第6讲-方程思想在初中数学中的应用

ＷＥＮ　ＬＩ　ＤＡ０　ＨＡＮＧ　学科讲坛　

数学思想方法在　

初中数学教学中的应用　

数学心想是对数学知识的奉质认识，是从某些具体的数学　

内容和对数学的认识过程巾提炼卜升的数学观点，它在认识活　动巾被反复应用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解　

决问题的指导心想。数学心想方法在巾学阶段主要体现为：转　

化与化归思想，数形结合的思想，函数与方程的思想，分类讨论　的心想。在初巾重视数学思想和方法的运用，不但对学生升人　

高巾学习是必要的，对学生解决实际问题的能力也有所帮助。　

下面就通过具体的例子阐述这几种心想方法的运用。　

（Ｉ）转化与化归的思想　转化与化归的心想方法是数学巾最基本的思想方法，数　学中的一切问题都离不开转化与化归，化归的一般原则是把　

不熟悉的问题化归为已知的易解的或已经解决的问题，将抽　

象的问题化归为具体的问题，将实际问题化归为数学问题，将　复杂问题化归为简单问题等。　

例：甲乙两人各加Ｔ　１５０个零件，两人间时工作１小时　

后，乙比甲少加Ｔ　６个零什，又知甲比乙提前５０分钟完成任　务，问甲，乙两人每小时各加工多少个零什？　心路分析：设甲每小时力ＩｌｌＴ　ｘ个零件，则乙每小时加Ｔ（ｘ一６）　个零件，根据甲比乙提丽５０分钟完成任务可得天系：乙加＿Ｔ　１５０　

个零什所用的时间减去甲加］＿１５０个零什所用的时间＝５０分钟，　由此列方程可得：设甲每小时加工（ｘ一６　零仲，则乙每小时加Ｔ　

个零什，根据题意，得：堕　一　：　，…………①　ｘ－－Ｏ　ｘ　ＯＵ　这是一个分式方程，首先化归为我们熟悉的整式方程（去　

分母）：ｘ２－６ｘ一１０８０＝０，…・………………・・②，由②解得Ｘ１＝３６，　

ｘ　一３０，根据实际问题必须舍去负根。　在化归的过程巾，有等价化归与不等价化归，分式方程化归　

为整式方程是不等价化归，解完方程后必须验根。　述问题中，解　

得的两根均满足方程①，但因为是实际问题，故舍去负根。　（Ⅱ）函数与方程的思想　

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方程思想在初三数学解题中的应用

作者：闫丽婷

来源：《新课程·上旬》2015年第01期

初中数学知识中，方程和方程组是比较重要而且占比较大比重的知识，同时也是解决其他数学知识问题的工具。解决一元二次方程和函数知识，以及几何中的某些数形结合问题，也常常使用方程和方程组。

方程和方程组本身具有特殊的意义，方程是一个等式，它所表现出来的相等关系就是其他知识所不具备的优先特点，而方程组又具备一个公共性问题，即方程组的解是方程组中各个方程的公共解，使方程组中每个方程都成立。

在函数部分知识中，最常用的是待定系数法求函数解析式，也用来解决函数图象的交点问题。

在解数学题时，欲求的结论必须和已知的条件建立联系，才能求出结果，通过列方程（组）建立它们之间的关系，从而实现目标。如，已知下图，菱形ABCD的对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程x2-（2m-1）x+4（m-1）=0的两个根，又知菱形ABCD的周长为20，求m的值。

此题由一元二次方程根与系数关系，可知OA+OB=2m-1，OA×OB=4（m-1）。欲求m的值，必须找到OA、OB之间的联系。由菱形的性质可知AC⊥BD，且AB=5，由勾股定理，OA2+OB2=AB2，即（OA+OB）2-2OA×OB=25，即（2m-1）2-2×4（m-1）=25，解得m=4或m=-1，而m=-1时，OA×OB=-8，不合题意，应舍去，∴m=4。显然，是勾股定理建立了它们之间的联系，通过方程实现了求m的值的目的。

由此可见，方程和方程组在初中数学中的地位的确很重要，不仅如此，初中部分的行程、工程等实际应用也离不开方程和方程组。所以，方程和方程组的解法应该是学生必须掌握的知识，理解这个思想，并能迅速灵活地解方程或方程组，是解决这类问题的基础。

编辑 谢尾合

巧用数学思想，提升数学思维和素养

作者：眭亚燕 沈秋萍

来源：《初中生世界·七年级》2022年第02期

数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁。通过学习平面图形的认识（一），我们了解了线段、射线、直线的概念、性质以及三者间的关系，掌握了角、余角、补角、对顶角的概念及相关计算，认识了平行和垂直。通过学习平面图形的认识（二），我们对直线和角的关系继续进行了深入研究，同时了解了图形的平移的特征并学习了三角形的入门知识。下面，我们以“线段”“角”为例，谈谈如何巧用数学思想解决问题。

一、数形结合思想

数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的数学思想。

如图1，已知线段a、b，求图2中线段AB的长。

求线段AB的长，即求两点之间的距离（数）。这个距离是一个数，而已知条件是图形，这就需要我们正确地识别图形（形），数形结合着思考。AB的长为2a-b。

二、方程思想 方程思想的本质即从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程），然后通过解方程（组）来使问题获解。方程思想在解决线段问题的时候是一个很重要的工具。

已知，如图3，点C、D在线段AB上，且AC∶CD∶DB=2∶3∶4，如果AB=18，那么线段AD的长是多少？

根据已知条件中的比值，设合理的未知数，列正确的方程，是解决本题的关键。因为AC∶CD∶DB=2∶3∶4，故可设AC=2x，CD=3x，DB=4x，则AB=9x。又因为AB=18，所以9x=18，解得x=2，故AD=2x+3x=5x=10。

三、整体思想

整体思想就是从问题的整体性质出发，对问题的整体结构进行分析，发现问题的整体结构特征，用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，有目的、有意识地进行整体处理的思想。

Ｎｏ．０８．２０１３　语数外学习　Ｙｕ　Ｓｈｕ　Ｗａｉ　Ｘｕｅ　Ｘｉ　２０１３年第８期　浅析方程教学中数学思想方法　刘友锋　（上饶市信州区进修学校，江西上饶３３４０００）　的运用　摘要：初中方程从研究的课题来说，涉及到方程的概念、方程的解法、列方程解应用题、方程的讨论。这四个方面，方程的概念在　课本中比较弱，没有什么展开，讲方程的同解的目的在于提供解方程的依据，而不在于研究解方程每步的同解性。本文将主要探讨数　学思想方法在初中方程教学中的渗透。　关键词：数学思想方Ｒ－；初中方程；渗透　中图分类号：Ｇ６３３　文献标识码：Ａ　方程的讨论，只对一元二次方程根的情况作些讨论，对于二　元、三元方程组的讨论根本没有提，所以从整体上来看，方程的讨　论不是重点的课题，剩下就是方程的解法和列方程解应用题，所　以从研究的课题来说，初中方程教学应以解方程和列方程解应用　题作为重点。　一、方程和方程组解题的数学思想　方程的同解理论是解方程的重要依据，有的书把它们称为同　解变换（也称同解变形）或等价变换。　（一）同解变换与恒等变换　恩格斯在其著作＜自然辩证法》中表示：“这样的以一种形态　向另外一种形态的转变并不是一种简单的、无聊的游戏，它是整　个数学学科中最为重要的杠杆之一，如果没有它，今天就无法进　行一个较为复杂的计算”。　首先，变换的对象不同，恒等变换是将一个表达式（在初中阶　段主要是指代数式）变为与它恒等的另一个表达式。通常是脱括　号、合并同类项或添括号、分解因式等，即形变值不变。而同解变　换则是移项、各边乘以或除以非零的数等，即整个方程的形变而　解不变。　其次是进行变换的依据不同。恒等变换一般用乘法公式等恒　等变换公式；而在进行同解变换时，则以方程的同解理论为依据。　第三是变换的目的不同。恒等变换的目的是将一个代数式　变成与恒等的便于我们研究的其它形式；而同解变换的目的是为　了便于方程求解。　（－－）同解方程的性质　定理一：方程两边同加或同减去一个数或整式，所得的新方　程和原方程同解。　定理二：方程的两边同乘或同除以一个不为零的数，所得的　新方程和原方程同解。　定理三：如方程一边可以分解为若干因式的乘积，另一边为　零，则使各因式分别为零，得到的几个方程与原方程同解。　二、数学思想方法在初中方程教学中的渗透　在教学时，需要说明这样几个问题：如果在方程的两边同乘　一个数零，所得新方程一般和原方程不同解，这是因零乘任何数　都等于零，把原方程的解集扩大为整个实数集。所以在定理二中　添了“不为零的数”的条件。第二个要说明的是，如果方程两边同　加或同减去一个分式或根式，有可能改变原方程的定义域，破坏　了同解性。第三，如果方程两边同乘以一个代数式，所得新方程　与原方程不一定同解。　（一）理解题意（审题）　要想列出一道题的方程式就必须要对题意进行分析并能理　解，也就是要先进行审题。审题要注意以下几点：　１．、要找出题中的已知量和未知量，并分析已知量和未知量的　关系，这种关系是以何种方式呈现的？例如：是和、差、倍、分这种　直接给出的关系；由物理或者化学定律给出的（质量＝体积×密　度，ｍ＝　Ｐ）；由一些生活常识给出的（来的或者去的路程是总路　程的一半）　文章编号：１００５－６３５１（２０１３）一Ｏ８—００７３—０１　２、如果题中所要求的未知量不是一个，那就要分析这些未知　量之间存在什么样的关系。　审题对解题非常重要，如果能够仔细审题的话有的时候甚至　连方程式都不用列都可以得出答案。例如一瓶水连瓶１斤重，喝　掉半瓶后，连瓶还有０．５２斤，原来瓶里的水有多重？仔细审题后　发现，一瓶油连瓶重１斤，半桶水连瓶重０．５２斤，那么半瓶水是　１—０．５２＝０．４８斤，一瓶水是多少斤。　（－－）未知数的选择（选元）　根据第一步的分析，从各个未知数里选一个未知数，这个未　知数必须和已知数、其他来知数的关系比较多，而且用它来表示　其他未知数和布列方程比较方便，把它作为“元”，一般用字母　来表示。为了区别于一般未知数，我们把确定为“元”的未知数称　为未知元。　选择未知元是布列方程过程中非常重要的一环，没有未知元　的等式就不能称之为方程式。由此可见，未知元不但是我们解题霉静　的目标，同时也是审题的核心。同时所选择的未知元还关系到所　音ｆ　列方程的简与繁，因此，在布列方程时，应正确地选择未知元。未　知元的选择有两个途径，一个是直接设元，就是一道题要我们得　Ｐ　出什么就把什么设为未知元，在很多的解题过程中都会使用直接　埋　设元法。另一个途径是间接设元，这种方法不是将要求的元素作　为未知元，而是在审题中找出一个和未知数有密切关系的未知数　’　设为未知元，以方便解题。璺　（三）代数式的组成　：　从上一步可以发现，一旦设定了未知元，那么题中所有的未—产　知数就都要用未知元进行表现，也就是要把题中所要求的数（或　教　已设定的未知元）和题中其他的未知数所存在的关系用代数式进　畜　行表现，就是在解题过程中把题中的数量关系译成代数式。　。。　（四）建立方程　ｌ　在方程式应用题的解题过程中如何建立方程是重要的一个　Ｉ　步骤，要依据各种数量关系，将等量的两个包含未知元的代数式　ｌ　用等号连接，这就是建立方程。　Ｉ　（五）解方程　Ｉ　根据一般的方程的解法，求出方程的所有解，并且进行检验，　ｌ　判别经过变形后所得方程的解是不是原来方程的解，以及是否失　Ｊ　去解。　ｌ　三、结论　ｌ　通过以上数学思想方程在初中方程教学中的应用与渗透，可　Ｉ　以有效地帮助学生更好更快捷地去解答方程问题。　ｌ　ｆ参考文献：　ｌ　［１］杨未梅．初中数学教学中培养学生反思能力的策略［Ｊ］．时代　Ｉ　教育（教育教学），２０１０，（０７）：１６５—１６６．　．　・Ｉ　［２］李宏流，陈云彩．把思考还给学生让学生成为课堂的主人　Ｉ　［Ｊ］．中学物理，２００９，（１７）：１２１—１２２．　１　［３］袁琨．由三节政治课互动教学片断引发的思考［Ｊ］．中学课程　Ｉ　辅导（江苏教师），２０１１，（０７）：１０８—１０９．　１