正交矩阵的证明

1

线代重要的证明

1. 设A是n阶实方阵，且0AA。证明0A。

证明：设111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA ，则112111222212nnnnnnaaaaaaaaaA 。从而。2221121122212222222120nnnnnnaaaaaaaaaAA 。所以2222222221121112222120nnnnnnaaaaaaaaa 。因为ija为实数，故0ija （,1,2,,ijn）。即0A 。

2..设12naaAa，12,,,naaa互不相同。证明与A可交换的矩阵只能为对角矩阵。

证明：设与A可交换的矩阵为111212122212nnnnnnbbbbbbBbbb，由ABBA得：

111112111112121221222221212222121122nnnnnnnnnnnnnnnnnnabababababababababababababababababab。

2 即 iijjijabab（,1,2,,ijn）。由于12,,,naaa互不相同，所以ij时，0ijb。故11222000000nbbBb 。即B为对角矩阵。

3. 证明任一方阵可表示成一对称矩阵和一反对矩阵之和。

证明：设A为方阵，记2()AAB，2()AAC，则可知B为对称矩阵，C为反对称矩阵。且ABC。

4.. 已知方阵A满足270AAE。证明A及2AE可逆，并求它们的逆矩阵。

证明：由270AAE，可得：()7AAEE。所以A可逆，且1()7AEA。同理由270AAE，可得：(3)(2)AEAEE。所以2AE可逆，且1(2)3AEAE。

第二章习题解答

1. ( 1) R nXn中的子集“上三角阵”和“正交矩阵”对矩阵乘法是封闭的。

(2)RnXn中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上(下)三角阵”对矩阵 求逆是封闭的。

-1

设A是nXn的正交矩阵。证明 A也是nXn的正交矩阵 。

证明：⑴证明：A为上三角阵，B为上三角阵， A, B Rn n

aij 0(i j ), bij 0(i j)

n

C AB 则 Gj aikbkj, Cj 0(i j)

k1

上三角阵对矩阵乘法封闭。

以下证明：A为正交矩阵，B为正交矩阵，A,B Rn n

AAT ATA E,BBT BTB E

(AB)((AB)T) ABB TAT E,( AB)T(AB) BTATAB E

AB为正交矩阵，故正交矩阵对矩阵乘法封闭。

(2) A是nXn的正交矩阵

A A-1 =A-1A=E 故(A-1) -1 =A

A-1 (A1) -1= (A-1) -1A-1 =E 故 A-1 也是 nXn 的正交矩阵。

设A是非奇异的对称阵，证 A也是非奇异的对称阵。

A非奇异 .A可逆且A-1非奇异

又 AT=A .( A-1) T=( AT) -1=A-1

故 A-1 也是非奇异的对称阵

设 A 是单位上(下)三角阵。证 A-1 也是单位上(下)三角阵。

-1

证明：A是单位上三角阵，故|A|=1 ，.A可逆，即A存在，记为(bij ) nXn

n

由 A A =E，则 ajbjk ik (其中 aij 0 j >i 时，1)

j1

故 bnn=1, b ni=0 (n 丰 j)

类似可得，bii =1 (j=1 …n) b jk=0 (k > j)

即 A-1 是单位上三角阵

综上所述可得。FtXn中的子集“正交矩 阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上(下)三 角阵”对矩阵求逆是封闭的。

2、试求齐次线行方程组 Ax=0 的 基础解系。

1 21 41

SVD推导过程

每一个mn 实矩阵 A 可以被分解为:TAUV，这里U是一个mn 正交矩阵,是一个mn矩阵, 除了对角线外其他元素都是零,V是一个nn正交矩阵.

我们从上一篇文章知道，一个对称矩阵是可对角化的,可以通过一个正交矩阵对角化.根据我们的情况，正巧TAA是一个nn的对角矩阵.

所以,,,1..,iivin且TiiiAAvv. 实对称矩阵有实特征值，附加有

0i 因为:

TiiiiiAAAvAvAv

从中可以看出，iv是TAA的特征向量，意味着iAv是TAA的特征向量，并且拥有同样的特征值i. 我们计算iAv的规范（矩阵行列式）通过：

()()TTTTTiiiiiiiiiiAvAvvAAvvvvv

得iiiAv

因为对于一些向量x，,xx 接近或等于,它遵循着 0iAv时0i（也就是说iv 是A的零空间，线性方程组0Ax的解)，否则的话 0i.

当0i , 用Tjv乘以 TiiiAAvv，注意到iv和jv是单位正交向量我们得到: TTTjiijiiijvAAvvv

由于ij时0Tijjivv，当ij时1Tijjivv

TiiiAvAv

TiiiiiAvAv

设定 iiiAvu，可以得到:iiiAvu

1111......(,...,)TrrTrruAvvdiagu

r是矩阵的秩.

一组向量iv 被正交向量jv 组成nR空间内的基，同样一组向量iu 被正交向量ju 组成mR空间内的基。

证明矩阵可逆的9种方法是

矩阵可逆是指一个矩阵存在一个逆矩阵，其乘积等于单位矩阵。下面将介绍9种证明矩阵可逆的方法。

方法一：行列式法

要证明一个矩阵可逆，可以计算其行列式。如果矩阵的行列式不为零，则矩阵可逆。

方法二：逆矩阵法

如果一个矩阵存在一个逆矩阵，且这个逆矩阵满足乘积为单位矩阵，那么这个矩阵可逆。

方法三：初等变换法

通过对矩阵进行一系列的初等行变换或初等列变换，能够将矩阵化为行阶梯形或列阶梯形。如果最终得到的行阶梯形或列阶梯形存在没有零行或零列，那么该矩阵可逆。

方法四：伴随矩阵法

对于一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记为adj(A)，满足A * adj(A) = adj(A) * A =

A * I，其中 A 表示A的行列式，I表示单位矩阵。如果一个矩阵A的伴随矩阵存在，且 A 不为零，则A可逆。

方法五：特征值法

计算矩阵A的特征值，如果所有特征值都不为零，则矩阵A可逆。

方法六：线性相关法

将矩阵A的列向量组看作是一个线性相关的向量组，当且仅当这个向量组的秩等于矩阵的列数时，矩阵可逆。

方法七：投影矩阵法

如果一个矩阵A是一个投影矩阵，即A * A = A，则矩阵A可逆。

方法八：正交矩阵法

如果一个矩阵A满足A的转置矩阵与A的乘积等于单位矩阵，即A * A^T = I，其中A^T表示A的转置矩阵，则矩阵A可逆。

方法九：哈达玛矩阵法

如果一个n阶方阵H满足H的每一个元素的模都是1，且任意两行之间的内积等于0，则矩阵H可逆。

以上是证明矩阵可逆的9种方法。每种方法都有其独特的思路和侧重点。可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。