随机变量及其分布期末练习题及答案

随机变量及其分布期末练习题及答案

随机变量及其分布期末练习题及答案1．在事件A 发⽣的概率为p 的伯努利试验中，若以ξ记第r 次A 发⽣时的试验的次数，求

ξ的分布。

[解] {}

发⽣次试验次⽽第恰好出现了次试验中前A k r A k P k P 11-)(-==ξ)

,1,(,)

1()1(1

1

1

11 +=-=?-=-------r r k p p C

p p p

C r

k r r k r k r r k

⼩结 求离散型随机变量的分布律时，⾸先应该搞清随机变量取可能值时所表⽰的随机事件，然后确定其分布列。为验证所求分布是否正确，通常可计算⼀下所求得的“分布列”之和是否为1，若不是，则结果⼀定是错误的。2．设随机变量X 的分布函数为

>≤≤<=.1,1;10.0,1)(2x x Ax x x F

求（1）A 的值；（2）X 落在)21,1(-及)2,3

1(内的概率；（3）X 的概率密度函数。 [解] （1）有分布函数的右连续性， 在1=x 点处有1)01()1(=+==F A F ，即1=A （2）由分布函数的性质知，41)1()21())21

,1((=

--=-∈F F X P ；

98311)31()2())2,31((2

=??

-=-=-∈F F X P ；

（3）由于)(x F 最多除1=x 和0点外处处可导，且在1,0=x 处连续，若取

≤≤><=.10,2;10,0)(x x x x x f 或

则0)(≥x f ，且对⼀切x 有?∞

-=

x

dt t f x F )()(，从⽽)(x f 为随机变量X 的密度函数。

3．设),2(~2

σN X ，且3.0)42(=<

[解] 因为 )0(2)42(3.0Φ-??

Φ=<<=σX P 所以 8.05.03.02=+=??

Φσ

于是 2.0212202)0(=??

Φ-=??? ??-Φ=

-<-=

4．⼀批鸡蛋，优良品种占三分之⼆，⼀般品种占三分之⼀，优良品种蛋重（单位：克）

)5,55(~21N X ，⼀般品种蛋重)5,45(~22N X 。

（1）从中任取⼀个，求其重量⼤于50克概率；（2）从中任取两个，求它们的重量都⼩于50克的概率。

[解] （1）设A ：任取⼀蛋其重量⼤于50克。

1B ：任取⼀蛋为优良品种 2B ：任取⼀蛋为⼀般品种

则21,B B 互斥，且S B B =21 ，31)(,32)(21==

B P B P 8413.0555501)50()(11=

-Φ-=>=X P B A P

1587.0545501)50()(22=??

-Φ-=>=X P B A P

由全概率公式得)()()()()(2211B A P B P B A P B P A P +=

6138.01587.03

1

8413.032=?+?=（2）从中任取2个，每个蛋重⼤于50克的概率6138.0=p ，⼩于50克的概率6138.011-=-=p q

设任取2个，有Y 个⼤于50克，则),2(~p B Y 于是所求概率为1492.0)6138.01()0(2

2

2=-===q p C Y P

问题与思考1．以样本点为⾃变量的任意单值实函数都是随机变量吗？ 2．⾮离散型随机变量就⼀定是连续型随机变量吗？

3．设X 为连续型随机变量，⽽)(x g 为连续函数，)(X g Y =还是连续型随机变量吗？ 4．不同的随机变量其分布函数可能相同吗？ 5．连续型随机变量的密度函数连续吗？

练习与答案1．⼀批产品，其中有9件正品，3件次品。现逐⼀取出使⽤，直到取出正品为⽌，求在取到正品以前已取出次品数的分布列、分布函数。2．重复独⽴抛掷⼀枚硬币，每次出现正⾯的概率为)10(<

p q -=1，⼀直抛到正反都出现为⽌，求所需抛掷次数的分布列。

3．对⽬标进⾏5000次独⽴射击，设每次击中的概率为0.001，求⾄少有两次命中的概率。 4．已知某元件使⽤寿命T 服从参数10000

1

=

λ的指数分布（单位：⼩时）。（1）从这类元

件中任取⼀个，求其使⽤寿命超过5000⼩时的概率；（2）某系统独⽴地使⽤10个这种元件，求在5000⼩时之内这些元件不必更换的个数X 的分布律5．某加⼯过程，若采⽤甲⼯艺条件，则完成时间)8,40(~2N X ；若采⽤⼄⼯艺条件，则完成时间)4,50(~2N X 。（1）若要求在60 ⼩时内完成，应选何种⼯艺条件？（2）若要求在50 ⼩时内完成，应选何种⼯艺条件？6．设某批零件的长度服从),(~2σµN X ，现从这批零件中任取5个，求正好有2个长度⼩于µ的概率。 7．设X 分别为服从??

-

2,2ππU ，[]π,0U ，[]π2,0U 的随机变量，求X Y sin =的概率密度函数

8．设流⼊某⽔库的总⽔量（单位：百万⽴⽅⽶）服从上的均匀分布，但⽔库最⼤容量为7。，超过7的⽔要溢出，求⽔库存⽔量Y 的分布函数 参考答案：1．分布列 X 0 1 2 3

Y 75.0 204.0 041.0 05.0 2．)4,3,2(11

=+--n qp pq

n n

3．956.0)1()0(1)2(==-=-=≥X P X P X P 4．（1）61.0；（2）10,,3,2,1,0,)

1()(1021

2

110=-==--

-k e e

C k X P k

k

5．（1）两种⼯艺均可；（2）选甲为好

6．3125.02121)2(3

225=??

==C Y P

7．（1）1,11

)(2

1<-=

x x

x f π；（2）10,12

)(2

2<<-=

x x

x f π；（3）

1,11

)(2

3<-=

x x

x f π；

8．

≥<≤-<=.

7,1;74,44;4,0)(y y y y y F y

⒈连续型随机变量X 的密度函数是f x ()， 则P a X b ()<<= 。 答案：f x xa

b ()d ?

，

⒉设X 为随机变量，已知D x ()=2，

那么D X ()35-= 。

答案： 183、设随机变量X ~ 0

12060301?? ???

，则E X ()=（ ）。 A. 1； B. 13； C. 0 D. 05

. 答案： D

4、设随机变量X N ~(,)522

，求()8X P <<3。 解X N ~(,)522

∴

-X N 5

201~(,)

)25

825253(

)83(-<-<-=<

＝)1()5.1(-Φ-Φ（查表）7745.08413.019322.0=+-=

5. 设随机变量X 的密度函数是

<<-=其它 03)2(3)(2x a x x f 求 (1) 常数a ; (2)P (X <2.5)

解 (1) 根据密度函数的性质1＝??

-=+∞

∞

-3

2d )2(3d )(a

x

x x x f =1－(a －2)3

所以a =2

<<-=∴其它 03

2)2(3)(2x x x f

(2)P (X <2.5)=

-5

.22

2d )2(3x

x

=125

.05.0)2(35.22

3==-x

6．设随机变量X 的分布函数为

>≤≤<=.1,1;

10.0,0)(2x x Ax x x F 求（1）A 的值；（2）X 落在

)21,1(-及)

2,31(内的概率； （3）X 的概率密度函数。

[解] （1）有分布函数的右连续性， 在1=x 点处有

1)01()1(=+==F A F ，即1=A

（2）由分布函数的性质知，41

)1()21())21,1((=

--=-∈F F X P ；

98311)31()2())2,31((2

=

-=-=-∈F F X P ； （3）由于)(x F 最多除1=x 和0点外处处可导，

且在1,0=x 处连续，若取

≤≤><=.10,2;10,0)(x x x x x f 或

7．设),2(~2

σN X ，且3.0)42(=<

[解] 因为

)0(2)2

42

2

2(

)42(3.0Φ-

Φ=---=<<=σσσ

σ

x P X P

所以 8.05.03.02=+=

Φσ

于是2

.0212202)0(=??? ??Φ-=??? ??-Φ=??? ??-<-=

8．设随机变量X 的密度函数为

f x x x ()()=-≤≤??

311202其它，

求：⑴ P X (..)1525<<； ⑵ E X ().

解 ⑴ P X (..)1525<<=?5.21.5d )(x x f =?-21.52d )1(3x x

=25

.13

)1(-x = 0.875

⑵ E X ()=

+∞

∞

-d )(x

x xf =

-2

1

2d )1(3x

x x

=2

1234)23

24

3(x x x +-=7

4 9．盒中装有分别标12345,,,,数字的球，从中任取2个，

⽤X 表⽰所取2球中最⼤的数字. 求X 的概率分布.

．解 )2(=X P =101251111=C C C ，)3(=X P =102

2