2020年3月新课标II卷高三理科数学大联考试题及答案

2020年3月新课标II卷高三大联考

理科数学试题

1．设复数z满足|i||i|zz，i为虚数单位，且z在复平面内对应的点为(,)Zxy，则下列结论一定正确的是

A．1x B．1y C．0x D．0y

2．已知集合{|20}Axx，{|ln(1)}BxyxZ，则ABI

A．[1,2] B．(1,2] C．{0,1,2} D．{1,0,1,2}3．已知等差数列{}na的前n项和为nS，若953Sa，则一定成立的是

A．46SS B．45SS C．57SS D．56SS

4．国家统计局发布数据显示，2020年1月份全国CPI（居民消费价格指数）同比

上涨5.4%，环比上涨1.4%.下图是2019年1月到2020年1月全国居民消费价格

同比（与去年同期相比）和环比（与上月相比）涨跌幅，则下列判断错误的是

A．各月同比全部上涨，平均涨幅超过3%

B．各月环比有涨有跌，平均涨幅超过0.3%

C．同比涨幅最大的月份，也是环比涨幅最大的月份

D．环比跌幅最大的月份，也是同比涨幅最小的月份

5．已知实数,xy满足约束条件2202201,1xyxyxy，则2xy的取值范围是

A．(3,6] B．[3,6] C．3(,6]2 D．3[,6]2

6．函数52sin()([π,0)(0,π])33xxxxfxxU的图象大致为

7．已知向量(1,),(2,)tyab，其中22121ytt，则当y最小时，cos,ab

A．255 B．255 C．55 D．55

8．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值的表达式纷纷出现，使得值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557LL，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的2.8T，若判断框内填入的条件为?km，则正整数m的最小值是

A．2

B．3 C．4 D．5

9．已知[]x表示不超过x的最大整数，数列{}na满足1[]22(1)nnan，则数列{}na的前60项的和为

A．1830 B．1830 C．3660 D．3660

10．将函数22()6sincos2cos2fxxxx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()gx的图象.对于下列四种说法，正确的是

①函数()gx的图象关于点π(,0)3成中心对称

②函数()gx在(π,π)上有8个极值点 ③函数()gx在区间ππ[,]24上的最大值为2，最小值为22

④函数()gx在区间ππ(,)44上单调递增

A．①② B．②③

C．②③④ D．①③④

11．如图平面多边形中，四边形ABCD是边长为2的正方形，外侧4个三角形均为正三角形.若沿正方形的4条边将三角形折起，使顶点1234,,,SSSS重合为S点，得到四棱锥SABCD，则此四棱锥的外接球的表面积为

A．π B．2π C．3π D．4π

12．已知过点(4,0)M的直线与抛物线C：24yx交于点,AB，设O为坐标原点，则||||||OAOBAB的最大值为

A．1

B．2 C．2 D．22

13．5(21)xy的展开式中22xy的系数为___________.

14．若π1sin(),(0,π)63，则πcos()6___________，πsin(2)3___________.

15．已知双曲线E：2221(0)xyaa的左、右焦点分别为12,FF，M在E的右支上，若12ππ[,]43FMF，则12MFMFuuuuruuuur的最大值为___________.

16．若存在直线l与函数1()(0)fxxx及2()gxxa的图象都相切，则实数

a的最小值为___________．

17．（本小题满分12分）

已知四边形ABCD中，ABAD，π6BDC，2AD，4DC.

（1）若5cos3ABD，求BD，BC；

（2）若CADC，求sinCBD.

18．（本小题满分12分）

如图所示，正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，MB∥AN，2NAAB，4BM，23CN.

（1）证明：平面DMN平面BCN；

（2）求二面角CMND的余弦值.

19．（本小题满分12分）

为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取100名学生，统计了他们的竞赛成绩，已知这100名学生的竞赛成绩均在[50,100]内，并得到频数分布表（如下）.

分数段 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]

人数 10 30 30 24 6

（1）将竞赛成绩在[70,100]内定义为“合格”，竞赛成绩在[50,70)内定义为“不合格”．请将下面的22列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？

合格 不合格 合计

高一新生 24

非高一新生 12

合计 （2）根据（1）的数据分析，将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取3人，记被抽取的3人中“不合格”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望()EX.

附参考公式及临界值表：22(),()()()()nadbcKabcdacbd其中nabcd.

20()PKk 0.100 0.050 0.010

0.001

0k 2.706 3.841 6.635

10.828

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为12，过椭圆C的左、右焦点12,FF分别作倾斜角为π3的直线12,ll，12,ll之间的距离为3.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l与椭圆C只有一个公共点，求点12,FF到直线l的距离之积.

21．（本小题满分12分）

已知函数()cos(1)(1ln)fxxxx.

（1）设()()gxfx，求证：1()gxx；

（2）讨论()fx的单调性.

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为8242xttyt（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin．

（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）若射线(0)4与l和C分别交于点,AB，求||AB．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数()|21||1|fxxax，aR．

（1）当2a时，求不等式1()1fx的解集；

（2）当1(,0)2x时，不等式()2fxx恒成立，求实数a的取值范围．

答案：

1、D；2、C；3、B；4、D；5、B；6、A；7、B；8、B；9、D；10、B；11、D；12、C；

13、-120；14、924322，；15、222；16、2233；

17、

（1）在RtABD△中，由5cos3ABD，得22sin1cos3ABDABD，

所以3sinADBDABD.（3分）

在BCD△中，由余弦定理得222222cos34234BCBDCDBDCDBDC 3251232，所以25123BC.（6分）

（2）设CBDx，由CADC，π6BDC可得5π6Cx，π6ABDx，

在RtABD△中，因为2AD，所以2πsinsin()6ADBDABDx，（8分）

在BCD△中，由正弦定理得sinsinBDCDCCBD，即45πsinsin()6BDxx，

所以24π5πsinsin()sin()66xxx，整理得24sin2sin10xx.（10分）

由sin0x得15sin4x，所以15sin4CBD.（12分）

18、

（1）因为正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，BCAB，所以BC平面ABMN，

因为MN平面ABMN，BN平面ABMN，所以BCMN，BCBN，

由2,23BCCN，得2222BNCNBC，由2NAAB，可得ABAN，（3分）

在直角梯形ABMN中, 可得22MN，

由4BM，22BNMN，可得222BNMNBM，所以BNMN，

因为BCBNBI，所以MN平面BCN，

因为MN平面DMN，所以平面DMN平面BCN.（6分）

（2）如图，以B为坐标原点，,,BABMBC所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系B-xyz，

则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2)BCD,(0,4,0),(2,2,0)MN,(2,2,0)MNuuuur,(2,2,2)CNuuur,(0,2,2)DNuuur,设