误点(1)易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．(2)计算A m n时易错算为n(n－1)(n－2)…(n－m)．2．排列与组合问题的识别方法1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)A m n＝n(n－1)(n－2)×…×(n－m)．()(3)若组合式C x n＝C m n，则x＝m.()(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．()(5)C22＋C23＋C24＋…＋C2n＝C3n＋1.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．(2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()A．18个B．16个C．14个D．12个解析：选C第一位为0，最后一位为1，中间3个0,3个1，三个1在一起时为000111,001110；只有2个1相邻时，共A24种，其中110100；110010；110001,101100不符合题意，三个1都不在一起时有C34种，共2＋8＋4＝14.3．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A．60种B．70种C．75种D．150种解析：选C从6名男医生中选出2名男医生的选法有C26＝15种，从5名女医生中选出1名女医生的选法有C15＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种，故选C．4．(教材习题改编)三名男生三名女生站成一排，男生甲不站两端，任意两名女生不相邻，则不同排法有________种．解析：A 33A 34－2A 22A 33＝120.答案：120排列问题 [明技法]1．解决排列问题的4种方法(1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置． (2)分排问题直排法处理．(3)“小集团”排列问题采用先集中后局部的处理方法． [提能力]【典例】 (2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种解析：选D 由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)．故选D ． [刷好题]1．3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有________种不同的排法． 解析：问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A 57＝2 520(种)排法． 答案：2 5202．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．解析：当最左端排甲时，不同的排法共有A 55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有C14A44种．故不同的排法共有A55＋C14A44＝120＋96＝216(种)．答案：216组合问题[析考情]高考对组合问题的考查往往涉及有条件限制的问题，即对某元素有特殊要求，通常以选择题、填空题的形式出现，分值5分，有时与概率问题结合考查．[提能力]【典例】要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有________种不同选法．解析：只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有C29＝36种选法．答案：36[母题变式1]本例中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人都不能入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解：由A，B，C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人，即有C59＝C49＝126种选法．[母题变式2]本例中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人只有一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解：可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有C13种选法，再从余下的9人中选4人，有C49种选法，所以共有C13×C49＝378种选法．[母题变式3]本例中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至少一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解：可考虑间接法，从12人中选5人共有C512种，再减去A，B，C三人都不入选的情况C59种，共有C512－C59＝666种选法．[母题变式4]本例中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至多两人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解：可考虑间接法，从12人中选5人共有C512种，再减去A，B，C三人都入选的情况有C29种，所以共有C512－C29＝756种选法．[悟技法]1．解决组合应用题的2个步骤第一步，整体分类要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理；第二步，局部分步用到分步乘法计数原理．2．含有附加条件的组合问题的2种方法通常用直接法或间接法，应注意“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解，对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研究进行直接求解．[刷好题]某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解：(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984(种)．∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2 100(种)．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．(4)选取2件假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种)．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．(5)选取3件的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．排列组合综合问题[析考情]分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．[提能力]命题点1：整体均分问题【典例1】国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．解析：先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90种分派方法． 答案：90命题点2：部分均分问题【典例2】 将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答)解析：把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种．①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有C 36C 13C 12C 11A 33＝20(种)；②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有C 26C 24A 22·C 12C 11A 22＝45(种)．所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)．然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有65×A 44＝1 560(种)． 答案：1 560命题点3：整体不均分问题【典例3】 若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．解析：将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C 16种分法； 第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C 25种分法； 第3步，余下的3名教师作为一组，有C 33种分法．根据分步乘法计数原理，共有C 16C 25C 33＝60种分法．再将这3组教师分配到3所中学，有A 33＝6种分法， 故共有60×6＝360种不同的分法． 答案：360 [悟技法]对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数． [刷好题]1．(2017·天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)解析：①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C 35·C 14·A 44＝960.②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A45＝120.故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．答案：1 0802．(2017·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)．解析：方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C12C36A24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C26A24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．方法二不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．答案：660精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

新教材高中数学学生用书新人教B版选择性必修第二册：第1课时组合与组合数及组合数性质[课标解读] 1.通过实例，理解组合的概念；能利用计数原理、排列定义推导组合数公式.2.能够结合具体实例，理解排列、组合与两个计数原理的关系，能够运用两个计数原理推导排列、组合的相关公式，并能够运用它们解决简单的实际问题．【教材要点】知识点一组合的概念一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成________，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合．知识点二组合数的概念从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的________的个数，称为从n个不同对象中取出表示．m个对象的组合数，用符号C mn知识点三组合数公式及其性质(1)公式：C n m＝________＝________．(2)性质：C n m＝________，C n m＋C n m−1＝________．(3)规定：C n0＝________．【基础自测】1.下列判断不正确的是( )A.两个组合相同的充要条件是组成组合的对象完全相同B．从a1，a2，a3三个不同对象中任取两个对象组成一个组合，所有组合的个数为C23 C．从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题D．从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法2．从2，3，5，7，11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________．3．C62＝________，C1817＝________．4．从3，5，7，11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________．题型1 组合的概念例1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？状元随笔要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的对象是否与顺序有关．方法归纳1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．2．区分有无顺序的方法把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个对象的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．跟踪训练1 判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来．(1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？(2)8人相互发一个电子邮件，共发了多少个邮件？(3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？(4)从集合{1，2，3，4}中任取两个不同对象相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？(5)从集合{1，2，3，4}中任取两个不同对象相除，有多少个不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？题型2 组合的列举问题(逻辑推理)例2 已知A ，B ，C ，D ，E 五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．方法归纳1．此类列举所有从n 个不同元素中选出m 个元素的组合，可借助本例所示的“顺序后移法”(如法一)或“树形图法”(如法二)，直观地写出组合，做到不重复不遗漏．2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab 后，不必再交换位置为ba ，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶层及下枝的排列思路，防止重复或遗漏．跟踪训练2 从5个不同的对象a ，b ，c ，d ，e 中取出2个，写出所有不同的组合．题型3 组合数公式的应用例3 (1)计算C 104－C 73·A 33.(2)求证：C n m ＝m ＋1n ＋1C n+1m+1. (3)从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为( )A ．C 52C 62B ．C 52A 62C ．C 52A 22C 62A 22D ．A 52A 62状元随笔 根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明．方法归纳关于组合数计算公式的选取1．涉及具体数字的可以直接用公式C n m＝A n m A mm ＝n (n−1)(n−2)···(n−m+1)m!计算．2．涉及字母的可以用阶乘式C n m ＝n!m!(n−m )!计算．3．计算时应注意利用组合数的性质C n m ＝C n n−m 简化运算．跟踪训练3 (1)10×9×8×···×41×2×3×···×7可表示为( )A ．A 106B ．A 107C ．C 106D ．C 107(2)算式m (m+1)(m+2)···(m+20)20!可以表示为( )A ．A m+2020B ．C m+2020 C ．21C m+2020D ．21C m+2021(3)新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生，则不同的选派方案共有________种．(用数字作答)题型4 组合的性质 【思考探究】1．试用两种方法求：从a ，b ，c ，d ，e 5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？[提示] 方法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C 53＝5×4×33×2×1＝10(种)选法．方法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C 52＝5×42＝10(种)不同选法．经求解发现C 53＝C 52.推广到一般结论有C n m ＝C n n−m.2．从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？[提示] 共有C 106＝10×9×8×7×4×56×5×4×3×2×1＝210(种)选法．3．在2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由2，3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？[提示] 若队长必须参加，共C 95＝126(种)选法．若队长不能参加，共C 96＝84(种)选法． 由2，3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：C 106 ＝C 95＋C 96.一般地：C n+1m ＝C n m ＋C n m−1.例4 (1)计算C 43＋C 53＋C 63＋…＋C 20183的值为( )A ．C 20194B ．C 20195C ．C 20194－1 D ．C 20195－1(2)解方程C 14x ＝C 142x−4的解为________．方法归纳1．性质“C n m ＝C n n−m”的意义及作用2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C n m中的m ∈N ＋，n ∈N ＋，且n ≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．跟踪训练4 (1)化简：C m 9－C m+19＋C m 8＝________；(2)计算C 9996＋C 9997＝________．(3)若C 202n−3＝C 20n+2(n ∈N ＋)，则n ＝( ) A ．5 B ．7 C ．5或7 D ．5或6(4)若3A n 3－6A n 2＝4C n+1n−1，则n ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5教材反思3．1.3 组合与组合数第1课时组合与组合数及组合数性质新知初探·自主学习[教材要点]知识点一一组知识点二所有组合知识点三(1)A n mA m mn！m！(n−m)！(2)C n n−m C n+1m(3)1[基础自测]1．解析：A正确．因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．B正确．由组合数的定义可知正确．C错误．因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．D正确．因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法．答案：C2．解析：产生分数可分两步：第一步，产生分子有5种方法；第二步，产生分母有4种方法，共有5×4＝20个分数，且各不相同．产生真分数，可分四类：第一类，当分子是2时，有4个真分数，同理，当分子分别是3，5，7时，真分数的个数分别是3，2，1，共有4＋3＋2＋1＝10个真分数．答案：20 10＝15，3．解析：C62＝6×52C1817＝C181＝18.答案：15 184．解析：从四个数中任取两个数的取法为C42＝6.答案：6课堂探究·素养提升例 1 解析：(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．跟踪训练1 解析：(1)已知集合的对象具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有C73个．(2)发邮件与顺序有关，是排列问题，共发了A82个电子邮件．(3)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有A42种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题，有C42种票价．＝6(个)不同结果．(4)共有C42＝4×32完成的“这件事”是指：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同对象并相乘．(5)共有A42－2＝10(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同对象并相除．例2 解析：方法一：可按AB→AC →AD →BC →BD →CD 顺序写出，即所以所有组合为ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE .方法二：画出树形图，如图所示．由此可以写出所有的组合：ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE . 注意书写的规范性： ①注意是否与顺序有关；②注意按顺序列举，不重不漏．列举法适合总数比较少的情形．跟踪训练2 解析：要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：由此可得所有的组合为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de .例3 解析：(1)原式＝C 104−A 73＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)证明：∵右边＝m+1n+1C n+1m+1＝m+1n+1·(n+1)！(m+1)！(n−m )！＝n ！m ！(n−m )！＝C n m，左边＝C n m ，∴左边＝右边，故原式成立．(3)分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C 52种方法；第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A 62种．故有C 52A 62种．故选B.答案：(1)见解析 (2)见解析 (3)B 跟踪训练3 解析：(1)10×9×8×…×41×2×3×…×7＝A 107A 77＝C 107A 77A 77＝C 107.(2)m (m+1)(m+2)…(m+20)20！＝(m+20)！(m−1)！20！＝(m+20)！(m−1)！[(m+20)−(m−1)]！×21＝21C m+2021.(3)根据题意，从6名男医生、4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生，共有C 63·C 42＝20×6＝120种选派方案． 答案：(1)D (2)D (3)120例4 解析：(1)C +43C 53+C 63+⋯+C 2 0183＝C 44+C 43+C 53+…+C 2 0183−C 44＝C 54+C 53+…+C 2 0183－1＝…＝C 2 0184+C 2 0183－1＝C 2 0194－1.(2)由题意知{x =2x −4，2x −4≤14，x ≤14或{x =14−(2x −4)，2x −4≤14，x ≤14，解得x ＝4或6.答案：(1)C (2)4或6跟踪训练4 解析：(1)原式＝(C m 9+C m 8)－C m+19＝C m+19 −C m ＋19＝0. (2)C 9996+C 9997＝C 10097＝C 1003＝161 700.(3)由题意知{2n −3=n +20≤2n −3≤200≤n +2≤20n ∈N +或{2n −3+n +2=200≤2n −3≤200≤n +2≤20n ∈N +，即n ＝5或7.(4)由题意知，3n (n －1)(n －2)－6n (n －1)＝4×(n+1)n 2×1，解得n ＝5(n =23舍去).答案：(1)0 (2)161 700 (3)C (4)D。

高中数学排列组合的性质及相关题目解析在高中数学中，排列组合是一个重要且常见的概念。

它不仅在数学中有着广泛的应用，而且在生活中也有着实际的意义。

本文将从排列组合的性质出发，结合具体的题目进行解析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握排列组合的知识。

一、排列的性质及相关题目解析排列是从给定的元素中选取若干个进行排列，它的性质主要包括全排列和部分排列两种情况。

1. 全排列全排列是指从给定的n个元素中选取n个进行排列，排列的顺序不同即视为不同的排列。

全排列的个数可以通过n!（n的阶乘）来计算。

例如，有4个元素A、B、C、D，它们的全排列个数为4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。

2. 部分排列部分排列是指从给定的n个元素中选取m个进行排列，排列的顺序不同即视为不同的排列。

部分排列的个数可以通过A(n, m)来计算，其中A代表排列数。

例如，有4个元素A、B、C、D，从中选取2个进行部分排列，部分排列的个数为A(4, 2) = 4 × 3 = 12。

下面通过具体的题目来进一步说明排列的性质。

题目1：某班有5名学生，要从中选取3名学生参加数学竞赛，请问有多少种不同的选取方式？解析：根据题目可知，从5名学生中选取3名学生进行排列。

由于顺序不同即视为不同的排列，因此这是一个部分排列问题。

根据部分排列的计算公式A(n, m)= n × (n-1) × ... × (n-m+1)，可得部分排列的个数为A(5, 3) = 5 × 4 × 3 = 60。

所以，有60种不同的选取方式。

题目2：某班有5名学生，要从中选取3名学生参加数学竞赛，如果其中一名学生必须参加，请问有多少种不同的选取方式？解析：根据题目可知，从5名学生中选取3名学生进行排列，并且其中一名学生必须参加。

这个问题可以转化为从剩下的4名学生中选取2名学生进行排列。