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maxwell的边界条件Maxwell的边界条件是电磁场理论中的重要概念，它描述了电磁波在两种介质之间传播时的行为。
这些边界条件起着关键作用，帮助我们理解和解决各种电磁问题。
本文将详细介绍Maxwell的边界条件，并讨论它们在实际应用中的意义和影响。
我们来了解一下Maxwell的边界条件是什么。
在电磁场理论中，Maxwell方程组描述了电场和磁场的演化和相互作用。
当电磁波在两种介质之间传播时，它们必须满足一定的条件，这些条件被称为Maxwell的边界条件。
这些条件是在介质界面上成立的，用于描述电磁场的连续性和边界行为。
我们来看一下Maxwell的第一边界条件，即电场的切向分量在界面上连续。
这意味着当电磁波从一种介质传播到另一种介质时，电场的方向和大小在界面上保持不变。
这个条件的物理意义是介质界面上没有电荷堆积或电流流失，从而保证了电场的连续性。
接下来，我们来讨论Maxwell的第二边界条件，即磁场的切向分量在界面上连续。
这意味着当电磁波从一种介质传播到另一种介质时，磁场的方向和大小在界面上保持不变。
这个条件的物理意义是介质界面上没有磁荷堆积或磁流失，从而保证了磁场的连续性。
除了以上两个边界条件，Maxwell的第三边界条件是电场和磁场的法向分量在界面上满足一定的关系。
具体来说，电场和磁场的法向分量的叉乘等于界面上的表面电流密度。
这个条件的物理意义是介质界面上的电荷和电流会影响电磁场的分布和传播。
我们来讨论Maxwell的第四边界条件，即介质界面上的法向分量的叉乘等于零。
这意味着在介质界面上没有自由电荷产生的电流。
这个条件的物理意义是介质界面上的电荷和电流的分布不会产生额外的电场和磁场。
Maxwell的边界条件在电磁场理论和应用中起着重要的作用。
它们帮助我们理解电磁波在不同介质中的传播和反射现象。
通过将Maxwell的边界条件应用到具体问题中，我们可以计算电磁场的分布和传播特性，解决各种电磁问题。
FDTD边界条件介绍FDTD（Finite-Difference Time-Domain）是一种求解时域电磁问题的数值仿真方法。
在FDTD方法中，边界条件的处理十分重要，其对仿真结果和计算精度有着直接影响。
本文将探讨FDTD边界条件的不同类型、原理以及应用。
一、边界条件的作用边界条件在数值仿真中是非常关键的，它模拟了物理领域内的边界行为。
在FDTD 方法中，合适的边界条件可以使电磁波在仿真空间内自由传播，减少反射和影响，提高仿真的准确性和稳定性。
因此，边界条件的选择和设计是进行FDTD仿真的重要一环。
二、FDTD边界条件分类根据FDTD方法的不同发展和应用，边界条件可以分为吸收边界条件（ABC，Absorbing Boundary Condition）和非反射边界条件（PML，Perfectly Matched Layer）。
下面将对这两种边界条件进行详细介绍。
1. 吸收边界条件（ABC）吸收边界条件旨在消除电磁波从计算区域反射回来的影响，使得计算区域内的电磁波在仿真过程中逐渐衰减并最终消失。
常见的吸收边界条件有：1.1 第一类Mur边界条件第一类Mur边界条件是FDTD中最早提出的一种吸收边界条件，其基本原理是通过改变仿真区域内Accuracy的系数，使得边界处的电磁波消散到仿真区域外。
该边界条件的特点是简单易实现，但在一些场景下可能会产生较大的数值反射。
1.2 第二类Mur边界条件第二类Mur边界条件通过在仿真区域内增加一层增益层来减少反射，改善第一类Mur边界条件的不足。
该边界条件的特点是相对于第一类Mur边界条件，其增加了计算复杂度，但能够有效抑制反射。
1.3 PML边界条件PML边界条件是一种效果更加优越的吸收边界条件。
PML边界条件通过引入复杂的嵌套介质结构，在仿真区域内产生消散性能损耗，从而减少电磁波的反射。
相比于Mur边界条件，PML边界条件能够更好地消除反射和影响，提高仿真的准确性和稳定性。
波导的边界条件
波导是一种用于传输电磁波的结构，通常由金属或介质构成。
在波导中，存在着一些重要的边界条件，它们对波的传播和性质产生着重要影响。
波导的边界条件包括电场和磁场在边界上的连续性条件。
这意味着在波导的边界上，电场和磁场的分量必须满足一定的关系，以确保波能够在波导中正常传播。
如果这些边界条件没有得到满足，波将会反射回去，导致能量损失和传输效率降低。
波导的边界条件还包括介质界面上的折射和反射现象。
当电磁波从一个介质传播到另一个介质时，会发生折射和反射现象，这取决于两个介质的折射率和入射角。
波导的边界条件需要考虑这些现象，以确保波能够顺利传播，而不会发生能量损失或波的偏折。
波导的边界条件还包括波的传播方向和极化方向。
在波导中，波通常沿着特定的方向传播，并且具有特定的极化方向。
边界条件需要确保波能够沿着正确的传播方向传播，同时保持适当的极化状态，以确保波导的正常工作。
总的来说，波导的边界条件对于波的传播和性质至关重要。
只有在这些边界条件得到满足的情况下，波才能够在波导中正常传播，而不会发生任何异常情况。
因此，了解和遵守波导的边界条件是非常重要的，这将有助于提高波导的传输效率和性能，进而推动电磁波
技术的发展和应用。
maxwell中boundaries and excitations -回复Maxwell理论是电磁学的基础理论之一，描述了电磁场的行为和传播。
其中，boundaries（边界）和excitations（激发）是Maxwell理论中两个重要的概念。
本文将一步一步回答关于这两个主题的问题。
边界（Boundaries）边界在Maxwell理论中扮演着至关重要的角色。
电磁场的行为以及传播受到边界的影响。
边界可以是两种不同介质的界面，例如空气和玻璃之间的界面，或者两个不同形状的导体表面。
1. 什么是边界？边界是两个或多个不同介质之间的界面，其中介质可以是气体、液体或固体。
边界可以是平面、曲面或不规则形状。
2. 边界如何影响电磁场？当电磁波从一个介质传播到另一个介质时，边界会改变电磁场的行为。
一些电磁波将被反射回原介质，一些将被折射进入新介质。
3. 什么是反射？反射是指当电磁波碰到边界时，一部分波将以相同角度反射回原介质。
反射率取决于介质的性质以及入射波的角度。
4. 什么是折射？折射是指当电磁波穿过边界进入新的介质时方向的改变。
折射率取决于两个介质的性质以及入射波的角度。
5. 边界条件是什么？边界条件是Maxwell方程组的一组补充条件，用来描述电磁波在边界上的行为。
边界条件有两种类型：电场垂直于界面的连续性和磁场平行于界面的连续性。
激发（Excitations）激发是指在Maxwell理论中引入外部力或其他形式的能量，从而改变电磁场的行为。
激发可以是通过电流、电荷或其他方式施加到电磁场中。
1. 激发如何改变电磁场？激发通过改变电磁场的分布和行为来影响电磁场。
例如，通过施加电流到导体中，可以产生感应磁场，从而改变原有的电磁场。
2. 什么是电流激发？电流激发是指通过施加电流到导体中，从而改变电磁场的行为。
电流激发可以是恒定的或随时间变化的。
3. 什么是电荷激发？电荷激发是指通过施加电荷到电场中，从而改变电磁场的行为。
波导的边界条件引言波导是一种用于传输电磁波的结构，常用于微波和光纤通信中。
波导的边界条件是指波导内外的电场和磁场满足的约束条件。
本文将全面、详细、完整地探讨波导的边界条件，包括边界条件的定义、类型、性质以及其对波导内部波的传播和特性的影响。
二级标题1：边界条件的定义三级标题1.1：电场和磁场的切向分量在波导边界上，电场和磁场的切向分量必须连续。
这意味着电场E和磁场H的切向分量在波导内外的共同边界上取相同的值。
三级标题1.2：法向电场和磁场的分量在波导边界上，电场和磁场的法向分量可能会发生变化，取决于边界材料的性质。
常见的边界条件有电场法向分量连续和磁场法向分量连续两种。
二级标题2：波导的边界条件类型三级标题2.1：理想导体边界条件理想导体是指具有无限高电导率和无限大的功率因数的材料。
在理想导体边界上，电场垂直于边界且强度为零，即E n=0。
磁场则必须满足磁场切向分量连续和磁场法向分量连续的边界条件。
三级标题2.2：理想介质边界条件理想介质是指具有无限高绝缘性能的材料。
在理想介质边界上，电场必须满足电场切向分量连续和电场法向分量连续的边界条件，即E t1=E t2和D n1=D n2。
磁场则可以发生变化。
三级标题2.3：混合边界条件混合边界条件是指波导边界上既有理想导体又有理想介质的情况。
混合边界条件要求电场和磁场的切向分量和法向分量均连续。
二级标题3：边界条件的性质三级标题3.1：唯一性定理唯一性定理指出，如果波导中的电磁场满足波动方程和边界条件，那么该波导中的电磁场解是唯一的。
三级标题3.2：边界条件和模式的关系不同的边界条件会导致不同的波导模式。
例如，理想导体边界条件将产生截止频率，低于截止频率的波将无法在波导中传播。
三级标题3.3：边界条件对波导特性的影响波导的边界条件决定了波导中电磁场的分布和传播特性。
边界条件的改变可能会改变波导的色散关系、带宽、损耗等特性。
三级标题3.4：边界条件与波导的有效性波导的边界条件必须恰当地选择，以确保波导能够有效地传输电磁波。
频率为负值的原因首先，我们需要明确频率的定义。
在信号处理领域，频率是指信号在单位时间内完成一个周期震荡的次数，通常以赫兹（Hz）为单位。
在电磁学领域，频率被定义为电磁波的周期，即电磁波在单位时间内通过一个点的次数。
在信号处理中，频率为负值可能是由于以下原因之一：1.信号混合与频谱分析：当我们在信号中混合不同频率的成分时，可能会导致频谱展宽，并在一些情况下导致频谱产生负值。
这种现象通常发生在频谱分析中采用了不适当的窗函数时。
窗函数是用于限制信号的时间长度，当使用不正确的窗函数时，信号的频谱的能量可能会在频谱的两侧泄漏出来，导致负频率的出现。
2.信号改变和调制：在信号处理中，我们常常需要对信号进行调制和改变。
例如，频移调制是一种常见的技术，通过改变信号的频率来调制信号。
在一些特殊的情况下，调制过程中可能会导致频率出现负值。
这通常是由于调制过程中错误的参数设置或者处理错误导致的。
在电磁学中，频率为负值可能是由以下原因之一导致的：1.反射和干扰：电磁波在传播和反射过程中可能会受到其他信号的干扰，导致频率出现异常。
特别是在复杂的电磁环境中，可能会出现反射、折射、散射等现象，从而导致信号的频率出现负值。
2.边界条件和材料特性：在电磁学中，材料的特性和边界条件对电磁波的传播有重要影响。
一些特殊的材料和条件可能会导致电磁波的频率出现负值。
例如，负折射率材料就是一种用于设计人工超材料的材料，其电磁波的频率可以出现负值。
需要指出的是，频率为负值的情况非常罕见，并且通常是由于实验误差、仪器的错误设置或观察方法存在问题等原因。
在正常情况下，频率应该是非负的实数值。
在实际应用中，如果遇到频率为负值的情况，应该重新检查数据的准确性、系统的设置和信号处理流程。
随着技术的不断进步和仪器的精确性提高，负频率的出现将越来越少见。
电磁场的边界条件与电磁波的辐射和传播[摘要]：本文结合相关示意图简要总结了电磁场的边界条件，在参考大量相关文献的基础上，由边界条件出发分析了交变电磁场传播的原理，联系实际解释了电磁场的辐射和传播。
关键字：电磁场；电磁波；边界条件；辐射；传播。
一、电磁场的边界条件电磁场在两种不同媒质分界面上，从一侧过渡到另一侧时，场矢量E、D、B、H一般都有一个跃变。
电磁场的边界条件就是指场矢量的这种跃变所遵从的条件，也就是两侧切向分量之间以及法向分量之间的关系。
电磁场的边界条件可以由麦克斯韦方程组的积分形式推出，它实际上是积分形式的极限结果。
这些边界条件是：n·(D1-D2)=ρs； (1)n×(E1-E2)=0； (2)n·(B1-B2)=0； (3)n×(H1-H2)=J)s。
(4)式中n为两媒质分界面法线方向的单位矢量，场矢量E、D、B、H的下标1或2分别表示在媒质1或2内紧靠分界面的场矢量,ρ为分界面上的自由电荷面密度,J为分界面上的传导电流面密度。
式(1)表示在分界面两侧电位移矢量D的法向分量的差等于分界面上的自由电荷面密度。
当分界面上无自由电荷时，两侧电位移矢量的法向分量相等,即其法向分量是连续的。
式(2)表示在分界面两侧电场强度E的切向分量是连续的。
式(3)表示在分界面两侧磁通密度B的法向分量是连续的。
式(4)表示在分界面两侧磁场强度H的切向分量的差等于分界面上的表面传导电流面密度。
当分界面上无表面传导电流时，两侧磁场强度的切向分量相等，即其切向分量是连续的。
当媒质2为理想导体时，E2、D2、B2、H2等于零，式(1)表示D1的法向分量等于自由电荷面密度；式(2)表示E1无切向分量.式(3)表示B1的法向分量为零；式(4)表示H1的切向分量等于表面传导电流面密度,并且与电流方向正交。
二、电磁波的辐射和传播电磁波的产生与发射是通过天线来实现的。
由振荡电路产生的强大交变讯号通过互感耦合到天线上，天线就有交变电流产生，如下图所示。
边界条件对电磁波的影响摘要：本文主要讨论平面边界条件对电磁波的作用。
开篇指出了研究本课题的背景及其相关概念；接着便列出了亥姆霍兹方程在直角坐标系当中的通解形式；然后讨论了无边界条件的电磁波的形式；接着讨论了边界条件与约束，这部分主要从三个方面讨论，即两平行导体面、矩形波导（四个导体平面）、谐振腔（六个导体平面）对电磁波的振幅、波矢的影响。
重点阐述了边界条件也就是约束对电磁波波形的影响；最后对计算结果进行分析得出结论从而引申到社会意义。
关键词：边界；电磁波；振幅；波长；电磁振荡0 引言边界条件在物理学中至关重要的作用，能够解决物理学中的很多问题，同时在数学计算中也有特别重要的作用。
由无界（没有边界）空间中的电磁波和导体中的电磁波可以知道电磁波主要是在绝缘介质中或者是在除了导体之外的空间中传播，只有非常非常小的一部分电磁能量能够进入导体的表层中。
在理想导体（电容率→∞）极限的前提条件下，电磁波就完全的被导体反射了，几乎就没有渗入导体的内部。
所以，导体的表层很明显就组成电磁波存在的界限。
这一种有边界的空间中传播的电磁波有着它自己独有的特点，并且非常广泛地运用于特别多的关于无线电技术以及其它技术的现实问题中，比如在有关微波的技术当中，就会经常的用到波导来进行电磁能量的传播。
波导以中空金属管的形式存在，电磁波在波导管内的空间进行传输，而金属的管壁又是电磁场存在的屏障又牵制着波导管内电磁波的固有形式或形状。
再比如在一些高频技术当中经常会用到谐振腔来形成特定频率的电磁振荡。
谐振腔以中空金属腔的形式存在，电磁波在谐振腔里以一定的频率进行振荡。
导体表面的边界条件在这种有界限的电磁波传播问题当中起着非常重要的作用。
而这种传播问题属于边界问题，在这一类问题所以，分析平面导体的边界条件对电磁波振幅、波矢的影响是有着特别重要的作用。
随着人们对电磁波的研究的愈来愈深入，电磁波在生活中应用的也越来越广泛。
就比如光学谐振腔可以看做是光波在谐振腔内进行往返反射因此能够提供光能进行反馈的空腔。
激光器的非常重要的一些部分，通常是用两块与工作介质的轴线相互垂直的平面反射镜或者是凹球面组成。
比如在高频技术当中经常会用到谐振腔来产生一些具有特殊频率的电磁振荡。
再比如超导谐振腔有着非常低的射频损耗,因此在很多的场合当中,它都有着潜在的使用价值,由超导材料制作的射频超导谐振腔(我们简单的把它叫做超导腔) ,在超导的状态下拥有表层上损耗小、电阻较低、品质因数高的特点。
波导，原来的意思其实就是指一种可以在可见光的波段中或在微波中能够进行传输电磁波的装置，广泛的在雷达、无线电通讯和导航等多种无线电领域中应用。
一般情况而言，波导专门指的是各类类型的空心的金属波导管和表层波波导，传输的电磁波将金属波导管完全的禁锢在了金属管内，又称作封闭波导；引导的电磁波则是被表面波波导束缚在了波导结构的周围，又称作开波导。
波导在控制中的应用（即波导开关）普遍的用在了电子系统的微波发射设备和微波测控过程当中。
谐振腔的作用是选择具有一致方向、特定频率的光作为最优先的放大，而抑制其他方向和频率的光。
1 直角坐标系当中亥姆霍兹方程的通解在一起考虑存在依赖时间和空间的偏微分方程的物理问题的研究之中经常会出现亥姆霍兹方程。
因为亥姆霍兹方程和波动方程的关系，它会出现在物理学中的一些关于地震学、电磁辐射和声学研究等领域里。
比如:电磁场中的 220E k E ∇+= (1.1) 220H k H ∇+= (1.2) 叫做是齐次亥姆霍兹方程。
这时候，根据麦克斯韦方程组，有: E i B ω∇⨯= (1.3) B i E E ωμεσμ∇⨯=-+ (1.4)亥姆霍兹对(1.3)这个式子两边求旋度，然后考虑到(1.4)式，即可求得亥姆霍兹方程。
其中 :22k i σμωεω=+为波数，当忽略传导电流时(也就是忽略(1.4)中E σμ项)，此时22k μεω=。
有的书上是具有22()k f ψ∇+=这种形式的双曲型偏微分方程。
式子中2∇称作拉普拉斯算子；ψ是待求的函数;2k 是常数;f 是源函数。
当f 等于零的时候就称作是齐次的亥姆霍兹方程;f 不等于零的时候就称作是非齐次的亥姆霍兹方程。
在电磁学当中，当这个函数随时间作简谐运动的时候,波动方程就变作了亥姆霍兹方程。
①在一维的问题当中，亥姆霍兹方程表示成：()()0222=+x E k x E dx d ； 这时它的通解表示为：()ikx x e E x E 0 =； 如果加上时间因子为：()t kx i x e E t E ω-=0),x （ ②在三维的问题当中，亥姆霍兹方程表示成：()()0r r 22=+∇ E k E 这时它的通解表示为：()()()()r ik e z E y E x E r E =； 如果加上时间因子为:()()()()()t i e z E y E x E r E ω-=r k2 边界条件与约束在讨论约束之前，先来看一下没有边界限制空间中的电磁波形式，在没有边界限制的空间当中，电磁波最最基础的存在方式便是平面电磁波，这种平面电磁波的磁场和电场都做的是横向振荡，这就是所谓的横电磁波（TEM )。
在没有电流和电荷分布的自由空间当中电磁场的运动形式为： 0t10122222222=∂∂-∇=∂∂-∇B c B t E c E 由导体当中的电磁波和没有界限空间中的电磁波可以知道电磁波主要是在绝缘介质内或者是在导体以外的空间中传播，只是非常非常小的一部分电磁能量渗入到了导体的表层里面。
在理想导体（电容率→∞）的极端前提下，电磁波就完全的被导体反射了，渗入导体的穿透深度几乎就等于零（几乎没有渗进去）。
因此，导体的表层就很自然的组成了电磁波存在的边界。
现在我们可以讨论导体表面的边界条件。
令1表示的是理想导体，2表示的是真空或者绝缘介质。
法线由导体指向介质中。
在理想导体下，导体的里面几乎没有电磁场的存在（应该说是导体内部足够深处实际上已经没有电磁场了）。
因此，就省略了角标为2的那一项，有110E H ==，用E 和H表示介质一面处的场强，则存在着这样的边界条件： n e 0E ⨯= (2.0-1) n e H α⨯= (2.0-2)如果这两个条件都满足后，另外两个条件：xy z a bn e D σ∙=(2.0-3)0e n =∙B (2.0-4) 自然就满足了。
所以，在解出导体的边界问题时，只需要加上 (2.0-1)和(2.0-2)式。
条件(2.0-2)反映的是介质中导体表面上的高频电流与电磁波磁场强度的相互关系。
在解出介质中的电磁波以后，由这个式子就可以得到导体表面的电流的分布形式和特点。
所以说实际上真正影响着电磁波存在形式的是(2.0-1)式。
亥姆霍兹方程的通解加上条件0=∙∇E ,再加上(2.0-1)和(2.0-2)这两个边界条件以后，就得到这个边界问题的解。
综上，理想导体表面的边界条件可以形象的描述为：在导体的表层上，电场线和边界面正交，磁感应线和边界面相切，我们大家都可以用这个规律来考虑这种边界问题当中电磁波的图像的问题。
2.1平行的无限大导体平面设两个导体面与y 轴垂直。
边界条件为两导体平面上：0==z x E E 0=y H (2.1-1)如果沿z 轴方向传播的电场沿着y 轴方向上偏振，那么这个平面波就进一步满足了导体板上的边界条件，从而能够在两个导体板的中间传播。
然而还有其他一种偏振的平面电磁波（E 和导体面进行相切）并不能完全满足以上的这些边界条件，因此就不能够在导体面之间存在传输了。
所以在这两个导体板之间能且只能传播一种偏振的横电磁波，也就是说只有一种确定的形式。
如果电磁波沿着z 轴的方向传播，根据理想导体的两个边界条件：①在理想导体的表面上，电场线与导体的表层平行，磁场线则是和导体的表面垂直；②在导体的表面有0n nE ∂=∂。
说明了电场强度沿着y 轴的方向，而磁场方向则是沿着x 轴的方向。
有： ()()()t z k i t z k i y z z e B B e e E E ωω---==x 00eˆˆ (2.1-2) 综上，我们可以发现：平行的无限大导体平面的电磁波形式跟没有边界条件的电磁波的形式是一样的，只是E 和k 值有了一定的约束。
2.2 波导在微波（厘米波）的传输当中，为了减少传输过程当中可能的耗损及阻止电磁波向外面显露，传输电磁波能量经常会采用空心的金属管作为它的导波装置来运作，这就是我们常常所说的波导。
低频的电力系统经常用双线传输。
当频率变得高时，为了避免周围环境对电磁波的干扰以及电磁波向外面辐射的损耗，这时候就可以用同轴的传输线。
中空的导体管以及芯线组成了同轴的传输线，电磁波就在这两个导体之间的介质当中传播。
当频率变得更高的时候，内导线的焦耳损耗以及介质当中的热损耗就会变得更加严重，这时候就得用波导来替代同轴的传输线。
波导以一根空心的金属管形式存在，而它的截面形式常常就是矩形或者是圆形。
波导的传输适用于微波范围。
接下来我们大家一起来求解一下矩形波导内的电磁波解。
首先选择一个直角坐标系，如图所示，令波导的内壁面分别为0x =和x a =，0y =和y b =，这时候的z 轴是沿着传播方向的。
在一定的频率下，波导管管内的电磁波形式就是亥姆霍兹方程的形式，即022=+∇E k E （2.2-1） μεω=k （2.2-2）满足条件0E ∇∙=的解。
这个解在管壁上还需要同时符合以下的边界条件，也就是n e E 0⨯= 在切向的分量为零。
由于电磁波是在z 轴的方向上传播，所以它可能有传播因子z ik z i t e ω-。
所以，我们可以把电场E 取为： ()()z ik z e y x E z y E ,,,x = （2.2-3） 代入（2.2-1）式得 ()()()0,,x 222222=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y x E k k y x E y z用直角坐标分离变量，设()()()y Y x X y x u =, （2.2-4） （2.2-4）式可以分解成两个方程： 0222=+X k dxX d x (2.2-5)0d 222=+Y k dyY y (2.2-6) 22z 22k k k k y x =++ (2.2-7)解上式，得到(),u x y 的特解：()()()y k D y k C x k D x k C y x u y y x x sin cos sin cos ,2211++= (2.2-8)1C ,1D ,2C 和2D 都是任意的常数。
当(),u x y 具体表示为E 的某一个特定的分量时，考虑到这些边界条件：n e E 0⨯= 和n 0E n∂=∂仍旧可以对这些常数进行一些限定。
例如边界条件是：y 0z E E ==，x 0E x∂=∂(0,x a =) x 0z E E ==, y 0E y∂=∂(0,y b =) (2.2-9) 由0x =和0y =面上的边界条件可以得到：z ik y x x z ye k x k A E sin cos 1=z ik y x z ye k x k A E cos sin 2y =(2.2-10)z ik y x z z ye k x k A E sin sin 3= 再者考虑到x a =和y b =这些面上的边界条件，就能够知道k x a 和y k b 必须为π的整数倍，也就是 m k x a π=，n y k b π=（,0,1,2......m n =） (2.2-11) m 和n 分别代表的是沿矩形两边的半波数目。
