hermite正定矩阵证明题

1 Hermite矩阵的正定性的讨论

Hermite矩阵是一个复矩阵，它是自对偶的，也就是说对于它的转置共轭矩阵，它等于自己，而且它的主对角线上的元素都是实数。Hermite矩阵正定的条件是其所有特征值都是正实数，反之则是非正定矩阵。

证明Hermite矩阵正定的一种方法是使用线性变换。考虑一个正定的实对称矩阵A，我们可以在线性变换下构造一个Hermite矩阵。假设A的特征值为λ1, λ2, …, λn，对应的特征向量为v1,

v2, …, vn。根据Gram-Schmidt正交化，我们可以将这些特征向量标准化，使得它们构成一个单位正交基。然后，我们将这些特征向量展开为一个矩阵V，那么V的逆矩阵V^-1等于它的转置共轭矩阵。于是我们可以构造一个线性变换L，使得L(x)=V^-1(Ax)，其中x是任意向量。注意到L的Jacobi矩阵J=L^-1*L'=A，因为A是实对称矩阵，它等于自己的转置，也就是J'=L'^-1*L''=L^-1L'=A。

现在我们来证明L所构成的Hermite矩阵是正定的。假设L(x)=y，其中x和y都是非零向量。因为V是单位正交基，所以L是正交化变换，它保持内积和向量的长度不变。于是我们有y*H*y=x*H*A*x>0，其中*H表示共轭转置，x*H表示x的共轭转置。由于A是正定矩阵，所以它的特征值都是正实数，那么我们可以将x表示为特征向量的线性组合，从而y也表示为v1, v2, …, vn的线性组合。设y=a1v1+a2v2+…+anvn，那么y*H*y=a1^2λ1+a2^2λ2+…+an^2λn>0。这表明任何非零向量都有正的内积，因此Hermite矩阵是正定的。 2 我们还可以从特征值的角度来证明Hermite矩阵正定。如果Hermite矩阵有一个特征值为0，那么它就不是正定的。否则，假设它的特征值为λ，对应的特征向量为v。则Hv=λv，取其共轭转置，得到v*H*H*v=λ*(v*H*v)>0，因为v*H*v是一个正实数。所以λ>0，这表明Hermite矩阵的所有特征值都是正实数，因此它是正定的。

第３１卷　第２期　哈尔滨师范大学自然科学学报　Ｖｏ１．３１，Ｎｏ．２　２０１５　ＮＡＴＵＲＡＬ　ＳＣＩＥＮＣＥＳ　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＨＡＲＢＩＮ　ＮＯＲＭＡＬ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　非线性矩阵方程Ｘ＋　术Ｘ　Ａ＝Ｑ的Ｈｅｒｍｉｔｅ正定解　霍金丹，梁丽，于娇　（东北林业大学）　【摘要】非线性矩阵方程Ｘ＋Ａ　一　Ａ＝Ｑ，这里Ａ是ｎ阶非奇异复数阵，Ｑ　为ｑ≥１阶Ｈｅｒｍｉｔｅ正定距阵．在ｇ≥１时上面矩阵方程有正定解，或者是此正定解　唯一，并给出它们的充分以及必要条件，接着又给出了求上面方程正定解的迭代　法．　【关键词】奇异值；酉不变范数；不动点；特征值；谱范数　中图分类号：０２４１．６　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００—５６１７（２０１５）０２—００２４—０３　

０　引言　在这里要给出方程　＋Ａ　Ａ＝Ｑ　（１）　正定解存在的充分和必要条件，其中Ａ是ｎ阶非　奇异复矩阵，Ｑ是凡阶Ｈｅｒｍｉｔｅ正定阵，且ｑ≥１，　为未知矩阵，这样的非线性矩阵方程在梯形网　络，随机过滤，动态规划和统计中应用广泛　］，　同时通过众多的学者的研究学习也取得了一定　的成绩．　该文中遇到的难题都可以根据Ｂａｎａｃｈ的不　动点定理和Ｂｒｏｕｗｅｒ不动点定理来解决，接着根　据方程（１）正定解存在的充分和必要条件求出　方程的解，最后又给出了求解方程（１）正定解的　另一种方法，即迭代法，与此同时又给出了推导　迭代法收敛的一个充分条件．　１　引用定理　弓Ｉ理１．１　ＥＳ］　令Ｂ∈Ｃ　，Ｕ∈Ｃ　，Ｖ∈　Ｃ奴　且　，Ｂ—　是非奇异的，则　（Ｂ—　）一　＝Ｂ一一Ｂ一　Ｕ（ＶＢ一　Ｕ一　，１一　一　引理１．２＿６　令Ａ和　是Ｈｉｌｂｅｒｔ空问　上　的正算子，且　ｌ，≥Ａ≥ｍ１，≥０，Ｍ２，≥　≥ｍ２，＞０和　收稿日期：２０１４—０９—２８　≥Ａ＞０．　则　４　≤（　）　Ｂｔ，Ａ　≤（　）　ｆＬ１　ｍ２　引理１．３　７　３　令Ｉ厂为在（０，∞）上的单调函　数的算子，且令Ａ、　为两个与０有关系下界的正　定算子，即Ａ＞ａＩ和Ｂ＞ａＩ，其中。为正数，如果　存在ｆ　。），则对于每一个酉不变范数ｌｌ・ｌｌ，有　ｌＩ　（Ａ）一　（　）ｌｌ＜ｆ　ｏ）ＩＩ　Ａ一日ｌ１．　２　主要定理及证明　定理２．１　如果方程（１）有一个正定解　，　则　Ｑ一（ＡＱ　Ａ　）　＞　［Ａ　（Ｑ）　［Ａ　（Ｑ）］卜　Ａ　Ｑ～Ａ，　且Ｘ∈（Ｓ，Ｔ），这里　Ｓ＝√ＡＱＩ１Ａ　＋ＡＱ－１［（ＡＱ＿１Ａ　）一寺一Ｑ－１］　Ｑ－１Ａ　，　＝Ｑ一［Ａ　ｉ　（Ｑ一　］　一。［ＪＩ　（Ｑ一　）］　一　Ａ　Ｑ一　Ａ．　证明　由于Ｘ是方程（１）的一个正定解．则　有Ｘ＜Ｑ，Ａ　Ｘ　Ａ＜Ｑ，根据不等式性质，后一个　不等式可变为Ｑ＞Ｘ＞　ＡＱ　Ａ　，同时也有Ｑ　＜Ｘ～，则根据引理１．２，上面两式变为Ｘ　＜　（　Ｑ　（￣￥－ｉｌ　Ｑ　（

２００８年１２月　第２２卷第４期　中国石油大学胜利学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｈｅｎｇｌｉ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｃｈｉｎａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｐｅｔｒｏｌｅｕｍ　Ｄｅｃ．２００８　Ｖｏ１．２２　Ｎｏ．４　矩阵方程　＋Ａ＊Ｘ　Ａ－－Ｉ的　Ｈｅｒｍｉｔｅ正定解的扰动分析　杨树林　，张怀涛　（１．中国石油大学胜利学院信息与计算科学系．山东东营２５７０９７；２．安阳师范学院数学科学学院．河南安阳４５５０００）　［摘　要］　根据非线性矩阵方程Ｘ＋Ａ。Ｘ　Ａ＝，的Ｈｅｒｍｉｔｅ正定解的存在及唯一性条件。对矩阵方程Ｘ＋Ａ　Ｘ　Ａ一，　的唯一解进行了扰动分析．给出了不依赖ｆｆ－４Ｌ＠解　的扰动边界。　［关键词］　矩阵方程；Ｈｅｒｍｉｔｅ正定解；扰动　［中图分类号］０２４１．７　［文献标识码］Ａ　［文章编号３１６７３—５９３５（２００８）０４—００１９—０２　在现实生活中．非线性矩阵方程来源相当广泛，包括控　制理论、梯型网络分析、动态规划、统计及椭圆型偏微分方程　的差分解法等多个领域。Ｒｅｕｒｉｎｇｓ对方程ｘ＋Ａ’Ｘ　Ａ：Ｊ　（Ｏ＜ｒ＜１）的Ｈｅｒｍｉｔｅ正定解的存在及唯一性进行了讨论，　随后又对唯一解进行了扰动分析【１］，但扰动结果依赖于唯一　的扰动解　，即　Ｘ一　ｆｌ≤　【ｌ　ｌｆ　ｌｆ＋ｌＩ　Ａ｝　Ｘ　１一　ｌＩ　ｆ｝Ｉｌ　Ａ　Ａ一　Ｉ１．　本文中研究非线性矩阵方程　＋Ａ　Ａ：１　（１）　的Ｈｅｒｍｉｔｅ正定解的扰动分析，其中，是ｎ×　单位矩阵，Ａ　是一个　×　阶的复矩阵，　＞１且为正整数。在非线性矩阵方　程（１）解的存在及唯一性条件下，给出当ｒ＝　时不依赖于扰　动解　的扰动分析。　本文中　（或Ｒ　）表示ｎｘ　阶的复矩阵（或实矩阵）　的全体，日　表示　×ｍ阶Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵的全体。对于　Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵　和ｌ，．　≥ｌ，表示　—ｙ是半正定的，　＞ｙ表　示　—Ｙ是正定的。对于方阵　，　’表示　的共轭转置．　：　（Ａ　Ａ）．　＝　（Ａ　Ａ）。　１　一般结论　定义序列（心），｛ｊ３　｝如下：　口０：１一　，口　＝１～　（１一　（　１）　）　，ｓ＝１，２，３，…；　。＝１，　＝１～　（１一　（　一１）　）　．　＝１，２．３，…．　显然序列｛　），｛　｝可以由以下迭代给出：　ｏ＝】．ｄ，＝１一＾　，Ｓ＝０。１，２．３，…；　＋ｌ：ｌ一　Ｏ＇ｓ　，ｓ一０，１，２，３．…．　引理１序列｛　｝，｛　｝有如下性质：　１）序列（　）收敛，令口一ｌｉｍａ　，那么１一＾≤ｄ＜ｌ且口是　方程　（１一＾　）　＝１一口的最小解；　２）序列｛　｝收敛，令　＝ｌｉｒａ　．那么１一＾≤　＜ｌ且　是　方程＾（１一　）　＝１一　的最大解；　３）口≤　且有口＝１一　，　＝１一　”．　引理２　设Ａ∈　，当Ａ　Ａ＜Ｉ时，令Ｆ（　）＝，一Ａ　Ａ，　则Ｆ（Ｅａｌ，　，］）　［ａ，，　］［２　．　证明若　∈［　，Ｅ１］．则　Ｆ（Ｘ）≥１一Ａ‰　（　），≥（１一　），＝ａｌ，　Ｆ（Ｘ）≤，一　（　）Ｊ≤（１一　）Ｊ—ｐＪ　即　口，≤Ｆ（Ｘ）≤　，．　由引理２及Ｂｒｏｕｗｅｒｓ不动点定理［。］”　，在Ａ　Ａ＜，时方程　（１）在［　，　］内总有一解。　定理１　当Ａ　Ａ＜Ｉ时，若　＜（　）　．那么　＾　１）方程（１）有唯一解　，且满足　，≤　≤　，；　２）此解可以由以下迭代给出：　Ｘ　一ｌ＝１一Ａ　ＸＴＡ，　＝０．１，２．３…．　。∈Ｅａｌ，卢，］．　证明　设Ｆ（　）＝，一Ａ　Ａ，力一｛Ｘ：ａｌ≤　≤　），由引理２　知Ｆ（ｎ）　ｎ。　对任意　。，　２∈ｎ，且　。，　≥口，，有　｛Ｉ　Ｆ（ｘ　）一Ｆ（ｘ　）Ｉ｛一【ｌ　Ａ’（ｘ　一ｘ　）Ａ　Ｉｌ≤　，　ｆ？　。＿ｌ　Ａ。Ａ　ｌｌ　ｆｌ　～　ｌＩ．　当　＜（—　）　时一　ｌｌ　Ａ　Ａ　ｆＩ＜ｌ，故Ｆ是压缩的，由　Ａ　Ｂａｎａｃｈ不动点定理　３ｊ】　，结论１），２）成立。　［收稿日期］２ＯＯ８一Ｏ９—２４　［作者简介］杨树林（１　９７５一），男，陕西延安人，中国石油大学胜利学院信息与计算科学系讲师。　

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酉矩阵与Hermite矩阵的浅谈

韦龙 2

摘 要

科学在发展，社会在进步，人们对于数学的理解越来越深刻，数学应用于日常生活生产越来越广泛。在数学的很多分支和工程实际应用中, 都涉及到一些特殊的矩阵的性质及构造. 本文讨论两类特殊的矩阵——酉矩阵和Hermite矩阵. 酉矩阵和Hermite矩阵作为两类特殊的矩阵, 有很多良好的性质, 在矩阵理论中具有举足轻重的作用。本文通过对正交矩阵和酉矩阵关系的概述、酉矩阵的性质和酉矩阵的构造来初步认识酉矩阵，为以后的深入学习奠定基础。本文主要从Hermite矩阵的性质，判定定理，正定性和Hermite矩阵不等式四个方面讨论Hermite矩阵。

关键词: 酉矩阵；Hermite矩阵；正交矩阵；特征值。

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The study of Unitary matrix and Hermite matrix

Wei Long 2

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Abstract

With the development of science and society, people get

a deeper understanding of math , and the use of math becomes

more and more widely. In many branches of mathematics and

engineering applications, are related to some special

nature and structure matrix. This paper discusses a special

kind of matrix - unitary matrix and Hermite matrix. The two

kinds of matrix as two specials kind of matrix, there are

many good properties. In the matrix theory plays an