有限元方程基本方法

第一章有限元法概述第一节有限元法的发展及基本思想随着现代工业、生产技术的发展，不断要求设计高质量、高水平的大型、复杂和精密的机械及工程结构。

为此目的，人们必须预先通过有效的计算手段，确切地预测即将诞生的机械和工程结构，在未来工作时所发生的应力、应变和位移。

但是传统的一些方法往往难以完成对工程实际问题的有效分析。

弹性力学的经典理论，由于求解偏微分方程边值问题的困难，只能解决结构形状和承受载荷较简单的问题，对于几何形状复杂、不规则边界、有裂缝或厚度突变，以及几何非线性、材料非线性等问题往往遇到很多麻烦，试图按经典的弹性力学方法获得解析解是十分困难的，甚至是不可能的。

因此，需要寻求一种简单而又精确的数值分析方法。

有限元法正是适应这种要求而产生和发展起来的一种十分有效的数值计算方法。

这个方法起源于20世纪50年代中期航空工程中飞机结构的矩阵分析。

1960年美国的克劳夫(C l o u g h)采用此方法进行飞机结构分析时，首次将这种方法起名为“有限单元法”(finite element method），简称“有限元法”。

有限单元法的基本思想，是在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定大小的单元，这些单元仅在有限个节点上相连接，并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。

对于每个单元,根据分块近似的思想，选择一种简单的函数来表示单元内位移的分布规律，并按弹性理论中的能量原理(或用变分原理)建立单元节点力和节点位移之间的关系。

最后，把所有单元的这种关系式集合起来，就得到一组以节点位移为未知量的代数方程组，解这些方程组就可以求出物体上有限个离散节点上的位移。

图1.1是用有限元法对直齿圆柱齿轮的轮齿进行的变形和应力分析，其中图1.1(a)为有限元模型，图1.1(b)是最大切应力等应力线图。

在图1.1(a)中采用8节点四边形等参数单元把轮齿划分成网格，这些网格称为单元；网格间互相连接的点称为节点；网格与网格的交界线称为边界。

有限元方法求解微分方程，特别是椭圆型边值问题的一种离散化方法，其基础是变分原理和剖分逼近。

有限元方法是传统的里茨－加廖金方法的发展，并融会了差分法的优点，处理上统一，适应能力强，已广泛应用于科学与工程中庞大复杂的计算问题。

作为有限元方法出发点的变分原理，是表达物理基本定律的一种普遍形式。

其表述可概括如下：给出一个依赖物理状态v的变量J(v)（v是函数,J(v)在数学上称为泛函），同时给出J(v)的容许函数集V,即一切可能的物理状态,则真实的状态是V中使J(v)达到极小值的函数。

剖分逼近是有限元离散化的手段，把问题的整体（即求解域）剖分为有限个基本块，称为"单元"，然后通过单元上的插值逼近，得到一个结构简单的函数集，称为"有限元空间",它一般是容许函数集V的子集或有某种联系。

有限元方法就是在这个有限元空间中寻找J(v)的极小解作为近似解。

典型问题为具体说明有限元方法，讨论二维有界域Ω上的椭圆型方程, (1)变系数β表示介质不均匀。

物理学中许多平衡态或定常态问题都可归结为这个典型方程。

与方程(1)相配的有如下三类边界条件：第一类：；第二类：；第三类：。

这里的φ、g及α均为定义在边界дΩ上的已知函数，表示外法向导数，第二类边界条件是第三类当α=0时的特例。

为说明有限元方法能统一处理复杂的情况，假定讨论的问题是混合边值，并且介质有间断,即дΩ分成Г0和Г1两部分，分别有边界条件, (2),(3)β（x,y)有间断线，把Ω分为Ω-,Ω+两部分，在间断线上微分方程(1)无定义，而代之以接触条件, (4)及表示间断线上分别指向Ω+及Ω-的法向导数。

变分原理与微分方程(1)及附加条件(2)、(3)、(4)的边值问题相对应的是物理学中的极小能量原理。

构造"能量积分"并取J(v)的容许函数集V为一切满足边界条件(2)且一阶偏导数平方可积的函数,则使J(v)达到极小值的u,即,(6)也必满足方程(1)及(2)、(3)、(4)。

有限元分析概念有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。

由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。

有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。

并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。

线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。

在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。

如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。

线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。

非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。

有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。

由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。

在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。

2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。

当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。

研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。

它包括大位移大应变及大位移小应变问题。

有限元方法求解微分方程有限元方法是一种常用的数值计算方法，可以用来求解微分方程。

在本文中，我们将介绍有限元方法的基本原理和求解微分方程的步骤。

有限元方法是一种将连续问题离散化的数值方法，它将连续的物理域划分为许多小的子域，称为有限元。

这些有限元可以是简单的几何形状，如线段、三角形或四边形。

通过在这些有限元上建立适当的数学模型，我们可以得到一个离散化的方程系统。

要求解微分方程，首先需要将微分方程转化为一个变分问题。

变分问题是通过将微分方程左右两边乘以一个测试函数，然后对整个方程进行积分得到的。

通过这样的转化，我们可以将微分方程问题转化为一个变分问题，这样就可以应用有限元方法进行求解。

在有限元方法中，我们选取一个适当的有限元空间，并在每个有限元上构建一个适当的试验函数空间。

试验函数空间是由一组基函数生成的，这些基函数是在每个有限元上定义的。

通过将基函数与试验函数空间上的权函数相乘，并在整个物理域上进行积分，我们可以得到一个离散化的方程系统。

接下来，我们需要对离散化的方程系统进行求解。

通常，我们使用线性代数方法，如高斯消元法或迭代法，来解决这个离散化的方程系统。

通过求解这个方程系统，我们可以得到有限元问题的近似解。

我们需要对有限元解进行后处理。

这包括计算物理量的值和误差的估计。

通过计算物理量的值，我们可以得到微分方程问题的数值解。

通过计算误差的估计，我们可以评估数值解的精度。

有限元方法是一种常用的求解微分方程的数值方法。

通过将微分方程转化为一个变分问题，然后应用有限元方法进行离散化和求解，我们可以得到微分方程的数值解。

通过对数值解进行后处理，我们可以评估数值解的精度。

有限元方法在工程和科学计算中有广泛的应用，可以解决各种不同类型的微分方程问题。