离散时间系统的时域分析

第七章 离散时间系统的时域分析

§7-1 概述

一、离散时间信号与离散时间系统

离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的

信号。

离散时间系统：处理离散时间信号的系统。

混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连

续时间信号的系统。

二、连续信号与离散信号

连续信号可以转换成离散信号，从而可以用

离散时间系统（或数字信号处理系统）进行

处理：

三、离散信号的表示方法： 连续信号

离散信号

数字信号取样

量化 1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k为序号，

相当于时间。

例如：)1.0sin()(kkf=

2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序

排列起来。例如：

f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}

时间函数可以表达任意长（可能是无限长）

的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在

很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简

单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。

四、典型的离散时间信号

1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它001)(kkδ

下图表示了)(nk−δ的波形。

这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(tδ相似，也有着与其相似的性质。例如： )()0()()(kfkkfδδ=， )()()()(000kkkfkkkf−=−δδ。

2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它001)(kkε

这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(tε相似。用它可以产生（或表示）单边信号

（这里称为单边序列）。

3、 单边指数序列：)(kakε

比较：单边连续指数信号：)()()(tetetaatεε=，其底一定大于零，不会出现负数。 (a) 0.9a= (d) 0.9a=− (b) 1a= (e) 1a=− (c) 1.1a= (f) 1.1a=− 4、 单边正弦序列：)()cos(0kkAεφω+

双边正弦序列：)cos(0φω+kA

五、离散信号的运算

1、 加法：)()()(21kfkfkf+=<—相同的k对应的数相加。

2、 乘法：)()()(21kfkfkf⋅=

3、 标量乘法：)()(1kfakf⋅=

4、 移序：)()(1nkfkf−= 当n>0时，信号向右移（后移）——>称为减序；

当n<0时，信号向左移（前移）——>称为增序。

离散信号的移序计算相当于连续时间信号

的时间平移计算。

六、线性移不变离散时间系统

1、 线性离散时间系统

系统的激励和响应之间满足齐次性和叠加性关系的离散时间系统。 )()()()(22112211krakrakeakea+⇔+ 2、 移不变离散时间系统

系统的激励和响应之间满足移不变关系的离

散时间系统。 )()(nkrnke−⇔−

3、 线性移不变离散时间系统

同时满足线性和移不变性的系统。

七、离散时间系统的描述方法：见§7-3。

§7-2 抽样信号与抽样定理

离散信号可以通过对连续信号抽样得到；连

续信号可以通过抽样转化为离散信号，从而可以

用离散时间系统进行处理。但是，这牵涉到两个

问题：

1）怎样进行抽样？

2）如何抽样才能不损失原来信号中的信

息？

一、抽样器及其数学模型 抽样是通过一定的装置（等间隔地）抽取原

来连续信号中的很小的一段。其等效电路

它也可以用一个开关信号相乘的数学模型来表

示，

其中的开关函数为：

∑+∞

−∞=−=kkTtGts)()(τ

当0→τ时，开关函数近似为：

∑+∞

−∞=→→→⋅=−=kTtkTtts)(lim)(lim)(lim000δτδττττ

可见，开关函数近似成为一个幅度为无穷小的

周期性冲激序列。这个“无穷小”会给我们分析

带来不便，所以一般直接用幅度为1的周期性冲

激序列代替它，即：

∑+∞

−∞==−=kTtkTtts)()()(δδ

这样，抽样以后的信号为：

∑∑∑

∞+

−∞=∞+

−∞=+∞

−∞=−=−=−=⋅=

kkks

kTtkTfkTttfkTttftstftf

)()()()()()()()()(

δδδ

显然，抽样以后的信号只与原来的信号在某

些离散的时间点上的值有关。

二、 抽样定理

显然，利用原来的信号在某些离散的时间点

上的值构成的信号，是否会损失信息？或者，在 (a) 开关函数 （b）单位冲激序列 何条件下，可以用抽样后的信号，不失真地还原

出原来的信号？

1、 抽样信号的频谱：

∑+∞

−∞=−=kskTttftf)()()(δ

∑∑∑

∞+

−∞=∞+

−∞=+∞

−∞=

−=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=

kskssksss

kjFTkjFkjFjF

)(*)(1)(*)(2)(*)(21)(

ωωδωωωδωπωωωδωωπω

其中Tsπω2=，称为抽样（角）频率；T称为抽样

（取样）周期。

可见，抽样后信号的谱是抽样以前的谱按抽

样（角）频率周期化的结果。

如果原来信号最大频率分量为的谱mω，抽样

频率msωω2>，则周期化后的各个频谱不会相互

重叠。将抽样信号通过一个截止频率为2/sω、增益为T的ILPF，可以不失真地还原原来的信号。

此低通滤波器的冲激响应:

⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=222)(tSatSaTthccsωωπω （a） 原信号()ft (b) 原信号的频谱()Fjω （c）单位冲激序列()Ttδ （d）单位冲激序列的频谱()ssωωδω （2sTπω=） (e)1()()()()sTftftfttδδτ== (f) ()ftδ的频谱 则

∑+∞

−∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=nsnTtSanTftf2)()()(ω

这个定理称为Nyquist抽样定理，或Shannon

抽样定理。它说明模拟信号可以有条件地由其无

数个离散点上的数值恢复出，也就是说在

msωω2>时，用信号的一些离散的时间点上的数值来代替这个信号可以不损失任何信息。

能够完全不失真地还原信号所需要的最小的

抽样频率msωω2=称为Nyquist抽样频率，或Shannon抽样频率。

z 在实际工程中的做法与取样中的过程正好相

反：首先测量得到f(kT),然后再构成抽样信号。

工程上的采样就是指测量到kT时刻f(t)的值。 z 在构成抽样信号时，不可能产生冲激信号，这

时候可以用任意的周期性脉冲信号代替，其结

果不变。 z 恢复信号时，ILPF是不可能实现的，只能用其

它的LPF，所以抽样频率必须进一步增加，一

般取mω的3~5倍。 z 如果原来的信号是一个带限信号，则Nyquist

抽样定理还可以做适当修改。 z 抽样也是一个线性处理过程，它满足齐次性和

叠加性。这是我们通过它达到用离散时间系统

处理连续信号的基础。 z 通过抽样可以将连续信号转化为离散数字信

号，从而可以用数字信号处理系统进行处理，

达到模拟信号处理无法达到的效果。

§7-3 离散时间系统的描述

离散时间系统的描述方法有三种： 抽样信号经过非理想低通滤波器

采样e(t) r(t) A/D转换DSP处理D/A转换LPF 滤波 1） 数学模型——>差分方程

2） 物理模型——>框图

3） 系统函数——>Z.T.，在第八章中介绍。

一、 数学模型

离散时间系统处理的信号是离散信号，信号

只在某些不连续的时间点上存在，不存在微分，

也就不可能用微分方程描述，只能用差分方程描

述离散信号相邻的几个时间点之间的关系。

例1：人口（或虫口）问题： z 假设人口的年出身率为a，则k年人口y(k)和

下一年的人口y(k+1)之间的关系为： )()1()1(kyaky+=+ <—前向（预测）方程； 或：)1()1(1)(++=kyaky<—后向（滤波）方程；

或：0)()1()1(=+−+kyaky<—一般差分方程。

z 差分方程与微分方程一样，也必须有初始条

件。

如果已知y(0),则可以得到差分方程的解： )0()1()1(yay+=, )1()1()1()1()2(2yayay+=+=, )0()1()2()1()3(3yayay+=+=, )0()1()(yakyk+= z 差分方程也可以加激励：假设k年从外地引入

x(k)个人，则：)()()1()1(kxkyaky++=+。

例2：Fibonacci数列：假设每一对兔子每月生一对

小兔子，而小兔子在一个月以后才会后生育能力。

如果在第一个月内有一对小兔子，问：到n个月

时，有几对兔子？

解：假设y(k)代表第k个月兔子的总对数，则：

1） 这y(k)对兔子在k+2月生y(k)对小兔子，即

在k+2月必然有y(k)个小兔子；

2） 除了小兔子以外，k+1月存在的兔子在k+2

月必然都长成大兔子

所以，第k+2月兔子的总对数为：

y(k+2)=y(k)+y(k+1)

或者：y(k+2)- y(k+1)-y(k)=0

差分方程的一般形式：