小学奥数——用割补法求面积

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四年级 第十一讲 割补法巧算面积

◆温故知新：

1. 用割补法把不规则图形变成规则图形计算面积。

2.正方形、等腰直角三角形、等边三角形、正六边形等已知图形分割成小块，与所求图形面积相联系。

◆练一练

1、在图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积。

2、图中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？

◆例题展示 例题1 图中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。（单位：厘米）

四年级第十一讲第2页

练习1 如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH。已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AEAH、都等于2厘米。求长方形EFGH的面积。

例题2 如图所示，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？

练习2 如图所示，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，再连接大正方形的两条对角线。请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？

四年级第十一讲第3页

例题3 如图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点。请问三角形MNP的面积是多少平方厘米？

练习3 如图所示，正六边形ABCDEF的面积是36平方厘米，M、N、P、Q、R、S分别是AB、BC、CD、DE、EF、FA的中点。请问：阴影正六边形MNPQRS的面积是多少平方厘米？

例题4 如图，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点。已知图a中阴影部分的面积是294平方分米。请问：图b中阴影部分的面积是多少平方分米？

四年级第十一讲第4页

练习4 如图，把两个同样大小的正方形分别分成5×5和6×6的方格表。其中“G”形阴影部分的面积是558，请问“S”形阴影部分的面积是多少？

我们知道长方形、正方形的面积计算公式为:

长方形的面积=长×宽

正方形的面积=边长×边长

但是这两组计算公式只适用于求解相应的规则图形的面积,如果遇

到更为复杂的、不规则的直线形多边形(指多边形的边是直线段)的面积

求解问题时,它们就无法直接用于求解了。那么,如何来解决这一难题

呢?实际上,尽管它们无法直接用于求解,但我们可以在适当地转化图形

后再求助于它们,也就是它们能够间接地帮助我们,这里所说的“转化”是

指对直多边形进行适当的分割与添补,使之转化为标准的长方形或正方

形,这种方法我们称之为割补法。掌握这方法的关键在于根据待求图形

的特征,采用适当的割补使之变为长方形或正方形,为保持面积不变,应

将多补上的部分的面积减去,未补上的部分的面积应加上。

[例1】 有一形如图la的板(图中的每个数字分别表示所对应的线

段的长度,单位:厘米),求它的面积等于多少平方厘米?

解答

☆解法一

将图1a分割成长方形,可以有两种较简单的方法(见图1b、lc),图形 都被分割成三个长方形。以第一种分割法为例(图1b),利用长方形的面

积公式可计算出图形的面积(我们可以记之为S)。

S=(1+2+3)×(3+4+5)-1×4-(1+2)×5

=72-4-15

=53(平方厘米)

答:所求的面积为53平方厘米。

[例2】 有一个长方形,如果宽减少2米,面积就减少24平方米。如

果长增长3米,面积就增加27平方米。求这个长方形的面积。

思路剖析

根据题意,可以画出如下直观图(图3):

观察图3a,从宽减少2米面积就减少24平方米这个条件,我们可以

求出这个长方形的长是24÷2=12(米)。

=(1+2+3)×3+(2+3)×4+5×3

=18+20+15

=53(平方厘米)

☆解法二

在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例1求下列各图中阴影部分的面积：

分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。

（1）割补法

从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角

（2）拼补法

将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面

（3）等分法

将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，

注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。

第五讲 割补法巧算面积

在上一讲中，我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式．根据公式，我们可以求出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍，或者求出三角形格点图形面积是最小正三角形面积的几倍．随着几何学习的步步深入，大家会发现除了用公式法直接求面积之外，还有很多间接求面积的方法．尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式，但是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．

例题1

图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）

「分析」这是一个不规则图形，我们能不能把它切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？

练习1

图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）

我们可以看到，在没有格点的情况下，割补的方法仍然可以使用．我们将来做几何面积计算时，就要视情况灵活运用割补法．

例题2

如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH．已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米．求长方形EFGH的面积．

「分析」所求长方形的长、宽都是未知且不可求的，但是正方形面积以及周围四个直角三角形面积都是可以计算出来的，那么长方形面积怎么计算呢？ 1 2 2

3 4

5

3 2 4

3 4

12 4 9

A

B C D

E H

F G 练习2

如图所示，在正方形ABCD内部有三角形CEF．已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AF都等于2厘米．求三角形CEF的面积．

例题3

如图所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？

「分析」阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形嗯？

练习3

如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米．连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？