不可压缩navier-stokes方程

一维不可压缩navier stokes方程 理论说明

1. 引言

1.1 概述

本文将讨论一维不可压缩Navier-Stokes方程的理论说明。Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，其在各个领域都具有重要应用价值。本文将从介绍Navier-Stokes方程的基本概念开始，逐步展开对一维流动特征和不可压缩流体模型假设的理论说明。

1.2 文章结构

文章分为五个主要部分：引言、一维不可压缩Navier-Stokes方程理论说明、理论推导和分析、数值方法和模拟研究以及结论与展望。其中，引言部分将概述文章的目标和结构，提供读者对整篇文章内容的预览。

1.3 目的

本文旨在深入探讨一维不可压缩Navier-Stokes方程，并通过理论推导和数值模拟研究解析该方程对流体运动行为的描述能力。通过阐明不同数值方法在求解此类方程时的差异和优劣，我们可以更好地了解该方程在实践中的应用，并为进一步研究提供展望。

以上是关于引言部分的详细内容，请根据需要进行修改或补充。

2. 一维不可压缩Navier Stokes方程理论说明

2.1 Navier Stokes方程简介

Navier Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，它由质量守恒和动量守恒两个方程组成。同时考虑流体的黏性和压力力作用，Navier Stokes方程能够准确描述流体在各种复杂情况下的运动。

2.2 一维流动特征描述

在一维流动中，流体只在一个空间方向上（通常为x轴）有速度分量变化，而在其余两个空间方向上（通常为y轴和z轴）没有速度分量变化。这样简化后的一维问题可以更容易地推导出Navier Stokes方程的解析解，并且提供了更直观的物理图像。

2.3 不可压缩流体模型假设

不可压缩流体是指在任何情况下密度保持不变，即密度是常数。这个假设适用于许多情况下，例如液体的非常小压缩性以及稳态条件下气体的高马赫数等。通过这个假设，我们可以将Navier Stokes方程进一步简化为不含密度项的形式，并且使问题更具可行性。

第２７卷第５期　２００７年１０月　辽宁工学院学报　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｌｉａｏｎｉｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｖｏｌ。２７，Ｎｏ．５　Ｏｃｔ．２０（ｙ７　

二维不可压缩的Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程四模类　

Ｌｏｒｅｎｚ方程组的稳定性分析　

李小华，王贺元　

（辽宁工业大学数理科学系，辽宁锦州１２１￣１）　

摘要：对二维正方形区域上不可压缩的Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程进行傅立叶展开后截断得到四模类Ｌｏｒｅｎｚ方程　组，证明了此方程组吸引子的存在性，并对其稳定性进行了讨论和分析。　

关键词：　Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程；奇怪吸引子；李雅普诺夫指数　

中图分类号：Ｏ１９３　文献标识码：Ａ　文章编号：１００５—１０９０（２００７）０５—０３４２—０４　

Ａｎａｌｏｆ　Ｆｏｕｒ．ｍｏｄｅ　ｎｕｎｃａｔｉｏｎ　Ｌｏｒｅｎｚ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ’Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｆｏｒｙｓｉｓ　Ｚ　Ｅｑｕ　￣ｉｔａｂｉｌ　－　ｌｒ　

Ｔｗｏ．ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　Ｉｎｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ　Ｎａｖｉｅｒ．Ｓｔｏｋｅｓ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　

ＬＩ　Ｘｉａｏ－ｈｕａ，ＷＡＮＧ　Ｈｅ－ｙｕａｎ　（Ｄｅｐｔ．ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ＆Ｐｈｙｓｉｃｓ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｌｉａｏｒｔｉｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｊｉｎｚｈｏｕ　１２１￣１．Ｃｈｉｎａ）　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｓｔｒａｎｇｅ　ａｔｔｒａｃｔｏｒ；Ｌｉａｐｕｎｏｖ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｐｌａｎｅ　ｉｎｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ　Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗａｓ　ｅｘｐａｎｄｅｄ　ｉｎ　ｔｗｏ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｓｑｕａｒｅ　ｏｎ　ａ　ｔｏｍｓ，ｔｈｅｎ　ａ　ｆｏｕｒ—ｍｏｄｅｓ　ｔｒｕｎｃａｔｉｏｎ　Ｌｏｒｅｎｚ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｅｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｆｕｒｔｈｅｒ，ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　

第４１卷第４期　２０１２年７月　内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｉｎｎｅｒ　Ｍｏｎｇｏｌｉａ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．４１　Ｎｏ．４　Ｊｕｌｙ　２０１２　

三维广义Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程的正则性准则　

张　辉　（湘潭大学数学学院，湖南湘潭４１１１０５）　

摘　要；在Ｂｅｓｏｖ空间中研究三维广义Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程弱解的正则性准则．利用Ｂｅｓｏｖ空间的对数型不　等式，获得了一个关于速度场梯度的正则性准则，证明了当速度场在Ｂｅｓｏｖ空间中满足一定的Ｉ临界增长条件时，　方程的弱解实际上是存在区间上的强解．　关键词：广义Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程；弱解；正则性准则　中图分类号：０　１７５．２５　文献标志码：Ａ　文章编号：１００１—８７３５（２０１２）０４—０３３３—０４　

０　引言　三维不可压缩Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ（ＮＳ）方程Ｌｅｒａｙ—Ｈｏｐｆ弱解是否在全局空间上是光滑解，至今仍然是流体　力学中最困难的问题之一．本文在Ｒ。中考虑一般形式的不可压缩ＮＳ方程，具体形式为　．　ＯｔＵ＋（ｚ‘・　）Ｕ＋Ｖｐ一一　（一△）。　，　・　一０，　（１）　ｕ（Ｏ，ｚ）一Ｕ０（ｚ），　其中：ｕ（ｔ，ｚ）∈Ｒ　是流体未知的速度场，ｐ（ｔ，ｚ）∈Ｒ表示未知的压力；　＞０表示流体的粘性系数，０ｔ＞０　是一个实参数；Ｕ。（ｚ）是给定的初始速度，且在分布意义下满足Ｖ・　。一０．　当ａ一１时，方程（１）退化成了ＮＳ方程，因此方程（１）被称为广义ＮＳ方程（ＧＮＳ）．广义ＮＳ方程首次由　吴家宏叫提出，并证明了三维广义Ｎｓ方程当口≥｝时，方程（１）存在全局唯一的光滑解，但ａ＜　时，方程　

只存在局部的唯一光滑解．当参数ａ＜÷时，局部光滑解能否在有限时间内发生爆破是一个有趣而且困难　的问题，许多学者　对这个问题进行过研究，文献［２］给出方程（１）的Ｓｅｒｒｉｎ型的正则性准则，具体可以描　述为：　若１≤ａ≤÷，假设“（　，ｚ）是方程（１）的弱解，若满足　（　，ｚ）∈Ｌ江：，　２ａ十百３≤孙一１，　＜ｑ≤。。，　（２）　ｐ　口　口一１　则弱解实际上是存在区间（Ｏ，Ｔ］上的强解．　当ａ一１时，条件（２）退化成了ＮＳ方程正则性理论中著名的Ｓｅｒｒｉｎ型正则性准则　引．　２００２年，Ｈｉｄｅｏ　Ｋｏｚｏｎｏ［。　在Ｂｅｓｏｖ空间中研究了三维ＮＳ方程的正则性准则，具体可描述为：　假设ｕ（ｔ，　）是ＮＳ方程的Ｌｅｒａｙ－Ｈｏｐｆ弱解，若满足　Ｔ　Ｖ峨，　ｄｒ＜一ｚｐ＋ｚｑ＝ｚ，３≤ｑ≤。。，　（３）　则弱解实际上是存在区间（Ｏ，刀上的强解．　

三维Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程的两类差分格式　

郑治波　赵文燕　李良平　（１．保山学院数学学院，云南保山６７８０００；　２．大理宾川县乔甸镇初级中学，大理宾川６７１６０３）　【摘要］构造Ｔ－－维Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程的中心差分格式、Ｌａｘ—Ｆｒｉｅｄｒｉｃｈ差分格式，利用ＭＡＴＬＡＢ软件　程序做出差分解与精确解的误差图像，分析差分解与精确解的吻合程度，并讨论中心差分格式、　Ｌａｘ—Ｆｆｉｅｄｆｉｃｈ差分格式的优缺点。　【关键词］中心差分格式；Ｌａｘ—Ｆｆｉｅｄｆｉｃｈ差分格式；精确解　【中图分类号】Ｏ１３　【文献标识码】Ａ　ｄｏｉ：ｌ０．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１６７４－９３４０．２０１５．０５．０１４　【文章编号】１６７４—９３４０（２０１５）０５—０４４—０５　引言　纳维一斯托克斯方程（Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方　程）是非线性的偏微分方程组，再加上在实际　流动中，雷诺数的变化范围很大，物面附近流　场的变化又很剧烈。因此长期以来，只有个别　问题能直接求解。为了解决实际问题，人们着　眼于发展一些近似计算方法，有限差分方法在　这里得到出色的应用。　Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程是在１　８２１年由Ｃ．一Ｌ—Ｍ．　一Ｈ．纳维和１８４５年由Ｇ．Ｇ．斯托克斯分别导出，　简称Ｎ—Ｓ方程，它可以模拟天气，洋流，管道中　的水流，星系中的恒星的运动，翼型周围的气　流，也可以用于飞行器和车辆的设计，血液的　循环的研究电站的设计，污染效应的分析等　等。Ｎ—Ｓ方程是非线性偏微分方程，求解非常　困难和复杂，国内外学者从不同层面对其方　程进行研究。目前只有在某些十分简单的流动　问题上能求得精确解，但在有些情况下，通过　简化方程而得到一些近似解。对于二维Ｎ—ｓ方　程相关问题的结论已经得到，即相应方程的解　在有限时间内不会爆炸，但局部解在有限时间　上的爆破性或局部正则性仍然是流体力学公　开的问题。因此，本文构造两类典型差分格式　来研究三维空间中不可压Ｎ—Ｓ方程的数值解　及对它的误差进行分析和讨论它们解的优缺　点，即研究如下形式的三维不可压　Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方　醯：　（　・　）　＋　（１．１）　ＩｄｉｖＶ＝０　其中Ｖ＝Ｖ（ｕ，口，　），ｔｔ－￣１．ｔ　ｙ，ｚ，　，ｖ＝ｖ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ），　＝　，ｙ，ｚ，ｔ）分别表示流体的速度，ｐ＝ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，　）表示　流体的压强，　∈Ｑ，ｔ＞Ｏ，Ｑ　ＣＲ　为Ｒ　中的光滑　的开区域，　为梯度算子（　＝　＋　＋　），方　ＯＸ　ｏｙ　０２；　程（１．１）可以写成如下形式：　ｌ＋　＋　＋ ａ　ａ　ａｙ　Ｉ　ａ　ｚ　Ｉａ　ａ　ａ　ａ　７　ａＤ　ａ　，　ａ　，　ａ　，　ｊ　＋　＋　＋　ｌ　ａ￡　ａ　ａ　ａ　ａｙ　２　Ｒｗ　Ｒｗ　Ｒｗ　Ｒｗ　ｒ３ｏ　ａ　Ｗ　ａ　Ｗ　ａＷ　ｌａ　ａ　ａ 栅　＋专　＋　＋　ｌ　ａ　ａ　ａｙ　ａ　ａ　Ｉ　＋　＋　：０　ｌ　ａ　ａｙ　ａ　（１．２）　对于此方程人们构造了部分的精确解、向　前差分、向后差分解［２］Ｐ１６￣１９，但还没有找到它的　通解．因此本文构造三维不可压Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ　收稿日期：２０１５—６—１１　作者简介：郑治波（１９８５一），女，云南腾冲人，保山学院数学学院，助教，硕士，研究方向为偏微分方程。