高考数学一轮 曲线与方程 北师大版

计时双基练五十七 曲线与方程

A组 基础必做

1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹是( )

A．直线 B．圆

C．椭圆 D．双曲线

解析 设P(x，y)，则

x＋22＋y2＝2x－12＋y2，

整理得x2＋y2－4x＝0，

又D2＋E2－4F＝16>0，所以动点P的轨迹是圆。

答案 B

2．(2016·珠海模拟)已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA→＝AP→，则点P的轨迹方程为( )

A．y＝－2x B．y＝2x

C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4

解析 设P(x，y)，R(x1，y1)，由RA→＝AP→知，点A是线段RP的中点，

∴ x＋x12＝1，y＋y12＝0，即 x1＝2－x，y1＝－y。

∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，

∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x。

答案 B

3．(2016·南昌模拟)已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO ，其中O为原点，则P点的轨迹方程是( )

A．(x＋2)2＋y2＝4(y≠0) B．(x＋1)2＋y2＝1(y≠0)

C．(x－2)2＋y2＝4(y≠0) D．(x－1)2＋y2＝1(y≠0)

解析 由∠APO＝∠BOP得点O在∠APB的平分线上。由角平分线定理得|PA|∶|PB|＝|AO|∶|OB|＝2∶1，设点P(x，y)，则利用关系式可知x＋22＋y2x－12＋y2＝2。化简可得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)。

答案 C

4．(2016·长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点。线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( ) A.4x221－4y225＝1 B.4x221＋4y225＝1

1 考点44 曲线与方程

【命题趋势】

曲线与方程主要考查方程的求解，通过了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系，列出关系式可以得解，常出现在高考解答题的第一问，有时也会单独命制小题.

【重要考向】

一、曲线与方程的概念

二、定义法、直接法求轨迹方程

三、参数法、相关点法求轨迹方程

四、圆锥曲线的对称问题

曲线与方程的概念 曲线与方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程(,)0fxy的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 【巧学妙记】 判断曲线与方程的关系时，把握两个对应关系： （1）曲线上的每个点都符合某种条件； （2）每个符合条件的点都在这条曲线上.若要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程.

【典例】

1.（2021·上海高二专题练习）已知命题“方程,0Fxy的解为坐标的点都是曲线C上的点”是真命题，则下列命题正确的是（ ）.

A．曲线C上的点的坐标都是方程,0Fxy的解； 2 B．坐标不满足方程,0Fxy的点不在曲线上；

C．曲线C是方程,0Fxy的曲线；

D．不是曲线C上的点的坐标，一定不满方程,0Fxy.

【答案】D

【分析】

根据曲线与方程的定义来解题即可.

【详解】

因为方程,0Fxy的解为坐标的点都是曲线C上的点，

不妨取方程221(0)xyx，曲线取双曲线221xy对应的曲线，

则，双曲线的左支上的点的坐标不满足方程221(0)xyx，故A错误；

双曲线的左支上的点的坐标不满足方程221(0)xyx，但该点在双曲线221xy上，故B错误；由曲线与方程的定义可知，C选项错误；

因为以方程221(0)xyx的解为坐标的点都在曲线上，所以D选项正确.

- 1 - 第八节 曲线与方程

【考纲下载】

了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．

1．曲线与方程

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．

曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．

2．求曲线方程的基本步骤

建系建立适当的平面直角坐标系

- 2 - 设点轨迹上的任意一点一般设为Px，y

列式列出或找出动点P满足的等式

化简将得到的等式转化为关于x，y的方程

验证验证所求方程即为所求的轨迹方程

1．若曲线与方程的对应关系中只满足(2)会怎样？

提示：若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，则以这个方程的解为坐标的点的集合形成的曲线可能是已知曲线的一部分，也可能是整条曲线．

2．动点的轨迹方程和动点的轨迹有什么区别？

提示：“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的，前者只需求出轨迹的方程，标出变量x，y的范围；后者除求出方程外，还应指出方程表示的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关数据．

1．已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题中 - 3 - 正确的是( )

A．满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上

B．方程f(x，y)＝0是曲线C的方程

C．方程f(x，y)＝0所表示的曲线不一定是曲线C

D．以上说法都正确

解析：选C 因为曲线C可能只是方程f(x，y)＝0所表示的曲线上的某一小段，因此只有C正确．

2．已知曲线C的方程为x2－xy＋y－5＝0，则下列各点中，在曲线C上的点是( )

A．(－1,2) B．(1，－2)

C．(2，－3) D．(3,6)

第8讲 曲线与方程

一、知识梳理

1．曲线与方程

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．

(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．

2．曲线的交点

设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组F1（x，y）＝0，F2（x，y）＝0的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．

3．求动点的轨迹方程的一般步骤

(1)建系——建立适当的坐标系．

(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．

(3)列式——列出动点P所满足的关系式．

(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简．

(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．

常用结论

1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．

2．曲线的交点与方程组的关系

(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；

(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点． 二、教材衍化

1．已知点F14，0，直线l：x＝－14，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )

A．双曲线 B．椭圆

C．圆 D．抛物线

解析：选D.由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．

2．曲线C：xy＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为________．

解析：在曲线xy＝2上任取一点(x0，y0)，则x0y0＝2，该点到两坐标轴的距离之积为|x0||y0|＝|x0y0|＝2.