一次函数与二元一次方程的关系

复习

1.二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴为直线，且过点．下列说法：①；①；①；①若是抛物线上的两点，则．其中正确的是( )

A.①① B.①① C.①①① D.①①①

2.小轩从如图所示的二次函数的图象中，观察得到如下四个结论：①；①；①；①．其中正确的结论是( )

A.①①① B.①①① C.①①① D.①①①①

3.已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为(-1，0)，(3，0)．下列结论：①；①b-2a=0；①；①．

其中正确的是( )

A.① B.①① C.①① D.①①

4.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；①2a+b=0；①；①．其中正确的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

5.抛物线的顶点为D(-1，2)，与x轴的一个交点A在点(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图．则以下结论：①；①；①c-a=2；①方程有两个相等的实数根．其中正确的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

6.已知二次函数的图象经过()，(2，0)两点，且，图象与y轴正半轴的交点在(0，2)的下方．则下列结论：①；①；①；①．其中正确的是( )

A.①① B.①① C.①①① D.①①①①

二次函数与一元二次方程（讲义）

➢ 课前预习

1. 学习一次函数与二元一次方程（组）的关系时，有以下结论：两个一次函数交点的坐标即为对应的二元一次方程组的解．

如：已知方程组3302360yxyx的解为431xy，则一次函数y=3x-3与332yx的交点P的坐标是________．

请思考：一元二次方程20axbxc的根，可否看作是二次函数2yaxbxc与x轴交点的横坐标，即方程组20yaxbxcy的解中x的值.

冀教版数学八年级下册21.5《一次函数与二元一次方程的关系》教学设计

一. 教材分析

冀教版数学八年级下册21.5《一次函数与二元一次方程的关系》是本册教材的一次函数章节的最后一节，主要讲述了通过一次函数解析式求解二元一次方程组的方法。通过本节课的学习，学生能够理解一次函数与二元一次方程的关系，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析

学生在学习本节课之前，已经掌握了一次函数的性质和图像，以及二元一次方程组的解法。但部分学生对于将一次函数与二元一次方程组相结合求解的方法还不够熟练，需要老师在教学过程中加以引导和练习。

三. 教学目标

1. 知识与技能：理解一次函数与二元一次方程的关系，掌握通过一次函数解析式求解二元一次方程组的方法。

2. 过程与方法：通过实例分析，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点

1. 重点：一次函数与二元一次方程的关系，以及通过一次函数解析式求解二元一次方程组的方法。

2. 难点：如何将一次函数与二元一次方程组相结合，灵活运用求解方法。

五. 教学方法

采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法进行教学。通过设置问题引导学生思考，分析案例让学生理解知识，小组合作培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备

1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。

2. 教材：冀教版数学八年级下册。

3. 学具：练习本、笔。

4. 课件：一次函数与二元一次方程的关系的相关课件。 七. 教学过程

1. 导入（5分钟）

利用多媒体展示一次函数与二元一次方程的图像，引导学生观察两者之间的关系。提问：你们认为一次函数与二元一次方程有什么联系？

2. 呈现（10分钟）

通过具体案例分析，呈现一次函数与二元一次方程组的关系。例如，给出一次函数y=kx+b和二元一次方程组：

引导学生通过解方程组求解k、b的值，从而理解一次函数与二元一次方程的关系。

1 21.5一次函数与二元一次方程的关系

学习目标

1．理解一次函数与一次方程、一次不等式的关系，能根据一次函数的图像求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集

2．通过对一次函数与一次方程、一次不等式关系的探究，引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系

重点：理解一次函数与一次方程、一次不等式的关系。

难点：根据一次函数的图像求一元一次方程的解和一次不等式的解集，发展学生数形结合的思想和辩证思维能力。

相关知识链接：

（1）2x－y=1是 方程，可变形成y= 的形式，它是 。

（2）二元一次方程2x－y=1有 解。以每一组解的x的值为横坐标，y的值为纵坐标描出的各点，这些点都都在函数 的图像上。反之，函数y=2x-1的图像上各点的横纵坐标都是方程2x－y=1的 。

研学训练一：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系。

1． 在直角坐标系中画出一次函数y=2x－1的图像。

2.问题：

1）解方程：2x-1=0

2）已知一次函y=2x-1，当 x= 时，y=0？

思考：这两个问题之间有何联系呢？

3．观察图像可以看出，一次函数 y=2x-1的图像与x轴交点坐标为（21，0）,而21正是方程2x-1=0的解。

2 小结：任何一个一元一次方程都可以化简为kx+b=0的形式，所以解一元一次方程kx+b=0，都可转化为求函数 y=kx+b中y=0时的x的值。从图像上看，就是一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标的值。

4. 根据上面一次函数y=2x-1的图像，你能说出一元一次不等式2x-1>0和2x-1<0的解集吗？

当2x-1>0,就是函数y=2x-1中函数值y>0，观察图像可知，当图像在x轴上方时y>0；同样地，图像在x 轴下方时y<0。

因为函数y=2x-1的图像与x轴交于点（21，0）所以，要使y>0，即2x-1>0,应有x> 21；要使y<0,即2x-1<0,应有x<21.

一元二次方程的概念及解法和讲义

知识点一：一元二次方程的概念

(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02acbxax

(3)四个特点：

(1)只含有一个未知数；

(2)且未知数次数最高次数是2；

(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02acbxax的形式，则这个方程就为一元二次方程．

（4）将方程化为一般形式：02cbxax时，应满足（a≠0）

例1：下列方程①x2+1=0；②2y(3y-5)=6y2+4；③ax2+bx+c=0 ；④0351xx，其中是一元二次方程的有 。

变式:方程：①13122xx ②05222yxyx ③0172x ④022y中一元二次程的是 。

例2：一元二次方程12)3)(31(2xxx化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。

变式1：一元二次方程3（x—2）2＝5x－1的一般形式是 ，二次项系数是

，一次项系数是 ，常数项是 。

变式2：有一个一元二次方程，未知数为y，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。

例3：在关于x的方程(m-5)xm-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。

变式1：已知关于x的方程(m+1)x2－mx+1=0，它是（ ）