二、随机变量及其分布(答案)

二、随机变量及其分布(答案) 1 / 9

概率论与数理统计练习题

系

第二章 专业 班 姓名 随机变量及其分布（一） 学号

一．选择题：

1 ．设 X是失散型随机变量，以下可以作为 X的概率分布是 [ B ]

X x1 x2 x3 x4 X x1 x2 x3 x4 （ A） 1 1 1 1 （B） 1 1 1 1

p p

2 4 8 16 2 4 8 8

X x1 x2 x3 x4 （D） X x1 x2 x3 x4 （ C） 1 1 1 1 p 1 1 1 1 p

2 3 4 12 2 3 4 12

2 ．设随机变量ξ的分布列为 X 0 1 2 3 C ]

p 0.1 0.3 0.4 F ( x) 为其分布函数，则 F ( 2) = [

0.2

（ A） （B） （ C） （D）1

二、填空题：

1 ．设随机变量 X 的概率分布为 X 0 1 2 ，则 a =

p a 0.2 0.5

2 ．某产品 15 件，其中有次品 2 件。现从中任取 3 件，则抽得次品数 X 的概率分布为

P(X 0) C133 66 ， P( x 1) C21 C132 36 ， P( x C22 C131 3

C153 105

C153 105 2)

105

C153

3 ．设射手每次击中目标的概率为 , 连续射击 10 次，则击中目标次数 X 的概率分布为

P( X k ) C10k (0.7)k (0.3)10 k (k 0,1, 2,L ,10)

三、计算题：

1 ．同时掷两颗骰子，设随机变量 X为“两颗骰子点数之和”求：

（ 1）X 的概率分布； （2） P( X 3) ； （3） P( X 12)

解：（1） P( X 2) 1 P( X 3) 2 P( X 4) 3 P(X 5) 4 ， ， ， ，

36 36 36 36 二、随机变量及其分布(答案) 2 / 9

P( X 6) 5 ， P( X 7) 6 ， P( X 5 4

36 8) ， P(X 9)

36 36 36

P( X 10) 3 ， P( X 11) 2 ， P( X 1

36 36 12)

36

所以 X 的概率分布列：

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36

（2） P(X 3) 3

36

（ 3） P(X>12)=0

2 ．产品有一、 二、三等品及废品四种， 其中一、 二、三等品及废品率分别为 60%，10%，20%及 10%，

任取一个产品检查其质量，试用随机变量 X 描述检查结果。

解：设 X=1、 2、3 及 4 分别表示一、二、三等品及废品

X 1 2 3 4

P

3．已知随机变量 X 只能取 1， 0， 1， 2 四个值，相应概率依次为 1 ,3,5,7，试确定常数

2c 4c 8c 16c

c，并计算 P( X 1)

解：由于( X k ) 1 ，即 1 3 5 7

2c 4c 8c 1

37 16c

所以 C

16

P(X 1) P(X 1) P(X 0)

8 4 12

37 37 37 二、随机变量及其分布(答案) 3 / 9

4 ．一袋中装有 5 只球编号 1， 2， 3， 4， 5。在袋中同时取 3 只，以 X 表示取出的 3 只球中最大号

码，写出随机变量 X 的分布律和分布函数。

解： X 的可能取值为 3、 4、 5。

随机变量 X 的分布律为：

P( X 3) 1 1 ， P(X 4) C32 3 P( X C42 6

C53 ， 5)

10

C53 10 10 C53

X 分布函数为

0 x 3

F ( x) 0.1 3 x 4

0.4 4 x 5

1 x 5

5．设随机变量 X ~ B(2, P) , Y ~ B(3,P) ，若 P{ X 1} 5 ，求 P{Y 1}

9

5 解：由于 P{ X 1} 1 P( X 1) 1 P(X 0) 1 C20 p0 (1 p) 2

1 9

所以 p

3

0 3

P{Y 1} 1 P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 C30 1 1 1 1 8 19

3 3 27 27

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号

第二章 随机变量及其分布（二）

一、选择题：

2x 0 x 1

1 ．设连续性随机变量 X 的密度函数为 f (x) ，则以低等式成立的是 [ A ]

0 其他 二、随机变量及其分布(答案) 4 / 9

（A） P( X 1) 1 （Ｂ） P( X 1 ) 1 （Ｃ） P(X 1 1 1 1

2 2 ) （Ｄ） P(X )

2 2 2 2

2 ．设连续性随机变量 X 的密度函数为 f ( x) ln x x [1,b] [ A ]

0 x ，则常数 b

[1,b]

（ A） e （ B） e 1 （ C） e 1 （ D） e2

3．设 X~N( , 2)，要使 Y ~ N(0,1) ，则 [ C ]

X

（B） Y

X

（C） Y X

（D）Y X

（A） Y

1 x x2

4 ．设 X ~ N (0,1) ，

2 ，则以低等式不成立的是 [ C ] ( x) e （ x 0)

2 dt

（ A）

( x) 1

( x) （ B）

(0) 0.5 （ C）

(

x) ( x) （ D）

2 (a) 1 P(| x | a)

5 ．X 遵从参数 1 的指数分布，则 P(3 X 9) [ C ]

9

1 1 1 1 1 1 9 x

（A） F (1) ) ( ) （ C） e 9 dx F ( （ B）

3

3 （ D）

3 9 e e e e 3

二、填空题：

1 ．设连续性随机变量 X 的密度函数为 f (x) Ax2 0 x 1，则常数 A = 3

0 其他

2 ．设随机变量 X ~ N (2, 2 ) ，已知 P(2 X 4) 0.4 ，则 P(X 0)

三、计算题：

1 ．设 X ~U (1,4), 求 P(X 5) 和 P(0 X 2.5)

解： P(X 5) =1

P(0 X 2.5 1 x 2. 5

2.5) =

4 1 dx 3 |1 0.5

1 二、随机变量及其分布(答案) 5 / 9

x 0 x 1

3 ) 7 2 ．设随机变量 X 的密度函数为 f ( x) ax b 1 x 2 ，且 P(0 X

0 其他 2 8

求：（ 1）常数 a , b （2） P(1 X 3) （3） X 的分布函数 F ( x)

2 2 1 3a

1 2

解：（ 1） 由归一性 f ( x)dx

0 xdx (ax b)dx b 1

1 2 2

又 P(0 X 3) 1 xdx 3 b) 1 5a b 7 2 (ax

2 0 1 2 8 2 8

解得 a 1, b 2

x 0 x 1

由此 得 f (x) x 2 1 x 2

0 其他

（2） P(1 3) 1 3

3

X 2 ( x 2) 0.75

1 xdx

2 2 2 1 4

（ 3） X 的分布函数

0 x 0

x 0 x 1

tdt

F ( x) 0

1 x 2)dt 1 x 2

tdt ( t

0 1

1 x 2

0 x 0

0.5x2 0 x 1

0.5x2 2x 1 1 x 2

1 x 2

3．设某种电子元件的使用寿命 X（单位： h）遵从参数 1 的指数分布，现某种仪器使用三

600

个该电子元件，且它们工作时相互独立，求：

（ 1）一个元件时间在 200h 以上的概率；