专题练 第22练 随机变量及其分布

第22练 随机变量及其分布

1．(2018·全国Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)

A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3

答案 B

解析 由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，

所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，

所以p＝0.4或0.6.

又因为P(X＝4)

所以C410p4(1－p)6

所以p>0.5，

所以p＝0.6.

2．(2019·浙江)设0

X 0 a 1

P 13 13 13

则当a在(0,1)内增大时，( )

A．D(X)增大

B．D(X)减小

C．D(X)先增大后减小

D．D(X)先减小后增大

答案 D

解析 由题意可知，E(X)＝13(a＋1)， 所以D(X)＝a＋1227＋1－2a227＋a－2227

＝6a2－6a＋627＝29a－122＋34，

所以当a在(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大．

3．(2021·新高考全国Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是( )

A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大

B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等

答案 D

解析 对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；

对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；

对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；

对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．

4．(2013·湖北)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)等于( )

A.126125 B.65 C.168125 D.75

答案 B

解析 125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆， ∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值E(X)＝54125×1＋36125×2＋8125×3＝150125＝65.

5．(2017·全国Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.

答案 1.96

解析 由题意得X～B(100,0.02)，

∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.

6．(2022·浙江)现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________.

答案 1635 127

解析 由题意知ξ的可能取值为1,2,3,4，

P(ξ＝1)＝C26C37＝1535＝37，

P(ξ＝2)＝C12C24＋C22C14C37＝1635，

P(ξ＝3)＝C23C37＝335，P(ξ＝4)＝1C37＝135，

所以ξ的分布列为

ξ 1 2 3

4

P

37

1635 335 135

E(ξ)＝1×37＋2×1635＋3×335＋4×135＝127.

7．(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．

(1)求甲学校获得冠军的概率；

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与均值．

解 (1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，

所以甲学校获得冠军的概率为

P＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC) ＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2

＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6.

(2)依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，

所以P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，

P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，

P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，

P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06.

则X的分布列为

X 0 10 20 30

P 0.16 0.44 0.34 0.06

E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.

8．(2017·山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．

(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；

(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与均值E(X)．

解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，

则P(M)＝C48C510＝518.

(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则

P(X＝0)＝C56C510＝142，

P(X＝1)＝C46C14C510＝521，

P(X＝2)＝C36C24C510＝1021，

P(X＝3)＝C26C34C510＝521， P(X＝4)＝C16C44C510＝142.

因此X的分布列为

X 0 1 2 3 4

P 142 521 1021 521 142

E(X)＝0＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2.

9．(2022·温州模拟)已知随机变量X的分布列是

X －1

0 1

P a

13 b

若E(X)＝0，则D(X)等于( )

A．0 B.13 C.23 D．1

答案 C

解析 由已知可得 a＋b＋13＝1，EX＝－a＋b＝0，

解得a＝b＝13，

因此，D(X)＝13[(－1－0)2＋(0－0)2＋(1－0)2]＝23.

10．(2022·常州模拟)俄国著名飞机设计师埃格·西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的.1992年，为了在远程性和安全性上与美国波音747竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了A340，是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的A310.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否有故障相互独立．已知A340飞机至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；A310飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行．若要使A340飞机比A310飞机更安全，则A340飞机引擎的故障率应控制的范围是( )

A.23，1 B.13，1 C.0，23 D.0，13

答案 C

解析 由题意得，飞机引擎正常运行的概率为p，

则A310飞机能成功飞行的概率为C22p2＝p2，

A340飞机能成功飞行的概率为

C34p3(1－p)＋C44p4＝－3p4＋4p3，

令－3p4＋4p3>p2，即－3p2＋4p>1，

解得13

所以0<1－p<23，

所以A340飞机引擎的故障率应控制的范围是0，23.

11．(多选)(2022·重庆质检)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．袁老领衔的科研团队成功攻破水稻超高产育种难题，不断刷新亩产产量的纪录，目前超级稻计划亩产量已经实现1 100公斤．现有甲、乙两个试验田，根据数据统计，甲、乙试验田超级稻亩产量(分别记为ξ，η)均服从正态分布，其中ξ～N(μ1，σ21)，η～N(μ2，σ22)．如图，已知μ1＝1 150，μ2＝1 130，σ21＝2 500，σ22＝1 600，两正态密度曲线在直线x＝μ2左侧交于点M(x0，y0)，则下列说法正确的是( )

A．P(ξ<μ1)

B．P(η<μ1)>P(η<μ2)

C．P(ξ>x0)x0)

D．P(ξ>1 250)>P(η<1 050)

答案 BC

解析 由图可知P(ξ<μ1)>P(ξ<μ2)，故A错误；

由图可知P(η<μ1)>P(η<μ2)，故B正确；

∵P(ξ>x0)＝1－P(ξ≤x0)，