初二二次根式典型例题

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- -可修编. 第一章 二次根式 知识点及典型例题

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义：

形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．

【典型例题】

【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaa，

其中是二次根式的是_________（填序号）．

举一反三：

1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）

A、a B、10 C、1a D、21a

2、在a、2ab、1x、21x、3中是二次根式的个数有______个

【例2】若式子13x有意义，则x的取值X围是．

举一反三：

1、使代数式43xx有意义的x的取值X围是（ ）

A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4

2、使代数式221xx有意义的x的取值X围是

3、如果代数式mnm1有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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- -可修编. 【例3】若y=5x+x5+2009，则x+y=

举一反三：

1、若11xx2()xy，则x－y的值为（ ）

A．－1 B．1 C．2 D．3

2、若x、y都是实数，且y=4x233x2，求xy的值

3、当a取什么值时，代数式211a取值最小，并求出这个最小值。

已知a是5整数部分，b是 5的小数部分，求12ab的值。

若3的整数部分是a，小数部分是b，则ba3。

若17的整数部分为x，小数部分为y，求yx12的值.

知识点二：二次根式的性质

【知识要点】

1. 非负性：aa()0是一个非负数．

注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．

2. ()()aaa20．

注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：aaa()()20

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- -可修编. 3. aaaaaa200||()() 注意：（1）字母不一定是正数．

（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．

（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．

4. 公式aaaaaa200||()()与()()aaa20的区别与联系

（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的X围是一切实数．

（2）()a2表示一个数的算术平方根的平方，a的X围是非负数．

（3）a2和()a2的运算结果都是非负的．

【典型例题】

【例4】若22340abc，则cba．

举一反三：

1、若0)1(32nm，则mn的值为。

2、已知yx,为实数，且02312yx，则yx的值为（ ）

A．3 B．– 3 C．1 D．– 1

3、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋652yy＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.

4、若1ab与24ab互为相反数，则2005_____________ab。

（公式)0()(2aaa的运用）

【例5】化简：21(3)aa的结果为（ ）

A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4

举一反三：

1、 在实数X围内分解因式:23x= ；4244mm=

429__________,222__________xxx

2、 化简：3313

3、 已知直角三角形的两直角边分别为2和5，则斜边长为 .

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- -可修编. （公式)0a(a)0a(aaa2的应用）

【例6】已知2x,则化简244xx的结果是

A、2x B、2x C、2x D、2x

举一反三：

1、根式2(3)的值是( )

A．-3 B．3或-3 C．3 D．9

2、已知a<0，那么│2a－2a│可化简为（ ）

A．－a B．a C．－3a D．3a

3、若23a，则2223aa等于（ ）

A. 52a B. 12a C. 25a D. 21a

4、若a－3＜0，则化简aaa4962的结果是（ ）

(A) －1 (B) 1 (C) 2a－7 (D) 7－2a

5、化简2244123xxx得（ ）

（A） 2 （B）44x （C）－2 （D）44x

6、当a＜l且a≠0时，化简aaaa2212＝．

7、已知0a，化简求值：22114()4()aaaa

【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+2()ab 的结果等于（ ）

A．－2b B．2b C．－2a D．2a

举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简：21(2)______aa．

【例8】化简21816xxx的结果是2x-5，则x的取值X围是（ ）

（A）x为任意实数 （B）1≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1 1 0 1 2 a oba

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- -可修编. 举一反三：若代数式22(2)(4)aa的值是常数2，则a的取值X围是（ ）

Ａ．4a≥ Ｂ．2a≤ Ｃ．24a≤≤ Ｄ．2a或4a

【例9】如果11a2aa2，那么a的取值X围是（ ）

A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1

举一反三：

1、如果2693aaa成立，那么实数a的取值X围是（ ）

.0.3;.3;.3AaBaCaDa

2、若03)3(2xx，则x的取值X围是（ ）

（A）3x （B）3x （C）3x （D）3x

【例10】化简二次根式22aaa的结果是

（A）2a (B)2a (C)2a (D)2a

1、把二次根式aa1化简，正确的结果是（ ）

A. a B. a C. a D. a

2、把根号外的因式移到根号内：当b＞0时，xxb＝；aa11)1(＝。

知识点三：最简二次根式和同类二次根式

【知识要点】

1、最简二次根式：

（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．

2、同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

【典型例题】

【例11】在根式1) 222;2);3);4)275xabxxyabc，最简二次根式是（ ）

A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)

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- -可修编. 解题思路：掌握最简二次根式的条件。

举一反三：

1、)ba(17,54,b40,212,30,a45222中的最简二次根式是。

2、下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）

A．7 B．3 C．12 D．2

3、下列根式不是最简二次根式的是( )

A.21a B.21x C.24b D.0.1y

4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？

(1)ba23 (2)23ab (3)22yx (4))(baba (5)5 (6)xy8

5、把下列各式化为最简二次根式：

(1)12 (2)ba245 (3)xyx2

【例12】下列根式中能与3是合并的是( )

A.8 B. 27 C.25 D. 21

举一反三：

1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ）

A、318和 B、133和 C、22abab和 D、11aa和

2、在二次根式：①12；②32；③32；④27中，能与3合并的二次根式是。

3、如果最简二次根式83a与a217能够合并为一个二次根式, 则a=__________.

知识点四：二次根式计算——分母有理化

【知识要点】

1．分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。